自由落体

入门

当重力是唯一起作用的力时，物体就处于自由落体状态。在地球表面附近，无论物体由什么材料构成，它每秒都会增加约 9.81 m/s 的向下速度。这一稳定的增量称为 g，即重力加速度。

设想一块石头从高桥上落下。1 s 后它的速度约为 10 m/s，2 s 后约为 20 m/s，3 s 后约为 29 m/s：速度每秒都以相同的量增加。

快速检查：5 s 后大约有多快？（约 49 m/s。）

距离增长得比速度更快，因为石头从静止开始。第一秒内它的平均速度只有约 4.9 m/s，所以下落约 4.9 m；两秒后它已下落 19.6 m，是第一秒的四倍。在动画中，每半秒一个的淡色圆圈越来越分散。

为什么轻重不同的物体会同时下落？重力对较重的物体作用更大，但较重的物体也更难加速，两者的比例完全相同，因此效果相互抵消。在抽去空气的管子里，羽毛和硬币会并排下落。在日常生活中，空气会对下落的物体施加阻力，而且速度越大阻力越大，所以羽毛或降落伞很快就不再加速。

上升时重力也不会消失。竖直向上抛出的小球每秒速度减少约 9.81 m/s，在最高点瞬间静止，然后落回。

快速检查：小球以约 20 m/s 的速度竖直向上离开你的手。它何时停止上升？（约 2 s 后。）

中级

自由落体与正负号的选择

当重力是唯一作用在物体上的力、并忽略空气阻力时，物体处于自由落体状态。向上抛出的小球从离开手的那一刻起也处于自由落体状态。在地球表面附近，所有自由下落的物体都具有相同的向下加速度 $g\approx 9.81m/{\mathrm{s}}^2$，与质量无关。

运动沿竖直线进行，因此要先选定正方向。对于下落，取向下为正，并从释放时刻开始计时：此时速度 $v$、加速度 $g$ 和下落距离 $h$ 都为正。对于抛体，取向上为正：此时加速度为 $-g$，速度为负则表示物体正在下落。同一道题中两种取法绝不能混用。下面公式中的 $h$ 是下落距离；动画中 $h$ 的读数表示离地面的高度。

所有物体的加速度相同

在自由下落中，速度每秒的变化量相同，$g=\Delta v/\Delta t$：无论是硬币还是人，每秒向下的速度都增加 9.81 m/s。重力（即重量）$W=mg$ 与质量成正比；但质量同时也阻碍速度的任何变化，牛顿第二定律给出 $a=W/m=g$。质量大十倍的物体受到的拉力大十倍，加速起来也难十倍。

伽利略通过推理得出了同样的结论。如果重物下落更快，那么系在重物上的轻石头应当拖慢它；但这一对物体比任何一个都重，应当下落得更快。这一矛盾只有在所有物体下落情况相同时才会消失。1971 年，阿波罗 15 号的一名宇航员在没有空气的月球上（那里 $g\approx 1.62m/{\mathrm{s}}^2$）同时释放了一把锤子和一根猎鹰羽毛，它们同时落地。

自由落体方程

由于 $g$ 是常量，《直线运动》中的匀变速直线运动方程适用，取 $v_0=0$ 且 $a=g$，向下为正：

• $v=gt$
• $h=\frac{1}{2}g{t}^2\text{(distance fallen from rest)}$
• $v=\sqrt{2gh}$

速度与时间成正比，而距离与时间的平方成正比：时间加倍，物体下落的距离变为四倍，因为它的速度也在增大。第三个方程由 $v^2=2gh$ 得到，它把速度与高度联系起来，不含时间。便于估算：下落约 5 m 需要 1 s，下落约 20 m 需要 2 s。

