Законы Ньютона

Начальный

Сила — это толчок или тяга. Одни силы требуют соприкосновения, как нога, бьющая по мячу, или верёвка, тянущая санки; другие действуют через пустое пространство, как тяготение или магнит. Силы измеряют в ньютонах (Н).

У сил есть направление, поэтому они складываются как стрелки. Толкайте ящик вправо с силой 30 Н, пока друг толкает его влево с силой 20 Н, — равнодействующая будет 10 Н вправо.

Проверьте себя: а если друг тоже толкает с силой 30 Н? (Равнодействующая равна нулю.)

Первый закон: если равнодействующая равна нулю, покоящееся тело остаётся в покое, а движущееся продолжает двигаться прямолинейно с той же скоростью. Это удивляет: ведь диван, который перестали толкать, останавливается. Но его тормозит трение — сила со стороны пола. На гладком льду шайба скользит очень долго.

Второй закон: равнодействующая меняет движение, и ускорение = равнодействующая ÷ масса. Увеличьте силу вдвое — ускорение вырастет вдвое; увеличьте вдвое массу — оно уменьшится вдвое. В анимации одинаковый толчок (красные стрелки) действует на бруски массой 2 кг и 5 кг на полу без трения, поэтому лёгкий брусок набирает скорость в 2,5 раза быстрее.

Проверьте себя: на тележку массой 6 кг действует равнодействующая 18 Н. Каково её ускорение? (3 м/с².)

Масса — не вес. Масса в килограммах показывает, насколько трудно разогнать тело, и одинакова везде; вес связан с притяжением, измеряется в ньютонах и на Луне примерно в шесть раз меньше.

Третий закон: силы возникают парами. Толкните стену — и она толкнёт вас так же сильно; подпрыгните — вы толкаете Землю вниз, а она вас вверх. Эти две силы приложены к разным телам, поэтому никогда не компенсируют друг друга.

Средний

Сила, масса и равнодействующая

Сила — это толчок или тяга, которыми одно тело действует на другое, например притяжение Земли, действующее на падающее яблоко. Сила — вектор $\vec{F}$: у неё есть модуль, который измеряют в ньютонах (Н), и направление. Если всё происходит вдоль одной прямой, выберите положительное направление и припишите каждой силе знак: когда положительное направление — вправо, сила 10 Н, направленная влево, записывается как $-10\mathrm{Н}$.

Изменение движения определяет равнодействующая $\sum \vec{F}$ — векторная сумма всех сил, приложенных к одному этому телу. Толкайте ящик массой 4 кг вправо с силой 30 Н, пока друг толкает его влево с силой 10 Н, — равнодействующая будет равна $30-10=20\mathrm{Н}$ и направлена вправо. Масса $m$, измеряемая в килограммах, — мера инертности: она показывает, насколько сильно тело противится изменению своей скорости. Масса одинакова на Земле, на Луне и в открытом космосе.

Первый и второй законы

Если равнодействующая равна нулю, скорость не меняется: покоящееся тело остаётся в покое, а движущееся продолжает двигаться равномерно и прямолинейно.
$\sum \vec{F}=0\iff \vec{v}=\mathrm{const}$
Само движение силы не требует — она нужна только для того, чтобы движение изменить. Автомобилю, который едет с постоянной скоростью 20 м/с, когда сопротивление воздуха и сопротивление качению в сумме составляют 600 Н, нужна сила тяги ровно 600 Н: силы уравновешены, и автомобиль находится в равновесии.

Если силы не уравновешены, тело получает ускорение в направлении равнодействующей:
$\sum \vec{F}=m\vec{a}$
Увеличьте равнодействующую вдвое — ускорение вырастет вдвое; увеличьте вдвое массу — оно уменьшится вдвое. Ящик из примера выше получает $a=20/4=5\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Этот закон определяет и сам ньютон: сила 1 Н сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с², поэтому $1\mathrm{Н}=1\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$.

