薛定谔方程与隧穿效应

入门

第 1 步：能量设定了限制。小球沿山坡上滚时，速度换成了高度。若能量不足以到达山顶，它就会停在半路，然后每次都滚回来：能量不会凭空产生。

第 2 步：微小的东西表现出波的特性。光有时像波，有时像粒子（光子），电子也是如此。电子用一个波来描述，记作 $\psi$（希腊字母 psi）。波大的地方，电子很可能出现；波平坦的地方，几乎不会出现。动画中的蓝线是电子的波，阴影的隆起显示它很可能出现的位置。

第 3 步：波能穿过薄墙。金线是电子的能量，灰色的墙比它高，因此小球总会滚回来。请看：大部分波被弹回，但墙的另一侧出现了一个较小的波并继续前进。每个电子仍然整体地出现在墙的某一侧；这里大约每五个电子有一个穿过。这就是量子隧穿。光也会这样：通过全内反射被困在玻璃中的光，能够穿过很薄的空气隙进入第二块玻璃。

自我检验：把墙加厚一倍，穿过的电子会更多还是更少？答案：少得多，因为波在墙内衰减得很快。不过，较低的墙会让更多电子穿过。

第 4 步：被束缚的波只有特定的能量。在右侧的盒子里，波必须像吉他弦一样恰好嵌在两墙之间，因此只允许整数个半波，每个半波都有自己的能量。原子中的电子同样被束缚，这就是原子具有能级的原因。

隧穿让太阳内部的原子核得以聚变，也让闪存能够保存照片。

中级

波函数及其概率

在量子力学中，电子没有确定的轨迹。它的状态由波函数 $\psi (x)$ 描述，这种波从不被直接观测到：探测器总是在某一处发现整个电子，波函数只说明各处出现的可能性有多大。

根据玻恩规则，$|\psi {|}^2$ 是每米的概率，粒子出现在两点之间的概率等于两点之间曲线下的面积：
$P=\int |\psi {|}^{2}dx$

在动画中，$|\psi {|}^2$ 是紫色阴影，蓝线是波的实部 $\mathrm{Re}\psi$。读数 $P(\text{left})$、$P(\text{barrier})$ 和 $P(\text{right})$ 分别是三个区域中阴影的面积，在整条直线上它们相加为 1。

能量图上的薛定谔方程

对于能量确定为 $E$ 的粒子，波函数满足定态薛定谔方程：
$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$
其中 $m$ 为质量，$V(x)$ 为势能，$\hslash =h/2\pi$ 为约化普朗克常量。应把它看作能量守恒式：动能加势能等于 $E$，而动能部分由 $\psi$ 的弯曲程度决定。

动画是一张能量图：横向为位置，纵向为能量。灰色势垒为 $V(x)$，两侧为零，内部为 $V_0$；金线为 $E$，波围绕它绘制。在 $E>V$ 处，波以德布罗意波长
$\lambda =\frac{h}{p},p=\sqrt{2m(E-V)}$
振荡，如势垒两侧的蓝色波所示。

在 $E<V$ 处，经典粒子永远不可能存在，因为它的动能会是负的。方程在那里仍有解，但它们是指数函数而非波，其中衰减的那一个在墙内逐渐消失。

势垒内部：衰减与透射

在高度为 $V_0$ 的厚势垒内部，波按 $e^{-\kappa x}$ 衰减，衰减常数为
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$
在一个衰减长度 $1/\kappa$ 内，振幅减小一个因子 $e\approx 2.72$。较大的能量差 $V_0-E$ 或较重的粒子会使 $\kappa$ 变大，衰减更快。

薄势垒的另一侧仍有一些波，波长相同，但振幅较小。穿过的电子比例是透射概率 $T$，被弹回的比例是 $R$，且 $R+T=1$。对于宽度 $a$ 远大于 $1/\kappa$ 的势垒，
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
振幅乘以 $e^{-\kappa a}$，概率乘以其平方；前置因子永远不超过 4，且只取决于 $E/V_0$。

宽度位于指数之中，因此隧穿对宽度极为敏感：每增加 $1/(2\kappa )$ 的厚度，$T$ 就除以 $e$。对于高出几个电子伏的势垒，只有厚度最多几纳米的层才能让大量电子穿过。

