Notions de base sur les ondes

Débutant

Pensez à la ola dans un stade : chaque spectateur se lève puis se rassoit, et pourtant une vague de bras levés fait le tour des tribunes. C'est cela, une onde : une perturbation qui voyage d'un endroit à un autre en transportant de l'énergie, tandis que la matière reste sur place. Une barque sur un lac monte et descend au passage des rides, mais elles ne l'emportent pas vers la rive.

Dans l'animation, une main agite l'extrémité d'une corde. Les points dorés suivent les crêtes et avancent régulièrement vers la droite, tandis que la perle rouge ne fait que monter et descendre le long de sa ligne pointillée.

Il existe deux sortes d'ondes. Sur la corde, chaque morceau bouge perpendiculairement à la direction de propagation : c'est une onde transversale. Dans le ressort, en bas, les spires vont et viennent le long de cette direction, se serrent puis s'écartent : c'est une onde longitudinale. Le son dans l'air est de ce type.

Quatre mots décrivent une onde régulière. La longueur d'onde est la distance d'une crête à la suivante ; l'amplitude, la hauteur d'une crête au-dessus de la position de repos ; la fréquence, le nombre de crêtes qui passent en un point chaque seconde, en hertz (Hz) ; la vitesse, la distance parcourue par une crête en une seconde. Si 2 crêtes vous dépassent chaque seconde et qu'elles sont espacées de 3 mètres, l'onde parcourt $2\times 3=6$ mètres par seconde : vitesse = fréquence × longueur d'onde.

C'est le milieu qui fixe la vitesse, pas la main. Agitez plus vite : davantage de crêtes partent chaque seconde, elles doivent donc se rapprocher.

Testez-vous : vous agitez la corde trois fois plus souvent. Que devient la longueur d'onde ? (Elle devient trois fois plus courte ; la vitesse ne change pas.)

Intermédiaire

Ce qui bouge, et ce que l'on mesure

Une onde est une perturbation qui se propage dans un milieu et transporte de l'énergie, alors que chaque partie du milieu ne fait qu'osciller autour de sa position de repos. Sur une corde que l'on secoue, chaque morceau imite son voisin un instant plus tard : le mouvement se transmet, la corde reste en place. Dans l'animation, les crêtes courent vers la droite, mais la perle rouge ne fait que monter et descendre le long de sa ligne pointillée.

Sur la corde, chaque morceau bouge perpendiculairement à la direction de propagation : c'est une onde transversale. Dans le ressort du bas, les spires vont et viennent le long de cette direction, se serrant en compressions et s'écartant en dilatations : c'est une onde longitudinale. Le son dans l'air est longitudinal, car un gaz résiste à la compression mais pas au cisaillement latéral. La lumière est elle aussi transversale, mais ce sont des champs électrique et magnétique qui oscillent, et non de la matière.

Le déplacement $y$ est l'écart d'un point par rapport à sa position de repos (la ligne pointillée), en mètres ; l'amplitude $A$ est le plus grand déplacement, de la ligne de repos jusqu'à une crête. La longueur d'onde $\lambda$ est la longueur d'un cycle dans l'espace, d'une crête à la suivante. La période $T$ est la durée d'une oscillation complète d'un point, et la fréquence $f$ le nombre d'oscillations par seconde, en hertz (Hz).

Une longueur d'onde par période

Regardez une seule crête. Pendant que le point situé sous elle fait une oscillation complète, la crête suivante arrive là où se trouvait la première : en une période $T$, le motif avance d'exactement une longueur d'onde, donc sa vitesse vaut $\lambda /T$. Comme la fréquence est le nombre de périodes par seconde, les deux relations clés de cette leçon sont :

• $f=\frac{1}{T}$
• $v=f\lambda$

Elles valent pour toute onde périodique, sur une corde, dans l'air ou pour la lumière, et deux quelconques des grandeurs $v$, $f$ et $\lambda$ donnent la troisième. Mais la relation ne dit pas laquelle de ces grandeurs est imposée : c'est le rôle du milieu et de la source.

Le milieu fixe la vitesse

La vitesse à laquelle une perturbation se transmet ne dépend que du milieu : de la force avec laquelle il rappelle vers l'équilibre et de la masse qu'il faut mettre en mouvement. Pour une corde de tension $F$, en newtons, et de masse par mètre $\mu$, en kilogrammes par mètre,
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Tirez plus fort et l'onde court plus vite ; une corde plus lourde la ralentit, et une tension quatre fois plus grande double la vitesse. Le son se propage à environ 343 m/s dans l'air à 20 °C, 1 480 m/s dans l'eau et 6 000 m/s dans l'acier ; la lumière, à $3,00\times 10^{8}m/s$ dans le vide.