Сила тяжести и схема сил

Сила тяжести — это сила гравитационного притяжения, действующая на тело. Вблизи поверхности Земли
$F_{\mathrm{тяж}}=mg$
где $g=9,81\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$; значит, это сила в ньютонах, а не масса в килограммах. На космонавтку массой 70 кг на Земле действует сила тяжести $70\cdot 9,81\approx 687\mathrm{Н}$, а на Луне — $70\cdot 1,62\approx 113\mathrm{Н}$, примерно в шесть раз меньше, но масса её по-прежнему 70 кг. Поверхность, на которую давит тело, отвечает силой реакции опоры $N$, перпендикулярной к ней, а натянутая верёвка тянет тело с силой натяжения $T$.

Чтобы применить законы, нарисуйте схему сил (её ещё называют диаграммой свободного тела); это делается в четыре шага.

• Выделите одно тело и изобразите его отдельно — прямоугольником или точкой.
• Нарисуйте все силы, действующие на это тело: силу тяжести, силу реакции опоры, силу натяжения, силу трения, толчки.
• Не рисуйте силы, с которыми это тело действует на другие тела: им место на других схемах.
• Выберите оси, лучше всего так, чтобы одна из них шла вдоль ускорения, и запишите второй закон в проекциях на каждую ось.

Второй закон — векторное уравнение, поэтому он распадается на отдельные уравнения для каждой оси:
$\sum F_x=m{a}_x\sum F_y=m{a}_y$
Для бруска на горизонтальном полу, у которого нет вертикального ускорения, второе уравнение даёт $N-mg=0$, то есть $N=mg$; на наклонной плоскости или в лифте, движущемся с ускорением, сила реакции опоры отличается от силы тяжести.

Третий закон: силы возникают парами

Сила — это всегда взаимодействие двух тел, поэтому силы возникают парами. Если тело A действует на тело B, то B действует на A с силой, равной по модулю и противоположной по направлению:
${\vec{F}}_{AB}=-{\vec{F}}_{BA}$
где ${\vec{F}}_{AB}$ — сила, с которой A действует на B. Обе силы одной природы и действуют одновременно, но приложены к разным телам, поэтому никогда не компенсируют друг друга и никогда не оказываются на одной схеме сил.

На книгу, лежащую на столе, действуют сила тяжести и сила реакции стола. Они уравновешивают друг друга, но парой по третьему закону не являются: обе приложены к книге и равны лишь потому, что книга не движется с ускорением. Пару силе тяжести составляет сила, с которой книга притягивает Землю. При столкновении на автомобиль массой 1000 кг и грузовик массой 6000 кг действуют одинаковые по модулю силы, скажем 30 кН, но автомобилю такая сила сообщает ускорение 30 м/с², а грузовику — всего 5 м/с².

Пример: бруски из анимации

В анимации лёгкий брусок, $m_1=2\mathrm{кг}$, и тяжёлый, $m_2=5\mathrm{кг}$, толкают одной и той же горизонтальной силой $F=20\mathrm{Н}$: красные стрелки одинаковой длины. Трения нет, а сила тяжести каждого бруска уравновешена силой реакции опоры (19,62 Н и 49,05 Н), поэтому толчок и есть равнодействующая:
$a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{20}{2}=10\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2,a_2=\frac{F}{m_2}=\frac{20}{5}=4\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$

Оба бруска трогаются с места, поэтому через $t=3\mathrm{с}$
$v_1=a_{1}t=10\cdot 3=30\mathrm{м}/\mathrm{с},v_2=a_{2}t=4\cdot 3=12\mathrm{м}/\mathrm{с}$
Именно эти значения показывают в конце индикаторы $v_1$ и $v_2$, которые каждую секунду растут на 10 и 4 м/с. По формуле $x=\frac{1}{2}a{t}^2$ бруски проходят 45 м и 18 м. Серые метки отмечают передние края через 0, 1 и 2 с: лёгкий брусок успел пройти 5 м, а затем 20 м, тяжёлый — 2 м, а затем 8 м. В любой момент скорость и пройденный путь лёгкого бруска в 2,5 раза больше, чем у тяжёлого, — ровно во столько раз, во сколько тяжёлый брусок массивнее.

