Гармонические колебания

Начальный

Ребёнок на качелях, груз, подпрыгивающий на пружине, задетая гитарная струна — всё это движется туда и обратно около положения покоя. Разберёмся шаг за шагом.

Шаг 1. Отвести и отпустить. Сместите тело из положения покоя — и что-то потянет его обратно: пружина или, для качелей, сила тяжести. Тело устремляется назад, проскакивает середину, замедляется, останавливается и возвращается. Если возвращающая сила растёт вместе со смещением (вдвое дальше — вдвое сильнее), такое движение называют гармоническими колебаниями.

Шаг 2. Быстро в середине, остановка на краях. Быстрее всего тело движется, проходя центр, а в каждой крайней точке на мгновение останавливается и поворачивает назад. Его энергия всё время меняет форму: в середине вся она — энергия движения, а в крайних точках вся запасена (в растянутой пружине или, у качелей, в высоте подъёма).

Шаг 3. Период и частота. Время одного полного колебания туда и обратно называют периодом. У маятника напольных часов период около 2 секунд. Частота — это число колебаний в секунду, то есть частота = 1 ÷ период: здесь половина колебания в секунду.

Шаг 4. Что задаёт ритм? Более тяжёлый груз на пружине колеблется медленнее, а более жёсткая пружина ускоряет колебания. У маятника важна только длина (и тяготение): длинный маятник качается медленнее, а при вчетверо большей длине период вдвое больше. Масса груза роли не играет.

Проверьте себя: вы отпускаете маятник, отведя его чуть дальше, но размах всё ещё мал. Изменится ли период? (Нет: путь длиннее, но и движется маятник быстрее.)

В анимации пружина и маятник колеблются точно в одном ритме. Следите за синей стрелкой скорости: она длиннее всего, когда тело проходит центр («быстрее всего»), и сжимается в ноль в крайних точках («поворот»).

Средний

Что колеблется и как мы это измеряем

У каждого осциллятора есть положение равновесия, в котором он мог бы покоиться, потому что равнодействующая сил равна нулю: для груза в анимации это пунктирная линия, для маятника — вертикаль. Смещение $x$ отсчитывают от этого положения и учитывают знак: $x=+10\mathrm{см}$ по одну сторону, $x=-10\mathrm{см}$ по другую. Наибольшее по модулю смещение — амплитуда $A$. В крайних точках, где $x=\pm A$, тело на мгновение останавливается и возвращается.

Время одного полного колебания — от одного края до другого и обратно — называют периодом $T$ (в секундах). Частота $\nu =1/T$ показывает число колебаний в секунду и измеряется в герцах (Гц). В уравнения входит циклическая частота $\omega =2\pi \nu =2\pi /T$ в радианах в секунду: она считает один цикл как один оборот на $2\pi$ радиан.

Возвращающая сила даёт косинус

Оттяните груз на пружине в сторону — и пружина потянет его назад с силой, пропорциональной смещению:
$F=-kx$
Жёсткость пружины $k$ (в ньютонах на метр) показывает, насколько пружина тугая; знак «минус» означает, что сила направлена обратно к положению равновесия. Из второго закона Ньютона следует $a=-(k/m)x$: ускорение пропорционально смещению и направлено противоположно ему. Это гармонические колебания, и координата в них меняется по закону косинуса:
$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$

Начальная фаза $\phi$ показывает, с какого места цикла начат отсчёт времени; если груз отпускают без начальной скорости при $x=+A$, как в анимации, то $\phi =0$. У косинусоидального движения ускорение равно $-{\omega }^{2}x$, поэтому оно подходит для пружины лишь при условии ${\omega }^2=k/m$. Ритм задают одни лишь пружина и масса:

• $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
• $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
• $\nu =\frac{1}{T}$

Амплитуды в этих формулах нет. Увеличьте её вдвое — и на каждом этапе пути груз окажется вдвое дальше от центра, на него будет действовать вдвое большая сила, и он будет двигаться вдвое быстрее: вдвое больший путь с вдвое большей скоростью занимает то же время. Это изохронность, благодаря которой стали возможны маятниковые часы. Зато амплитуда определяет наибольшую скорость, $v_{\max }=A\omega$ в центре, и наибольшее ускорение, $a_{\max }={\omega }^{2}A$ в крайних точках.

