热传导、对流与热辐射

入门

第1步。热量总是从温度高的地方流向温度低的地方，并且可以通过三种方式传递。煤气灶上的一锅水同时展示了这三种方式。

第2步。传导：热量通过接触在物质中传递。锅底部的粒子剧烈振动，撞击相邻粒子，使它们也振动得更快，如此一直传到金属的另一端。传递的只是振动，没有物质随之移动。金属能迅速传递热量；木材、塑料、羊毛和静止的空气传热缓慢，被称为绝热体。厚实的外套之所以保暖，是因为它困住了空气。

第3步。对流：由流动的液体或气体携带的热量。靠近锅底的水受热后略微膨胀，密度比上方较冷的水小，于是上升；较冷的水下沉来补充它的位置，形成一个环流。人们常说热量会上升，其实真正上升的是温暖的流体。

第4步。辐射：由不可见的红外线携带的热量，不需要任何介质。阳光穿过真空照暖你的脸，就是这种方式。深色、暗淡的表面吸收并放出这种辐射的能力很强；光亮的表面则会反射辐射，这就是应急毯呈银色的原因。

在动画中，金色箭头表示热量穿过金属底部，那里的粒子在振动。水形成两个环流：红色（温暖）的团块在中间上升，蓝色（较凉）的团块沿两侧下沉。紫色波浪把辐射从火焰带走。

自我检测：为什么汤锅的锅体是金属，手柄却常用塑料或木头？（金属能把热量迅速传给食物；手柄必须是不良导体，这样你才能握住它。）

中级

热流及其驱动因素

热量是因温差而运动的能量，它总是自发地从温度高处流向温度低处。热量 $Q$ 以焦耳计，速率 $Q/t$ 以瓦特计，热流密度 $q$（单位面积上的热流）以 W/m² 计。温差 $\Delta T$ 用开尔文或摄氏度表示时数值相同；只有辐射本身取决于温度，因此此时温度必须用开尔文。

热量通过三种方式传递：传导，粒子之间通过静止的物质传递；对流，由流动的液体或气体携带；以及辐射，即电磁波，主要是红外线，不需要任何介质。动画中的锅同时展示了这三种方式。

传导：傅里叶定律

通过面积为 $A$ 、厚度为 $d$ 的平板层，若两面温差为 $\Delta T$ ，且内部温度已经稳定，则热流为
$\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{d}$

面积加倍相当于路径加倍，温差加倍使推动力加倍，厚度加倍则使热流减半。材料通过导热系数 $k$ 来表征，单位为 W/(m·K)：铜约为 400，不锈钢约为 16，砖约为 0.7，木材约为 0.15，矿棉约为 0.04，静止空气约为 0.025。金属导热好，是因为有自由电子；羊毛、泡沫和羽毛则把空气困在过小而无法循环的孔隙中，从而起到隔热作用。

串联的各层如同电阻一样叠加。每平方米的每一层具有热阻 $R=d/k$ ，单位为 m²·K/W，工程师把它们相加得到 U 值：
$\frac{Q}{t}=UA\Delta T,U=\frac{1}{\sum (d/k)}$
$U$ 值低意味着保温性能好。单层时 $U=k/d$ ，因此厚度加倍，热损失减半。

例题：动画中的锅

钢制锅底的 $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ ， $A=0.03{\mathrm{m}}^2$ ，$d=4\mathrm{mm}=0.004\mathrm{m}$ ，火焰使其底面比顶面高 15 K，因此
$\frac{Q}{t}=\frac{16\cdot 0.03\cdot 15}{0.004}=1800\mathrm{W}$

将 2 kg 水（比热容 $c=4180J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ ）从 20 °C 加热到 80 °C，需要
$Q=mc\Delta T=2\cdot 4180\cdot 60=501600\mathrm{J}\approx 502\mathrm{kJ}$
因此在无损失的情况下，所需时间为 $t=501600/1800\approx 279\mathrm{s}$ ，约 4.6 分钟。

