流体压强与帕斯卡原理

压强 $p = F / A$ 随深度按 $p = p_{0} + ρ g h$ 增大，液体把外加的压力原封不动地传到每一点，因此细活塞上的一个小力就能顶起一辆汽车。

入门

核心概念

压强是流体对表面每一小块的推挤程度：运动的分子不断撞击与之接触的一切。
静止液体中，压强随深度增大，因为上方更多的液体向下压；密度更大的液体压得更重。
只看深度：细管与宽阔的湖泊在相同深度处压强相同。
对封闭液体施压，增加的压强会传到每一点，因此小活塞能顶起大活塞上的汽车。
没有免费的午餐：小活塞移动的距离必须远大于汽车升起的高度。

压强表示流体对表面每一小块推挤的力度。水和空气由无数不停运动的微小分子组成。它们撞击所接触的一切：杯壁、你的皮肤、你的耳膜。每次撞击都是一次微小的推力，所有撞击分摊到一定面积上，便形成压强。这也是为什么无论表面朝哪个方向，流体都会对它施力。

第 1 步：压强随深度增大。你在静止液体中越深，上方的液体越多，它们的重量就压在下方的一切之上。这就是为什么在泳池底部耳朵会发胀，也是为什么水坝的底部要比顶部修得厚得多。密度更大的液体，比如海水，在同一深度压得稍重一些。

第 2 步：只看深度。细管和宽湖注满到同一水位，在相同深度处压强相同；水量多少没有影响。

自测：动画中三个小孔哪个喷得最快？为什么？答案：最低的那个，因为那里的水最深，压得最重。

第 3 步：封闭液体会传递推力。在一处施压，增加的压强会均等地到达液体的每一点（帕斯卡原理）。动画中，细活塞上的推力把停在宽活塞上的汽车顶起。宽活塞的面积是四倍，因此它获得的力也是四倍。

第 4 步：没有免费的午餐。要把汽车升高，细活塞必须移动的距离是汽车上升高度的四倍。

中级

核心概念

压强是单位面积上的力： $p = F / A$ ，单位为帕斯卡（ $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ）；海平面处的空气压强约为 101 kPa。
静止液体的压强随深度增加 $p = ρ g h$ ，与容器形状无关：水深每 10 m 约增加 98 kPa。
在液压机中 $F_{1} / A_{1} = F_{2} / A_{2}$ ，因此 $F_{2} = F_{1} A_{2} / A_{1}$ ；活塞直径加倍，力就增至四倍。
体积相等， $A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2}$ ：液压机放大力、却缩短距离，因此 $F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}$ ，没有凭空产生能量。

压强测量什么

压强是流体作用在其所接触表面每平方米上的力：
$p = \frac{F}{A}$
它的单位是帕斯卡， $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ 。我们周围的空气以约 101 kPa 的压强压迫着一切，相当于每平方米上约 10 吨的重量；而我们体内的流体同样有力地向外推回。

压强不是力，本身没有方向。在静止流体中的某一点，无论一个小面朝向哪个方向，压强的数值都相同；它产生的力 $F = p A$ 总是垂直于该表面。绝对压强从真空算起，表压则从大气压 101 kPa 算起：轮胎气压表读数为 220 kPa，意味着绝对压强约为 321 kPa。

压强为何随深度增大

设想密度为 $ρ$ 的静止液体中，深度 $h$ 处一小块面积 $A$ 上方的竖直液柱。它的重量为 $ρ A h g$ 。由于其侧面的压力是水平的，它们不承担竖直方向的重量，只有下方的液体能承受它；除以面积，即得深度 $h$ 处的表压：
$p = ρ g h$
再加上自由液面上的压强 $p_{0}$ （通常是大气压），即得绝对压强：
$p = p_{0} + ρ g h$

在水中，压强每米增加 9.81 kPa，因此 10 m 约增加 98 kPa，几乎等于一个大气压：10 m 深处的潜水员承受的压强是水面压强的两倍。水银的密度是水的 13.6 倍，因此在气压计中，只需 $101325/ (13600 \cdot 9.81) \approx 0.76 m$ 的水银柱便可与大气压平衡；若用水柱，则需要 10.3 m，这也是任何抽吸泵的极限高度。

只有深度有影响，与容器的形状或液体的多少无关：细管与宽湖注满到同一水位，在相同深度处压强相同。这就是静水佯谬。因此，连通的静止液体中处于同一水平面的各点压强相等，连通器中的液面高度也总是相同。

帕斯卡原理与液压机

帕斯卡原理指出：施加于封闭液体的压强变化，会原封不动地传递到液体的每一点以及容器壁。液体的重量通过 $ρ g h$ 只决定压强之间的差别，因此作用在边界上的推力必须使每一处的压强升高相同的量。

液压机正是利用了这一点。它的两个活塞面积分别为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ ，且大致位于同一高度，因此其下方的压强相等， $F_{1} / A_{1} = F_{2} / A_{2}$ ，于是
$F_{2} = \frac{F _{1} A _{2}}{A _{1}}$
对于圆形活塞，面积与直径的平方成正比：直径加倍，力就增至四倍。

代价是距离。液体几乎不可压缩，因此从细缸中排出的体积必须进入粗缸：
$A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2}$
结合力的比值，可得
$F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}$
输入的功等于输出的功：与杠杆一样，液压机放大力、却缩短距离，从不创造能量。

例题：动画中的水箱与液压机

水箱保持注满，小孔位于液面以下 15、35 和 55 cm 处。紫色标签给出每个小孔处的 $ρ g h$ ；最低处的小孔为
$p = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.55 \approx 5400 Pa = 5.4 kPa$
上面两个小孔同样分别为 1.5 和 3.4 kPa。只有这部分表压驱动水流喷出，因为大气也作用于每个小孔的外侧。这股推力转化为速度 $v = 2 g h$ （见《伯努利原理》）：约为 1.7、2.6 和 3.3 m/s，因此最低处的水流最快。

