波的基础

入门

想象体育场里的人浪：每位观众只是站起来又坐下，但举起的手臂形成的隆起却能沿看台一路跑完全场。波就是这样：扰动从一处传到另一处并携带能量，而介质本身停在原地。湖上的小船随涟漪起伏，但涟漪不会把它带到岸边。

动画中，一只手抖动绳子的一端。金色圆点随波峰（即最高点）稳定地向右移动，而红色小珠只沿着虚线上下晃动。

波分为两类。在绳子上，每一小段都垂直于传播方向运动：这是横波。下方的弹簧中，线圈沿传播方向来回运动，时而挤在一起、时而散开：这是纵波。空气中的声音就属于这一类。

描述规则波有四个概念。波长是相邻两个波峰之间的距离；振幅是波峰高出平衡线的高度；频率是每秒有多少个波峰经过某一点，单位为赫兹（Hz）；波速是波峰每秒传播的距离。如果每秒有 2 个波峰经过你，且它们相隔 3 米，那么波每秒传播 $2\times 3=6$ 米：速度 = 频率 × 波长。

波速由介质决定，而不是由手决定。抖得更快，每秒就有更多波峰发出，因此它们必须靠得更近。

自测：你抖动绳子的频率提高到三倍，波长会怎样变化？（变为原来的三分之一；波速不变。）

中级

什么在运动，我们测量什么

波是一种在介质中传播并携带能量的扰动，而介质的每一部分只是绕其平衡位置振动。在抖动的绳子上，每一小段都会在稍后时刻复制其相邻部分的运动：运动被一段段传递下去，而绳子本身并不前移。动画中，波峰向右奔跑，而红色小珠只沿着虚线上下晃动。

在绳子上，每一小段都与传播方向成直角运动：这是横波。在下方的弹簧中，线圈沿传播方向来回运动，挤成密部、散成疏部：这是纵波。空气中的声音是纵波，因为气体抵抗压缩，但不抵抗侧向剪切。光也是横波，振荡的是电场和磁场，而不是物质。

位移 $y$ 是某点偏离平衡位置（虚线）的距离，单位为米；振幅 $A$ 是最大位移，即从平衡线到波峰的距离。波长 $\lambda$ 是空间中一个完整周期的长度，即相邻波峰之间的距离。周期 $T$ 是某点完成一次完整振动所需的时间，频率 $f$ 是每秒振动的次数，单位为赫兹（Hz）。

每个周期移动一个波长

观察一个波峰。它下方的质点完成一次完整振动时，下一个波峰恰好到达第一个波峰所在的位置：在一个周期 $T$ 内，波形恰好向前移动一个波长，因此其速度为 $\lambda /T$。由于频率是每秒的周期数，本课的两个关键关系是：

• $f=\frac{1}{T}$
• $v=f\lambda$

这两个关系适用于所有周期性的波，无论是绳子上的波、空气中的声波，还是光波。$v$、$f$ 和 $\lambda$ 中任意两个都可以求出第三个。不过，这一关系并未说明哪个量是固定的：那是介质和波源的职责。

介质决定波速

扰动被传递的快慢仅取决于介质：取决于介质的回复作用有多强，以及需要带动多少质量运动。对于张力为 $F$（单位为牛顿）、线密度为 $\mu$（单位为 kg/m）的弦线或绳子，
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

拉得越紧，波传得越快；绳子越重，波速越慢；张力增至四倍，波速则变为两倍。声音在 20 °C 空气中约为 343 m/s，在水中为 1480 m/s，在钢中为 6000 m/s；光在真空中为 $3.00\times 10^{8}m/s$。

波源决定频率：手或扬声器决定每秒发出多少个周期，波长随之确定，$\lambda =v/f$。进入新介质时，每一点都以相同的速率受到前一点的驱动，因此 $f$ 保持不变，而 $v$ 与 $\lambda$ 同时改变。所携带的能量与振幅的平方成正比：$A$ 加倍，每秒携带的能量变为四倍。

