Druck in Flüssigkeiten und das pascalsche Prinzip

Einsteiger

Druck gibt an, wie stark ein Fluid (Flüssigkeit oder Gas) auf jedes Stück einer Fläche drückt. Wasser und Luft bestehen aus unzähligen winzigen Molekülen, die nie aufhören, sich zu bewegen. Sie stoßen gegen alles, was sie berühren: die Wände eines Glases, deine Haut, dein Trommelfell. Jeder Stoß ist ein winziger Schub, und alle zusammen, verteilt auf eine Fläche, ergeben den Druck. Deshalb drückt ein Fluid auf eine Fläche, egal in welche Richtung diese zeigt.

Schritt 1: Der Druck wächst mit der Tiefe. Je tiefer du in eine ruhende Flüssigkeit tauchst, desto mehr Flüssigkeit liegt über dir, und ihr Gewicht drückt auf alles darunter. Deshalb schmerzen deine Ohren am Grund eines Schwimmbeckens, und deshalb wird ein Staudamm an seinem Fuß viel dicker gebaut als oben. Eine dichtere Flüssigkeit, etwa Meerwasser, drückt in gleicher Tiefe etwas stärker.

Schritt 2: Nur die Tiefe zählt. Ein dünnes Rohr und ein breiter See, bis zur gleichen Höhe gefüllt, haben in gleicher Tiefe den gleichen Druck; die Wassermenge macht keinen Unterschied.

Prüf dich selbst: Welches der drei Löcher in der Animation spritzt am schnellsten, und warum? Antwort: das unterste, weil das Wasser dort am tiefsten ist und am stärksten drückt.

Schritt 3: Eine eingeschlossene Flüssigkeit leitet einen Schub weiter. Drückst du an einer Stelle, erreicht der zusätzliche Druck jeden Punkt der Flüssigkeit gleich stark (pascalsches Prinzip). In der Animation hebt ein Schub auf den dünnen Kolben ein Auto, das auf dem breiten Kolben steht. Der breite Kolben hat die vierfache Fläche und empfängt deshalb die vierfache Kraft.

Schritt 4: Nichts gibt es umsonst. Um das Auto anzuheben, muss der dünne Kolben viermal so weit laufen, wie das Auto steigt.

Mittelstufe

Was der Druck misst

Druck ist die Kraft, die eine Flüssigkeit auf jeden Quadratmeter einer Fläche ausübt, die sie berührt:
$p=\frac{F}{A}$
Die Einheit ist das Pascal, $1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$. Die Luft um uns drückt mit etwa 101 kPa, dem Gewicht von rund 10 Tonnen auf jedem Quadratmeter, doch die Flüssigkeiten in unserem Körper drücken genauso stark zurück.

Druck ist keine Kraft und hat keine eigene Richtung. An einem Punkt einer ruhenden Flüssigkeit hat er denselben Wert, egal wie eine kleine Fläche orientiert ist, und die Kraft, die er erzeugt, $F=pA$, steht immer senkrecht auf dieser Fläche. Der Absolutdruck wird vom Vakuum aus gezählt, der Überdruck von den 101 kPa der Atmosphäre aus: Zeigt ein Reifenmanometer 220 kPa an, sind das etwa 321 kPa absolut.

Warum der Druck mit der Tiefe wächst

Stell dir in einer ruhenden Flüssigkeit der Dichte $\rho$ die senkrechte Flüssigkeitssäule über einer kleinen Fläche $A$ in der Tiefe $h$ vor. Ihr Gewicht ist $\rho Ahg$. Da der Druck an den Seiten waagerecht wirkt, trägt nur die Flüssigkeit darunter dieses Gewicht; teilt man durch die Fläche, erhält man den Überdruck in der Tiefe $h$:
$p=\rho gh$
Addiert man den Druck $p_0$ auf der freien Oberfläche, meist der Atmosphärendruck, erhält man den Absolutdruck:
$p=p_0+\rho gh$

In Wasser steigt der Druck um 9,81 kPa pro Meter, 10 m ergeben also etwa 98 kPa, fast eine Atmosphäre: Ein Taucher in 10 m Tiefe trägt den doppelten Oberflächendruck. Quecksilber ist 13,6-mal dichter, daher muss eine Quecksilbersäule in einem Barometer nur $101325/(13600\cdot 9,81)\approx 0,76\mathrm{m}$ hoch sein, um die Atmosphäre auszugleichen; eine Wassersäule bräuchte 10,3 m, die Grenze für jede Saugpumpe.

Nur die Tiefe zählt, nicht die Form des Gefäßes oder die Flüssigkeitsmenge: Ein dünnes Rohr und ein breiter See, bis zur gleichen Höhe gefüllt, haben in gleicher Tiefe den gleichen Druck. Das ist das hydrostatische Paradoxon. Alle Punkte auf einer Höhe einer zusammenhängenden, ruhenden Flüssigkeit haben also denselben Druck, und verbundene Gefäße füllen sich bis zur gleichen Höhe.

Pascalsches Prinzip und die hydraulische Presse

Das pascalsche Prinzip besagt: Eine Druckänderung, die auf eine eingeschlossene Flüssigkeit wirkt, wird unvermindert an jeden Punkt der Flüssigkeit und an die Wände übertragen. Das Gewicht der Flüssigkeit bestimmt nur die Druckunterschiede über $\rho gh$; ein Schub auf die Begrenzung muss daher jeden Druck um denselben Betrag erhöhen.