在右侧，宽活塞的直径是细活塞的两倍，因此 $A_{2} = 4 A_{1}$ 。要托住 1000 kg 的汽车，它必须以 $F_{2} = 1000 \cdot 9.81 = 9810 N$ 的力推动，因此手只需施加
$F_{1} = \frac{F _{2} A _{1}}{A _{2}} = \frac{9810}{4} \approx 2450 N$
这便是标签上的 2.45 kN 和 9.81 kN；宽活塞下方的绿色箭头长度是手柄上方红色箭头的四倍。

随着手柄下压，读数显示 $d_{1}$ 达到 48 cm，而 $d_{2}$ 只有 12 cm，即四分之一。两者的功相等： $F_{1} d_{1} = 2452.5 \cdot 0.48 \approx 1177 J$ 与 $F_{2} d_{2} = 9810 \cdot 0.12 \approx 1177 J$ ，这正是把汽车升高 12 cm 所需的能量。

例题：水族箱的前玻璃

水族箱注水深 60 cm，其前面玻璃板宽 1.5 m。玻璃上的表压从液面处的零增至底部的 $1000 \cdot 9.81 \cdot 0.60 \approx 5890 Pa$ ，因此整块玻璃上的平均压强 $\overset{p}{ˉ}$ 等于中间深度处的数值，约为 2940 Pa。浸水面积为 $1.5 \cdot 0.60 = 0.90 m^{2}$ ，于是
$F = \overset{p}{ˉ} A \approx 2943 \cdot 0.90 \approx 2650 N$
相当于一个 270 kg 物体的重量。大气同时作用于玻璃的两个面，相互抵消。

这股推力与水箱在玻璃后方延伸多远无关：前后只有 5 cm 的水箱，同样用力推。把深度加倍到 1.20 m，平均压强和面积都加倍，因此力增至四倍，约为 10.6 kN。由于推力大多作用在低处，水箱和水坝都在底部修得最为坚固。

读懂压强-深度图

以深度为横坐标作图，压强是一条斜率为 $ρ g$ 的直线：水中每米 9.81 kPa，而空气中每米仅 12 Pa。表压线从零开始；绝对压强线则是同一条直线向上平移了 $p_{0} \approx 101 kPa$ 。

画在墙上的箭头，每个深度一支，长度与该处压强成正比，它们勾勒出一个三角形；三角形面积乘以墙的宽度即为总压力，这也就是水族箱平均压强为底部值一半的原因。在浸没物体周围，下方的箭头比上方的长，它们的合力就是向上的浮力。

常见错误

水多并不意味着压强大：深度均为 10 m 的细管与湖泊，底部压强都是 98 kPa。
压强不是力：最低处小孔的 5.4 kPa，作用在 1 cm² 的塞子上为 0.54 N，作用在 10 cm² 的塞子上则为 5.4 N。
区分表压与绝对压强：湖下 20 m 处，水增加 196 kPa，但绝对压强为 297 kPa。
用面积之比，而不是直径之比：直径为 3 cm 与 12 cm 的活塞，使力放大 $(12/3)^{2} = 16$ 倍，而不是 4 倍。

在哪里见到它

汽车举升机、千斤顶、液压制动器和挖掘机都依靠帕斯卡原理工作，通常使用压强达数兆帕的油。水塔之所以建得很高，是因为每升高一米，下方水龙头处就增加 9.81 kPa；而站立时，你脚部的血压比心脏处高约 100 mmHg（13 kPa）。接下来，《浮力与阿基米德原理》将来自下方的额外推力转化为使船只浮起的力，而《伯努利原理》则把压强延伸到流动的流体中。

高级

核心概念

静止流体不承受剪切，其应力垂直于每个表面且各方向相同：压强是标量 $p$ 。
只有压强差产生推力：单位体积受力为 $- \nabla p$ ，与重力平衡后得 $\nabla p = ρ g$ ，因此 $p = p_{0} + ρ g h$ 。
由 $\nabla p = - ρ \nabla ϕ$ 可知，等压面是水平的等势面；沿同一水平面密度变化的流体无法静止，会发生对流。
气体压强来自分子的撞击， $p = nk T$ ；等温大气按 $p = p_{0} e^{- z / H}$ 变稀薄， $H \approx 8.4 km$ 。
只有 $\nabla p$ 有影响，因此均匀的 $Δ p$ 会使 $p$ 在各处同等升高（帕斯卡）；理想液压机功守恒， $W_{1} = Δ p V = W_{2}$ 。

压强为何没有方向

流体是一种不能抵抗剪切的物质：无论多么轻柔地沿侧向推动一层水，它都会流动。像蜂蜜这样的黏性流体会抵抗剪切速率，但静止时它完全不承受剪切应力。因此，在静止流体内部，穿过任一小面的力都垂直于该面，而单位面积上的力称为压强。本节说明：某一点的压强只是一个数值，无论表面朝向哪个方向都相同；本课后面的全部内容都建立在这一事实之上。

图 1 显示从侧面看到的一个小楔形流体。观察它的三个面。左侧面竖直，因此其法向沿 $x$ ；底面水平，因此其法向沿 $z$ ；斜面面积为 $d A$ ，外法向单位矢量为 $\overset{n}{^}$ ，分量为 $n_{x}$ 与 $n_{z}$ 。左侧面与底面是斜面分别投影到垂直于 $x$ 和垂直于 $z$ 的平面上的结果，因此其面积分别为 $n_{x} d A$ 与 $n_{z} d A$ 。图中 $n_{x} = 0.6$ ， $n_{z} = 0.8$ ，因此三个面的面积之比为 $0.6 : 0.8 : 1$ ，分别画有 3、4 和 5 个相等的箭头。楔形体两端的三角形面与纸面平行，只沿 $y$ 方向施力，因此它们对 $x$ 或 $z$ 方向的平衡没有作用。

