裂变、聚变与 E = mc²

入门

第 1 步。每个原子的中心都有一个极小的原子核，由紧密聚集的质子和中子组成。质子数决定元素种类：92 代表铀，1 代表氢。化学反应只会调动外层的电子，改变原子核则需要核反应。

第 2 步。裂变就是“分裂”。动画中，一个蓝色中子飞入金色的铀-235 原子核。原子核吸收中子后发生振动，断裂成两个较小的原子核，同时闪出能量，并放出两个或三个新中子。两块碎片向相反方向飞开。

第 3 步。每个新中子都可以使另一个铀核裂开：这就是链式反应。沿着虚线路径看，它们分叉后数量依次为 1、2、4……在发电站中，控制棒会吸收多余的中子，使每次裂变只引发一次新的裂变。

第 4 步。聚变就是“结合”。右侧，两个重氢核相互冲向对方。两者都带正电，因此相互排斥并减速；只有以极高速度、在数百万度的高温下碰撞，它们才能合并成氦核和一个快速中子。太阳也靠聚变发光：它把普通的氢聚合成氦。

第 5 步。能量不会凭空产生，它只会改变形式。那么它从哪里来？精确地称量一下：两种反应之后，生成物都略轻。消失的质量转化成了能量，$E=m{c}^2$。由于光速 $c$ 非常巨大，一小点质量就能释放大量能量：一千克铀-235 全部裂变，释放的热量相当于约 2700 吨煤。

自我检验：氦核和中子的质量，比它们来源的两个重氢核是大还是小？（更小：差额以能量的形式释放。）

中级

我们测量什么：原子核、质量与能量

原子核由两个整数描述：质子数 $Z$，它决定元素种类；中子数 $N$。它们的和 $A=Z+N$，即质量数，表示核子的总数。铀-235，${}^{235}\mathrm{U}$，有 $Z=92$ 个质子和 $N=143$ 个中子。同位素的 $Z$ 相同，但 $N$ 不同：氘 ${}^2\mathrm{H}$ 与氚 ${}^3\mathrm{H}$ 都是氢的同位素，分别含有一个和两个中子。

原子核的质量以原子质量单位给出，$1\mathrm{u}=1.6605\times 10^{-27}\mathrm{kg}$，即碳-12 原子质量的十二分之一；原子核的能量以兆电子伏给出，$1\mathrm{MeV}=1.602\times 10^{-13}\mathrm{J}$，即一百万电子伏特，而化学键的能量只有几个电子伏特。表中列出的质量是中性原子的质量；在这些反应中，电子相互抵消。

质量亏损：能量从何而来

反应的能量从哪里来？狭义相对论给出了答案：静止的物体具有静止能量
$E=m{c}^2$
因此，释放能量的系统会因此变轻，减少的质量等于该能量除以 $c^2$。由于 $c^2=8.99\times 10^{16}J/kg$，微小的质量损失就能携带巨大的能量。

质量亏损 $\Delta m$ 是反应物的总质量减去生成物的总质量，释放的能量即 $Q$ 值，
$Q=\Delta m{c}^2,1\mathrm{u}\cdot c^2=931.5\mathrm{MeV}$
$Q$ 为负值意味着该反应需要吸收能量才能发生。

没有任何东西被破坏：核子数和电荷都守恒（裂变中 $1+235=141+92+3$，且 $92=56+36$），但核子最终结合得更紧密。把原子核拆分为自由质子和中子所需的能量就是结合能；每个核子的结合能从氘的 1.1 MeV 上升到铁-56 附近的约 8.8 MeV，再降至铀的 7.6 MeV。裂变和聚变都使核子向这一峰值靠拢，多出的结合能则以能量的形式释放。

工作方程

除了 $Q=\Delta m{c}^2$ 之外，有四个关系式承担了大部分计算：动画中的两个反应、链式反应的增长，以及质量为 $m$、动量为 $p$ 的物体的动能：

• $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n+173\mathrm{MeV}$
• ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n+17.6\mathrm{MeV}$
• $N_g=N_0{k}^g$
• $K=\frac{p^2}{2m}$

要求反应能量，先配平反应式（两边的质量数和电荷相同），再减去各项质量之和，最后乘以每 u 931.5 MeV。要确定由谁带走能量，就用动量：反应物几乎静止时，生成物具有大小相等、方向相反的动量；由于 $K=p^2/(2m)$，较轻的生成物获得更多的能量。