Eine hydraulische Presse nutzt dies. Bei ihren zwei Kolben mit den Flächen $A_1$ und $A_2$, die etwa auf gleicher Höhe liegen, sind die Drücke darunter gleich, $F_1/A_1=F_2/A_2$, also
$F_2=\frac{F_1{A}_2}{A_1}$
Bei runden Kolben ist die Fläche proportional zum Quadrat des Durchmessers: Verdoppelt man den Durchmesser, vervierfacht sich die Kraft.

Der Preis ist der Weg. Eine Flüssigkeit lässt sich kaum zusammendrücken, also muss das Volumen, das aus dem engen Zylinder verdrängt wird, in den weiten fließen:
$A_1{d}_1=A_2{d}_2$
Zusammen mit dem Kraftverhältnis ergibt sich
$F_1{d}_1=F_2{d}_2$
Die hineingesteckte Arbeit ist gleich der herausgeholten Arbeit: Wie ein Hebel vervielfacht die Presse die Kraft und verkürzt den Weg, sie erzeugt nie Energie.

Rechenbeispiel: Tank und Presse aus der Animation

Der Tank ist voll, die Löcher liegen 15, 35 und 55 cm unter der Oberfläche. Die violetten Beschriftungen geben $\rho gh$ an jedem Loch an; für das unterste
$p=1000\cdot 9,81\cdot 0,55\approx 5400\mathrm{Pa}=5,4\mathrm{kPa}$
und entsprechend 1,5 und 3,4 kPa für die beiden oberen. Nur dieser Anteil treibt die Strahlen an, denn die Atmosphäre drückt auch von außen auf jedes Loch. Der Druck wird zu Geschwindigkeit, $v=\sqrt{2gh}$ (siehe „Das Bernoulli-Prinzip“): etwa 1,7, 2,6 und 3,3 m/s, der unterste Strahl ist also am schnellsten.

Rechts ist der breite Kolben doppelt so breit wie der dünne, also $A_2=4A_1$. Um das 1000 kg schwere Auto zu halten, muss er mit $F_2=1000\cdot 9,81=9810\mathrm{N}$ drücken, die Hand braucht daher nur
$F_1=\frac{F_2{A}_1}{A_2}=\frac{9810}{4}\approx 2450\mathrm{N}$
Das sind die 2,45 kN und 9,81 kN der Beschriftung, und der grüne Pfeil unter dem breiten Kolben ist viermal so lang wie der rote über dem Griff.

Beim Herunterdrücken des Griffs zeigen die Anzeigen, dass $d_1$ 48 cm erreicht, während $d_2$ nur 12 cm erreicht, ein Viertel davon. Die Arbeiten stimmen überein: $F_1{d}_1=2452,5\cdot 0,48\approx 1177\mathrm{J}$ und $F_2{d}_2=9810\cdot 0,12\approx 1177\mathrm{J}$, die Energie, die das Auto 12 cm hebt.

Rechenbeispiel: die Frontscheibe eines Aquariums

Ein Aquarium ist 60 cm tief gefüllt, seine vordere Scheibe ist 1,5 m breit. Der Überdruck auf das Glas wächst von null an der Oberfläche auf $1000\cdot 9,81\cdot 0,60\approx 5890\mathrm{Pa}$ am Boden. Sein Mittelwert $\bar{p}$ über die Scheibe ist daher der Wert auf halber Tiefe, etwa 2940 Pa. Mit der benetzten Fläche $1,5\cdot 0,60=0,90{\mathrm{m}}^2$
$F=\bar{p}A\approx 2943\cdot 0,90\approx 2650\mathrm{N}$
Das ist das Gewicht einer Masse von 270 kg. Die Atmosphäre drückt auf beide Seiten der Scheibe, und das hebt sich auf.

Der Druck hängt nicht davon ab, wie weit der Tank hinter der Scheibe reicht: Ein Tank, der von vorn nach hinten nur 5 cm misst, drückt genauso stark. Verdoppelt man die Tiefe auf 1,20 m, verdoppeln sich sowohl der mittlere Druck als auch die Fläche, die Kraft wächst also auf das Vierfache, etwa 10,6 kN. Da der größte Teil unten wirkt, werden Tanks und Dämme unten am stärksten gebaut.

Ein Druck-Tiefe-Diagramm lesen

Gegen die Tiefe aufgetragen ist der Druck eine Gerade mit der Steigung $\rho g$: 9,81 kPa pro Meter in Wasser, aber nur 12 Pa pro Meter in Luft. Die Gerade des Überdrucks beginnt bei null; die Gerade des Absolutdrucks ist dieselbe Gerade, um $p_0\approx 101\mathrm{kPa}$ angehoben.

Pfeile, die an einer Wand gezeichnet werden, einer pro Tiefe und so lang wie der Druck dort, umreißen ein Dreieck. Dessen Fläche mal Breite der Wand ergibt die Gesamtkraft, daher der Mittelwert des Aquariums, der die Hälfte des Bodenwerts beträgt. Um einen eingetauchten Körper sind die Pfeile unten länger als oben, und ihre Summe ist die nach oben gerichtete Auftriebskraft.