例题：动画中的势垒

电子的能量为 $E=3\mathrm{eV}$，遇到的势垒高 $V_0=4\mathrm{eV}$、宽 $a=0.25\mathrm{nm}$，即场景中标注的数值。势垒顶比能量高 1 eV，即 $1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$，因此
$\kappa =\frac{\sqrt{2\cdot 9.11\times 10^{-31}\cdot 1.60\times 10^{-19}}}{1.055\times 10^{-34}}\approx 5.12\times 10^9{\mathrm{m}}^{-1}=5.12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$
衰减长度 $1/\kappa =0.195\mathrm{nm}$ 略短于势垒宽度。

于是 $2\kappa a=2\cdot 5.12\cdot 0.25=2.56$，$e^{-2.56}\approx 0.077$。前置因子为 $16\cdot 0.75\cdot 0.25=3$，因此
$T\approx 3\cdot 0.077\approx 0.23$
高级层的精确公式给出 0.214，而包含少量能量弥散的运动波包给出 0.218。读数最终稳定于此：$P(\text{right})=0.22$，$P(\text{left})=0.78$。

在势垒外，$\lambda =h/\sqrt{2mE}=0.708\mathrm{nm}$，穿过的波波长相同，但振幅仅约为入射振幅的 $\sqrt{0.22}\approx 0.47$。在势垒前，入射波与反射波叠加成相距 $\lambda /2=0.354\mathrm{nm}$ 的高条纹。约 4 s 时，读数显示左侧为 0.80，势垒内为 0.10，右侧为 0.10：此刻有十分之一的概率短暂位于墙内。

例题：扫描隧道显微镜

一根尖锐的金属探针被悬停在导电表面上方不到一纳米处。对于填充能级顶部附近的电子，间隙构成一个势垒，其顶部比电子能量高出约一个功函数，这里取 $V_0-E=4.5\mathrm{eV}$；电流与透射率成正比，$I\propto e^{-2\kappa d}$，其中 $d$ 为间隙宽度。探针向表面靠近 0.1 nm 时，电流会变化多少倍？

由于 $\kappa$ 随能量差的平方根增长，$\kappa =5.12\cdot \sqrt{4.5}\approx 10.9\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$；前置因子在比值中相互抵消：$I_2/I_1=e^{2\kappa \Delta d}=e^{2\cdot 10.9\cdot 0.1}=e^{2.17}\approx 8.8$。若取较整的 $\kappa \approx 10\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$，则为 $e^2\approx 7$：不到半个原子直径的位移就能使电流成倍增加。

仅 0.01 nm 高的凸起只会使电流变化 $e^{0.217}\approx 1.24$，即增加 24 %；而 0.2 nm 高的原子台阶则使电流变化约 77 倍。扫描时，反馈回路移动探针以保持电流恒定，于是探针的高度便逐个原子地勾勒出表面。

被束缚的波：盒中的能级

现在把电子束缚在宽度为 $L$ 的盒中：盒内 $V=0$，两侧是它无法穿过的墙。波函数必须在两墙处为零，就像两端固定的吉他弦，因此只能容纳整数个半波，$L=n\lambda /2$。于是 $p=h/\lambda =nh/(2L)$，动能 $p^2/2m$ 给出允许的能量
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$
其中 $n=1,2,3,\dots$ 为半波的个数；$n=0$ 意味着根本没有波，因此最低能量永远不为零。

能级随 $n^2$ 增长，比例为 1 : 4 : 9，与动画中的盒子一致，标记为 $E_1$、$4E_1$ 和 $9E_1$。每个驻波保持固定的阴影 $|{\psi }_n{|}^2$：能量确定的态是定态。对于 $L=1\mathrm{nm}$，$E_1=(6.626\times 10^{-34}{)}^2/(8\cdot 9.11\times 10^{-31}\cdot 10^{-18})\approx 6.0\times 10^{-20}\mathrm{J}=0.38\mathrm{eV}$，因此 $E_2=1.50\mathrm{eV}$，$E_3=3.38\mathrm{eV}$。从 $n=3$ 跃迁到 $n=2$ 释放 $5E_1=1.88\mathrm{eV}$，即约 660 nm 的红色光子。盒子越小，能级间距越大，且与 $1/L^2$ 成正比。

常见错误

• 电子在势垒中并不损失能量。势垒之外的波长仍为 0.708 nm，因此 3 eV 的电子穿出时仍为 3 eV；只是振幅更小。
• 电子不会分裂。$P(\text{right})=0.22$ 意味着每 100 个电子中约有 22 个出现在势垒之外，且每个都是完整的。
• 透射率并不与宽度成反比：从 0.25 nm 增至 0.5 nm，$T$ 由 0.214 降至 0.018，约为原来的十二分之一，因为宽度加倍使指数因子平方。
• 质量与能量同样重要。在同一势垒中，具有相同 3 eV 能量的质子，其 $\kappa$ 大 $\sqrt{1836}\approx 43$ 倍，因此 $2\kappa a\approx 110$，$T\approx 6\times 10^{-48}$。