这些是读数上的最终值： $t$ 达到 4.6 分钟，水温达到 80 °C， $Q$ 为 502 kJ，动画把这段时间压缩为八秒。金色箭头标示穿过底部的稳定热流，画得比 4 mm 厚得多，以便显示其中振动的原子。钢的导热性一般，但 4 mm 很薄，因此 15 K 的温差就能驱动 1800 W 穿过它。若换成木质底座（ $k=0.15W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ ），通过的热量约少一百倍。

对流：锅中的环流

接触热底面的水会略微膨胀，密度比周围较冷的水小，正如场景中的密度标签所示。浮力将其托起，密度较大的水下沉来补充。虚线绿色流线闭合成两个环流，在火焰上方一起上升，沿壁面下沉；每个水团上升时变红，下降时变蓝。这是自然对流；若加上风扇或水泵，则成为强迫对流。

没有简单公式能描述整个流动，因此工程师把表面与流体之间交换的热量写成
$\frac{Q}{t}=hA\Delta T$
其中 $\Delta T$ 为表面与远处流体的温差， $h$ 为测量得到的系数：静止空气约为 10 W/(m²·K)，风扇吹出的空气约为 100，沸水则可达数万。这就是牛顿冷却定律；风寒效应也是同一定律，只是风增大了 $h$ 。

辐射：温度的四次方

每个表面都会辐射，在室温附近主要是波长约 10 µm 的红外线。斯特藩–玻尔兹曼定律给出面积 $A$ 、绝对温度为 $T$ 的表面所辐射的功率：
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
其中 $\sigma =5.67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$ ，发射率 $\epsilon$ 的取值从 0（完美镜面）到 1（黑体）。将平板从 27 °C 加热到 327 °C（即 300 K 到 600 K），$T$ 加倍，$P$ 变为 $2^4=16$ 倍。

物体也会吸收周围的辐射，而且良好的发射体同样是良好的吸收体。若周围温度为 $T_0$ ，则净损失为
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$
裸露皮肤温度为 306 K（33 °C）， $\epsilon \approx 0.97$ ，辐射面积约 1.5 m²，身处墙壁温度为 293 K 的房间中，损失为 $0.97\cdot 5.67\times 10^{-8}\cdot 1.5\cdot (306^4-293^4)\approx 115\mathrm{W}$ ，超过静息人体产生的约 100 W。紫色波浪把能量从火焰向侧面带走，而传导和对流几乎不做这件事。

例题：单层玻璃窗

一扇 1.5 m² 的窗户，有一块厚 4 mm 的玻璃（ $k=1.0W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ ），位于 20 °C 的室内与 0 °C 的室外之间。仅就玻璃而言，傅里叶定律给出 $1.0\cdot 1.5\cdot 20/0.004=7500\mathrm{W}$ ，相当于几台电暖器的功率。实际窗户的热损失要少得多：每个表面都附着一层缓慢流动的空气薄膜，它增加一个热阻 $1/h$ ；室内 $h\approx 8W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ （一半来自对流，一半来自辐射），室外有微风时 $h\approx 25W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ 。

每平方米的三个热阻相加：
$R=\frac{1}{8}+\frac{0.004}{1.0}+\frac{1}{25}=0.125+0.004+0.040=0.169{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$
$\frac{Q}{t}=\frac{A\Delta T}{R}=\frac{1.5\cdot 20}{0.169}\approx 178\mathrm{W},U=\frac{1}{R}\approx 5.9W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$

玻璃只提供约 2% 的热阻，真正起隔热作用的是空气薄膜。热流为 $20/0.169\approx 118W/{\mathrm{m}}^2$ ，因此室内空气薄膜承担 $118\cdot 0.125\approx 15\mathrm{K}$ 的温降，玻璃内表面约为 5 °C，低于湿度 50% 的室内空气的露点（约 9 °C）：单层玻璃会结露。$U\approx 1.2W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ 的双层玻璃在此条件下约损失 36 W，而专家视角中的砖加羊毛墙仅损失约 11 W。