Häufige Fehler

• Mehr Wasser bedeutet nicht mehr Druck: Ein enges Rohr und ein See, beide 10 m tief, ergeben am Grund die gleichen 98 kPa.
• Druck ist keine Kraft: Die 5,4 kPa am untersten Loch drücken mit 0,54 N auf einen Stopfen von 1 cm², aber mit 5,4 N auf einen von 10 cm².
• Überdruck und Absolutdruck getrennt halten: 20 m tief im See fügt das Wasser 196 kPa hinzu, der Absolutdruck beträgt aber 297 kPa.
• Das Verhältnis der Flächen verwenden, nicht der Durchmesser: Kolben mit 3 cm und 12 cm Durchmesser vervielfachen eine Kraft um $(12/3{)}^2=16$, nicht um 4.

Wo dir das begegnet

Autoheber, Wagenheber, hydraulische Bremsen und Bagger arbeiten nach dem pascalschen Prinzip, meist mit Öl bei mehreren Megapascal. Wassertürme stehen hoch, weil jeder Meter Höhe an den Hähnen darunter 9,81 kPa hinzufügt. Und wenn du stehst, ist der Blutdruck in deinen Füßen etwa 100 mmHg (13 kPa) höher als auf Höhe deines Herzens. Als Nächstes macht „Auftrieb und archimedisches Prinzip“ den zusätzlichen Schub von unten zur Kraft, die Schiffe schwimmen lässt; „Das Bernoulli-Prinzip“ überträgt den Druck auf bewegte Flüssigkeiten.

Fortgeschritten

Warum Druck keine Richtung hat

Ein Fluid ist ein Stoff, der einer Scherung nicht widersteht: Schiebst du eine Wasserschicht seitlich, und sei es noch so sanft, fließt sie. Ein zähes Fluid wie Honig widersteht der Schergeschwindigkeit, doch im Ruhezustand trägt es keinerlei Scherspannung. In einem ruhenden Fluid steht die Kraft über jede kleine Fläche also senkrecht zu dieser Fläche, und die Kraft pro Flächeneinheit heißt Druck. Dieser Abschnitt zeigt, dass der Druck an einem Punkt eine einzige Zahl ist, dieselbe, welche Richtung die Fläche auch hat; alles Weitere in der Lektion beruht auf dieser Tatsache.

Legende

$\hat{n}$	Einheitsvektor senkrecht zur schrägen Fläche, nach außen aus dem Keil zeigend.
$p_x$	Druck auf die Fläche senkrecht zu $x$.	$\mathrm{Pa}$
$p_z$	Druck auf die Fläche senkrecht zu $z$.	$\mathrm{Pa}$
$p_n$	Druck auf die schräge Fläche.	$\mathrm{Pa}$
$dA$	Flächeninhalt der schrägen Fläche.	${\mathrm{m}}^2$
$n_{x}dA$	Flächeninhalt der Fläche senkrecht zu $x$: die schräge Fläche, darauf projiziert, mit $n_x$ als $x$-Komponente von $\hat{n}$.	${\mathrm{m}}^2$
$n_{z}dA$	Flächeninhalt der Fläche senkrecht zu $z$: die schräge Fläche, darauf projiziert, mit $n_z$ als $z$-Komponente von $\hat{n}$.	${\mathrm{m}}^2$
$x$	Waagerechte Koordinatenachse.	$\mathrm{m}$
$z$	Senkrechte Koordinatenachse, nach oben zeigend.	$\mathrm{m}$

Abbildung 1 zeigt einen kleinen Keil aus Flüssigkeit von der Seite. Betrachte seine drei Flächen. Die linke Fläche ist senkrecht, ihre Normale zeigt also entlang $x$; die untere Fläche ist waagerecht, ihre Normale zeigt entlang $z$; die schräge Fläche hat den Flächeninhalt $dA$ und einen nach außen weisenden Einheitsnormalenvektor $\hat{n}$ mit den Komponenten $n_x$ und $n_z$. Die linke und die untere Fläche sind die Projektionen der schrägen Fläche auf Ebenen senkrecht zu $x$ bzw. $z$; ihre Flächeninhalte betragen also $n_{x}dA$ und $n_{z}dA$. In der Zeichnung ist $n_x=0,6$ und $n_z=0,8$, die drei Flächeninhalte stehen also im Verhältnis $0,6:0,8:1$ und tragen 3, 4 bzw. 5 gleich lange Pfeile. Die beiden dreieckigen Enden des Keils, parallel zur Seite, drücken nur entlang $y$ und spielen deshalb für das Gleichgewicht entlang $x$ oder $z$ keine Rolle.

Nenne die Drücke auf den drei Flächen $p_x$, $p_z$ und $p_n$, ohne anzunehmen, dass sie gleich sind. Die Flüssigkeit außerhalb drückt jede Fläche nach innen. Entlang $x$ drückt die linke Fläche in Richtung $+x$ mit der Kraft $p_x{n}_{x}dA$. Die schräge Fläche wird entlang $-\hat{n}$ mit der Kraft $p_{n}dA$ gedrückt, und der $x$-Anteil dieser Kraft ist $p_n{n}_{x}dA$, in Richtung $-x$. Die untere Fläche drückt nur entlang $z$. Der Keil ruht, also heben sich die Kräfte entlang $x$ auf:
$p_x{n}_{x}dA=p_n{n}_{x}dA$
und daher $p_x=p_n$.