将三个面上的压强分别记为 $p_{x}$ 、 $p_{z}$ 和 $p_{n}$ ，暂不假设它们相等。外部流体将每个面向内推。沿 $x$ 方向，左侧面受到沿 $+ x$ 方向、大小为 $p_{x} n_{x} d A$ 的力。斜面受到沿 $- \overset{n}{^}$ 方向、大小为 $p_{n} d A$ 的力，其中该推力的 $x$ 分量为 $p_{n} n_{x} d A$ ，指向 $- x$ 。底面只沿 $z$ 方向施力。楔形体静止，因此沿 $x$ 的力相互抵消：
$p_{x} n_{x} d A = p_{n} n_{x} d A$
于是 $p_{x} = p_{n}$ 。

沿 $z$ 方向，同样的分析给出向上的 $p_{z} n_{z} d A$ 与向下的 $p_{n} n_{z} d A$ ，但楔形体的重量也要计入。重量与楔形体的体积成正比，体积随其尺寸的立方减小，而表面力只随平方减小。将平衡式除以 $d A$ ，并令楔形体缩小为一点：重量项趋于零，于是 $p_{z} = p_{n}$ 。

因此 $p_{x} = p_{z} = p_{n}$ ；又因为面的倾斜方向是任意的，所以某点处的压强对通过该点的每一个面都相同。压强是一个标量场 $p (r)$ ：每一点对应一个数，本身没有方向。压力的方向由表面决定。对于面积为 $d A$ 、外法向单位矢量为 $\overset{n}{^}$ 的面元，流体施加的力为 $d F = - p \overset{n}{^} d A$ ，负号表示指向内侧。

静力学方程

压强随位置变化，正是这种变化使流体能够抵挡自身重量而保持平衡。本节把这一想法化为一个方程，它给出静止流体中任何位置的压强。

图 2 显示一小块静止流体，宽 $d x$ ，高 $d z$ ，沿纸面向里深 $d y$ ，因此其体积为 $d V = d x d y d z$ 。请比较成对的箭头。均匀的压强从相对两侧等量挤压流体块，不产生合力；只有相对两面之间的压强差才能推动它。

先看侧面。两个侧面处于相同高度，承受相同的压强 $p$ ，因此它们的推力大小相等、方向相反，相互抵消。

再看顶面和底面。位于高度 $z$ 的底面受到向上的 $p (z) d x d y$ 的推力；位于高度 $z + d z$ 的顶面受到向下的 $p (z + d z) d x d y$ 的推力。在很小的高度 $d z$ 内，压强的变化为 $p (z + d z) - p (z) = (\partial p / \partial z) d z$ ，因此向上的净推力为
$[p (z) - p (z + d z)] d x d y = - \frac{\partial p}{\partial z} d V$
下方压强较大，所以箭头 $p (z)$ 比箭头 $p (z + d z)$ 长，净推力向上。绿色箭头 $ρ g d V$ 表示块的重量，其中 $ρ$ 为密度， $g$ 为重力加速度。静止时，净推力与重量必须相等，图中重量箭头的长度恰好等于两个压强箭头的长度之差。

同样的分析适用于每一对面。与 $x$ 垂直的各面沿 $x$ 方向留下净推力 $- (\partial p / \partial x) d V$ ，对于图中两支相等的侧向箭头，该值为零；与 $y$ 垂直的各面留下 $- (\partial p / \partial y) d V$ 。三对面合在一起，给出单位体积的压力为 $- \nabla p$ 。平衡时它与单位体积的重量 $ρ g$ 相互抵消，因此
$\nabla p = ρ g$
这就是静力学方程。取单位质量的重力势能 $ϕ = g z$ （此时 $g = - \nabla ϕ$ ），方程可写为 $\nabla p = - ρ \nabla ϕ$ 。若 $z$ 向上为正，则 $g$ 只有 $z$ 分量，等于 $- g$ ，因此方程的竖直分量为
$\frac{d p}{d z} = - ρ g$
而水平分量 $\partial p / \partial x = \partial p / \partial y = 0$ 说明：沿同一水平面的压强处处相同。

对于液体，密度几乎恒定，方程可直接积分得 $p + ρ g z = const$ 。边界条件确定了这个常数：在自由液面处，该液面比所考虑的点高出 $h$ ，其压强为大气压 $p_{0}$ ，因此
$p = p_{0} + ρ g h$
这里 $h$ 是深度，从液面向下量取。尽管 $d p / d z$ 为负，压强仍随 $h$ 增大；两种说法并不矛盾，因为 $z$ 向上为正，而 $h$ 向下为正。

在动画的专家层中，一个下沉的探针描绘了这一定律。它将表压 $p - p_{0}$ （即高于大气压的压强）对深度 $h$ 作图：一条过原点、斜率为 $ρ g \approx 9.81 kPa/m$ 的直线，在探针最深处（向下 71 cm）达到约 7.0 kPa。绝对压强 $p$ 给出的将是同一条直线向上平移 $p_{0} \approx 101 kPa$ 的结果。两条线斜率相同，而且只有斜率，即 $p$ 的梯度，才会对流体施加净力。

等压面、水平面与对流

静力学方程所说的不仅是压强如何随深度增长。它还决定了等压面的形状，并说明流体在什么情况下根本无法保持静止。

由于 $\nabla p = - ρ \nabla ϕ$ ， $p$ 的梯度在每一点都与 $ϕ$ 的梯度平行。梯度垂直于其所代表量保持不变的面，因此等压面同时也是 $ϕ$ 为常数的面：重力的等势面。在实验室中它们是水平面；在行星尺度上，它们沿着平静海面的弯曲形状分布。这就是连通器的液面总在同一水平面的原因：每个容器中的自由液面都属于同一个等压面 $p = p_{0}$ 。

