光电效应

入门

在真空管内的一块干净金属板上照射光，若光的颜色合适，电子就会从表面跳出；电路中的电表随即显示出电流。这就是光电效应。让我们一次看一个观察结果，把实验现象整理出来。

观察1：颜色决定能否发生。动画中，明亮的红灯照射钠板，无论等多久都没有任何反应。昏暗的紫光却能立即起效。
观察2：无需等待。即使是很微弱的紫光，一照射就能立即打出电子。
观察3：亮度决定数量。更亮的紫光打出更多电子，但每个电子的速度都不更快。
观察4：越偏蓝，速度越快。紫外光使电子飞出的速度比紫光更快。

一束均匀铺展在金属板上的光波只能解释第三个观察结果。爱因斯坦在1905年给出的答案是：光以称为光子的微小能量包到达，颜色决定每个能量包的能量。红光光子能量小，紫光光子能量较大，紫外光光子能量更大。电子每次只吸收一个光子，要么全部吸收，要么不吸收。要逸出，它必须支付一笔固定的“逸出费”。红光光子付不起这笔费用，增加更多红光光子也无济于事，就像一群人每人只有一枚硬币，合起来也买不到一张五枚硬币的票。扣除逸出费后剩下的能量，就变成电子的速度。

光电倍增管利用这一效应来计数单个光子，相机传感器和太阳能电池则依赖与其密切相关的效应。爱因斯坦正是因此获得了诺贝尔奖。

自我检验：紫外光能从金属中打出电子，若把它的亮度加倍，电子会飞得更快，还是逸出的电子更多？（逸出的电子更多，而最大速度不变。）

中级

实验测量了什么

两块金属电极封装在抽成真空的玻璃管中：一块是被光照射的金属板（这里为钠），另一块是通过电池和电流表与其相连的收集极。黑暗中电流表示数为零，因为真空中没有电荷可以传导。合适颜色的光会立即产生电流：被称为光电子的电子从被照亮的金属板逸出，到达收集极。

实验者改变光的两个性质：频率 $f$（即颜色）和光强，光强指单位面积上传递的功率。测量两个量：光电流 $I$（反映每秒到达收集极的电子数）以及最快电子的能量。与波动图像不同，电子是否逸出、最快的电子有多快，只取决于频率；光强只影响电流大小。

光的能量包：光子

1905年，爱因斯坦提出光以能量包的形式被吸收和传播，这些能量包现称为光子。频率为 $f$（或波长 $\lambda =c/f$）的光子携带能量
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
其中 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ 为普朗克常量，$c$ 为光速。同一颜色的光越亮，意味着每秒光子数越多，而不是光子能量越大。

原子物理中，此类能量常用电子伏特来表示，即电子通过1 V电势差时获得的能量：$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$。利用乘积
$hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$
以电子伏特为单位的光子能量等于1240除以以纳米为单位的波长：400 nm 紫光的能量为 3.10 eV。

能量平衡：爱因斯坦方程

金属内部的传导电子可自由移动，但即使是束缚最松的电子逸出也需要一定能量，称为逸出功 $\phi$：铯约为2.1 eV，钠为2.28 eV，锌为4.3 eV，金为5.1 eV。电子要么吸收整个光子，要么一个也不吸收。若 $hf$ 超过 $\phi$，电子便克服逸出功逸出，并以剩余能量作为动能：
$K{E}_{\max }=hf-\phi$

“最大”一词很重要：只有从占据的最高能级出发、逸出过程中不损失任何能量的电子，才能带走全部 $hf-\phi$。来自较低能级或金属更深处的电子逸出时能量更少，从零到 $K{E}_{\max }$ 都有可能。

若 $hf$ 小于 $\phi$，单个光子无法使电子逸出，而电子也无法积累多个光子的能量：它会在另一个光子到达之前，把微小的增益以热的形式传给金属。临界情形 $hf=\phi$ 定义了阈值频率和阈值波长：