Entlang $z$ ergibt dieselbe Zählung $p_z{n}_{z}dA$ nach oben und $p_n{n}_{z}dA$ nach unten, doch das Gewicht des Keils geht ebenfalls ein. Das Gewicht ist proportional zum Volumen des Keils, das mit der dritten Potenz seiner Größe schrumpft, während die Oberflächenkräfte nur mit dem Quadrat schrumpfen. Teile die Bilanz durch $dA$ und lass den Keil auf einen Punkt schrumpfen: Der Gewichtsterm geht gegen null, und $p_z=p_n$.

Also $p_x=p_z=p_n$. Da die Neigung der Fläche beliebig war, ist der Druck an einem Punkt auf jeder Fläche durch diesen Punkt derselbe. Druck ist ein skalares Feld $p(\vec{r})$: eine Zahl an jedem Punkt, ohne eigene Richtung. Die Richtung einer Druckkraft kommt von der Fläche. Auf einem Flächenelement mit der Fläche $dA$ und dem nach außen weisenden Einheitsnormalenvektor $\hat{n}$ drückt die Flüssigkeit mit $d\vec{F}=-p\hat{n}dA$; das Minuszeichen bedeutet nach innen.

Die Gleichung der Hydrostatik

Der Druck ändert sich von Punkt zu Punkt, und diese Änderung hält eine Flüssigkeit gegen ihr eigenes Gewicht aufrecht. Dieser Abschnitt fasst die Idee in einer Gleichung zusammen, die den Druck überall in einer ruhenden Flüssigkeit liefert.

Legende

$dx$	Breite des Blocks entlang $x$.	$\mathrm{m}$
$dz$	Höhe des Blocks.	$\mathrm{m}$
$p(z)$	Druck auf die untere Fläche, auf der Höhe $z$; er drückt nach oben.	$\mathrm{Pa}$
$p(z+dz)$	Druck auf die obere Fläche, auf der Höhe $z+dz$; er drückt nach unten und ist der kleinere der beiden.	$\mathrm{Pa}$
$p$	Druck auf jede Seitenfläche; auf beiden gleich, da sie auf gleicher Höhe liegen.	$\mathrm{Pa}$
$\rho gdV$	Gewicht des Blocks: die Dichte $\rho$ mal $g$ mal sein Volumen $dV=dxdydz$.	$\mathrm{N}$
$x$	Waagerechte Koordinatenachse.	$\mathrm{m}$
$z$	Höhe, nach oben gemessen.	$\mathrm{m}$

Abbildung 2 zeigt einen kleinen Block ruhender Flüssigkeit, $dx$ breit, $dz$ hoch und $dy$ tief in die Seite hinein, sein Volumen ist also $dV=dxdydz$. Vergleiche die Pfeile in gegenüberliegenden Paaren. Ein gleichmäßiger Druck presst den Block von gegenüberliegenden Seiten gleich stark und erzeugt keine Nettokraft; nur ein Unterschied zwischen gegenüberliegenden Flächen kann ihn bewegen.

Beginne mit den Seiten. Die beiden Seitenflächen liegen auf gleicher Höhe und tragen denselben Druck $p$; ihre Schübe sind gleich und entgegengesetzt und heben sich auf.

Nun oben und unten. Die untere Fläche, auf der Höhe $z$, wird mit $p(z)dxdy$ nach oben gedrückt; die obere Fläche, auf der Höhe $z+dz$, mit $p(z+dz)dxdy$ nach unten. Über die kleine Höhe $dz$ ändert sich der Druck um $p(z+dz)-p(z)=(\partial p/\partial z)dz$, daher ist der Nettoschub nach oben
$[p(z)-p(z+dz)]dxdy=-\frac{\partial p}{\partial z}dV$
Der Druck ist unten größer, also ist der Druckpfeil $p(z)$ länger als der Pfeil $p(z+dz)$, und der Nettoschub zeigt nach oben. Der grüne Pfeil $\rho gdV$ ist das Gewicht des Blocks, mit $\rho$ der Dichte und $g$ der Fallbeschleunigung. Im Gleichgewicht müssen Nettoschub und Gewicht gleich sein; die Abbildung zeichnet das Gewicht genau so lang wie den Unterschied zwischen den beiden Druckpfeilen.

Dieselbe Zählung gilt für jedes Flächenpaar. Die Flächen senkrecht zu $x$ hinterlassen einen Nettoschub $-(\partial p/\partial x)dV$ entlang $x$, der für die beiden gleichen Seitenpfeile der Abbildung null ist, und die Flächen senkrecht zu $y$ hinterlassen $-(\partial p/\partial y)dV$. Die drei Paare zusammen ergeben eine Druckkraft pro Volumen von $-\nabla p$. Im Gleichgewicht hebt sie das Gewicht pro Volumen $\rho \vec{g}$ auf, also
$\nabla p=\rho \vec{g}$
Das ist die Gleichung der Hydrostatik. Mit der potentiellen Gravitationsenergie pro Masse $\varphi =gz$, für die $\vec{g}=-\nabla \varphi$ gilt, lautet sie $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$. Mit $z$ nach oben gemessen hat $\vec{g}$ nur eine $z$-Komponente, gleich $-g$, also lautet der vertikale Teil der Gleichung
$\frac{dp}{dz}=-\rho g$
und die horizontalen Teile, $\partial p/\partial x=\partial p/\partial y=0$, besagen, dass der Druck entlang einer Höhe überall gleich ist.