La source fixe la fréquence : c'est la main ou le haut-parleur qui décide combien de cycles partent chaque seconde, et la longueur d'onde en découle, $\lambda =v/f$. Dans un nouveau milieu, chaque point est entraîné par le précédent au même rythme, donc $f$ ne change pas tandis que $v$ et $\lambda$ changent ensemble. L'énergie transportée croît comme le carré de l'amplitude : doubler $A$ transporte quatre fois plus d'énergie à chaque seconde.

Exemple résolu : la corde de l'animation

La perle rouge fait une oscillation toutes les 2 s, et la double flèche violette couvre une longueur d'onde, 2 m. Donc
$f=1/T=1/2=0,5\mathrm{Hz}$
$v=f\lambda =0,5\cdot 2=1m/s$
Ce sont les valeurs affichées en haut de l'animation. À chaque période, la flèche violette suit les crêtes sur 2 m, puis revient d'un bond là où l'image est de nouveau la même.

La perle se trouve à 3 m de la main : le mouvement de la main l'atteint donc $3/1=3\mathrm{s}$ plus tard, soit une période et demie, et la perle est décalée d'un demi-cycle. Chaque fois que la main est au plus bas, $-0,3\mathrm{m}$, la perle est au plus haut, $+0,3\mathrm{m}$ ; l'affichage rouge oscille entre ces deux valeurs, l'amplitude marquée par la flèche dorée $A$. À chaque période, la perle parcourt $4A=1,2\mathrm{m}$, en montant puis en descendant, soit 0,6 m/s en moyenne perpendiculairement à la corde, alors que chaque crête avance de 2 m le long de celle-ci. Les compressions du ressort sont, elles aussi, espacées de 2 m.

Exemple résolu : deux cordes attachées bout à bout

Une corde légère de 0,040 kg par mètre est attachée à une corde lourde de 0,160 kg par mètre, chacune longue de 6 m, sous une tension de 36 N. Vous secouez la corde légère 5 fois par seconde. Sur chaque corde,
$v_1=\sqrt{36/0,040}=\sqrt{900}=30m/s,{\lambda }_1=30/5=6\mathrm{m}$
$v_2=\sqrt{36/0,160}=\sqrt{225}=15m/s,{\lambda }_2=15/5=3\mathrm{m}$
La fréquence vaut 5 Hz sur les deux, car le point de jonction secoue la corde lourde aussi souvent qu'il est lui-même secoué. Une masse par mètre quatre fois plus grande réduit la vitesse de moitié, et la longueur d'onde avec elle.

Une impulsion traverse la corde légère en $6/30=0,2\mathrm{s}$ et la corde lourde en $6/15=0,4\mathrm{s}$, soit 0,6 s en tout. Une partie de chaque onde rebondit aussi sur la jonction : c'est là que commence la réflexion.

Instantané de la corde et mouvement d'un point

Un instantané trace $y$ en fonction de la position $x$ à un instant donné, comme la corde elle-même, et montre la longueur d'onde et l'amplitude. Le graphique d'un point trace $y$ en fonction du temps $t$, comme celui de la perle rouge dans la vue experte, et montre la période. Les deux courbes sont des sinusoïdes de même hauteur, l'une qui se répète tous les 2 m et l'autre toutes les 2 s ; leur rapport est la vitesse, 1 m/s.

Une onde longitudinale se dessine de la même façon, le déplacement le long du ressort étant porté vers le haut, si bien que la courbe a l'air transversale. Lisez-la avec soin : une compression ne se trouve pas là où le déplacement est le plus grand, mais sur une spire située exactement à sa position de repos dont les deux voisines sont poussées vers elle. Une demi-longueur d'onde plus loin, les deux voisines en sont au contraire écartées : c'est une dilatation.