• $f_0=\frac{\phi }{h}$
• ${\lambda }_0=\frac{hc}{\phi }$

阈值是最低频率，但对应的是最长波长：波长超过 ${\lambda }_0$ 的光，无论多强都无法打出电子。

例题：动画中的钠板

动画中的金属板是钠，$\phi =2.28\mathrm{eV}$，因此 ${\lambda }_0=1240/2.28\approx 544\mathrm{nm}$，位于绿光区，$f_0\approx 5.51\times 10^{14}\mathrm{Hz}$。700 nm 的亮红灯给出 $hf=1240/700=1.77\mathrm{eV}$，$hf-\phi =1.77-2.28=-0.51\mathrm{eV}$。其14个光子中没有任何一个能打出电子，红色标签显示没有发射。

400 nm 的紫光给出 $hf=3.10\mathrm{eV}$，$K{E}_{\max }=3.10-2.28=0.82\mathrm{eV}$；250 nm 的紫外光给出 $hf=4.96\mathrm{eV}$，$K{E}_{\max }=2.68\mathrm{eV}$。这些正是 $\lambda$、$hf$ 和 $hf-\phi$ 读数上的数值。由于 $0.82\mathrm{eV}=1.31\times 10^{-19}\mathrm{J}$，最快的紫光电子速度为 $v=\sqrt{2K{E}_{\max }/m}\approx 5.4\times 10^{5}m/s$；最快的紫外光电子达到 $9.7\times 10^{5}m/s$。

蓝色速度箭头体现了这一点。三分之一的电子以 $K{E}_{\max }$ 逸出；其余电子在金属内部损失了能量，只保留其中的 45 % 或 75 %，因此箭头更短。最快紫外光箭头的长度是最快紫光箭头的 $\sqrt{2.68/0.82}\approx 1.8$ 倍。当紫光变亮时，九个光子打出九个电子而不是三个，但读数仍为 0.82 eV。

例题：紫外光照射的锌板

一块干净的锌板，$\phi =4.3\mathrm{eV}$，被汞灯254 nm的紫外谱线照射。可见光能否使它发生光电效应？最快电子速度多大？电流有多大？

锌的阈值为 ${\lambda }_0=1240/4.3\approx 288\mathrm{nm}$，已经位于紫外区，因此能使钠发生光电效应的紫光在这里打不出任何电子。254 nm 时，$hf=1240/254=4.88\mathrm{eV}$，$K{E}_{\max }=4.88-4.3=0.58\mathrm{eV}$：最快电子的速度约为 $4.5\times 10^{5}m/s$。

假设有 1.0 mW 的这种光到达金属板。每个光子能量为 $4.88\mathrm{eV}=7.82\times 10^{-19}\mathrm{J}$，因此每秒约有 $1.3\times 10^{15}$ 个光子到达。裸金属的转换效率很低：若每一千个光子中有一个打出电子，则每秒有 $1.3\times 10^{12}$ 个电子逸出，电流为 $I\approx 1.3\times 10^{12}\cdot 1.602\times 10^{-19}\approx 2\times 10^{-7}\mathrm{A}$，即 0.2 µA。灯的功率加倍会使电流加倍，但 0.58 eV 保持不变。

读懂能级图与图像

能级图以高度表示电子的能量。电子填充金属中直到某一最高能级，处于静止状态、刚好在表面外的电子则高出 $\phi$。一个光子使一个电子恰好升高 $hf$。对于紫光，3.10 eV 分成两部分：2.28 eV 用于爬出，0.82 eV 作为运动能量；红光的 1.77 eV 则差 0.51 eV 不够，电子获得的能量最终变为热量。

对于高于阈值的某一颜色，光电流随光强的变化是一条过原点的直线，而 $K{E}_{\max }$ 随光强的变化是水平的。$K{E}_{\max }$ 随频率的变化在 $f_0$ 之前为零，之后是斜率为 $h$ 的直线：所有金属的斜率相同，但起点都是各自的 $f_0=\phi /h$。动画的高级视图绘制了这条图线。

常见错误

• 亮光并不会使电子更快：动画中把紫光加倍，只会使打出的电子数加倍，每个电子的能量仍至多为 0.82 eV。
• 阈值以下等待无济于事：红灯即使照射钠板数小时，每个 1.77 eV 的光子仍然不足 2.28 eV。
• 逸出功是减去而不是加上：紫光照射钠板时为 $3.10-2.28=0.82\mathrm{eV}$，而不是 5.38 eV。
• 阈值属于金属而不属于光：400 nm 的光能从钠中打出电子，却不能从锌中打出，因为锌的阈值为 288 nm。
• 在使用 $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$ 之前，先把电子伏特换算为焦耳：0.82 eV 为 $1.31\times 10^{-19}\mathrm{J}$，得到 540 km/s；若直接代入 0.82，则得 $1.3\times 10^{15}m/s$，比光速还快。