Маятник: роль пружины играет сила тяжести

Математический маятник — небольшой шарик на лёгкой нити длиной $L$. Возвращающая сила — это составляющая силы тяжести вдоль дуги, $mg\sin \theta$, где $\theta$ — угол отклонения от вертикали. При малых углах $\sin \theta \approx \theta$ (угол в радианах), а длина дуги равна $s=L\theta$, так что сила равна $-(mg/L)s$: это пружина с $k=mg/L$. В формуле для пружины масса сокращается:
$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

На более тяжёлый шарик сила тяжести действует сильнее ровно во столько раз, во сколько больше его инертность, поэтому значение имеют только $L$ и $g$: при вчетверо большей длине период вдвое больше, а на Луне, где $g$ примерно в шесть раз меньше, период в $\sqrt{6}\approx 2,45$ раза больше. При 15° из анимации истинный период лишь на 0,4 % больше, чем даёт формула.

Пружина, подвешенная вертикально, сохраняет период горизонтальной: сила тяжести лишь смещает положение равновесия вниз на статическое растяжение $d=mg/k$. Поскольку $m/k=d/g$, период можно записать и как $2\pi \sqrt{d/g}$: груз, висящий на пружине, подпрыгивает так же, как маятник, длина которого равна статическому растяжению пружины.

Как читать стрелки и где сосредоточена энергия

На этом уровне в анимации добавляются три стрелки. Зелёная стрелка $x$ идёт от пунктирной линии центра к грузу. Красная стрелка $F$ всегда направлена противоположно стрелке $x$: она самая длинная в крайних точках и исчезает в центре. Синяя стрелка $v$ сдвинута по фазе на четверть периода: она равна нулю в крайних точках, самая длинная в центре и дважды за период меняет направление.

Эту картину объясняет энергия. В крайней точке вся она запасена в пружине, $\frac{1}{2}k{A}^2$; в центре вся энергия кинетическая. В промежуточных точках доли меняются, а их сумма — нет:
$\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$
При $x=0$ получаем наибольшую скорость, $v_{\max }=A\sqrt{k/m}=A\omega$.

Поскольку запасённая энергия растёт как $x^2$, её доли распределены неравномерно: на полпути от центра, при $x=A/2$, в пружине содержится лишь четверть энергии, а груз всё ещё имеет $\sqrt{3}/2$ наибольшей скорости, то есть около 87 %. Первую половину пути от крайней точки к центру он проходит за шестую часть периода, а вторую — за двенадцатую.

Пример: осцилляторы из анимации

Масса груза $m=1\mathrm{кг}$, жёсткость пружины $k=10\mathrm{Н}/\mathrm{м}$, а груз оттянут на $A=10\mathrm{см}$ и отпущен без начальной скорости. Тогда
$\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{10}\approx 3,16\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{с},\nu =1/T\approx 0,50\mathrm{Гц}$
$v_{\max }=A\omega =0,10\cdot 3,16\approx 0,32\mathrm{м}/\mathrm{с},F_{\max }=kA=10\cdot 0,10=1,0\mathrm{Н}$

Таковы крайние значения на числовых индикаторах: $x$ колеблется между $+10$ и $-10\mathrm{см}$, $v$ — между $+0,32$ и $-0,32\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а $F$ — между $-1,00$ и $+1,00\mathrm{Н}$, причём $F=-1,00\mathrm{Н}$ именно тогда, когда индикатор $x$ показывает $+10\mathrm{см}$. Наибольшее ускорение равно $1,0\mathrm{Н}/1\mathrm{кг}=1,0\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, а энергия — $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,05\mathrm{Дж}$, то есть столько же, сколько $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,316^2$ в центре.

У маятника рядом длина $L=g/{\omega }^2=9,81/10\approx 0,98\mathrm{м}$, поэтому $2\pi \sqrt{L/g}$ — те же 1,99 с, и колебания идут синхронно. Эта длина не случайна: $g/{\omega }^2=mg/k$ — это ещё и статическое растяжение, которое получила бы эта пружина, если подвесить к ней груз в 1 кг. Если отпустить шарик с угла 15° (0,262 рад), он отклоняется по дуге на $L{\theta }_0\approx 0,26\mathrm{м}$ в каждую сторону и проходит нижнюю точку со скоростью около $\omega L{\theta }_0\approx 0,81\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Пример: автомобиль на пружинах

Кузов автомобиля массой 1200 кг оседает на пружинах на 1,0 см, когда в него садится пассажир массой 80 кг. В каком ритме будет подпрыгивать загруженный автомобиль после наезда на неровность?

Будем считать четыре пружины одной. Вес пассажира, $80\cdot 9,81=784,8\mathrm{Н}$, сжимает её на 0,010 м, поэтому $k=784,8/0,010=78480\mathrm{Н}/\mathrm{м}$. При массе 1280 кг вместе с пассажиром:
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{1280}{78480}}\approx 0,80\mathrm{с}$
то есть около 1,25 колебания в секунду.

