浮力与阿基米德原理

入门

潜到游泳池底部时，你会感觉到水压在耳朵上。水会从各个方向压迫其中的一切，而且越深压得越重，因为下方的水托着上方所有的水。

现在想象水中有一个木块。它的底部比顶部更深，因此水对底部向上的推力比对顶部向下的压力更大。两者之差就是向上的推力：浮力。

它有多大？想象一个装满水的薄塑料袋静止地悬在池中。它既不下沉也不上浮，因此周围的水必须恰好托住它的重量。把袋子换成同样形状的石头：水分辨不出区别，向上的推力同样大。这就是阿基米德原理：浮力等于物体排开的流体的重量。每排开一升水，就产生约 9.8 N 的向上托力，因此在水中，你只需提起物体的重量减去这个推力。

重量超过其所能排开的水的物体会下沉。重量较轻的物体会漂浮，并下沉到所排开的水的重量恰好与它的重量相等的深度。在动画中，木块先上下浮动，然后当“水向上推”的箭头与“重力”箭头一样长时，木块停在有 60 % 高度浸在水下的位置。空气也是流体：热气球之所以上升，是因为它的重量小于所排开的空气的重量。

自我检测：一块 3 升的岩石躺在湖底。你在水下提起它时，会感觉轻了多少？答案：轻了相当于 3 升水的重量，约 29 N。

中级

密度与压强的含义

物体能否漂浮由密度决定，密度即单位体积的质量：
$\rho =\frac{m}{V}$

其单位为 kg/m³。淡水的密度为 1000 kg/m³，因此一升水的质量为 1 kg；冰的密度为 920 kg/m³，钢约为 7850 kg/m³。对于空心或由多种材料组成的物体，$\rho$ 为平均密度：即其总质量除以外表面所包围的整个体积。

压强是单位面积上的压力，单位为帕斯卡（$1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$）。静止的流体对每个表面都垂直施压，且随深度增加而增大，因为每一层都承受其上方流体的重量：
$p=p_0+\rho gh$

其中 $p_0$ 为液面处的压强，约为 101 kPa，$h$ 为深度；水每增加 1 米深度，压强约增加 9.8 kPa，这一点在《流体压强与帕斯卡原理》中有所说明。

浮力的来源

取一个高为 $H$、上下底面面积为 $A$ 且完全浸没在水中的方盒。其底部比顶部深 $H$，因此底部压强高出 $\rho gH$，底部向上的推力超过顶部向下的压力：
$F_{\mathrm{up}}-F_{\mathrm{down}}=\rho gHA=\rho gV$

侧面的压力两两抵消，$p_0$ 和盒子所在的深度都会消去：合推力向上，等于盒子所排开的水的重量，并且在任何深度都相同。

对于任意其他形状，可以设想物体所占的位置充满了水。这块水保持静止，因此周围的水恰好以其重量托住它，而无需知道表面之内是什么。这就是阿基米德原理：浸入流体中的物体，受到一个向上的浮力，其大小等于所排开的流体的重量，
$F_b={\rho }_{\mathrm{fluid}}{V}_{\mathrm{sub}}g$

应使用流体的密度，而不是物体的密度，并且只取液面以下的体积 $V_{\mathrm{sub}}$。

下沉、漂浮或悬浮

完全浸没时，$V_{\mathrm{sub}}=V$：重力 ${\rho }_{\mathrm{object}}Vg$ 与推力 ${\rho }_{\mathrm{fluid}}Vg$ 相对，因此只有两种密度起作用。

• 若 ${\rho }_{\mathrm{object}}>{\rho }_{\mathrm{fluid}}$，则在任何深度重力都占优，物体下沉，无论它有多大。
• 若 ${\rho }_{\mathrm{object}}<{\rho }_{\mathrm{fluid}}$，则推力占优，物体上升直到部分露出水面。
• 若两种密度相等，则物体可以悬浮在任意深度，如同鱼或调整好的潜艇。

漂浮物体只会下沉到其所排开的流体的重量恰好等于自身重量为止，即 ${\rho }_{\mathrm{fluid}}{V}_{\mathrm{sub}}g={\rho }_{\mathrm{object}}Vg$，因此位于液面以下的比例就是两种密度之比：
$\frac{V_{\mathrm{sub}}}{V}=\frac{{\rho }_{\mathrm{object}}}{{\rho }_{\mathrm{fluid}}}$