应用领域

光电倍增管在医学扫描仪、粒子探测器和望远镜中计数单个光子，每个光电子约倍增一百万倍。夜视增强器的原理相同；阳光下的航天器会因紫外光从其表面打出电子而带上几伏的正电荷。太阳能电池和相机传感器利用的是内光电效应，即光子将半导体内部的电子提升，而不是将其打出材料。

$hf$ 的量子贯穿现代物理的许多领域。在《原子模型：玻尔原子》中，原子发射和吸收的光子能量与两个能级之间的差距相等；《半导体、二极管与发光二极管》将这一效应反过来应用；《波粒二象性》还赋予电子一个波长。

高级

测量能量：遏止电压

光电效应由两个测量确定：每秒有多少电子从被照亮的金属中逸出，以及其中最快的电子携带多少动能。前者只是电流；后者需要一个技巧，即遏止电压，图1说明了它的原理。

图例

$I$	光电流：每秒到达收集极的电子所携带的电荷。	$\mathrm{A}$
$V$	收集极相对于被照亮极板的电压；负值使电子被推回。	$\mathrm{V}$
$V_0$	紫光的遏止电压：电流在 $V=-V_0$ 处为零。	$\mathrm{V}$
$V_0^{\prime }$	紫外光的遏止电压；因为每个紫外光子携带更多能量，所以它大于 $V_0$。	$\mathrm{V}$
$I_1$	暗紫光中的光电流；其平台即为饱和电流。	$\mathrm{A}$
$I_2$	亮紫光中的光电流，每秒光子数为 $I_1$ 的三倍。	$\mathrm{A}$
$I_3$	紫外光中的光电流，每秒光子数最多。	$\mathrm{A}$

装置是一个真空管，内含两个电极：一块被光照射的钠板，以及与之相对的收集极。收集极的电压 $V$ 相对于被照亮的金属板测量，电表记录光电流 $I$，即到达收集极的电子每秒携带的电荷量。图1展示了三组实验：暗紫光（$I_1$）、同颜色但更亮的紫光（$I_2$）以及紫外光（$I_3$）。

从图1的右侧开始，此时 $V$ 为正。收集极吸引电子，每个从金属板逸出的电子都会被收集，每条曲线都会趋于一个平台，即饱和电流。平台反映的是每秒的电子数，因此对于同一颜色的光，它与每秒到达的光子数成正比：$I_2$ 的光子数是 $I_1$ 的三倍，其平台也高三倍。紫外光实验中每秒光子数最多，因此其平台最高。平台只告诉你有多少电子逸出，从不说明它们跑得多快。

现在向左移动，此时 $V$ 为负。收集极现在排斥电子，电子要到达它，必须爬过一个高度为 $e|V|$ 的势能山坡，其中 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ 为基本电荷。只有离开金属板时动能大于此值的电子才能越过。电子以一定的能量和方向分布逸出（图2说明了这种分布的来源），因此随着 $V$ 变得更负，最慢的电子首先被折返，电流逐渐下降。当 $V=-V_0$ 时电流降为零，此时即使是最快的电子（动能最大的 $K{E}_{\max }$）也刚好被折返：
$e{V}_0=K{E}_{\max }$

电压 $V_0$ 称为遏止电压。它将能量测量转化为电压读数：被恰好1 V 遏止的电子动能为1 eV，其中电子伏特即电子通过1 V 电势差获得的能量，$1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$。对于钠，在400 nm 紫光下 $V_0=0.82\mathrm{V}$，在250 nm 紫外光下 $2.68\mathrm{V}$，即动画 $V_0$ 读数上的数值。因此最快电子分别携带 0.82 eV 和 2.68 eV。