Erreurs fréquentes

• Secouer plus vite ne rend pas l'onde plus rapide : sur la corde légère sous 36 N, 10 secousses par seconde se propagent toujours à 30 m/s ; seule la longueur d'onde diminue, de 6 m à 3 m.
• La vitesse de l'onde n'est pas la vitesse du milieu : la perle rouge a une vitesse moyenne de 0,6 m/s, et davantage si l'amplitude croît, alors que les crêtes avancent à une vitesse constante de 1 m/s.
• L'amplitude se mesure à partir de la ligne de repos : la corde s'étend sur 0,6 m entre son point le plus bas et son point le plus haut, mais $A=0,3\mathrm{m}$.
• D'une crête à un creux, il y a une demi-longueur d'onde, et du haut au bas une demi-période : un point qui met 0,25 s pour aller du haut au bas a $T=0,5\mathrm{s}$ et $f=2\mathrm{Hz}$.

Où on les rencontre

Le son met environ 3 s pour parcourir un kilomètre : le délai entre l'éclair et le tonnerre donne donc la distance d'un orage. Les sons audibles, de 20 Hz à 20 kHz, ont des longueurs d'onde de 17 m à 1,7 cm ; l'échographie médicale à 5 MHz, avec environ 1 540 m/s dans les tissus, utilise des ondes de 0,3 mm, assez fines pour montrer un cœur qui bat. Les séismes envoient dans le sol les deux sortes d'ondes, et les ondes transversales ne traversent pas le noyau externe de la Terre, ce qui nous apprend qu'il est liquide.

Viennent ensuite les leçons Le son et l'effet Doppler, Ondes stationnaires, Interférences et superposition, Réflexion et réfraction, puis Ondes électromagnétiques.

Avancé

Une forme qui glisse

Une onde est une perturbation qui se propage alors que le milieu reste sur place : chaque point de la corde ne fait que monter et descendre, et pourtant une forme court le long de la corde. Pour travailler avec les ondes, il nous faut une seule fonction qui donne le déplacement de chaque point à chaque instant, et il nous faut savoir comment s'écrit cette fonction quand une forme se déplace sans se déformer.

Légende

$y$	Déplacement de la corde par rapport à sa ligne de repos.	$\mathrm{m}$
$x$	Position le long de la corde ; le point de l'impulsion en pointillés est en $x$.	$\mathrm{m}$
$t$	Temps : l'impulsion en trait plein est la corde à $t=0$, celle en pointillés un temps $t$ plus tard.	$\mathrm{s}$
$v$	Vitesse de l'onde, vers les $+x$.	$m/s$
$vt$	Distance parcourue par la forme pendant le temps $t$.	$\mathrm{m}$
$x-vt$	Position du point de l'impulsion en trait plein, dont la hauteur se trouve maintenant en $x$.	$\mathrm{m}$

Notons $y(x,t)$ le déplacement transversal de la corde à la position $x$ et à l'instant $t$. La figure 1 suit une impulsion dissymétrique, plus raide sur son flanc gauche que sur son flanc droit, pour que vous voyiez la forme entière transportée sans changement. La courbe en trait plein est la corde à $t=0$ ; appelons sa forme $y=f(x)$, où $f$ désigne pour l'instant une forme, et non une fréquence. La courbe en pointillés est la même corde un temps $t$ plus tard. Pendant ce temps, la forme s'est déplacée vers les $+x$ à la vitesse $v$ : elle s'est donc décalée de la distance $vt$ indiquée sous l'axe.

Regardez maintenant les deux points. Celui de droite est sur la courbe en pointillés, à la position $x$. Celui de gauche est sur la courbe en trait plein, une distance $vt$ plus en arrière, en $x-vt$. Le trait horizontal en pointillés qui les relie montre qu'ils sont à la même hauteur : la forme en mouvement a simplement transporté cette hauteur de $vt$ vers l'avant. Il en va de même pour chaque point, si bien que la hauteur que l'on trouve en $x$ à l'instant $t$ est celle qui se trouvait en $x-vt$ à l'instant zéro :
$y(x,t)=f(x-vt)$

Tout dépend de la seule combinaison $x-vt$. La maintenir fixe, $x-vt=x_1$, revient à suivre un trait particulier de la forme, une crête par exemple, et ce trait se trouve en $x=x_1+vt$ : il avance à la vitesse $v$, comme il se doit. Par le même raisonnement, une forme qui se déplace vers les $-x$ s'écrit $g(x+vt)$.

