Звук и эффект Доплера

Начальный

Посмотрите, как утка плывёт по спокойному пруду. Она всё время рождает новую рябь, но каждое колечко расходится от того места, где утка была в момент его появления. Впереди утки колечки теснятся, позади — расходятся. Звук движущейся сирены ведёт себя в воздухе точно так же — это и показывают синие кольца в анимации.

Высоту звука ухо определяет по тому, как часто приходят гребни. Слушатель впереди получает гребни, идущие тесно и часто, — сирена кажется ему выше. Слушатель позади получает их редко, с большими промежутками, — для него она звучит ниже. Сама сирена тон не меняет: водитель всё время слышит её обычный звук. Такое изменение высоты звука из-за движения называют эффектом Доплера.

Работает это и наоборот. Если бежать к неподвижному колоколу, его гребни будут встречаться вам раньше, чем если стоять на месте, и звук покажется чуть выше; бегите прочь — и он станет ниже.

Две ошибки встречаются часто. Тон не растёт всё сильнее по мере приближения скорой: он остаётся высоким всё время, пока она приближается, низким всё время, пока удаляется, и падает в момент проезда. От приближения звук становится только громче — это другой эффект.

А если источник быстрее собственных волн? Тогда он оставляет все гребни позади, и они складываются вдоль буквы V, как след за моторной лодкой. Для звука в воздухе такое наложение — звуковой удар; его слышно всё время, пока самолёт летит быстрее звука, а не только в момент, когда он набирает эту скорость.

Проверьте себя: машина сигналит, удаляясь от вас. Выше или ниже тон, который слышите вы, чем тот, что слышит водитель? (Ниже.)

Средний

Что мы измеряем и откуда

Звук в воздухе — это бегущая картина сжатий и разрежений. Источник, который колеблется $f$ раз в секунду (это его частота в герцах, Гц), испускает по одному гребню каждый период $T=1/f$. Гребни бегут со скоростью звука $v$, которую задаёт воздух, а не источник: около 343 м/с при 20 °C. Соседние гребни разделяет одна длина волны $\lambda =v/f$: 0,85 м для ноты 400 Гц в воздухе при 340 м/с.

Слушатель считает другое: сколько гребней доходит до его уха за секунду. Эта слышимая частота $f^{\prime }$ и воспринимается ухом как высота звука, а когда ничто не движется, $f^{\prime }=f$. Эффект Доплера — это разница, которую создаёт движение. Все скорости отсчитываются относительно воздуха: $v_s$ — для источника, $v_o$ — для наблюдателя, то есть слушателя; оба движутся вдоль прямой, которая их соединяет.

Движущийся источник меняет длину волны

Покинув источник, гребень расходится со скоростью $v$ от точки испускания, что бы источник ни делал дальше. Пусть источник движется к слушателю со скоростью $v_s$. За один период предыдущий гребень убегает вперёд на $vT$, а источник продвигается вслед за ним на $v_{s}T$, поэтому перед источником гребни расположены теснее:
${\lambda }^{\prime }=\frac{v-v_s}{f}\text{(перед источником)}$

Позади источника расстояние между гребнями равно $(v+v_s)/f$. Гребни по-прежнему бегут со скоростью $v$, поэтому неподвижный слушатель впереди принимает $v/{\lambda }^{\prime }=fv/(v-v_s)$ гребней в секунду — больше, чем $f$, а слушатель позади — $fv/(v+v_s)$, то есть меньше.

С движущимся слушателем всё иначе. У неподвижного источника расстояние между гребнями остаётся обычным, $\lambda =v/f$, а слушатель, идущий к нему со скоростью $v_o$, встречает гребни с относительной скоростью $v+v_o$, поэтому $f^{\prime }=f(v+v_o)/v$. Движение источника меняет длину волны в воздухе; движение слушателя меняет лишь то, как часто он встречает гребни.

Формулы Доплера

Для движения вдоль прямой, соединяющей источник и слушателя, когда все скорости отсчитываются относительно воздуха, есть три основных случая:

• $f^{\prime }=\frac{fv}{v-v_s}\text{(источник приближается)}$
• $f^{\prime }=\frac{fv}{v+v_s}\text{(источник удаляется)}$
• $f^{\prime }=\frac{f(v+v_o)}{v}\text{(наблюдатель приближается)}$

Когда движутся оба, эффекты перемножаются: $f^{\prime }=f(v+v_o)/(v-v_s)$ при сближении, а скорость, направленная прочь, меняет знак. Проверяйте каждый ответ: сближение повышает частоту, удаление понижает её, а если ничто не движется относительно воздуха, $f^{\prime }=f$. Машина, которая едет прямо впереди скорой с той же скоростью $u$, слышит $f(v-u)/(v-u)=f$ — как и водитель скорой.