例题：动画中的绳子

红色小珠每 2 s 完成一次振动，紫色双箭头跨越一个波长，即 2 m。因此
$f=1/T=1/2=0.5\mathrm{Hz}$
$v=f\lambda =0.5\cdot 2=1m/s$
这些是动画顶部显示的数值。在每个周期内，紫色箭头随波峰前进 2 m，然后跳回画面看起来相同的位置。

小珠距手 3 m，因此手的运动经过 $3/1=3\mathrm{s}$ 才能传到它那里，即一个半周期：小珠与手相差半个周期。手处于最低点 $-0.3\mathrm{m}$ 时，小珠恰好处于最高点 $+0.3\mathrm{m}$；红色读数在这两个数值之间摆动，即金色箭头 $A$ 所标示的振幅。每个周期内，小珠上下运动的路程为 $4A=1.2\mathrm{m}$，在绳子上的平均速率为 0.6 m/s，而每个波峰沿绳子前进 2 m。弹簧中的密部同样相隔 2 m。

例题：两根绳子相连

一根线密度为 0.040 kg/m 的轻绳与一根线密度为 0.160 kg/m 的重绳相连，两根绳子各长 6 m，张力均为 36 N。你每秒抖动轻绳 5 次。在每根绳上，
$v_1=\sqrt{36/0.040}=\sqrt{900}=30m/s,{\lambda }_1=30/5=6\mathrm{m}$
$v_2=\sqrt{36/0.160}=\sqrt{225}=15m/s,{\lambda }_2=15/5=3\mathrm{m}$
两根绳子的频率都是 5 Hz，因为连接点带动重绳振动的频率与它自身被抖动的频率相同。线密度增至四倍，波速减半，波长也随之减半。

脉冲穿过轻绳需要 $6/30=0.2\mathrm{s}$，穿过重绳需要 $6/15=0.4\mathrm{s}$，总计 0.6 s。每列波都有一部分会从连接点反射回来：反射就从这里开始。

快照与历史图像

快照图以某一时刻的位置 $x$ 为横坐标绘出 $y$，与绳子本身相似，它显示波长和振幅。历史图则针对某一点，以时间 $t$ 为横坐标绘出 $y$，像高级视图中红色小珠的图像，它显示周期。两者都是高度相同的正弦曲线，一个每 2 m 重复一次，另一个每 2 s 重复一次；二者之比即为 1 m/s 的波速。

纵波的绘制方式相同，只是把沿弹簧方向的位移画在纵轴上，因此曲线看起来像横波。阅读时需注意：密部并不是位移最大的地方，而是恰好位于平衡位置、两侧相邻线圈都向它靠拢的线圈处。再过半个波长，两侧线圈被拉开：这就是疏部。

常见错误

• 抖得更快并不会让波传得更快：在张力为 36 N 的轻绳上，每秒抖 10 次时波速仍为 30 m/s；只是波长从 6 m 缩短到 3 m。
• 波速不等于介质质点的运动速度：红色小珠的平均速率为 0.6 m/s，若振幅增大则更大，而波峰以稳定的 1 m/s 传播。
• 振幅是从平衡线量起的：绳子从最低点到最高点的跨度为 0.6 m，但 $A=0.3\mathrm{m}$。
• 从波峰到波谷是半个波长，从最高点到最低点是半个周期：某点从最高点到最低点用时 0.25 s，则 $T=0.5\mathrm{s}$，$f=2\mathrm{Hz}$。

应用实例

声音每千米约需 3 s，因此闪电与雷声之间的时间差可用来估算风暴的距离。可听声的频率为 20 Hz 至 20 kHz，其波长从 17 m 到 1.7 cm；医用超声波频率为 5 MHz，在组织中的速度约为 1540 m/s，波长为 0.3 mm，足以显示跳动的心脏。地震会在地下同时传播两种波，而横波无法穿过地球的外核，由此我们得知外核是液态的。

接下来是声音与多普勒效应、驻波、干涉与叠加、反射与折射，以及电磁波。

高级

能够滑动的形状

波是一种扰动，它传播时介质本身保持原位：绳上每一点只上下运动，但一个形状沿绳子跑动。要研究波，我们需要一个函数，给出每个时刻每个点的位移，并且需要知道当一个形状在移动而不变形时，该函数采取什么形式。