应用之处

闪存把每个比特存为隔离栅极上的电荷，通过厚度仅几纳米的绝缘层驱动电子进出来完成写入和擦除。隧道二极管、扫描隧道显微镜以及 α 粒子从原子核中逸出，都遵循本课的规律；在太阳的核心，质子正是借助隧穿才得以聚变。

同样的波动规律也支配着光：在《反射与折射》中，发生全反射的光束可以穿过薄间隙。原子核的隧穿见于《放射性与半衰期》和《裂变、聚变与 E = mc²》；《半导体、二极管与发光二极管》由电子波构建能带；《原子模型：玻尔原子》的能级与盒中能级同属一类。

高级

一个频率，多种波长

隧穿是一种波动效应，因此先考察能量确定的粒子的波，并询问它随路径上势能变化而如何改变。两条规则几乎决定了之后的一切：频率处处相同，而波长随局部动能调整。在动能会为负的地方，波并不会突然停止，而是逐渐消退。

图例

$E$	态的能量：整个波只有一个值。	$\mathrm{J}$
$V(x)$	位置 $x$ 处的势能，以灰色绘出：$0$、$\frac{3}{4}E$ 与 $\frac{5}{4}E$。	$\mathrm{J}$
$\psi$	波函数：某一时刻的实部。	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	沿运动直线的位置。	$\mathrm{m}$
${\lambda }_1$	最低平台上的波长，此处 $E-V$ 最大。	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	中间平台上的波长，此处 $E-V$ 为四分之一：${\lambda }_2=2{\lambda }_1$。	$\mathrm{m}$
${\kappa }^{-1}$	$V>E$ 处的衰减长度：在此长度内，$\psi$ 降至边缘值的 $1/e$。	$\mathrm{m}$

图 1 显示能量为 $E$ 的一个态（紫线）穿过势能 $V(x)$ 的三个平台（灰色）。下方的蓝色曲线是某一时刻的波函数 $\psi$。在最低平台 $V=0$ 处，波以波长 ${\lambda }_1$ 振荡。在中间平台 $V=\frac{3}{4}E$ 处，动能 $E-V$ 仅为原来的四分之一：波被拉长为 ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$，波峰也变得更高。最高平台 $V=\frac{5}{4}E$ 高于 $E$。在那里波停止振荡并逐渐消失，在图右侧标出的短距离 ${\kappa }^{-1}$ 内降至其边缘值的 $1/e$。另请注意两处台阶：曲线在那里连续，没有折点。

频率为何共享。当 $V$ 不随时间变化时，能量确定的态具有形式 $\psi (x)e^{-i\omega t}$：空间中的固定形状乘以单一的振荡因子，且在每个 $x$ 处的角频率均为 $\omega =E/\hslash$。势能不随时间变化，因此没有任何东西能让波的某一部分比另一部分更快。光进入玻璃时也是如此：它保持频率，仅改变波长。整个波有一个频率，就意味着整个运动有一个能量。用波的语言来说，这就是能量守恒。

波长为何改变。这一固定的能量在不同位置上，在动能与势能之间有不同的分配。写出 $\hslash \omega =p^2/2m+V(x)$ 并解出动量，得到局部动量 $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$，进而得到局部波长 $h/p(x)$。$V$ 下降处 $p$ 较大，波彼此挤在一起；$V$ 上升处，波被拉长。在图 1 的中间平台，动能为四分之一，因此 $p$ 减半，波长从 ${\lambda }_1$ 加倍到 ${\lambda }_2$。那里的波峰更高，是因为较慢的粒子在路径的每一段停留的时间更长，因此在那里更可能被发现。

$V>E$ 处发生什么。经典粒子永远不可能处于那里，因为它的动能 $E-V$ 将为负：这就是经典禁区。在公式中，负数的平方根是虚数，$p=i\hslash \kappa$，对应实的衰减常数
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hslash }$
代入平面波 $e^{ipx/\hslash }$ 后，它变为实指数 $e^{-\kappa x}$。方程也允许增长解 $e^{+\kappa x}$，但在一个无限延伸的禁区中，它会使 $\psi$ 无限增长，因此被排除。振幅确实会进入禁区，但在那里它会衰减：每经过长度 $1/\kappa$，振幅就减小一个因子 $e$。在图 1 中，顶层的 $V-E$ 等于中间层的 $E-V$，因此 $\kappa$ 等于中间层的波数 $2\pi /{\lambda }_2$，衰减长度为 ${\kappa }^{-1}={\lambda }_2/2\pi$：波在约六分之一个波长内便消失了。