Пример: сирена из анимации

Анимация преувеличивает движение, чтобы сгущение было хорошо видно. Сирена излучает звук частотой $f=400\mathrm{Гц}$ и движется со скоростью $v_s=170\mathrm{м}/\mathrm{с}$, то есть вдвое медленнее звука, $v=340\mathrm{м}/\mathrm{с}$. В покое её гребни отстояли бы друг от друга на $\lambda =340/400=0,85\mathrm{м}$. Впереди неё и позади неё получаем
${\lambda }^{\prime }=\frac{340-170}{400}=0,425\mathrm{м},f^{\prime }=\frac{340}{0,425}=800\mathrm{Гц}$
$\frac{v+v_s}{f}=\frac{340+170}{400}=1,275\mathrm{м},f^{\prime }=\frac{340}{1,275}\approx 267\mathrm{Гц}$

Именно эти числа вы видите на экране. Фиолетовый индикатор показывает 800 Гц для фиолетового слушателя впереди, зелёный индикатор — 267 Гц для зелёного слушателя позади, а подписи в нижних углах дают длины волн, округлённые до 0,43 м и 1,28 м. Расстояние между синими кольцами впереди вдвое меньше, чем в неподвижном воздухе, а позади в полтора раза больше, и оранжево-красная стрелка $v_s$ показывает скорость сирены.

Каждую сторону можно проверить: $f^{\prime }{\lambda }^{\prime }=800\cdot 0,425=340\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — гребни сохраняют скорость, меняется лишь расстояние между ними. Слушатель, мимо которого проезжает эта сирена, слышит, как частота её ноты падает в $(v+v_s)/(v-v_s)=3$ раза: это октава и квинта.

Пример: скорая проезжает мимо

Скорая помощь с сиреной 700 Гц едет со скоростью 25 м/с (90 км/ч) в день, когда $v=343\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Стоя у самой дороги, вы слышите
$f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343-25}\approx 755\mathrm{Гц},f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343+25}\approx 652\mathrm{Гц}$
до того, как она проедет мимо, и после: частота падает примерно на 103 Гц, а отношение частот $368/318\approx 1,16$ больше целого тона (1,12).

Теперь поезжайте навстречу скорой сами, со скоростью 20 м/с. До встречи вы оба сближаетесь, после неё оба удаляетесь:
$f^{\prime }=\frac{700\cdot (343+20)}{343-25}\approx 799\mathrm{Гц},f^{\prime }=\frac{700\cdot (343-20)}{343+25}\approx 614\mathrm{Гц}$
Падение увеличивается примерно до 185 Гц, потому что теперь вклад вносят оба движения.

Наконец, поменяйте роли. Если вы едете со скоростью 25 м/с к неподвижной сигнализации 700 Гц, то слышите $700\cdot 368/343\approx 751\mathrm{Гц}$ — примерно на 4 Гц меньше, чем давала движущаяся скорая. На дорожных скоростях разница мала, но реальна, потому что длину волны в воздухе меняет только движение источника.

Как читать картину волновых фронтов

Каждое синее кольцо в анимации — один гребень, и его центр находится там, где сирена была в момент испускания гребня, а не там, где она сейчас. Центры лежат в ряд вдоль дороги, а самое молодое и самое маленькое кольцо ближе всего к сирене. Расстояние между кольцами наименьшее прямо впереди, наибольшее прямо позади, а между ними меняется плавно.

Слушатель у дороги слышит, как эта картина проносится мимо. Пока сирена ещё далеко и приближается, гребни, которые до него доходят, сжаты почти так же, как прямо перед сиреной; когда она уже далеко и удаляется, они растянуты почти так же, как прямо позади неё. Между этими моментами высота звука скользит вниз, и тем резче, чем ближе слушатель стоит к дороге. Кольца показывают высоту звука, а не громкость: при приближении сирены звук ещё и становится громче, потому что её мощность распределяется по сферам меньшего радиуса.

Частые ошибки

• Тон не растёт по мере того, как источник подъезжает ближе. Сирена, которая едет прямо на вас с постоянной скоростью 25 м/с, остаётся на 755 Гц; растёт только громкость — примерно на 6 дБ при каждом уменьшении расстояния вдвое.
• Движение источника и движение наблюдателя не взаимозаменяемы. В воздухе при 340 м/с сирена 500 Гц, приближающаяся со скоростью 30 м/с, слышна на частоте 548 Гц; слушатель, который с той же скоростью приближается к неподвижной сирене, слышит 544 Гц.
• Скорости отсчитываются относительно воздуха. Ветер 10 м/с делает скорость звука относительно земли равной 353 м/с по ветру и 333 м/с против него, но если источник и слушатель неподвижны, каждый гребень идёт до слушателя одно и то же время, и тон остаётся равным $f$.
• Движение не меняет сам источник: водитель скорой, который едет вместе с сиреной, слышит её настоящую ноту — 400 Гц в анимации и 700 Гц в скорой.
• Не прибавляйте скорость к частоте: источник 500 Гц, приближающийся со скоростью 30 м/с, даёт 548 Гц, а не 530 Гц. Сближение должно давать частоту выше $f$, а удаление — ниже, здесь 459 Гц.