图例

$y$	绳子相对其平衡线的位移。	$\mathrm{m}$
$x$	沿绳子的位置；虚线脉冲上的圆点位于 $x$ 处。	$\mathrm{m}$
$t$	时间：实线脉冲是 $t=0$ 时的绳子，虚线是经过时间 $t$ 后的绳子。	$\mathrm{s}$
$v$	波的速度，朝向 $+x$。	$m/s$
$vt$	时间 $t$ 内形状移动的距离。	$\mathrm{m}$
$x-vt$	实线脉冲上圆点的位置，其高度现在出现在 $x$ 处。	$\mathrm{m}$

记 $y(x,t)$ 为绳子在位置 $x$、时刻 $t$ 的横向位移。图 1 所示是一个左陡右缓的不对称脉冲，可以看到整个形状被完整地携带向前。实线是 $t=0$ 时的绳子，其形状记为 $y=f(x)$，这里 $f$ 只表示形状，而不是频率。虚线是经过时间 $t$ 后的同一根绳子。在这段时间里，形状向 $+x$ 方向以速度 $v$ 移动，因此移动了距离 $vt$，该距离标在坐标轴下方。

现在看两个圆点。右边的点在虚线上，位置为 $x$。左边的点在实线上，位于其后方距离 $vt$ 处，即 $x-vt$。连接二者的水平虚线表明它们高度相同：移动的形状只是把这一高度向前带了 $vt$。对每一点都是如此，因此位置 $x$ 在时刻 $t$ 的高度，就是零时刻位于 $x-vt$ 处的高度：
$y(x,t)=f(x-vt)$

一切都取决于单一组合 $x-vt$。保持它为常数 $x-vt=x_1$，就选出了形状的某个特征（例如某个峰），而该特征位于 $x=x_1+vt$：它以速度 $v$ 向前移动，这正是应有的结果。用同样的论证，向 $-x$ 方向移动的形状具有 $g(x+vt)$ 的形式。

最重要的形状是正弦。设其波长为 $\lambda$（相邻波峰之间的距离），周期为 $T$（某点完成一个完整周期所用的时间）。正弦的自变量称为相位，它必须增加 $2\pi$：当 $x$ 增加 $\lambda$ 时，以及当 $t$ 增加 $T$ 时，都是如此。以下表达式同时满足这两个要求：
$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)$
$k=\frac{2\pi }{\lambda }$
$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$
其中 $A$ 为振幅，$f=1/T$ 现在为频率。波数 $k$ 表示每米绳子上的相位弧度数，角频率 $\omega$ 表示每秒的相位弧度数。要求速度，把 $k$ 从相位中提出：$kx-\omega t=k(x-(\omega /k)t)$。因此，该正弦对 $x$ 与 $t$ 的依赖仅体现为 $x-vt$ 这一组合，其中
$v=\frac{\omega }{k}=f\lambda$

在动画中 $k=\pi rad/m$，$\omega =\pi rad/s$，因此波长为 2 m，周期为 2 s，速度为 1 m/s。以手为原点测量 $x$，绳子为 $y=0.3\sin (\pi x-\pi t)$，单位分别为米和秒。加入相位常数，即 $A\sin (kx-\omega t+\phi )$，只会改变波开始时所处的周期位置。

弦线的牛顿定律

到目前为止我们只描述了一个移动的形状。现在要问：弦上的扰动为什么会传播，以及是什么决定它的速度。答案来自对一小段弦应用牛顿第二定律。

图例

$x$	该段左端的位置。	$\mathrm{m}$
$x+dx$	该段右端的位置。	$\mathrm{m}$
$dx$	该段沿 $x$ 方向的长度。	$\mathrm{m}$
$\mu dx$	该段的质量，$\mu$ 为单位长度的质量。	$\mathrm{kg}$
$F$	张力：其余部分的弦在每一端沿弦方向对该段施加的拉力。	$\mathrm{N}$
${\theta }_1$	左端拉力与水平方向的夹角。	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	右端拉力与水平方向的夹角。	$\mathrm{rad}$
$F_y$	该段的净横向力：两个拉力横向分量之和。	$\mathrm{N}$