La forme la plus importante est la sinusoïde. Donnez-lui une longueur d'onde $\lambda$, la distance entre deux crêtes voisines, et une période $T$, le temps que met un point pour accomplir un cycle complet. L'argument du sinus, appelé la phase, doit alors croître de $2\pi$ quand $x$ augmente de $\lambda$, et aussi quand $t$ augmente de $T$. Ces deux exigences sont satisfaites par
$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)$
$k=\frac{2\pi }{\lambda }$
$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$
où $A$ est l'amplitude et où $f=1/T$ désigne maintenant la fréquence. Le nombre d'onde $k$ compte les radians de phase par mètre de corde, et la pulsation $\omega$ les radians de phase par seconde. Pour trouver la vitesse, mettez $k$ en facteur dans la phase : $kx-\omega t=k(x-(\omega /k)t)$. Le sinus ne dépend donc de $x$ et de $t$ qu'à travers $x-vt$, avec
$v=\frac{\omega }{k}=f\lambda$

Dans l'animation, $k=\pi rad/m$ et $\omega =\pi rad/s$ : la longueur d'onde vaut donc 2 m, la période 2 s et la vitesse 1 m/s. Avec $x$ mesuré à partir de la main, la corde est décrite par $y=0,3\sin (\pi x-\pi t)$, en mètres et en secondes. Ajouter une constante de phase, $A\sin (kx-\omega t+\phi )$, ne fait que décaler le point du cycle où l'onde commence.

La loi de Newton pour un morceau de corde

Jusqu'ici, nous n'avons fait que décrire une forme qui se propage. Demandons-nous maintenant pourquoi une perturbation se propage le long d'une corde, et ce qui fixe sa vitesse. La réponse vient de la deuxième loi de Newton appliquée à un tout petit morceau de corde.

Légende

$x$	Position de l'extrémité gauche du morceau.	$\mathrm{m}$
$x+dx$	Position de l'extrémité droite du morceau.	$\mathrm{m}$
$dx$	Longueur du morceau selon $x$.	$\mathrm{m}$
$\mu dx$	Masse du morceau, $\mu$ étant la masse linéique.	$\mathrm{kg}$
$F$	Tension : la traction du reste de la corde sur le morceau, le long de la corde, à chaque extrémité.	$\mathrm{N}$
${\theta }_1$	Angle entre la traction à l'extrémité gauche et l'horizontale.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Angle entre la traction à l'extrémité droite et l'horizontale.	$\mathrm{rad}$
$F_y$	Force transversale résultante sur le morceau : la somme des composantes transversales des deux tractions.	$\mathrm{N}$

La figure 2 montre un court morceau de corde entre $x$ et $x+dx$, à un endroit où la corde est courbée. Si $\mu$ est la masse linéique, la masse du morceau est $\mu dx$. Le reste de la corde tire sur lui à ses deux extrémités avec la tension $F$, toujours le long de la corde, sous les angles ${\theta }_1$ et ${\theta }_2$ par rapport à l'horizontale.

Décomposez chaque traction en une composante horizontale et une composante transversale ; les pointillés à chaque extrémité montrent cette décomposition. Quand les angles sont petits, les deux composantes horizontales valent presque exactement $F$ et sont de sens opposés : elles se compensent. La composante transversale de chaque traction vaut $F\sin \theta$. Pour un petit angle, $\sin \theta \approx \tan \theta$, et $\tan \theta$ n'est autre que la pente de la corde, $\partial y/\partial x$. La composante transversale à chaque extrémité vaut donc $F$ fois la pente de la corde à cette extrémité.

Sur la figure, la pente est négative à l'extrémité gauche et positive à l'extrémité droite : les deux composantes transversales pointent vers le haut et s'ajoutent. En général, l'extrémité gauche est tirée vers les $-x$ et l'extrémité droite vers les $+x$, si bien que leurs composantes transversales interviennent avec des signes opposés : la force transversale résultante vaut $F$ fois la pente en $x+dx$ moins $F$ fois la pente en $x$. Cette différence de pentes sur une longueur $dx$ vaut $({\partial }^{2}y/\partial x^2)dx$, d'où
$F_y=F\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}dx$

Un morceau rectiligne ne subit donc aucune force résultante, et un morceau courbé est tiré vers l'intérieur de sa courbure, comme le montre la flèche $F_y$. La deuxième loi de Newton pour le morceau s'écrit $\mu dx{\partial }^{2}y/\partial t^2=F_y$ ; en divisant par $\mu dx$, on obtient
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{F}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