Где это встречается

Дорожные радары измеряют доплеровский сдвиг микроволнового эха, доплеровское УЗИ показывает ток крови в артерии, метеорологические радары рисуют карту ветров внутри гроз, а летучие мыши выслеживают насекомых по высоте тона эха. Астрономы определяют движение звёзд по сдвигу их спектральных линий — в красную сторону при удалении и в синюю при приближении — и находят планеты у других звёзд по покачиванию, которое те вызывают.

Следующий урок, «Громкость, интенсивность звука и децибелы», посвящён другому изменению, которое вы слышите при приближении сирены, — её растущей громкости. Урок «Интерференция и суперпозиция волн» объясняет биения, с помощью которых приборы измеряют малые сдвиги, а «Специальная теория относительности» показывает, как эффект Доплера работает для света, у которого нет воздуха, относительно которого можно было бы измерять скорости.

Продвинутый

Считаем гребни: движущийся источник

Сирена частоты $f$ едет со скоростью $v_s$ в неподвижном воздухе, где звук распространяется со скоростью $v$, а слушатель $C$ стоит на месте. Почему $C$ слышит тон частоты $f^{\prime }$, отличной от $f$? Яснее всего ответ получается, если считать гребни. Высота тона — это число гребней давления, приходящих за секунду, поэтому достаточно найти время между приходами двух соседних гребней. Рисунок 1 подготавливает этот подсчёт.

Обозначения

$C$	Слушатель, неподвижный в неподвижном воздухе.
$S_n$	Положение сирены в момент испускания гребня $n$.
$S_{n+1}$	Её положение в момент испускания гребня $n+1$, на период позже.
$T$	Период сирены, $T=1/f$.	$\mathrm{с}$
$v_{s}T$	Расстояние, которое сирена проходит за один период вдоль своей скорости.	$\mathrm{м}$
$r_n$	Длина пути гребня $n$ от $S_n$ до $C$.	$\mathrm{м}$
$r_{n+1}$	Длина пути гребня $n+1$ от $S_{n+1}$ до $C$.	$\mathrm{м}$
$\theta$	Угол между скоростью сирены и прямой на $C$ в момент испускания.	$\mathrm{рад}$
$v_{s}T\cos \theta$	Составляющая шага $v_{s}T$ вдоль прямой на $C$: на столько второй путь короче первого.	$\mathrm{м}$

Будем считать сирену часами, которые испускают один гребень каждый период $T=1/f$. Гребень номер $n$ уходит из точки $S_n$ в момент $nT$. Гребень $n+1$ уходит на период позже из точки $S_{n+1}$, потому что за этот период сирена проехала по дороге расстояние $v_{s}T$ — это стрелка от $S_n$ к $S_{n+1}$ на рисунке 1.

Вышедший гребень уже не зависит от сирены: он бежит по воздуху со скоростью $v$ по прямой к $C$. Гребень $n$ проходит путь $r_n$, а гребень $n+1$ — путь $r_{n+1}$, поэтому они приходят в моменты
$t_n=nT+r_n/v,t_{n+1}=(n+1)T+r_{n+1}/v$
Время между этими приходами и есть период, который воспринимает слушатель:
$T^{\prime }=t_{n+1}-t_n=T+\frac{r_{n+1}-r_n}{v}$

Итак, всё зависит от того, насколько второй путь отличается от первого. Посмотрите на штриховую линию на рисунке 1, опущенную из $S_{n+1}$ перпендикулярно первому пути. Шаг $v_{s}T$ ничтожно мал по сравнению с расстоянием до $C$ (период длится несколько миллисекунд), поэтому оба пути почти параллельны. Тогда второй путь короче первого на отрезок первого пути между $S_n$ и основанием этого перпендикуляра. Этот отрезок — составляющая шага вдоль прямой на $C$, то есть $v_{s}T\cos \theta$, где $\theta$ — угол при $S_n$ между скоростью сирены и прямой на $C$. Следовательно,
$r_{n+1}-r_n=-v_{s}T\cos \theta$

Подставив это в $T^{\prime }$, получим $T^{\prime }=T(1-(v_s/v)\cos \theta )$. Частота обратна периоду, поэтому
$f^{\prime }=\frac{f}{1-(v_s/v)\cos \theta }$

Смысл формулы хорошо виден на трёх направлениях. Прямо впереди, при $\theta =0$, она даёт $fv/(v-v_s)$: гребни сжимаются, и тон повышается. Этот случай точен на любом расстоянии, потому что оба пути тогда лежат на одной прямой. Прямо позади, при $\theta =180^{\circ }$, она даёт $fv/(v+v_s)$: гребни растягиваются, и тон понижается. Сбоку, при $\theta =90^{\circ }$, сдвига нет, потому что шаг поперёк линии визирования в первом порядке не меняет расстояние до $C$.