同一方程也说明了何时不可能保持静止。梯度的旋度总为零，因此 $\nabla p$ 的旋度为零， $ρ \nabla ϕ$ 的旋度也必须为零：
$\nabla \times (ρ \nabla ϕ) = \nabla ρ \times \nabla ϕ = 0$
叉积只有在两个矢量平行时才为零，因此密度梯度必须是竖直的： $ρ$ 必须沿每一水平面保持相同。若将房间的一侧或一锅水的一侧加热，密度就会沿水平面发生变化。此时，任何压强场都无法与重力平衡，流体必然运动。这种运动就是对流；它驱动海风，并使暖气片的热量在房间中扩散。

帕斯卡原理与液压机的功

液压机用手的推力就能把汽车顶起。两段简短的论证可以解释其原理：一段来自压强场，一段来自能量。

先看压强场。方程 $\nabla p = ρ g$ 只涉及 $p$ 的梯度，因此它只能确定压强到一个附加常数为止，而该常数由边界决定。若将不可压缩液体边界处的压强提高 $Δ p$ ，整个压强场都会升高 $Δ p$ ，而其梯度仍为 $ρ g$ 。液体的每一点都感受到相同的升高：这就是帕斯卡原理。在真实液体中，这种升高并非同时到达各处。它以声速（水中约 1480 m/s）作为压力波传播，因此穿过动画中宽 1.5 m 的液压机只需约一毫秒。

再看能量，它不必提及压强就能给出力的比值。将面积为 $A_{1}$ 的小活塞向下推动一小段距离 $δ d_{1}$ 。液体不可压缩，因此离开小缸的体积 $A_{1} δ d_{1}$ 会充满面积为 $A_{2}$ 的大缸，其活塞上升 $δ d_{2} = (A_{1} / A_{2}) δ d_{1}$ 。在无摩擦的理想液压机中，输入的功等于输出的功， $F_{1} δ d_{1} = F_{2} δ d_{2}$ ，于是
$F_{2} = F_{1} \frac{A _{2}}{A _{1}}$
这正是帕斯卡原理给出的结果，其中 $F_{1} = Δ p A_{1}$ ， $F_{2} = Δ p A_{2}$ 。这一论证即虚功原理，与解释杠杆的原理相同：液压机以距离换取力。

在整个行程中，每个活塞扫过的体积相同， $V = A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2}$ ，因此两者的功都等于 $Δ p V$ 。在动画中，小活塞直径为 26 cm，受到 2452.5 N 的推力，因此其下方的压强为 $Δ p = 2452.5/ (π \cdot 0.1 3^{2}) \approx 46.2 kPa$ 。它的面积为 $0.0531 m^{2}$ ，行程为 0.48 m，因此扫过的体积为 $V \approx 0.0531 \cdot 0.48 \approx 0.0255 m^{3}$ ， $W_{1} = W_{2} = Δ p V \approx 1177 J$ 。这正是两个功读数在行程末端达到的最大值。

气体与指数型大气

在液体中，密度几乎不随压强变化；而在气体中，密度几乎与压强成正比。要看这对静力学方程有何影响，我们首先需要用分子来表示气体的压强。

气体压强是分子在单位时间内、单位面积上传递给器壁的动量。取一面与 $x$ 垂直的器壁。质量为 $m$ 的分子若以速度分量 $v_{x}$ 撞击它，则会以 $- v_{x}$ 弹回，因此它交给器壁的动量为 $2 m v_{x}$ 。在时间 $d t$ 内撞击面积 $d A$ 、且具有给定 $v_{x}$ 的分子，是那些距该面距离在 $v_{x} d t$ 之内的分子，其数目与 $v_{x}$ 成正比，因此每一组的贡献与 $v_{x}^{2}$ 成正比。只有朝向器壁运动的那一半分子会撞上来，这恰好抵消了因子 2；对全部分子取平均，得
$p = nm \overline{v_{x}^{2}}$
其中 $n$ 为单位体积内的分子数， $\overline{v_{x}^{2}}$ 为 $v_{x}^{2}$ 的平均值。在热平衡下，每个分子沿 $x$ 方向运动的平均动能为 $\frac{1}{2} k T$ ，其中 $k$ 为玻尔兹曼常数， $T$ 为热力学温度。因此 $m \overline{v_{x}^{2}} = k T$ ，于是
$p = nk T$
对于 101 kPa、288 K 的空气，这给出 $n \approx 2.55 \times 1 0^{25} m^{- 3}$ 。

现在考虑大气， $m$ 为空气分子的平均质量。密度为 $ρ = nm$ ，因此在温度均匀时 $ρ = m p / (k T)$ ：与压强成正比。静力学方程变为
$\frac{d p}{d z} = - \frac{m g}{k T} p$
压强的下降速率与其自身成正比，因此它随高度按指数规律下降。此处 $p_{0}$ 为海平面（ $z = 0$ ）处的压强：
$p = p_{0} e^{- z / H}, H = \frac{k T}{m g} \approx 8.4 km$
这是 288 K 空气的情形。 $H$ 为标高（标尺高度），即压强下降为 $e$ 分之一所需升高的高度。因子 $e^{- m g z / (k T)}$ 即玻尔兹曼因子，它将分子的重力势能 $m g z$ 与热能 $k T$ 相比较；这里它是从力学一侧出现的。

这一定律相当可靠。在珠穆朗玛峰峰顶（海拔 8.85 km 处），它预测约为 35 kPa，与那里实测的 34 kPa 相近；真实空气的温度低于 288 K，这会使压强再降低一些。1648 年，应帕斯卡的请求，人们把水银气压计带到多姆山（Puy de Dôme）顶，结果发现水银柱下降了约 8 cm，因为上方向下压的空气变少了。