图 2 显示位于 $x$ 与 $x+dx$ 之间的一小段弦，该处弦是弯曲的。若 $\mu$ 为单位长度的质量，这一段的质量为 $\mu dx$。其余部分的弦沿弦的方向，在两端以张力 $F$ 拉它，与水平方向分别成 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$ 角。

把每个拉力分解为水平分量和横向分量；每端的虚线表示这种分解。当角度很小时，两个水平分量都非常接近 $F$，且方向相反，因此相互抵消。每个拉力的横向分量为 $F\sin \theta$。对于小角度，$\sin \theta \approx \tan \theta$，而 $\tan \theta$ 恰好是弦的斜率 $\partial y/\partial x$。因此每端的横向分量等于 $F$ 乘以该端的弦斜率。

图中左端斜率为负，右端斜率为正，因此两端的横向分量都向上并且相加。一般而言，左端被拉向 $-x$，右端被拉向 $+x$，因此它们的横向分量符号相反：净横向力为 $F$ 乘以 $x+dx$ 处的斜率，减去 $F$ 乘以 $x$ 处的斜率。跨越长度 $dx$ 的斜率差为 $({\partial }^{2}y/\partial x^2)dx$，所以
$F_y=F\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}dx$

因此，直的一小段不受净力，而弯曲的一小段会被拉向其弯曲的内侧，如箭头 $F_y$ 所示。对这一小段应用牛顿第二定律得 $\mu dx{\partial }^{2}y/\partial t^2=F_y$，两边除以 $\mu dx$ 得到
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{F}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

这就是波动方程。用文字说：每一小段弦的加速度与该处弦的弯曲程度成正比。第一节中滑动的形状 $y=f(x-vt)$（其中 $f$ 同样只表示形状）满足它吗？对 $t$ 每求一次导数，由链式法则得到一个因子 $-v$；对 $x$ 每求一次导数得到因子 1，因此 ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{f}^{\prime \prime }$，${\partial }^{2}y/\partial x^2=f^{\prime \prime }$，其中 $f^{\prime \prime }$ 是形状的二阶导数。于是方程变为 $v^2{f}^{\prime \prime }=(F/\mu )f^{\prime \prime }$。这对任何形状都成立，只要
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

张力提供回复力，单位长度的质量提供惯性，正如弹簧振子中劲度系数与质量所起的作用：拉得越紧的弦，波传播越快；越重的弦，波越慢。推导中隐含着两个近似。拉力的水平分量 $F\cos \theta \approx F$ 被认为相互抵消，因此每一小段只沿横向运动；并且假设张力处处相同。两者都要求斜率很小，即 $|\partial y/\partial x|\ll 1$。

声音：气体中的同一定律

声音同样属于力学。在空气中，回复力来自压强而非张力，而且气体沿传播方向运动，而非垂直于传播方向。本节推导气体的波动方程，并由此得出声速。

图例

$x$	该层左面的静止位置。	$\mathrm{m}$
$x+dx$	该层右面的静止位置。	$\mathrm{m}$
$dx$	该层静止时的厚度。	$\mathrm{m}$
$s$	左面相对其静止位置沿 $x$ 方向的位移。	$\mathrm{m}$
$s+ds$	右面的位移；$ds$ 是它比左面多移动的量。	$\mathrm{m}$
$dx+ds$	位移后该层的厚度。	$\mathrm{m}$

在声波中，每一薄层气体都沿 $x$ 方向来回运动，正如动画中弹簧的线圈。设 $s(x,t)$ 为位于 $x$ 处的那一层沿 $x$ 方向的位移。图 3 跟踪了气体静止时位于 $x$ 与 $x+dx$ 之间的一层（上排）。在下排中，声波使气体发生了位移。该层的左面移动了 $s$，右面移动了 $s+ds$，两者移动量不同，因此该层现在的厚度为 $dx+ds$。图中 $ds$ 为负：右面向后移动，该层被压缩，其中的气体更稠密。

从这幅图到波动方程有三步联系。

第一，质量守恒。两个面移动的量相差 $ds=(\partial s/\partial x)dx$，因此同样的质量现在占据的厚度为 $(1+\partial s/\partial x)dx$。密度与厚度成反比，因此当 $\partial s/\partial x$ 很小时，密度变化为 $\delta \rho \approx -{\rho }_0\partial s/\partial x$，其中 ${\rho }_0$ 为静止时的密度。

第二，压强取决于密度。对于微小变化，$\delta P=(dP/d\rho {)}_0\delta \rho$，其中下标 0 表示导数是在静止气体中取的。

第三，该层的牛顿定律。每单位面积上，该层的质量为 ${\rho }_{0}dx$。左面的压强推动它向 $+x$，右面的压强推动它向 $-x$，因此每单位面积的净力为其两面间压强的降低量 $-(\partial \delta P/\partial x)dx$。两边除以 $dx$，得 ${\rho }_0{\partial }^{2}s/\partial t^2=-\partial \delta P/\partial x$：该层被推离压强较高的一侧。

将三者串联：把 $\delta \rho$ 代入 $\delta P$，再把 $\delta P$ 代入牛顿定律，然后除以 ${\rho }_0$：
$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2},c^2={\left(\frac{dP}{d\rho }\right)}_0$

这与弦的波动方程相同，而 $c$ 即为声速。哪一个导数 $dP/d\rho$ 才是正确的，取决于气体被压缩时温度如何变化。牛顿假设温度保持不变，从而 $P\propto \rho$；于是 $c=\sqrt{P_0/{\rho }_0}\approx 290m/s$，即 20 °C 空气中的值，比测得的 343 m/s 低约 15%。拉普拉斯发现了这一缺陷：热量来不及从温度升高的密部流向温度降低的疏部。在 1 kHz 时，热量在半个周期内只扩散约 0.1 mm，而一个密部与紧邻的疏部相距 17 cm。因此每一层都是在不交换热量的情况下被压缩的，这是一个绝热过程，其中空气的 $P\propto {\rho }^{\gamma }$，$\gamma =1.40$。于是 $dP/d\rho =\gamma P/\rho$，且
$c=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma k_{B}T}{m}}$

第二种形式利用了理想气体定律 $P_0={\rho }_0{k}_{B}T/m$。这里 $T$ 是绝对温度，而不是周期，$m$ 是一个分子的质量，$k_B$ 为玻尔兹曼常数。压强被消去了，因为在温度固定时，压强越高，密度也按比例越高。声速只取决于气体及其温度：0 °C 时为 331 m/s，20 °C 时为 343 m/s。再与分子本身比较：它们的方均根速率为 $\sqrt{3k_{B}T/m}$（参见气体分子动理论），在 20 °C 时为 502 m/s，因此 $c$ 约为其 $\sqrt{\gamma /3}\approx 0.68$ 倍。通过分子间碰撞逐个传递的压强信号，传播得比携带它的分子略慢。

快照、历史与图像

波依赖于两个变量，因此可以用两种方式作图：整根绳子在某一时刻的形状，或绳子上某一点随时间的变化。本节说明，对于行波而言这两幅图是同一条曲线，以及这意味着每一点如何运动。

图例

$y$	绳子相对其平衡线的位移。	$\mathrm{m}$
$x$	沿绳子的位置，从手处测量。	$\mathrm{m}$
$t$	时间。	$\mathrm{s}$
$x_0$	红色小珠的位置。	$\mathrm{m}$
$v$	波的速度，朝向 $+x$。	$m/s$
$\partial y/\partial x$	快照中小珠处绳子的斜率：上方的切线。
$\partial y/\partial t$	小珠的速度：其历史曲线的斜率，即下方的切线。	$m/s$