C'est l'équation d'onde. Autrement dit, chaque élément de corde accélère proportionnellement à la courbure de la corde à cet endroit. La forme qui glisse de la première partie, $y=f(x-vt)$, où $f$ désigne de nouveau une forme, y obéit-elle ? Par la dérivation des fonctions composées, chaque dérivée par rapport à $t$ fait sortir un facteur $-v$, et chaque dérivée par rapport à $x$ un facteur 1 ; ainsi ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{f}^{\prime \prime }$ et ${\partial }^{2}y/\partial x^2=f^{\prime \prime }$, où $f^{\prime \prime }$ est la dérivée seconde de la forme. L'équation devient $v^2{f}^{\prime \prime }=(F/\mu )f^{\prime \prime }$. Elle est vérifiée pour toute forme, à condition que
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

La tension fournit la force de rappel et la masse linéique l'inertie, exactement comme la raideur et la masse pour un oscillateur à ressort : une corde plus tendue propage les ondes plus vite, une corde plus lourde plus lentement. Deux approximations se cachent dans ce calcul. Nous avons supposé que les composantes horizontales des tractions, $F\cos \theta \approx F$, se compensent, de sorte que le morceau ne bouge que latéralement, et que la tension est la même partout. Toutes deux exigent de petites pentes, $|\partial y/\partial x|\ll 1$.

Le son : la même loi dans un gaz

Le son relève lui aussi de la mécanique. Dans l'air, la force de rappel vient de la pression au lieu de la tension, et le gaz se déplace dans la direction de propagation au lieu de perpendiculairement à elle. Cette partie établit l'équation d'onde pour un gaz, et en déduit la vitesse du son.

Légende

$x$	Position de repos de la face gauche de la tranche.	$\mathrm{m}$
$x+dx$	Position de repos de la face droite de la tranche.	$\mathrm{m}$
$dx$	Épaisseur de la tranche au repos.	$\mathrm{m}$
$s$	Déplacement de la face gauche par rapport à sa position de repos, selon $x$.	$\mathrm{m}$
$s+ds$	Déplacement de la face droite ; $ds$ est ce dont elle s'est déplacée de plus que la face gauche.	$\mathrm{m}$
$dx+ds$	Épaisseur de la tranche une fois déplacée.	$\mathrm{m}$

Dans une onde sonore, chaque fine tranche de gaz va et vient selon $x$, comme les spires du ressort dans l'animation. Notons $s(x,t)$ le déplacement selon $x$ de la tranche qui est au repos en $x$. La figure 3 suit une tranche, comprise entre $x$ et $x+dx$ quand le gaz est au repos (rangée du haut). Dans la rangée du bas, une onde sonore a déplacé le gaz. La face gauche de la tranche s'est déplacée de $s$ et la face droite de $s+ds$, une quantité différente : la tranche a maintenant l'épaisseur $dx+ds$. Sur la figure, $ds$ est négatif : la face droite a reculé, la tranche est comprimée et le gaz qu'elle contient est plus dense.

Trois maillons mènent de cette image à une équation d'onde.

Premièrement, la masse se conserve. Les deux faces se sont déplacées de quantités qui diffèrent de $ds=(\partial s/\partial x)dx$ : la même masse occupe donc maintenant une épaisseur $(1+\partial s/\partial x)dx$. La masse volumique est inversement proportionnelle à l'épaisseur ; pour un petit $\partial s/\partial x$, elle varie donc de $\delta \rho \approx -{\rho }_0\partial s/\partial x$, où ${\rho }_0$ est la masse volumique au repos.

Deuxièmement, la pression dépend de la masse volumique. Pour une petite variation, $\delta P=(dP/d\rho {)}_0\delta \rho$, où l'indice 0 signifie que la dérivée est prise dans le gaz au repos.

Troisièmement, la loi de Newton pour la tranche. Par unité de surface, sa masse est ${\rho }_{0}dx$. La pression sur sa face gauche la pousse vers les $+x$ et la pression sur sa face droite vers les $-x$ : la force résultante par unité de surface est la chute de pression à travers la tranche, $-(\partial \delta P/\partial x)dx$. En divisant par $dx$, on obtient ${\rho }_0{\partial }^{2}s/\partial t^2=-\partial \delta P/\partial x$ : la tranche est repoussée du côté où la pression est la plus forte.