Bei einer Flüssigkeit ist die Dichte nahezu konstant, und die Gleichung integriert sich sofort zu $p+\rho gz=\mathrm{const}$. Die Randbedingung legt die Konstante fest: An der freien Oberfläche, in der Höhe $h$ über dem betrachteten Punkt, herrscht der Atmosphärendruck $p_0$, also
$p=p_0+\rho gh$
Hier ist $h$ die Tiefe, von der Oberfläche nach unten gemessen. Der Druck wächst mit $h$, obwohl $dp/dz$ negativ ist; die beiden Aussagen stimmen überein, weil $z$ nach oben und $h$ nach unten zeigt.

In der Expertenebene der Animation zeichnet eine sinkende Sonde dieses Gesetz nach. Sie trägt den Überdruck $p-p_0$, also den Druck über dem atmosphärischen, gegen die Tiefe $h$ auf: eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung $\rho g\approx 9,81kPa/m$, die an der tiefsten Stelle der Sonde, 71 cm tief, etwa 7,0 kPa erreicht. Der Absolutdruck $p$ ergäbe dieselbe Gerade, um $p_0\approx 101\mathrm{kPa}$ angehoben. Beide Geraden haben dieselbe Steigung, und nur die Steigung, der Gradient von $p$, übt eine Nettokraft auf die Flüssigkeit aus.

Isobaren, Niveaus und Konvektion

Die Gleichung der Hydrostatik sagt mehr als nur, wie der Druck mit der Tiefe wächst. Sie legt die Form der Flächen gleichen Drucks fest und sagt, wann eine Flüssigkeit überhaupt nicht im Ruhezustand bleiben kann.

Da $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$ gilt, ist der Gradient von $p$ an jedem Punkt parallel zum Gradienten von $\varphi$. Ein Gradient steht senkrecht auf den Flächen, auf denen seine Größe konstant ist; daher sind die Flächen gleichen Drucks, die Isobaren, zugleich Flächen konstanten $\varphi$: die Äquipotentiale der Schwerkraft. Im Labor sind das waagerechte Ebenen; im Maßstab des Planeten folgen sie der gekrümmten Form eines ruhigen Meeres. Deshalb füllen sich verbundene Gefäße bis zur gleichen Höhe: Die freie Oberfläche in jedem von ihnen gehört zur selben Isobare, $p=p_0$.

Dieselbe Gleichung zeigt, wann kein Ruhezustand möglich ist. Die Rotation eines Gradienten ist stets null, also verschwindet die Rotation von $\nabla p$, und ebenso muss die Rotation von $\rho \nabla \varphi$ verschwinden:
$\nabla \times (\rho \nabla \varphi )=\nabla \rho \times \nabla \varphi =0$
Ein Kreuzprodukt verschwindet nur, wenn seine beiden Vektoren parallel sind, also muss der Dichtegradient vertikal sein: $\rho$ muss auf jeder Höhe überall gleich sein. Erwärmst du eine Seite eines Raums oder eine Seite einer Pfanne mit Wasser, ändert sich die Dichte auf gleicher Höhe. Dann kann kein Druckfeld der Schwerkraft das Gleichgewicht halten, und die Flüssigkeit muss sich bewegen. Diese Bewegung ist die Konvektion; sie treibt Seewinde an und verteilt die Wärme eines Heizkörpers im Raum.

Pascalsches Prinzip und die Arbeit der Presse

Eine hydraulische Presse hebt ein Auto mit der Kraft einer Hand. Zwei kurze Argumente erklären, wie: eines aus dem Druckfeld, eines aus der Energie.

Zuerst das Feld. Die Gleichung $\nabla p=\rho \vec{g}$ enthält nur den Gradienten von $p$, legt den Druck also nur bis auf eine addierte Konstante fest, die die Randbedingung setzt. Erhöht man den Druck an der Begrenzung einer inkompressiblen Flüssigkeit um $\Delta p$, steigt das ganze Feld um $\Delta p$, während sein Gradient $\rho \vec{g}$ bleibt. Jeder Punkt der Flüssigkeit spürt dieselbe Zunahme: das ist das pascalsche Prinzip. In einer realen Flüssigkeit kommt die Zunahme nicht überall gleichzeitig an. Sie breitet sich als Druckwelle mit der Schallgeschwindigkeit aus, in Wasser etwa 1480 m/s, und durchquert die 1,5 m breite Presse der Animation daher in etwa einer Millisekunde.

Nun die Energie, die das Kraftverhältnis ergibt, ohne den Druck überhaupt zu erwähnen. Drücke den kleinen Kolben mit der Fläche $A_1$ um eine kleine Strecke $\delta d_1$ nach unten. Die Flüssigkeit lässt sich nicht zusammendrücken, also füllt das Volumen $A_1\delta d_1$, das den kleinen Zylinder verlässt, den großen mit der Fläche $A_2$, dessen Kolben um $\delta d_2=(A_1/A_2)\delta d_1$ steigt. Bei einer idealen Presse ohne Reibung ist die hineingesteckte Arbeit gleich der herausgeholten, $F_1\delta d_1=F_2\delta d_2$, und somit
$F_2=F_1\frac{A_2}{A_1}$
Das ist das Ergebnis, das das pascalsche Prinzip liefert, mit $F_1=\Delta p{A}_1$ und $F_2=\Delta p{A}_2$. Das Argument ist das Prinzip der virtuellen Arbeit, dasselbe, das den Hebel erklärt: Die Presse tauscht Weg gegen Kraft.