对于抛体，保留初速度 $v_0$。取向上为正，$y$ 为相对抛出点的高度，
$v=v_0-gt\text{(up positive)}$
$y=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
以 $v_0$ 向上抛出的小球，经过 $v_0/g$ 到达最高点，此时高度为 $v_0^2/(2g)$；经过 $2v_0/g$ 回到抛出点，并以速率 $v_0$ 向下运动：下落过程与上升过程对称。向下抛出只需取负的 $v_0$。

例题：动画中的小球

小球从离地面 $h_0=40\mathrm{m}$ 处静止释放，下落 40 m 时着地：
$t=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 40}{9.81}}\approx 2.86\mathrm{s}$
$v=gt=9.81\cdot 2.856\approx 28.0m/s$
第三个方程不需要时间，结果一致：$\sqrt{2\cdot 9.81\cdot 40}=\sqrt{784.8}\approx 28.0m/s$，约合 100 km/h。

以下是着地时的读数：$t$ 停在 2.9 s（读数保留一位小数），$v$ 停在 28.0 m/s；而 $h$ 读数，即高度 $h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$，从 40 m 减小到 0。蓝色 $v$ 箭头每秒以相同的量增长，绿色 $g$ 箭头全程长度不变。

在时间过半的 1.43 s 时，小球只下落了 10.0 m，即总下落高度的四分之一，速度为 14.0 m/s；$h$ 读数显示 30.0 m。它要到 2.02 s 才经过一半高度 20 m，此时速度为 19.8 m/s：通过下半段所用的时间不到三分之一。它的平均速度 $40/2.856\approx 14.0m/s$，恰好是末速度的一半。

例题：竖直上抛的小球

你从离地面 1.5 m 的手中以 12 m/s 竖直向上抛出一个小球，然后闪身躲开。它能上升多高？何时回到手的高度？落地时速度多大？取向上为正，原点在手的位置：$v_0=+12m/s$，加速度 $-9.81m/{\mathrm{s}}^2$。

最高点 $v=0$，所以 $0=12-9.81t$ 给出 $t\approx 1.22\mathrm{s}$，上升高度为 $v_0^2/(2g)=144/19.62\approx 7.34\mathrm{m}$：最高点离地面 8.84 m。经过 $2v_0/g\approx 2.45\mathrm{s}$ 小球回到手的高度，此时以 12 m/s 向下运动。在 $t=2\mathrm{s}$ 时，$v=12-9.81\cdot 2=-7.6m/s$：负号表示它已经在下落。

落地时其位移为 $\Delta y=-1.5\mathrm{m}$，且不需要用到时间，因此使用 $v^2=v_0^2-2g\Delta y$：
$v^2=12^2-2\cdot 9.81\cdot (-1.5)=144+29.4=173.4{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$
小球以 13.2 m/s 的速度向下落地，$v=-13.2m/s$，所用时间 $t=(12+13.2)/9.81\approx 2.57\mathrm{s}$；因为它最终位置低 1.5 m，所以落地速度比抛出时更快。

读懂频闪图与图像

淡色圆圈每隔 0.5 s 标出小球的位置；在标有 1 s 和 2 s 的圆圈处，它分别下落了 4.9 m 和 19.6 m。相邻圆圈之间的间距依次为 1.23、3.68、6.13、8.58 和 11.04 m，比例为 1 : 3 : 5 : 7 : 9。这就是伽利略的奇数法则：下落距离与 $t^2$ 成正比（1、4、9、16、25），而相邻平方数之差是奇数。每一个间距都比前一个多 $g(\Delta t{)}^2=9.81\cdot 0.5^2\approx 2.45\mathrm{m}$。

在速度–时间图像上，下落是一条过原点、斜率为 $g$ 的直线，下落距离就是其下方的面积：对动画而言，这是一个底为 2.86 s、高为 28.0 m/s 的三角形，面积为 $\frac{1}{2}\cdot 2.856\cdot 28.0\approx 40\mathrm{m}$。高度–时间图像在专家层中给出，它是一条先平缓后变陡的抛物线，其斜率即为速度。