例题：动画中的反应

先看裂变。取铀-235 的原子质量为 235.0439 u，钡-141 为 140.9144 u，氪-92 为 91.9262 u，中子为 1.0087 u：
$m_{\mathrm{before}}=235.0439+1.0087=236.0526\mathrm{u}$
$m_{\mathrm{after}}=140.9144+91.9262+3\cdot 1.0087=235.8667\mathrm{u}$
$\Delta m=236.0526-235.8667\approx 0.186\mathrm{u},Q\approx 0.186\cdot 931.5\approx 173\mathrm{MeV}$

这些就是第一次裂变时标注的 $\Delta m$ 和 $Q$。随后，裂变计数器升至 3 和 7（中途短暂经过 5），能量读数升至 520 和 1213 MeV：每次裂变对应一个 $Q$。173 MeV 是燃烧一个碳原子所得能量（4 eV）的四千万倍。

约 160 MeV 转化为两个碎片的动能，其余 13 MeV 归于三个中子（约 6 MeV）和瞬发伽马射线（约 7 MeV）。铀几乎静止，因此两个碎片以大小相等、方向相反的动量飞出，较轻的氪获得较大的份额：$160\cdot 141/233\approx 97\mathrm{MeV}$，钡则获得 63 MeV。它们的速度分别为 $0.048c$ 和 $0.031c$，其比值为 $141/92\approx 1.5$，即图中两个绿色 $v$ 箭头所示的比值。周围的燃料很快会使碎片停下，它们的能量最终转化为热。

聚变的计算方式相同，只是质量亏损小了十倍，因此需要更多小数位：氘为 2.014102 u，氚为 3.016049 u，氦-4 为 4.002603 u，中子为 1.008665 u。
$\Delta m=5.030151-5.011268=0.018883\mathrm{u},Q=0.018883\cdot 931.5\approx 17.6\mathrm{MeV}$

同样，动量大小相等、方向相反。中子的质量是氦核的四分之一，因而速度快四倍，获得五分之四的能量，即 $\frac{4}{5}\cdot 17.6\approx 14.1\mathrm{MeV}$，而氦核获得 3.5 MeV：这两个能量标注位于生成物旁边。

例题：一座发电站一年的运行

一座大型反应堆产生 3000 MW 的热功率，其汽轮机将其中约 1000 MW 转化为电能。一年中它使多少铀-235 发生裂变？又有多少质量消失？一年取 $3.156\times 10^7\mathrm{s}$，
$E=Pt=3.0\times 10^9\mathrm{W}\cdot 3.156\times 10^7\mathrm{s}=9.47\times 10^{16}\mathrm{J}$
按每次裂变约 200 MeV（即 $3.20\times 10^{-11}\mathrm{J}$，已计入碎片的后续衰变）计算，裂变次数为
$N_{\mathrm{fis}}=\frac{9.47\times 10^{16}\mathrm{J}}{3.20\times 10^{-11}\mathrm{J}}=2.96\times 10^{27}$

即 $2.96\times 10^{27}/(6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1})=4.91\times 10^3\mathrm{mol}$ 的铀-235，或 $4.91\times 10^3\mathrm{mol}\cdot 0.235kg/mol\approx 1150\mathrm{kg}$。消失的质量则小得多，$\Delta m=E/c^2\approx 1.05\mathrm{kg}$，约为被裂变铀质量的千分之一。

一座燃煤电站若要提供相同的热量（每千克 30 MJ），需要燃烧三百多万吨煤，却只会损失同样的 1.05 千克质量。

读懂箭头与计数器

每个绿色箭头都表示一个速度。若开始时总动量几乎为零，两个生成物就沿相反方向运动，速度之比与质量成反比：氪与钡为 141 比 92，中子与氦核为 4 比 1。聚变一侧，入射箭头之比为 3 : 2，因为较轻的氘核必须运动得更快，才能与氚核的动量相匹配。随着带正电的原子核之间的排斥使它们减速，这些箭头都会缩短。

虚线是中子的路径。早期每次裂变释放三个中子，其中两个使新的原子核裂开，因此每次裂变引发 $k=2$ 次新的裂变。第 $g$ 代的裂变数为 $N_g=N_0{k}^g=2^g$，从 $N_0=1$ 开始：1、2、4。炸弹是在致密金属中 $k>1$ 的链式反应，各代之间相隔约十纳秒。动力反应堆则保持 $k=1$：硼或镉制成的控制棒吸收多余的中子，水等慢化剂使其余中子减速，因为慢中子更容易使铀-235 裂开。