光的衰减方式与此相同，并且可以在实验台上看到这一效应。光线在折射率为 $n$ 的玻璃中传播，与其一侧为空气的表面法线成角 $\theta$。沿表面的波形图样在两侧必须匹配，因此沿表面的波矢分量 $k_y=n\omega \sin \theta /c$ 在空气中也相同。然而在空气中，整个波矢的长度仅为 $\omega /c$。超过临界角，即 $n\sin \theta >1$ 时，沿表面的分量本身已经比这更长，因此跨越间隙的分量的平方为负：
$k_x^2=(\omega /c{)}^2-k_y^2=(\omega /c{)}^2(1-n^2{\sin }^2\theta )$
于是 $k_x=i\kappa$ 为虚数，空气中的场按 $e^{-\kappa x}$ 衰减。对于 $n=1.5$、入射角 60°，$\kappa {\lambda }_0=2\pi \sqrt{n^2{\sin }^2\theta -1}\approx 5.2$，其中 ${\lambda }_0$ 为真空波长。因此 550 nm 的绿光衰减距离约为 0.1 µm。把第二块玻璃放到这么近的位置，部分光便会穿过间隙进入其中。这就是受抑全内反射：光子的势垒穿透。

边界匹配：精确透射率

现在让禁区变为有限长：势垒两侧都是允许区。衰减的波到达另一侧时，振幅减小但不为零，并在那里重新形成行进波。为了求出穿过的量，应在每个区域求解波动方程，并在边缘处把各段连接起来。

图例

$V_0$	势垒的高度。	$\mathrm{J}$
$E$	波的能量，低于势垒顶。	$\mathrm{J}$
$a$	势垒的宽度。	$\mathrm{m}$
$\psi$	波函数：某一时刻的实部。	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	沿运动直线的位置。	$\mathrm{m}$
$r$	入射波振幅为 1 时，反射波的振幅。
$t$	势垒之后透射波的振幅，比例相同。

图 2 显示振幅为 1 的波从左侧入射到高度为 $V_0$、宽度为 $a$ 的势垒上。图中取 $E=\frac{3}{4}{V}_0$ 且 $\kappa a=1.6$，即势垒厚度略小于半个波长。势垒前，入射波（箭头 1）与反射波（箭头 $r$）叠加，形成近似驻波。势垒内部，曲线背离轴线并下沉。势垒之后，只有一个振幅为 $t$ 的波向右传播，从那一侧不会有任何东西返回。箭头长度即为振幅：这里 $|r|=0.94$，$|t|=0.34$。两个圆点标出边界，在那里 $\psi$ 及其斜率 ${\psi }^{\prime }$ 在两侧必须取相同的值。

为何它们必须一致？把薛定谔方程改写为关于曲率的表述：
$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V-E)\psi$
在 $V<E$ 处，曲率与 $\psi$ 符号相反，因此曲线总是弯回轴线并振荡。在 $V>E$ 处，二者符号相同，因此曲线背离轴线弯曲，形如 $e^{\pm \kappa x}$。在边界处 $V$ 跃变一个有限量，因此曲率也跃变，但仍然有限。有限的曲率作用于一段趋于零的距离上，无法改变斜率，所以 ${\psi }^{\prime }$ 连续；而斜率有限的曲线不能跳变，所以 $\psi$ 也连续。这就是图 2 中曲线经过圆点而没有折点的原因。

现在进行计算。把势垒放在 $0<x<a$ 范围内，其外 $V=0$。在外部，波数为 $k=\sqrt{2mE}/\hslash$；在内部，衰减常数为 $\kappa =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash$。在左侧，$\psi =e^{ikx}+r{e}^{-ikx}$：即振幅为 1 的入射波加上反射波。在内部，$\psi =C{e}^{\kappa x}+D{e}^{-\kappa x}$；这次增长项是允许的，因为势垒会在它无限增长之前结束。在右侧，只有 $\psi =t{e}^{ikx}$，因为从该侧不存在入射。