Über einen ganzen Hub überstreicht jeder Kolben dasselbe Volumen, $V=A_1{d}_1=A_2{d}_2$, also sind beide Arbeiten gleich $\Delta pV$. In der Animation ist der kleine Kolben 26 cm breit und wird mit 2452,5 N gedrückt, also ist der Druck unter ihm $\Delta p=2452,5/(\pi \cdot 0,13^2)\approx 46,2\mathrm{kPa}$. Seine Fläche beträgt $0,0531{\mathrm{m}}^2$ und sein Hub 0,48 m, also überstreicht er $V\approx 0,0531\cdot 0,48\approx 0,0255{\mathrm{m}}^3$, und $W_1=W_2=\Delta pV\approx 1177\mathrm{J}$. Das ist der größte Wert, den beide Arbeitsanzeigen am Ende des Hubs erreichen.

Gase und die exponentielle Atmosphäre

In einer Flüssigkeit ändert sich die Dichte kaum mit dem Druck; in einem Gas ist sie nahezu proportional dazu. Um zu sehen, was das für die Gleichung der Hydrostatik bedeutet, brauchen wir zuerst den Druck eines Gases in Abhängigkeit von seinen Molekülen.

Gasdruck ist der Impuls, den Moleküle pro Zeit und pro Fläche an eine Wand abgeben. Nimm eine Wand senkrecht zu $x$. Ein Molekül der Masse $m$, das mit der Geschwindigkeitskomponente $v_x$ auftrifft, prallt mit $-v_x$ zurück und übergibt daher den Impuls $2m{v}_x$. Die Moleküle mit einem gegebenen $v_x$, die in einer Zeit $dt$ eine Fläche $dA$ treffen, sind die, die sich innerhalb einer Strecke $v_{x}dt$ von ihr befinden; ihre Anzahl ist proportional zu $v_x$, also trägt jede Gruppe proportional zu $v_x^2$ bei. Nur die Hälfte der Moleküle bewegt sich auf die Wand zu, was den Faktor 2 aufhebt, und Mittelung über alle Moleküle ergibt
$p=nm\overline{v_x^2}$
wobei $n$ die Anzahl der Moleküle pro Volumen und $\overline{v_x^2}$ der Mittelwert von $v_x^2$ ist. Im thermischen Gleichgewicht hat jedes Molekül im Mittel die kinetische Energie $\frac{1}{2}kT$ für seine Bewegung entlang $x$, mit $k$ der Boltzmann-Konstante und $T$ der absoluten Temperatur. Also ist $m\overline{v_x^2}=kT$ und
$p=nkT$
Für Luft bei 101 kPa und 288 K ergibt das $n\approx 2,55\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$.

Nun die Atmosphäre, mit $m$ als mittlerer Masse eines Luftmoleküls. Die Dichte ist $\rho =nm$, also bei gleichförmiger Temperatur $\rho =mp/(kT)$: proportional zum Druck. Die Gleichung der Hydrostatik wird zu
$\frac{dp}{dz}=-\frac{mg}{kT}p$
Der Druck fällt mit einer Rate, die proportional zu ihm selbst ist, also fällt er exponentiell mit der Höhe. Mit $p_0$ als Druck auf Meereshöhe, $z=0$:
$p=p_0{e}^{-z/H},H=\frac{kT}{mg}\approx 8,4\mathrm{km}$
für Luft bei 288 K. $H$ ist die Skalenhöhe, die Höhe, über die der Druck um den Faktor $e$ fällt. Der Faktor $e^{-mgz/(kT)}$ ist der Boltzmann-Faktor, der die potentielle Energie $mgz$ eines Moleküls mit der thermischen Energie $kT$ vergleicht; hier erscheint er von der mechanischen Seite her.

Das Gesetz bewährt sich gut. Auf dem Gipfel des Everest, 8,85 km hoch, sagt es etwa 35 kPa voraus, nahe an den dort gemessenen 34 kPa; die reale Luft ist kälter als 288 K, was den Druck etwas weiter senkt. Im Jahr 1648 zeigte ein Quecksilberbarometer, das auf Pascals Wunsch auf den Puy de Dôme getragen wurde, dass die Säule um etwa 8 cm fiel, weil von oben weniger Luft drückte.

Beschleunigte Flüssigkeiten und Auftrieb

Die Gleichung der Hydrostatik gilt auch in einem Behälter, der beschleunigt wird, sofern wir im Bezugssystem des Behälters rechnen. Sie erklärt dann, warum die Oberfläche eines schwappenden Tanks kippt und, mit einem weiteren Schritt, woher der Auftrieb kommt.

