Тяготение и орбиты

Начальный

Отпустите карандаш — он упадёт. Посмотрите вверх — Луна висит в небе. Великая догадка Ньютона в том, что и то и другое объясняется одним и тем же притяжением. Разберём эту идею шаг за шагом.

Шаг 1. Любое тело, у которого есть масса, притягивает все остальные тела. Чем больше массы, тем сильнее притяжение: притяжение Земли вы чувствуете, а крошечное притяжение человека, сидящего рядом, — нет.

Шаг 2. С расстоянием притяжение слабеет, и быстро. Расстояние отсчитывают между центрами: вдвое дальше — притяжение в четыре раза слабее, втрое дальше — в девять раз. Проверьте себя: что станет с притяжением, если увеличить расстояние между телами в десять раз? (Ответ: оно ослабнет в сто раз.)

Шаг 3. Почему Луна не падает на Землю? На самом деле она падает всё время. Без притяжения она летела бы по прямой; тяготение искривляет её путь в сторону Земли. Представьте пушку на вершине очень высокой горы, стреляющую горизонтально. Медленное ядро падает рядом, более быстрое — дальше. При достаточной скорости ядро опускается ровно настолько, насколько круглая Земля уходит из-под него, и никогда не касается земли: оно на орбите. По той же причине парят космонавты: они падают вместе со своим кораблём, хотя тяготение там почти такое же сильное, как у поверхности.

Шаг 4. Большинство орбит — слегка вытянутые окружности, эллипсы, и звезда находится не в центре. Падая к звезде, планета разгоняется, а удаляясь от неё — замедляется.

В анимации красная стрелка — притяжение звезды: она всегда направлена к звезде и длиннее, когда планета близко. Синяя пунктирная линия показывает, куда полетела бы планета, если бы тяготение исчезло. Серые точки оставлены через равные промежутки времени: вдали от звезды они теснятся, а вблизи — расходятся.

Средний

Закон тяготения и напряжённость поля

Любое тело, обладающее массой, притягивает любое другое. Для масс $m_1$ и $m_2$, центры которых находятся на расстоянии $r$, закон всемирного тяготения Ньютона даёт модуль силы притяжения:
$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$

Здесь $G=6,674\times 10^{-11}\mathrm{Н}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{к}{\mathrm{г}}^2$ — гравитационная постоянная, настолько малая, что два человека по 70 кг на расстоянии 1 м притягиваются друг к другу с силой всего $3,3\times 10^{-7}\mathrm{Н}$. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей центры, и по третьему закону Ньютона каждое тело тянет другое одинаково сильно: вы притягиваете Землю вверх с той же силой 690 Н, с какой она притягивает вас вниз. Для планеты или звезды $r$ отсчитывают от её центра.

Разделив силу, действующую на небольшую массу $m$, на $m$, получаем напряжённость поля тяготения тела массой $M$ — притяжение, приходящееся на каждый килограмм:
$g=\frac{GM}{r^2}$

Её единица, ньютон на килограмм, совпадает с м/с²: $g$ — это ускорение свободного падения в данном месте. У поверхности Земли ($M=5,97\times 10^{24}\mathrm{кг}$, $R=6371\mathrm{км}$) оно равно 9,8 м/с². На расстоянии $r=2R$, то есть на высоте одного земного радиуса, оно в четыре раза меньше, около 2,45 м/с², а на высоте 400 км всё ещё около 8,7 м/с².

Круговые орбиты

Как и в уроке «Движение по окружности», тело, которое движется со скоростью $v$ по окружности радиуса $r$, нуждается в равнодействующей силе $m{v}^2/r$, направленной к центру. Для спутника эту силу создаёт одно только тяготение:
$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\text{(круговая орбита)}$

Масса спутника $m$ сокращается: космическая станция и гаечный ключ, выпавший из рук экипажа, летят по одной и той же орбите. Один оборот — путь $2\pi r$ — занимает время $T=2\pi r/v$, откуда $T^2=4{\pi }^2{r}^3/(GM)$. Чем выше орбита, тем медленнее движение, $v\propto 1/\sqrt{r}$, и тем дольше оборот, $T\propto r^{3/2}$: спутник, летящий у самой поверхности, обошёл бы Землю примерно за 84 минуты, а Луне, удалённой на 60 земных радиусов, нужно 27,3 суток.

Эллипсы и три закона Кеплера

Спутник, запущенный в боковом направлении чуть быстрее или чуть медленнее, чем $\sqrt{GM/r}$, движется уже по эллипсу. Иоганн Кеплер вывел три закона движения планет между 1609 и 1619 годами, и закон тяготения Ньютона объясняет все три.

• Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце, а не в центре.
• Отрезок, соединяющий Солнце с планетой, заметает равные площади за равные промежутки времени, поэтому планета быстрее всего движется в перигелии, ближайшей точке, а медленнее всего — в афелии, самой далёкой.
• Квадрат периода пропорционален кубу размера орбиты.