Пример: весы в лифте

Вы стоите на напольных весах в лифте. Ваша масса 70 кг, и лифт трогается вверх с ускорением 1,0 м/с². На вас действуют две силы: сила тяжести $mg=686,7\mathrm{Н}$, направленная вниз, и сила реакции опоры $N$ со стороны весов, направленная вверх. Если положительное направление — вверх, второй закон даёт
$N-mg=ma\Rightarrow N=m(g+a)=70\cdot (9,81+1,0)\approx 757\mathrm{Н}$

По третьему закону вы давите на весы вниз с той же силой 757 Н — это и есть ваш вес, и именно его измеряют весы; весы со шкалой в килограммах делят его на 9,81 и показывают 77,1 кг. При равномерном движении лифта весы показывают ваши настоящие 70 кг. Когда лифт тормозит у верхнего этажа, $a=-1,0\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, и показание падает до $70\cdot 8,81\approx 617\mathrm{Н}$, то есть 62,9 кг. При свободном падении весы показали бы нуль: невесомость — это отсутствие веса, то есть силы давления на опору, а вовсе не отсутствие тяготения.

Частые ошибки

• Для движения равнодействующая не нужна: у автомобиля, равномерно едущего со скоростью 20 м/с при сопротивлении 600 Н, сила тяги ровно 600 Н; будь она больше, автомобиль разгонялся бы.
• Масса — не сила тяжести: на космонавтку массой 70 кг на Земле действует сила тяжести 687 Н, а на Луне — 113 Н, но разогнать её одинаково трудно и там, и там.
• Сила реакции опоры не всегда равна $mg$: в лифте, движущемся с ускорением, она равна 757 Н, тогда как сила тяжести — 687 Н.
• В закон входит равнодействующая, а не одна из сил: ящик, который толкают с силой 30 Н в одну сторону и 10 Н в другую, получает $a=20/4=5\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, а не $30/4=7,5\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$.

Где это встречается

Зоны деформации кузова и ремни безопасности используют $a=F/m$ в обратную сторону: если растянуть удар во времени, уменьшается ускорение пассажиров, а значит, и сила, которая на них действует. Ракеты, пловцы и пешеходы толкают что-то назад, а сила, парная этому толчку по третьему закону, толкает их вперёд. Дальше идут уроки «Трение и наклонная плоскость», «Движение по окружности», где равнодействующая поворачивает скорость, и «Тяготение и орбиты»; уроки «Импульс и столкновения» и «Работа, энергия и мощность» вытекают из второго закона, просуммированного по времени и по пути.

Продвинутый

Сила как быстрота изменения импульса

Второй закон Ньютона обычно встречают в виде $\vec{F}=m\vec{a}$. Его общая форма использует импульс $\vec{p}=m\vec{v}$, и если прочитать её как утверждение о векторах, сразу становится ясно, как сила может разгонять тело, тормозить его или поворачивать.

Обозначения

$\vec{F}$	Равнодействующая сил, приложенных к телу, которое изображено точкой.	$\mathrm{Н}$
${\vec{F}}_{\parallel }$	Составляющая $\vec{F}$ вдоль движения: она меняет модуль скорости.	$\mathrm{Н}$
${\vec{F}}_{\perp }$	Составляющая $\vec{F}$ поперёк движения, внутрь поворота: она поворачивает траекторию.	$\mathrm{Н}$
$\vec{p}$	Импульс тела $m\vec{v}$, направленный вдоль движения.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$d\vec{p}$	Изменение импульса за малое время $dt$: $d\vec{p}=\vec{F}dt$, поэтому оно направлено так же, как $\vec{F}$.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
${\vec{p}}^{\prime }$	Импульс спустя малое время: $\vec{p}+d\vec{p}$, длиннее $\vec{p}$ и повёрнут.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$

Рисунок 1 прослеживает тело на повороте: чёрная кривая — его траектория, а стрелка на ней показывает, в какую сторону оно движется. Посмотрите слева на точку. Равнодействующая $\vec{F}$ сил, приложенных к телу, разложена на две перпендикулярные составляющие. Составляющая ${\vec{F}}_{\parallel }$ направлена вдоль движения; она меняет модуль скорости и не трогает её направление. Составляющая ${\vec{F}}_{\perp }$ направлена поперёк движения, внутрь поворота; она меняет направление и не трогает модуль скорости. Равномерное движение по окружности — это случай, когда есть только ${\vec{F}}_{\perp }$.