Legende

$\vec{a}$	Beschleunigung des Lastwagens und seines Tanks; auch umgekehrt eingezeichnet, als $-\vec{a}$, um $\vec{g}-\vec{a}$ zu bilden.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{g}$	Fallbeschleunigung, nach unten zeigend.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{g}-\vec{a}$	Effektive Schwerkraft im Bezugssystem des Tanks; der Druck wächst entlang ihr.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	Neigung der freien Oberfläche gegen die Waagerechte, gleich dem Winkel zwischen $\vec{g}$ und $\vec{g}-\vec{a}$; $\tan \theta =a/g$.	$\mathrm{rad}$

In einem Bezugssystem, das mit $\vec{a}$ beschleunigt, spürt jedes Fluidelement neben seinem Gewicht eine Trägheitskraft $-\rho \vec{a}$ pro Volumen, also wird die Gleichung
$\nabla p=\rho (\vec{g}-\vec{a})$
Die Flüssigkeit verhält sich, als wäre die Schwerkraft $\vec{g}-\vec{a}$, die effektive Schwerkraft. Abbildung 3 zeigt einen Tank auf einem Lastwagen, der mit $\vec{a}$ nach rechts beschleunigt. Rechts in der Abbildung wird $\vec{g}-\vec{a}$ gebildet, indem man $\vec{g}$, senkrecht nach unten, und $-\vec{a}$, nach hinten zeigend, addiert: Das Ergebnis zeigt nach unten und nach hinten. Der Druck wächst entlang $\vec{g}-\vec{a}$, also stehen die gestrichelt gezeichneten Isobaren senkrecht darauf. Die freie Oberfläche ist eine dieser Isobaren, $p=p_0$; sie kippt also mit ihnen, und das Wasser staut sich an der Rückwand des Tanks.

Um die Neigung zu finden, betrachte den Winkel $\theta$ zwischen der Oberfläche und der Waagerechten. Die Oberfläche steht senkrecht auf $\vec{g}-\vec{a}$, die Waagerechte senkrecht auf $\vec{g}$, also ist $\theta$ auch der Winkel zwischen $\vec{g}$ und $\vec{g}-\vec{a}$. Im Vektordreieck rechts liegt die Seite gegenüber von $\theta$ bei $a$ und die daneben bei $g$, also
$\tan \theta =a/g$
Die Abbildung verwendet $a=g/2$, damit die Neigung gut zu sehen ist. Wasser in einem Tank auf einem Lastwagen, der mit 3 m/s² beschleunigt, steht unter einem Winkel $\theta$ mit $\tan \theta =3/9,81\approx 0,31$, also etwa 17°.

Auch der Auftrieb kommt aus demselben Feld. Die gesamte Druckkraft auf einen Körper unter der Oberfläche ist die Summe von $-p\hat{n}dA$ über seine geschlossene Oberfläche. Ein Satz der Vektoranalysis verwandelt dieses Oberflächenintegral in das Volumenintegral von $\nabla p$ über den Raum, den der Körper einnimmt. Also gilt für eine ruhende Flüssigkeit
$-\oint p\hat{n}dA=-\int \nabla pdV=-\rho \vec{g}V$
mit $V$ dem Volumen des Körpers. Diese Kraft zeigt nach oben und ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit: das archimedische Prinzip. Der Druck an der Oberfläche hängt nicht davon ab, was sie umschließt, also gilt das Ergebnis für jeden Körper. Im beschleunigten Tank ergibt dasselbe Integral $-\rho (\vec{g}-\vec{a})V$, das einen Anteil nach vorn hat; deshalb neigt sich ein Heliumballon im Auto nach vorn, wenn das Auto schneller wird.

Aufgabe: das Gewicht der Flüssigkeit in der Presse

Die Analyse der Presse oben hat das Gewicht der Flüssigkeit selbst ignoriert. Diese Aufgabe nimmt es hinzu, um zu zeigen, wie groß die Korrektur ist und wohin die Energie geht.

Legende

$A_1$	Fläche des kleinen Kolbens.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Fläche des großen Kolbens, viermal $A_1$.	${\mathrm{m}}^2$
$F_1$	Kraft, die die Hand auf den kleinen Kolben ausübt.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Kraft der Flüssigkeit auf den großen Kolben, gleich dem Gewicht des Autos.	$\mathrm{N}$
$p_1$	Druck der Flüssigkeit unter dem kleinen Kolben.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Druck der Flüssigkeit unter dem großen Kolben, $F_2/A_2$.	$\mathrm{Pa}$
$z_1$	Höhe des Kolbenbodens des kleinen Kolbens.	$\mathrm{m}$
$z_2$	Höhe des Kolbenbodens des großen Kolbens.	$\mathrm{m}$
$z_1-z_2$	Um wie viel der Boden des kleinen Kolbens höher liegt; der Druck darunter ist um $\rho g(z_1-z_2)$ niedriger.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 zeigt die Presse der Animation, mit Wasser gefüllt, am Anfang des Hubs. Betrachte zuerst die beiden Kolbenböden. Der des kleinen Kolbens, auf der Höhe $z_1$, liegt 40 cm über dem des großen Kolbens, auf der Höhe $z_2$. Während des Hubs bewegt sich der kleine Kolben 48 cm nach unten und der große 12 cm nach oben, also liegt am Ende der Boden des kleinen Kolbens 20 cm unter dem anderen.

Der große Kolben trägt das Auto, also muss die Flüssigkeit ihn mit dem Gewicht des Autos, $F_2$, nach oben drücken. Über die Fläche $A_2$ braucht das den Druck $p_2=F_2/A_2\approx 46,19\mathrm{kPa}$, während des ganzen Hubs. Der Druck fällt mit der Höhe, wie es die Gleichung der Hydrostatik sagt; also ist er unter dem kleinen Kolben, der um $z_1-z_2$ höher liegt, niedriger:
$p_1=p_2-\rho g(z_1-z_2)$
Das ist der kürzere Pfeil $p_1$ in der Abbildung. Die Hand muss dann mit $F_1=p_1{A}_1$ drücken.

