衍射与双缝

入门

第一步，光能稍稍拐弯。我们通过瞄准来对齐物体，因为光通常沿直线传播。但如果让光穿过非常窄的缝隙，它会在另一侧呈扇形散开。这种扩散称为衍射。声音穿过敞开的门也会发生同样的现象，所以你能在拐角后听到别人说话；而对于光，缝隙必须非常小，因为光波非常短。缝隙越窄，扩散越宽。微小的子弹会笔直穿过去；只有波才会这样扩散。

第二步，两条缝。现在让光通过两条靠得很近的窄缝。每条缝都发出自己的圆形涟漪，两组涟漪相互重叠。一条缝的波峰与另一条缝的波峰相遇时，二者相互加强，屏幕上出现亮纹；波峰遇到波谷时，二者相互抵消，屏幕保持暗色。这种波的叠加称为干涉。

在动画中，直线波从左侧到达，从两条缝向外扩散，屏幕上布满明暗条纹；橙色条表示每个位置的亮度。

第三步，为什么会有条纹。中央条纹之所以明亮，是因为它到两条缝的距离相等，因此波同相到达。向上移动一点，其中一条路径变长：长半个波长时出现暗纹，长一个完整波长时出现下一条亮纹。

托马斯·杨约在 1801 年完成了这一实验，它使物理学家确信光是一种波：光加光可以产生黑暗。遮住一条缝，条纹消失，只剩一片平滑的光斑。

自测：屏幕上某点的一条路径恰比另一条长两个波长。是亮还是暗？（亮：波峰再次同时到达。）

中级

衍射：波穿过开口后扩散

光看起来沿直线传播，所以阴影边缘分明。然而，每一种波穿过开口后都会扩散：这就是衍射。根据惠更斯原理，波前上的每一点都是新子波的波源，前方的波是这些子波的叠加。宽的开口能重新形成笔直的光束；窄的开口几乎像单一波源，波便呈圆形向外扩散。

对于波长为 $\lambda$、开口宽度为 $a$ 的情况，扩散角约为 $\lambda /a$ 弧度。声音的波长接近 1 m，会穿过门口弥散到整个房间；绿光的 $\lambda \approx 500\mathrm{nm}$，穿过 1 mm 宽的小孔时，每前进 1 m 仅扩散约半毫米。要显示光的衍射，缝宽必须只有几分之一毫米。

同一列波照亮的两条缝

动画中，直线形的波峰到达两条相距为 $d$ 的窄缝，屏幕位于其后方距离 $L$ 处。同一波峰同时到达两条缝，因此两条缝发出的子波同相：它们是相干波源。屏幕上某点到两缝的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$，其明暗取决于路径差 $\Delta r=r_2-r_1$。

当一条路径比另一条长整数个波长时，波峰遇波峰；当它长出奇数个半波长时，波峰遇波谷：

• $\Delta r=m\lambda \text{(bright)}$
• $\Delta r=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(dark)}$

这里 $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ 为条纹级次。中央条纹 $m=0$ 之所以明亮，是因为中轴线到两缝的距离相等；如动画读数所示，中轴以下级次为负，以上为正。

从路径差到角度

从远处的屏幕（$L\gg d$）观察，到达某点的两条路径几乎平行，与中轴成夹角 $\theta$。从上方缝作一条垂线到下方路径上，切出一个小直角三角形：斜边为 $d$，角 $\theta$ 的对边即为额外路程，
$\Delta r=d\sin \theta$

因此，亮纹与暗纹的条件就变成了关于角度的条件：
$d\sin \theta =m\lambda \text{(bright)}$
$d\sin \theta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(dark)}$
由于 $\sin \theta \le 1$，每侧最多容纳 $d/\lambda$ 个级次。

在中轴附近，小角近似 $\sin \theta \approx \tan \theta =y/L$ 成立，其中 $y$ 为屏幕上的高度，因此级次为 $m$ 的亮纹位于 $y_m=m\lambda L/d$，条纹等间距：
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
红光、双缝更近或屏幕更远，都会使条纹变宽。

例题：动画中的图样

此图并非按比例绘制。以像素计，$\lambda =8$，$d=50$，$L=220$，因此两缝仅相距 6.25 个波长，而真实双缝的间距通常为数百个波长。小角公式给出
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{8\cdot 220}{50}=35.2\mathrm{px}$

