Простые механизмы: рычаги, блоки и зубчатые передачи

Начальный

Как один человек поднимает домкратом автомобиль или выдёргивает гвоздь гвоздодёром? С помощью простых механизмов: рычагов, блоков, наклонных плоскостей, воротов, винтов и зубчатых колёс. Разберёмся шаг за шагом, что они делают.

Шаг 1. Механизм меняет нужную силу. Лом позволяет вам слегка нажимать рукой на длинный конец, а короткий конец в это время приподнимает тяжёлый камень.

Шаг 2. Ничего не даётся даром. Физики измеряют работу как сила × путь, и механизм не может отдать больше работы, чем в него вложили. Поэтому если он уменьшает силу, то увеличивает путь: толкайте вчетверо слабее — и придётся толкать на вчетверо большем пути.

Шаг 3. Лучше всего это видно на блоках. В анимации одна верёвка ходит вверх и вниз между неподвижной верхней обоймой и нижней обоймой, на которой висит ящик. Нижнюю обойму держат четыре участка верёвки, пронумерованные от 1 до 4: они делят вес ящика между собой, и рука тянет лишь с четвертью этого веса — сравните короткий красный столбик «ваша сила» с фиолетовым столбиком веса. Но чтобы поднять ящик на 1 м, каждый участок должен укоротиться на 1 м, поэтому через руку проходит 4 м верёвки: золотой столбик растёт вчетверо быстрее зелёного.

Шаг 4. Наклонная плоскость — тот же приём: вкатить ящик по длинному пологому склону легче, чем поднять его вертикально, но путь получается длиннее.

Проверьте себя: гладкий пандус длиной 4 м поднимается на 1 м. С какой силой нужно толкать по нему ящик весом 400 Н? (100 Н: путь вчетверо длиннее — сила вчетверо меньше.)

Настоящие механизмы работают чуть хуже идеальных: трение в блоках и осях превращает часть ваших усилий в тепло, поэтому тянуть всегда приходится немного сильнее.

Средний

Что механизм меняет, а чего не может

Простой механизм получает от вас приложенную силу $F_1$, точка приложения которой проходит путь $d_1$, и действует на груз с силой $F_2$ на пути $d_2$; при равномерном подъёме $F_2$ равна весу груза $mg$. Механизм описывают два безразмерных числа: выигрыш в силе, который измеряют на реальном механизме, и идеальный выигрыш, который задаётся одной лишь геометрией.

• $k=\frac{F_2}{F_1}$
• $k_{\mathrm{ид}}=\frac{d_1}{d_2}$

У механизма нет собственного источника энергии. Без трения затраченная работа равна полезной, $W_{\mathrm{з}}=W_{\mathrm{п}}$, поэтому $F_1{d}_1=F_2{d}_2$ и $k=k_{\mathrm{ид}}$: во сколько раз механизм выигрывает в силе, во столько же раз он проигрывает в пути. При трении часть затраченной работы превращается в теплоту $Q$, так что $W_{\mathrm{з}}=W_{\mathrm{п}}+Q$, а КПД
$\eta =\frac{W_{\mathrm{п}}}{W_{\mathrm{з}}}=\frac{k}{k_{\mathrm{ид}}}$
меньше единицы. Трение меняет силы, но не пути, поэтому отношение работ равно отношению $k$ к $k_{\mathrm{ид}}$.

Блоки: считайте несущие участки верёвки

Блок — это колесо с желобом, шкив, свободно вращающееся на оси, поэтому натяжение $T$ верёвки по обе стороны от него одинаково. Один неподвижный блок лишь меняет направление силы, $k=1$, хотя тянуть вниз, помогая себе собственным весом, удобнее.

В полиспасте одна верёвка многократно проходит вверх и вниз между неподвижной верхней обоймой и нижней обоймой, на которой висит груз. Если подвижную обойму держат $n$ участков верёвки, они делят груз между собой, $nT=mg$, и сила тяги на свободном конце равна $F=T=mg/n$. Геометрия даёт то же самое: когда нижняя обойма поднимается на $h$, каждый участок укорачивается на $h$, и вся высвободившаяся верёвка длиной $d=nh$ проходит через вашу руку. Считайте только участки, прикреплённые к подвижной обойме. Трение увеличивает силу тяги в $1/\eta$ раз:
$\text{Полиспаст}:d=nh,F=\frac{mg}{n\eta }$