常见错误

• “热量上升”只对了一半：温暖的流体会上升，但热量本身通过传导和辐射向各个方向扩散，因此天花板上的加热器也能使 2 m 以下的人变暖。
• 保温材料并不能阻止热量，只能减缓热量。即使是 10 cm 厚的矿棉，$U=0.04/0.1=0.4W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ ，在 20 K 温差下每平方米仍会通过 8 W。
• 室温下的金属和木头温度相同。钢铁摸起来更冷，是因为它的导热能力约高出百倍（16 对 0.15 W/(m·K)），所以会更快地从手上带走热量。
• 切勿把摄氏度代入 $T^4$ 。从 27 °C 升到 327 °C，辐射功率增加 16 倍（300 K 到 600 K），而不是 12 倍，更不是 21 000 倍。
• 差值 $T^4-T_0^4$ 不等于 $(T-T_0{)}^4$ 。对于 306 K 和 293 K，前者对每平方米黑色表面约为 79 W，后者则小于 0.002 W。

实际应用

每一笔供暖账单，都是墙、屋顶和窗户上各项 $UA\Delta T$ 之和。真空保温瓶同时抑制了三种机制：真空阻止传导和对流，镀银则阻止大部分辐射。天气是大尺度的对流，地球的温度则平衡了吸收的太阳光与向太空辐射的红外线。接下来，《气体分子动理论》会逐个分子地展示传导，《黑体辐射与量子》解释 $\sigma T^4$ 从何而来，《热力学第二定律与熵》则解释了为什么热量只会自发地从热处流向冷处。

高级

热流密度与温度梯度

平板层公式 $Q/t=kA\Delta T/d$ 只适用于温度已经稳定的平板层。要处理任意形状的物体以及随时间变化的温度，我们需要一个在每一点都成立的定律。本节即建立这样的定律。

在每一点上，我们使用两个矢量。热流密度 $\vec{q}$ 指向能量流动的方向，其大小为单位时间内穿过垂直于流动方向的单位面积的能量，单位为 W/m²。温度梯度 $\nabla T$ 指向温度上升最快的方向，其大小为每米的温度升高量，单位为 K/m。局部形式的傅里叶定律指出，热量沿梯度方向直线流动，速率由导热系数 $k$ 决定：
$\vec{q}=-k\nabla T$
负号表示热量从热处流向冷处，即逆着梯度方向。

对于平板层，梯度就是 $\Delta T/d$ ，局部定律因此回到平板层公式。在动画中的锅里，钢制锅底厚 4 mm， $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ ，底面比顶面高 15 K。因此 $|\nabla T|=15/0.004=3750K/m$ ， $q=16\cdot 3750=60000W/{\mathrm{m}}^2$ ；乘以锅底 0.03 m² 的面积，即得平板层公式给出的 1800 W。

这一定律的形式与欧姆定律的点形式相同， $\vec{J}=-{\sigma }_{\mathrm{el}}\nabla V$ ：温度相当于电势， $\vec{q}$ 相当于电流密度， $k$ 相当于电导率 ${\sigma }_{\mathrm{el}}$ 。与欧姆定律一样，它是适用于平缓梯度的材料定律，而非基本原理。在纤维状或层状材料中， $k$ 随方向而异：木材沿纹理方向的导热能力约为横向的两倍，因此在那里 $\vec{q}$ 不一定恰好沿梯度方向。

热传导方程的推导

傅里叶定律给出的是某一瞬间的热流。要预测温度分布如何随时间变化，我们需要把它与能量守恒结合起来。由此得到的热传导方程支配着本课其余部分的所有问题。

图例

$x$	沿棒的位置。	$\mathrm{m}$
$T$	某一时刻沿棒的温度分布；虚线为其切线。	$\mathrm{K}$
$dx$	薄片的厚度。	$\mathrm{m}$
$q(x)$	通过左侧面进入薄片的热流密度。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$q(x+dx)$	通过右侧面离开的热流密度；小于 $q(x)$ 。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\rho c$	单位体积的热容：密度乘以比热容。	$J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$
$\partial T/\partial t$	薄片升温的速率。	$K/s$