Проверим по правилу статического растяжения: полная масса 1280 кг сжимает пружины на $d=mg/k=0,16\mathrm{м}$, и $2\pi \sqrt{0,16/9,81}\approx 0,80\mathrm{с}$ — снова то же значение. Подвески обычно настраивают на частоту от 1 до 1,5 Гц: пассажиры считают её комфортной, а амортизаторы не дают колебаниям продолжаться после каждой неровности.

Частые ошибки

• Там, где груз останавливается, сила не равна нулю: в крайней точке сила и ускорение наибольшие — 1,0 Н и 1,0 м/с² для груза из анимации, а в центре они обращаются в нуль.
• Больший размах не означает больше времени: если удвоить амплитуду из анимации до 20 см, период останется равным 1,99 с, а наибольшая скорость удвоится до 0,63 м/с.
• Не теряйте $2\pi$ и не путайте герцы с радианами в секунду: для груза 0,2 кг на пружине 80 Н/м $\sqrt{m/k}=0,05\mathrm{с}$, но $T\approx 0,31\mathrm{с}$, $\nu \approx 3,2\mathrm{Гц}$ и $\omega =20\mathrm{рад}/\mathrm{с}$.
• Период маятника не зависит ни от массы шарика, ни (при малых размахах) от амплитуды; однако при отпускании с угла 60° он примерно на 7 % больше, чем даёт формула.
• Отсчитывайте $x$ от положения равновесия, а не от конца недеформированной пружины: у подвешенной пружины это положение на $mg/k$ ниже, и тогда сила тяжести из уравнения выпадает.

Где это встречается

Маятниковые часы опираются на изохронность: секундный маятник, у которого один размах длится 1 с, а полный цикл — 2 с, имеет длину $g/{\pi }^2\approx 0,994\mathrm{м}$, почти как у маятника из анимации. Кварцевые часы отсчитывают 32 768 колебаний в секунду, которые совершает крошечный кварцевый камертон; подвески автомобилей, покачивающиеся башни и атомы твёрдого тела колеблются почти по гармоническому закону. Урок «Затухание и резонанс» добавляет трение и периодические толчки, а урок «Волны: основные понятия» показывает, как связанные осцилляторы переносят волну.

Продвинутый

Одно уравнение для многих осцилляторов

Этот урок посвящён одному уравнению и тому, почему оно встречается во всей физике. Начнём с простейшего случая: груз массой $m$ на полу без трения, прикреплённый к пружине жёсткостью $k$. Обозначим через $x$ смещение груза от точки, где пружина не деформирована, а через $\ddot{x}$ — его ускорение, то есть вторую производную $x$ по времени.

Пружина тянет груз назад с силой $-kx$ (закон Гука): эта сила всегда направлена к центру и растёт пропорционально смещению. Второй закон Ньютона тогда даёт $m\ddot{x}=-kx$. Разделив на $m$ и обозначив отношение $k/m$, получаем
$\ddot{x}=-{\omega }^{2}x,{\omega }^2=\frac{k}{m}$
Словами: ускорение — это смещение, взятое с обратным знаком и умноженное на ${\omega }^2$. Постоянная $\omega$ имеет размерность обратного времени; как мы увидим, это циклическая частота движения в радианах в секунду.

Целого урока это уравнение заслуживает не из-за пружины, а из-за своей формы. Оно линейное: $x$ и его производные входят только в первой степени, без квадратов и без произведений друг на друга. Оно второго порядка: старшая производная — вторая. И его коэффициенты постоянны. Любая система, уравнение которой имеет такой вид, движется одинаково, из чего бы она ни состояла: заряд конденсатора, разряжающегося через катушку, кварцевый кристалл часов, валентное колебание молекулы, корабль, качающийся с борта на борт на тихой воде, и атомы кристалла, по которому проходит звук. Следующий раздел показывает, почему к этому уравнению приходит так много систем.

Почему малые колебания гармонические

Реальные возвращающие силы редко бывают строго пропорциональны смещению. Этот раздел показывает, почему для малых колебаний это не важно: вблизи любого устойчивого равновесия любой гладкий закон силы похож на закон Гука, так что система подчиняется уравнению выше. Именно это и означает здесь слово «гармонический»: движение, подчиняющееся уравнению $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$.