Пример: полиспаст из анимации

Ящик массой 40 кг весит $mg=40\cdot 9,81=392,4\mathrm{Н}$, а нижнюю обойму держат четыре участка верёвки, пронумерованные в начальном слое анимации, поэтому $n=4$ и в идеальном механизме этого слоя
$T=F=\frac{mg}{n}=\frac{392,4}{4}=98,1\mathrm{Н}$

Такую длину имеет каждая синяя стрелка $T$ на участках верёвки, и красная стрелка $F$ у руки — тоже. Ящик поднимается на $h=1,00\mathrm{м}$ со скоростью 0,25 м/с, а рука вытягивает $d=4\cdot 1,00=4,00\mathrm{м}$ верёвки со скоростью 1 м/с — вдоль золотистой пунктирной линии. Две работы равны
$W_{\mathrm{з}}=Fd=98,1\cdot 4,00=392,4\mathrm{Дж}$
$W_{\mathrm{п}}=mgh=392,4\cdot 1,00=392,4\mathrm{Дж}$

Это конечные значения на двух индикаторах, которые растут вместе. Верхняя строка панели, $k=mg/F=d/h=4$, подводит итог: четверть силы, вчетверо больший путь, та же работа.

Читаем установку: стрелки, столбики и потолок

Красный столбик тяги составляет четверть фиолетового столбика веса, а золотистый столбик верёвки растёт вчетверо быстрее зелёного столбика высоты. Представьте каждую работу как площадь прямоугольника «сила × путь»: низкого и широкого для руки, высокого и узкого для ящика; площади у них равны.

Стрелки образуют схему сил, действующих на нижнюю обойму: четыре стрелки $T$ тянут её вверх, а вес тянет вниз, поэтому $4T=mg$. Верхнюю обойму тянут вниз все четыре участка и ещё свободный конец, потому что вы тянете вниз: потолок должен выдерживать $5T=490,5\mathrm{Н}$, то есть $mg+F$, а это больше веса самого ящика.

Рычаги, зубчатые передачи и наклонные плоскости

Рычаг — это жёсткий стержень, поворачивающийся вокруг неподвижной точки, опоры. При малом повороте каждая точка смещается пропорционально своему расстоянию до опоры, поэтому плечи $l_1$ и $l_2$, отсчитанные от опоры, дают $k_{\mathrm{ид}}=l_1/l_2$, а моменты сил уравновешены:
$\text{Рычаг}:F_1{l}_1=F_2{l}_2$

Класс рычага определяется тем, что находится посередине: опора — класс 1 (лом, ножницы), груз — класс 2 (тачка, щипцы для орехов; всегда $k>1$), приложенная сила — класс 3 (пинцет, предплечье; всегда $k<1$: рычаг меняет силу на скорость и размах). Ворот — это рычаг, который вращается непрерывно: рукоятка радиусом $R$ на барабане радиусом $r$ даёт $k_{\mathrm{ид}}=R/r$.

Зубчатые колёса — это колёса с зубьями одинакового размера, поэтому число зубьев $N$ пропорционально радиусу:
$\text{Зубчатая передача}:\frac{{\tau }_2}{{\tau }_1}=\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{N_2}{N_1}$
Здесь $\tau$ — момент силы в Н·м, а $\omega$ — угловая скорость. На врезке экспертного слоя шестерня с 8 зубьями вращает колесо с 24 зубьями: скорость вращения втрое меньше, момент силы втрое больше.

Чтобы втащить груз по гладкой наклонной плоскости длиной $s$ и высотой $h$, достаточно толкать его вдоль плоскости с силой всего $mgh/s$, поэтому $k_{\mathrm{ид}}=s/h$: плоскость длиной 4 м и высотой 1 м — это тот же полиспаст из анимации, но в другом виде.

Пример: ручная лебёдка с зубчатой передачей

Строительная лебёдка поднимает поддон с плиткой массой 150 кг. Её рукоятка с плечом 0,25 м вращает шестерню с 10 зубьями, а та приводит в движение колесо с 40 зубьями на валу барабана радиусом 0,050 м. КПД равен 75 %. С какой силой нужно давить на рукоятку?