常见错误

• 最高点的加速度并不为零：只有速度瞬间为零，而加速度始终为 9.81 m/s² 向下，并使小球折返。以 19.62 m/s 向上抛出的小球，2.0 s 后到达最高点停止上升，4.0 s 后回到出发点。
• 较重的物体并不会下落得更快：没有空气时，5 kg 的铅球和 5 g 的弹珠每秒都增加 9.81 m/s 的速度。
• 在 $v=\sqrt{2gh}$ 中不要漏掉系数 2 和平方根：下落 20 m 得到 $\sqrt{392.4}\approx 19.8m/s$，而不是 392 或 196 m/s。
• 不要把下落距离与离地高度混淆：1 s 后，动画中的小球已下落 4.9 m，离地面还有 35.1 m 高。

生活中的应用

让朋友用手指夹住一把尺子：如果尺子在被接住前下落了 20 cm，那么他的反应时间为 $\sqrt{2\cdot 0.20/9.81}\approx 0.20\mathrm{s}$。从 10 m 高的跳台跳下的跳水运动员约 1.4 s 后以约 14 m/s 的速度入水；测量一块落下石头的时间，就能得到井的深度。自由落体也是每一种抛掷运动的竖直分运动：《抛体运动》在此基础上加上匀速水平运动，《牛顿运动定律》解释加速度，《功、能与功率》把 $v^2=2gh$ 理解为能量守恒，而《阻力与终端速度》则考虑了空气。

高级

惯性、重量与等效原理

本课的一切都基于一个实验事实：在真空中，地面附近的所有物体，无论质量或材料如何，都以相同的加速度下落。本节说明这一事实为何令人惊讶，以及它引出了什么。

取向上为 $y$ 的正方向。此时牛顿第二定律对下落物体可写为
$m_i\ddot{y}=-m_{g}g$
这里出现了两种不同的质量。等式左边的惯性质量 $m_i$ 衡量物体有多难被加速。右边的引力质量 $m_g$ 衡量引力对物体作用的强弱，正如电荷衡量电场对它作用的强弱一样；$g$ 是地面附近地球引力的强度，约为 9.81 m/s²。牛顿力学中没有任何内容表明这两种质量必须相等。

实验表明它们确实相等。扭秤测得，对不同材料，比值 $m_g/m_i$ 相同，精度约为 $10^{13}$ 分之一；2022 年，一颗卫星比较铂合金与钛合金试验质量，精度达到约 $10^{15}$ 分之一。取 $m_i=m_g$ 时，质量从等式两边约去，于是每个物体都满足 $\ddot{y}=-g$：自由下落的加速度与下落的是什么物体无关。

爱因斯坦把这一相等性提升为一条原理，即等效原理。设想一个小型封闭箱体自由下落。箱内每个物体的加速度都与箱子相同，因此相对于箱子，没有任何东西在加速：未被固定的物体会漂浮，在箱内做的任何实验都无法区分这种下落与远离天体的空旷空间中的漂浮。箱子必须很小，才能保证 $g$ 在整个箱内的大小和方向都一样。等效原理是广义相对论的出发点，在这一理论中，引力变成了时空的几何。

这就是宇航员漂浮的原因。在约 400 km 高的空间站轨道上，$g$ 仍约为 8.7 m/s²，接近地面值的 90%。重力并没有消失：机组人员与空间站一起下落，因此二者都不会相互挤压。

对运动方程积分

质量被消去后，整个运动便由 $a_y=-g$ 决定。两次积分分别给出速度和位置，再进一步即可得到能量。

取向上为正，并在释放时刻 $t=0$ 开始计时，此时物体位于高度 $h_0$，竖直速度为 $v_0$。由于 $a_y=d{v}_y/dt=-g$ 为常量，一次积分即可得到速度；由于 $v_y=dy/dt$，再积分一次即可得到位置：
$v_y(t)=v_0+{\int }_0^t(-g)d{t}^{\prime }=v_0-gt$
$y(t)=h_0+{\int }_0^t{v}_y(t^{\prime })d{t}^{\prime }=h_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
每次积分都会带入一个常数，由初始状态决定：第一次积分的常数是 $v_0$，第二次是 $h_0$。重力本身只提供 $-\frac{1}{2}g{t}^2$ 这一项，它使 $y(t)$ 的图像弯成抛物线，而且对每一次下落都以相同的方式弯曲。