常见错误

• 核子不会被消灭。质量数是守恒的，$1+235=141+92+3$；质量减少是因为碎片结合得更紧密，每个核子约多出 0.8 MeV 的结合能。
• $E=m{c}^2$ 并非原子核所独有。燃烧煤也会损失质量，约为 $3\times 10^{-10}$；裂变约损失千分之一，D–T 聚变约损失千分之四。
• 裂变与聚变不会相互抵消。两者都使核子向铁附近的结合能峰值靠拢；使铁裂变，或使其越过峰值聚变，都需要消耗能量。
• 每个粒子都要计入。若在裂变方程中漏掉三个生成的中子，将得到 $\Delta m=3.21\mathrm{u}$ 和近 3000 MeV，约为正确值的十七倍。
• 注意单位。把以 u 为单位的质量乘以 931.5 MeV，或先换算为千克：$0.0189\cdot 1.66\times 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot 8.99\times 10^{16}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2=2.82\times 10^{-12}\mathrm{J}$，结果同样是 17.6 MeV。

它在哪些地方出现

全球约十分之一的电力来自裂变反应堆。太阳将氢聚变为氦，每秒把约 430 万吨质量转化为光；聚变实验则旨在用氘-氚燃料在地球上实现同样的过程。裂变碎片具有放射性，这与《放射性与半衰期》相关；静止能量 $m{c}^2$ 来自《狭义相对论》。接下来，《薛定谔方程与隧穿效应》将解释原子核如何穿过库仑势垒，《粒子与相互作用：标准模型》则说明是什么把质子和中子束缚在一起。

高级

质量即储存的能量

图例

$E$	能量；坐标轴指向更高的能量。	$\mathrm{J}$
$Z{m}_p{c}^2$	$Z$ 个质子的静止能量，相距很远且静止。	$\mathrm{J}$
$N{m}_n{c}^2$	$N$ 个中子的静止能量，相距很远且静止。	$\mathrm{J}$
$E_i$	反应物的静止能量：${}^{235}\mathrm{U}$ 原子核与一个中子。	$\mathrm{J}$
$E_f$	生成物的静止能量：${}^{141}\mathrm{Ba}$、${}^{92}\mathrm{Kr}$ 与三个中子。	$\mathrm{J}$
$B_i$	反应物的结合能，$\sum B(\text{before})$：其能级低于游离核子的深度。	$\mathrm{J}$
$B_f$	生成物的结合能，$\sum B(\text{after})$：其能级低于游离核子的深度。	$\mathrm{J}$
$Q$	反应释放的能量：$Q=E_i-E_f=B_f-B_i$。	$\mathrm{J}$
${}^{235}U$	铀-235 原子核，有 92 个质子和 143 个中子。
${}^{141}Ba$	钡-141 原子核，是一个裂变碎片。
${}^{92}Kr$	氪-92 原子核，是另一个碎片。
$n$	中子（蓝色）；$3n$ 为三个自由中子。

裂变和聚变都是通过重新排列核子来释放能量的，而释放多少能量仅由质量就能读出。图 1 说明了这一点。它是动画中裂变反应 $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n$ 的能量账本，按比例绘制。

从最上面一条线开始。取参与反应的全部 $Z=92$ 个质子和 $N=144$ 个中子（铀的 143 个加上入射的一个），设想它们相距很远且静止。那么它们的能量就只是静止能量 $Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2$，其中 $m_p$ 和 $m_n$ 分别是质子和中子的质量。

现在让核子聚合成原子核。强核力将它们拉近，能量随之降低。降低的幅度就是结合能 $B$：把核子重新拆散所需提供的能量。在左侧，反应物 ${}^{235}\mathrm{U}$ 原子核和中子 $n$ 位于能级 $E_i$，比最上面一条线低 $B_i$。在右侧，生成物 ${}^{141}\mathrm{Ba}$、${}^{92}\mathrm{Kr}$ 和三个自由中子位于能级 $E_f$，比它低 $B_f$。两条较低能级之间的短线段，就是交给周围环境的能量：
$Q=E_i-E_f=B_f-B_i$
注意它很小：约为任一深度的十分之一。裂变前后，核子的束缚程度几乎相同；裂变只让它们稍微结合得更紧一些。