第一条亮纹处 $\sin {\theta }_1=\lambda /d=0.16$，因此 ${\theta }_1=9.2^{\circ }$。它的精确位置（即 $r_2-r_1=\lambda$ 处）在中心上方 35.9 px，正是屏幕旁 $\Delta y$ 标记的长度：在 9° 时，小角公式仅偏小 2 %。

沿屏幕向上跟随探针点，其绿色路径 $r_1$ 来自上缝，紫色路径 $r_2$ 来自下缝。读数从底部的 $-1.76\lambda$ 开始，经中央条纹处的 0、第一条暗纹处的 0.50、第一条亮纹处的 1.00、第二条暗纹处的 1.50，直至顶部的 1.76。因此屏幕上有三条亮纹（$m=0,\pm 1$）和四条暗纹；第二级（位于 18.7°）恰好超出 16.5° 的边缘。

橙色条显示，侧边条纹仅约为中央高度的四分之三：专家层级中讨论的每条缝的宽度会使它们变暗。

例题：测量光的波长

波长为 $\lambda =600\mathrm{nm}$ 的光照射到相距 $d=0.25\mathrm{mm}$ 的双缝上，屏幕距离 $L=1.0\mathrm{m}$。所有长度均以米为单位，
$\Delta y=\frac{600\times 10^{-9}\cdot 1.0}{0.25\times 10^{-3}}=2.4\times 10^{-3}\mathrm{m}=2.4\mathrm{mm}$
第一条条纹位于 ${\theta }_1=\lambda /d=2.4\times 10^{-3}\mathrm{rad}$，约 0.14°，此时小角近似非常精确。如此细密的条纹，正是这一效应长期未被察觉的原因之一。

反过来，$\lambda =d\Delta y/L$ 可用来测量波长。使用相同的双缝和屏幕，激光笔条纹的十个间距共跨 26 mm（一次测量多个间距可以减小误差），因此 $\Delta y=2.6\mathrm{mm}$，且
$\lambda =\frac{d\Delta y}{L}=\frac{(0.25\times 10^{-3})\cdot (2.6\times 10^{-3})}{1.0}=6.5\times 10^{-7}\mathrm{m}=650\mathrm{nm}$

白光同时包含所有波长。中央条纹为白色，但紫光（400 nm）的条纹间距为 1.6 mm，红光（700 nm）为 2.8 mm，因此每条一级条纹都是一小段光谱，紫色在内侧，红色在外侧；经过二三级之后，各色彩相互重叠，形成发白的光晕。

读懂屏幕上的条纹

条纹和橙色条表示强度 $I$，即落在屏幕每平方米上的功率。对于两条等宽的窄缝，它遵循平滑的 ${\cos }^2$ 曲线：亮带与暗隙宽度相等，每条暗纹恰位于两条亮纹之间。在动画中，第一条暗纹距中心 17.8 px，第一条亮纹距中心 35.9 px。

振幅相加，而强度与振幅的平方成正比：在亮纹处振幅加倍，强度为单缝的 $2^2=4$ 倍；在暗纹处强度为零。对许多条纹取平均，强度恰为单缝的两倍，因为暗纹中缺失的光都进入了亮纹。遮住一条缝，条纹便消失，变成一片宽而平滑的光斑。

常见错误

• 暗纹并不是缝间墙壁的阴影：两条缝都会照亮第一条暗纹，遮住任意一条，该处的亮度都会变为中央峰值的四分之一。
• 把两缝分开并不会使条纹变宽，而是使其变窄。间距与 $1/d$ 成正比，因此把 $d$ 从 0.25 mm 减半到 0.125 mm，会使 $\Delta y$ 从 2.4 mm 加倍到 4.8 mm。
• 公式 $\Delta y=\lambda L/d$ 只在小角度下成立：对于相距两个波长的双缝，一级条纹位于 30° 处，此时 $y=L\tan 30^{\circ }=0.58L$，而不是 $0.5L$。
• 两个独立的灯，甚至两台激光器，都不会产生可见的条纹：它们的相位变化远快于人眼所能跟踪的速度，因此只剩下两者强度之和。两条缝必须由同一列波照亮。

应用实例

每毫米数百条线的光栅在大多数光谱仪中用于测量波长，CD 上的彩虹则来自其相距 1.6 µm 的轨道。衍射还限制了清晰度：光穿过望远镜或眼睛的瞳孔（直径为 $D$）时，会扩散约 $\lambda /D$，正如《眼睛、相机与望远镜》所述。