Размер орбиты задаёт большая полуось $a$: половина наибольшего диаметра и среднее арифметическое ближайшего и самого далёкого расстояний. Эксцентриситет $e$ показывает, насколько эллипс вытянут: ближайшее расстояние равно $a(1-e)$, самое далёкое — $a(1+e)$, а у окружности $e=0$. В форме, которую дал Ньютон, третий закон записывается так:
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
это результат для окружности с заменой $r$ на $a$, и он верен при любом эксцентриситете. Для обращения вокруг Солнца при $T$ в годах и $a$ в астрономических единицах ($1\mathrm{а}.\mathrm{е}.=1,496\times 10^{11}\mathrm{м}$) он принимает простой вид $T^2=a^3$.

Энергия в поле тяготения

Чтобы раздвинуть две массы, нужно совершить работу, поэтому их потенциальная энергия растёт с расстоянием. Если принять её равной нулю при бесконечном удалении, получаем
$U=-\frac{GMm}{r}$

Знак «минус» означает, что тело находится в потенциальной яме: чтобы удалить покоящееся на расстоянии $r$ тело на бесконечность, нужно совершить работу $GMm/r$. На орбите полная энергия $E=\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$ постоянна, поэтому при падении к центру тело разгоняется. При $E\ge 0$ тело улетает навсегда; с поверхности Земли для этого нужна скорость $\sqrt{2GM/R}\approx 11,2\mathrm{км}/\mathrm{с}$.

На эллипсе энергия зависит только от его размера, $E=-GMm/(2a)$. Приравняв оба выражения для энергии, получаем скорость на любом расстоянии — уравнение vis-viva:
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
Для окружности $r=a$, и оно превращается в $v^2=GM/r$.

Пример: планета из анимации

Звезда имеет массу Солнца, $GM=1,327\times 10^{20}{\mathrm{м}}^3/{\mathrm{с}}^2$, а эллипс — $a=1\mathrm{а}.\mathrm{е}.$ и $e=0,5$, поэтому расстояние до планеты меняется от 0,5 до 1,5 а. е., а оборот, как и у Земли с тем же $a$, занимает один год. В перигелии, на расстоянии $7,48\times 10^{10}\mathrm{м}$ от звезды,
$g=\frac{1,327\times 10^{20}}{(7,48\times 10^{10}{)}^2}\approx 0,0237\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2=23,7\mathrm{мм}/{\mathrm{с}}^2$
а втрое дальше оно в девять раз меньше — 2,6 мм/с². Это крайние значения показания $F/m$, и красная стрелка $F$ уменьшается во столько же раз.

Теперь о скоростях. Круговая скорость на расстоянии 1 а. е. равна $\sqrt{GM/a}\approx 29,8\mathrm{км}/\mathrm{с}$ — это скорость Земли. Если расстояния выражать в астрономических единицах, уравнение vis-viva даёт
$v=29,8\sqrt{2/0,5-1}=29,8\sqrt{3}\approx 51,6\mathrm{км}/\mathrm{с}$
$v=29,8\sqrt{2/1,5-1}=29,8/\sqrt{3}\approx 17,2\mathrm{км}/\mathrm{с}$
соответственно в перигелии и афелии; это два крайних значения показания $v$.

Отношение скоростей, 3, обратно отношению расстояний, как и требуют равные площади: на обоих концах большой оси скорость перпендикулярна радиусу, за малое время $\Delta t$ радиус заметает тонкий треугольник площадью $\frac{1}{2}rv\Delta t$, и $0,5\cdot 51,6=1,5\cdot 17,2$. Энергия на килограмм, $\frac{1}{2}{v}^2-GM/r$, в обеих точках равна $-4,4\times 10^8\mathrm{Дж}/\mathrm{кг}$, то есть $-GM/(2a)$.

Понаблюдайте за углом между стрелками. На пути к звезде фиолетовая стрелка $v$ образует с красной стрелкой $F$ угол меньше 90°, поэтому у силы притяжения есть составляющая вдоль движения, и она разгоняет планету; на пути от звезды угол больше 90°, и притяжение тормозит её. В перигелии и афелии стрелки перпендикулярны, и модуль скорости в этот момент не меняется.

Пример: два спутника Земли

Международная космическая станция летит на высоте около 400 км, поэтому её расстояние от центра Земли $r=6371+400=6771\mathrm{км}$. Для Земли $GM=3,986\times 10^{14}{\mathrm{м}}^3/{\mathrm{с}}^2$, и
$v=\sqrt{\frac{3,986\times 10^{14}}{6,771\times 10^6}}\approx 7672\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 7,67\mathrm{км}/\mathrm{с}$
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot 6,771\times 10^6}{7672}\approx 5545\mathrm{с}$
то есть около 92 минут. На этой высоте $g=GM/r^2\approx 8,7\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, или 89 % от значения на поверхности.