Два момента легко упустить. Во-первых, значение имеет только радиальная составляющая $v_s\cos \theta$ — часть скорости, направленная вдоль прямой на слушателя; движение поперёк этой прямой ничего не даёт. Во-вторых, $\theta$ — это угол в момент испускания, а не в момент, когда звук слышен. Гребень, который вы слышите сейчас, вышел на время пробега $r/v$ раньше, в так называемый запаздывающий момент времени, когда сирена была в другом месте. Пример у дороги ниже показывает, что эту задержку легко услышать.

Считаем фазу: движущийся наблюдатель

Теперь поменяем роли: сирена стоит, а слушатель движется. Тогда в воздухе бегут те же равномерно расставленные гребни, что и для неподвижного слушателя; в самой волне ничего не меняется. Меняется то, как часто движущийся слушатель натыкается на гребни. Пространственно-временная диаграмма, рисунок 2, делает этот подсчёт наглядным.

Обозначения

$x$	Координата вдоль прямой от источника к слушателю; источник находится в точке $x=0$.	$\mathrm{м}$
$t$	Время.	$\mathrm{с}$
$T$	Время между двумя гребнями, испущенными источником: период.	$\mathrm{с}$
$T^{\prime }$	Время между двумя гребнями, которые встречает идущий слушатель, здесь $2T/3$.	$\mathrm{с}$
$\lambda$	Длина волны: расстояние между соседними гребнями, $\lambda =vT$.	$\mathrm{м}$
$v_o$	Скорость слушателя, идущего к источнику, здесь $v/2$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

На рисунке 2 координата $x$ отложена вправо, время $t$ — вверх, а источник находится в точке $x=0$, на вертикальной оси. Он испускает гребень каждый период $T$. Каждый гребень движется вправо со скоростью $v$, поэтому на диаграмме он изображается наклонной прямой, которая за период сдвигается на одну длину волны $\lambda =vT$. Вот почему линии гребней параллельны и поднимаются на $T$ на каждые $\lambda$ пройденного пути.

Неподвижный слушатель на этой диаграмме — вертикальная прямая, и он пересекает одну линию гребня каждые $T$. Слушатель на рисунке 2 идёт к источнику со скоростью $v_o=v/2$, поэтому его линия наклонена к оси, навстречу линиям гребней, и он пересекает их чаще. Он и гребни сближаются со скоростью $v+v_o$, а гребни отстоят друг от друга на $\lambda$, поэтому время между гребнями становится равным $T^{\prime }=\lambda /(v+v_o)=T/(1+v_o/v)=2T/3$ — на рисунке оно отмечено как $T^{\prime }$. За время $4T$, за которое неподвижный слушатель встречает четыре гребня, он встречает шесть.

В символах тот же подсчёт опирается на фазу волны. Запишем волну как функцию от $\omega t-kx$, где $\omega =2\pi f$ — циклическая частота, а $k=\omega /v=2\pi /\lambda$ — волновое число. От одного гребня до следующего фаза растёт на $2\pi$, поэтому считать радианы фазы — значит считать гребни. Слушатель, который выходит из точки $x_0$ и идёт к источнику, находится в точке $x=x_0-v_{o}t$, поэтому фаза, которую он воспринимает, равна
$\omega t-k(x_0-v_{o}t)=(\omega +k{v}_o)t-k{x}_0$
Она растёт со скоростью $\omega +k{v}_o$, откуда
${\omega }^{\prime }=\omega +k{v}_o,f^{\prime }=f\left(1+\frac{v_o}{v}\right)$
Лишние $k{v}_{o}t$ радиан за время $t$ — это лишние гребни, на которые он набегает: наклон его линии на рисунке 2. Если он удаляется, $v_o$ меняет знак, и тон понижается.

Источник или наблюдатель: сдвиги разные

Два результата похожи, но не совпадают. Пусть в обоих случаях скорость одна и та же, $u$, и $\beta =u/v$. Источник, приближающийся к вам со скоростью $u$, умножает частоту на
$\frac{1}{1-\beta }=1+\beta +{\beta }^2+\dots$
а если вы сами приближаетесь к источнику со скоростью $u$, частота умножается на $1+\beta$. Множители совпадают в первом порядке по $\beta$ и различаются на ${\beta }^2/(1-\beta )$, так что разница важна, только когда $u$ составляет заметную долю $v$.

При скоростях автомобилей она мала, но измерима. При 30 м/с и скорости звука 340 м/с $\beta \approx 0,088$, и разница составляет 0,85 % от $f$: сирена 500 Гц слышна на частоте 548,4 Гц, когда движется она, и на частоте 544,1 Гц, когда движется слушатель, — разница 4,3 Гц. При числе Маха 0,5, как в анимации, $u=v/2$, разница разительна: слушатель, мчащийся со скоростью 170 м/с к неподвижной сирене 400 Гц, слышит 600 Гц, а сирена, мчащаяся со скоростью 170 м/с к неподвижному слушателю, звучит для него на 800 Гц.