这样就有四个未知数 $r$、$C$、$D$ 和 $t$，而边界提供四个条件：在 $x=0$ 与 $x=a$ 处，$\psi$ 与 ${\psi }^{\prime }$ 都连续。这是四个线性方程，消去 $C$ 与 $D$ 后得到
$t=\frac{e^{-ika}}{\cosh \kappa a+i\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\sinh \kappa a}$
透射概率是其模的平方，即分母模平方的倒数：
$|t{|}^2={\left[{\cosh }^2\kappa a+{\left(\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\right)}^2{\sinh }^2\kappa a\right]}^{-1}$
用 $1+{\sinh }^2$ 替换 ${\cosh }^2$。两个 ${\sinh }^2$ 项随之合并，系数为 $1+({\kappa }^2-k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2=({\kappa }^2+k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2$。由于 ${\kappa }^2+k^2=2m{V}_0/{\hslash }^2$，该系数为 $V_0^2/(4E(V_0-E))$，于是
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]}^{-1}$

为什么 $|t{|}^2$ 是穿过的比例？概率流 $j=(\hslash /m)\mathrm{Im}({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime })$ 度量每秒有多少概率流过某一点。在定态中，概率不会在任何地方堆积，因此 $j$ 在各点 $x$ 处都相同。在左侧，它为 $(\hslash k/m)(1-|r{|}^2)$，即入射流减去反射流；在右侧，它为 $(\hslash k/m)|t{|}^2$。令二者相等，得 $|r{|}^2+|t{|}^2=1$：每个粒子不是被反射，就是被透射。两侧的速度 $\hslash k/m$ 相同，因此 $T=|t{|}^2$ 就是透射比例。在图 2 中，箭头给出 $|r{|}^2=0.88$ 与 $|t{|}^2=0.12$，二者相加为 1，而穿过的 12 % 就是 $T$。公式结果与此一致：当 $E=\frac{3}{4}{V}_0$ 时，因子 $V_0^2/(4E(V_0-E))$ 为 $4/3$，$\sinh 1.6=2.38$，于是 $T=1/(1+\frac{4}{3}\cdot 5.65)=0.12$。

对于厚势垒 $\kappa a\gg 1$，可作两点简化。第一，$\sinh \kappa a=\frac{1}{2}(e^{\kappa a}-e^{-\kappa a})\approx \frac{1}{2}{e}^{\kappa a}$，因为第二项指数极小。第二，${\sinh }^2$ 项此时非常大，因此括号中的 1 可以忽略，括号可直接取倒数：
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
前置因子永远不超过 4，其最大值 4 出现在 $E=\frac{1}{2}{V}_0$ 处，因此主导作用的是指数：宽度每增加一个衰减长度 $1/\kappa$，$T$ 就除以 $e^2\approx 7.4$。

透射率如何随宽度下降

精确公式不易一眼看懂。$T$ 随宽度变化的图线能显示其两种区域：薄势垒时平缓开始，厚势垒时则为纯指数下降。

图例

$\ln T$	透射概率的自然对数；0 表示 $T=1$。
$a$	势垒的宽度。	$\mathrm{m}$
$T$	宽度为 $a$ 的势垒的精确透射概率。
$e^{-2\kappa a}$	厚势垒定律，此处 $T\approx 3e^{-2\kappa a}$：即虚线直线。
$\kappa a$	以衰减长度 $1/\kappa$ 计量的宽度；$\kappa a=2$ 处的虚线标记是直线接管的位置。
$a_0$	动画中势垒的宽度，0.25 nm。	$\mathrm{m}$
$\Delta a$	势垒宽度的一个步长。	$\mathrm{m}$
$\Delta (\ln T)$	该步长上 $\ln T$ 的变化量，为 $-2\kappa \Delta a$：$T$ 乘以 $e^{-2\kappa \Delta a}$。

图 3 绘制了 $E=3\mathrm{eV}$、$V_0=4\mathrm{eV}$ 时精确的 $T(a)$，范围直到 $a=0.6\mathrm{nm}$；动画的高级层显示的是同一曲线。这里采用对数刻度，即 $\ln T$ 对 $a$ 作图，因为在该刻度下指数表现为直线。对于 $V_0-E=1\mathrm{eV}$ 的电子，$\kappa =5.12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$，因此一个衰减长度约为 0.2 nm。

沿实线 $T$ 从左侧读起。它从 $T=1$（即 $\ln T=0$）开始，因为没有势垒就没有反射。它平缓地离开这一水平：对于小 $a$，$\sinh \kappa a\approx \kappa a$，因此 $T\approx [1+1.33(\kappa a{)}^2{]}^{-1}$，其中 $1.33=V_0^2/(4E(V_0-E))$。精确值在 0.05 nm 处仍为 0.92，在 0.1 nm 处为 0.72。越过 $\kappa a=2$ 处的虚线标记后，曲线实际上已是一条直线。三角形读取其斜率：步长 $\Delta a$ 使 $\ln T$ 降低 $\Delta (\ln T)=-2\kappa \Delta a$，因此每再增加 0.1 nm，$T$ 就乘以 $e^{-1.02}\approx 0.36$。圆环标出动画中的势垒 $a_0=0.25\mathrm{nm}$，此处 $T=0.214$。