波长接近 0.1 nm 的 X 射线会从晶体中原子的排列上发生衍射，从而揭示原子的位置。电子甚至整个分子都能一个一个地形成同样的条纹，这正是《波粒二象性》的出发点。接下来，《光的偏振》将讨论光波的另一种性质：其振动的方向。

高级

两个场的相加

双缝的条纹来自波本身的叠加，而非其亮度的叠加，因此首要任务是正确地将两个场相加。设两缝相距 $d$，观察远处一点，其方向相对正前方的夹角为 $\theta$，该点到两缝的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$。每条缝提供振幅相同的场 $E_0$，角频率为 $\omega$：第一条缝为 $E_0\cos (\omega t-k{r}_1)$，第二条缝为 $E_0\cos (\omega t-k{r}_2)$，其中 $k=2\pi /\lambda$ 为波数。项 $\omega t$ 两者共有，因此只有相位差起作用：
$\phi =k(r_2-r_1)=kd\sin \theta$
最后一步用到了远场路径差 $r_2-r_1=d\sin \theta$；下一节将检验其精度。

图例

$E_0$	一条缝的场的振幅；两条缝相同。	$V/m$
$\phi$	两场的相位差，$\phi =kd\sin \theta$：从第一个箭头的虚线延长线转到第二个箭头的角度。	$\mathrm{rad}$
$\phi /2$	相位差的一半：合成量与第一个相量之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
$E$	合成场（总场）：两个相量之和，与三角形闭合。	$V/m$

图 1 以相量形式将两个场相加。相量是一个箭头，其长度为振荡的振幅，其方向角为相位；两个同频率振荡的相加，就等于首尾相接地相加两个箭头。蓝色箭头是第一条缝的场，长度为 $E_0$。绿色箭头从蓝色箭头的箭头端开始，是第二条缝的场：长度同样为 $E_0$，但相对于蓝色箭头虚线延长线转过了 $\phi$。紫色箭头 $E$ 连接蓝色箭头的起点与绿色箭头的终点，因此它就是总场。

现在观察图形的形状。两条等长的边构成一个等腰三角形，其两个底角相等，且二者之和等于连接处的外角 $\phi$：每个底角为 $\phi /2$。从连接处作的虚线（底边上的高）与 $E$ 垂直相交，把三角形分为两个全等的直角三角形，每个的斜边为 $E_0$，在蓝色箭头尾端处的角为 $\phi /2$。因此合成矢量的一半为 $E_0\cos (\phi /2)$，全长为
$E=2E_0|\cos (\phi /2)|$
取模保证当 $\phi$ 超过 $\pi$、余弦变为负值时，$E$ 仍为正。两项检验：当 $\phi =0$ 时，箭头共线，$E=2E_0$；当 $\phi =\pi$ 时，箭头方向相反而相互抵消。

探测器无法跟随场的快速振荡。它测量的是强度，强度正比于场平方的时间平均，因此 $I\propto E^2$。将 $E$ 平方，并写出 $\phi /2=\pi d\sin \theta /\lambda$，得到
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right)$

这里 $I_0$ 是中心处的强度，那里两个场同相到达。该处振幅加倍，因此 $I_0$ 是单缝单独时强度 $I_1$ 的四倍。（在《干涉与叠加》中，$I_0$ 指单一波源；此处它指中央峰值。）并没有产生新的能量：${\cos }^2$ 在许多条纹上的平均值为 $\frac{1}{2}$，因此平均强度为 $I_0/2=2I_1$，恰好是两缝共同输出的量。干涉只是把光从暗纹转移到亮纹。

路径差的精度如何？

上面的结果用到了 $r_2-r_1=d\sin \theta$，它把到达某点的两条光线视为平行。这只有在无限远处才严格成立，因此有必要了解在真实屏幕上的误差。

从两缝的中点测量距离 $R$ 与角度 $\theta$。余弦定理给出每个精确距离，$r^2=R^2+d^2/4\pm Rd\sin \theta$，较远的缝取正号。将每个平方根按 $d/R$ 的幂次展开。两个距离都含有相同的二阶项 $d^2{\cos }^2\theta /(8R)$，它在差中抵消；第一个保留下来的修正为三阶：
$\Delta r=d\sin \theta \left(1-\frac{d^2{\cos }^2\theta }{8R^2}\right)$
因此相对误差至多为 $(d/R{)}^2/8$：它随 $d/R$ 的平方而减小。