Почему воздух выделяет систему отсчёта

Эта асимметрия — вовсе не парадокс. Воздух — реальная физическая среда, и система отсчёта, в которой он покоится, особая: «движение» в этих формулах всегда означает движение относительно воздуха.

Чтобы увидеть, как частота меняется при переходе между системами отсчёта, опишем ту же волну из системы, движущейся со скоростью $u$ вдоль $x$. Её координата — $x^{\prime }$, причём $x=x^{\prime }+ut$, а часы те же. Фаза принимает вид
$\omega t-kx=(\omega -ku)t-k{x}^{\prime }$
Волновое число по-прежнему равно $k$, так что длина волны одинакова для всех наблюдателей; меняется только частота — она становится равной $\omega -ku$. Для слушателя, идущего к источнику, $u=-v_o$, и снова получается $\omega +k{v}_o$.

Движущийся источник подчиняется тому же правилу. В собственной системе отсчёта источника воздух обтекает его назад со скоростью $v_s$, как ветер, поэтому его звук бежит вперёд относительно него со скоростью всего $v-v_s$. Поскольку источник испускает $f$ гребней в секунду, они отстоят друг от друга на $\lambda =(v-v_s)/f$, и эта длина волны общая для всех систем отсчёта. В воздухе гребни бегут со скоростью $v$, поэтому слушатель, покоящийся относительно воздуха, слышит $v/\lambda =fv/(v-v_s)$ — ровно то, что дал подсчёт гребней.

Когда движутся оба, под любыми углами, два множителя перемножаются:
$f^{\prime }=f\frac{v+v_o\cos \phi }{v-v_s\cos \theta }$
Здесь $\theta$ — угол в момент испускания между скоростью источника и прямой на наблюдателя, как на рисунке 1, а $\phi$ — угол между скоростью наблюдателя и направлением на источник.

Кривая высоты звука, слышимая у дороги

Проезжающая мимо сирена не перескакивает с высокого тона на низкий: её тон скользит вниз по плавной кривой. Расчёт этой кривой задействует оба замечания первого раздела — угол испускания и запаздывание при распространении. Результат показан на рисунке 3.

Обозначения

$t$	Время.	$\mathrm{с}$
$f^{\prime }$	Частота, которую слышит $C$.	$\mathrm{Гц}$
$f$	Частота сирены (штриховая линия).	$\mathrm{Гц}$
$t_1$	Момент, когда сирена находится напротив $C$.	$\mathrm{с}$
$t_2$	Момент, когда $f^{\prime }$ равна $f$: приходит гребень, испущенный сбоку в момент $t_1$.	$\mathrm{с}$
$d/v$	Время, за которое звук пересекает промежуток $d$ от дороги до $C$.	$\mathrm{с}$
$d{f}^{\prime }/dt$	Наклон кривой в момент $t_1$: как быстро падает слышимый тон.	$\mathrm{Гц}/\mathrm{с}$

На рисунке 3 построена зависимость частоты $f^{\prime }$, которую слышит слушатель $C$, от времени $t$. Числа взяты из анимации и уменьшены под маленький рисунок: $C$ стоит в $d=50$ единицах длины от дороги, звук проходит 70 единиц в секунду, а сирена — 35, так что $v_s/v=0,5$, как для 170 и 340 м/с анимации. Собственная частота сирены $f=400\mathrm{Гц}$ — штриховая линия, а напротив $C$ сирена оказывается в момент $t_1=4\mathrm{с}$.

Каждая точка кривой получается в два шага. Для момента $t$, когда звук слышен, сначала находят момент испускания $t_e$ гребня, приходящего в этот момент, — такого, для которого расстояние от сирены до $C$ в момент $t_e$ равно пути, пройденному с тех пор гребнем, $v(t-t_e)$. Затем вычисляют $f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$ при угле $\theta$ в момент $t_e$. Кривая начинается с 788 Гц при $t=0$ — чуть ниже 800 Гц для движения прямо на слушателя, потому что этот гребень вышел, когда прямая на $C$ уже отклонялась от дороги на 10°. К $t=8\mathrm{с}$ она падает до 279 Гц.

Теперь посмотрите на середину кривой. Сирена оказывается напротив $C$ в момент $t_1$, но кривая пересекает штриховую линию $f^{\prime }=f$ лишь позже, в момент $t_2$. Слышимая частота равна $f$ для гребня, испущенного сбоку, при $\theta =90^{\circ }$; этот гребень вышел в момент $t_1$, и ему ещё предстояло пересечь промежуток $d$ до слушателя. Отсюда
$t_2=t_1+d/v=4+50/70\approx 4,71\mathrm{с}$
это промежуток $d/v$, отмеченный на рисунке 3. Вы слышите, как сирена проезжает, через мгновение после того, как она проехала.