虚线为厚势垒定律。对于这些能量，$16(E/V_0)(1-E/V_0)=16\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=3$，因此 $T\approx 3e^{-2\kappa a}$：这是一条直线，起点为 $\ln 3\approx 1.1$，精确曲线最终与之相接。对于薄势垒，该定律并不准确。在 $a=0$ 处它给出 3，超过了任何概率所能达到的值；在 0.25 nm 处它给出 0.232，偏高 8 %。从 0.4 nm 起，二者的偏差在 2 % 以内。

动画射出的是一个波包，而非单一能量的波：其能量围绕 3 eV 弥散了 0.34 eV。由于 $T$ 随 $E$ 急剧上升（能量越高，$\kappa$ 越小），能量较高的成分更容易穿过。因此，波包的透射率 0.218 略高于 3 eV 波的 0.214，且穿过的电子平均能量为 3.08 eV，而被反射的电子平均为 2.99 eV。

若能量高于势垒，即 $E>V_0$ 呢？经典上每个粒子都会通过。在公式中，现在 $V_0-E$ 为负，因此 $\kappa$ 变为虚数：$\kappa =iq$，其中 $q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hslash$ 是势垒上的实波数。于是 $\sinh \kappa a$ 变为 $i\sin qa$，${\sinh }^2\kappa a$ 与 $V_0-E$ 的符号都发生改变，因此
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sin }^2(qa)}{4E(E-V_0)}\right]}^{-1}$
此时 $T$ 随宽度振荡，而不再下降。只有在共振条件 $qa=n\pi$ 时它才达到 1，此时势垒内恰好容纳整数个半波，两个边界处的反射波相互抵消。在其他宽度下，即便粒子能量有余，仍有部分波被反射。对于能量为 3 eV、势垒高 2 eV 的电子，$q=5.12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$：随着宽度增大，$T$ 先降至 0.75，并在 $a=0.61\mathrm{nm}$、1.23 nm 等处回到 1。

光滑势垒与α衰变

真实的势垒很少是矩形的：其高度沿路径逐渐变化。厚势垒定律可以逐片地推广到这类势垒上，其最著名的应用解释了为何有些原子核的寿命长达数十亿年，而另一些却不足一微秒。

图例

$V(r)$	α 粒子在距中心 $r$ 处的势能：核内为阱，核外为静电斥力。	$\mathrm{J}$
$Q$	衰变释放的能量：即 α 粒子的能量，公式中的 $E$。	$\mathrm{J}$
$\alpha$	被困在阱中的 α 粒子。
$r$	到原子核中心的距离。	$\mathrm{m}$
$r_1$	核表面，即势垒的起点。	$\mathrm{m}$
$r_2$	外侧转折点，此处 $V=Q$ 再次成立，势垒结束。	$\mathrm{m}$
$\kappa (r)$	距离 $r$ 处的衰减常数 $\sqrt{2m(V-Q)}/\hslash$；在 $r_2$ 处降为零。	${\mathrm{m}}^{-1}$
$dr$	势垒中一个薄片的宽度；该薄片使振幅乘以 $e^{-\kappa dr}$。	$\mathrm{m}$
$\int \kappa dr$	从 $r_1$ 到 $r_2$ 之间 $\kappa (r)$ 下的面积：即 $T\approx e^{-2\int \kappa dr}$ 中的指数。

图 4 显示束缚铀-238 原子核内 α 粒子的势垒。沿运动方向的坐标此时为到中心的距离 $r$，起着 $x$ 的作用。上图显示势能 $V(r)$ 以及衰变释放的能量 $Q$，后者起着 $E$ 的作用。在核表面 $r_1$ 以内，强相互作用形成一个深阱（仅作示意），α 粒子 $\alpha$ 被困在其中。在 $r_1$ 外侧，静电斥力使 $V$ 远高于 $Q$。它按 $1/r$ 下降，并在外侧转折点 $r_2$ 处再次与 $Q$ 相等，势垒在此结束。下图在同一范围内绘制衰减常数 $\kappa (r)=\sqrt{2m(V(r)-Q)}/\hslash$：它在 $r_1$ 处最大，并在 $r_2$ 处降为零。