图 1 显示一根只沿 $x$ 方向导热的棒，以及其中厚度为 $dx$ 的一个薄片。棒上方是某一时刻的温度分布 $T(x)$ ，薄片两个面处各有一条虚线切线。注意这些切线：左侧切线比右侧更陡，因为该分布是凸的（向上弯曲）。每个面上的热流由局部斜率决定， $q=-k\partial T/\partial x$ ，因此左侧进入的箭头 $q(x)$ 比右侧离开的箭头 $q(x+dx)$ 更长。流入的热量多于流出的热量，多出的部分使薄片以绿色箭头所示的速率 $\partial T/\partial t$ 升温。

现在计算能量，按棒横截面的单位面积来算。每秒钟薄片获得 $q(x)-q(x+dx)$ 。对于薄片而言，这一差值等于沿棒的 $q$ 变化率乘以厚度，即 $-(\partial q/\partial x)dx$ 。薄片每单位面积的体积为 $dx$ ，而 $\rho c$ 是单位体积的热容（密度乘以比热容），因此以速率 $\partial T/\partial t$ 使其升温需要 $\rho cdx\partial T/\partial t$ 。令获得量等于储存量并消去 $dx$ ：
$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial x}$

现在代入傅里叶定律 $q=-k\partial T/\partial x$ 。当 $k$ 为常数时， $\partial q/\partial x=-k{\partial }^{2}T/\partial x^2$ ，再除以 $\rho c$ ，即得热传导方程：
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},\alpha =\frac{k}{\rho c}$

对于三维空间中的小方块，同样的能量核算也成立。单位体积净流出的热量为散度 $\nabla \cdot \vec{q}$ ，因此 $\rho c\partial T/\partial t=-\nabla \cdot \vec{q}$ ，而 ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ 变为拉普拉斯算子 ${\nabla }^{2}T$ 。常数 $\alpha$ 是热扩散率，单位为 m²/s。它随 $k$ 增大而增大（热量传递更快），随 $\rho c$ 增大而减小（每开尔文需要更多热量）。

这个方程有一个简单的解释。二阶导数 ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ 是分布的曲率，也就是图 1 中薄片两个面之间斜率的变化。温度分布向上弯曲的地方，某点比其邻点的平均温度低，因此会升温；向下弯曲的地方，该点比邻点更热，因此会降温。所以温度分布中的每一个凸起，都会随时间被抹平。

热量传播的距离与速度

在求解任何问题之前，热传导方程已经告诉我们问题的时间尺度。通常这就是工程师所需要的全部。

方程中只包含一个常数 $\alpha$ ，单位为 m²/s。由 $\alpha$ 和时间 $t$ 能构成的唯一长度是 $\sqrt{\alpha t}$ ，因此经过时间 $t$ 后，扰动传播的距离量级为 $\sqrt{\alpha t}$ 。反过来说，厚度为 $d$ 的一层需要约 $d^2/\alpha$ 的时间才能达到稳定状态。这个时间与厚度的平方成正比：厚度加倍，所需时间变为四倍。

以下三个例子。锅的钢制底座，密度为 7900 kg/m³，比热容为 500 J/(kg·K)，因此 $\alpha =16/(7900\cdot 500)\approx 4.1\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ ，并在约 $0.004^2/(4.1\times 10^{-6})\approx 4\mathrm{s}$ 内稳定。与 279 s 的升温时间相比，这一时间极短，因此对锅使用稳定的平板层公式是合理的。二十厘米厚的砖， $\alpha \approx 4.6\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$ ，约需 24 小时。锅中 6.7 cm 深的水若仅靠传导完全升温，需要约 9 小时；而对流只需几分钟。