在动画中，小球从 $h_0=40\mathrm{m}$ 处静止释放，即 $v_0=0$。当 $\frac{1}{2}g{T}^2=h_0$ 时，它到达地面 $y=0$，即在
$T=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 40}{9.81}}\approx 2.86\mathrm{s}$
时刻着地。此时速度为 $v_y=-gT\approx -28.0m/s$，负号表示向下。

通常我们并不关心时间，而只关心速度如何随高度变化。利用链式法则可消去 $t$：$a_y=d{v}_y/dt=(d{v}_y/dy)(dy/dt)=v_{y}d{v}_y/dy$。于是 $v_{y}d{v}_y=-gdy$，从释放点积分得到
$v_y^2=v_0^2-2g(y-h_0)$
两边乘以 $m/2$ 并整理：$\frac{1}{2}m{v}_y^2+mgy=\frac{1}{2}m{v}_0^2+mg{h}_0$。左边的动能与势能之和保持其初始值：能量守恒。动画中小球每千克在起始时具有 $g{h}_0=9.81\cdot 40=392.4J/kg$ 的势能，落地时具有 $\frac{1}{2}{v}_y^2=\frac{1}{2}\cdot 784.8=392.4J/kg$ 的动能。

读懂速度与高度图像

这两个公式用图像来理解最为直观。读取图像上的斜率与面积，是检验任何匀加速运动的最快方法。

图例

$t$	释放后经过的时间。	$\mathrm{s}$
$T$	落地时刻，即下落结束的时间。	$\mathrm{s}$
$v_y$	竖直速度，向上为正：即上方直线的高度，也是 $h(t)$ 切线的斜率。	$m/s$
$gT$	整个下落过程获得的速度；上方直线终止于 $v_y=-gT$。	$m/s$
$\Delta t$	任意时间间隔：斜率三角形的水平边。	$\mathrm{s}$
$\Delta v_y$	$v_y$ 在 $\Delta t$ 内的变化量：竖直边。斜率为 $\Delta v_y/\Delta t=-g$。	$m/s$
$\Delta h$	整个下落过程中的高度变化：$v_y$ 直线与 $t$ 轴之间的有向面积。	$\mathrm{m}$
$h$	离地高度。	$\mathrm{m}$
$h_0$	释放高度，即 $t=0$ 时。	$\mathrm{m}$

图 1 在同一时间轴 $t$ 上，用上下两幅图像表示动画中的下落过程。落地时刻 $T\approx 2.86\mathrm{s}$ 处的竖直虚线将两幅图连接起来。

先看上方的图像 $v_y(t)=-gt$：这是一条从零向下延伸至 $-gT\approx -28.0m/s$ 的直线。它的斜率就是加速度。小三角形表明，在任意时间间隔 $\Delta t$ 内，速度变化量为 $\Delta v_y=-g\Delta t$；而整条直线的斜率 $-28.01/2.856\approx -9.81m/{\mathrm{s}}^2$ 即为 $a_y=-g$。由于斜率处处相同，加速度也处处相同：在图像上，加速度恒定意味着速度图线为直线。

再看直线与时间轴之间的阴影三角形。它的面积即为高度变化量 $\Delta h$，因为其中每一条细竖条的宽为 $dt$、高为 $v_y$，而 $v_{y}dt$ 即该时间内移动的距离。该三角形位于时间轴下方，因此面积取负值：$\Delta h=\frac{1}{2}\cdot 2.856\cdot (-28.0)\approx -40\mathrm{m}$，即整个下落高度。