Рукоятка и барабан образуют ворот с отношением радиусов $0,25/0,050=5$, а зубчатая пара добавляет $40/10=4$. Отношения вдоль цепочки механизмов перемножаются, поэтому $k_{\mathrm{ид}}=5\cdot 4=20$, и
$k=\eta k_{\mathrm{ид}}=0,75\cdot 20=15$
$F_1=\frac{mg}{k}=\frac{150\cdot 9,81}{15}=\frac{1471,5}{15}=98,1\mathrm{Н}$

Проверим это по путям: один оборот барабана наматывает $2\pi \cdot 0,050=0,314\mathrm{м}$ верёвки и требует четырёх оборотов рукоятки, то есть $4\cdot 2\pi \cdot 0,25=6,28\mathrm{м}$ пути руки — в двадцать раз больше. Подъём на 1 м обходится в $98,1\cdot 20=1962\mathrm{Дж}$ при полезной работе 1471,5 Дж; остальные 490,5 Дж нагревают зубчатые колёса и подшипники.

Частые ошибки

• Считать каждый отрезок верёвки. Пятый вертикальный отрезок в анимации идёт от верхней обоймы к вашей руке и ничего не держит: $n=4$, а деление на 5 дало бы 78,5 Н.
• Думать, что механизм экономит работу. Он экономит силу, но не работу: реальному полиспасту из экспертного слоя нужно 490,5 Дж, чтобы отдать 392,4 Дж.
• Отсчитывать плечи рычага от груза, а не от опоры. У лома длиной 1,5 м с опорой в 0,10 м от конца плечи равны 1,40 м и 0,10 м, поэтому $k=14$, а не 15.
• Принимать потери за долю полезной работы. При $\eta =0,80$ полиспасту нужно $392,4/0,80=490,5\mathrm{Дж}$: теплота, 98,1 Дж, составляет пятую часть затраченной работы, а не 20 % полезной.
• Считать бесполезным механизм с $k\le 1$. Неподвижный блок меняет направление силы, а пинцет обменивает силу на точность движений.

Где это встречается

На велосипеде передняя звёздочка с 48 зубьями через цепь вращает заднюю звёздочку с 16 зубьями, и колесо делает три оборота за один оборот педалей: зубчатая передача используется наоборот, ради скорости. Предплечье — рычаг класса 3: бицепс тянет примерно в 4 см от локтя, а кисть находится в 35 см от него, поэтому чтобы удерживать груз весом 50 Н, мышца должна развивать около 440 Н.

Гидравлический пресс из урока «Давление в жидкостях и закон Паскаля» — механизм, выигрыш которого равен отношению площадей поршней; трансформаторы из урока «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы» меняют напряжение на силу тока так же, как зубчатая передача меняет момент силы на скорость; а КПД возвращается, с более жёстким пределом, в уроке «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели».

Продвинутый

Почему все идеальные механизмы подчиняются одному правилу

Рычаги, блоки, зубчатые колёса и наклонные плоскости совсем не похожи друг на друга, и всё же все они обменивают силу на расстояние в одной и той же пропорции. В этом разделе показано почему, причём с помощью рассуждения, в котором нет ни одной силы, а есть только невозможность вечного двигателя.

Назовём механизм обратимым, если без трения он работает в обратную сторону так же легко, как в прямую: всё, что он делает в одну сторону, он может отменить в другую. Возьмём теперь два обратимых механизма. Каждый приводится в действие опусканием одной и той же гири весом 100 Н на 1 м и за счёт этого поднимает один и тот же груз. Первый поднимает его на $x_1$, второй — на $x_2$; предположим, что $x_2>x_1$.

Запустим второй механизм в прямую сторону: гиря опускается на 1 м, а груз поднимается на $x_2$. Затем запустим первый в обратную сторону: он опускает груз на $x_1$ и при этом поднимает гирю в 100 Н обратно на 1 м. Гиря вернулась туда, откуда начала, оба механизма — в исходном состоянии, а груз висит на $x_2-x_1$ выше, чем раньше. Повторяйте этот цикл — и вы будете поднимать груз даром сколько угодно раз.

Такой вечный двигатель никогда не наблюдался, значит, предположение было неверным: $x_2\le x_1$. Если поменять механизмы ролями, рассуждение проходит точно так же и даёт $x_1\le x_2$. Отсюда $x_1=x_2$: все обратимые механизмы поднимают данный груз на одну и ту же высоту.

Значит, чтобы найти правило для всех обратимых механизмов, достаточно одного, и проще всего взять уравновешенный рычаг. Слегка наклоните его: вес, опустившийся с одной стороны, умноженный на высоту, на которую он опустился, равен весу, поднятому с другой стороны, умноженному на высоту его подъёма. Сила, умноженная на путь вдоль неё, — это работа $W$, поэтому у любого обратимого механизма затраченная работа равна полезной, $W_{\mathrm{з}}=W_{\mathrm{п}}$.