Справа тот же момент изображён через импульсы. За малое время $dt$ импульс $\vec{p}$ изменяется на $d\vec{p}=\vec{F}dt$, поэтому $d\vec{p}$ параллелен $\vec{F}$, а не $\vec{p}$. Если отложить его от конца $\vec{p}$, получится новый импульс ${\vec{p}}^{\prime }=\vec{p}+d\vec{p}$. Теперь сравните ${\vec{p}}^{\prime }$ со штриховой дугой радиуса $|\vec{p}|$: конец ${\vec{p}}^{\prime }$ лежит за дугой, значит, импульс вырос, и к тому же ${\vec{p}}^{\prime }$ направлен по-новому. Рост вызвала параллельная составляющая силы, поворот — перпендикулярная.

В виде уравнения это и есть второй закон в общей форме: равнодействующая сил, приложенных к телу, равна быстроте изменения его импульса,
$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$
Если масса постоянна, то $d\vec{p}/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$ — это привычная форма. Векторное уравнение — это сразу три уравнения, по одному на каждую ось; если обозначать производные по времени точками ($\ddot{x}=d^{2}x/d{t}^2$), то
$m\ddot{x}=F_x,m\ddot{y}=F_y,m\ddot{z}=F_z$

Каждое из них — дифференциальное уравнение второго порядка: в него входит вторая производная координаты. Поэтому для решения нужны два начальных значения на каждую ось — начальная координата и начальная скорость. Если они и сила известны, движение определено на все последующие моменты времени. Обратите внимание, что именно связывает закон: равнодействующая задаёт ускорение, какой бы ни была скорость. Тело может быстро двигаться, когда на него не действует никакая сила, а мяч в верхней точке полёта на мгновение покоится, но при этом имеет ускорение $g$.

Инерциальные системы: что добавляет первый закон

Первый закон — не просто частный случай второго при $\sum \vec{F}=0$. Он утверждает, что существуют системы отсчёта, в которых тело, свободное от действия сил, движется равномерно и прямолинейно. Их называют инерциальными системами отсчёта, и только в них $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ выполняется в записанном виде. Любая система, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, тоже инерциальна: если прибавить к скоростям всех тел одну и ту же постоянную скорость, ни одно ускорение не изменится. Ускоренным системам нужна поправка, о ней речь пойдёт ниже.

Импульс силы и работа: площади под графиком силы

Если просуммировать силу по времени, получится изменение импульса; если просуммировать её по пути — изменение кинетической энергии. Эти две теоремы ведут от законов Ньютона к законам сохранения, и рисунок 2 показывает обе для толчка из анимации.

Обозначения

$F$	Постоянная сила, толкающая каждый брусок.	$\mathrm{Н}$
$t$	Время от начала толчка.	$\mathrm{с}$
$\Delta t$	Длительность толчка.	$\mathrm{с}$
$J$	Импульс силы: площадь под $F(t)$, $J=F\Delta t$. Он равен полученному импульсу.	$\mathrm{Н}\cdot \mathrm{с}$
$x$	Координата бруска вдоль пола, отсчитанная от места, где начался толчок.	$\mathrm{м}$
$m_1$	Лёгкий брусок.	$\mathrm{кг}$
$m_2$	Тяжёлый брусок.	$\mathrm{кг}$
$x_1$	Путь, пройденный лёгким бруском за время $\Delta t$.	$\mathrm{м}$
$x_2$	Путь, пройденный тяжёлым бруском за время $\Delta t$.	$\mathrm{м}$
$W_1$	Работа силы над лёгким бруском: площадь под $F(x)$ до $x_1$.	$\mathrm{Дж}$
$W_2$	Работа силы над тяжёлым бруском: площадь под $F(x)$ до $x_2$.	$\mathrm{Дж}$

На рисунке 2 одна и та же постоянная сила $F=20\mathrm{Н}$ действует в течение $\Delta t=3\mathrm{с}$ на лёгкий брусок $m_1=2\mathrm{кг}$ и на тяжёлый брусок $m_2=5\mathrm{кг}$. Левый график показывает зависимость силы от времени $t$. Это горизонтальная линия, и закрашенная площадь под ней, $F\Delta t$, — импульс силы $J$. Этот график одинаков для обоих брусков, ведь на них действует одна и та же сила в течение одного и того же времени. Два графика справа показывают зависимость силы от координаты $x$ каждого бруска. Высота у них одинаковая, а ширина нет: лёгкий брусок толкают на большем расстоянии $x_1$, тяжёлый — лишь на расстоянии $x_2$. Поэтому закрашенные площади — работы $W_1$ и $W_2$ — не равны.