这些能量为什么会表现为质量的变化？想象一个箱壁完全绝热的密封箱，里面装有一个铀-235 原子核和一个慢中子，放在秤上。让裂变在箱内发生。碎片飞开，其动能在箱壁中转化为热，但没有任何东西离开箱子，因此它的总能量不变，质量也不变。现在打开一扇窗，让热量散出：箱子就会恰好变轻 $Q/c^2$。缺失的质量，即质量亏损，并没有被消灭；它正是被释放的能量所带走的质量。

一般规律是：任何复合物体的质量，等于其总内能除以 $c^2$：各部分的静止能量加上它们的动能和势能。在原子核内部，强力使势能很大且为负，因此原子核比自由核子轻。这一差额乘以 $c^2$ 就是结合能，也就是图 1 中低于最上面一条线的能级深度：
$B=(Z{m}_p+N{m}_n-M)c^2$
这里 $M$ 是原子核的质量。表中列出的是中性原子的质量，包括电子；使用它们时，应以氢原子质量 $m_{\mathrm{H}}$ 代替 $m_p$，这样电子质量就会相互抵消。

现在来算账。把定义式改写为 $M{c}^2=Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2-B$，对每个原子核都成立，再把反应前后的各项分别相加。裂变以及氘与氚的聚变（D–T 聚变，${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n$）都分别保持质子总数和中子总数不变。因此，核子的静止能量在两侧相同而相互抵消；自由中子则只需视为 $B=0$ 的原子核。剩下的只有结合能：
$Q=\sum B(\text{after})-\sum B(\text{before})$
用图 1 的符号，$B_i=\sum B(\text{before})$，$B_f=\sum B(\text{after})$，因此这就是同一个 $Q=B_f-B_i$。当反应的生成物比反应物结合得更紧密时，反应就会释放能量；无论力的细节或原子核如何断裂，仅凭质量表就足以算出释放多少能量。

读懂结合能曲线

图例

$A$	质量数：原子核中核子的数目。
$B/A$	每个核子的结合能：结合能 $B$ 除以 $A$，即每个核子的平均束缚能。虚线标出 $8\mathrm{MeV}$。	$\mathrm{J}$
${}^{2}H$	氘，$B/A=1.112\mathrm{MeV}$。
${}^{3}H$	氚，$B/A=2.827\mathrm{MeV}$。
${}^{4}He$	氦-4，$B/A=7.074\mathrm{MeV}$：D–T 聚变的产物。
${}^{56}Fe$	铁-56，$B/A=8.790\mathrm{MeV}$，接近曲线顶端。
${}^{92}Kr$	氪-92，$B/A=8.513\mathrm{MeV}$：一个裂变碎片。
${}^{141}Ba$	钡-141，$B/A=8.326\mathrm{MeV}$：另一个碎片。
${}^{235}U$	铀-235，$B/A=7.591\mathrm{MeV}$：发生裂变的原子核。

结合能曲线告诉我们每个原子核结合得有多紧，因此也决定了哪些反应能够释放能量。图 2 绘制的是每个核子的结合能 $B/A$ 随质量数 $A$（即核子数）变化的曲线，横轴为对数坐标，以便轻核和重核都能画在图中。各点为实测原子核。紫色曲线是下一节的液滴公式，从 $A=10$ 开始绘制（动画中的专家图显示的是同一图线，曲线为金色）。

从左往右看：曲线在最轻的原子核处急剧上升，氘 ${}^2\mathrm{H}$ 为每个核子 1.112 MeV，氚 ${}^3\mathrm{H}$ 为 2.827 MeV，氦-4 为 7.074 MeV。曲线在 ${}^{56}\mathrm{Fe}$（铁-56）附近达到 8.790 MeV 的峰值，然后缓慢下降至铀-235 的 7.591 MeV。凡是使核子沿曲线上移的反应都会释放能量。在陡峭的左侧，这意味着轻核聚合，即聚变；在平缓的右侧，则意味着重核分裂，即裂变。