Механизм с трением необратим, и то же рассуждение ставит ему предел. Если бы он поднимал груз выше, чем обратимый механизм, то запуск обратимого в обратную сторону снова дал бы что-то из ничего. Поэтому $W_{\mathrm{п}}\le W_{\mathrm{з}}$, и КПД $\eta =W_{\mathrm{п}}/W_{\mathrm{з}}$ не больше 1. Тот же довод использовал Сади Карно в 1824 году, чтобы показать, что никакая тепловая машина не превосходит обратимую, работающую между теми же двумя температурами.

Возможные перемещения: выигрыш из геометрии

Обозначения

$F_1$	Приложенная сила, давящая вниз на конец длинного плеча: сила на входе.	$\mathrm{Н}$
$F_2$	Груз, давящий вниз на конец короткого плеча: сила на выходе.	$\mathrm{Н}$
$L_1$	Длина плеча приложенной силы, от опоры до точки её приложения.	$\mathrm{м}$
$L_2$	Длина плеча груза, от опоры до груза.	$\mathrm{м}$
$\delta \theta$	Крошечный угол поворота рычага, изображённый большим.	$\mathrm{рад}$
$\delta x_1$	Смещение вниз конца с приложенной силой: $L_1\delta \theta$.	$\mathrm{м}$
$\delta x_2$	Смещение вверх конца с грузом: $L_2\delta \theta$.	$\mathrm{м}$

Правило $W_{\mathrm{з}}=W_{\mathrm{п}}$ превращает вопрос о силах механизма в вопрос о его геометрии: на сколько смещается каждый его конец. Рисунок 1 показывает это для рычага в равновесии. Приложенная сила $F_1$ давит вниз на конец длинного плеча $L_1$, а груз $F_2$ давит вниз на конец короткого плеча $L_2$; индексы 1 и 2 означают «вход» и «выход».

Теперь представьте, что рычаг поворачивается на крошечный угол $\delta \theta$, который на рисунке для наглядности изображён большим. Точка на расстоянии $L$ от опоры проходит дугу длиной $L\delta \theta$, а при крошечном угле эта дуга — короткий шаг прямо вверх или вниз. Посмотрите на две стрелки на концах рычага: конец с приложенной силой опускается на $\delta x_1=L_1\delta \theta$, а конец с грузом поднимается на $\delta x_2=L_2\delta \theta$. Их отношение, $\delta x_1/\delta x_2=L_1/L_2$, на рисунке равно 2 и зависит только от длин плеч.

Применим теперь правило работ. Рычаг находится в равновесии, поэтому движение можно сделать сколь угодно медленным, и оно не сообщает рычагу кинетической энергии; рычаг обратим, поэтому никакая часть работы не превращается в теплоту. Значит, вся работа приложенной силы идёт на подъём груза:
$F_1\delta x_1=F_2\delta x_2$

Величины $\delta x$ — это возможные перемещения: воображаемые, а не совершаемые на самом деле, и настолько малые, что силы за это время не меняются. Важно лишь их отношение, а его задают связи механизма — здесь жёсткий рычаг, поворачивающийся вокруг опоры. Для рычага равенство работ имеет именно этот вид, $F_1\delta x_1=F_2\delta x_2$. Подставьте в него оба перемещения: $\delta \theta$ сократится, и останется знакомое равенство моментов $F_1{L}_1=F_2{L}_2$.

Это принцип возможных перемещений, и он даёт выигрыш механизма без единой схемы сил. Любой механизм описывают два отношения: выигрыш в силе $k=F_2/F_1$ — во сколько раз механизм увеличивает силу — и идеальный выигрыш в силе $k_{\mathrm{ид}}=\delta x_1/\delta x_2$ — отношение пройденных путей. По принципу возможных перемещений у обратимого механизма они равны; у рычага оба равны $L_1/L_2$. При трении $\eta =W_{\mathrm{п}}/W_{\mathrm{з}}=k/k_{\mathrm{ид}}$.