图中的墙体

动画的高级视图展示了一面墙的升温过程。跟随它的变化，可以看到热传导方程的实际作用：热量缓慢渗入，能量被储存，最终达到稳定状态。

图例

$x$	距内侧（室内一侧）表面的距离。	$\mathrm{m}$
$T$	开始六小时后墙体中的温度。	$\mathrm{K}$
$k_1$	砖（内层）的导热系数。	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	矿棉（外层）的导热系数。	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$\sqrt{\alpha t}$	经过时间 $t$ 后，升温渗入砖中的距离；该处分布约为表面值的一半。	$\mathrm{m}$
$E$	每平方米墙面中砖储存的能量：$\rho c$ 乘以阴影面积。	$J/{\mathrm{m}}^2$
$T_{\infty }$	墙体所趋近的稳定分布，每一层内为直线。	$\mathrm{K}$

图 2 显示的是开始六小时后的墙体。它由室内一侧 20 cm 厚的砖（ $k_1=0.7W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ ）和室外一侧 10 cm 厚的矿棉（ $k_2=0.04W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ ）组成，图中以与坐标轴 $x$ 相同的比例、画在轴下方的条带表示。起初一切都处于 0 °C；内表面在 $x=0$ 处被保持在 20 °C，外表面则保持在 0 °C。

从左到右读取红色的温度分布 $T(x)$ 。它在内表面附近急剧下降，而且几乎还没有到达羊毛层：升温仅向砖中渗入了约 $\sqrt{\alpha t}$ 的距离，即轴下方所标的距离。经过 $t=6\mathrm{h}=21600\mathrm{s}$ 后，这一距离为 $\sqrt{4.6\times 10^{-7}\cdot 21600}\approx 0.10\mathrm{m}$ 。在该深度（圆点所示处），温度分布约为 10 °C，接近表面值的一半。

温度分布与初始 0 °C 线之间的阴影面积表示储存的能量：乘以 $\rho c$ 后，它就是砖每平方米墙面吸收的热量 $E$ 。羊毛的份额很小，因为它的 $\rho c$ 比砖小 60 倍。所有这些能量都从内表面进入，且没有从外表面离开，因此 $E$ 非常接近于 $q(0)-q(d)$ 对时间的积分：即内表面的流入热流减去外表面（ $x=d$ 处）的流出热流。

动画的读数显示了这两个热流。内表面热流 $q(0)$ 起初非常大，并大致按 $1/\sqrt{t}$ 下降，类似于流入一块非常厚的砖块的热流 $\Delta T\sqrt{k\rho c/(\pi t)}$ ；一小时后约为 190 W/m²。外表面热流 $q(d)$ 在升温到达之前保持为零。在图 2 所示的六小时时，二者分别约为 76 和 2.3 W/m²：流入的大部分热量仍在给砖蓄热。二者都趋向 7.2 W/m²，48 小时后相差在 10% 以内，72 小时后相差在 1% 以内。

图中灰色虚线 $T_{\infty }$ 是墙体最终达到的稳定状态。在那里 $\partial T/\partial t=0$ ，因此热传导方程要求 ${\partial }^{2}T/\partial x^2=0$ ：每一层内的分布都是直线。在稳定状态下没有任何地方堆积能量，因此同一热流 $q$ 穿过两层。于是每一层的斜率为 $q/k$ ，斜率之比与导热系数成反比，穿过羊毛的直线比穿过砖的直线陡 $k_1/k_2=17.5$ 倍。热流由两层每平方米的热阻 $d/k$ 相加得到，其中 $d_1=0.20\mathrm{m}$ 为砖的厚度， $d_2=0.10\mathrm{m}$ 为羊毛的厚度：
$q=\frac{\Delta T}{d_1/k_1+d_2/k_2}=\frac{20}{0.286+2.5}\approx 7.2W/{\mathrm{m}}^2,U\approx 0.36W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$
每一层上的温降等于 $q$ 乘以其热阻。羊毛的热阻约为砖的九倍，因此它承担了 20 K 中的 17.9 K，而砖只承担 2.1 K。