冰在淡水中漂浮时有 92 % 浸没。在约 1025 kg/m³ 的海水中，冰山有 $920/1025\approx 0.90$ 的体积位于水面以下：只有十分之一露在外面。

例题：动画中的木块

图中标注的 $h$ 不是深度，而是木块的高度，为 0.5 m。截面积为 $A=0.7\mathrm{m}\times 0.1\mathrm{m}=0.07{\mathrm{m}}^2$，因此 $V=0.035{\mathrm{m}}^3$，${\rho }_b=600kg/{\mathrm{m}}^3$ 为木材的密度（${\rho }_w$ 为水的密度）。质量和重量分别为
$m={\rho }_{b}V=600\cdot 0.035=21\mathrm{kg},mg=21\cdot 9.81\approx 206\mathrm{N}$
即绿色的 $mg$ 箭头。若木块完全浸没在水中，它将受到 $1000\cdot 0.035\cdot 9.81\approx 343\mathrm{N}$ 的向上推力，大于其重量，因此它会漂浮。

静止时 $F_b=mg$，因此 $V_{\mathrm{sub}}=206/(1000\cdot 9.81)=0.021{\mathrm{m}}^3$，浸入深度为 $d=V_{\mathrm{sub}}/A=0.30\mathrm{m}=0.6h$，即与漂浮规律中的比值 $600/1000$ 一致，位于虚线所在的水位。压强也吻合：底面深 0.30 m，比顶面多承受 $1000\cdot 9.81\cdot 0.30\approx 2943\mathrm{Pa}$ 的压强，$2943\cdot 0.07\approx 206\mathrm{N}$。

读数遵循 $F_b={\rho }_{w}gAd$：深度每增加 1 厘米，浮力增加 6.9 N。若木块在水面上方 5 cm 处释放，它会以约 1 m/s 的速度撞击水面并向下冲，完全没入水中约四分之一秒：$d$ 增至 50 cm，$F_b$ 达到最大值 343 N，从而将木块弹回。经过几次逐渐衰减的摆动后，读数最终稳定在 $d\approx 30\mathrm{cm}$，$F_b$ 与 206 N 相差仅几牛。

例题：在水中称量石头

用弹簧秤挂着一块石头，在空气中示数为 24.5 N，完全浸没在水中时示数为 14.7 N。求它的体积和密度。

在水中，弹簧秤显示的是视重，即真实重量减去浮力，因此 $F_b=24.5-14.7=9.8\mathrm{N}$，也就是所排开的水的重量：
$V=\frac{F_b}{{\rho }_{\mathrm{fluid}}g}=\frac{9.8}{1000\cdot 9.81}\approx 1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$
即一升。质量为 $24.5/9.81\approx 2.5\mathrm{kg}$，因此 $\rho =m/V\approx 2500kg/{\mathrm{m}}^3$，与岩石相符。还有更快的方法：重量除以水中减轻的重量，$24.5/9.8=2.5$，即相对于水的密度。

相传阿基米德曾用排开的水来检验国王的王冠。同样重量的纯金（19 300 kg/m³）在水中仅减轻 1.3 N，因此掺入较轻银子的金子会因减轻更多而露出破绽。

读懂箭头与虚线

绿色的 $mg$ 箭头长度保持不变，而红色的 $F_b$ 箭头与浸入深度成正比增长。当木块底部在虚线之上时，红色箭头较短，合力向下；在虚线之下时，合力向上。每偏离平衡线 1 厘米，就会产生 6.9 N 的回复力，相当于劲度系数为 687 N/m 的弹簧。木块会越过平衡线，是因为它经过平衡线时仍在运动，而水的阻力使每次摆动的幅度逐渐减小。

在压强随深度变化的图像中，直线从 $p_0$ 出发，每米上升 $\rho g$。无论物体位于何处，其上下两面之间的压强差 $\rho gH$ 都相同。

常见错误

• 在 $F_b$ 中使用物体的密度：对该木块而言会得到 $600\cdot 0.021\cdot 9.81\approx 124\mathrm{N}$，而正确结果是 206 N。
• 对漂浮物体使用整个体积：木块的 0.035 m³ 会得到 343 N，但只有水线以下的 0.021 m³ 才起作用。
• 以为越深浮力越大：浸没的 2 升石头在 1 m 和 10 m 深处受到的浮力同样是 $1000\cdot 0.002\cdot 9.81=19.62\mathrm{N}$，因为其上下表面增加的压强相同。
• 以为重的东西一定会下沉：1 g 的钢珠会下沉，而 50 000 吨的钢制船却能漂浮，因为其充满空气的船体平均密度小于水。
• 忘记把升换算成立方米：两升是 0.002 m³，若代入 2 则得到 19 620 N。