Полиспаст: верёвка постоянной длины

Обозначения

$y$	Расстояние от верхней обоймы до нижней: длина каждого несущего участка.	$\mathrm{м}$
$\ell$	Длина верёвки от верхней обоймы вниз до руки.	$\mathrm{м}$
$n$	Число участков, держащих нижнюю обойму, здесь 4.
$\delta h$	Высота, на которую поднимается груз.	$\mathrm{м}$
$n\delta h$	Расстояние, на которое опускается рука: в $n$ раз больше $\delta h$.	$\mathrm{м}$

Полиспаст — подъёмник из анимации — хранит свою геометрию в верёвке. Верёвка не растягивается, и уже одно это определяет, сколько верёвки должна вытянуть рука. На рисунке 2 нижняя обойма, которая несёт ящик, висит на расстоянии $y$ под верхней на $n=4$ участках верёвки длиной $y$ каждый, а $\ell$ — длина верёвки от верхней обоймы вниз до руки.

Верёвка в $n$ участках вместе со свободным концом — это вся верёвка, поэтому её длина не меняется:
$ny+\ell =\mathrm{const},\delta \ell =-n\delta y$

Теперь поднимем груз на $\delta h$: нижняя обойма поднимается, и $\delta y=-\delta h$; штриховые рамки показывают, где ящик и рука были до этого. Каждый из $n$ участков стал короче на $\delta h$. Освободившаяся верёвка, всего $n\delta h$, уходит в свободный конец, $\delta \ell =n\delta h$, поэтому рука опускается на $n\delta h$ — это длинная стрелка справа.

Теперь принцип возможных перемещений даёт силу тяги. Сила руки $F$ действует на пути $n\delta h$, а вес $mg$ поднимается на $\delta h$, поэтому $Fn\delta h=mg\delta h$ и $F=mg/n$: $k_{\mathrm{ид}}$ равен $n$, числу участков, держащих нижнюю обойму. Разделив оба пути на время, получаем скорости, $v_1=n{v}_2$: в анимации 1 м/с у руки и 0,25 м/с у ящика.

Зубчатые колёса и наклонная плоскость: то же правило

То же рассуждение годится и для механизмов, которые вращаются или скользят. У двух зубчатых колёс в зацеплении зубья соприкасаются и движутся вместе, поэтому ободья колёс имеют одну и ту же скорость: ${\omega }_1{r}_1={\omega }_2{r}_2$, где $\omega$ — угловая скорость, а $r$ — радиус. Шаг зубьев у обоих колёс одинаков, поэтому каждый радиус пропорционален числу зубьев, и угловые скорости обратно пропорциональны числам зубьев.

Для наклонной плоскости возьмём брусок массой $M$ на гладкой наклонной плоскости длиной $s$ и высотой $h$, связанный нитью через блок наверху с висящим грузом массой $M^{\prime }$. Когда $M^{\prime }$ опускается на $s$, он протаскивает брусок по всей длине плоскости и тем самым поднимает его на $h$. Равенство работ $M^{\prime }gs=Mgh$ показывает, что они уравновешиваются при $M^{\prime }s=Mh$: для плоскости длиной 4 м и высотой 1 м достаточно четверти $M$. К таким результатам Симон Стевин пришёл в 1586 году другим путём: замкнутая цепь, наброшенная на треугольную призму, никогда не начинает вращаться сама, а это снова невозможность вечного двигателя.

Потери: шкив за шкивом

Обозначения

$F$	Тяга руки за свободный конец верёвки.	$\mathrm{Н}$
$T_4$	Натяжение участка рядом с рукой: ${\eta }_{s}F$.	$\mathrm{Н}$
$T_3$	Натяжение второго от руки участка: ${\eta }_s^{2}F$.	$\mathrm{Н}$
$T_2$	Натяжение третьего от руки участка: ${\eta }_s^{3}F$.	$\mathrm{Н}$
$T_1$	Натяжение четвёртого участка, закреплённого на верхней обойме: ${\eta }_s^{4}F$.	$\mathrm{Н}$
${\eta }_s$	Доля полученного натяжения, которую передаёт дальше один шкив; меньше 1 из-за трения.
$mg$	Вес груза, который четыре участка держат вместе.	$\mathrm{Н}$

До сих пор все механизмы были обратимыми. У настоящих блоков есть трение в подшипниках, и в этом разделе мы выясним, чего оно стоит и где это заметно. На рисунке 3 верёвка полиспаста из анимации вытянута в прямую линию, а все натяжения изображены в одном масштабе: сверху тяга руки $F$, затем четыре участка — от $T_4$ рядом с рукой до $T_1$, участка, закреплённого на верхней обойме.