现在比较图1中各曲线到达零的位置。两条紫光曲线的高度相差三倍，但都在相同的 $-V_0$ 处到达零。紫外光曲线 $I_3$ 在更左侧的 $-V_0^{\prime }$ 处到达零，因为其电子更快。对于任意一组实验都是如此：同一颜色的各种光强都在相同电压处被遏止，不同颜色则各有其遏止电压。光强决定电流，频率决定能量。这就是图中蕴含的全部谜题，本节其余部分将说明其原因。

单个光子的能量守恒

为什么能量只取决于颜色？爱因斯坦在1905年的答案是光以整份量子即光子的形式被吸收，每个光子携带能量 $hf$，其中 $f$ 为光的频率，$h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ 为普朗克常量。图2追踪了一个光子从被吸收到其电子逸出金属外的能量变化。

图例

$E$	电子的能量。	$\mathrm{J}$
$E_F$	费米能级：金属中最高的占据电子态。	$\mathrm{J}$
$E_0$	真空能级：刚好处于金属外静止的电子的能量。	$\mathrm{J}$
$\phi$	逸出功：从 $E_F$ 到 $E_0$ 的间距，即释放电子所需的最小能量。	$\mathrm{J}$
$hf$	被吸收光子的能量，两个电子相同。	$\mathrm{J}$
$\epsilon$	第二个电子的起始位置低于费米能级的深度：它离开时必须额外付出的能量。	$\mathrm{J}$
$K{E}_{\max }$	起始于费米能级的电子逸出后的动能：$hf-\phi$。	$\mathrm{J}$
$KE$	起始低 $\epsilon$ 的电子逸出后的动能：$hf-\phi -\epsilon$。	$\mathrm{J}$

图2的纵轴为电子的能量 $E$。在金属内部，传导电子从底部向上填满可占据的能态，直到最高占据能级，即费米能级 $E_F$；阴影带表示已被填满的能态。刚好在表面外静止的电子具有真空能级 $E_0$ 的能量。两者之间的差距 $\phi =E_0-E_F$ 即逸出功：将电子从金属中拉出所需的最小能量。对于钠，它为 2.28 eV。

吸收一个光子会使电子恰好升高 $hf$：紫色箭头，对两个电子相同。先看左边的电子。它从费米能级开始，因此只需 $\phi$ 即可到达真空能级。如果它在逸出过程中不损失任何能量，它将余下的能量作为动能保留，即真空能级 $E_0$ 以上的蓝色箭头。没有电子能做得更好，因此这就是最大值：
$K{E}_{\max }=hf-\phi$

现在看右边的电子。它的起始能量比费米能级低 $\epsilon$，因此它需要额外付出 $\epsilon$ 才能逸出，而同一个光子给它留下的动能只有
$KE=hf-\phi -\epsilon$
其蓝色箭头短了 $\epsilon$。来自更深能级的电子，以及在到达表面之前因碰撞而损失能量的电子，逸出时能量更低：这就是图1中曲线逐渐下降的能量分布。令 $\epsilon =0$ 即回到 $K{E}_{\max }=hf-\phi$。爱因斯坦方程只是一个光子与一个电子之间的能量守恒，别无其他；新的物理内容完全在于光以大小为 $hf$ 的量子到达这一主张。

这些箭头是按比例绘制的，对应钠上的紫外光：$hf=4.96\mathrm{eV}$ 和 $\phi =2.28\mathrm{eV}$ 给出 $K{E}_{\max }=2.68\mathrm{eV}$，恰好是图1中测得的 $e{V}_0$；而起始能量低 $\epsilon =0.9\mathrm{eV}$ 的电子逸出时只有 $1.78\mathrm{eV}$。

这一能量核算中隐藏着一个细节：自由电子不能吸收光子。为看清原因，设质量为 $m$ 的电子静止，吸收一个能量为 $E$ 的光子，光子同时携带动量 $E/c$。此时电子的能量为 $m{c}^2+E$，动量为 $p=E/c$。但相对论规定粒子的能量由其动量决定：能量的平方必须为 $(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2=(m{c}^2{)}^2+E^2$。而 $m{c}^2+E$ 的平方比它大了 $2m{c}^{2}E$，因此能量和动量不可能同时守恒。必须有其他物体，例如晶格或表面，来承担动量，因此该效应只属于束缚在金属中的电子，而不属于孤立的电子。