Геостационарный спутник должен делать один оборот за то время, за которое Земля поворачивается относительно звёзд, $T=86164\mathrm{с}$ (23 ч 56 мин), чтобы неподвижно висеть над одной точкой экватора. Третий закон даёт
$r={\left(\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}\approx 4,216\times 10^7\mathrm{м}$
то есть около 35 800 км над экватором; скорость спутника $2\pi r/T\approx 3,07\mathrm{км}/\mathrm{с}$. Для проверки: радиус в $42164/6771\approx 6,23$ раза больше, чем у станции, значит, период должен быть длиннее в $6,23^{3/2}\approx 15,5$ раза, и действительно, $1436/92,4\approx 15,5$ (периоды в минутах).

Частые ошибки

• Мнение, что на орбите нет тяготения. На высоте 400 км $g$ всё ещё равно 8,7 м/с²; космонавты парят потому, что они и станция падают вместе.
• Отсчёт $r$ от поверхности. Если подставить 400 км вместо 6771 км, скорость станции получится 31,6 км/с, а не 7,67 км/с.
• Мнение, что тяжёлым спутникам или высоким орбитам нужна большая скорость. В формулу $v=\sqrt{GM/r}$ масса спутника не входит, а геостационарный спутник движется медленнее станции.
• Подстановка в третий закон самого далёкого расстояния. Расстояние от кометы Галлея до Солнца меняется от 0,59 а. е. до 35,1 а. е., поэтому $a=17,8\mathrm{а}.\mathrm{е}.$ и $T=17,8^{3/2}\approx 75$ лет, а не 208 лет.
• Предположение, что планета разгоняется там, где притяжение сильнее всего. В перигелии оно наибольшее, 23,7 мм/с² в анимации, но перпендикулярно скорости, поэтому скорость как раз перестала расти.

Где это встречается

Навигационные спутники на высоте 20 200 км с периодом обращения 12 часов, геостационарные метеорологические и телевизионные спутники, приливы, массы планет и звёзд, которые по орбитам обращающихся вокруг них тел находят с помощью третьего закона, — всё это опирается на этот урок.

Закон площадей — это сохранение момента импульса (урок «Момент импульса и закон его сохранения»); $U=-GMm/r$ обобщает $mgh$ из урока «Работа, энергия и мощность»; тот же закон обратных квадратов управляет зарядами в уроке «Закон Кулона», а урок «Гравитация как искривление пространства-времени» исходит из того, что все тела падают с одним и тем же ускорением.

Продвинутый

От яблока к Луне

В этом разделе вводится закон силы и приводится первое свидетельство того, что один и тот же закон действует и на Земле, и на небе. Две массы $M$ и $m$, находящиеся на расстоянии $r$ друг от друга, притягиваются с силой, модуль которой равен $GMm/r^2$, где $G$ — гравитационная постоянная. В векторной форме, если $M$ находится в начале координат, а $m$ — в точке $\vec{r}$,
$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$
где $\hat{r}$ — единичный вектор, направленный от $M$ к $m$. Знак «минус» поворачивает силу обратно к $M$: тяготение притягивает.

Первая проверка Ньютона сравнивала Луну с падающим яблоком. Если притяжение ослабевает как $1/r^2$, то на расстоянии 60 земных радиусов оно должно быть в $60^2=3600$ раз слабее, чем у поверхности. Луна находится на расстоянии $r=3,844\times 10^8\mathrm{м}$, около 60 земных радиусов, и обращается вокруг Земли за 27,32 суток ($T=2,36\times 10^6\mathrm{с}$). Чтобы оставаться на своей окружности, ей нужно центростремительное ускорение
$a_c=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
а закон обратных квадратов предсказывает $g/60^2=9,81/3600\approx 2,72\times 10^{-3}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Значения совпадают: яблоко и Луна подчиняются одному закону.

Почему расстояние можно отсчитывать от центра Земли? Благодаря теореме о сферической оболочке: однородная сферическая оболочка притягивает внешнюю массу в точности так, как если бы вся масса оболочки находилась в её центре, а на массу внутри себя не действует вовсе. Планета — это набор вложенных друг в друга таких оболочек, поэтому снаружи она действует как точечная масса. Внутри однородной планеты притягивают только оболочки, лежащие ближе к центру. Их масса растёт как $r^3$, а притяжение на единицу массы убывает как $1/r^2$, поэтому $g$ убывает пропорционально $r$, до нуля в центре.

Когда $G$ известна, тот же закон позволяет «взвесить» Землю. Кавендиш измерил $G$ на крутильных весах в 1798 году. У поверхности $g=GM/R^2$, где $R$ — радиус Земли, поэтому $M=g{R}^2/G\approx 5,97\times 10^{24}\mathrm{кг}$. Это средняя плотность 5,5 г/см³ — вдвое больше, чем у поверхностных пород, так что недра, и прежде всего ядро, должны быть гораздо плотнее.

Равные площади из момента импульса

Кеплер обнаружил, что отрезок, соединяющий звезду с планетой, за равные промежутки времени заметает равные площади: вблизи звезды планета движется быстро, а вдали — медленно. В этом разделе показано, что его правило — это закон сохранения момента импульса в другой форме.