加速流体与浮力

只要在容器自身的参考系中考察，静力学方程同样适用于做加速运动的容器。它可以解释晃动水箱的液面为何倾斜，再多走一步，还能说明浮力从何而来。

在以 $a$ 加速的参考系中，每一小块流体除了自身重量外，还受到单位体积的惯性力 $- ρ a$ ，因此方程变为
$\nabla p = ρ (g - a)$
流体的行为就像重力为 $g - a$ 一样，这便是有效重力。图 3 显示一个装在向右加速的货车上的水箱，其加速度为 $a$ 。在图的右侧， $g - a$ 由 $g$ （竖直向下）与 $- a$ （指向后方）相加而成：结果指向下方和后方。压强沿 $g - a$ 方向增大，因此用虚线画出的等压面与它垂直。自由液面是其中一个等压面， $p = p_{0}$ ，因此它随等压面倾斜，水便堆积在水箱的后部。

要求出倾斜角，考察液面与水平面的夹角 $θ$ 。液面垂直于 $g - a$ ，水平面垂直于 $g$ ，因此 $θ$ 也是 $g$ 与 $g - a$ 之间的夹角。在右侧的矢量三角形中， $θ$ 的对边为 $a$ ，邻边为 $g$ ，因此
$tan θ = a / g$
图中取 $a = g /2$ ，以便看清倾斜。在以 3 m/s² 加速行驶的货车上，水箱中的水以角度 $θ$ 倾斜， $tan θ = 3/9.81 \approx 0.31$ ，约为 17°。

浮力来自同一个场。水下物体受到的总压力为其封闭表面上 $- p \overset{n}{^} d A$ 的和。矢量微积分中的一个定理可将这一面积分化为该物体所占空间上 $\nabla p$ 的体积分，因此对于静止流体，
$- \oint p \overset{n}{^} d A = - \int \nabla p d V = - ρ g V$
其中 $V$ 为物体的体积。这一力竖直向上，其大小等于被物体排开的流体的重量：这就是阿基米德原理。表面上的压强与其内部充满什么物质无关，因此该结果对任何物体都成立。在加速的水箱中，同一积分给出 $- ρ (g - a) V$ ，其中含有指向前方的分量；这就是为什么汽车加速时，车内的氦气球会向前倾斜。

例题：液压机中液体的重量

上面对液压机的分析忽略了液体本身的重量。本题把它补回来，以说明修正量有多大，以及能量去了哪里。

图 4 显示动画中充满水的液压机，处于行程开始时。先看两个活塞的底部。小活塞底部位于高度 $z_{1}$ ，比位于高度 $z_{2}$ 的大活塞底部高 40 cm。行程中，小活塞向下移动 48 cm，大活塞向上移动 12 cm，因此到行程结束时，小活塞底部比另一个低 20 cm。

大活塞承载着汽车，因此液体必须以汽车的重量 $F_{2}$ 向上推它。在面积 $A_{2}$ 上，这需要压强 $p_{2} = F_{2} / A_{2} \approx 46.19 kPa$ ，并且在整个行程中都需要如此。正如静力学方程所述，压强随高度降低，因此位于小活塞下方（它比大活塞高 $z_{1} - z_{2}$ ）的压强较低：
$p_{1} = p_{2} - ρ g (z_{1} - z_{2})$
这就是图中较短的箭头 $p_{1}$ 。随后，手必须以 $F_{1} = p_{1} A_{1}$ 的力下压。

在行程开始时， $ρ g (z_{1} - z_{2}) = 9810 \cdot 0.40 \approx 3.92 kPa$ ；在行程结束时，高度差为 $- 0.20 m$ ，该项为 $- 1.96 kPa$ 。取 $A_{1} = 0.0531 m^{2}$ ，手需施加的力在开始时为
$F_{1} = (46.19 - 3.92) kPa \cdot 0.0531 m^{2} \approx 2.24 kN$
在结束时为
$F_{1} = (46.19 + 1.96) kPa \cdot 0.0531 m^{2} \approx 2.56 kN$
而不计液体重量时求得的恒定力为 2.45 kN。

沿行程，高度差由 $0.40$ 线性变化到 $- 0.20 m$ ，小活塞下方的压强也随之线性变化。因此手所做的功等于扫过的体积乘以平均压强。平均高度差为 0.10 m，因此手做功
$W_{1} = V (p_{2} - ρ g \cdot 0.10 m) = 0.02548 m^{3} \cdot 45.21 kPa \approx 1152 J$

这比汽车获得的 1177 J 少 25 J，而这一差额来自水本身。被推过去的 25.5 kg 水，在小缸顶部留下一柱水，其重心位于小活塞起始位置下方 24 cm 处；最终它成为大活塞下方的一层水，其重心位于大活塞起始位置上方 6 cm 处，而大活塞的起始位置比小活塞低 40 cm。因此，其重心下降了 $0.40 - 0.24 - 0.06 = 0.10 m$ ，释放出 $25.5 \cdot 9.81 \cdot 0.10 \approx 25 J$ ：计入液体后，能量是守恒的。这里修正量达到了力的 8.5%；实际的千斤顶工作在兆帕压强下，其中几千帕的 $ρ g Δ z$ 可以忽略。

适用范围的限制

上面的每一个结论都依赖于若干假设，而每一条假设在某些地方都会失效。

第一条是无剪切，它只在流体静止或像货车中的水那样作为刚体运动时成立。在流动的流体中，压强还与速度有关，而黏性又会重新引入剪切应力。

第二条是密度恒定。它非常适用于液体：水每增加一个大气压，体积约压缩 0.005%；即使在最深的海沟底部（约 11 km 深，压强约 110 MPa），水的密度也只增大百分之几。对于气体，它只在远小于标高 $H$ 的高度范围内成立：在 10 m 高的房间中，气压变化为 0.12%，但跨越山脉时就需要用指数定律。

第三条是液面为平面。当液面弯曲时，表面张力会使其两侧产生压强跃变。在半径为 $r = 0.5 mm$ 的注水玻璃管中，表面张力 $γ \approx 0.072 N/m$ 使弯曲液面下方的压强降低 $2 γ / r$ ，约 0.3 kPa，这足以把水拉升约 3 cm。