逸出功也不是光所特有的常数。同一势垒也控制着热电子发射，即由热量使电子逸出：随机的热运动使其中少数电子获得足够能量越过势垒，其电流由因子 $e^{-\phi /kT}$ 决定，其中 $k$ 为玻尔兹曼常量，$T$ 为绝对温度。在室温下 $kT\approx 0.025\mathrm{eV}$，对于钠该因子低于 $10^{-38}$：基本没有发射。2500 K 的钨丝（$\phi \approx 4.5\mathrm{eV}$）的 $kT\approx 0.22\mathrm{eV}$，该因子约为 $10^{-9}$，足以产生有用的电流。热量是靠偶然支付逸出费的，一次只有少数电子；光子则是一次性支付的。

直线及其斜率

爱因斯坦方程给出了一个明确且可检验的预言：以频率为横坐标时，$K{E}_{\max }$ 是一条直线，且其斜率对所有金属都相同。图3画出了这一预言，这也是人们最初用光测量 $h$ 的方式。

图例

$K{E}_{\max }$	光电子的最大动能：$hf-\phi$。	$\mathrm{J}$
$f$	光的频率。	$\mathrm{Hz}$
$f_0$	钠的阈值频率 $\phi /h$：其直线与 $f$ 轴相交之处。	$\mathrm{Hz}$
$f_0^{\prime }$	锌的阈值频率，因其逸出功更大而更大。	$\mathrm{Hz}$
$\phi$	钠的逸出功：虚线延伸与能量轴相交于 $-\phi$。	$\mathrm{J}$
$\Delta f$	沿频率轴的一段步长，可在直线上任意取值。	$\mathrm{Hz}$
$h\Delta f$	该步长上直线的升高量，处处相同：直线的斜率为 $h$。	$\mathrm{J}$

图3绘制了 $K{E}_{\max }=hf-\phi$ 随光的频率 $f$ 的变化；粗线是钠。先看其中的小三角形：沿频率轴向右迈出一步 $\Delta f$，直线升高 $h\Delta f$，无论在直线上哪里取这一步都是如此。这就是斜率为 $h$ 的含义。

再看直线与坐标轴的交点。它与频率轴相交于阈值频率 $f_0=\phi /h$，此时光子的能量恰好足以打出电子，没有多余。低于 $f_0$ 时，无论光多亮都没有电子发射，因此没有可测量的东西。延伸到 $f_0$ 以下（虚线）的部分只是外推，并非测量；它与能量轴相交于 $-\phi$，即位于频率轴以下 $\phi$ 深度处，读取这一截距是求出逸出功的一种方法。

细线属于逸出功更大的金属锌，$\phi \approx 4.3\mathrm{eV}$。它的斜率同样为 $h$，因此与钠的直线平行，但其起点是更大的阈值 $f_0^{\prime }=4.3\mathrm{eV}/h\approx 1.04\times 10^{15}\mathrm{Hz}$，已位于紫外区。

动画的高级视图在钠的直线上绘制了三个点。红点位于 $4.28\times 10^{14}\mathrm{Hz}$，低于阈值 $f_0=5.51\times 10^{14}\mathrm{Hz}$，其值为零：没有电子。紫点位于 $7.49\times 10^{14}\mathrm{Hz}$，对应 0.82 eV；紫外点位于 $1.20\times 10^{15}\mathrm{Hz}$，对应 2.68 eV：即图1中的两个遏止电压。暗紫光和亮紫光实验共用一个点，因为光强在此图中根本不出现。

在实验室中，人们测量的是 $V_0$ 而不是 $K{E}_{\max }$。将爱因斯坦方程除以 $e$，得到
$V_0=\frac{h}{e}f-\frac{\phi }{e}$
这是斜率为 $h/e=4.14\times 10^{-15}\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$ 的直线：频率每增加 $10^{14}\mathrm{Hz}$，遏止电压约升高 0.41 V。斜率是普适的，只有截距随金属而变，因此铯、钠和锌的直线相互平行，如图3所示。密立根曾怀疑爱因斯坦的光量子假说，但他在1914至1916年间测量了这样的直线，求得的 $h$ 与今天的值相差在约 1 % 以内。爱因斯坦1921年的诺贝尔奖所引用的正是这一定律，而不是相对论。