下方的图像是高度 $h(t)$，在下落过程中为 $y(t)=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$：一条开口向下的抛物线。它在每一时刻的斜率就是当前的 $v_y$，可从上方图像读出。释放时 $v_y=0$，因此曲线从高度 $h_0=40\mathrm{m}$ 处水平出发。落地时 $v_y=-28.0m/s$，因此曲线在该处最陡；在 $T$ 处画出的、标注 $v_y$ 的切线，其斜率为 $-gT$，即上方直线的终点值。斜率变化的速率，也就是曲线的弯曲程度，是二阶导数，全程为 $-g$。

抛物线还显示，下落过程在时间上的分布极不均匀。在半程时刻 $T/2=1.43\mathrm{s}$，小球仅下落了 $\frac{1}{2}\cdot 9.81\cdot 1.428^2=10.0\mathrm{m}$，仍位于 30 m 高处，即起始高度的四分之三；余下的 30 m 则在后半段时间内完成。在 $T$ 时刻两幅图都终止：地面施加反作用力，自由下落结束。

g 从何而来

到目前为止，$g$ 一直是给定的数值。牛顿万有引力定律解释了它的数值，并说明它为何只是近似恒定。

质量为 $M$、半径为 $R$ 的球形地球以 $GMm/R^2$ 的力吸引其表面上质量为 $m$ 的物体，就好像它的全部质量集中在球心一样。除以 $m$ 得到加速度
$g=\frac{GM}{R^2}$
取 $G=6.674\times 10^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$、$M=5.97\times 10^{24}\mathrm{kg}$ 与 $R=6371\mathrm{km}$，结果为 9.82 m/s²。实测值在不同地点略有差异，原因在于地球自转、两极扁平，且内部并不均匀。

在离地面高度 $h$ 处，离球心的距离为 $R+h$，因此当 $h\ll R$ 时，$g$ 变为 $GM/(R+h{)}^2\approx (GM/R^2)(1-2h/R)$：减小的比例约为 $2h/R$。对动画中的 40 m 而言，该比例为 $80/(6.371\times 10^6)\approx 1.3\times 10^{-5}$，约为百万分之 13。这就是 $g$ 看起来恒定的原因：日常高度与 $R$ 相比极其微小。

轨道是一种不断错过地面的下落

使被释放的小球下落的同一个 $g$，也使卫星保持在空中。图 2 通过比较两段微小距离，说明了其中的道理。

图例

$O$	地球中心。
$R$	地球半径。	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	起始速度，水平，沿切线方向。	$m/s$
$vt$	无重力时，在时间 $t$ 内沿直线移动的距离。	$\mathrm{m}$
$\vec{g}$	重力加速度，指向中心 $O$。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\frac{1}{2}g{t}^2$	在时间 $t$ 内重力使小球低于直线的距离。	$\mathrm{m}$

在图 2 中，一个小球从地面上方略高处以速度 $\vec{v}$ 水平抛出。若没有重力，它将沿虚线直线运动，该直线与地球相切；经过短暂时间 $t$ 后，它将位于浅色小球处，距出发点 $vt$。重力会使它向球心 $O$ 方向产生约 $\frac{1}{2}g{t}^2$ 的位移，即金色线段。因此经过时间 $t$ 后，小球并不在浅色小球处，而在其正下方的实心小球处，位于弯曲的轨道上；此处箭头 $\vec{g}$ 指向 $O$。

由于地球是圆的，地面也会从虚线处向下弯离。切线与半径 $R$ 垂直，因此由勾股定理，沿切线距离为 $x$ 的一点到 $O$ 的距离为 $\sqrt{R^2+x^2}$，其离地高度为
$\sqrt{R^2+x^2}-R\approx \frac{x^2}{2R}$
（当 $x\ll R$ 时）。取 $x=vt$，则地面位于直线下方 $(vt{)}^2/(2R)$ 处。