Сначала о самом движении. Под действием толчка 20 Н ускорение $a=F/m$ постоянно: 10 м/с² для лёгкого бруска и 4 м/с² для тяжёлого, поэтому на графиках урока $a(t)$ — горизонтальная линия, а $v(t)$ — прямая, наклон которой равен этому ускорению. Площадь под графиком $a(t)$ за 3 с — набранная скорость: $10\cdot 3=30\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $4\cdot 3=12\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Начав движение из состояния покоя, каждый брусок проходит путь $\frac{1}{2}a(\Delta t{)}^2$, то есть $x_1=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2=45\mathrm{м}$ и $x_2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3^2=18\mathrm{м}$.

По времени: проинтегрируйте $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ от $0$ до $t$. Левая часть станет импульсом силы, правая — изменением импульса тела:
${\int }_0^t\vec{F}d{t}^{\prime }=\vec{p}(t)-\vec{p}(0)$
Оба бруска стартуют из состояния покоя и получают импульс силы $J=F\Delta t=20\cdot 3=60\mathrm{Н}\cdot \mathrm{с}$, поэтому в конце у них одинаковый импульс, $2\cdot 30=5\cdot 12=60\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

По пути: по правилу дифференцирования сложной функции ускорение можно записать как $a=dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx$. Тогда $F=ma$ превращается в $Fdx=mvdv$, а интегрирование обеих частей от начала толчка до его конца даёт теорему о кинетической энергии:
${\int }_{x_0}^{x}Fd{x}^{\prime }=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$
Для лёгкого бруска работа $W_1=F{x}_1=20\cdot 45=900\mathrm{Дж}$, и действительно, $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 30^2=900\mathrm{Дж}$. Для тяжёлого бруска $W_2=20\cdot 18=360\mathrm{Дж}$, что равно $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12^2$.

Итог: импульсы равны, а кинетические энергии относятся как 2,5. Причина в формуле $E_{\mathrm{к}}=p^2/(2m)$: при одинаковом импульсе более лёгкое тело несёт больше энергии. Оно движется быстрее, поэтому проходит больший путь, пока действует сила, и сила совершает над ним большую работу.

В чём содержание второго закона

Если бы $\vec{F}=m\vec{a}$ было лишь определением силы, закон ничего бы не предсказывал: любое наблюдаемое ускорение можно было бы списать на силу, выдуманную специально для этого случая. Содержание у закона есть потому, что силы можно узнать независимо от движений, которые они вызывают. Это возможно благодаря трём фактам. У каждой силы есть источник — другое тело поблизости или поле, созданное каким-то телом, поэтому на тело, удалённое от всего, никакие силы не действуют. Силы складываются как векторы. И силы подчиняются собственным законам: тяготение $GMm/r^2$, сила упругости пружины $-kx$, электрическая сила между зарядами и сила трения, примерно пропорциональная силе реакции опоры.

Массу тоже можно измерить, не попадая в порочный круг. Пусть два тела расталкивают друг друга, например сжатой пружиной, помещённой между ними. По третьему закону эти две силы равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому ускорения обратно пропорциональны массам, $a_1/a_2=m_2/m_1$. Одинаковые толчки в анимации дают то же отношение, $10/4=5/2$. Если выбрать одно тело за единицу массы, так можно измерить массу любого другого.

Когда массы и законы сил известны, второй закон становится машиной предсказаний. Нынешние координата и скорость дают силу; сила даёт ускорение; ускорение даёт координату и скорость мгновение спустя; и шаг повторяется. С силой пружины $-kx$ получаются колебания, с тяготением $GMm/r^2$ — эллиптическая орбита.