图 2 中的箭头就是动画中的两个反应，其标记点也以同样方式沿曲线上升。聚变箭头从 ${}^2\mathrm{H}$ 和 ${}^3\mathrm{H}$ 指向 ${}^4\mathrm{He}$。裂变箭头从 ${}^{235}\mathrm{U}$ 指向它的两个碎片：氪-92 为 8.513 MeV，钡-141 为 8.326 MeV，两者都高于铀。由于 $B/A$ 乘以 $A$ 就是原子核的结合能 $B$，因此规则 $Q=\sum B(\text{after})-\sum B(\text{before})$ 无需任何质量就能给出两者的能量，其中自由中子计为零：
$Q_{\mathrm{fus}}=4\cdot 7.074-2\cdot 1.112-3\cdot 2.827=17.59\mathrm{MeV}$
$Q_{\mathrm{fis}}=141\cdot 8.326+92\cdot 8.513-235\cdot 7.591=173.3\mathrm{MeV}$

两种过程在每个核子上的表现截然不同。D–T 聚变在其五个核子中，每个核子平均释放约 3.5 MeV，是一次陡峭的攀升。裂变每个核子获得的能量要少得多。铀的 235 个核子中，有 233 个在碎片中保持束缚，每个核子比之前多束缚约 0.81 MeV（碎片的平均 $B/A$ 为 8.400 MeV，减去 7.591 MeV）。另外两个核子则以自由中子的形式离开，各自放弃了 7.591 MeV 的束缚能。两者之差 $233\cdot 0.809-2\cdot 7.591\approx 173\mathrm{MeV}$ 即为同一个 $Q$：裂变的总能量大，来自核子数量多，而不是每个核子获益大。

两种过程都受铁的限制。使原子核超过峰值聚变，或使低于峰值的原子核裂变，都会使核子沿斜坡下降、结合变松，因此反应需要消耗能量，而非释放能量。

为什么曲线有峰值：液滴模型

曲线的形状源于两种力之间的较量：把每个核子束缚在其邻居上的核力，以及质子之间的电排斥。把原子核看成一滴带电液体的简单模型，能同时捕捉这两者，并给出图 2 中的曲线。

先看核力。它很强，但作用距离很短，只在约 $10^{-15}\mathrm{m}$ 范围内起作用，而且具有饱和性：每个核子只束缚其最近的邻居，无论周围有多少其他核子。由此可得两点。第一，核子在所有原子核中的堆积方式相同，因此各原子核的密度大致相同；体积与 $A$ 成正比，半径为 $R=r_0{A}^{1/3}$，其中 $r_0\approx 1.2\times 10^{-15}\mathrm{m}$。第二，束缚的行为与液体相似。每个内部核子贡献相同的束缚能，因此束缚能随体积增长，为 $a_{V}A$。表面核子的邻居较少，因此要减去一项与表面积成正比的 $a_S{A}^{2/3}$。在轻核中，相当大比例的核子位于表面，这就是曲线在左侧陡峭上升的原因。

再看电排斥。一个半径为 $R$、电荷为 $Ze$ 且均匀分布在其中的球体，储存的电能为 $\frac{3}{5}{Z}^2{e}^2/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$。代入 $R=r_0{A}^{1/3}$，得到一项 $a_C{Z}^2/A^{1/3}$，其系数为
$a_C=\frac{3}{5}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\approx 0.72\mathrm{MeV}$

最后是泡利不相容原理：任意两个中子、任意两个质子都不能占据同一状态，因此每类核子各自填充自己的能级阶梯。中子多于质子的原子核，必须把多余的中子放在更高的能级上，这需要付出能量。当 $N=Z$ 时，这一不对称项为零。四项合起来为
$B=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-\frac{a_C{Z}^2}{A^{1/3}}-\frac{a_A(N-Z{)}^2}{A}$
其中 $a_V=15.75$，$a_S=17.8$，$a_C=0.711$，$a_A=23.7\mathrm{MeV}$，它们由实测质量拟合得出，正是图 2 曲线所依据的数值。拟合得到的 $a_C$ 与上面的估算相当吻合。

现在来看峰值。仅凭体积项，每个核子的束缚能相同，$B/A$ 将保持不变。表面项使轻核中的 $B/A$ 下降得最多。库仑项在重核中下降得最多：由于 $Z$ 大致与 $A$ 成正比，它按 $A^{5/3}$ 的方式增长，比体积项增长得更快。在铀-235 中，库仑项耗去 975 MeV，而总束缚能为 1784 MeV。这两项损失之间，就是铁附近的最大值。两个较小的原子核容纳相同的 92 个质子，所需的总电能更少，因为每个质子现在只受到其所在碎片内质子的排斥；表面能略有上升，但库仑能的节省更大，裂变释放的正是这一差值。