Как быстро падает тон? Слышимая частота зависит от $t$ только через момент испускания, поэтому по правилу дифференцирования сложной функции $d{f}^{\prime }/dt=(d{f}^{\prime }/d{t}_e)/(dt/d{t}_e)$, и оба множителя простые.

Для момента прихода $t=t_e+r/v$, где $r$ — расстояние от сирены до $C$ в момент испускания. Это расстояние сокращается с радиальной скоростью, $dr/d{t}_e=-v_s\cos \theta$, поэтому $dt/d{t}_e=1-(v_s/v)\cos \theta$.

Для угла обозначим через $X=v_s(t_1-t_e)$ расстояние, которое сирене ещё осталось проехать до точки напротив $C$. Тогда $\cos \theta =X/\sqrt{X^2+d^2}$, и производная этого выражения по $X$ равна $d^2/(X^2+d^2{)}^{3/2}={\sin }^3\theta /d$. Поскольку $dX/d{t}_e=-v_s$, получаем $d(\cos \theta )/d{t}_e=-(v_s/d){\sin }^3\theta$.

Дифференцируя $f^{\prime }=f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$, получаем $d{f}^{\prime }/d{t}_e=f(v_s/v)(d\cos \theta /d{t}_e)/(1-(v_s/v)\cos \theta {)}^2$. Деление на $dt/d{t}_e$ добавляет в знаменатель ещё одну степень:
$\frac{d{f}^{\prime }}{dt}=-f\frac{v_s}{v}\frac{v_s}{d}\frac{{\sin }^3\theta }{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^3}$

В точке пересечения $t_2$, где $\theta =90^{\circ }$, это равно $-f(v_s/v)(v_s/d)=-400\cdot 0,5\cdot 35/50=-140\mathrm{Гц}/\mathrm{с}$. Касательная, проведённая в момент $t_1$ и подписанная $d{f}^{\prime }/dt$, ещё круче: это самый крутой наклон на всей кривой, как показывает задача ниже. Формула говорит и о том, как скольжение тона зависит от расстояния. Наклон пропорционален $1/d$, так что вдвое дальше от дороги то же падение занимает вдвое больше времени; на самой дороге, при $d\to 0$, скольжение превращается во внезапный скачок с 800 до 267 Гц.

Задача: момент проезда сирены

Самый яркий момент — когда сирена оказывается напротив вас. Какую частоту вы слышите в этот миг и падает ли тон тогда быстрее всего? Рисунок 4 изображает геометрию этого момента.

Обозначения

$C$	Слушатель у дороги.
$S_e$	Положение сирены в момент испускания гребня, который сейчас достигает $C$.
$S$	Нынешнее положение сирены, напротив $C$.
$d$	Расстояние от дороги до $C$.	$\mathrm{м}$
$\tau$	Время, в течение которого гребень бежит с момента выхода из $S_e$.	$\mathrm{с}$
$v\tau$	Путь, пройденный гребнем от $S_e$ до $C$.	$\mathrm{м}$
$v_s\tau$	Путь, пройденный сиреной за это время, от $S_e$ до $S$.	$\mathrm{м}$
$\theta$	Угол испускания: между скоростью сирены и прямой от $S_e$ к $C$.	$\mathrm{рад}$

В момент $t_1=4\mathrm{с}$ сирена находится в точке $S$, напротив $C$. Гребень, достигающий $C$ в этот миг (штриховая дуга), вышел из точки $S_e$ на время $\tau$ раньше. За это время гребень прошёл путь $v\tau$ от $S_e$ до $C$ — гипотенузу треугольника, а сирена проехала по дороге $v_s\tau$ от $S_e$ до $S$. Третья сторона — расстояние $d$ от дороги до $C$, перпендикулярное дороге, а угол при $S_e$ — это угол испускания $\theta$.

Шаг 1: частота. В этом прямоугольном треугольнике косинус $\theta$ равен отношению катета вдоль дороги к гипотенузе:
$\cos \theta =\frac{v_s\tau }{v\tau }=\frac{v_s}{v}$
Время $\tau$ сокращается, поэтому это верно при любом расстоянии $C$ от дороги. Формула Доплера даёт тогда
$f^{\prime }=\frac{f}{1-v_s^2/v^2}$
что при $v_s/v=0,5$ составляет $400/0,75\approx 533\mathrm{Гц}$ — значение, отмеченное в момент $t_1$ на рисунке 3, от гребня, испущенного при $\theta =60^{\circ }$. Теорема Пифагора говорит, как давно он вышел: $(v\tau {)}^2=(v_s\tau {)}^2+d^2$, поэтому $\tau =d/\sqrt{v^2-v_s^2}=50/\sqrt{70^2-35^2}\approx 0,82\mathrm{с}$.