Модель простая. Каждый шкив — колесо блока с желобом — передаёт дальше лишь долю ${\eta }_s$ получаемого натяжения, чуть меньше 1, а потерянная работа нагревает его подшипник. Поэтому каждая стрелка на рисунке равна стрелке над ней, умноженной на ${\eta }_s$, как показывают подписи ${\eta }_s$ между ними.

Пройдём по верёвке назад от руки. До первого участка она огибает один шкив, поэтому этот участок несёт $T_4={\eta }_{s}F$. Ещё один шкив даёт $T_3={\eta }_s^{2}F$, и так далее до закреплённого участка с $T_1={\eta }_s^{n}F$. Вместе участки держат груз; полоса внизу рисунка показывает это, выстраивая четыре стрелки одна за другой против $mg$. Их сумма — геометрическая прогрессия:
$mg=F\left({\eta }_s+{\eta }_s^2+\dots +{\eta }_s^n\right)=F\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Теперь введём КПД $\eta$ всего полиспаста. Его $k_{\mathrm{ид}}$ по-прежнему равен $n$, поэтому $k=n\eta$ и $F=mg/(n\eta )$. Подставим это в сумму — груз сократится:
$n\eta =\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Для анимации $\eta =0,80$ и $n=4$ требуют ${\eta }_s+{\eta }_s^2+{\eta }_s^3+{\eta }_s^4=3,2$, откуда ${\eta }_s\approx 0,913$. Ящик массой 40 кг весит 392,4 Н, поэтому сила тяги $F=392,4/3,2=122,6\mathrm{Н}$. Натяжения участков от $T_1$ до $T_4$ равны 85,1; 93,2; 102,2 и 111,9 Н и в сумме дают ровно 392,4 Н: на рисунке синие стрелки удлиняются по направлению к руке, а красная стрелка $F$ длиннее всех. Реальный выигрыш в силе $k=n\eta =3,2$, тогда как идеальный $k_{\mathrm{ид}}$ по-прежнему равен 4, потому что трение меняет силы, но не геометрию.

Читаем график энергии

Обозначения

$t$	Время от начала.	$\mathrm{с}$
$W$	Работа, совершённая к данному моменту.	$\mathrm{Дж}$
$W_1$	Затраченная работа: тяга руки, умноженная на длину вытянутой верёвки, $Fd$.	$\mathrm{Дж}$
$W_2$	Полезная работа: потенциальная энергия, полученная грузом, $mgh$.	$\mathrm{Дж}$
$Fd$	Затраченная работа в конце подъёма.	$\mathrm{Дж}$
$mgh$	Полезная работа в конце подъёма.	$\mathrm{Дж}$
$t_1$	Момент, когда ящик начинает подниматься.	$\mathrm{с}$
$t_2$	Момент, когда ящик перестаёт подниматься.	$\mathrm{с}$
$\Delta t$	Короткий промежуток времени.	$\mathrm{с}$
$\Delta W_1$	Затраченная работа за $\Delta t$.	$\mathrm{Дж}$
$\Delta W_2$	Полезная работа за $\Delta t$.	$\mathrm{Дж}$
$Q$	Теплота, выделившаяся из-за трения в шкивах: итоговый зазор между двумя работами.	$\mathrm{Дж}$

За равенством работ можно следить и по ходу дела. Рисунок 4 показывает обе работы в зависимости от времени во время подъёма; индексы 1 и 2 снова означают «вход» и «выход». Затраченная работа $W_1=W_{\mathrm{з}}(t)=Fd(t)$, где $d$ — длина верёвки, которую рука уже вытянула, а полезная работа $W_2=W_{\mathrm{п}}(t)=mgh(t)$, где $h$ — высота, на которую поднялся ящик.

Читайте график слева направо. До $t_1=0,4$ с ничего не происходит. Затем ящик поднимается с постоянной скоростью, поэтому обе работы растут по прямым. В момент $t_2=4,4$ с подъём заканчивается: рука вытянула 4 м верёвки, а ящик поднялся на 1 м. Прямые выходят на горизонталь на уровнях $Fd=490,5\mathrm{Дж}$ и $mgh=392,4\mathrm{Дж}$.

Наклон каждой прямой — это мощность, то есть быстрота совершения работы. Посмотрите на два маленьких треугольника: за один и тот же промежуток $\Delta t$ прямая затраченной работы поднимается на $\Delta W_1$, а полезной — на $\Delta W_2$. Рука тянет с силой 122,6 Н при скорости 1 м/с, то есть затрачиваемая мощность равна 122,6 Вт, а потенциальная энергия ящика растёт со скоростью $392,4\cdot 0,25=98,1\mathrm{Вт}$. Отношение наклонов в любой момент равно 0,80, $\Delta W_2/\Delta W_1=\eta$, поэтому КПД — это ещё и отношение полезной мощности к затраченной.