同样的较量也解释了为什么重核要携带额外的中子。库仑项有利于减少质子，不对称项有利于 $N=Z$，而随着原子核增大，平衡向中子偏移：铀-235 有 92 个质子和 143 个中子。碎片继承了这一多余的中子。钡-141 有 85 个中子，而最重的稳定钡同位素钡-138 只有 82 个；相对于它们的大小，碎片中子过多，因而具有放射性。

裂变势垒

图例

$\epsilon$	伸长量：液滴从球形拉伸成体积相同的细长形状的程度。
$E$	原子核在该形状下的能量，相对于球形时的能量。	$\mathrm{J}$
$E_B$	裂变势垒相对于球形的高度：铀约为 6 MeV。	$\mathrm{J}$
${}^{236}{U}^{\ast }$	${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$ 的激发能，由 ${}^{235}\mathrm{U}$ 与一个慢中子形成：6.5 MeV，高于势垒。	$\mathrm{J}$
${}^{239}{U}^{\ast }$	${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$ 的激发能，由 ${}^{238}\mathrm{U}$ 与一个慢中子形成：4.8 MeV，低于势垒。	$\mathrm{J}$

曲线表明，铀通过裂变会释放能量，那么为什么铀核不会自行裂开？图 3 给出了答案。它绘制了原子核的能量 $E$（相对于球形时的能量）随其伸长量 $\epsilon$ 的变化：这是一个无量纲小量，表示液滴从球形拉伸成体积相同的细长形状的程度。横轴下方的形状分别表示球体、被拉伸的液滴，以及即将断裂的液滴。

液滴的两项在拉伸时会发生变化。表面增大，表面能 $E_S$ 上升，增量为 $\frac{2}{5}{\epsilon }^2{E}_S$。质子平均而言相距更远，因此库仑能 $E_C$ 下降，减少量为 $\frac{1}{5}{\epsilon }^2{E}_C$。净变化 $(\frac{2}{5}{E}_S-\frac{1}{5}{E}_C){\epsilon }^2$ 只要 $E_C<2E_S$ 就为正：此时曲线从球形处开始向上，微小的拉伸会被拉回。由液滴模型，$E_C/E_S=(a_C/a_S)Z^2/A$，因此条件为 $Z^2/A<2a_S/a_C\approx 50$。

铀的 $Z^2/A\approx 36$，通过了这一判据：它位于图 3 左侧的凹槽中。要发生裂变，它必须先被拉伸越过山峰，即裂变势垒，其高度 $E_B$ 约为 6 MeV。越过顶点之后，库仑能占优，随着原子核形成颈部并断裂成两部分，能量持续下降：即右侧向下的箭头。

越过势垒所需的能量从何而来？被俘获的中子会把它的结合能以激发能的形式带入原子核，图 3 中的两个蓝色箭头显示了这一数值。铀-235 与一个慢中子结合形成 ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$（星号表示激发态原子核），激发能为 6.5 MeV，超过势垒：它的箭头越过山峰，原子核随即裂开。这就是动画中原子核的短暂颤动。铀-238 与一个慢中子结合形成 ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$，激发能只有 4.8 MeV：它的箭头撞上山峰的壁面而停止。两者的差别来自配对效应。核子成对时结合得更紧，加入铀-235 的中子使一个核子对完整，而加入铀-238 的中子则没有配对。要使铀-238 裂变，入射中子必须以动能的形式补足所缺的能量，约为 1 MeV。

因此反应堆使用稀有同位素铀-235（仅占天然铀的 0.7 %）：它能被任何能量的中子裂变。慢中子比快中子更容易被它俘获，所以反应堆会将中子减速。

链式反应与缓发中子

每次裂变会释放两个或三个中子（动画中的反应释放三个），这些中子可以使更多的原子核裂开。倍增因子 $k$ 是一次裂变所产生的中子中，平均有多少个会引发另一次裂变。经过 $g$ 代后，$N_0$ 个中子变为 $N_g=N_0{k}^g$。当 $k<1$ 时链式反应消失，$k=1$ 时保持稳定，$k>1$ 时增长。反应堆在 $k=1$ 下运行。

链式反应增长的快慢取决于相邻两代之间的时间。如果每个中子都在裂变瞬间发射（瞬发中子），一代约持续 $10^{-4}\mathrm{s}$，即每秒 $10^4$ 代。那样的话，即使 $k=1.001$，也会在一秒内使功率乘以 $1.001^{10^4}\approx 2\times 10^4$，远快于任何机械控制所能跟上的速度。