Обозначения

$x$	Координата системы вдоль линии её движения.	$\mathrm{м}$
$U$	Потенциальная энергия системы.	$\mathrm{Дж}$
$x_0$	Положение устойчивого равновесия, где $U$ наименьшая.	$\mathrm{м}$
$U(x_0)$	Значение $U$ в минимуме.	$\mathrm{Дж}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Высота штриховой параболы над $U(x_0)$ — гармоническое приближение $U$ с $k=U^{\prime \prime }(x_0)$.	$\mathrm{Дж}$

На рисунке 1 схематически показана потенциальная энергия $U$ некоторой системы в зависимости от её координаты $x$. Дно ямы, в точке $x_0$, — устойчивое равновесие: сместите систему в любую сторону, и $U$ возрастёт, а сила, всегда направленная вниз по этой кривой, вернёт её обратно. Посмотрите сначала на точку, где сплошная кривая $U$ касается штриховой параболы. Вблизи неё их трудно различить. Дальше они расходятся: слева реальная кривая поднимается круче параболы, а справа становится более пологой и проходит ниже неё.

Парабола подходит благодаря разложению $U$ в ряд Тейлора около $x_0$. Первый член ряда — постоянная $U(x_0)$. Линейный член, $U^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, обращается в нуль, потому что в минимуме наклон кривой равен нулю. Поэтому первый член, зависящий от $x$, — квадратичный:
$U(x)\approx U(x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$
Это и есть штриховая парабола с $k=U^{\prime \prime }(x_0)$; подпись $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ на рисунке 1 показывает, насколько она поднимается над $U(x_0)$. Сила равна наклону $U$, взятому с обратным знаком, поэтому вблизи минимума она равна $-dU/dx=-U^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0)$ — это закон Гука, в котором место недеформированной пружины занимает равновесие $x_0$. В минимуме $U^{\prime \prime }(x_0)>0$, поэтому $k$ положительна и сила действительно возвращает систему.

Маятник показывает этот рецепт в действии. Шарик массой $m$ на нити длиной $L$, отклонённый на угол $\theta$, поднимается на $L(1-\cos \theta )$, поэтому его потенциальная энергия равна $mgL(1-\cos \theta )$, где $g$ — ускорение свободного падения. При малых углах $\cos \theta \approx 1-\frac{1}{2}{\theta }^2$, так что $U\approx \frac{1}{2}mgL{\theta }^2$: парабола по $\theta$, в которой место $k$ занимает угловая жёсткость $mgL$. Повороту противится момент инерции $m{L}^2$, занимающий место $m$, поэтому ${\omega }^2=mgL/(m{L}^2)=g/L$. Вывод общий: малые колебания около любого минимума, где $U^{\prime \prime }(x_0)>0$, гармонические, и от системы зависит только их частота.

Общее решение и две его постоянные

Теперь решим уравнение. Цель — формула для $x(t)$, охватывающая любое начало движения, и ясный ответ на вопрос, что именно начало движения может изменить.

Какие функции после двукратного дифференцирования возвращаются сами, умноженные на отрицательную постоянную? Косинус и синус: $d^2(\cos \omega t)/d{t}^2=-{\omega }^2\cos \omega t$, и то же для $\sin \omega t$. Поскольку уравнение линейное, сумма решений, каждое из которых умножено на любую постоянную, — снова решение. Уравнение второго порядка оставляет свободными ровно две постоянные: одну для начальной координаты и одну для начальной скорости. Обозначим через $x_0$ и $v_0$ координату и скорость при $t=0$ (отныне $x_0$ — начальная координата, а равновесие находится в точке $x=0$). Тогда
$x(t)=x_0\cos \omega t+\frac{v_0}{\omega }\sin \omega t=A\cos (\omega t+\phi )$
Первую форму легко проверить: при $t=0$ она даёт $x_0$, а её производная в этот момент даёт $v_0$. Вторая форма объединяет оба слагаемых в один косинус с амплитудой $A$ — наибольшим смещением — и начальной фазой $\phi$, которая говорит, в какой момент цикла был запущен секундомер. Раскрывая $A\cos (\omega t+\phi )=A\cos \phi \cos \omega t-A\sin \phi \sin \omega t$ и сравнивая слагаемые, получаем $A\cos \phi =x_0$ и $-A\sin \phi =v_0/\omega$, откуда
$A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega {)}^2},\mathrm{tg}\phi =-v_0/(\omega x_0)$
Разделение ролей чёткое: уравнение определяет $\omega$, а начальные условия — $A$ и $\phi$.