Шаг 2: самый крутой наклон. В формуле наклона меняется только угол, и он входит в неё как куб отношения $\sin \theta /(1-(v_s/v)\cos \theta )$, поэтому наклон наибольший там, где это отношение максимально. Производная этого отношения по $\theta$ равна
$\frac{\cos \theta -v_s/v}{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^2}$
и она обращается в нуль при $\cos \theta =v_s/v$ — при том самом угле, что и в шаге 1. Значит, тон падает быстрее всего именно в тот миг, когда сирена оказывается напротив вас. Там $\sin \theta =\sqrt{1-v_s^2/v^2}$, а отношение равно $1/\sqrt{0,75}$ против 1 при $\theta =90^{\circ }$, так что наклон составляет $140/0,75^{3/2}\approx 216\mathrm{Гц}/\mathrm{с}$ — это касательная на рисунке 3.

Шаг 3: настоящая скорая помощь. Для скорой из примера среднего уровня (700 Гц, 25 м/с, $v=343\mathrm{м}/\mathrm{с}$) $v_s/v\approx 0,073$. В момент проезда вы слышите $700/(1-0,073^2)\approx 703,7\mathrm{Гц}$ — чуть выше её собственного тона. Её тон падает примерно с 755 Гц при приближении примерно до 652 Гц при удалении — на 103 Гц. Если стоять в 10 м от её пути, самый крутой наклон составляет около $700\cdot 0,073\cdot 25/10\approx 128\mathrm{Гц}/\mathrm{с}$ (множитель $(1-0,073^2{)}^{3/2}$ отличается от 1 меньше чем на 1 %), поэтому падение занимает примерно 0,8 с. Это порядка $2d/v_s$ — времени, за которое скорая проезжает удвоенное расстояние от вас до её пути и за которое прямая на вас поворачивается, проходя большую часть возможных направлений.

Быстрее собственных волн: конус Маха

Что происходит, когда источник догоняет собственный звук? При $v_s\to v$ гребни, испущенные вперёд, нагромождаются в единый фронт. Как только $v_s>v$, источник обгоняет каждый испущенный им гребень.

Представим гребни в один момент времени. Гребень, испущенный время $\tau$ назад, — это сфера радиуса $v\tau$ с центром там, где тогда был источник, на расстоянии $v_s\tau$ позади его нынешнего положения. Более старые гребни — сферы большего радиуса с центрами дальше позади, и все они касаются одного конуса с вершиной в источнике. Прямая из вершины, касающаяся одной из сфер, перпендикулярна радиусу в точке касания; получается прямоугольный треугольник с гипотенузой $v_s\tau$ и катетом $v\tau$, лежащим против вершины. Поэтому полуугол $\alpha$ конуса удовлетворяет условию $\sin \alpha =v\tau /(v_s\tau )$:
$\sin \alpha =\frac{v}{v_s}\text{(конус Маха)}$

Отношение $v_s/v$ называют числом Маха: при числе Маха 2 угол $\alpha =30^{\circ }$, при 1,5 — около 42°. Чем быстрее источник, тем острее конус.

Конус скрыт и в формуле Доплера. Её знаменатель $1-(v_s/v)\cos \theta$ обращается в нуль при $\cos \theta =v/v_s=\sin \alpha$, то есть в направлении, перпендикулярном поверхности конуса: все гребни, посланные в эту сторону, приходят одновременно. Это скопление и есть ударная волна; она проносится по земле звуковым ударом всё время, пока самолёт летит со сверхзвуковой скоростью, а не только в момент, когда он достигает скорости звука. Для направлений, более близких к направлению прямо вперёд, знаменатель становится отрицательным, а это значит, что гребни, посланные позже, приходят раньше. Поэтому после прохождения конуса слушатель слышит сразу два потока звука, один из которых идёт задом наперёд.

Любое тело, движущееся быстрее волн своей среды, тянет за собой такой конус, издаёт ли оно звук само или нет: пуля; катер на мелкой воде, где все длинные волны бегут со скоростью $\sqrt{gh}$ при глубине $h$; или заряженная частица, летящая в воде быстрее, чем распространяется в ней свет, $c/n\approx 0,75c$, — её черенковское излучение заставляет воду в бассейнах реакторов светиться синим.

Свет, эхо и радар

Свету не нужна среда, поэтому нет воздуха, который выделял бы систему отсчёта: значение может иметь только относительная скорость источника и наблюдателя, и оба способа подсчёта обязаны дать один ответ. Они его дают, если учесть замедление времени: часы, движущиеся со скоростью $\beta c$, с точки зрения системы, через которую они движутся, идут медленнее — частота их хода умножается на $\sqrt{1-{\beta }^2}$.