Третий закон и сохранение импульса

Третий закон гласит: когда два тела $A$ и $B$ взаимодействуют, сила ${\vec{F}}_{AB}$, с которой $A$ действует на $B$, и сила ${\vec{F}}_{BA}$, с которой $B$ действует на $A$, равны по модулю и противоположны по направлению. Вместе с общей формой второго закона он даёт самый полезный закон сохранения в механике.

Возьмите два тела, которые взаимодействуют только друг с другом. Быстроту изменения импульса каждого задаёт сила, приложенная к этому телу: $d{\vec{p}}_B/dt={\vec{F}}_{AB}$ и $d{\vec{p}}_A/dt={\vec{F}}_{BA}$. Сложите эти равенства и воспользуйтесь третьим законом:
$\frac{d}{dt}\left({\vec{p}}_A+{\vec{p}}_B\right)={\vec{F}}_{AB}+{\vec{F}}_{BA}=0$
то есть полный импульс никогда не меняется. Например, пружина расталкивает тележки массой 2 кг и 5 кг, которые сначала покоились. Их полный импульс остаётся равным нулю, поэтому они разъезжаются в противоположные стороны со скоростями в отношении 5 к 2, например 2,5 м/с и 1,0 м/с, как бы ни менялась сила толчка, пока пружина распрямлялась.

Для многих тел то же рассуждение проходит для каждой пары. Внутренние силы сокращаются, и остаётся $d\vec{P}/dt=\sum {\vec{F}}_{\mathrm{внеш}}$, где $\vec{P}$ — полный импульс, а $\sum {\vec{F}}_{\mathrm{внеш}}$ — сумма внешних сил. Поскольку $\vec{P}$ равен полной массе, умноженной на скорость центра масс, центр масс движется как одна точка, несущая всю массу. Именно поэтому каждый брусок в анимации можно считать точкой.

Закон сохранения импульса надёжнее самого третьего закона. Силы между удалёнными друг от друга телами не могут откликаться мгновенно, ведь никакое воздействие не распространяется быстрее света, а магнитные силы между двумя движущимися зарядами в общем случае не равны и не противоположны. И всё же полный импульс сохраняется, если учесть импульс, который несёт электромагнитное поле.

Ускоренные системы отсчёта и силы инерции

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта, а между тем движение часто описывают из автомобиля, лифта или вращающейся Земли. В такой системе законы можно спасти, добавив силы инерции. Рисунок 3 показывает, как это делается, на примере тормозящего автобуса.

Обозначения

$\vec{v}$	Скорость автобуса относительно дороги.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
${\vec{a}}_B$	Ускорение автобуса, то есть системы отсчёта $B$, относительно дороги; оно направлено назад, потому что автобус тормозит.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\vec{F}$	Сила, с которой ремень безопасности действует на пассажира: настоящая сила, созданная телом.	$\mathrm{Н}$
$m{\vec{a}}_B$	Масса пассажира $m$, умноженная на ${\vec{a}}_B$. Штриховая стрелка — сила инерции $-m{\vec{a}}_B$, направленная вперёд; её не создаёт никакое тело.	$\mathrm{Н}$

Относительно дороги, которую мы считаем инерциальной системой, автобус на рисунке 3 движется вперёд со скоростью $\vec{v}$, но его ускорение ${\vec{a}}_B$ направлено назад, потому что он тормозит. Теперь опишите движение в системе отсчёта $B$, связанной с автобусом и не вращающейся. Положение тела относительно дороги — это положение автобуса плюс положение тела относительно автобуса. Если дважды продифференцировать, ускорения складываются так же: $\vec{a}={\vec{a}}_B+{\vec{a}}^{\prime }$, где ${\vec{a}}^{\prime }$ — ускорение, наблюдаемое из автобуса. Значит, ${\vec{a}}^{\prime }=\vec{a}-{\vec{a}}_B$; умножив на $m$ и воспользовавшись тем, что $m\vec{a}=\sum \vec{F}$, получаем
$m{\vec{a}}^{\prime }=\sum \vec{F}-m{\vec{a}}_B$

Добавочное слагаемое $-m{\vec{a}}_B$ ведёт себя как сила, пропорциональная массе; на рисунке это штриховая стрелка. Но никакое тело её не создаёт, и у неё нет пары по третьему закону. По этому признаку и узнают силу инерции.