Груз из анимации делает это наглядным. У него $m=1\mathrm{кг}$ и $k=10\mathrm{Н}/\mathrm{м}$, поэтому $\omega =\sqrt{10}\approx 3,16\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, а период $T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{с}$. Его отпускают без начальной скорости в точке $x_0=A=0,10\mathrm{м}$, так что $v_0=0$, $\phi =0$ и $x=A\cos \omega t$. Одно дифференцирование даёт скорость, $v=-A\omega \sin \omega t$, что то же самое, что $A\omega \cos (\omega t+\pi /2)$: график скорости — это график смещения, сдвинутый на четверть периода в сторону более ранних моментов, так что скорость опережает смещение на четверть периода. Второе дифференцирование даёт ускорение $a=-{\omega }^{2}x$, сдвинутое относительно смещения на полпериода, то есть в противофазе: оно наибольшее там, где наибольшее $x$, но направлено в другую сторону.

Линейность в одну строку доказывает и изохронность — независимость периода от амплитуды. Если $x(t)$ — решение, то и $\lambda x(t)$ — решение при любой постоянной $\lambda$, потому что умножение обеих частей $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ на $\lambda$ ничего не меняет. Растянутая копия отклоняется в $\lambda$ раз дальше с точно тем же ходом во времени, так что большой и малый размахи длятся одинаково.

Компактно обе постоянные можно записать одним комплексным числом. Представим $x$ как действительную часть $C{e}^{i\omega t}$ с комплексной амплитудой $C=A{e}^{i\phi }$; действительная часть $A{e}^{i(\omega t+\phi )}$ и правда равна $A\cos (\omega t+\phi )$. Выигрыш в том, что каждое дифференцирование по времени просто умножает $e^{i\omega t}$ на $i\omega$. Уравнение принимает вид $(i\omega {)}^{2}C=-{\omega }^{2}C$ и выполняется при любом $C$: дифференциальное уравнение превратилось в алгебру. Именно этот приём делает затухающие и вынужденные колебания доступными для расчёта.

Вспомогательная окружность

У гармонических колебаний есть геометрический двойник — равномерное движение по окружности. Он объясняет, почему фаза — это угол и почему $\omega$ измеряется в радианах в секунду, и даёт скорость и ускорение без всякого дифференцирования.

Обозначения

$A$	Радиус окружности — амплитуда движения тени.	$\mathrm{м}$
$\omega t+\phi$	Фаза — угол, на который радиус повернулся от положительного направления оси $x$.	$\mathrm{рад}$
$x$	Координата тени, отсчитанная от центра (здесь отрицательная).	$\mathrm{м}$
$\vec{v}$	Скорость точки: по касательной к окружности, модуль $\omega A$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{a}$	Ускорение точки: к центру, модуль ${\omega }^{2}A$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$v$	Скорость тени — горизонтальная составляющая $\vec{v}$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$a$	Ускорение тени — горизонтальная составляющая $\vec{a}$, равная $-{\omega }^{2}x$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$

На рисунке 2 изображена вспомогательная окружность. Точка движется по окружности радиуса $A$ против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью $\omega$. За время $t$ её радиус поворачивается на угол $\omega t+\phi$, отсчитываемый от положительного направления оси $x$; на рисунке это чуть больше четверти оборота, и точка находится слева вверху. Опустите из точки штриховую линию вертикально вниз на горизонтальный диаметр. Её основание — тень точки (пустой кружок) — находится на расстоянии $x=A\cos (\omega t+\phi )$ от центра: ровно там, где груз.

Теперь скорость. Скорость точки $\vec{v}$ направлена по касательной к окружности, а её модуль равен $\omega A$, потому что на каждый радиан поворота точка проходит дугу длиной $A$. Тень движется только вдоль диаметра, поэтому её скорость $v$ — горизонтальная составляющая $\vec{v}$: $v=-\omega A\sin (\omega t+\phi )$. На рисунке $\vec{v}$ направлена вниз и влево, поэтому $v$ направлена влево.

Затем ускорение. Точка движется по окружности со скоростью, постоянной по модулю, поэтому её ускорение $\vec{a}$ центростремительное: оно направлено к центру и по модулю равно ${\omega }^{2}A$. Его горизонтальная составляющая — ускорение тени:
$a=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$
На рисунке $x$ отрицательно, поэтому $a$ направлено вправо, к центру, а тень всё ещё движется влево: она замедляется, приближаясь к своей крайней точке $-A$.

Итак, тень подчиняется уравнению этого урока и движется точно как груз. Гармонические колебания — это равномерное движение по окружности, увиденное сбоку. Поэтому фаза $\omega t+\phi$ — угол, а $\omega$, угловая скорость точки, измеряется в радианах в секунду. Эта же картина стоит за комплексным числом из предыдущего раздела: $C{e}^{i\omega t}$ — вращающаяся точка, нарисованная на комплексной плоскости, а $x$ — её тень на действительной оси.