Enchaînons les trois : reportons $\delta \rho$ dans $\delta P$, puis $\delta P$ dans la loi de Newton, et divisons par ${\rho }_0$ :
$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2},c^2={\left(\frac{dP}{d\rho }\right)}_0$

C'est la même équation d'onde que pour la corde, et $c$ est la vitesse du son. Quelle dérivée $dP/d\rho$ faut-il prendre ? Cela dépend de ce que fait la température pendant que le gaz est comprimé. Newton supposait qu'elle reste constante, si bien que $P\propto \rho$ ; on obtient alors $c=\sqrt{P_0/{\rho }_0}\approx 290m/s$ pour l'air à 20 °C, environ 15 % de moins que les 343 m/s mesurés. Laplace a trouvé l'erreur : la chaleur n'a pas le temps de passer des compressions, qui s'échauffent, aux dilatations, qui se refroidissent. À 1 kHz, la chaleur diffuse d'environ 0,1 mm en une demi-période, alors qu'une compression et la dilatation suivante sont distantes de 17 cm. Chaque tranche est donc comprimée sans échanger de chaleur : c'est une transformation adiabatique, pour laquelle $P\propto {\rho }^{\gamma }$ avec $\gamma =1,40$ pour l'air. Alors $dP/d\rho =\gamma P/\rho$, et
$c=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma k_{B}T}{m}}$

La seconde forme utilise la loi des gaz parfaits, $P_0={\rho }_0{k}_{B}T/m$. Ici $T$ est la température absolue, et non la période, $m$ la masse d'une molécule et $k_B$ la constante de Boltzmann. La pression disparaît, car à température fixée une pression plus élevée signifie une masse volumique proportionnellement plus élevée. La vitesse du son ne dépend que du gaz et de sa température : 331 m/s à 0 °C et 343 m/s à 20 °C. Comparez avec les molécules elles-mêmes : leur vitesse quadratique moyenne, $\sqrt{3k_{B}T/m}$ (voir la leçon Théorie cinétique des gaz), vaut 502 m/s à 20 °C, si bien que $c$ en représente la fraction $\sqrt{\gamma /3}\approx 0,68$. Un signal de pression, transmis de molécule en molécule par les collisions, se propage un peu moins vite que les molécules qui le portent.

Instantané, mouvement d'un point et graphique

Une onde dépend de deux variables : on peut donc la représenter de deux façons, toute la corde à un instant donné, ou un seul point de la corde au cours du temps. Cette partie montre que, pour une onde progressive, les deux graphiques sont la même courbe, et ce que cela nous apprend sur le mouvement de chaque point.

Légende

$y$	Déplacement de la corde par rapport à sa ligne de repos.	$\mathrm{m}$
$x$	Position le long de la corde, mesurée à partir de la main.	$\mathrm{m}$
$t$	Temps.	$\mathrm{s}$
$x_0$	Position de la perle rouge.	$\mathrm{m}$
$v$	Vitesse de l'onde, vers les $+x$.	$m/s$
$\partial y/\partial x$	Pente de la corde au niveau de la perle sur l'instantané : la tangente du haut.
$\partial y/\partial t$	Vitesse de la perle : la pente de sa courbe temporelle, la tangente du bas.	$m/s$

Voyez $y(x,t)$ comme une surface au-dessus du plan $(x,t)$ ; la figure 4 la coupe de deux façons. La courbe du haut est un instantané, une coupe à un instant donné : la corde à $t=0$, $y=0,3\sin (\pi x)$. La courbe du bas est une courbe temporelle, une coupe en un lieu donné : la perle rouge en $x_0=3\mathrm{m}$, c'est-à-dire le graphique de la vue experte. Comme $\sin (3\pi -a)=\sin a$, la perle se déplace selon $y=0,3\sin (3\pi -\pi t)=0,3\sin (\pi t)$ : une sinusoïde de période 2 s qui part de zéro en montant. La main, en $x=0$, se déplace selon $-0,3\sin (\pi t)$, la même courbe retournée. Le trait en pointillés relie les deux représentations de la perle à $t=0$.

Pourquoi les deux coupes sont-elles liées ? Comme $y$ ne dépend de $x$ et de $t$ qu'à travers $x-vt$, la dérivation des fonctions composées donne $\partial y/\partial x=f^{\prime }$ et $\partial y/\partial t=-v{f}^{\prime }$. Par conséquent
$\frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}$

La vitesse d'un point de la corde est l'opposé du produit de la vitesse de l'onde par la pente locale. C'est logique : là où la corde descend vers les $+x$, la partie plus haute située derrière arrive, et le point monte. Sur la figure 4, les axes $x$ et $t$ ont la même échelle et $v=1m/s$ : la courbe du bas est la courbe du haut retournée de gauche à droite, son image dans un miroir placé sur le trait en pointillés. Regardez les deux tangentes au niveau de la perle : l'instantané descend, $\partial y/\partial x=-kA$, et la courbe temporelle monte, $\partial y/\partial t=+\omega A$.