为什么经典波动理论无法解释

光作为经典波，已经完美解释了干涉和衍射，那为什么还需要一个新思想？因为波动图像对图1中的三个观察结果都给出了错误的预言。

第一是时间。波连续地输送能量，铺展在整个波前上，而电子只能从大约其所在原子的面积（约 $10^{-20}{\mathrm{m}}^2$）上收集能量。在 0.01 W/m² 的弱光下，该面积接收的功率为 $0.01\cdot 10^{-20}=10^{-22}\mathrm{W}$，因此收集钠的逸出功 $2.28\mathrm{eV}=3.65\times 10^{-19}\mathrm{J}$ 需要
$t=\frac{3.65\times 10^{-19}\mathrm{J}}{10^{-22}\mathrm{W}}\approx 3650\mathrm{s}$
约一小时。而实验中，在其能分辨的几纳秒范围内，完全没有发现任何延迟。

第二是能量。更亮的光具有更强的电场，理应使电子受到更猛烈的振动，从而更快地逸出；但图1显示，更亮的光只产生更多电子，而不是更快的电子。第三是阈值。给予足够长的时间，任何频率的波都应传递足够的能量，然而低于 $f_0$ 时，无论等待多久，都没有电子逸出。三种预言全部失败。

若以光子为图像，三个事实同时得到解释。吸收是全有或全无的，因此第一个光子到达时发射即开始。每个光子的能量 $hf$ 由颜色决定，因此更亮的光意味着更多光子，而不是更大的光子。能量小于 $\phi$ 的光子无论来多少个都打不出电子。光子计数器使这种颗粒性清晰可闻：减弱光强时，它的咔嗒声不会变轻，只是同样响的咔嗒声出现得更稀疏。

光子还携带动量 $p=h/\lambda =E/c$，因此 $E^2-(pc{)}^2=0$：它是静止质量为零的粒子，这正是相对论对以 $c$ 运动的任何物体的要求。1923年，康普顿对X射线被电子散射的研究证实了这一动量。某一特定光子落在何处只能以概率预言，而该概率遵循经典波的强度分布，这就是为什么波动图像仍能正确描述干涉。

需要注意：半经典模型中，电子遵循量子力学，而光仍是经典波，它同样能产生阈值、与光强成正比的电流以及即时发射。因此光电效应只是指向光子，并未证明光子的存在。证明来自单光子实验：1977年的反聚束实验发现，来自单个原子的光从不会在同一瞬间输出两个光子；1986年的发现则是，一个光子射入分束器后，永远不会在两侧同时被探测到。

超越单光子阈值

简单定律假设每个电子只吸收一个光子、金属处于低温、且电子必须离开材料。放宽每一条假设，或将定律反过来使用，就得到四种重要的推广。

• 强激光脉冲提供的光子非常密集，以至于一个电子可以同时吸收 $n$ 个光子：$K{E}_{\max }=nhf-\phi$。其速率随光强的 $n$ 次方增长，因此这需要非常强的光。动画中两个红光光子，$2\cdot 1.77=3.54\mathrm{eV}$，可使钠中逸出的电子动能最高达 1.26 eV，超过单个紫光光子所给出的值。
• 在绝对零度以上的任何温度下，都有少数电子处于略高于费米能级的状态，因此阈值并非绝对清晰，而是在若干 $kT$ 范围内模糊。对 $\phi$ 的精确测量与这一热尾的形状吻合。
• 光电子能谱学将方程反过来用。已知 $hf$（通常为紫外光或X射线），测得的动能给出每个电子的束缚能 $E_{\mathrm{b}}$，即其在费米能级以下的深度（图2中的 $\epsilon$），满足 $KE=hf-E_{\mathrm{b}}-\phi$。
• 在半导体中，光子不需要把电子从材料中打出，只需将其提升越过带隙，即已占据态与可载流的空态之间的能量差：硅中为 1.12 eV。电子留在材料内部，并增加该处的电流。因此硅太阳能电池和相机传感器对所有短于约 1100 nm 的波长都有响应。

例题：测量普朗克常量

图3的直线可将两个遏止电压读数转化为对 $h$ 的测量。假设你既不知道 $h$ 也不知道 $\phi$，只有动画中的读数：400 nm 时 0.82 V，250 nm 时 2.68 V。