Закрашенный зазор между прямыми — работа, потерянная на трение к данному моменту. Он расширяется со скоростью $122,6-98,1=24,5\mathrm{Вт}$ и в конце достигает $Q=490,5-392,4=98,1\mathrm{Дж}$ — это скобка справа на рисунке и значение на индикаторе теплоты в анимации. После $t_2$ обе прямые горизонтальны, потому что остановившийся механизм не совершает работы, как бы сильно его ни удерживали.

Больше участков, цепочки передач и самоторможение

Модель потерь отвечает на три практических вопроса: всегда ли помогает увеличение числа участков, как складываются потери вдоль цепочки зубчатых передач и почему некоторые механизмы удерживают груз сами.

Увеличение числа участков не помогает безгранично. С ростом $n$ величина ${\eta }_s^n\to 0$, поэтому реальный выигрыш в силе $k={\eta }_s(1-{\eta }_s^n)/(1-{\eta }_s)$ выходит на предел ${\eta }_s/(1-{\eta }_s)\approx 10,5$. Переход от 4 к 8 участкам увеличивает его лишь с 3,2 до 5,4, а $\eta$ при этом падает с 0,80 до 0,68. Рисунок 3 показывает причину: каждый добавленный участок дальше от руки и несёт меньшее натяжение, чем предыдущий.

Идеальные зубчатые колёса передают мощность без изменений, ${\tau }_1{\omega }_1={\tau }_2{\omega }_2$, где $\tau$ — момент силы: колесо, вращающееся втрое медленнее, вращается с втрое большим моментом. На врезке в анимации шестерня с 8 зубьями вращает колесо с 24 зубьями; шестерня поворачивается на 270°, пока колесо поворачивается на 90°, и ${\tau }_2=3{\tau }_1$, где индекс 1 относится к шестерне, а 2 — к колесу. Вдоль цепочки передач отношения ступеней перемножаются — две ступени 1 : 3 дают 1 : 9, — и КПД тоже. Хорошая ступень теряет лишь несколько процентов, так что две ступени по 0,98 всё равно передают 96 %.

Винтовой домкрат или червячная передача должны удерживать груз, когда вы их отпускаете; такой механизм называют самотормозящим. Чтобы понять, когда это происходит, предположим, что трение отнимает одну и ту же теплоту $Q$ при движении в любую сторону. Тогда для подъёма нужно $W_{\mathrm{з}}=W_{\mathrm{п}}+Q$. Если бы груз попытался провернуть механизм в обратную сторону, то, опускаясь, он отдал бы лишь $W_{\mathrm{п}}$, но всё равно должен был бы покрыть $Q$; он не может этого сделать и потому остаётся на месте, если $W_{\mathrm{п}}\le Q$. Через КПД подъёма это условие записывается как $\eta =W_{\mathrm{п}}/(W_{\mathrm{п}}+Q)\le 0,5$.

Автомобильный домкрат позволяет подставить числа. При рукоятке длиной 0,20 м за один оборот рука проходит окружность $2\pi \cdot 0,20=1,26\mathrm{м}$, а винт, продвигающийся на 2,0 мм за оборот, поднимает автомобиль на 0,0020 м, поэтому $k_{\mathrm{ид}}=2\pi \cdot 0,20/0,0020\approx 630$. При $\eta =0,30$ реальный выигрыш в силе около 190, и примерно 21 Н на рукоятке поднимают 4000 Н. Поскольку 0,30 меньше половины, автомобиль остаётся наверху, когда вы отпускаете рукоятку.

Задача: опускание ящика

Запустим полиспаст из анимации в обратную сторону: опустим ящик массой 40 кг на 1 м с постоянной скоростью, причём в каждом шкиве ${\eta }_s=0,9127$. С какой силой рука должна удерживать верёвку и куда уходит энергия?