在动画中，第一条亮纹处 $d/R\approx 0.22$，因此修正仅为 0.6 %。在屏幕上，精确曲线 $r_2-r_1=\lambda$（一条双曲线）与之相交于 35.9 px 处；远场公式 $y=L\tan \theta$ 给出 35.7 px，小角公式 $y=\lambda L/d$ 给出 35.2 px。

有限宽度的单缝

至此，每条缝都被看作一个点，它在各个方向上发出相同的振幅 $E_0$。真正的缝具有宽度 $a$，缝上的每一部分都是波源，因此其亮度随方向而变化。把这些部分相加，就得到了条纹之下缓慢变化的包络。

图例

$E_0$	圆弧的长度：正前方的振幅，此处所有窄条同相。	$V/m$
$E$	窄条的合成量：从圆弧起点到终点的弦。	$V/m$
$\rho$	圆弧的半径（虚线），以场的单位计。	$V/m$
$\beta$	圆弧在圆心所张角的一半；$2\beta =ka\sin \theta$ 是缝两边缘之间的相位差。	$\mathrm{rad}$

图 2 用相量对单缝的各部分求和。把缝切成许多等宽的窄条；每个窄条发出一个微小的相量，蓝色曲线上的小点即表示它们。沿方向 $\theta$，每个窄条的路径都比相邻窄条长出相同的小量，因此每个相量相对于前一个都转过相同的小角度。一串长度相等、每次转过相同角度的箭头，会均匀地弯曲：它沿一段圆弧排列，这里圆弧半径为 $\rho$（虚线半径）。

圆弧转过多少角度？缝的两个边缘的路径差为 $a\sin \theta$，因此第一个与最后一个相量的相位差为 $ka\sin \theta$。沿圆弧方向转过的角度与圆弧在圆心所张的角度相同，因此该圆心角即为 $ka\sin \theta$。记为 $2\beta$；图 2 将其画成虚线角平分线两侧各 $\beta$ 的两半。取 $k=2\pi /\lambda$，得
$\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$

现在比较圆弧与弦。正前方 $\theta =0$ 时，所有窄条同相，链条为一条直线，其长度即为全部振幅 $E_0$。在任何其他方向，微小相量的长度不变，因此圆弧长度仍为 $E_0$；由于弧长等于半径乘以角度，有 $E_0=2\rho \beta$。合成量是紫色弦 $E$，从圆弧起点连到终点。虚线角平分线将其分为两半，每半为 $\rho \sin \beta$，因此 $E=2\rho \sin \beta$。两式相除，消去 $\rho$：
$E=E_0\frac{\sin \beta }{\beta }$

弦总是比弧短，并且当圆弧闭合时弦为零。当 $2\beta =2\pi$ 时，链条卷成图 2 右侧的整圆，其终点回到起点（紫色点），$E=0$。这发生在两边缘的路径差为一个波长时：
$a\sin \theta =\lambda \text{(first envelope zero)}$
不用相量，配对论证也能得到同样的零点。把缝分为上半和下半。上半的每个窄条都有一个位于下方 $a/2$ 处的伙伴，其路径长出 $\lambda /2$，因此二者相消，所有配对皆然。

在双缝中，每条缝在方向 $\theta$ 上发出的振幅均为 $E_0\sin \beta /\beta$，两缝相同。将其代替图 1 结果中的 $E_0$，双缝图样便成为快速条纹与缓慢包络的乘积：
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right){\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$

这就是动画专家层中的图像，其公式将 $\sin \theta$ 写作 $y/L$。此时 $a=14\mathrm{px}=1.75\lambda$，$d=6.25\lambda$。金色曲线的第一个侧峰达到中央高度的 0.77，恰与虚线包络相接；包络在屏幕边缘降至 0.37，其第一个零点位于 34.8°，远在屏幕之外。

一条恰好落在包络零点上的亮纹会消失。若 $d=3a$，第三级位于 $\sin \theta =3\lambda /d=\lambda /a$，即第一个包络零点，因而消失。一般地，当 $d/a$ 为整数 $n$ 时，第 $n$、$2n$、… 级都会缺失。