应用实例

船在淡水中漂浮时排开的体积比在海水中约多 2.5 %，因此船体上分别标有淡水和海水的载重线。潜艇通过注水或排水来下沉、悬停或上浮；密度计在密度较小的液体中浮得更深，因此其刻度杆可读出牛奶或葡萄酒的密度。气温为 100 °C 时，空气密度约为 0.95 kg/m³，而 20 °C 时外部空气密度为 1.20 kg/m³，因此热气球每立方米只能托起约 0.25 kg 的质量。

浮力驱动对流，即暖流体上升，相关内容见《热传导、对流与辐射》；浮力还决定颗粒的沉降速度，相关内容见《阻力与终端速度》。上下浮动的木块是一个振子，与《简谐运动》中的振子类似；而当流体流动时，压强不再仅取决于深度：这就是伯努利原理。

高级

静止流体中的压强

浮力本质上就是压强：浸没物体所受的向上合力，等于周围流体作用于其表面的所有压力之和。因此我们先研究静止流体中压强的规律。记号：${\rho }_f$ 为流体的密度，无论流体是什么；当流体为水时，记为 ${\rho }_w$；与动画中一致，${\rho }_b$ 为木块的密度。$g\approx 9.81m/{\mathrm{s}}^2$ 为重力加速度，$p_0$ 为水面处空气的压强。

图例

$p_1$	顶面处的压强，位于深度 $h$ 处。	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	底面处的压强，位于深度 $h+\ell$ 处；大于 $p_1$。	$\mathrm{Pa}$
$h$	顶面在液面以下的深度。	$\mathrm{m}$
$\ell$	方盒的高度。	$\mathrm{m}$
$V$	方盒的体积 $\ell A$，其中 $A$ 为其顶面或底面的面积。	${\mathrm{m}}^3$
${\vec{F}}_b$	作用于方盒的净压力，方向向上：$(p_2-p_1)A={\rho }_{f}gV$。	$\mathrm{N}$

图 1 所示为一个高为 $\ell$、体积为 $V$ 的方盒，其上下两面的面积均为 $A$（因此 $V=\ell A$），整体浸没在水中，顶面位于深度 $h$ 处。先观察箭头的方向：在每个面上，箭头都与该面垂直。静止的流体无法抵抗切应力，即沿表面方向使其各层相互滑动的力，因此它只能垂直于表面施压。

再看箭头的长度。箭头随深度增加而变长，因为每一层水都承受其上方所有水的重量。图中只画出了随深度变化的部分：空气对每个面都施加相同的压强 $p_0$，而均匀压强对封闭的盒子不产生合力，这一点我们将在下文证明。

两侧面处于相同深度，因此它们的箭头两两相等、相互抵消。剩下顶面受到的向下压力 $p_{1}A$ 和底面受到的向上压力 $p_{2}A$。底面深 $\ell$，因此 $p_2$ 比 $p_1$ 大出一根高为 $\ell$、底面积为单位面积的水柱的重量 ${\rho }_f(\ell A)g/A$：
$p_2-p_1={\rho }_{f}g\ell$
因此作用在盒子上的合推力向上：
$F_b=(p_2-p_1)A={\rho }_{f}g\ell A={\rho }_{f}gV$
这正是充满该盒子的水的重量。深度 $h$ 已经消去：只要水不可压缩，浮力在任何深度都相同。

压强作为场

上面的盒子论证用到了两个未加证明的事实：一点处的压强向各个方向的大小相等，并且随深度稳定增加。两者都可以由牛顿第二定律应用于静止流体的微小部分而得到；其一般形式使我们之后能够处理任意形状的物体，甚至加速容器中的流体。

首先看方向。将流体作用于面积为 $dA$ 的微小表面单元上的力写作 $-p\hat{n}dA$，其中 $\hat{n}$ 为该单元的单位法向量，指向物体外部；负号表示流体向内推。$p$ 是否与表面朝向无关？考虑一个微小的三角形流体楔块。其各面上的力与尺寸的平方成正比，而重量与尺寸的立方成正比。随着楔块缩小，重量变得可以忽略，因此仅各面上的力必须平衡，而对三角形而言，只有各面压强都相同时才能平衡。所以 $p$ 与方向无关：压强是一个标量场 $p(\vec{r})$，即每一点处的一个数值。