Сначала выясним, куда направлено трение. Теперь верёвка движется от руки внутрь полиспаста, и трение в каждом шкиве по-прежнему препятствует её движению. Поэтому в каждом шкиве больше натяжение с той стороны, куда движется верёвка: оно в $1/{\eta }_s$ раз больше натяжения со стороны руки. Ближайший к руке участок несёт $F/{\eta }_s$, следующий — $F/{\eta }_s^2$, и так далее вплоть до $F/{\eta }_s^4$ на закреплённом участке. Вместе они по-прежнему держат груз:
$mg=F\left(\frac{1}{{\eta }_s}+\frac{1}{{\eta }_s^2}+\frac{1}{{\eta }_s^3}+\frac{1}{{\eta }_s^4}\right)=5,052F$
$F=\frac{392,4}{5,052}=77,67\mathrm{Н}$

Эти натяжения — четыре значения при подъёме, взятые в обратном порядке: от 111,9 Н на закреплённом участке до 85,1 Н возле руки. Удерживающая сила составляет ${\eta }_s^5$ от подъёмной, около 63 % от неё: теперь трение помогает руке, а не мешает ей.

Теперь энергия. Опускающийся ящик отдаёт $mgh=392,4\mathrm{Дж}$. Рука выпускает 4 м верёвки, сопротивляясь с силой 77,67 Н, поэтому поглощает $77,67\cdot 4,00=310,7\mathrm{Дж}$, а оставшиеся $392,4-310,7=81,7\mathrm{Дж}$ шкивы превращают в теплоту.

Если трение покоя в подшипниках примерно такое же, как при движении, любая сила тяги от 77,7 до 122,6 Н удерживает ящик на месте: при меньшей он опускается, при большей — поднимается. Но удерживающая сила никогда не становится нулевой. При КПД подъёма 0,80, намного большем половины, полиспаст не самотормозящий, и если отпустить верёвку, ящик побежит вниз.

Границы применимости

Все результаты выше опираются на идеализации: невесомую нерастяжимую верёвку, невесомые шкивы, жёсткие рычаги и медленное равномерное движение. От каждой из них можно отказаться, и равенство работ показывает, что при этом меняется.

Нижняя обойма массой 2,0 кг поднимается вместе с ящиком, поэтому добавляет к нагрузке 19,6 Н и увеличивает идеальную силу тяги с 98,1 до 103,0 Н. Чтобы поднимать ящик с ускорением 0,5 м/с², нужна направленная вверх равнодействующая, $nT=m(g+a)$, то есть 103,1 Н на участок, а дополнительная работа превращается в кинетическую энергию, а не в высоту. Реальная верёвка к тому же растягивается, а в подшипниках есть потери, не растущие с нагрузкой, поэтому слабо нагруженный полиспаст работает хуже, чем предсказывает постоянное ${\eta }_s$.

Само равенство работ — это закон сохранения энергии, и его нарушения ни разу не наблюдались. Меняется в малых масштабах другое — плавность хода. Моторный белок кинезин движется вдоль нити внутри клетки шагами по 8 нм и останавливается при нагрузке около 6 пН. Поэтому за шаг он совершает не более $(6\times 10^{-12}\mathrm{Н})(8\times 10^{-9}\mathrm{м})\approx 4,8\times 10^{-20}\mathrm{Дж}$ работы — лишь примерно в 11 раз больше тепловой энергии $k_{\mathrm{Б}}T\approx 4,3\times 10^{-21}\mathrm{Дж}$ при температуре тела, где $k_{\mathrm{Б}}$ — постоянная Больцмана, а $T$ здесь — абсолютная температура. Каждый шаг расходует одну молекулу АТФ, энергия которой примерно вдвое больше этой работы, а случайные тепловые толчки составляют значительную часть движения. В таком масштабе баланс выполняется лишь в среднем, а то, в какую сторону может работать механизм, решает второе начало термодинамики.

Что дальше

Принцип возможных перемещений — короткий путь к равенству моментов из урока «Статическое равновесие и рычаги», а урок «Динамика вращения и момент силы» даёт момент силы и мощность $P=\tau \omega$, которую передаёт зубчатая пара. У гидравлического пресса из урока «Давление в жидкостях и закон Паскаля» идеальный выигрыш равен отношению площадей: 100 для поршней диаметром 2 см и 20 см. Трансформаторы из урока «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы» умножают напряжение на отношение чисел витков и во столько же раз уменьшают силу тока, передавая мощность дальше, как зубчатые колёса. Растяжение верёвки относится к уроку «Упругость: закон Гука, напряжение и деформация». Довод об обратимых механизмах возвращается в уроках «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели» и «Второе начало термодинамики и энтропия», где он ограничивает КПД любой тепловой машины.