作为傅里叶变换的图样

图 1 和图 2 中的相量之和是同一规则的两个特例：远场振幅即为孔径的傅里叶变换。这一规则立即解释了为什么两个因子相乘，以及为什么小的特征会产生宽的图样。

图例

$A$	孔径的透射率：缝内为 1，墙上为 0。
$x$	沿双缝连线方向，横跨孔径的位置。	$\mathrm{m}$
$a$	每条缝的宽度。	$\mathrm{m}$
$d$	两条缝中心之间的距离。	$\mathrm{m}$
$I$	方向 $\theta$ 上图样的强度：虚线包络之下的金色条纹。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\sin \theta$	出射光与正前方夹角 $\theta$ 的正弦，即图样的横轴。
$\lambda /d$	条纹周期：$\sin \theta$ 中相邻亮纹的间距。
$\lambda /a$	包络第一个零点处的 $\sin \theta$ 值，以圆环标出，此处条纹缺失。

图 3 将一个孔径置于其远场图样之上。上图为透射率 $A$ 随孔径位置 $x$ 的变化：在每条缝内 $A=1$，在缝间的墙上 $A=0$。两条缝的宽度为 $a$（紫色条），中心相距 $d$（金色条）。下图为强度 $I$ 随 $\sin \theta$ 的变化：金色条纹位于虚线紫色包络之下。请对应颜色。金色的间距 $d$ 决定金色条纹的周期 $\lambda /d$，紫色的宽度 $a$ 决定紫色包络，其第一个零点位于 $\sin \theta =\pm \lambda /a$。这里 $d=3a$，因此两侧第三条条纹恰落在包络零点上而缺失，在图中以圆环标出。

规则如下。在远离孔径处，位于 $x$ 的宽度为 $dx$ 的窄条，其路径相对于 $x=0$ 处的窄条相差 $x\sin \theta$（几何关系与双缝相同），因此其相位相差 $kx\sin \theta$。将每个贡献写成复指数，以透射率 $A(x)$ 加权，并对所有窄条求和：
$E(\theta )\propto \int A(x)e^{-iqx}dx,q=k\sin \theta$
这个积分即为 $A(x)$ 的傅里叶变换，其中 $q$ 扮演空间频率的角色。

它重现了前面两个结果。两条极窄的缝位于 $x=\pm d/2$，给出 $e^{-iqd/2}+e^{iqd/2}=2\cos (qd/2)$；由于 $qd/2=\pi d\sin \theta /\lambda$，其平方即为 ${\cos }^2$ 条纹。宽度为 $a$、从 $-a/2$ 到 $a/2$ 的单缝给出 $a\sin (qa/2)/(qa/2)=a\sin \beta /\beta$，因为 $qa/2=\beta$：即包络。

两条宽缝等同于将一条宽缝复制到两处。用变换的语言说，孔径是单缝与一对窄缝的卷积，而卷积的变换等于变换的乘积。这就是条纹因子与包络相乘的原因。

该变换还显示了一切衍射背后的互易性：孔径中尺寸为 $s$ 的特征，会在角度尺度 $\lambda /s$ 上产生结构。在图 3 中，大的间距 $d$ 产生细密的条纹，而小的宽度 $a$ 产生宽阔的包络。透镜在其焦平面（一个有限距离处）形成远场图样，而揭示晶体结构的 X 射线图样，就是晶体电子密度变换的模的平方。

多缝：衍射光栅

在相同间距上增加更多的缝，会使亮纹位置保持不变，但亮纹变得更加锐利、明亮。正是这种锐利性使光栅成为测量波长的精密工具。

图例

$E_0$	每个相量的长度：一条缝的场的振幅。	$V/m$
$\phi$	相邻缝之间的相位步进，$\phi =kd\sin \theta$：从一个相量转到下一个的角度。	$\mathrm{rad}$
$E$	所有相量的合成量：多边形的闭合边。	$V/m$

图 4 的左半部分把 $N=5$ 条等宽缝的场相加，相邻缝的间距为 $d$。每个蓝色箭头长度为 $E_0$，并从前一个箭头转过相同角度 $\phi =kd\sin \theta$；该角度在一个连接处标出。长度相同、转角相同的箭头描绘出正多边形的一部分，因此所有角点都位于同一圆上（虚线）。紫色的合成量 $E$ 是多边形的闭合边，从第一个尾端到最后一个头端。