Теперь посмотрите на пассажира массой 60 кг, пока автобус тормозит с ускорением 4 м/с². Изнутри автобуса кажется, что пассажира толкает вперёд сила $m{a}_B=60\cdot 4=240\mathrm{Н}$. С дороги видно, что никто не толкает пассажира вперёд: он просто продолжает движение, пока ремень безопасности не приложит к нему настоящую силу $\vec{F}$ в 240 Н, направленную назад. Одна эта сила сообщает пассажиру то же ускорение ${\vec{a}}_B$, что и автобусу. Изнутри автобуса пассажир остаётся в покое, ${\vec{a}}^{\prime }=0$, потому что $\vec{F}$ и сила инерции $-m{\vec{a}}_B$ уравновешивают друг друга, как показывают две горизонтальные стрелки на пассажире.

Другие ускоренные системы устроены так же. В лифте, который разгоняется вверх с ускорением 1,0 м/с², сила инерции направлена вниз и складывается с силой тяжести, поэтому всё внутри ведёт себя так, будто $g$ равно $9,81+1,0=10,81\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Во вращающейся системе нужны две силы инерции: центробежная сила и сила Кориолиса, которая действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся системы. Поверхность Земли — как раз такая система. При угловой скорости вращения Земли $\omega$ и её радиусе $R$ точки поверхности на экваторе имеют центростремительное ускорение ${\omega }^{2}R\approx 0,034\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ — лишь около 0,35 % от $g$; и всё же именно сила Кориолиса определяет, в какую сторону закручиваются циклоны. Наконец, силы инерции, как и тяготение, пропорциональны массе, поэтому никакой опыт внутри замкнутой лаборатории не позволяет отличить её собственное ускорение от тяготения. Эта подсказка и привела к общей теории относительности.

Задача: роль руки играет висящий брусок

Эта задача заменяет руку из анимации силой тяжести. Она показывает стандартный метод для связанных тел: для каждого тела своя схема сил (рисунок, на котором изображено только это тело и все действующие на него силы) плюс условие, связывающее их движения.

Обозначения

$m_1$	Висящий брусок.	$\mathrm{кг}$
$m_2$	Брусок на столе.	$\mathrm{кг}$
$\vec{T}$	Сила, с которой нить действует на брусок; её модуль $T$ — сила натяжения, одинаковая на обоих концах нити.	$\mathrm{Н}$
$\vec{a}$	Ускорение, одинаковое по модулю для обоих брусков.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$m_1\vec{g}$	Сила тяжести висящего бруска.	$\mathrm{Н}$

На рисунке 4 брусок $m_2=5\mathrm{кг}$ лежит на столе без трения. Лёгкая нить, перекинутая через лёгкий блок без трения, связывает его с висящим бруском $m_1=2\mathrm{кг}$. Сила тяжести висящего бруска $m_{1}g=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{Н}$ почти равна толчку 20 Н из анимации. Найдите ускорение $a$ и силу натяжения нити $T$.

Бруски связаны двумя условиями. Нить не меняет длины, поэтому оба бруска за одно и то же время проходят одинаковый путь и имеют общее ускорение $\vec{a}$: вправо у $m_2$, вниз у $m_1$, как показывают две стрелки с подписью $\vec{a}$. А поскольку нить и блок лёгкие и трения нет, нить тянет с одинаковой силой на обоих концах — это две стрелки с подписью $\vec{T}$. Теперь примите для каждого бруска за положительное направление его движения вдоль нити. На скользящий брусок вдоль его движения действует только $T$; сила тяжести и сила реакции опоры уравновешены, поэтому на рисунке их нет. На висящий брусок действуют сила тяжести $m_{1}g$, направленная вниз, по ходу движения, и $T$, направленная вверх, против движения. Второй закон для каждого бруска имеет вид
$m_{2}a=T,m_{1}a=m_{1}g-T$
В числах: $5a=T$ и $2a=19,62-T$. Сложив два уравнения, мы исключаем неизвестную силу натяжения и получаем $7a=19,62$, откуда
$a=\frac{m_{1}g}{m_1+m_2}=\frac{19,62}{7}\approx 2,80\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2,T=m_{2}a\approx 14,0\mathrm{Н}$