衰减模式

墙体需要多久才能忘掉初始状态并稳定到 $T_{\infty }$ ？答案来自把温度分布分解为若干简单形状，它们各自以自己的速率衰减。

热传导方程是线性的：两个解之和仍是解。因此，任何偏离稳定状态的部分都可以写成正弦形模态之和，每个模态各自衰减并保持其形状。把波长为 $\lambda$ 的模态 $\sin (2\pi x/\lambda )$ 代入热传导方程：两次对 $x$ 求导使其乘以 $-(2\pi /\lambda {)}^2$ ，因此其振幅必须按 $e^{-t/\tau }$ 衰减，其中
$\tau =\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2\alpha }$
由于衰减时间与 ${\lambda }^2$ 成正比，细小的起伏几乎立即消失，只有最宽的模态会持续存在。约瑟夫·傅里叶正是为这一问题，在其 1822 年的热理论中发展了他的级数，即正弦之和。

在墙中，最慢的模态必须与砖的两个表面相匹配。在内表面，温度被保持，因此偏离稳定状态的量在那里为零。在外表面，羊毛几乎阻止了热流，因此偏离量的斜率几乎为零。在一端为零、另一端斜率为零的最宽正弦，是四分之一波，$\lambda =4d$ ，由此得到 $\tau =4d^2/({\pi }^2\alpha )\approx 9.7\mathrm{h}$ 。羊毛确实会有少量泄漏，因此实际衰减稍快一些：两个读数之间的差距大约每 9 小时缩小到原来的 $e$ 分之一，从 48 小时时的 10% 以下，降到 72 小时时的 1% 以下。

温度波

当表面温度每天或每年起伏时，热传导方程会把这种起伏变成一种随向内传播而逐渐衰减的波。这就是厚墙和深窖能保持几乎恒定温度的原因。

图例

$t$	时间。	$\mathrm{s}$
$T$	以其平均值为起点计量的温度。	$\mathrm{K}$
$T_0$	表面温度，以角频率 $\omega$ 起伏。	$\mathrm{K}$
$T_x$	表面以下深度 $x$ 处（此处为 20 cm）的温度。	$\mathrm{K}$
$A$	表面温度相对于其平均值的起伏。	$\mathrm{K}$
$A_x$	深度 $x$ 处的起伏：$A{e}^{-x/\delta }$ ，其中 $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$ 。	$\mathrm{K}$
$\Delta t$	峰值到达深度 $x$ 处比到达表面晚的时间：$x/(\delta \omega )$ 。	$\mathrm{s}$

图 3 以时间 $t$ 为横坐标，画出两个温度，二者都以各自的平均值为起点计量。大曲线 $T_0$ 是表面温度，以角频率 $\omega$ 和振幅 $A$ 起伏。小曲线 $T_x$ 是内部深度 $x$ 处的温度。注意两点：$T_x$ 的起伏小得多，仅为 $A_x$ ，而且其峰值晚到，晚了 $\Delta t$ 。

这两种效应都来自热传导方程的同一个解，即一个向内传播的阻尼波：
$T(x,t)-T_{\mathrm{mean}}=A{e}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta ),\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$
要说明 $\delta$ 为何取此值，可将该波写成 $A{e}^{i\omega t}{e}^{-(1+i)x/\delta }$ 的实部。对时间求导相当于乘以 $i\omega$ ；对空间求两次导数则乘以 $(1+i{)}^2/{\delta }^2=2i/{\delta }^2$ 。于是热传导方程要求 $i\omega =2i\alpha /{\delta }^2$ ，即 $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$ 。

逐项来读这个解。每前进一个距离 $\delta$ ，振幅就减小为原来的 $e$ 分之一，因此深度 $x$ 处的起伏为 $A_x=A{e}^{-x/\delta }$ 。从 $\omega t$ 中减去的相位 $x/\delta$ 意味着，每个峰值都比在表面晚到 $\Delta t=x/(\delta \omega )$ 。慢周期传得更深，因为 $\delta$ 随 $1/\sqrt{\omega }$ 增大。

对于砖和日周期， $\omega =2\pi /(24\mathrm{h})$ ，深度 $\delta$ 约为 11 cm。图中按 $x=20\mathrm{cm}$ 绘制，此时 $x/\delta \approx 1.8$ ：在厚砌体中深入 20 cm 处，起伏被削减到约六分之一， $e^{-1.8}\approx 0.17$ ，并且晚到约 7 小时。在土壤中，$\alpha \approx 5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$ ，年周期波的 $\delta \approx 2.2\mathrm{m}$ ：深 3 m 的地窖只能感受到表面起伏的四分之一，且晚约两个半月。