Фазовый эллипс

Вспомогательная окружность следит за движением в пространстве. Вторая картина следит за состоянием осциллятора — его координатой и скоростью вместе, а их достаточно, чтобы предсказать всё дальнейшее движение. На этой картине закон сохранения энергии становится формой кривой.

Обозначения

$x$	Координата, по горизонтальной оси.	$\mathrm{м}$
$v$	Скорость, по вертикальной оси.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$A$	Амплитуда, наибольшее $x$, — полуось вдоль $x$.	$\mathrm{м}$
$\omega A$	Наибольшая скорость — полуось вдоль $v$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$E$	Полная энергия $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, одна и та же вдоль всего эллипса.	$\mathrm{Дж}$

На рисунке 3 скорость $v$ отложена вверх, а координата $x$ — вправо. Каждому моменту движения соответствует одна точка $(x,v)$; со временем она перемещается и описывает замкнутую кривую — фазовый портрет. Поскольку $x=A\cos \omega t$ и $v=-\omega A\sin \omega t$, эта кривая — эллипс. Закон сохранения энергии сразу даёт его уравнение: $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=E$, и, разделив обе части на $E=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$, получаем
$\frac{x^2}{A^2}+\frac{v^2}{(A\omega {)}^2}=1$

Полуоси равны $A$ вдоль $x$ и $\omega A$ вдоль $v$. Первая — наибольшее смещение, когда вся энергия запасена в пружине; вторая — наибольшая скорость, когда вся энергия принадлежит грузу. Для груза из анимации это 0,10 м и 0,32 м/с. Все точки эллипса имеют одну и ту же энергию $E$, поэтому на рисунке буквой $E$ подписана сама кривая; при большей энергии получился бы больший эллипс той же формы.

Теперь проследим движение. Точка начинает с правого конца эллипса, $(A,0)$, и обходит его по часовой стрелке, один оборот за период. Направление вынужденное: в верхней половине $v>0$, поэтому $x$ растёт и точка движется вправо; в нижней половине $v<0$, и она движется влево. Точка на рисунке 3 — один момент, справа внизу: груз ещё на положительной стороне, но уже движется обратно. Штриховые линии снимают её $x$ и $v$ с осей. Если откладывать вверх $v/\omega$ вместо $v$, обе полуоси станут равны $A$, и эллипс снова превратится во вспомогательную окружность.

В экспертном слое анимации этот эллипс показан рядом с графиком $x(t)$ — косинусоидой между $\pm 10\mathrm{см}$. Наклон этого графика равен $v$, а его кривизна следует $a=-{\omega }^{2}x$, поэтому кривая всегда изогнута в сторону оси времени: сильнее всего на вершинах и во впадинах, где $|x|$ наибольшее, и совсем не изогнута там, где пересекает нуль.

Из эллипса следуют два более глубоких факта. Во-первых, за цикл ${\sin }^2$ и ${\cos }^2$ в среднем равны $\frac{1}{2}$, поэтому средние кинетическая и потенциальная энергии равны, каждая $E/2$. Для груза $E=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,050\mathrm{Дж}$, так что каждая в среднем составляет $0,025\mathrm{Дж}$.

Во-вторых, нарисуйте эллипс, откладывая вверх импульс $p=mv$ вместо $v$. Тогда его полуоси равны $A$ и $mA\omega$, а площадь — $\pi A\cdot mA\omega =2\pi E/\omega$, здесь около $0,099\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$. Эта площадь — адиабатический инвариант, величина, которая сохраняется при медленном изменении системы: если $k$ или $L$ меняются медленно по сравнению с периодом, площадь, а вместе с ней и $E/\omega$, остаётся постоянной. Постепенно укорачивайте нить маятника — и его энергия будет расти пропорционально частоте. В ранней квантовой теории эту площадь приравнивали целому числу постоянных Планка $h$; полная теория даёт уровни энергии $E=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$, где $\hslash =h/2\pi$, а $n$ — целое число начиная с 0.

За пределами идеального осциллятора

Реальные осцилляторы идеальны лишь приближённо. Нагляднее всего это видно на маятнике: его точное уравнение можно записать и сравнить с гармоническим.