Теперь прочитайте результат. Когда брусок массой 5 кг толкала рука с силой 20 Н, он получал 4 м/с²; теперь его тянет сила тяжести 19,62 Н, а ускорение всего 2,80 м/с². Тянущая сила почти та же, но теперь она должна разгонять 7 кг, ведь висящий брусок тоже нужно разгонять. Сила натяжения, 14,0 Н, меньше силы тяжести висящего бруска, поэтому стрелка $\vec{T}$ на висящем бруске короче стрелки $m_1\vec{g}$. Разность $m_{1}g-T=m_{1}a\approx 5,6\mathrm{Н}$ — это равнодействующая, которая разгоняет висящий брусок; будь сила натяжения равна силе тяжести, он вообще не мог бы ускоряться. Через три секунды после старта из состояния покоя бруски движутся со скоростью $2,80\cdot 3\approx 8,4\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и успевают пройти $\frac{1}{2}\cdot 2,80\cdot 3^2\approx 12,6\mathrm{м}$.

Две проверки. Подставив $a$ в $T=m_{2}a$, получаем $T=m_1{m}_{2}g/(m_1+m_2)$ — выражение, симметричное относительно двух масс. Поэтому, если поменять бруски местами и подвесить брусок массой 5 кг, ускорение станет $a=49,05/7\approx 7,01\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, а сила натяжения останется около 14,0 Н. И предельные случаи разумны: когда висящая масса намного больше, $a\to g$ и брусок падает почти свободно; когда она очень мала, $a\to 0$ и сила натяжения приближается к силе тяжести самого висящего бруска, как будто он просто висит в покое.

Границы применимости

Законы Ньютона в том виде, в каком они сформулированы здесь, описывают материальные точки или центры масс протяжённых тел в инерциальных системах отсчёта, при скоростях, много меньших скорости света, и на масштабах, намного превышающих атомные. Каждое из этих условий обозначает границу.

Вращению протяжённого тела нужен собственный закон, в котором место силы занимает момент силы, а место массы — момент инерции. Контактные силы, такие как сила натяжения и сила реакции опоры, сами — усреднённый результат бесчисленных электрических сил между атомами; законы Ньютона принимают их как данность, а не объясняют.

При больших скоростях $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ остаётся в силе, но импульс становится равным $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, где $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ — лоренц-фактор, а $c$ — скорость света. Постоянная сила, действующая на тело из состояния покоя, по-прежнему даёт $p=Ft$; выразив $v$ из $\gamma mv=Ft$, получаем
$v=\frac{Ft/m}{\sqrt{1+{\left(Ft/(mc)\right)}^2}}$
а эта скорость приближается к $c$, но никогда её не достигает. Продолжайте толкать брусок массой 2 кг с силой 20 Н. По Ньютону скорость $v=Ft/m$ достигла бы $c\approx 3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ примерно через 347 суток; в этот момент $Ft/(mc)=1$, поэтому настоящая скорость равна лишь $c/\sqrt{2}\approx 0,71c$. При скорости 30 м/с из анимации релятивистская поправка порядка $v^2/c^2\approx 10^{-14}$ — намного меньше всего, что можно измерить.

На атомных масштабах у частицы нет чёткой траектории, и вместо $\vec{F}=m\vec{a}$ действует квантовая механика. Закон Ньютона возвращается как закон для среднего движения больших тел.

Что дальше

Большая часть классической механики — это второй закон плюс закон для конкретной силы. Урок «Трение и наклонная плоскость» добавляет силы со стороны шероховатых поверхностей, «Движение по окружности» — равнодействующую, которая только поворачивает скорость, а «Тяготение и орбиты» — закон тяготения, объясняющий движение планет. Просуммированные по времени и по пути, законы Ньютона приводят к урокам «Импульс и столкновения» и «Работа, энергия и мощность»; в применении к вращающимся телам — к уроку «Динамика вращения и момент силы»; с силой упругости пружины — к уроку «Гармонические колебания»; с силой, растущей вместе со скоростью, — к уроку «Сопротивление среды и предельная скорость». При больших скоростях на смену им приходит «Специальная теория относительности», а равенство инертной и гравитационной масс открывает дорогу к уроку «Гравитация как искривление пространства-времени».