Сначала посчитаем в системе наблюдателя, к которому источник приближается при $\beta =u/c$. Его замедленные часы испускают с частотой $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, а сверху добавляется множитель движущегося источника $1/(1-\beta )$: получается $f\sqrt{1-{\beta }^2}/(1-\beta )$. Теперь посчитаем в системе источника, где приближается наблюдатель. Он встречает $f(1+\beta )$ гребней за секунду времени источника, но его собственные часы идут медленнее, поэтому за секунду своего времени он насчитывает $f(1+\beta )/\sqrt{1-{\beta }^2}$. Так как $1-{\beta }^2=(1-\beta )(1+\beta )$, оба выражения сводятся к
$f^{\prime }=f\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$

За этим совпадением стоит правило, найденное для звука. Фаза $\omega t-kx$ считает гребни, а у всех наблюдателей счёт даёт одно и то же число, поэтому $\omega$ и $k$ при переходе между системами отсчёта меняются вместе, так же как $t$ и $x$: для звука — по преобразованию Галилея, для света — по преобразованию Лоренца. Одно лишь замедление времени вызывает и сдвиг, которому у звука нет аналога, — поперечный эффект Доплера: свет, испущенный, когда источник находится напротив вас, приходит с частотой $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, ниже $f$. У источника, удаляющегося при $\beta =0,1$, $f^{\prime }/f=\sqrt{0,9/1,1}\approx 0,905$, поэтому его красная линия водорода 656,3 нм видна на 725,6 нм.

Эхо от движущейся цели сдвигается дважды. Сначала цель выступает как движущийся наблюдатель и принимает $f(v+u)/v$; затем она отправляет этот звук обратно как движущийся источник, что умножает частоту на $v/(v-u)$. Для цели, приближающейся со скоростью $u$,
$f^{\prime \prime }=f\frac{v+u}{v-u}\approx f\left(1+\frac{2u}{v}\right)$
где приближение справедливо при $u$, много меньшем $v$. Тот же двойной сдвиг возникает, когда сам источник едет на неподвижную стену: если бы машина с сиреной из анимации ехала со скоростью 170 м/с прямо на стену, её водитель услышал бы эхо на частоте $400\cdot 510/170=1200\mathrm{Гц}$.

Радар и медицинская ультразвуковая диагностика используют это приближение. Эхо смешивают с исходящим сигналом и измеряют биения между ними, $\Delta f=f^{\prime \prime }-f\approx 2fu/v$, откуда получается скорость цели. Дорожный радар на 24,125 ГГц видит машину, едущую со скоростью 30 м/с, по сдвигу $\Delta f=2fu/c\approx 4,8\mathrm{кГц}$, а ультразвуковой датчик на 5 МГц видит кровь, текущую со скоростью 0,5 м/с (скорость звука в тканях 1540 м/с), по сдвигу около 3,2 кГц.

Границы применимости

Формулы предполагают однородную неподвижную среду с единственной скоростью волны. В воздухе $v$ растёт с температурой и меняется с ветром, а неоднородности того или другого отклоняют звук от прямой линии визирования. Кроме того, предполагается, что скорость и направление движения источника мало меняются за один период — это 2,5 мс для сирены 400 Гц.

Формулы к тому же линейны: они рассматривают звук как малые колебания давления — около 0,02 Па на фоне атмосферного давления 100 000 Па для речи, — которые складываются, не меняя скорость звука. Вблизи $v_s=v$ это нарушается. Нагромождённые гребни образуют сильное сжатие, которое распространяется быстрее обычного звука, и бесконечная частота $f^{\prime }$ из формулы превращается в ударный фронт, изогнутый у носа и выпрямляющийся в конус Маха дальше от него. Звуковой удар несёт избыточное давление в десятки паскалей и обычно слышен как двойной хлопок — от носа и от хвоста. Дисперсия, то есть зависимость скорости волны от длины волны, тоже меняет конус: на глубокой воде, где длинные волны обгоняют короткие, кильватерный след корабля сохраняет полуугол около 19,5° в широком диапазоне скоростей.

Для звука релятивистские поправки имеют порядок $(v_s/c{)}^2$ — около $3\times 10^{-13}$ даже при 170 м/с, — так что формулы Галилея на практике точны, а асимметрия между источником и наблюдателем порядка $(v_s/v{)}^2$ вполне реальна. Для света приближения первого порядка $\Delta f/f\approx 2u/c$ с избытком хватает для радара, где $\beta \approx 10^{-7}$, но при $\beta =0,5$ точный множитель для распространения в одну сторону равен $\sqrt{3}\approx 1,73$ — ни 2 по формуле для источника, ни 1,5 по формуле для наблюдателя.

Что дальше

«Специальная теория относительности» превращает загадку источника и наблюдателя в преобразование Лоренца для частоты и длины волны, а «Электромагнитные волны» описывают радиоволны и свет, с которыми работают радар и астрономия. Биения между эхом и сигналом относятся к уроку «Интерференция и суперпозиция волн», громкость приближающейся сирены — к уроку «Громкость, интенсивность звука и децибелы». Тепловое движение атомов уширяет спектральные линии на несколько миллионных долей, связывая уроки «Молекулярно-кинетическая теория газов» и «Модели атома: атом Бора», а «Гравитация как искривление пространства-времени» описывает другой сдвиг — хода часов в поле тяготения, который не следует путать с эффектом Доплера.