现在比较两种下落。若小球下落的距离少于地面弯曲的距离，它就会离开地面上升；若多于，它就会落地；若恰好相等，它就保持在离地面相同的高度。由于这一点在其轨迹的每一点上都成立，它便会永远绕行。条件为
$\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{(vt{)}^2}{2R}$
时间相互抵消，得到 $v^2/R=g$：重力恰好提供半径为 $R$ 的圆周运动所需的向心加速度 $v^2/R$。在地面附近，这要求 $v=\sqrt{gR}=\sqrt{9.81\cdot 6.371\times 10^6}\approx 7.9km/s$。轨道运动就是一种自由下落，只是具有足够大的侧向速度，使地面在其下方不断向下弯离。

同样的推理通过了牛顿的决定性检验——月球。若引力随距球心距离 $r$ 按 $1/r^2$ 减弱，那么在约 60 个地球半径的月球距离处，它应产生 $g/60^2\approx 2.7\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$ 的加速度。月球实际上距地球约 384,000 km，每 27.3 天绕地球一周，这需要 $2.72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$ 的向心加速度：二者一致。在一秒内，月球下落 $\frac{1}{2}\cdot 2.72\times 10^{-3}\cdot 1^2\approx 1.4\times 10^{-3}\mathrm{m}$，即约 1.4 mm，低于它原本应沿的直线。这就是图 2 中的 $\frac{1}{2}g{t}^2$，只是月球的 $g$ 小得多；而地面附近的苹果在同一秒内下落 4.9 m。

穿过空气的下落

在空气中，所有物体下落相同的规律会失效，而且失效的方式是可以预测的。图 3 先展示这种效应，然后由方程加以解释。

图例

$t$	释放后经过的时间。	$\mathrm{s}$
$v$	球的速度，取向下为正。	$m/s$
$gt$	经过时间 $t$ 后无空气时的速度：即虚线直线。	$m/s$
$v_t$	较轻球的终端速度。较重球的为 $2v_t$，因为 $v_t\propto \sqrt{m}$。	$m/s$
$m$	较轻球的质量；较重球为 $4m$。	$\mathrm{kg}$

图 3 绘制了两只大小和形状相同的球的速度 $v$ 随时间 $t$ 的变化：一只质量为 $m$，另一只为 $4m$。虚线直线为 $v=gt$，即无空气时的下落。两条曲线在低速时阻力可以忽略，因此都沿该直线起步。随后它们弯离直线，并趋于各自的终端速度，由水平虚线标出：较轻球为 $v_t$，较重球为 $2v_t$。较重球沿直线运动的时间更长，最终速度是两倍。本节其余部分将推导这些曲线以及因子 2。

阻力是空气施加在运动物体上的力，方向与运动相反，并随速度增大。对于日常尺度和速度，它近似为
$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
其中 $\rho$ 是空气密度，$A$ 是迎着气流的截面积，$C_d$ 是阻力系数，是由形状决定的无量纲数，球体约为 0.5。对于微小而缓慢的尘埃和雾滴，阻力则与 $v$ 成正比。

取向下为正。牛顿第二定律中，重力向下、阻力向上，写作
$m\frac{dv}{dt}=mg-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
开始时 $v=0$，阻力为零，加速度为 $g$。随着速度增大，阻力追上重力，加速度逐渐减小。速度趋近于两力平衡、即 $dv/dt=0$ 的数值，也就是终端速度：
$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{d}A}}$

用 $v_t$ 表示，运动方程变为 $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$。从静止开始的解为
$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right)$
可以通过求导检验：由于 $d(\tanh x)/dx=1-{\tanh }^{2}x$，导数为 $g(1-v^2/v_t^2)$。对于小 $t$，$\tanh x\approx x$，$v\approx gt$，即无空气时的直线；对于 $t\gg v_t/g$，$\tanh \to 1$，$v\to v_t$。因此 $v_t/g$ 是曲线趋于平缓的时间尺度。