圆给出了 $E$ 的长度。对圆心张角为 $\alpha$ 的弦，若圆的半径为 $\rho$，其长度为 $2\rho \sin (\alpha /2)$。每条边转过 $\phi$，因此与图 2 一样，它对圆心张角为 $\phi$，且 $E_0=2\rho \sin (\phi /2)$。闭合边跨越全部 $N$ 条边，对圆心张角为 $N\phi$，因此 $E=2\rho |\sin (N\phi /2)|$。两者相除消去 $\rho$，再平方，得
$I=I_1{\left(\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right)}^2$
其中 $I_1$ 为一条缝产生的强度。当 $N=2$ 时，比值为 $\sin \phi /\sin (\phi /2)=2\cos (\phi /2)$，因此又得到 $4I_1{\cos }^2(\phi /2)$，即双缝的结果。

只要 $\phi$ 是 $2\pi$ 的整数倍，所有箭头便指向同一方向并排成一线：$E=N{E}_0$，强度达到 $N^2{I}_1$。这些主极大仍位于 $d\sin \theta =m\lambda$ 处，与双缝相同。离开某个极大时，链条开始卷曲，并在 $\phi =2\pi /N$ 时首次闭合：这便是图 4 的右半部分，一个闭合的五边形，$E=0$（紫色点）。因此，每个极大从峰值到第一个零点的半宽，是两个极大之间间隔 $2\pi$ 的 $1/N$，即比双缝时窄 $N/2$ 倍。相邻两个极大之间有 $N-1$ 个零点和 $N-2$ 个弱次极大。光被集中，而非凭空产生：平均强度仍为 $N{I}_1$。

每毫米 500 线的光栅，其间距为 2.0 µm。对于 600 nm 的光，$\lambda /d=0.3$，因此前三级的 $\sin \theta =m\lambda /d$ 分别为 0.3、0.6 和 0.9：它们分别以 17.5°、36.9° 和 64.2° 射出。第四级需要 $\sin \theta =1.2$，因此不存在。

当一个极大落在另一个波长的第一个零点上时，两个相近的波长即被认为是可分辨的。取 $\lambda +\Delta \lambda$ 的第 $m$ 级极大的角度，其中 $d\sin \theta =m(\lambda +\Delta \lambda )$。在该处，$\lambda$ 的相位步进为 $2\pi m+2\pi m\Delta \lambda /\lambda$，它超过 $2\pi m$ 的量必须等于第一零点的步进 $2\pi /N$。令 $m\Delta \lambda /\lambda =1/N$，得到分辨本领
$\lambda /\Delta \lambda =mN$
钠黄线 589.0 和 589.6 nm 在一级需要约 1000 条线。这种光栅 2 cm 宽，共 10,000 条线，在一级上可分开 600 nm 处相距 0.06 nm 的谱线。

例题：由图样求缝的尺寸

波长为 600 nm 的激光通过双缝，距离 1.0 m 的屏幕上显示相距 2.4 mm 的条纹。条纹向两侧逐渐变暗，位于 ±12 mm 处的第五条缺失，中央区域剩下九条。求双缝间距 $d$、缝宽 $a$，以及每条条纹的亮度。

条纹间距给出缝间距。相邻亮纹的路径差为一个波长，因此在小角度下 $\Delta y=\lambda L/d$，于是
$d=\lambda L/\Delta y=(600\times 10^{-9}\cdot 1.0)/(2.4\times 10^{-3})=0.25\mathrm{mm}$

缺失的条纹给出缝宽。缺失的条纹位于包络的第一个零点 $a\sin \theta =\lambda$ 处，在小角度下位于 $y=\lambda L/a=12\mathrm{mm}$，因此
$a=(600\times 10^{-9}\cdot 1.0)/(12\times 10^{-3})=0.050\mathrm{mm}$
因此 $d=5a$，这就是第五级缺失的原因。远场检验：$a^2/\lambda =4.2\mathrm{mm}$，远小于 1.0 m，因此远场公式适用。

在级次为 $m$ 的条纹处，$\sin \theta =m\lambda /d$，因此 $\beta =\pi a\sin \theta /\lambda =\pi ma/d=\pi m/5$。每个亮纹的 ${\cos }^2=1$，因此其亮度仅由包络决定：$(\sin \beta /\beta {)}^2$ 对 $m=0$ 到 4 分别给出中央的 1、0.88、0.57、0.25 和 0.05，而 $m=5$ 为 0。超出缝隙之后，条纹在一个侧带中重新出现，其中最亮的一条仍低于中央亮度的 5 %。