Обозначения

$M$	Звезда массой $M$.	$\mathrm{кг}$
$r$	Расстояние от звезды до планеты.	$\mathrm{м}$
$\vec{F}$	Сила, с которой звезда притягивает планету; направлена вдоль радиуса к $M$.	$\mathrm{Н}$
$\vec{v}dt$	Смещение планеты за малое время $dt$: скорость, умноженная на время.	$\mathrm{м}$
$dr$	Часть смещения вдоль радиуса: изменение $r$.	$\mathrm{м}$
$rd\theta$	Часть смещения поперёк радиуса: дуга радиусом $r$.	$\mathrm{м}$
$d\theta$	Угол, на который поворачивается радиус-вектор за этот шаг.	$\mathrm{рад}$
$dA$	Площадь тонкого треугольника, заметаемого радиус-вектором за этот шаг.	${\mathrm{м}}^2$

На рисунке 1 крупно показан один короткий шаг планеты, находящейся на расстоянии $r$ от своей звезды $M$. Направление радиус-вектора задаётся углом $\theta$. За малое время $dt$ планета смещается на $\vec{v}dt$ — это синяя стрелка. Разложите этот шаг на две части. Часть $dr$ вдоль радиуса меняет только расстояние; она не заметает площади, потому что сдвигает планету вдоль той прямой, на которой планета уже лежит. Часть поперёк радиуса — это короткая дуга $rd\theta$, которую планета проходит, пока радиус-вектор поворачивается на малый угол $d\theta$. Новую площадь заметает только эта часть: золотой треугольник с основанием $r$ и высотой $rd\theta$, так что $dA=\frac{1}{2}r\cdot rd\theta$.

Разделив на $dt$, получаем секториальную скорость — площадь, заметаемую за единицу времени: $dA/dt=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, где $\dot{\theta }=d\theta /dt$ — скорость поворота радиус-вектора. Скорость планеты поперёк радиуса равна $r\dot{\theta }$, поэтому модуль её момента импульса относительно звезды $L=mr\cdot r\dot{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }$. Следовательно,
$\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}$

Теперь посмотрите на силу притяжения $\vec{F}$ на рисунке 1: она направлена вдоль радиуса, к $M$. Поэтому момент силы $\vec{r}\times \vec{F}$ равен нулю — векторное произведение двух параллельных векторов обращается в нуль, — а без момента силы момент импульса $\vec{L}$ измениться не может. Его модуль $L$ задаёт секториальную скорость: это второй закон Кеплера. Его направление, перпендикулярное и $\vec{r}$, и $\vec{v}$, тоже не меняется, поэтому орбита остаётся в одной плоскости.

Закон $1/r^2$ здесь нигде не использовался. Равные площади получаются для любой центральной силы, то есть любой силы, направленной вдоль прямой, которая соединяет тело с неподвижным центром. Поэтому второй закон Кеплера проверяет направление силы, а не то, как её величина зависит от расстояния.

Планета из анимации делает это наглядным. Она обращается вокруг звезды в одну солнечную массу по эллипсу с большой полуосью $a=1\mathrm{а}.\mathrm{е}.$ (половина наибольшего диаметра) и эксцентриситетом $e=0,5$ (мера сплюснутости эллипса: 0 для окружности, близко к 1 для длинного и узкого эллипса). Её малая полуось, половина наименьшего диаметра, равна $b=a\sqrt{1-e^2}\approx 0,866\mathrm{а}.\mathrm{е}.$, а период, как покажет третий закон ниже, — один год. В экспертном режиме каждый золотой сектор заметается за восьмую часть периода, около 45,7 суток, поэтому площадь каждого из них — восьмая часть площади эллипса, $\pi ab/8\approx 0,34(\mathrm{а}.\mathrm{е}.{)}^2$. Сектор у перигелия, ближайшей к звезде точки, короткий и широкий; сектор у афелия, самой далёкой точки, — длинный и узкий.

На концах большой оси скорость перпендикулярна радиусу, поэтому там в точности $L/m=rv$. Со скоростями, которые ниже будут найдены из уравнения vis-viva, — 51,6 км/с на расстоянии 0,5 а. е. и 17,2 км/с на расстоянии 1,5 а. е. — получаем $0,5\cdot 51,6=1,5\cdot 17,2\approx 25,8\mathrm{а}.\mathrm{е}.\cdot \mathrm{км}/\mathrm{с}$ на обоих концах, как и должно быть.

Энергия и радиальное движение

Один только момент импульса не говорит, насколько близко планета подходит к звезде и как далеко от неё уходит. Это говорит энергия, и она сводит орбиту к одномерной задаче для расстояния $r$.