Am Anfang gilt $\rho g(z_1-z_2)=9810\cdot 0,40\approx 3,92\mathrm{kPa}$; am Ende beträgt der Höhenunterschied $-0,20\mathrm{m}$ und der Term $-1,96\mathrm{kPa}$. Mit $A_1=0,0531{\mathrm{m}}^2$ muss die Hand drücken mit
$F_1=(46,19-3,92)\mathrm{kPa}\cdot 0,0531{\mathrm{m}}^2\approx 2,24\mathrm{kN}$
am Anfang und
$F_1=(46,19+1,96)\mathrm{kPa}\cdot 0,0531{\mathrm{m}}^2\approx 2,56\mathrm{kN}$
am Ende, statt der festen 2,45 kN, die man ohne das Gewicht der Flüssigkeit findet.

Der Höhenunterschied ändert sich linear während des Hubs, von $0,40$ auf $-0,20\mathrm{m}$, und mit ihm der Druck unter dem kleinen Kolben. Die Arbeit der Hand ist daher das verdrängte Volumen mal dem mittleren Druck. Der mittlere Höhenunterschied beträgt 0,10 m, also leistet die Hand
$W_1=V(p_2-\rho g\cdot 0,10\mathrm{m})=0,02548{\mathrm{m}}^3\cdot 45,21\mathrm{kPa}\approx 1152\mathrm{J}$

Das sind 25 J weniger als die 1177 J, die das Auto gewinnt, und die Differenz kommt vom Wasser selbst. Die 25,5 kg Wasser, die hinübergeschoben werden, hinterlassen eine Säule am oberen Ende des kleinen Zylinders, deren Mitte 24 cm unter der Ausgangshöhe des kleinen Kolbens liegt, und enden als Schicht unter dem großen Kolben, deren Mitte 6 cm über dessen Ausgangshöhe liegt; diese lag 40 cm tiefer. Der Schwerpunkt sinkt daher um $0,40-0,24-0,06=0,10\mathrm{m}$ und setzt $25,5\cdot 9,81\cdot 0,10\approx 25\mathrm{J}$ frei: Die Energie bleibt erhalten, sobald die Flüssigkeit mitgezählt wird. Hier erreicht die Korrektur 8,5 % der Kraft; echte Wagenheber arbeiten bei Megapascal, wo einige Kilopascal $\rho g\Delta z$ vernachlässigbar sind.

Grenzen der Gültigkeit

Jedes Ergebnis oben beruht auf einigen Annahmen, und jede davon versagt irgendwo.

Die erste ist die Abwesenheit von Scherung, die nur für eine ruhende oder als starrer Körper bewegte Flüssigkeit gilt, wie das Wasser im Lastwagen. In einer strömenden Flüssigkeit hängt der Druck auch von der Geschwindigkeit ab, und die Zähigkeit bringt Scherspannungen zurück.

Die zweite ist konstante Dichte. Sie passt für Flüssigkeiten sehr gut: Wasser verdichtet sich um etwa 0,005 % pro Atmosphäre, und selbst am Grund des tiefsten Ozeangrabens, fast 11 km tief unter rund 110 MPa, ist es nur wenige Prozent dichter. Für ein Gas gilt sie nur über Höhen, die klein gegenüber der Skalenhöhe $H$ sind: Über einen 10 m hohen Raum ändert sich der Luftdruck um 0,12 %, aber über ein Gebirge braucht man das exponentielle Gesetz.

Die dritte ist, dass Oberflächen eben sind. Wo eine Flüssigkeitsoberfläche gekrümmt ist, fügt die Oberflächenspannung einen Drucksprung über sie hinzu. In einem wassergefüllten Glasröhrchen mit Radius $r=0,5\mathrm{mm}$ senkt die Oberflächenspannung $\gamma \approx 0,072N/m$ den Druck direkt unter der gekrümmten Oberfläche um $2\gamma /r$, etwa 0,3 kPa, genug, um das Wasser rund 3 cm im Röhrchen hochzuziehen.

Die letzte ist das Kontinuum selbst. Ein glattes Feld $p(\vec{r})$ braucht Fluidelemente, die klein gegenüber der Apparatur sind, aber viele Moleküle enthalten. Ein Luftmolekül auf Meereshöhe legt zwischen zwei Stößen etwa 70 nm zurück, dort ist das leicht; oberhalb von etwa 120 km legt es mehr als einen Meter zurück, und das Kontinuumsbild versagt.

Wohin das führt

Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit ist der Ausgangspunkt mehrerer anderer Lektionen. Seine Integration über einen eingetauchten Körper ist Thema von „Auftrieb und archimedisches Prinzip“. „Das Bernoulli-Prinzip“ erweitert $p+\rho gz=\mathrm{const}$ auf bewegte Flüssigkeiten, indem es $\frac{1}{2}\rho v^2$ hinzufügt; daher stammt die Ausflussgeschwindigkeit $\sqrt{2gh}$. „Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit“ bringt die Scherung zurück, die eine ruhende Flüssigkeit nicht hat. Der molekulare Ursprung von $p=nkT$ wird in „Kinetische Gastheorie“ hergeleitet, die Konvektion kehrt in „Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung“ zurück, und der Tausch von Kraft gegen Weg der Presse ist derselbe, den man in „Einfache Maschinen: Hebel, Rollen und Zahnräder“ findet. Schall schließlich ist eine kleine, schnelle Welle des Drucks und Thema von „Schall und Doppler-Effekt“.