要求出下落距离 $s$ 后的速度，再次使用链式法则：$dv/dt=vdv/ds=\frac{1}{2}d(v^2)/ds$。于是 $v^2$ 的方程为
$\frac{d(v^2)}{ds}=2g\left(1-\frac{v^2}{v_t^2}\right)$
因此 $v^2$ 以距离尺度 $v_t^2/(2g)$ 指数地趋近于 $v_t^2$：
$v^2=v_t^2\left(1-e^{-2gs/v_t^2}\right)$
对于短距离下落，$s\ll v_t^2/(2g)$，指数项接近 $1-2gs/v_t^2$，结果退化为无空气时的 $v^2=2gs$。

现在讨论因子 2。在大小和形状固定时，两只球的 $\rho$、$C_d$ 和 $A$ 相同，因此 $v_t\propto \sqrt{m}$：质量为四倍，终端速度为两倍。时间尺度 $v_t/g$ 也因此加倍，所以较重球接近 $v=gt$ 的时间长一倍。这就是图 3 中的第二条曲线。

将网球（即图 3 中较轻的球）从动画中的 40 m 处释放。取 $m=57\mathrm{g}$，直径 6.7 cm（因此 $A=\pi \cdot 0.0335^2\approx 3.53\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$），$C_d\approx 0.55$，$\rho =1.2kg/{\mathrm{m}}^3$。其终端速度为
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 0.057\cdot 9.81}{1.2\cdot 0.55\cdot 3.53\times 10^{-3}}}\approx 22m/s$
它在 3.26 s 后以 19.7 m/s 落地，而无空气时则在 2.86 s 后以 28.0 m/s 落地。同样大小、质量为四倍的球，终端速度为两倍，约 44 m/s，并在 2.95 s 后以 25.4 m/s 落地。因此，在大小和形状固定时，空气通过 $v_t\propto \sqrt{m}$ 确实会把轻重区分开来。

作为比较，俯身下落的跳伞者会在约 55 m/s（约 200 km/h）时趋于平稳，直径 1 mm 的雨滴则约为 4 m/s。在终端速度时，加速度为零，而不是 $g$：物体以恒定速度下落，阻力与重力平衡。

例题：与下落的球相遇

在动画中的小球从 40 m 处释放的瞬间，另一只球从其正下方的地面以 28.0 m/s 竖直向上抛出，该速度即第一只球落地时的速度。它们何时、何处相遇？

图例

$t$	第一只球释放后经过的时间。	$\mathrm{s}$
$T$	第一只球落地、第二只球到达最高点的时刻。	$\mathrm{s}$
$\frac{T}{2}$	两球相遇的时刻。	$\mathrm{s}$
$y$	离地高度，向上为正。	$\mathrm{m}$
$h_0$	第一只球的释放高度，也是第二只球飞行的最高点。	$\mathrm{m}$
$\frac{3}{4}{h}_0$	两球相遇的高度。	$\mathrm{m}$
$y_1$	被释放球的高度。	$\mathrm{m}$
$y_2$	从地面向上抛出的球的高度。	$\mathrm{m}$

图 4 以向上为正、原点在地面，绘制两只球的高度随时间的变化。第一只球从 $h_0$ 释放；第二只球以 $v_0=28.0m/s$ 向上抛出：
$y_1=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2,y_2=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
跟随 $y_1$：它从 $h_0$ 处水平出发，并在 $T$ 时到达地面。跟随 $y_2$：它从地面出发，由于 $v_0=gT$，其速度 $v_0-gt$ 恰好在 $T$ 时降为零。因此第二只球在 $T$ 时到达飞行的最高点，高度为 $v_{0}T-\frac{1}{2}g{T}^2=\frac{1}{2}g{T}^2=h_0$，即第一只球的起始高度。

两条曲线关于 $T/2$ 处的虚线互为镜像：$y_2(t)=y_1(T-t)$。验证时取 $h_0=\frac{1}{2}g{T}^2$：则 $y_1(T-t)=h_0-\frac{1}{2}g(T-t{)}^2=gTt-\frac{1}{2}g{t}^2$，即 $y_2(t)$。两球在曲线相交处相遇，由于对称性，该交点位于虚线上。