稳态与拉普拉斯方程

一旦任何量都不再随时间变化，热流问题就变成了与静电学相同的数学问题，因此在静电学中找到的每一个解都可以拿来复用。

在稳态下 $\partial T/\partial t=0$ ，热传导方程化为 ${\nabla }^{2}T=0$ 。这就是拉普拉斯方程，静电势在真空中满足的正是它。因此，每一个静电学解也都描述一种热流，只需以温度代替电势、以热流密度 $\vec{q}$ 代替电场。

在一大块材料深处放置一个功率为 $W$ 的小热源。稳态时， $W$ 的全部热量穿过以其为中心、半径为 $r$ 的每个球面，因此 $q=W/(4\pi r^2)$ ，与点电荷的电场一样。由 $q=-kdT/dr$ 从远处（那里材料未受扰动）向内积分，得到温升 $W/(4\pi kr)$ 。若在土壤深处释放 10 W，且 $k=1W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ ，则距其 0.5 m 处的土壤升温 $10/(4\pi \cdot 1\cdot 0.5)\approx 1.6\mathrm{K}$ 。

例题：保温层放在内侧还是外侧？

保温层放在墙的哪一侧有影响吗？稳态热损失说没有；而储存的热量和升温时间则说明影响非常大。

图例

$x$	距室内侧表面的距离。	$\mathrm{m}$
$T$	稳定状态下墙体中的温度。	$\mathrm{K}$
$k_1$	砖的导热系数。	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	矿棉的导热系数。	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$T_m$	两层之间界面处的温度。	$\mathrm{K}$
$\Delta T$	墙两侧的总温差；两幅图中相同。	$\mathrm{K}$
$E$	每平方米墙面中砖储存的能量：$\rho c$ 乘以阴影面积。	$J/{\mathrm{m}}^2$

图 4 比较稳态下的两种布置，房间位于 $x=0$ 处，墙两侧的总温差相同，均为 $\Delta T=20\mathrm{K}$ 。上图是动画中的墙：室内一侧为砖（ $k_1$ ），室外为羊毛（ $k_2$ ）。下图则互换了两层：室内一侧为羊毛，室外为砖。比较界面温度 $T_m$ 所在的位置，以及砖的温度分布下方阴影面积的大小。

第 1 步，稳态热损失。串联热阻与顺序无关，因此总热阻仍为 $0.286+2.5=2.786{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$ ，热损失仍为 $q=7.2W/{\mathrm{m}}^2$ 。

第 2 步，温度分布。每一层上的温降为 $qd/k$ ，因此它随该层一起移动。羊毛在外侧时（上图），砖的温度从 20 °C 降至 $T_m\approx 17.9{}^{\circ }\mathrm{C}$ 。羊毛在内侧时（下图），羊毛先承担其 17.9 K，于是 $T_m=20-7.18\cdot 2.5\approx 2.1{}^{\circ }\mathrm{C}$ ，砖的温度只在 2.1 °C 至 0 °C 之间。

第 3 步，储存的热量。每平方米的砖储存 $\rho cd$ 乘以其相对于 0 °C 的平均温升，其中 $\rho c=1.51\times 10^{6}J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$ ；这就是能量 $E$ ，即 $\rho c$ 乘以图 4 中的阴影面积。羊毛在外侧时，砖的平均温度为 19.0 °C，储存 $1.51\times 10^6\cdot 0.20\cdot 19.0\approx 5.7\mathrm{MJ}$ ；羊毛在内侧时，砖的平均温度约为 1 °C，只储存 0.31 MJ。加上羊毛那几百分之一兆焦，每平方米的总量分别为 5.8 和 0.34 MJ，相差 17 倍。羊毛在外侧时，房间必须在墙体升温的同时提供这 5.8 MJ，外加通过外表面散失的热量：相当于稳态损失的 9 天之多。