Là où la corde traverse sa ligne de repos, comme au niveau de la perle, sa pente est maximale en valeur absolue, $kA$, et la vitesse du point aussi, $vkA=\omega A$ ; à une crête, les deux sont nulles. Dans l'animation, $kA=0,3\pi \approx 0,94$ : la perle atteint donc au plus 0,94 m/s, presque la vitesse de l'onde, et son graphique démarre avec cette pente.

Appliquer la règle deux fois redonne l'équation d'onde, ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{\partial }^{2}y/\partial x^2$ : l'accélération d'un point vaut $v^2$ fois la courbure de la corde à cet endroit. Une crête, l'endroit le plus courbé, subit la plus forte accélération vers le bas, ${\omega }^{2}A=0,3{\pi }^2\approx 2,96m/{\mathrm{s}}^2$. Pour une sinusoïde, ${\partial }^{2}y/\partial x^2=-k^{2}y$, si bien que chaque point obéit à ${\partial }^{2}y/\partial t^2=-{\omega }^{2}y$. L'onde est une rangée d'oscillateurs harmoniques comme ceux de la leçon Oscillations harmoniques, chacun un peu en retard sur son voisin.

Superposition : additionner des ondes

L'équation d'onde est linéaire : $y$ et ses dérivées n'y apparaissent qu'à la puissance un. Si deux fonctions la vérifient, leur somme la vérifie donc aussi. Deux impulsions qui se dirigent l'une vers l'autre s'additionnent là où elles se recouvrent et repartent avec leur forme intacte, et la solution générale sur une longue corde est $f(x-vt)+g(x+vt)$, où $f$ et $g$ sont deux formes quelconques, comme d'Alembert l'a montré en 1747. Les interférences, les battements et les ondes stationnaires sont tous des superpositions.

La linéarité fonctionne aussi dans l'autre sens : toute forme peut s'écrire comme une somme de sinusoïdes. Chaque sinusoïde se propage à son propre $\omega /k$ ; sur la corde idéale, c'est la même vitesse $v$ pour toutes, si bien que la somme, et avec elle la forme, se propage sans changement. La lumière obéit à la même équation, tirée des équations de Maxwell au lieu de la loi de Newton.

L'énergie transportée par une onde

L'énergie voyage avec la forme. Par mètre, un morceau de corde possède une énergie cinétique $\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. Il possède aussi une énergie potentielle $\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$, car un morceau incliné est plus long que $dx$ d'environ $\frac{1}{2}(\partial y/\partial x{)}^{2}dx$, et la tension a fourni un travail pour l'allonger. Pour une onde progressive, $\partial y/\partial t=-v\partial y/\partial x$ et $F=\mu v^2$ rendent ces deux énergies égales en chaque point.

Pour une sinusoïde, l'énergie cinétique par mètre vaut $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2{\cos }^2(kx-\omega t)$, dont la moyenne sur un cycle est $\frac{1}{4}\mu {\omega }^2{A}^2$. En la doublant pour tenir compte de l'énergie potentielle, qui lui est égale, on obtient au total $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2$ par mètre. Cette énergie avance à la vitesse $v$ : la puissance moyenne qui traverse un point quelconque est donc
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$

Elle croît comme $A^2$ et comme ${\omega }^2$. Là où deux cordes se rejoignent, un saut du produit $\mu v$ renvoie une partie de l'onde. Pour les cordes de l'exemple du niveau intermédiaire, $\mu v$ double, de 1,2 à 2,4 kg/s ; l'amplitude réfléchie vaut $(1,2-2,4)/(1,2+2,4)=-1/3$ de l'amplitude incidente. Un tiers de l'amplitude revient donc à l'envers et, comme la puissance varie comme le carré de l'amplitude, un neuvième de la puissance est réfléchi.

Problème résolu : la puissance fournie à la corde

Supposons que la corde de l'animation, avec $A=0,3\mathrm{m}$, $\omega =\pi rad/s$ et $v=1m/s$, ait $\mu =0,2kg/m$ et repose sur un sol lisse, secouée latéralement de sorte que la pesanteur ne joue aucun rôle. Quelle tension lui faut-il, quelle puissance la main doit-elle fournir, et qu'est-ce qui change si la main secoue deux fois plus souvent ?