为了处理高度变化的势垒，应把它切成宽度为 $dr$ 的薄片，如同图中的金色条带。若 $\kappa$ 在一个衰减长度内变化很小，即 $|d\kappa /dr|\ll {\kappa }^2$，则每一薄片都表现为一段均匀薄势垒，并使振幅乘以 $e^{-\kappa dr}$。把所有薄片的因子相乘，即把它们的指数相加，因此振幅减小为 $e^{-\int \kappa dr}$，其中 $\int \kappa dr$ 是曲线下的阴影面积。概率是振幅的平方，这使指数加倍：
$T\approx \exp \left(-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr\right)$
这就是以文策尔、克拉默斯和布里渊命名的 WKB 估计。它舍去了量级为 1 的前置因子（如矩形势垒中的 3），因为指数起决定作用。对于矩形势垒，面积就是 $\kappa a$，该估计便还原为 $e^{-2\kappa a}$。

1928 年，乔治·伽莫夫用这一方法解释了 α 衰变。在强相互作用的作用范围之外，子核（电荷为 $Ze$）对 α 粒子（电荷为 $2e$）产生排斥，其势能为
$V=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$
即图 4 中的曲线。对于铀-238，子核为钍，$Z=90$。势垒在核表面附近达到约 28 MeV 的峰值，位于距中心约 9 fm 处，而衰变释放的能量仅为 $Q=4.27\mathrm{MeV}$。因此 α 粒子必须隧穿至 $V$ 已降至 $Q$ 的位置，即距中心约 61 fm 处。积分给出 $2\int \kappa dr\approx 88$，因此 $T\approx e^{-88}\approx 6\times 10^{-39}$。

要把它换算为寿命，需用到下文例题中的同一思想。在核内，α 粒子每秒约撞击势垒壁 $10^{21}$ 次，每次撞击时逸出的概率为 $T$。逸出速率约为 $10^{21}\cdot 6\times 10^{-39}=6\times 10^{-18}$ 每秒，因此它大约在 $10^{17}$ s 后逸出，即数十亿年。这与实测的 45 亿年半衰期量级相符；对于指数为 88 的估计而言，这是真正的成功。

指数对能量非常敏感。钋-212 释放 8.95 MeV。其外侧转折点向内移至 26 fm，势垒变得更薄更低，指数降至约 33，半衰期仅为 0.3 µs。指数减少 55 意味着因子 $e^{55}\approx 10^{24}$：能量大约从 4.3 MeV 翻倍到 9 MeV，半衰期便缩短约 $10^{24}$ 倍。这一急剧变化的趋势早已通过实验测得，称为经验性的盖革–纳托尔定律；隧穿效应对其作出了解释。

束缚态与零点能

同样的匹配条件所能做的不止于统计穿过的粒子。把它应用于被困在两墙之间的粒子时，便能得出其能级。

先考虑壁无限高的势箱。此时墙内 $\kappa$ 为无穷大，波根本无法进入墙内，因此 $\psi$ 必须在 $x=0$ 与 $x=L$ 处为零。在 $V=0$ 的内部，解为 $\sin kx$ 与 $\cos kx$。$x=0$ 处的条件只保留 $\sin kx$，而 $x=L$ 处的条件要求 $kL=n\pi$，其中 $n$ 为正整数：即整数个半波必须恰好容纳于盒中。由此得到
${\psi }_n=\sqrt{2/L}\sin (n\pi x/L)$
其中因子 $\sqrt{2/L}$ 使总概率为 1。能量即动能 ${\hslash }^2{k}_n^2/2m$，其中 $k_n=n\pi /L$：
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$

在有限深度的势阱中，墙并非完全不可穿透。阱内的解振荡；阱外的解必须在两侧衰减；并且在每堵墙处，两边的解必须在取值和斜率上衔接。对于大多数能量，内部的波到达墙时斜率不对，而外部的部分就会无限增长。只有特定的能量才能使两处衔接同时成立：量子化是一个边界条件，而不是额外的假设。波的拖尾还使波略微延伸到墙外，仿佛盒子稍宽一些，因此波长更长，能量更低。对于宽 1 nm、深 4 eV 的势阱，其最低能级为 0.26 eV，而不是无限深势箱的 0.38 eV。