Обозначения

$L$	Длина нити от точки подвеса до шарика.	$\mathrm{м}$
$\theta$	Угол между нитью и вертикалью.	$\mathrm{рад}$
$s$	Длина пути по дуге от нижней точки до шарика: $s=L\theta$.	$\mathrm{м}$
$m\vec{g}$	Сила тяжести, действующая на шарик; направлена вертикально вниз.	$\mathrm{Н}$
$mg\sin \theta$	Составляющая силы тяжести вдоль траектории, к нижней точке, — возвращающая сила.	$\mathrm{Н}$
$mg\cos \theta$	Составляющая силы тяжести вдоль нити, от точки подвеса; она не может изменить модуль скорости.	$\mathrm{Н}$

На рисунке 4 маятник показан во время размаха. Шарик висит на нити длиной $L$ и отклонён от вертикали на угол $\theta$, поэтому он находится на расстоянии $s=L\theta$ по дуге от нижней точки. Действующая на него сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, раскладывается на две перпендикулярные составляющие. Составляющая $mg\cos \theta$ направлена вдоль нити, от точки подвеса. Вдоль траектории у неё нет проекции, поэтому она не может ни разогнать шарик, ни затормозить его; сила натяжения нити действует вдоль той же прямой. Составляющая $mg\sin \theta$ направлена вдоль траектории, к нижней точке. Только она и возвращает шарик.

Точное уравнение получается из вращения вокруг точки подвеса. Возвращающая сила $mg\sin \theta$ действует на плече $L$, поэтому её момент равен $-mgL\sin \theta$. Момент инерции шарика относительно точки подвеса равен $m{L}^2$, а момент силы равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение. Разделив на $m{L}^2$, получаем
$\ddot{\theta }=-\frac{g}{L}\sin \theta$
При малых углах $\sin \theta \approx \theta$ (в радианах), и возвращающая сила $mg\sin \theta$ близка к $mg\theta =(mg/L)s$. Это снова закон Гука — для смещения $s$ вдоль дуги, с $k=mg/L$ и ${\omega }^2=k/m=g/L$, как и было найдено из энергии во втором разделе.

Маятник гармонический лишь приближённо. Поскольку $\sin \theta <\theta$ при любом положительном угле, истинный возвращающий момент меньше линейного: шарик тянет назад слабее, чем по гармоническому закону, и на возврат у него уходит больше времени. Поэтому период растёт с амплитудой ${\theta }_0$ — примерно как $2\pi \sqrt{L/g}(1+{\theta }_0^2/16)$ для умеренных размахов. Превышение над $2\pi \sqrt{L/g}$ составляет 0,19 % при 10°, 0,43 % при 15° из анимации, 7,3 % при 60° и 18 % при 90°, а когда точка отпускания приближается к перевёрнутому положению при 180°, оно растёт неограниченно. (Два последних значения получены из точного периода; короткая формула даёт уже меньше.) Поэтому часовые мастера делают размах малым. Христиан Гюйгенс в 1673 году опубликовал точное решение: шарик, который направляют по циклоиде, а не по дуге окружности, имеет период, вовсе не зависящий от амплитуды.

Другие отличия от идеала столь же конкретны. Масса самой пружины $m_s$ тоже движется: витки возле груза движутся почти так же быстро, как он, витки у закреплённого конца почти неподвижны, и в итоге пружина добавляет к колеблющейся массе около $m_s/3$. Твёрдое тело, качающееся вокруг оси на расстоянии $d$ от своего центра масс, — физический маятник с $T=2\pi \sqrt{I/(mgd)}$, где $I$ — его момент инерции относительно оси подвеса; для точечного шарика $I=m{L}^2$ и $d=L$, и формула снова даёт $2\pi \sqrt{L/g}$. Сила трения, пропорциональная скорости, $-b\dot{x}$, где $\dot{x}$ — скорость, а $b$ — постоянная, заставляет амплитуду убывать как $e^{-bt/(2m)}$. А периодическое воздействие с частотой, близкой к $\omega$, вызывает большой отклик — резонанс, тем более острый, чем слабее затухание.

Задача: на груз падает кусок пластилина

Эта задача проверяет найденное выше разделение ролей: уравнение определяет $\omega$, а начальное состояние — амплитуду. Внезапное событие меняет и массу, и начальное состояние, а результат зависит от того, в какой момент оно происходит.

Когда груз из анимации ($m=1\mathrm{кг}$, $k=10\mathrm{Н}/\mathrm{м}$, $A=0,10\mathrm{м}$) проходит центр с наибольшей скоростью $A\omega \approx 0,32\mathrm{м}/\mathrm{с}$, на него с небольшой высоты падает и прилипает кусок пластилина массой 1 кг. Каковы новые период и амплитуда? И что изменится, если кусок упадёт в крайней точке?

Сначала удар. Пол и сила тяжести действуют по вертикали, поэтому во время короткого удара горизонтальные силы не действуют и горизонтальный импульс сохраняется. Пластилин горизонтального импульса не приносит, так что $1\cdot 0,316=2v^{\prime }$, откуда $v^{\prime }=0,158\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Удар настолько короток, что груз не успевает сместиться: он по-прежнему в точке $x_0=0$.