控制依赖于缓发中子。约 0.65 % 的裂变中子不是在裂变时发射的，而是数秒之后，由碎片衰变时放出。等待它们使平均每代延长到约 0.1 s，因此同样的 $k=1.001$ 每秒只使功率增加约 1 %，慢到足以移动控制棒。这只在链式反应需要缓发中子时才成立。当 $k\approx 1.0065$ 以上时，仅靠瞬发中子就足以使链式反应增长，快速倍增便会再次出现，因此反应堆必须始终低于这一数值。

聚变：库仑势垒与隧穿

图例

$r$	两个原子核中心之间的距离。	$\mathrm{m}$
$U$	粒子对的势能：$r_n$ 之外为电排斥，之内为核吸引。	$\mathrm{J}$
$U_C$	接触处库仑山峰的高度：约 0.4 MeV。	$\mathrm{J}$
$E$	粒子对的碰撞能量：正文例子中为 10 keV。	$\mathrm{J}$
$r_n$	接触距离，即核力开始束缚处：约 3.5 fm。	$\mathrm{m}$
$r_t$	转折点，此处 $U=E$：对于 10 keV，约为 144 fm。	$\mathrm{m}$
$P$	粒子对从 $r_t$ 隧穿到 $r_n$ 的概率。

聚变面临的是相反的问题。要结合的两个原子核都带正电，因此相互排斥，而核力只有在二者接触时才发挥束缚作用。图 4 展示了这一障碍。它绘制了氘-氚对的势能 $U$ 随其中心距离 $r$ 变化的曲线。在远处，$U$ 是它们的电排斥能 $e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$：即红色曲线，向左上方升起。在接触距离 $r_n$（约 3.5 fm）处，核力接管，这一对粒子落入左下方深深的核势阱。红色山峰在 $r_n$ 处的顶点，就是库仑势垒 $U_C$。取 $e^2/(4\pi {\epsilon }_0)=1.44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}$，则
$U_C=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_n}=\frac{1.44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{3.5\mathrm{fm}}\approx 0.4\mathrm{MeV}$

现在追踪一对粒子，它们以碰撞能量 $E$ 从右侧飞来，即紫色箭头。按经典理论，它们会爬上山坡，直到全部动能转化为势能，即 $U=E$ 处；那就是转折点 $r_t$，它们在此停下并折返。在温度为 $1.2\times 10^8\mathrm{K}$ 的等离子体中，热能为 $k_{\mathrm{B}}T=10\mathrm{keV}$。一对迎面而来、能量为 10 keV 的粒子会在 $r_t=1.44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}/0.010\mathrm{MeV}=144\mathrm{fm}$ 处折返，比 $r_n$ 远约 40 倍。按经典理论，它们永远不会聚变。

量子力学改变了这一点。原子核也表现为波，而波能够穿过粒子在经典意义上无法进入的区域。这就是隧穿：图 4 中从 $r_t$ 到 $r_n$ 的虚线箭头，以概率 $P$ 穿越。在动画中，这是标注为“隧穿”的一步，即减速后的原子核跃过最后一段距离。对于能量为 $E$ 的 D–T 碰撞，
$P\approx e^{-\sqrt{E_G/E}}$
其中伽莫夫能 $E_G\approx 1.2\mathrm{MeV}$ 是由该对粒子的电荷和质量决定的常数。$P$ 很小，但随能量急剧上升：在 10 keV 时为 $2\times 10^{-5}$，在 30 keV 时为 $2\times 10^{-3}$。

因此有两种效应相互竞争。在等离子体中，高能原子核很少，其数量随能量迅速减少；低能原子核很多，但几乎不发生隧穿。两者的乘积在远高于热能处出现峰值，因此在 10 keV 的等离子体中，大多数聚变来自能量接近 30 keV 的少数粒子对。

只有当聚变等离子体足够致密、足够热，并且被约束足够长的时间时，它释放的能量才会超过损失的能量。条件取决于密度 $n$、温度 $T$ 与约束时间 $\tau$ 的乘积：$nT\tau$ 必须达到约 $3\times 10^{21}\mathrm{keV}\cdot s/{\mathrm{m}}^3$，例如每立方米 $10^{20}$ 个离子，温度 10 keV，并保持 3 s。

例题：是什么推动碎片分离

问题：在动画的裂变中，两个碎片带走约 160 MeV 的动能（占 173 MeV 的大部分），其余由中子和伽马射线带走。是哪种力提供了这份能量？碎片分离时相距多远？它们如何分享这份能量？

这个力必须作用于远大于核力作用范围的距离上，因此它是钡的 56 个质子与氪的 36 个质子之间的电排斥。把碎片看作两个点电荷，起始时静止，中心相距 $d$。当它们飞开时，其电势能全部转化为动能：
$K_{\mathrm{tot}}=\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}d}=\frac{56\cdot 36\cdot 1.44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}=\frac{2903\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}$

第一步，分离距离。若碎片是相互接触的球体，半径分别为 $r_0{A}^{1/3}=6.2$ 和 $5.4\mathrm{fm}$，则 $d=11.7\mathrm{fm}$，公式将给出约 250 MeV，超过整个 $Q$。实际的 160 MeV 需要更大的起始距离，即 $d=2903/160=18.1\mathrm{fm}$。因此，分离时碎片并非球形，而是由一段细颈相连的细长形状，它们的中心比接触的球体多相距约 6 fm。它们的形变能并未丢失：它使碎片升温，碎片随后通过蒸发中子而冷却。

第二步，能量分配。裂变的原子核几乎静止，因此碎片以大小相等、方向相反的动量飞出。由 $K=p^2/(2m)$ 且动量 $p$ 相同，动能与质量成反比，因此较轻的碎片获得较大的份额：$K_{\mathrm{Kr}}=160\cdot 141/233=97\mathrm{MeV}$，$K_{\mathrm{Ba}}=63\mathrm{MeV}$。两者动量相同，$p=\sqrt{2mK}\approx 4070\mathrm{MeV}/c$。

第三步，能量释放得多快。在距离 $r$ 处，动能等于迄今为止失去的势能，即 $K(r)=K_{\mathrm{tot}}(1-d/r)$。因此，碎片在 $r=10d\approx 180\mathrm{fm}$ 处就已拥有 90 % 的能量，此时它们仍深处原子的电子云之中，而电子云的直径约为 $10^5\mathrm{fm}$。裂变的能量是由电排斥提供的，几乎完全在原子核周围的一个极小区域内完成。

适用范围的局限

液滴模型是一种拟合，而非理论。它对重核的拟合精度约为 0.5 %（铀-235 为 1786 MeV，实测为 1784 MeV），但它忽略了壳层结构：与原子中的电子一样，核子也填充壳层，质子数或中子数为 2、8、20、28、50、82 或 126 的原子核，即幻数核，额外稳定。因此，液滴模型给出 ${}^4\mathrm{He}$ 的结合能只有 16 MeV，而实测为 28.3 MeV；对动画中的裂变预测为 162 MeV，而非 173 MeV；并且会把铀分裂成两半相等的碎片，而壳层效应使其不对称地分裂，主要生成质量数接近 $A=95$ 和 $A=140$ 的碎片。

能量核算的两个部分也是近似。用 $K=p^2/(2m)$ 分配能量是非相对论的。在 D–T 聚变中，中子获得 17.59 MeV 中的五分之四，即 14.07 MeV，速度为 $0.17c$；用真实质量做的精确相对论两体计算给出 14.03 MeV，少 0.3 %。另外，把 $Q$ 写成结合能之差，需要 $Z$ 和 $N$ 分别守恒。在弱力将质子转化为中子的情况下，例如太阳的净反应 $4{}^1\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+2e^{+}+2\nu$，每转化一个质子，中子与氢原子之间 0.78 MeV 的质量差都会参与计算：释放的能量为 $28.3-2\cdot 0.78=26.7\mathrm{MeV}$，占质量的 0.7 %。在这些能量下，严格成立的是能量、动量、电荷和核子数的守恒。

通向何方

《薛定谔方程与隧穿效应》将因子 $e^{-\sqrt{E_G/E}}$ 变为可计算的结果。《粒子与相互作用：标准模型》说明核力的来源：它是强相互作用中束缚夸克的胶子的残余效应，并描述了使太阳能将质子转化为中子的弱力。回顾之前的内容：《狭义相对论》提供了 $E=m{c}^2$，《放射性与半衰期》描述了提供缓发中子的衰变碎片，《库仑定律》给出了势垒，《动量与碰撞》则说明能量如何在各产物之间分配。