Обозначения

$U_{eff}$	Эффективная потенциальная энергия радиального движения: $L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$.	$\mathrm{Дж}$
$E$	Полная энергия: постоянна вдоль орбиты, отрицательна для связанной орбиты; изображена горизонтальным уровнем.	$\mathrm{Дж}$
$r$	Расстояние от звезды.	$\mathrm{м}$
$r_{\min }$	Расстояние в перигелии, $a(1-e)$: внутренняя точка поворота, где $\dot{r}=0$.	$\mathrm{м}$
$r_{\max }$	Расстояние в афелии, $a(1+e)$: внешняя точка поворота, где $\dot{r}=0$.	$\mathrm{м}$
$K_r$	Радиальная кинетическая энергия $\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$: разность между $E$ и $U_{eff}$.	$\mathrm{Дж}$
$\frac{L^2}{2m{r}^2}$	Центробежный член: кинетическая энергия поперечного движения на расстоянии $r$.	$\mathrm{Дж}$
$U$	Гравитационная потенциальная энергия, $-GMm/r$.	$\mathrm{Дж}$

Начнём с потенциальной энергии. Примем $U=0$, когда тела бесконечно удалены друг от друга. Тогда $U$ на расстоянии $r$ равна работе силы тяготения над $m$ при её перемещении от $r$ на бесконечность, ${\int }_r^{\infty }(-GMm/r^{\prime 2})d{r}^{\prime }$, что даёт
$U=-\frac{GMm}{r}$
Она всюду отрицательна и вдали поднимается к нулю: это нижняя штриховая кривая $U$ на рисунке 2.

Теперь кинетическая энергия. Разложим скорость на радиальную часть $\dot{r}$ — скорость изменения расстояния — и поперечную часть $r\dot{\theta }$. Из $L=m{r}^2\dot{\theta }$ поперечная часть равна $L/(mr)$, поэтому соответствующая кинетическая энергия равна $L^2/(2m{r}^2)$. Сохраняющаяся полная энергия тогда равна
$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}$

Поскольку $L$ постоянен, два последних слагаемых зависят только от $r$, и их можно рассматривать вместе как единую потенциальную энергию радиального движения: эффективную потенциальную энергию $U_{eff}$ — фиолетовую кривую на рисунке 2. Она равна сумме двух штриховых кривых. Верхняя, центробежный член $L^2/(2m{r}^2)$, круто растёт при уменьшении $r$; она служит центробежным барьером, который не даёт планете упасть на звезду. Нижняя — это $U$. Вблизи побеждает барьер, вдали — тяготение, а между ними сумма образует яму.

Теперь читайте рисунок как профиль ложбины, по которой катается шарик. Энергия $E$ — горизонтальный штриховой уровень, одинаковый при всех $r$. Расстояние по вертикали между этим уровнем и фиолетовой кривой — радиальная кинетическая энергия $K_r=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$. Она не может быть отрицательной, поэтому планета может находиться только там, где кривая лежит ниже уровня.

При $E<0$, как на рисунке, уровень пересекает кривую в двух точках поворота, $r_{\min }$ и $r_{\max }$. В них $K_r=0$, то есть $\dot{r}=0$: расстояние перестаёт уменьшаться или расти и начинает меняться в обратную сторону. Поэтому расстояние колеблется между $r_{\min }$, перигелием, и $r_{\max }$, афелием. Если уровень лишь касается дна ямы, точки поворота сливаются и орбита становится окружностью. При $E\ge 0$ уровень встречает кривую только один раз, на барьере, и планета уходит на бесконечность.

Форма орбиты

Рисунок 2 даёт диапазон расстояний, но не кривую, которую описывает планета. Чтобы найти эту кривую, перепишем радиальное уравнение движения через угол $\theta$ вместо времени.

Вдоль радиуса второй закон Ньютона имеет вид $m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-GMm/r^2$; член $-r{\dot{\theta }}^2$ — центростремительное ускорение, возникающее из-за поворота радиус-вектора. Два изменения делают уравнение решаемым. Во-первых, возьмём в качестве переменной $u=1/r$. Во-вторых, заменим время углом с помощью $\dot{\theta }=L/(m{r}^2)=(L/m)u^2$. Тогда $\dot{r}=-(L/m)du/d\theta$ и $\ddot{r}=-(L/m{)}^2{u}^2{d}^{2}u/d{\theta }^2$, и после деления на $-m(L/m{)}^2{u}^2$ закон становится линейным:
$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=\frac{GM{m}^2}{L^2}$

Это уравнение гармонического осциллятора под действием постоянной силы, поэтому его решение — эта постоянная плюс косинус: $u=(1+e\cos \theta )/p$, где $p=L^2/(GM{m}^2)$, а $\theta$ отсчитывается от перигелия. Через $r$:
$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$
то есть коническое сечение со звездой в фокусе: эллипс при $e<1$ ($E<0$), парабола при $e=1$ ($E=0$) и гипербола при $e>1$ ($E>0$). Для эллипса перигелий при $\theta =0$ и афелий при $\theta =\pi$ дают $r_{\min }=p/(1+e)$ и $r_{\max }=p/(1-e)$. Их сумма — большая ось $2a$, поэтому $p=a(1-e^2)=b^2/a$, $r_{\min }=a(1-e)$ и $r_{\max }=a(1+e)$.

Закон обратных квадратов особенный. По теореме Бертрана только две силы дают связанные орбиты, которые всегда замыкаются: сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, и линейная сила упругой пружины. При любом другом степенном законе связанная орбита не замыкается, и её перигелий понемногу смещается с каждым оборотом.

Энергия задаёт размер эллипса. В каждой точке поворота $\dot{r}=0$, поэтому $E=L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$. После умножения на $r^2$ получается квадратное уравнение $E{r}^2+GMmr-L^2/(2m)=0$, два корня которого — $r_{\min }$ и $r_{\max }$. Сумма корней квадратного уравнения равна среднему коэффициенту, делённому на первый и взятому со знаком «минус», поэтому $r_{\min }+r_{\max }=-GMm/E$. Эта сумма равна $2a$, откуда
$E=-\frac{GMm}{2a}$
Энергия задаёт размер $a$; при данном $a$ момент импульса задаёт $p$, а вместе с ним и форму $e$.

Приравняв это значение к энергии в любой точке орбиты, $\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$, и разделив на $m/2$, получаем уравнение vis-viva, по которому анимация вычисляет показание скорости:
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
На окружности $r=a$ и $v^2=GM/r$; на расстоянии 1 а. е. от Солнца это 29,8 км/с — орбитальная скорость Земли. Для планеты из анимации, где $a=1\mathrm{а}.\mathrm{е}.$, скорость равна $29,8\sqrt{2/r-1}\mathrm{км}/\mathrm{с}$, если $r$ выражено в а. е.: 51,6 км/с в перигелии и 17,2 км/с в афелии.

Третий закон Кеплера

Третий закон связывает период с размером орбиты, а прочитанный в обратную сторону, «взвешивает» центральное тело.

За один период радиус-вектор заметает весь эллипс площадью $\pi ab$ с постоянной секториальной скоростью $L/(2m)$, поэтому $T=2\pi abm/L$. Возведя в квадрат, получаем $T^2=4{\pi }^2{a}^2{b}^2{m}^2/L^2$. Из уравнения орбиты $L^2=GM{m}^{2}p$, а $p=b^2/a$, поэтому $L^2=GM{m}^2{b}^2/a$. После подстановки $b^2$ и $m^2$ сокращаются:
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
Период зависит только от $a$, а не от формы: окружность радиусом 1 а. е. и эллипс из анимации с $a=1\mathrm{а}.\mathrm{е}.$ и $e=0,5$ проходятся за один и тот же год.

Прочитанный в обратную сторону, закон «взвешивает» Солнце. Орбита Земли, $a=1,496\times 10^{11}\mathrm{м}$ и $T=3,156\times 10^7\mathrm{с}$, даёт $GM=4{\pi }^2{a}^3/T^2\approx 1,327\times 10^{20}{\mathrm{м}}^3/{\mathrm{с}}^2$, а значит, масса Солнца равна $1,99\times 10^{30}\mathrm{кг}$.

Время на орбите: уравнение Кеплера

Найденные законы дают форму и период, но не положение планеты в заданный момент. Для этого нужен ещё один угол — эксцентрическая аномалия — и одно уравнение для него.

Обозначения

$O$	Центр эллипса и штриховой окружности.
$M$	Звезда в одном из фокусов эллипса; её масса $M$.	$\mathrm{кг}$
$a$	Большая полуось: от центра до конца большой оси; это и радиус штриховой окружности.	$\mathrm{м}$
$b$	Малая полуось: от центра до конца малой оси.	$\mathrm{м}$
$ae$	Расстояние от центра до звезды: эксцентриситет $e$, умноженный на $a$.	$\mathrm{м}$
$r$	Расстояние от звезды до планеты.	$\mathrm{м}$
$\psi$	Эксцентрическая аномалия: угол при $O$ от оси, направленной к перигелию, до точки окружности прямо над планетой.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 3 показан эллипс с центром $O$, большой полуосью $a$ и малой полуосью $b$. Звезда $M$ находится в фокусе, на расстоянии $ae$ от $O$; перигелий — это конец большой оси со стороны звезды. Вокруг $O$ проведите штриховую окружность радиусом $a$, которая касается эллипса на обоих концах большой оси. Из планеты проведите перпендикуляр к большой оси — тонкую штриховую линию — до пересечения с окружностью. Отрезок от $O$ до этой точки окружности образует с осью, направленной к перигелию, угол $\psi$: это и есть эксцентрическая аномалия.

Сжатие окружности к оси с коэффициентом $b/a$ превращает её в эллипс, поэтому относительно $O$ планета находится в точке $(a\cos \psi ,b\sin \psi )$, а звезда — в точке $(ae,0)$. Теорема Пифагора даёт расстояние между ними, и с учётом $b^2=a^2(1-e^2)$ слагаемые собираются в полный квадрат:
$r^2=a^2(\cos \psi -e{)}^2+b^2{\sin }^2\psi =a^2(1-e\cos \psi {)}^2$
то есть $r=a(1-e\cos \psi )$: наименьшее, $a(1-e)$, при $\psi =0$ и наибольшее, $a(1+e)$, при $\psi =\pi$.

Теперь время. По закону площадей время $t$, прошедшее после перигелия, пропорционально площади, заметённой за это время, а $t/T$ — это та площадь, делённая на площадь всего эллипса $\pi ab$. Площадь проще найти на окружности, а затем выполнить сжатие. На окружности область, заметённая от перигелия до точки с углом $\psi$, если смотреть из звезды, — это сектор с вершиной $O$ и углом $\psi$, площадью $\frac{1}{2}{a}^2\psi$, за вычетом треугольника с вершинами в $O$, в звезде и в этой точке. У треугольника основание $ae$ и высота $a\sin \psi$, поэтому его площадь равна $\frac{1}{2}{a}^{2}e\sin \psi$. Сжатие с коэффициентом $b/a$ умножает все площади на этот же коэффициент, поэтому заметённая площадь на эллипсе равна $\frac{1}{2}ab(\psi -e\sin \psi )$. Разделив на $\pi ab$ и умножив на $2\pi$, получаем уравнение Кеплера:
$\frac{2\pi t}{T}=\psi -e\sin \psi$

По известному $\psi$ время находится сразу; по известному времени $\psi$ в замкнутом виде не выражается. Анимация находит $\psi$ методом Ньютона на каждом своём шаге по времени, а затем и положение. График $r(t)$ в экспертном режиме показывает результат: широкую пологую вершину на 1,5 а. е. и узкую острую впадину на 0,5 а. е. Планета пересекает малую ось при $\psi =\pi /2$ и $\psi =3\pi /2$; подстановка этих значений в уравнение Кеплера показывает, что она проводит долю $\frac{1}{2}+e/\pi \approx 0,66$ года по дальнюю сторону малой оси, около 241 суток, и 124 суток — по ближнюю.

Задача: переходная орбита

По кеплеровским орбитам летают и космические аппараты. Самый экономичный маршрут с двумя включениями двигателя между двумя круговыми орбитами вокруг одной звезды — переход Гомана: половина эллипса, касающегося обеих окружностей.

Обозначения

$M$	Звезда в центре обеих окружностей; её масса $M$.	$\mathrm{кг}$
$r_1$	Радиус внутренней круговой орбиты, с которой стартует аппарат.	$\mathrm{м}$
$r_2$	Радиус внешней круговой орбиты — цель перелёта.	$\mathrm{м}$
$\Delta v_1$	Первое включение двигателя, вперёд, на внутренней окружности: от круговой скорости до скорости в перигелии эллипса.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\Delta v_2$	Второе включение двигателя, вперёд, в афелии, на дальнем конце эллипса: от скорости в афелии до круговой скорости.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

На рисунке 4 он изображён в масштабе для $r_1=0,5\mathrm{а}.\mathrm{е}.$ и $r_2=1,5\mathrm{а}.\mathrm{е}.$, так что переходный эллипс совпадает с эллипсом из анимации. Аппарат начинает движение на внутренней окружности. Включение двигателя с тягой вперёд, $\Delta v_1$, переводит его на эллипс, перигелий которого касается внутренней окружности, а афелий — внешней. Поэтому большая ось эллипса равна $r_1+r_2$, и $a=(r_1+r_2)/2$, то есть 1 а. е. Аппарат проходит только сплошную половину эллипса; на её дальнем конце второе включение двигателя вперёд, $\Delta v_2$, делает орбиту круговой.

Первое включение. На окружности уравнение vis-viva даёт $v=\sqrt{GM/r}$, поэтому круговая скорость на $r_1$ равна $29,8\sqrt{2}\approx 42,1\mathrm{км}/\mathrm{с}$. Переходному эллипсу нужна скорость в перигелии 51,6 км/с, поэтому $\Delta v_1=9,5\mathrm{км}/\mathrm{с}$.

Второе включение. Через половину оборота, спустя $T/2\approx 183$ суток, аппарат достигает афелия со скоростью 17,2 км/с. Это меньше круговой скорости там, $29,8/\sqrt{1,5}\approx 24,3\mathrm{км}/\mathrm{с}$, поэтому $\Delta v_2=7,1\mathrm{км}/\mathrm{с}$.

Оба раза двигатель толкал аппарат вперёд, в сумме на 16,6 км/с, а в итоге аппарат движется на 17,8 км/с медленнее, чем в начале. Парадокс разрешает энергия. В расчёте на килограмм у круговой орбиты полная энергия $E=-GM/(2r)$, кинетическая $GM/(2r)=-E$ и потенциальная $-GM/r=2E$. От $r_1$ до $r_2$ полная энергия растёт от $-8,87\times 10^8$ до $-2,96\times 10^8\mathrm{Дж}/\mathrm{кг}$, так что двигатель сообщает $5,91\times 10^8\mathrm{Дж}/\mathrm{кг}$. Потенциальная энергия растёт вдвое больше, на $1,18\times 10^9\mathrm{Дж}/\mathrm{кг}$, а кинетическая убывает на $5,91\times 10^8\mathrm{Дж}/\mathrm{кг}$, покрывая разницу. Более высокие орбиты медленнее, но энергии в них больше.