其次看压强如何变化。取边长为 $dx$、$dy$、$dz$ 的微小立方体。其左侧面上的流体沿 $+x$ 方向以 $p(x)dydz$ 推它；右侧面上的流体以 $p(x+dx)dydz$ 反向推它。沿 $x$ 方向的合力为两者之差，即 $-(\partial p/\partial x)dxdydz$。沿 $y$ 和 $z$ 方向同理，因此单位体积流体所受的合压力为 $-\nabla p$：压强差将流体从高压处推向低压处。

对静止流体而言，这一压力必须与重力平衡，重力作用于每单位体积的流体，大小为 ${\rho }_f\vec{g}$。取 $z$ 轴竖直向上，使 $\vec{g}$ 指向 $-z$ 方向，则
$\nabla p={\rho }_f\vec{g},\frac{dp}{dz}=-{\rho }_{f}g$
对于密度恒定的流体，从液面向下积分，可得 $p=p_0+{\rho }_{f}gh$，此即深度 $h$ 处的压强；图 1 中的 $p_1$ 和 $p_2$ 分别对应深度 $h$ 和 $h+\ell$ 处的压强。由于 $\nabla p$ 沿 $\vec{g}$ 的方向，压强只沿竖直方向变化：等压面（其中包括自由液面）与 $\vec{g}$ 垂直，即水平。

阿基米德原理的三种证明

阿基米德原理指出：静止流体中的物体受到的向上浮力，等于其所排开的流体的重量。方盒的例子只证明了一种形状。下面三种论证可以证明任意形状的情形，且各有侧重：第一种只需一行计算，第二种还指出了力的作用点，第三种说明为何只有平均密度起作用。

图例

$S$	物体的表面；右图中同一表面包围着水。
$V$	$S$ 所包围的体积。	${\mathrm{m}}^3$
$p$	$S$ 上的压强：与表面垂直，在 $S$ 越深处越大。	$\mathrm{Pa}$
$B$	$S$ 内部体积的形心，即浮心。
${\vec{F}}_b$	作用于 $S$ 上的压力，向上并通过 $B$；两图中相同。	$\mathrm{N}$
$W$	充满 $S$ 的水的重量 ${\rho }_{f}Vg$，向下并通过 $B$。	$\mathrm{N}$

图 2 包含了关键思想。左图中，任意形状的物体静止地处于水中；$S$ 为其表面，$V$ 为其内部的体积，箭头表示压强 $p$，作用于 $S$ 上，与 $S$ 垂直，且在 $S$ 越深处箭头越长。右图中物体被移走，同一表面 $S$ 改为包围水。比较两图中的箭头：它们完全相同。$S$ 上每一点的压强取决于该点在周围水中的深度，而周围水并未改变，因此压强不取决于 $S$ 内部是什么。无论 $S$ 内充满什么，作用于其上的总压力 ${\vec{F}}_b$ 都相同。

第一种证明，用微积分。浮力是作用于闭合表面 $S$ 上压力的总和。静压强仅是高度的函数，因此可以延拓到物体所占的体积 $V$ 内。梯度定理（与散度定理密切相关）将 $p\hat{n}$ 的面积分化为 $\nabla p$ 的体积分，再由静力学方程给出 $\nabla p$：
${\vec{F}}_b=-{\oint }_{S}p\hat{n}dA=-{\int }_V\nabla pdV=-{\rho }_f\vec{g}V$
力的方向与 $\vec{g}$ 相反，即竖直向上，大小为 ${\rho }_{f}gV$：即体积为 $V$ 的流体的重量。表面压强 $p_0$ 之所以消去，是因为其梯度为零；这也证明了均匀压强对闭合表面不产生合力。

对于漂浮物体，只有部分表面与水接触。应计算超出 $p_0$ 的那部分压强：空气的 $p_0$ 作用于整个闭合表面，并相互抵消。在水线所在平面上，这部分超出的压强为零，因此用物体内部位于该平面上的那一块面来封闭湿表面不会带来任何贡献，同一定理便给出 ${\rho }_{w}g{V}_{\mathrm{sub}}$，其中 $V_{\mathrm{sub}}$ 为浸入体积。

第二种证明，利用平衡条件，无需微积分；它使用的是右图。$S$ 内的水在两个力作用下保持静止：其重量 $W={\rho }_{f}Vg$，竖直向下，作用于质心；以及其周围水施加的压力 ${\vec{F}}_b$。由于它不加速，两力平衡，因此 $F_b=W$，方向向上。由于它也不转动，两力合力矩为零，因此 ${\vec{F}}_b$ 与 $W$ 位于同一条竖直线上。对于均匀的水，质心即 $S$ 内体积的形心（几何中心），记为 $B$。

现在回到左图。$S$ 上的压强与右图相同，因此物体受到的力大小相同，作用线也相同。浮力等于所排开的流体的重量，并且作用于 $B$ 点，即排开体积的形心，称为浮心。该论证甚至不需要密度恒定：在密度随深度变化的流体中，合力仍为所排开的流体的重量 $g{\int }_V{\rho }_{f}dV$，只是此时作用线通过该流体的质心。

第三种证明，利用能量。将物体抬高一个微小高度 $\delta z$。其自身的势能增加 $mg\delta z$。流体流入其离开后留下的空间，对流体的净效应是：体积为 $V$、质量为 ${\rho }_{f}V$ 的一部分流体下降了 $\delta z$，势能减少 ${\rho }_{f}Vg\delta z$。总的变化为
$\delta U=(m-{\rho }_{f}V)g\delta z$
力等于势能对位移的负导数，因此合向上的力为 $-\delta U/\delta z={\rho }_{f}Vg-mg$：即浮力减去重力。只有物体的质量和体积出现在结果中，也就是其平均密度 $m/V$。这就是为何钢制船体能够漂浮，尽管钢的密度接近水的八倍：船体包围了足够多的空气，使其平均密度低于水。

水如同弹簧

漂浮物体被压下后释放，便会上下浮动。本节将说明，在其漂浮位置附近，水对物体的作用相当于一根线性弹簧，并求出其浮动的周期。

以动画中的木块为例。它是直壁形的，侧壁竖直，因此其水平截面面积 $A=0.70\mathrm{m}\cdot 0.10\mathrm{m}=0.07{\mathrm{m}}^2$ 在各个高度上都相同。从此处起，$h$ 表示木块的高度，$h=0.50\mathrm{m}$，而不是图 1 中的深度。其密度为 ${\rho }_b=0.6{\rho }_w$，因此质量 $m={\rho }_{b}Ah=21\mathrm{kg}$，重量为 206 N。漂浮时，浮力等于重力，${\rho }_{w}gAd={\rho }_{b}gAh$，因此漂浮深度（吃水深度）为 $d=({\rho }_b/{\rho }_w)h=0.30\mathrm{m}$。

现将木块在其漂浮深度基础上再压下一段距离 $x$。它额外排开的体积为 $Ax$，因此浮力增加 ${\rho }_{w}gAx$，而重力保持不变。合力为回复力 $-kx$，其中劲度系数 $k={\rho }_{w}gA$，对该木块约为 687 N/m。这就是胡克定律，因此运动为简谐运动。利用 $m={\rho }_{b}Ah$，再代入 $d=({\rho }_b/{\rho }_w)h$，其角频率为
${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{{\rho }_{w}g}{{\rho }_{b}h}}=\sqrt{\frac{g}{d}}$
面积已经消去，结果十分简洁：直壁漂浮物体的上下浮动周期，与一个摆长等于其漂浮深度的单摆相同。当 $d=0.30\mathrm{m}$ 时，${\omega }_0\approx 5.7rad/s$，$T_0=2\pi \sqrt{d/g}\approx 1.10\mathrm{s}$，且与面积无关；吃水深度为 9 m 的直壁船将大约每 6 s 上下起伏一次。

只有当木块部分位于水下时，弹簧近似才是线性的。一旦木块完全浸没，其排开的体积便不能再增加，浮力也就不能再增加。运动图像显示了这两种情形。

读懂 y(t) 图像

动画中的木块受到这一弹簧作用以及水的阻力的共同作用。其图像用于检验弹簧模型：在哪些范围成立，在哪些范围失效，以及运动衰减的速度。

图例

$y$	木块相对于其漂浮水位的高度。	$\mathrm{m}$
$t$	自释放起经过的时间。	$\mathrm{s}$
$y_0$	释放时的起始高度。	$\mathrm{m}$
$d-h$	木块顶部与水面齐平时的高度（$d$ 为漂浮深度，$h$ 为木块高度）；低于此高度时，整个木块都位于水下。	$\mathrm{m}$
$T$	相邻两个上转折点之间的时间。	$\mathrm{s}$
$e^{-\gamma t}$	摆动幅度随时间缩小的因子；$\gamma$ 为阻尼率。

图 3 绘制了木块相对于其漂浮水位的高度 $y$ 随时间 $t$ 的变化；水平的 $t$ 轴，即 $y=0$，正是漂浮水位本身。木块在 $y_0=35\mathrm{cm}$ 处释放，由于其漂浮深度为 30 cm，此时木块底部位于水面上方 5 cm。

观察第一次摆动：它并非简谐运动。木块先在空气中下落，然后一头扎入水中，越过虚线所示的 $d-h=-20\mathrm{cm}$ 处（此时木块顶部与水面齐平），在 0.55 s 时下降到 $-24.5\mathrm{cm}$。在 $d-h$ 以下，弹簧出现饱和：$F_b$ 不能超过整个木块的浮力 ${\rho }_{w}gV=343\mathrm{N}$。此次摆动之后，浸入深度保持在约 15 至 40 cm 之间，即木块高度范围内，此时作用力是线性的。

再看第一次之后的上转折点：+15.2、+6.7、+2.9、+1.3 和 +0.55 cm。它们相隔约 1.11 s，即图中标注的间隔 $T$，且每一个约为前一个的 0.44 倍。每次摆动的比值恒定，意味着指数衰减，因此各峰值位于阻尼振动的虚线包络线 $\pm y_0{e}^{-\gamma t}$ 上，该阻尼振动 $y\approx y_0{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t)$ 即动画中图像所标注的函数；这里 $\omega$ 为阻尼角频率 ${\omega }_d$。经过一个周期，振幅乘以 $e^{-\gamma T}\approx 0.44$，因此
$\gamma \approx \ln (1/0.44)/1.11\approx 0.74{\mathrm{s}}^{-1}$
与模型中水阻力所取的 $\gamma =0.75{\mathrm{s}}^{-1}$ 相近。

阻尼几乎不会减缓摆动：${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}\approx 5.67rad/s$，仅比 ${\omega }_0$ 低约 1 %，这就是为何 $T$ 与 $T_0$ 如此接近。品质因数 $Q={\omega }_0/(2\gamma )\approx 3.8$ 表明阻尼较轻：木块在静止前会做几次明显的摆动。

稳定性与稳心

漂浮还不够：船还必须保持直立。本节探讨小角度倾斜（横倾）何时会产生使物体回转的力矩，并求出一个能回答这一问题的长度：稳心高 $GM$。

图例

$\theta$	横倾角：船体偏离直立的角度。	$\mathrm{rad}$
$G$	船体的重心，位于中心线上；重力作用于此。
$B$	船体直立时的浮心，是固定在船体上的一点。
$B^{\prime }$	当前的浮心：浸没部分的形心，已向低侧移动。
$M$	稳心：过 $B^{\prime }$ 的竖直线与中心线的交点。
$GM$	稳心高：从 $G$ 到 $M$ 的距离；扶正力偶为 $mgGM\sin \theta$。	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	船体的重量，向下并通过 $G$。	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_b$	浮力，向上并通过 $B^{\prime }$；大小与重力相等。	$\mathrm{N}$

图 4 所示为一个方盒形船体横倾了角度 $\theta$，为使几何关系清晰，图中倾角远大于实际横倾角。船体受两个力作用。重力 $m\vec{g}$ 竖直向下，作用于重心 $G$，该点固定于船体上。浮力 ${\vec{F}}_b$ 竖直向上，作用于浮心，即浸没部分的形心。船体直立时，该形心位于 $B$ 点，在中心线上，即船体通过 $G$ 的对称线上。在船舶中 $B$ 常位于 $G$ 之下，如图所示，这本身并不危险。

现在观察水线。横倾时，高侧会有一楔形船体离开水面，而低侧则有一楔形船体被压入水中。浸没体积保持不变，但其形状向低侧移动，其形心也随之移动：浮心由 $B$ 移到 $B^{\prime }$，此时 ${\vec{F}}_b$ 沿过 $B^{\prime }$ 的竖直线作用。沿此竖直线向上，它与中心线相交于稳心 $M$。

$M$ 有多高？设 $I$ 为水线面（即水面从船体上截取的面积）关于横倾轴（船体绕其倾斜的直线）的面积二次矩。距该轴为 $y$ 的水线面条带，其浸入高度增加或减少 $y\theta$，因此楔形体将体积矩 $I\theta$ 从一侧搬运到另一侧，而 $B$ 向侧面移动 $I\theta /V_{\mathrm{sub}}$。对于小角度，该位移等于 $BM\theta$，因此 $M$ 处于一个固定的高度
$BM=\frac{I}{V_{\mathrm{sub}}}$
即位于 $B$ 上方。

在图 4 中，$M$ 位于 $G$ 之上，距离为 $GM$。通过 $G$ 的重力与通过 $B^{\prime }$ 的浮力大小相等、方向相反但不在同一直线上，因此构成一个力偶。其力臂为 $GM\sin \theta$，力矩 $mgGM\sin \theta$ 使船体扶正。若 $M$ 位于 $G$ 之下，同样的两个力将使其进一步倾覆。因此，当 $M$ 位于 $G$ 之上，即 $GM>0$ 时，漂浮物体对小角度横倾是稳定的。

对于宽为 $b$、长为 $L$、漂浮深度为 $d$ 的方形船体，$I=L{b}^3/12$，$V_{\mathrm{sub}}=Lbd$，因此
$BM=\frac{b^2}{12d}$
宽度的影响与其平方成正比。任何提高 $G$ 的因素都会损害稳定性：堆放在高处的货物，以及在甲板上自由晃动的水，后者会流向低侧，其作用相当于抬高了 $G$，这是导致倾覆的经典原因。

例题：木块能否保持直立？

将此方法应用于动画中的木块：高 $h=0.50\mathrm{m}$，漂浮深度 $d=0.30\mathrm{m}$，宽 0.70 m，厚 0.10 m。高度自其底部算起。木块为均匀材质，因此 $G$ 位于中部高度 0.25 m 处，而 $B$ 位于浸没部分的中点，即漂浮深度的一半，0.15 m 处。

若在屏幕平面内横倾，则水线面宽为 0.70 m：
$BM=\frac{b^2}{12d}=\frac{0.70^2}{12\cdot 0.30}\approx 0.136\mathrm{m}$
因此 $M$ 位于底部以上 $0.15+0.136\approx 0.286\mathrm{m}$ 处，比 $G$ 高 3.6 cm：此时木块是稳定的。在 5° 横倾时，$\sin \theta \approx 0.087$，扶正力矩为 $206\cdot 0.036\cdot 0.087\approx 0.65\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。

若沿 0.10 m 厚度方向横倾，则水线面宽仅为 0.10 m，$BM=0.10^2/(12\cdot 0.30)\approx 0.003\mathrm{m}$。此时 $M$ 位于 $G$ 之下 9.7 cm，因此 $GM<0$，木块不稳定。具有这种比例的真实木块会翻转，并以其宽面漂浮，吃水深 6 cm（即其 0.10 m 厚度的 0.6 倍）。只有二维动画允许木块上下运动而不翻滚，才能使其保持直立。

同样的推理可得出一般规律。对于相对密度为 $s={\rho }_b/{\rho }_w$、高为 $h$、横倾平面内宽为 $b$ 的均匀木块，$G$ 位于 $h/2$ 处，$B$ 位于 $d/2=sh/2$ 处，且 $BM=b^2/(12sh)$。要求 $M$ 位于 $G$ 之上，即 $sh/2+b^2/(12sh)>h/2$，整理后得到木块直立漂浮的条件：
$\frac{b}{h}>\sqrt{6s(1-s)}$
当 $s=0.6$ 时，要求 $b/h>1.2$：宽度给出 1.4，满足；厚度仅 0.2，不满足。对于正方形截面的梁，即 $b=h$，只要 $s$ 介于约 0.21 与 0.79 之间，就不满足该条件，这就是为何普通木材制成的方形木料漂浮时往往是倾斜的，而不是平放。

加速运动与可压缩流体

至此，容器一直处于静止状态，流体也是不可压缩的。去掉其中任一假设，浮力都会以有启发性的方式改变。

在以加速度 $\vec{a}$ 运动的容器中，相对于容器静止的流体必须与容器一同加速。此时单位体积的牛顿第二定律为 $-\nabla p+{\rho }_f\vec{g}={\rho }_f\vec{a}$，即 $\nabla p={\rho }_f(\vec{g}-\vec{a})$。这就是将 $\vec{g}$ 替换为等效重力 $\vec{g}-\vec{a}$ 后的静力学方程，因此以上所有结论都可以沿用：浮力的方向与 $\vec{g}-\vec{a}$ 相反。

由此得到三点推论。在以 2 m/s² 向上加速的电梯中，等效重量 $m(g+a)$ 与浮力都按 $11.81/9.81$ 的倍数增大，因此漂浮的木块保持其浸入深度不变。在加速行驶的汽车中，等效重力向后倾斜，因此系着绳子的氦气球会向前倾斜，而乘客则被压向后方。在自由落体中 $\vec{g}-\vec{a}=0$：没有压强梯度，也没有浮力；在绕轨道运行的空间站中，饮料中的气泡不会上升。

在可压缩流体中，${\rho }_f$ 随高度变化。等温大气的密度满足 $\rho ={\rho }_0{e}^{-z/H}$，其中在 15 °C 时标高 $H\approx 8.4\mathrm{km}$，即密度降至 $e$ 分之一所对应的高度增量。一个密封的刚性气球，其平均密度为地面空气密度的一半，它会上升，直至周围空气的密度与其相同，即 $e^{-z/H}=1/2$ 处，位于 $H\ln 2\approx 5.8\mathrm{km}$ 附近。它会在该处稳定地停止上升：被推得更高时，它遇到的空气更稀薄，浮力小于重力，便会下沉回去；被推得更低时，情况则相反。

液体中的可压缩物体则表现相反。穿着泡沫橡胶潜水服的潜水员若向深处漂移，会被额外的压强压缩，排开的水减少，因此会下沉得更快。因此对于比水更易压缩的物体，中性浮力是不稳定的，这就是为何潜水员、鱼类和潜艇必须不断调整其浮力。

适用范围的限制

以上所有论述都建立在理想化假设之上。下面说明每一项假设在何时失效，以及失效的程度。

水具有轻微的可压缩性，其体积模量约为 2.2 GPa：在 4000 m 深处，承受约 40 MPa 的压强，海水的密度比水面处约高 2 %，刚性物体所受的浮力也随之增加相同的比例。

静力学还假设物体四周都有流体。若物体平贴在底部，其下方没有流体，则它不会受到来自下方的推力，而会被顶部的压强压住。

表面张力 $\sigma$ 产生的力与水面和物体相交线的长度成正比，而重力和浮力则随体积增长。两者对于尺度约为毛细长度的物体相当，水的毛细长度为 $\sqrt{\sigma /(\rho g)}\approx 2.7\mathrm{mm}$，这就是为何昆虫和干燥的钢针能够停留在水面上。

加速运动的物体还必须带动其周围的一部分流体一同加速。对于球体，这一附加质量为 $\frac{1}{2}{\rho }_{f}V$，因此一个静止释放的气泡（其自身质量可以忽略）会以约 ${\rho }_{f}Vg/(\frac{1}{2}{\rho }_{f}V)=2g$ 的加速度开始上升，而不是按其极小质量所暗示的那样获得巨大的加速度。附加质量以及真实木块向外激起的波动，使其比弹簧模型所预测的更慢地浮动，并更快地静止下来。

最后，浮力是连续介质的效应，而对于极小的颗粒，热运动会与之竞争。直径为 10 nm、密度为水两倍的颗粒，会因热运动而分布在约 0.8 m 的高度范围内；这一高度是指将一个颗粒抬升，克服其重量减去浮力所需的能量恰好等于典型热能 $k_{B}T$ 的高度。因此它们几乎不会沉降。

延伸与联系

只要密度有差异，浮力便会出现。在《阻力与终端速度》中，小球在液体中下沉时达到的终端速度与密度差 ${\rho }_s-{\rho }_f$ 成正比，因为浮力从重力中被减去。暖流体上升、冷流体下沉即为对流，见《热传导、对流与辐射》。压强不再仅由深度决定的流动流体，是伯努利原理的研究对象。$Q\approx 3.8$ 的上下浮动木块属于《阻尼与共振》的一个例子；而在加速行驶的汽车中向前倾斜的气球说明，引力与加速度无法区分，这正是《弯曲时空中的引力》的出发点。