把 $y(x,t)$ 看作 $(x,t)$ 平面上的一个曲面；图 4 以两种方式切割它。上方曲线是快照，即某一时刻的切片：$t=0$ 时的绳子，$y=0.3\sin (\pi x)$。下方曲线是历史，即某一位置的切片：位于 $x_0=3\mathrm{m}$ 处的红色小珠，即高级视图中的图像。由于 $\sin (3\pi -a)=\sin a$，小珠的运动为 $y=0.3\sin (3\pi -\pi t)=0.3\sin (\pi t)$：周期为 2 s 的正弦，从零开始上升。位于 $x=0$ 的手运动为 $-0.3\sin (\pi t)$，即同一曲线上下颠倒。虚线连接了 $t=0$ 时小珠在两幅图中的位置。

这两个切片为什么相关？因为 $y$ 仅通过 $x-vt$ 依赖于 $x$ 和 $t$，由链式法则得 $\partial y/\partial x=f^{\prime }$，$\partial y/\partial t=-v{f}^{\prime }$。因此
$\frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}$

绳上某点的运动速度等于负的波速乘以该处的局部斜率。这很合理：若绳子在 $+x$ 方向上向下倾斜，则后方较高的部分正在到达，因此该点上升。在图 4 中，$x$ 轴与 $t$ 轴刻度相等，且 $v=1m/s$，所以下方曲线就是上方曲线左右翻转的结果，关于虚线成镜像。看小珠处的两条切线：快照中斜率向下，$\partial y/\partial x=-kA$；历史中斜率向上，$\partial y/\partial t=+\omega A$。

绳子穿过平衡线的地方（如小珠处），其斜率绝对值最大，为 $kA$，该点的速度也最大，为 $vkA=\omega A$；在波峰处两者都为零。动画中 $kA=0.3\pi \approx 0.94$，因此小珠的最大速度为 0.94 m/s，几乎等于波速，其图像开始时就带有这一斜率。

连续应用两次该规律即可回到波动方程 ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{\partial }^{2}y/\partial x^2$：某点的加速度等于 $v^2$ 乘以该处绳子的曲率。波峰是曲率最大的地方，因此在那里向下的加速度最大，为 ${\omega }^{2}A=0.3{\pi }^2\approx 2.96m/{\mathrm{s}}^2$。对于正弦，${\partial }^{2}y/\partial x^2=-k^{2}y$，所以每一点都满足 ${\partial }^{2}y/\partial t^2=-{\omega }^{2}y$。波就是一排简谐振子，正如简谐运动中的那些，每一个都比其邻居稍稍落后。

叠加：波的相加

波动方程是线性的：$y$ 及其导数只以一次幂出现。因此若两个函数都满足该方程，它们的和也满足。两个相向传播的脉冲在重叠处相加，之后仍保持各自形状不变；在长绳上，一般解为 $f(x-vt)+g(x+vt)$，其中 $f$ 和 $g$ 是任意两个形状，这是达朗贝尔于 1747 年证明的。干涉、拍和驻波都是叠加。

线性也可以反过来用：任何形状都可以表示为若干正弦之和。每个正弦以各自的 $\omega /k$ 传播；在理想弦上，所有正弦的速度都相同，为 $v$，因此它们的和，即形状本身，不变地传播。光遵循同一方程，只不过它是由麦克斯韦方程而非牛顿定律导出的。

波携带的能量

能量随形状一起传播。每米弦具有动能 $\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$。它还具有势能 $\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$，因为倾斜的一小段比 $dx$ 长约 $\frac{1}{2}(\partial y/\partial x{)}^{2}dx$，而张力对拉伸它做了功。对于行波，$\partial y/\partial t=-v\partial y/\partial x$ 且 $F=\mu v^2$，使得两者在每一点都相等。

对于正弦，每米动能为 $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2{\cos }^2(kx-\omega t)$，在一个周期内平均为 $\frac{1}{4}\mu {\omega }^2{A}^2$。再加上与之相等的势能，总能量为每米 $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2$。该能量以 $v$ 的速度移动，因此通过任一点的平均功率为
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$

它与 $A^2$ 及 ${\omega }^2$ 成正比。两根绳子相接处，乘积 $\mu v$ 的跃变会把部分波反射回去。对于中级例题中的绳子，$\mu v$ 加倍，从 1.2 增至 2.4 kg/s；反射振幅为入射振幅的 $(1.2-2.4)/(1.2+2.4)=-1/3$，即三分之一的振幅倒相返回；由于功率与振幅的平方成正比，因此九分之一的功率被反射。

例题：为绳子供能

设动画中的绳子 $A=0.3\mathrm{m}$，$\omega =\pi rad/s$，$v=1m/s$，$\mu =0.2kg/m$，并放在光滑地面上，横向抖动，使重力不起作用。它需要多大的张力？手必须提供多大功率？若手抖动频率加倍，会怎样？

张力由 $v=\sqrt{F/\mu }$ 求得，功率由上面的公式求得：
$F=\mu v^2=0.2\cdot 1^2=0.2\mathrm{N}$
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v=\frac{1}{2}\cdot 0.2\cdot {\pi }^2\cdot 0.3^2\cdot 1\approx 0.089\mathrm{W}$

通过计算能量来核对功率。绳子每米储存 $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2\approx 0.089\mathrm{J}$，因此一个波长（2 m 绳子）约储存 0.18 J。在每个 2 s 周期中，手提供 $0.089\cdot 2\approx 0.18\mathrm{J}$，恰好为该数值：每个周期，手都为一个波长的绳子注入一份能量。

现在以相同振幅以 1 Hz 抖动。波速由 $F$ 和 $\mu$ 单独决定，因此仍为 1 m/s，而波长变为 $\lambda =v/f=1\mathrm{m}$。功率与 ${\omega }^2$ 成正比，增至四倍，约为 0.36 W。要保持 89 mW，$\omega A$ 必须保持不变，因此振幅必须减半，为 0.15 m。此时最大斜率 $kA$ 仍为 0.94，小珠的最大速度 $\omega A$ 也不变。在给定的介质中，功率由运动质点的峰值速度 $\omega A$ 决定，而不仅仅由振幅决定。

适用范围的限制

我们沿途做了三个假设：斜率很小、介质光滑连续，以及所有频率的波速相同。

斜率很小。推导的每一步都使用了 $\sin \theta \approx \tan \theta$ 和 $\cos \theta \approx 1$。斜率为 0.1 时，被忽略的项约为百分之零点五；而动画中斜率为 0.94（为了看清而画得很大），被忽略的项将达到百分之几十。一根真实吉他弦，振幅 1 mm，波长 1.3 m，其 $kA\approx 0.005$。对于声音，同一条件是 $\delta P\ll P_0$：即使是令人痛苦的 120 dB 声音，压强振幅也只有约 28 Pa，即大气压的 $3\times 10^{-4}$。在爆炸中该条件不再成立：被压缩和加热的部分传播得更快，超过了它前方的部分，波前变得陡峭而形成冲击波。

连续介质。把气体当作光滑连续体，要求波长远大于平均自由程，即分子两次碰撞之间的平均距离，在空气中约为 70 nm。可听声的波长从 1.7 cm 到 17 m，是安全的；但频率接近 1 GHz 的超声，$\lambda \approx 0.34\mu \mathrm{m}$，会在很短的距离内被吸收。

所有频率的波速相同。只有当 $v$ 不依赖于频率时，波形才能保持。深水波的 $v=\sqrt{g\lambda /(2\pi )}$：波长 2 m 时为 1.8 m/s，波长 8 m 时为 3.5 m/s；光在玻璃中，蓝光比红光慢。这类波称为色散波：脉冲在传播中会展宽，其能量以群速度 $d\omega /dk$ 移动，对深水波而言，它是波峰速度的一半。

后续内容

声音与多普勒效应处理运动的波源和观察者；响度、声强与分贝把 $\bar{P}\propto A^2$ 转换为分贝；驻波与干涉与叠加应用线性叠加；反射与折射，以及棱镜、色散与颜色，讨论在不同介质之间或随频率变化的速度；电磁波由同一方程推导光速。在波粒二象性中，频率与能量成正比，波数与动量成正比；薛定谔方程与隧穿效应描述的则是本质上具有色散性的波。