首先求频率。由 $f=c/\lambda$ 得它们分别为 $7.495\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ 和 $1.1992\times 10^{15}\mathrm{Hz}$，因此 $\Delta f=4.497\times 10^{14}\mathrm{Hz}$，而 $\Delta V_0=2.68-0.82=1.86\mathrm{V}$。

接着对每个波长写出 $e{V}_0=hf-\phi$ 并相减。两个方程中的逸出功相同，因此被消去，剩下 $e\Delta V_0=h\Delta f$：
$h=\frac{e\Delta V_0}{\Delta f}=\frac{1.602\times 10^{-19}\cdot 1.86}{4.497\times 10^{14}}\approx 6.63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$

知道 $h$ 后，任一读数都可求出 $\phi$。400 nm 时光子能量为 $hc/\lambda =1240/400=3.10\mathrm{eV}$（取 $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$），因此 $\phi =hf-e{V}_0=3.10-0.82=2.28\mathrm{eV}$。该直线现在可以预言任意其他波长下的遏止电压，例如 300 nm 时 $V_0=1240/300-2.28=1.85\mathrm{V}$。

现在去掉收集极，用紫外光照射一个半径 $R=1.0\mathrm{cm}$ 的孤立钠球。每个逸出的电子都会使球带上更多正电荷，因此之后的每个电子都必须爬过球不断升高的电势 $V$，在此过程中损失 $eV$。当 $eV$ 达到 $K{E}_{\max }$ 时，即 $V=2.68\mathrm{V}$ 时，发射停止：球自身充电到遏止电压。球的电势为 $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$，其中 ${\epsilon }_0$ 为真空介电常数，$4\pi {\epsilon }_0=1.11\times 10^{-10}F/m$，因此最终电荷为
$Q=4\pi {\epsilon }_{0}RV=1.11\times 10^{-10}\cdot 0.010\cdot 2.68\approx 3.0\times 10^{-12}\mathrm{C}$
即 $Q/e\approx 1.9\times 10^7$ 个缺失的电子。更亮的光只会使其充电更快，而不会使其电势更高。

适用范围的限制

图3中干净的定律基于理想化假设。实际中有三点最重要：表面、真空管和光子能量范围。

逸出功属于表面，而不仅仅属于金属：它随暴露的晶面而变，甚至只一层吸附原子就能改变。钠的已发表数值约在 2.3 至 2.75 eV 之间，而铯膜可以使表面的逸出功降至 1.5 eV 以下。量子产额也是理想化的：动画中每个高于阈值的光子都打出一个电子，而裸金属的产额通常低于每百个光子一个电子，最好的光电倍增管阴极约为每四个光子一个电子。

实际的真空管通常在极板与收集极之间使用两种不同的金属，而两种不同金属在电路中相连时存在接触电势，其值等于二者逸出功之差除以 $e$。它会使测得的截止点发生偏移：在理想真空管中，$e{V}_0$ 实际上等于 $hf$ 减去收集极的逸出功，而不是极板的逸出功。这种偏移在所有频率下都相同，因此斜率 $h/e$ 不受影响，这使斜率成为稳健的结果。

这里的能量与电子 511 keV 的静止能量相比极小：最快的紫外光电子，动能为 2.68 eV，速度为 $9.7\times 10^{5}m/s$，约为光速 $c$ 的 0.3 %，因此 $\frac{1}{2}m{v}^2$ 足够精确。几十 keV 的X射线能将内层电子打出，且其速度快到需要相对论处理。能量更高时，其他过程开始主导：在约 30 keV 以上，康普顿散射在水和软组织中超过光电吸收；在 1.022 MeV（即电子静止能量的两倍）以上，光子可以产生一对正负电子。

发展方向

《黑体辐射与量子》是 $h$ 首次出现之处，它出现在热体的光谱中；在这里，它成为光本身的性质。《原子模型：玻尔原子》将 $hf=E_2-E_1$ 应用于谱线；《半导体、二极管与发光二极管》以接近带隙能量的光子将内光电效应反过来应用；《波粒二象性》则追踪单个光子通过双缝的行为，并赋予电子波长 $h/p$。光子的动量将本主题与《狭义相对论》以及《动量与碰撞》联系起来，而《粒子与相互作用：标准模型》则将光子表述为电磁力的载体。