Тот же маршрут от Земли к Марсу, от 1 а. е. до 1,52 а. е., имеет $a\approx 1,26\mathrm{а}.\mathrm{е}.$; если выражать $T$ в годах, а $a$ — в а. е., третий закон принимает вид $T=a^{3/2}$, поэтому перелёт занимает $\frac{1}{2}\cdot 1,26^{3/2}\approx 0,707$ года, около 258 суток.

За пределами двух точечных масс

Реальные системы отличаются от одной точечной массы, обращающейся вокруг другой, неподвижной, в трёх отношениях: движутся оба тела, тела имеют размеры, и тел обычно больше двух.

Два тела обращаются вокруг общего центра масс, а их относительная орбита подчиняется тем же законам с заменой $M$ на $M+m$: $T^2=4{\pi }^2{a}^3/(G(M+m))$. Центр масс системы Земля — Луна лежит в 4670 км от центра Земли, то есть внутри неё; центр масс Солнца и Юпитера — в 1,07 радиуса Солнца от его центра, чуть выше поверхности. Небольшое покачивание звезды вокруг такой точки выдаёт планеты у других звёзд.

Тело конечных размеров ощущает и то, как поле меняется в его пределах. Поле $GM/d^2$ тела массой $M$, находящегося на расстоянии $d$, на длине земного радиуса $R$ меняется примерно на $R$, умноженное на скорость изменения поля с расстоянием, то есть на $2GMR/d^3$. Для Луны это $1,1\times 10^{-6}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ — приливное ускорение, которое вытягивает океаны в два горба: один обращён к Луне, другой находится на противоположной стороне. Поле Солнца на Земле примерно в 180 раз сильнее лунного, но приливное действие Солнца составляет лишь около половины лунного, потому что разность убывает как $1/d^3$, а Солнце примерно в 390 раз дальше.

Другие планеты возмущают каждую орбиту; они смещают перигелий Меркурия примерно на 530″ за столетие. Экваториальное вздутие Земли поворачивает плоскости орбит спутников — примерно на 1° в сутки у почти полярных орбит, выбранных так, чтобы идти в ногу с Солнцем. Для трёх и более тел общей формулы нет, и планетные таблицы получают численным интегрированием.

Границы применимости

Закон обратных квадратов подтверждён от расстояний меньше десятой доли миллиметра до планетных расстояний, а равенство гравитационной и инертной масс — с точностью около одной части из $10^{15}$. Ньютоновская гравитация — предел общей теории относительности для слабых полей и медленных движений. Величину поправок задаёт безразмерное число $GM/(r{c}^2)$, где $c$ — скорость света: около $7\times 10^{-10}$ у поверхности Земли и $1\times 10^{-8}$ на расстоянии 1 а. е. от Солнца.

Как ни малы эти поправки, их измеряют. Перигелий Меркурия смещается на дополнительные 43″ за столетие; перигелий планеты из анимации, где $a=1\mathrm{а}.\mathrm{е}.$ и $e=0,5$, смещался бы примерно на 5″ за столетие. Часы навигационных спутников на высоте 20 200 км уходят вперёд относительно наземных примерно на 46 микросекунд в сутки, потому что тяготение там слабее; орбитальная скорость спутников отнимает около 7 из них, и чистый выигрыш составляет около 38. Вблизи нейтронной звезды, где $GM/(r{c}^2)\approx 0,2$, и у горизонта чёрной дыры, где это число достигает 0,5, закон Ньютона перестаёт работать вовсе.

Кроме того, тяготение чрезвычайно слабо: два электрона отталкиваются электрически примерно в $4\times 10^{42}$ раз сильнее, чем притягиваются гравитационно. Оно управляет небом лишь потому, что масса имеет один знак и её вклады всегда складываются, тогда как положительные и отрицательные заряды больших тел компенсируют друг друга. На планковской длине, около $1,6\times 10^{-35}\mathrm{м}$, важны были бы и тяготение, и квантовая механика, но проверенной теории для этой области нет.

Что дальше

Закон площадей — это сохранение момента импульса из урока «Момент импульса и закон его сохранения», а $U=-GMm/r$ — общая форма $mgh$ из урока «Работа, энергия и мощность». Тот же закон обратных квадратов управляет зарядами в уроке «Закон Кулона», его полевая картина продолжается в уроке «Электрическое поле и потенциал», а в уроке «Модели атома: атом Бора» электрон движется по кеплеровской орбите с квантованным моментом импульса.

Внутри однородной Земли $g\propto r$ — это возвращающее притяжение, растущее с расстоянием от центра, то есть именно условие колебаний из урока «Гармонические колебания»: поезд в туннеле без трения, проходящем через центр, пересёк бы Землю примерно за 42 минуты — половину 84-минутного периода орбиты у самой поверхности. Наконец, равенство гравитационной и инертной масс — отправная точка урока «Гравитация как искривление пространства-времени», где орбиты становятся самыми прямыми путями в искривлённом пространстве-времени.