代数推导更简短。$\frac{1}{2}g{t}^2$ 项完全相同，因此从两球间距中相互抵消：$y_1-y_2=h_0-v_{0}t$。间距以恒定的 28.0 m/s 缩小，仿佛不存在重力一般，并在 $t=h_0/v_0=40/28.01\approx 1.43\mathrm{s}$（恰为 $T/2$）时消失。

此时两球都位于 $y=40-\frac{1}{2}\cdot 9.81\cdot 1.428^2=30.0\mathrm{m}$，即图 4 中标出的 $\frac{3}{4}{h}_0$ 水平线。第一只球以 $gT/2=14.0m/s$ 向下运动，第二只球以 $28.0-14.0=14.0m/s$ 向上运动。两者速度相等并非巧合：第二只球的飞行过程正是第一只球的倒放，这也是图 4 镜像对称所表明的。

较慢的抛出会在较晚、较低的位置相遇。相遇时间 $h_0/v_0$ 不能超过第一只球落地所需的 2.86 s，因此抛出速度至少需要 $v_0=h_0/T=14.0m/s$，即下落的平均速度；恰好以该速度抛出时，两球将同时到达地面。

从第一只球的角度看，重力已经消失：两球具有相同的加速度 $-g$，因此在第一只球的自由下落参照系中，第二只球以恒定速度 $v_0$ 沿直线接近。这正是第一节中等效原理的应用。同样的推理也解释了，在《抛体运动》中，一支瞄准目标的飞镖，若目标在发射瞬间开始下落，那么无论发射速度多大，只要它在目标落地之前到达，就一定会击中目标。

适用范围

自由落体的理想模型有三个假设：$g$ 均匀，没有空气，地球不自转。上面的数字表明每一条假设在多大程度上成立。

在 40 m 的下落中，$g$ 的均匀假设非常好，$g$ 的变化仅为百万分之 13。然而，从轨道高度下落时，需要在距球心的每个距离 $r$ 处取 $g=GM/r^2$。忽略空气只有在 $v\ll v_t$ 时才合适：从 40 m 下落时，上一节中较重的球落地速度比理想的 28.0 m/s 低 9%，网球则低 30%。

地球自转使地面成为一个略微非惯性的参照系，即一个本身在加速的参照系。部分重力用于维持地面绕其日常圆周运动，使赤道处的有效 $g$ 最多减小 0.034 m/s²。连同地球的扁率，$g$ 的取值从赤道的 9.78 m/s² 变化到两极的 9.83 m/s²。自转还使下落向东偏转：塔顶比塔底向东运动得略快，从塔顶释放的球会保留这一额外速度。动画中的球若在纬度 45° 处释放，将落在释放点正下方偏东约 4 mm 处。

在这些速度下，相对论只带来极小的修正：在 28 m/s 时，$v^2/c^2\approx 9\times 10^{-15}$。引力也会影响时间本身：高 40 m 处的时钟比地面上的时钟快，快的比例为 $gh/c^2\approx 4.4\times 10^{-15}$。这一频移最早于 1960 年前后，通过向 22.5 m 高塔发射的伽马射线测得；如今光钟能在不到一米的高度差上探测到它。

由此延伸

自由落体与力学的大部分内容相连。《抛体运动》将它与匀速水平运动结合；《牛顿运动定律》把加速度解释为重量除以质量；《功、能与功率》把 $v^2=2gh$（即从静止下落高度 $h$ 后的速度）转化为 $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$。《万有引力与轨道》把 $g=GM/r^2$ 推广到行星与卫星；《阻力与终端速度》正确地处理了空气；《简谐运动》展示了单摆周期如何依赖于 $g$，这正是数个世纪以来测量 $g$ 的方法。《引力即时空弯曲》则建立起一整套理论，其基础正是所有物体下落相同这一事实。