第 4 步，时间。羊毛在内侧时，面向房间的那一层质轻，$\alpha \approx 1.6\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ ，并在约 $d^2/\alpha =0.10^2/(1.6\times 10^{-6})\approx 1.75\mathrm{h}$ 内稳定。两小时后，室内一侧的热损失为 7.8 W/m²，与其最终值相差在 10% 以内。羊毛在外侧时，$q(0)$ 需要两天才能接近到这种程度。

结论。内侧保温适用于间歇供暖、几小时内即可升温的房间。外侧保温则把砖变成一个温暖的储热体，能平抑每日的温度起伏。它还能让砖保持温暖：内侧保温之后，砖的温度接近 0 至 2 °C，除非有隔汽层阻挡，否则来自房间的水汽可能在墙内凝结。

系数的来源

到目前为止，导热系数 $k$ 、对流系数和辐射换热都是被当作已知给出的。简单的模型可以解释它们的大小。

气体。分子动理论给出 $k\approx \frac{1}{3}n\bar{v}\ell c_1$ ：单位体积中有 $n$ 个分子，以平均速率 $\bar{v}$ 运动，每个分子带有热容 $c_1$ ，并在碰撞前运行一个平均自由程 $\ell$ 。由于 $\ell \propto 1/n$ ，密度相互抵消：同样的气体在一半压强下导热能力不变。这一结论一直成立，直到 $\ell$ 与容器尺寸相当为止。在 1 atm 的空气中 $\ell \approx 70\mathrm{nm}$ ，因此真空保温瓶需要压强低于约 1 Pa，使 $\ell$ 超过其几毫米的间隙，导热才会失效。

金属。自由电子既携带电荷，也携带热量，这就是为什么良好的电导体也是良好的热导体。

对流。从下方加热、深度为 $d$ 的流体层，当其瑞利数 $g\beta \Delta T{d}^3/(\nu \alpha )$ 超过某一临界值时开始循环：两块固体板之间的临界值约为 1700，而顶部为自由表面时（如锅中情形）约为 1100。其中 $g$ 为重力加速度， $\beta$ 为流体的膨胀系数， $\nu$ 为运动黏度。这个数比较驱动流动的浮力与抑制流动的黏性和热传导。对于锅中 6.7 cm 深的水，层内只需不到千分之一开尔文的温差就足够了。

辐射。对于较小的温差， $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$ ，因此辐射也表现得像一个系数：接近室温的近黑表面，交换的热量约为 $4\sigma T_0^3\approx 6W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ ，与空气中的自然对流相当。

适用范围的限制

傅里叶定律假设，热载体（分子、晶格振动或电子）在所关心的距离和时间尺度上会发生多次碰撞。在与其平均自由程相当的结构中它会失效；对于室温下硅中的晶格振动，这一平均自由程为几百纳米。在直径仅几十纳米的晶体管中，热量部分以无碰撞的弹道方式流动，有效 $k$ 远低于体材料的数值。热传导方程还允许突然的加热在各处瞬间被感受到，哪怕微弱；这在皮秒时间尺度上失效，因为那时载体还未发生碰撞。

导热系数随温度变化，因此在较宽的温度范围内方程是非线性的。斯特藩–玻尔兹曼定律假设灰体表面远大于所辐射的波长，在室温下热辐射的波长约为 10 µm。在窄得多的间隙中，近场辐射可能超过黑体极限许多倍。

延伸

分子扩散服从与热传导相同的方程；《电流与电阻》是热传导的电学对应物，而稳态热流则重复了《电场与电势》中的内容。《气体分子动理论》提供了 $k$ 背后的平均自由程，《黑体辐射与量子》由普朗克定律推导出 $\sigma$ 。《热力学第二定律与熵》表明，热量沿温差流动会产生熵，在墙中约为 $7.2(1/273-1/293)\approx 1.8\times 10^{-3}W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ ，而《薛定谔方程与隧穿效应》则遇到了一个虚数系数的扩散方程。