La tension découle de $v=\sqrt{F/\mu }$, et la puissance de la formule ci-dessus :
$F=\mu v^2=0,2\cdot 1^2=0,2\mathrm{N}$
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot {\pi }^2\cdot 0,3^2\cdot 1\approx 0,089\mathrm{W}$

Vérifiez la puissance en faisant le compte de l'énergie. La corde contient $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2\approx 0,089\mathrm{J}$ par mètre : une longueur d'onde, soit 2 m de corde, contient donc environ 0,18 J. À chaque période de 2 s, la main fournit $0,089\cdot 2\approx 0,18\mathrm{J}$, exactement cette quantité : à chaque période, la main remplit d'énergie une longueur d'onde de corde de plus.

Secouez maintenant à 1 Hz avec la même amplitude. La vitesse n'est fixée que par $F$ et $\mu$ : elle vaut toujours 1 m/s, et la longueur d'onde devient $\lambda =v/f=1\mathrm{m}$. La puissance croît comme ${\omega }^2$ : elle est multipliée par quatre et atteint environ 0,36 W. Pour garder 89 mW, $\omega A$ doit rester le même : l'amplitude doit donc être divisée par deux, à 0,15 m. La pente maximale $kA$ reste alors à 0,94, et la vitesse maximale de la perle, $\omega A$, aussi. Dans un milieu donné, la puissance est fixée par la vitesse maximale des points en mouvement, $\omega A$, et non par l'amplitude seule.

Limites de validité

Trois hypothèses ont été faites en chemin : de petites pentes, un milieu continu sans structure granulaire, et une vitesse identique pour toutes les fréquences.

De petites pentes. Chaque étape a utilisé $\sin \theta \approx \tan \theta$ et $\cos \theta \approx 1$. Pour une pente de 0,1, les termes négligés valent environ un demi pour cent ; à 0,94, la valeur de l'animation, volontairement grande pour rester visible, ils atteindraient plusieurs dizaines de pour cent. Une vraie corde de guitare d'amplitude 1 mm et de longueur d'onde 1,3 m a $kA\approx 0,005$. Pour le son, la même condition s'écrit $\delta P\ll P_0$ : même un son douloureux de 120 dB n'a qu'une amplitude de pression d'environ 28 Pa, soit $3\times 10^{-4}$ de la pression atmosphérique. Dans une explosion, la condition n'est plus remplie : les parties comprimées et chauffées de l'onde vont plus vite et rattrapent celles qui les précèdent, et le front se raidit en onde de choc.

Un milieu continu. Traiter le gaz comme continu exige des longueurs d'onde très supérieures au libre parcours moyen, la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux collisions, environ 70 nm dans l'air. Le son audible, dont les longueurs d'onde vont de 1,7 cm à 17 m, ne pose aucun problème, mais les ultrasons proches de 1 GHz, avec $\lambda \approx 0,34\mu \mathrm{m}$, sont absorbés sur une courte distance.

Une seule vitesse pour toutes les fréquences. Une forme ne se conserve que si $v$ ne dépend pas de la fréquence. Les vagues en eau profonde ont $v=\sqrt{g\lambda /(2\pi )}$, soit 1,8 m/s pour une longueur d'onde de 2 m et 3,5 m/s pour 8 m, et dans le verre la lumière bleue est plus lente que la rouge. De telles ondes sont dites dispersives : une impulsion s'étale en se propageant, et son énergie se déplace à la vitesse de groupe $d\omega /dk$, égale à la moitié de la vitesse des crêtes en eau profonde.

Où cela mène

Les sources et les observateurs en mouvement relèvent de la leçon Le son et l'effet Doppler ; Volume sonore, intensité et décibels transforme $\bar{P}\propto A^2$ en décibels ; Ondes stationnaires et Interférences et superposition appliquent la linéarité ; Réflexion et réfraction, puis Prismes, dispersion et couleurs, traitent des vitesses qui changent d'un milieu à l'autre ou avec la fréquence. Ondes électromagnétiques déduit la vitesse de la lumière de la même équation. Dans Dualité onde-corpuscule, la fréquence devient proportionnelle à l'énergie et le nombre d'onde à la quantité de mouvement ; Équation de Schrödinger et effet tunnel décrit des ondes dispersives par nature.