最后一条是连续介质假设本身。平滑的场 $p (r)$ 要求流体微元相对于仪器要小，同时又包含大量分子。海平面处，空气分子两次碰撞之间的平均路程约为 70 nm，因此这一条件在那里很容易满足；在约 120 km 以上，分子的平均路程超过一米，连续介质图像便不再成立。

由此延伸

静止流体中的压强是其他几节课的出发点。对浸没物体上的压强进行积分，正是《浮力与阿基米德原理》的内容。《伯努利原理》通过加上 $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ ，把 $p + ρ g z = const$ 推广到运动的流体中，射流速度 $2 g h$ 即由此而来；《阻力与终端速度》则重新引入静止流体所缺少的剪切。 $p = nk T$ 的分子起源在《气体分子动理论》中推导，对流在《热传导、对流与热辐射》中再次出现，而液压机以距离换力的做法，即《简单机械：杠杆、滑轮与齿轮》中所见的那一种。最后，声音是一种微小而快速的压强起伏，是《声音与多普勒效应》的主题。

核心公式

压强的定义

p = \frac{F}{A}

压强是单位面积上受到的法向力。它是标量：在某一点，无论表面朝向如何，其值都相同；它施加的力 $F = p A$ 总是垂直于表面推压。同样的力作用于更小的面积上，压强就更大，这就是刀能切割、雪鞋能让人踩在雪面上而不下陷的原因。

符号
$p$	作用于表面的压强	$Pa$
$F$	垂直于表面的力	$N$
$A$	表面的面积	$m^{2}$

适用条件: 给出面积上的平均压强。当压强在表面上变化时（如水坝），应改为对 $p d A$ 求和；只有垂直于表面的力分量才计入。

示例: 动画中，1000 kg 的汽车位于直径 52 cm 的活塞上： $p = 9810/0.212 \approx 46 kPa$ 。

深度处的静水压强

p = ρ g h

高为 $h$ 、底面积为 $A$ 的液柱重 $ρ A h g$ ；将其分摊到面积 $A$ 上，该重量便是深度 $h$ 处额外的压强 $ρ g h$ 。它只取决于深度，与容器的形状和大小无关。这是表压，是从液面压强算起的压强。

符号
$p$	深度 $h$ 处的表压	$Pa$
$ρ$	液体的密度	$kg/ m^{3}$
$g$	自由落体加速度	$m/ s^{2}$
$h$	自由液面以下的深度	$m$

适用条件: 适用于静止的恒定密度流体，非常适合液体。在气体中，若高度较大，密度会发生变化，此时压强应改为按指数规律下降。

示例: 动画中最低的小孔，位于向下 55 cm 处： $p = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.55 \approx 5.4 kPa$ 。

深度处的绝对压强

p = p_{0} + ρ g h

深度 $h$ 处的压强等于液面上的压强 $p_{0}$ （通常为大气压）加上单位面积上方液体的重量。它是 $d p / d z = - ρ g$ 从液面向下积分的结果，积分常数为 $p_{0}$ 。以深度为横坐标作图，它是一条斜率为 $ρ g$ 、起点为 $p_{0}$ 的直线。

符号
$p$	深度 $h$ 处的绝对压强	$Pa$
$p_{0}$	自由液面上的压强	$Pa$
$ρ$	液体的密度	$kg/ m^{3}$
$g$	自由落体加速度	$m/ s^{2}$
$h$	自由液面以下的深度	$m$

适用条件: 要求密度恒定、流体静止，且液面与该点之间是一整块连通的流体。若液面被封闭，则 $p_{0}$ 为作用在其上的任何物体所施加的压强。

示例: 湖下 20 m 处： $p = 101 + 196 = 297 kPa$ ，接近三个大气压。

液压机的力放大

F_{2} = \frac{F _{1} A _{2}}{A _{1}}

根据帕斯卡原理，两个活塞下方的压强相同， $F_{1} / A_{1} = F_{2} / A_{2}$ ，因此输出力等于输入力乘以面积之比。对于圆形活塞，面积之比是直径之比的平方，因此直径为两倍的活塞可产生四倍的力。

符号
$F_{2}$	大活塞施加的力	$N$
$F_{1}$	施加在小活塞上的力	$N$
$A_{2}$	大活塞的面积	$m^{2}$
$A_{1}$	小活塞的面积	$m^{2}$

适用条件: 适用于理想液压机：活塞位于同一高度（否则压强相差 $ρ g Δ h$ ），无摩擦、无泄漏，且运动缓慢。

示例: 在动画中 $A_{2} = 4 A_{1}$ ，因此小活塞上的 2.45 kN 可托住汽车的 9.81 kN 重量。

活塞扫过的体积相等

A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2}

液体在压力下体积几乎不变，因此从细缸中排出的体积 $A_{1} d_{1}$ ，必须以 $A_{2} d_{2}$ 的形式出现在粗活塞下方。因此，大活塞只移动小活塞行程的 $A_{1} / A_{2}$ 倍。

符号
$A_{1}$	小活塞的面积	$m^{2}$
$d_{1}$	小活塞移动的距离	$m$
$A_{2}$	大活塞的面积	$m^{2}$
$d_{2}$	大活塞移动的距离	$m$

适用条件: 适用于不可压缩液体、刚性容器壁且无泄漏的情形。被困的气泡会被压缩从而破坏这一关系，这就是液压制动器必须排气的原因。

示例: 在动画中， $d_{1} = 48 cm$ 且 $A_{2} = 4 A_{1}$ ，得 $d_{2} = 12 cm$ 。

理想液压机的功平衡

F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}

将力的比值与体积相等的关系结合，小活塞上所做的功等于大活塞所做的功。液压机按相同比例放大力、缩短距离，因此从不创造能量；每一项功都等于压强乘以扫过的体积， $W = Δ p V$ 。

符号
$F_{1}$	施加在小活塞上的力	$N$
$d_{1}$	小活塞移动的距离	$m$
$F_{2}$	大活塞施加的力	$N$
$d_{2}$	大活塞移动的距离	$m$