动画中 $d/a=50/14=3.57$，不是整数，因此没有任何级次被完全消除。其一级达到 0.77，二级 0.31，三级仅 0.033，正好位于包络在 $m=3.57$ 处的零点之内；若屏幕更宽，中央区域就能看到七条条纹。把缝宽增至 $a=d/3\approx 16.7\mathrm{px}$，则会精确地消除第三级。

一次一个量子

即使光弱到每次只有一个光子到达，同样的图样依然存在，电子也是如此。此时场的相加规则就成为量子力学的核心规则。

将光调暗，直到光子一个一个地到达：屏幕上记录的是随机位置的单个闪光；但经过成千上万次闪光后，它们会堆积成同样的 ${\cos }^2$ 条纹。电子也是如此，其德布罗意波长为 $\lambda =h/p$，其中 $p$ 为动量，$h$ 为普朗克常数。经 100 V 加速的电子，$\lambda =0.123\mathrm{nm}$，因此相距 1 µm 的缝隙会在 1 m 外的屏幕上产生相距 0.12 mm 的条纹。

这一规则即场的加法规则，只是应用于概率幅。每一条到达某点的路径都有一个复振幅：经一条缝的为 ${\varphi }_1$，经另一条缝的为 ${\varphi }_2$。到达该点的概率是两者之和的模的平方：
$P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2=|{\varphi }_1{|}^2+|{\varphi }_2{|}^2+2|{\varphi }_1||{\varphi }_2|\cos (k\Delta r)$
前两项为单缝图样。最后一项是干涉项，其中 $k=p/\hslash$，$\hslash =h/(2\pi )$；没有它，两缝只会简单地把各自的单缝图样相加，不会出现条纹。

记录每个粒子经过哪条缝，会消除交叉项，条纹也随之消失。原因在于测量带来的冲击。能分辨两缝的光，其波长必须小于约 $d$，因此它的每个光子至少携带约 $h/d$ 的动量。散射一个光子会使粒子的路径偏转至多约 $(h/d)/p=\lambda /d$，即角度上一个条纹间距，而随机大小的冲击会把条纹抹平，正如《波粒二象性》所解释的那样。

适用范围

此处使用的标量理论把光视为单一的波振幅，忽略电场方向，并把缝隙当作完全不透光屏幕上的孔。这对宽于几个波长的缝隙有效。宽度小于一个波长的缝隙没有包络零点（$a\sin \theta =\lambda$ 要求 $a\ge \lambda$），它在其后方几乎均匀地散开光，并且沿缝方向与垂直缝方向的场透射不同，这是标量图景未包含的偏振效应。

条纹还需要相干性：波必须保持稳定的相位关系。波长的分布 $\Delta \lambda$ 会将相干长度（即相位保持稳定的路径差）限制在约 ${\lambda }^2/\Delta \lambda$。对白光而言约为 1 µm，只有两个左右的波长，因此只有前两级左右能显示颜色；而相干性可达厘米到米量级的激光，则能形成很远的条纹。

光源的角直径 $\alpha$ 也会使图样模糊。光源的每一点都会产生自己的图样副本，在角度上因其方向不同而错开；当 $\alpha$ 接近条纹间距 $\lambda /d$ 时，这些副本便相互抹平。对于例题中 0.25 mm 的缝间距，此值为 2.4 mrad，但太阳的角直径为 9.3 mrad，因此直射阳光只有在缝隙小于约 0.06 mm 时才会产生条纹：这就是经典装置前放置针孔或单缝的原因。部分相干性会使可见度 $V=(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })$ 降到 1 以下。

最后，包络公式假设远场 $L\gg a^2/\lambda$；在更近的菲涅耳区，图样会随距离改变形状。双缝的条纹位置只需 $d\ll L$，正如关于路径差的那一节所示。这就是为什么动画中的条纹服从 $d\sin \theta =m\lambda$，尽管 $d^2/\lambda =312\mathrm{px}$ 超过了 $L=220\mathrm{px}$。

由此延伸

多缝构成了大多数光谱仪的核心——衍射光栅，而它们所记录的线状光谱引向《原子模型：玻尔原子》。直径为 $D$ 的圆形孔径会把光扩散为角半径 $1.22\lambda /D$ 的光斑，这正是《眼睛、相机与望远镜》中的分辨极限。此处相加的场来自《电磁波》，而它们振动的方向则是《光的偏振》的主题。

概率幅规则 $P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2$ 是量子力学的核心：《波粒二象性》从单个电子出发建立了它，而《薛定谔方程与隧穿效应》则把它变成物质的波动方程。