最低能级永远不为零。若取 $n=0$，则 $\psi =0$ 处处成立，那就根本没有粒子。不确定性原理也给出同样的结论。在基态中，位置的弥散为 $\Delta x=0.18L$，而动量在任一方向上的大小均为 $\pi \hslash /L$，其弥散为 $\Delta p=\pi \hslash /L$。二者之积 $\Delta x\Delta p\approx 0.57\hslash$，略高于原理允许的最小值 $\hslash /2$。因此把粒子限制在大小为 $L$ 的区域内，需要付出量级为 ${\hslash }^2/(m{L}^2)$ 的动能，即零点能。它使原子不至于坍缩：把电子拉近原子核会降低其势能，但会提高这一动能代价。

例题：会泄漏的陷阱

将动画中的两个势垒（各高 4 eV、厚 0.25 nm）放在相距 $L=2\mathrm{nm}$ 处，两者之间放置一个能量约为 3 eV 的电子。电子会被困多久？这一时间如何依赖于势垒的厚度？

把电子看作在两墙之间以速度 $v=\sqrt{2E/m}=1.03\times 10^{6}m/s$ 来回弹跳的粒子，即每飞秒 1.03 nm，且每次撞墙时都有概率 $T$ 逸出。两次撞击之间它穿越间隙一次，因此每隔 $L/v=1.95\mathrm{fs}$ 撞击一次墙。单位时间内的逸出概率，即逸出速率，为 $\Gamma =Tv/L$。单位时间内的逸出概率恒定，意味着仍留在内部的数目按 $e^{-\Gamma t}$ 衰减，平均寿命为 $1/\Gamma$：
$\tau =\frac{L}{vT}=\frac{1.95\mathrm{fs}}{T}$
对于动画中 0.25 nm 厚的势垒，$T=0.214$，$\tau \approx 9\mathrm{fs}$。势垒厚 1 nm 时，$T=1.06\times 10^{-4}$，$\tau \approx 18\mathrm{ps}$。势垒厚 2 nm 时，$T=3.8\times 10^{-9}$，$\tau \approx 0.5\mu \mathrm{s}$。

注意其中的规律。依据厚势垒定律，墙每增厚 1 nm，$T$ 就被除以 $e^{2\kappa \cdot 1\mathrm{nm}}=e^{10.25}$，寿命也随之乘以该因子，约为 28,000 倍，这正是从 18 ps 到 0.5 µs 的跨越。同一陷阱中的质子则要糟糕得多。它的质量大 1836 倍，因此在相同能量下，它的运动速度慢 43 倍，并面临大 43 倍的 $\kappa$，因为二者都与 $\sqrt{m}$ 成正比。即使墙厚只有 0.25 nm，$T$ 也会降至约 $6\times 10^{-48}$，而 $\tau$ 增长到约 $10^{34}$ s，远超宇宙的年龄。对于 $T=0.214$ 的情形，弹跳图像过于粗略，因为电子在几次弹跳内便已逸出；而当 $T$ 很小时，如 α 衰变，该图像就很准确。

适用范围的限制

这里的一切都是非相对论性的。3 eV 的电子运动速度为光速的 0.34 %，其能量仅为静止能量 511 keV 的 $6\times 10^{-6}$，因此薛定谔方程能很好地描述它。矩形势垒和无限深势箱都是理想化模型。例如在隧道结中，电子会在邻近金属中感应出电荷并被其吸引，这种吸引使势垒变得圆滑并降低，从而提高 $T$，但仍保持其对宽度的指数依赖关系。

该模型也是一维的。在三维中，只有垂直于势垒方向的运动才起作用，因此以某个角度入射、该方向能量较少的电子隧穿得更少。在固体内部，电子对力的响应如同具有不同的质量，即有效质量，它取代了 $m$。在砷化镓中，有效质量为自由质量的 0.067，这使 $\kappa$ 减小到约四分之一，从而使电子能够穿过共振隧穿二极管中厚度仅几纳米的层。最后，我们假定势能是固定的，电子是孤立的。在极小的隧道结中，单个电子的电荷会使势能发生足够大的改变，从而阻止下一个电子通过。

延伸与联系

《波粒二象性》引入了振幅及其概率；本课则为它给出了方程。《放射性与半衰期》展示了泄漏陷阱所产生的指数衰变规律，《裂变、聚变与 E = mc²》则展示了使原子核在恒星中发生聚变的隧穿效应。《半导体、二极管与发光二极管》把同样的匹配条件应用于周期性势场，由此得到能带。

《反射与折射》讨论全内反射，其受抑形式即为隧穿的光学对应。《原子模型：玻尔原子》中的轨道让位于三维薛定谔方程，该方程对氢原子的解给出相同的 $-13.6\mathrm{eV}/n^2$ 能级以及轨道形状；《粒子与相互作用：标准模型》则使同样的波动力学具有相对论性。