适用条件: 仅适用于理想液压机。摩擦会使输入功大于输出功；当活塞高度不同时，液体的重量会带来一个小的修正。

示例: 在动画中， $2452.5 \cdot 0.48 \approx 9810 \cdot 0.12 \approx 1177 J$ ，即 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 读数在行程末端达到的数值。

静力学方程

\frac{d p}{d z} = - ρ g

厚度为 $d z$ 的薄水平流体层，由其下表面与上表面的压强差托住，该压强差必须等于其单位面积上的重量 $ρ g d z$ 。若 $z$ 向上为正，压强便随高度降低。它是 $\nabla p = ρ g$ 的竖直分量；与 $p = p_{0} + ρ g h$ 不同，它在密度随高度变化时同样成立。

符号
$p$	高度 $z$ 处的压强	$Pa$
$z$	高度，向上为正	$m$
$ρ$	流体的局部密度	$kg/ m^{3}$
$g$	自由落体加速度	$m/ s^{2}$

适用条件: 适用于任何在重力作用下静止的流体，包括密度变化的气体；可用 $ρ (z)$ 积分，或将 $ρ$ 写成 $p$ 的函数后积分。在加速的容器中， $g - a$ 代替 $g$ 。

示例: 海平面的空气， $ρ \approx 1.2 kg/ m^{3}$ ：压强每米约降低 12 Pa，在 100 m 高的塔上降低约 1.2 kPa。

词汇表

流体: 在静止时不能抵抗剪切、会流动的物质：液体和气体。液体保持体积并具有自由液面；气体充满其容器，且容易压缩。
压强: 流体作用于表面的单位面积法向力， $p = F / A$ 。它是标量：静止流体中某一点的压强在各方向相同，只有它所产生的力有方向，且垂直于表面。
大气压: 地球表面空气的压强，海平面处约为 101 kPa：即每平方米上方约 10 吨空气的重量。它随高度降低，在温度均匀为 288 K 的空气中，大约每升高 8.4 km 降为 $e$ 分之一。
表压: 高于大气压的压强， $p - p_{0}$ ：轮胎气压表或动画图像所显示的数值。绝对压强则从真空算起；在湖下 20 m 处，表压为 196 kPa，绝对压强为 297 kPa。
静水压强: 静止流体中由上方流体重量产生的压强，在深度 $h$ 处为 $ρ g h$ 。在水中，每米增加 9.81 kPa，因此 10 m 水深约增加一个大气压。
静水佯谬: 容器底部的压强只取决于液体的深度，而与液体的多少或容器的形状无关。细管与水箱注满到同一高度时，在底部相等面积上的压力相等。
连通器: 在液面以下相互连通的容器。静止液体在所有容器中都处于同一水平面，无论容器形状如何，因为连通液体中同一水平面上的各点压强相等。
帕斯卡原理: 施加于静止封闭液体的压强变化，会原封不动地传递到液体的每一点以及容器壁。之所以成立，是因为液体的重量只决定压强之间的差别，而不决定它们的共同水平。
液压机: 两个相互连通、面积不同、由活塞封闭的圆缸。两活塞下方压强相等，得 $F_{2} = F_{1} A_{2} / A_{1}$ ；而大活塞移动的距离只有小活塞的 $A_{1} / A_{2}$ ，因此输入的功等于输出的功。
不可压缩流体: 密度不随压强变化的流体。液体接近这一条件：水每增加一个大气压，体积仅缩小约 0.005%，因此液压管路几乎不损失地传递推力。
等压面: 压强处处相同的面。静止流体中，等压面是重力势相等的面，因此是水平的，而自由液面就是其中之一。
对流: 由密度差驱动的流体运动，例如暖气片上方上升的热空气。只要密度沿水平面变化，对流就会发生，因为此时任何压强场都无法与重力平衡，流体无法保持静止。

物理量
$p$	压强	$Pa$	流体中某一点单位面积 $A$ 上的法向力 $F$ ， $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ 。视情况而定，它可以是绝对压强（从真空算起）或表压（从大气压算起）。
$p_{0}$	液面压强	$Pa$	作用于液体自由液面上的压强，通常为大气压，约 101 kPa：即压强随深度变化的直线的起点。
$ρ$	密度	$kg/ m^{3}$	流体单位体积的质量：淡水为 1000 kg/m³，海水约为 1025 kg/m³，水银为 13 600 kg/m³，海平面空气为 1.2 kg/m³。
$g$	自由落体加速度	$m/ s^{2}$	在地球表面附近约为 $9.81 m/ s^{2}$ 。它也是单位质量的重量，即 9.81 N/kg，这正是它出现在 $ρ g h$ 中的原因。
$h$	深度	$m$	自由液面以下的竖直距离，向下量取。决定静水压强的只有这一距离，而不是容器的形状。
$z$	高度	$m$	从选定水平面向上量取的竖直坐标。若液面高度为 $z_{s}$ ，则其下方一点的深度为 $h = z_{s} - z$ ，这就是 $d p / d z$ 为负的原因。
$F_{1}$	输入力	$N$	压在液压机小活塞（面积为 $A_{1}$ ）上的力：动画中为 2.45 kN。
$F_{2}$	输出力	$N$	大活塞（面积为 $A_{2}$ ）施加的力，为输入力的 $A_{2} / A_{1}$ 倍：动画中为 9.81 kN，即 1000 kg 汽车的重量。
$d_{1}$	小活塞的行程	$m$	小活塞被推动的距离：动画中为 48 cm。
$d_{2}$	大活塞的行程	$m$	大活塞及其负载上升的距离，即 $d_{1} A_{1} / A_{2}$ ：动画中为 12 cm。

练习

入门泳池中哪里的水压最大？
1. 水面
2. 中间深度处
3. 池底
4. 处处相同
显示答案
答案: C. 池底
压强随深度增大，因为上方有更多的水向下压，因此池底的压强最大。
入门在一只装满水的水箱侧面不同高度开有三个小孔。水从哪一个小孔喷得最快？
1. 最高的小孔
2. 中间的小孔
3. 三个一样快
4. 最低的小孔
显示答案
答案: D. 最低的小孔
最低的小孔最深，那里的水压得最重，因此水从那里喷出得最快。
入门在液压千斤顶中，大活塞的面积是小活塞的 10 倍。对小活塞施加一个推力，大活塞会以多大的力推动？
1. 相同的力
2. 十分之一的力
3. 10 倍的力
4. 100 倍的力
显示答案
答案: C. 10 倍的力
两个活塞下方的压强相同，因此力与面积成正比：面积为 10 倍，力也为 10 倍。
中级湖面以下 20 m 处的表压是多少？（ρ = 1000 kg/m³，g = 9.81 m/s²）
1. 20 kPa
2. 101 kPa
3. 297 kPa
4. 196 kPa
显示答案
答案: D. 196 kPa
p = ρ·g·h = 1000 × 9.81 × 20 = 196 200 Pa ≈ 196 kPa。加上大气压 101 kPa 则得到绝对压强 297 kPa。
中级一根细管和一个宽水箱都注满了水，且水位相同。它们底部的压强为……
1. 宽水箱中更大
2. 细管中更大
3. 两者相同
4. 细管中为零
显示答案
答案: C. 两者相同
静水压强只取决于深度：p = ρ·g·h。水的多少和容器的形状都无关。
中级一台液压机的圆形活塞直径分别为 2 cm 和 10 cm。对小活塞施加 100 N 的力，大活塞上产生的力为……
1. 500 N
2. 2500 N
3. 1000 N
4. 100 N
显示答案
答案: B. 2500 N
面积之比为直径之比的平方：(10 ÷ 2)² = 25，因此 F₂ = 25 × 100 N = 2500 N。若只用直径之比，会得到错误的 500 N。
高级在 A₂ = 4·A₁ 的液压机中，小活塞被向下推动 40 cm。大活塞上升多少，两者的功如何比较？
1. 10 cm，且 W₂ = W₁
2. 40 cm，且 W₂ = 4·W₁
3. 10 cm，且 W₂ = 4·W₁
4. 160 cm，且 W₂ = W₁
显示答案
答案: A. 10 cm，且 W₂ = W₁
液体不可压缩，因此 A₁·d₁ = A₂·d₂ 得 d₂ = 10 cm。于是 F₂·d₂ = 4·F₁ × d₁/4 = F₁·d₁：液压机的功守恒。
高级在湖中，以绝对压强 p 对深度 h 作图，该直线……
1. 过原点，斜率为 ρ·g
2. 斜率为 ρ·g，截距 p₀ ≈ 101 kPa
3. 斜率为 g/ρ，截距为 p₀
4. 随深度弯曲并逐渐变平
显示答案
答案: B. 斜率为 ρ·g，截距 p₀ ≈ 101 kPa
对不可压缩的水积分 dp/dz = −ρ·g，得 p = p₀ + ρ·g·h：这是一条斜率为 ρ·g、起点为大气压的直线。只有表压才经过原点。

$\overset{n}{^}$	与斜面垂直的单位矢量，指向楔形体外部。
$p_{x}$	与 $x$ 垂直的面上的压强。	$Pa$
$p_{z}$	与 $z$ 垂直的面上的压强。	$Pa$
$p_{n}$	斜面上的压强。	$Pa$
$d A$	斜面的面积。	$m^{2}$
$n_{x} d A$	与 $x$ 垂直的面的面积：斜面在其上的投影， $n_{x}$ 为 $\overset{n}{^}$ 的 $x$ 分量。	$m^{2}$
$n_{z} d A$	与 $z$ 垂直的面的面积：斜面在其上的投影， $n_{z}$ 为 $\overset{n}{^}$ 的 $z$ 分量。	$m^{2}$
$x$	水平坐标轴。	$m$
$z$	竖直坐标轴，向上为正。	$m$

$d x$	沿 $x$ 方向的块宽。	$m$
$d z$	块高。	$m$
$p (z)$	底面上的压强，位于高度 $z$ ；它向上推。	$Pa$
$p (z + d z)$	顶面上的压强，位于高度 $z + d z$ ；它向下推，且是两者中较小的。	$Pa$
$p$	每个侧面上的压强；两侧相同，因为它们处于相同高度。	$Pa$
$ρ g d V$	块的重量：密度 $ρ$ 乘以 $g$ 再乘以其体积 $d V = d x d y d z$ 。	$N$
$x$	水平坐标轴。	$m$
$z$	高度，向上为正。	$m$

$a$	货车及其水箱的加速度；为构造 $g - a$ ，也会反向画作 $- a$ 。	$m/ s^{2}$
$g$	重力加速度，指向下方。	$m/ s^{2}$
$g - a$	水箱参考系中的有效重力；压强沿其方向增大。	$m/ s^{2}$
$θ$	自由液面相对水平面的倾角，等于 $g$ 与 $g - a$ 之间的夹角； $tan θ = a / g$ 。	$rad$

$A_{1}$	小活塞的面积。	$m^{2}$
$A_{2}$	大活塞的面积，为 $A_{1}$ 的四倍。	$m^{2}$
$F_{1}$	手施加在小活塞上的力。	$N$
$F_{2}$	液体施加在大活塞上的力，等于汽车的重量。	$N$
$p_{1}$	小活塞下方液体的压强。	$Pa$
$p_{2}$	大活塞下方液体的压强， $F_{2} / A_{2}$ 。	$Pa$
$z_{1}$	小活塞底部的高度。	$m$
$z_{2}$	大活塞底部的高度。	$m$
$z_{1} - z_{2}$	小活塞底部高出的距离；其下方的压强低 $ρ g (z_{1} - z_{2})$ 。	$m$