Затем новая частота. Пружина та же, а масса удвоилась, поэтому ${\omega }^{\prime }=\sqrt{10/2}\approx 2,24\mathrm{рад}/\mathrm{с}$ и $T^{\prime }=2\pi /{\omega }^{\prime }\approx 2,81\mathrm{с}$ — больше в $\sqrt{2}$ раз.

Наконец, новая амплитуда. Движение начинается заново из $x_0=0$ со скоростью $v^{\prime }$, поэтому формула амплитуды даёт
$A^{\prime }=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}\right)}^2}=\frac{0,158}{2,24}\approx 0,071\mathrm{м}$
Теперь груз отклоняется всего на 7,1 см, то есть на $A/\sqrt{2}$, а энергия упала с 0,050 Дж до $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,071^2=0,025\mathrm{Дж}$. Половина её потеряна при ударе, как всегда, когда движущееся тело слипается с таким же по массе покоящимся: пара движется вдвое медленнее при вдвое большей массе, поэтому её кинетическая энергия вдвое меньше.

Если кусок падает в крайней точке, груз в этот момент покоится: скорости, которую пришлось бы делить, нет, и энергия не теряется. Груз снова начинает движение из покоя в точке $x_0=0,10\mathrm{м}$: амплитуда остаётся 10 см, а энергия — 0,05 Дж. Период снова равен 2,81 с, потому что зависит только от $k$ и новой массы, но наибольшая скорость уменьшается до $A{\omega }^{\prime }\approx 0,22\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Один и тот же удар либо уменьшает амплитуду, либо оставляет её прежней — в зависимости от фазы, в которой он происходит, тогда как период реагирует лишь на массу.

Границы применимости

У каждой модели есть область, где она работает. У гармонического осциллятора две границы: одна при больших смещениях, где нарушается закон Гука, другая при очень малых порциях энергии, где в силу вступает квантовая механика.

Закон Гука — лишь первый член разложения $U$ в ряд Тейлора, поэтому он верен только для малых смещений. Сталь проволоки подчиняется линейному закону лишь до деформации — относительного удлинения — в доли процента. Винтовая пружина из такой проволоки всё же может растягиваться намного сильнее, потому что проволока в ней в основном закручивается, а не растягивается, и каждый короткий её участок закручивается лишь немного. За пределами линейного диапазона вступают в игру высшие члены $U$. Они делают период зависящим от амплитуды, как у маятника, и добавляют гармоники — составляющие движения с частотами, кратными $\omega$. Для маятника мерилом «малости» служит угол: чтобы период отличался от $2\pi \sqrt{L/g}$ не более чем на 1 %, угол ${\theta }_0$ должен быть меньше примерно 23°.

Другую границу устанавливает квантовая механика: энергия осциллятора может меняться лишь порциями $\hslash \omega$, где $\hslash \approx 1,05\times 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$ — приведённая постоянная Планка. Для груза из анимации $\hslash \omega \approx 3,3\times 10^{-34}\mathrm{Дж}$ при энергии 0,05 Дж, то есть квантовое число около $1,5\times 10^{32}$, и ступеньки совершенно незаметны. С молекулой всё иначе. Хлороводород колеблется с $\omega \approx 5,4\times 10^{14}\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, поэтому $\hslash \omega \approx 0,36\mathrm{эВ}$ — примерно в четырнадцать раз больше типичной тепловой энергии $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{эВ}$ при комнатной температуре (здесь $k_B$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура). Столкновения в газе редко приносят достаточно энергии, чтобы перевести молекулу на следующий уровень, поэтому она остаётся в основном состоянии с энергией нулевых колебаний $\frac{1}{2}\hslash \omega$, и её колебания почти ничего не добавляют к теплоёмкости газа.

Что дальше

Уравнение этого урока — отправная точка для многого в оставшейся части курса. Добавьте трение и периодическую вынуждающую силу — и оно станет тем уравнением, которое изучается в уроке «Затухание и резонанс», где добротность определяет, как долго осциллятор «звенит» и насколько остр его резонанс. Свяжите в ряд много осцилляторов — и их движение побежит как волна: этому посвящён урок «Волны: основные понятия»; в уроке «Стоячие волны» каждая нормальная мода струны — гармоническое колебание со своей частотой $\omega$. Жёсткость $k$ берётся из урока «Упругость: закон Гука, напряжение и деформация», вспомогательная окружность — из урока «Движение по окружности», а та же математика возвращается в уроке «Электромагнитные волны» и в квантованных осцилляторах урока «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты».