Fundamentos das ondas

Iniciante

Imagine uma onda em um estádio: cada torcedor apenas se levanta e volta a sentar, mas uma faixa de braços erguidos corre por toda a arquibancada. É isso que é uma onda: uma perturbação que se desloca de um lugar a outro e transporta energia, enquanto o material em si permanece no lugar. Um barco no lago sobe e desce quando as ondulações passam, mas elas não o levam até a margem.

Na animação, uma mão sacode a ponta de uma corda. Os pontos dourados acompanham as cristas, os pontos mais altos, avançando constantemente para a direita, enquanto a bolinha vermelha apenas sobe e desce sobre a linha tracejada.

Há dois tipos de onda. Na corda, cada parte se move perpendicularmente à direção de propagação: uma onda transversal. Na mola slinky embaixo, as espiras se movem para frente e para trás nessa direção, ora se apertando, ora se afastando: uma onda longitudinal. O som no ar é desse tipo.

Quatro palavras descrevem uma onda regular. O comprimento de onda é a distância de uma crista até a próxima; a amplitude é a altura que uma crista atinge acima da linha de repouso; a frequência é quantas cristas passam por um ponto a cada segundo, em hertz (Hz); a velocidade é a distância que uma crista percorre em um segundo. Se 2 cristas passam por você a cada segundo e estão separadas por 3 metros, a onda percorre $2\times 3=6$ metros a cada segundo: velocidade = frequência × comprimento de onda.

A velocidade é definida pelo meio, não pela mão. Se você sacudir mais rápido, saem mais cristas a cada segundo, e elas precisam ficar mais juntas.

Teste você mesmo: você sacode a corda três vezes mais rápido. O que acontece com o comprimento de onda? (Ele fica três vezes menor; a velocidade não muda.)

Intermediário

O que se move e o que medimos

Uma onda é uma perturbação que se propaga por um meio e transporta energia, enquanto cada parte do meio apenas oscila em torno de sua posição de repouso. Em uma corda sacudida, cada pedaço copia seu vizinho um instante depois: o movimento é passado adiante, a corda permanece. Na animação, as cristas correm para a direita, mas a bolinha vermelha apenas sobe e desce ao longo da linha tracejada.

Na corda, cada pedaço se move em ângulo reto com a direção de propagação: uma onda transversal. Na mola slinky embaixo, as espiras se movem para frente e para trás nessa direção, formando compressões e rarefações: uma onda longitudinal. O som no ar é longitudinal, porque um gás resiste a ser comprimido, mas não ao cisalhamento lateral. A luz também é transversal, com campos elétrico e magnético oscilando no lugar da matéria.

O deslocamento $y$ é a distância de um ponto à sua posição de repouso (a linha tracejada), em metros; a amplitude $A$ é o maior deslocamento, da linha de repouso até a crista. O comprimento de onda $\lambda$ é o comprimento de um ciclo no espaço, de crista a crista. O período $T$ é o tempo de uma oscilação completa de um ponto, e a frequência $f$ é o número de oscilações por segundo, em hertz (Hz).

Um comprimento de onda por período

Observe uma única crista. Enquanto o ponto embaixo dela faz uma oscilação completa, a crista seguinte chega ao lugar onde estava a primeira: em um período $T$, o padrão avança exatamente um comprimento de onda, de modo que sua velocidade é $\lambda /T$. Como a frequência é o número de períodos por segundo, as duas relações-chave desta lição são:

• $f=\frac{1}{T}$
• $v=f\lambda$

Elas valem para qualquer onda periódica, na corda, no ar ou para a luz, e quaisquer duas grandezas entre $v$, $f$ e $\lambda$ determinam a terceira. A relação não diz, porém, qual delas é fixa: isso cabe ao meio e à fonte.

O meio define a velocidade

A rapidez com que uma perturbação é transmitida depende apenas do meio: de quão fortemente ele puxa de volta e de quanta massa precisa ser posta em movimento. Para uma corda ou um fio com tração $F$, em newtons, e massa por metro $\mu$, em quilogramas por metro,
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Quanto maior a tração, mais rápida é a onda; uma corda mais pesada a torna mais lenta, e quadruplicar a tração dobra a velocidade. O som viaja a cerca de 343 m/s no ar a 20 °C, 1480 m/s na água e 6000 m/s no aço; a luz, $3,00\times 10^{8}m/s$ no vácuo.

A fonte define a frequência: a mão ou o alto-falante decide quantos ciclos saem a cada segundo, e o comprimento de onda segue, $\lambda =v/f$. Em um novo meio, cada ponto é impulsionado pelo anterior na mesma taxa, então $f$ permanece a mesma enquanto $v$ e $\lambda$ mudam juntos. A energia transportada cresce com o quadrado da amplitude: dobrar $A$ transporta quatro vezes mais energia a cada segundo.

Exemplo resolvido: a corda da animação

A bolinha vermelha faz uma oscilação a cada 2 s, e a seta dupla roxa cobre um comprimento de onda, 2 m. Portanto
$f=1/T=1/2=0,5\mathrm{Hz}$
$v=f\lambda =0,5\cdot 2=1m/s$
Esses são os valores no topo da animação. A seta roxa avança 2 m junto com as cristas a cada período e então volta para o ponto em que a figura parece igual.

A bolinha está a 3 m da mão, então o movimento da mão chega até ela $3/1=3\mathrm{s}$ depois, um período e meio: a bolinha está meio ciclo fora de fase. Quando a mão está no ponto mais baixo, $-0,3\mathrm{m}$, a bolinha está no ponto mais alto, $+0,3\mathrm{m}$; o valor em vermelho oscila entre esses dois valores, a amplitude marcada pela seta dourada $A$. Em cada período, a bolinha percorre $4A=1,2\mathrm{m}$ para cima e para baixo, uma média de 0,6 m/s através da corda, enquanto cada crista se move 2 m ao longo dela. As compressões da mola slinky também estão separadas por 2 m.

Exemplo resolvido: duas cordas amarradas

Uma corda leve de 0,040 kg por metro está amarrada a uma corda pesada de 0,160 kg por metro, cada uma com 6 m de comprimento, sob uma tração de 36 N. Você sacode a corda leve 5 vezes por segundo. Em cada corda,
$v_1=\sqrt{36/0,040}=\sqrt{900}=30m/s,{\lambda }_1=30/5=6\mathrm{m}$
$v_2=\sqrt{36/0,160}=\sqrt{225}=15m/s,{\lambda }_2=15/5=3\mathrm{m}$
A frequência é de 5 Hz nas duas, porque a junção sacode a corda pesada com a mesma frequência com que é sacudida. Quatro vezes mais massa por metro reduz a velocidade à metade e, com ela, o comprimento de onda.

Um pulso atravessa a corda leve em $6/30=0,2\mathrm{s}$ e a pesada em $6/15=0,4\mathrm{s}$, 0,6 s no total. Parte de cada onda também é refletida de volta pela junção: é aí que começa a reflexão.

Instantâneos e históricos

Um instantâneo representa $y$ em função da posição $x$ em um dado instante, como a própria corda, e mostra o comprimento de onda e a amplitude. Um histórico representa $y$ em função do tempo $t$ para um ponto, como o gráfico da bolinha vermelha na visão avançada, e mostra o período. Ambos são senoides de mesma altura, uma se repetindo a cada 2 m e a outra a cada 2 s; a razão entre elas dá a velocidade de 1 m/s.

Uma onda longitudinal é desenhada da mesma forma, com o deslocamento ao longo da mola slinky representado para cima, de modo que a curva parece transversal. Leia com cuidado: uma compressão não está onde o deslocamento é maior, mas em uma espira exatamente na posição de repouso, com seus dois vizinhos empurrados em sua direção. Meio comprimento de onda adiante, eles são puxados para longe: uma rarefação.

Erros comuns

• Sacudir mais rápido não torna a onda mais veloz: na corda leve de 36 N, 10 sacudidas por segundo ainda se propagam a 30 m/s; apenas o comprimento de onda diminui, de 6 m para 3 m.
• A velocidade da onda não é a velocidade do meio: a bolinha vermelha tem velocidade média de 0,6 m/s, e mais se a amplitude crescer, enquanto as cristas se propagam a uma velocidade constante de 1 m/s.
• A amplitude é medida a partir da linha de repouso: a corda mede 0,6 m de seu ponto mais baixo ao mais alto, mas $A=0,3\mathrm{m}$.
• De crista a vale são meio comprimento de onda, e de cima a baixo, meio período: um ponto que leva 0,25 s para ir do topo à base tem $T=0,5\mathrm{s}$ e $f=2\mathrm{Hz}$.

Onde você encontra isso

O som leva cerca de 3 s por quilômetro, então o intervalo entre o relâmpago e o trovão indica a distância de uma tempestade. O som audível, de 20 Hz a 20 kHz, tem comprimentos de onda de 17 m até 1,7 cm; o ultrassom médico, a 5 MHz, com cerca de 1540 m/s nos tecidos, tem ondas de 0,3 mm, finas o bastante para mostrar um coração batendo. Os terremotos enviam os dois tipos de onda pelo solo, e as transversais não conseguem atravessar o núcleo externo da Terra, o que mostra que ele é líquido.

A seguir vêm Som e efeito Doppler, Ondas estacionárias, Interferência e superposição, Reflexão e refração e Ondas eletromagnéticas.

Avançado

Uma forma que desliza

Uma onda é uma perturbação que se propaga enquanto o meio permanece no lugar: cada ponto da corda apenas sobe e desce, mas uma forma percorre a corda. Para trabalhar com ondas, precisamos de uma função que dê o deslocamento de cada ponto em cada instante, e precisamos saber que forma essa função assume quando uma forma se desloca sem mudar.

Legenda

$y$	Deslocamento da corda em relação à sua linha de repouso.	$\mathrm{m}$
$x$	Posição ao longo da corda; o ponto no pulso tracejado está em $x$.	$\mathrm{m}$
$t$	Tempo: o pulso em linha contínua é a corda em $t=0$, o tracejado é a corda um tempo $t$ depois.	$\mathrm{s}$
$v$	Velocidade da onda, em direção a $+x$.	$m/s$
$vt$	Distância que a forma percorreu no tempo $t$.	$\mathrm{m}$
$x-vt$	Posição do ponto no pulso em linha contínua, cuja altura agora é encontrada em $x$.	$\mathrm{m}$

Escreva $y(x,t)$ para o deslocamento lateral da corda na posição $x$ e no instante $t$. A Figura 1 acompanha um pulso assimétrico, mais íngreme à esquerda do que à direita, para que você veja a forma inteira sendo carregada sem mudança. A curva contínua é a corda em $t=0$; chame sua forma de $y=f(x)$, em que, por enquanto, $f$ denota uma forma, não uma frequência. A curva tracejada é a mesma corda um tempo $t$ depois. Nesse tempo, a forma se deslocou no sentido de $+x$ com velocidade $v$, logo avançou a distância $vt$, marcada sob o eixo.

Agora observe os dois pontos. O da direita está na curva tracejada, na posição $x$. O da esquerda está na curva contínua, a uma distância $vt$ mais atrás, em $x-vt$. A linha horizontal tracejada que une os dois mostra que estão na mesma altura: a forma em movimento simplesmente levou essa altura para frente, por $vt$. O mesmo vale para todos os pontos, de modo que a altura encontrada em $x$ no instante $t$ é a que havia em $x-vt$ no instante zero:
$y(x,t)=f(x-vt)$

Tudo depende da única combinação $x-vt$. Mantendo-a fixa, $x-vt=x_1$, selecionamos uma característica da forma, por exemplo um pico, e essa característica está em $x=x_1+vt$: ela se move para frente com velocidade $v$, como deve ser. Pelo mesmo argumento, uma forma que se move no sentido de $-x$ tem a forma $g(x+vt)$.

A forma mais importante é a senoide. Dê a ela um comprimento de onda $\lambda$, a distância entre cristas vizinhas, e um período $T$, o tempo que um ponto leva para completar um ciclo. O argumento do seno, chamado fase, deve então crescer $2\pi$ quando $x$ aumenta de $\lambda$, e também quando $t$ aumenta de $T$. Ambas as exigências são atendidas por
$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)$
$k=\frac{2\pi }{\lambda }$
$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$
em que $A$ é a amplitude e $f=1/T$ agora é a frequência. O número de onda $k$ conta radianos de fase por metro de corda, e a frequência angular $\omega$ conta radianos de fase por segundo. Para achar a velocidade, tire $k$ da fase: $kx-\omega t=k(x-(\omega /k)t)$. O seno depende portanto de $x$ e $t$ apenas por meio de $x-vt$, com
$v=\frac{\omega }{k}=f\lambda$

Na animação, $k=\pi rad/m$ e $\omega =\pi rad/s$, de modo que o comprimento de onda é 2 m, o período 2 s e a velocidade 1 m/s. Com $x$ medido a partir da mão, a corda é $y=0,3\sin (\pi x-\pi t)$, em metros e segundos. Somar uma constante de fase, $A\sin (kx-\omega t+\phi )$, apenas desloca o ponto do ciclo em que a onda começa.

A lei de Newton para um pedaço de corda

Até aqui só descrevemos uma forma que se propaga. Agora perguntamos por que uma perturbação em uma corda se propaga e o que define sua velocidade. A resposta vem da segunda lei de Newton aplicada a um pequeno pedaço de corda.

Legenda

$x$	Posição da extremidade esquerda do trecho.	$\mathrm{m}$
$x+dx$	Posição da extremidade direita do trecho.	$\mathrm{m}$
$dx$	Comprimento do trecho ao longo de $x$.	$\mathrm{m}$
$\mu dx$	Massa do trecho, com $\mu$ a massa por unidade de comprimento.	$\mathrm{kg}$
$F$	Tração: o puxão do restante da corda sobre o trecho, ao longo da corda, em cada extremidade.	$\mathrm{N}$
${\theta }_1$	Ângulo entre o puxão na extremidade esquerda e a horizontal.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ângulo entre o puxão na extremidade direita e a horizontal.	$\mathrm{rad}$
$F_y$	Força lateral resultante sobre o trecho: a soma das partes laterais dos dois puxões.	$\mathrm{N}$

A Figura 2 mostra um trecho curto de corda entre $x$ e $x+dx$, em um lugar onde a corda está dobrada. Se $\mu$ é a massa por unidade de comprimento, o trecho tem massa $\mu dx$. O restante da corda puxa cada extremidade com a tração $F$, sempre ao longo da corda, nos ângulos ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$ com a horizontal.

Decomponha cada puxão em uma parte horizontal e uma parte lateral; as linhas tracejadas em cada extremidade mostram a decomposição. Para ângulos pequenos, as duas partes horizontais são muito próximas de $F$ e apontam em sentidos opostos, logo se cancelam. A parte lateral de cada puxão é $F\sin \theta$. Para um ângulo pequeno, $\sin \theta \approx \tan \theta$, e $\tan \theta$ é justamente a inclinação da corda, $\partial y/\partial x$. Assim, a parte lateral em cada extremidade é $F$ vezes a inclinação da corda naquela extremidade.

Na figura, a inclinação é negativa na extremidade esquerda e positiva na direita, de modo que as duas partes laterais apontam para cima e se somam. Em geral, a extremidade esquerda é puxada para $-x$ e a direita para $+x$, de modo que suas partes laterais entram com sinais opostos: a força lateral resultante é $F$ vezes a inclinação em $x+dx$ menos $F$ vezes a inclinação em $x$. Essa diferença de inclinações ao longo de um comprimento $dx$ é $({\partial }^{2}y/\partial x^2)dx$, logo
$F_y=F\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}dx$

Um trecho reto, portanto, não sente força resultante, e um trecho curvo é puxado para o interior da curva, como indica a seta $F_y$. A segunda lei de Newton para o trecho diz $\mu dx{\partial }^{2}y/\partial t^2=F_y$, e dividindo por $\mu dx$ obtemos
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{F}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Esta é a equação de onda. Em palavras: cada pedaço da corda acelera em proporção à curvatura da corda naquele ponto. A forma deslizante da primeira seção, $y=f(x-vt)$, com $f$ novamente denotando uma forma, obedece a essa equação? Cada derivada em relação a $t$ gera um fator $-v$ pela regra da cadeia, e cada derivada em relação a $x$ um fator 1, logo ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{f}^{\prime \prime }$ e ${\partial }^{2}y/\partial x^2=f^{\prime \prime }$, em que $f^{\prime \prime }$ é a segunda derivada da forma. A equação fica então $v^2{f}^{\prime \prime }=(F/\mu )f^{\prime \prime }$. Ela vale para qualquer forma, desde que
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

A tração fornece a força restauradora e a massa por unidade de comprimento fornece a inércia, exatamente como a rigidez e a massa fazem em um oscilador com mola: uma corda mais tensa transmite ondas mais rápido, uma mais pesada, mais devagar. Duas aproximações estão escondidas na dedução. As partes horizontais dos puxões, $F\cos \theta \approx F$, foram tomadas como canceladas, de modo que o trecho se move apenas lateralmente; e a tração foi tomada como igual em toda parte. Ambas exigem inclinações pequenas, $|\partial y/\partial x|\ll 1$.

Som: a mesma lei em um gás

O som também é mecânica. No ar, a força restauradora vem da pressão em vez da tração, e o gás se move na direção de propagação em vez de transversalmente. Esta seção deriva a equação de onda para um gás e, a partir dela, a velocidade do som.

Legenda

$x$	Posição de repouso da face esquerda da camada.	$\mathrm{m}$
$x+dx$	Posição de repouso da face direita da camada.	$\mathrm{m}$
$dx$	Espessura da camada em repouso.	$\mathrm{m}$
$s$	Deslocamento da face esquerda em relação à sua posição de repouso, ao longo de $x$.	$\mathrm{m}$
$s+ds$	Deslocamento da face direita; $ds$ é quanto ela se moveu a mais que a face esquerda.	$\mathrm{m}$
$dx+ds$	Espessura da camada depois do deslocamento.	$\mathrm{m}$

Em uma onda sonora, cada camada fina de gás se move para frente e para trás ao longo de $x$, como as espiras da mola slinky na animação. Seja $s(x,t)$ o deslocamento ao longo de $x$ da camada que repousa em $x$. A Figura 3 acompanha uma camada entre $x$ e $x+dx$ enquanto o gás está em repouso (linha de cima). Na linha de baixo, uma onda sonora deslocou o gás. A face esquerda da camada se moveu $s$ e a direita, $s+ds$, quantidades diferentes, de modo que a camada agora tem espessura $dx+ds$. Na figura, $ds$ é negativo: a face direita voltou, a camada está comprimida e o gás nela está mais denso.

Três ligações levam dessa imagem a uma equação de onda.

Primeiro, a massa se conserva. As duas faces se deslocaram em quantidades que diferem de $ds=(\partial s/\partial x)dx$, logo a mesma massa agora ocupa uma espessura $(1+\partial s/\partial x)dx$. A densidade é inversamente proporcional à espessura, então, para um $\partial s/\partial x$ pequeno, ela varia $\delta \rho \approx -{\rho }_0\partial s/\partial x$, em que ${\rho }_0$ é a densidade em repouso.

Segundo, a pressão depende da densidade. Para uma variação pequena, $\delta P=(dP/d\rho {)}_0\delta \rho$, em que o índice 0 indica que a derivada é tomada no gás em repouso.

Terceiro, a lei de Newton para a camada. Por unidade de área, ela tem massa ${\rho }_{0}dx$. A pressão na face esquerda a empurra para $+x$ e a pressão na face direita a empurra para $-x$, de modo que a força resultante por unidade de área é a queda de pressão através dela, $-(\partial \delta P/\partial x)dx$. Dividindo por $dx$, ${\rho }_0{\partial }^{2}s/\partial t^2=-\partial \delta P/\partial x$: a camada é empurrada para longe do lado de maior pressão.

Encadeando as três, substitua $\delta \rho$ em $\delta P$ e $\delta P$ na lei de Newton, e divida por ${\rho }_0$:
$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2},c^2={\left(\frac{dP}{d\rho }\right)}_0$

Esta é a mesma equação de onda da corda, e $c$ é a velocidade do som. Qual derivada $dP/d\rho$ é a correta depende do que a temperatura faz enquanto o gás é comprimido. Newton supôs que ela permanece constante, de modo que $P\propto \rho$; isso dá $c=\sqrt{P_0/{\rho }_0}\approx 290m/s$ para o ar a 20 °C, cerca de 15 % abaixo dos 343 m/s medidos. Laplace encontrou a falha: o calor não tem tempo de fluir das compressões, que se aquecem, para as rarefações, que se resfriam. A 1 kHz, o calor se difunde cerca de 0,1 mm em meio período, enquanto uma compressão e a rarefação seguinte estão separadas por 17 cm. Cada camada é, portanto, comprimida sem trocar calor, um processo adiabático, no qual $P\propto {\rho }^{\gamma }$ com $\gamma =1,40$ para o ar. Então $dP/d\rho =\gamma P/\rho$, e
$c=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma k_{B}T}{m}}$

A segunda forma usa a lei dos gases ideais, $P_0={\rho }_0{k}_{B}T/m$. Aqui $T$ é a temperatura absoluta, não o período, $m$ é a massa de uma molécula e $k_B$ é a constante de Boltzmann. A pressão desaparece, porque, a temperatura fixa, uma pressão maior significa uma densidade proporcionalmente maior. A velocidade do som depende apenas do gás e de sua temperatura: 331 m/s a 0 °C e 343 m/s a 20 °C. Compare com as próprias moléculas: sua velocidade quadrática média, $\sqrt{3k_{B}T/m}$ (veja Teoria cinética dos gases), é de 502 m/s a 20 °C, de modo que $c$ é $\sqrt{\gamma /3}\approx 0,68$ dela. Um sinal de pressão, transmitido de molécula em molécula por colisões, viaja um pouco mais devagar do que as moléculas que o carregam.

Instantâneo, histórico e gráfico

Uma onda depende de duas variáveis, por isso pode ser representada de duas maneiras: a corda inteira em um instante, ou um ponto da corda ao longo do tempo. Esta seção mostra que, para uma onda que se propaga, os dois gráficos são a mesma curva e o que isso diz sobre o movimento de cada ponto.

Legenda

$y$	Deslocamento da corda em relação à sua linha de repouso.	$\mathrm{m}$
$x$	Posição ao longo da corda, medida a partir da mão.	$\mathrm{m}$
$t$	Tempo.	$\mathrm{s}$
$x_0$	Posição da bolinha vermelha.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidade da onda, em direção a $+x$.	$m/s$
$\partial y/\partial x$	Inclinação da corda na bolinha no instantâneo: a tangente superior.
$\partial y/\partial t$	Velocidade da bolinha: a inclinação de seu histórico, a tangente inferior.	$m/s$

Pense em $y(x,t)$ como uma superfície sobre o plano $(x,t)$; a Figura 4 a corta de duas maneiras. A curva superior é um instantâneo, um corte em um instante: a corda em $t=0$, $y=0,3\sin (\pi x)$. A curva inferior é um histórico, um corte em um lugar: a bolinha vermelha em $x_0=3\mathrm{m}$, o gráfico da visão avançada. Como $\sin (3\pi -a)=\sin a$, a bolinha se move segundo $y=0,3\sin (3\pi -\pi t)=0,3\sin (\pi t)$: uma senoide de período 2 s que começa em zero e sobe. A mão em $x=0$ se move como $-0,3\sin (\pi t)$, a mesma curva de cabeça para baixo. A linha tracejada une as duas aparições da bolinha em $t=0$.

Por que as duas fatias estão relacionadas? Como $y$ depende de $x$ e $t$ apenas por meio de $x-vt$, a regra da cadeia dá $\partial y/\partial x=f^{\prime }$ e $\partial y/\partial t=-v{f}^{\prime }$. Logo
$\frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}$

A velocidade de um ponto da corda é igual a menos a velocidade da onda vezes a inclinação local. Isso faz sentido: onde a corda desce em direção a $+x$, a parte mais alta que vem de trás está chegando, então o ponto sobe. Na Figura 4, os eixos $x$ e $t$ têm a mesma escala e $v=1m/s$, de modo que a curva inferior é a superior invertida da esquerda para a direita, um espelhamento em torno da linha tracejada. Observe as duas tangentes na bolinha: o instantâneo desce, $\partial y/\partial x=-kA$, e o histórico sobe, $\partial y/\partial t=+\omega A$.

Onde a corda cruza a linha de repouso, como na bolinha, sua inclinação é máxima em módulo, $kA$, e assim também é a velocidade do ponto, $vkA=\omega A$; em uma crista, ambas são nulas. Na animação, $kA=0,3\pi \approx 0,94$, então a bolinha atinge 0,94 m/s, quase a velocidade da onda, e seu gráfico começa com essa inclinação.

Aplicando a regra duas vezes, recuperamos a equação de onda, ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{\partial }^{2}y/\partial x^2$: a aceleração de um ponto é $v^2$ vezes a curvatura da corda ali. Uma crista, o lugar mais curvado, acelera para baixo com mais força, com ${\omega }^{2}A=0,3{\pi }^2\approx 2,96m/{\mathrm{s}}^2$. Para uma senoide, ${\partial }^{2}y/\partial x^2=-k^{2}y$, de modo que cada ponto obedece a ${\partial }^{2}y/\partial t^2=-{\omega }^{2}y$. A onda é uma fileira de osciladores harmônicos, como os do Movimento harmônico simples, cada um um pouco atrasado em relação ao vizinho.

Superposição: somando ondas

A equação de onda é linear: $y$ e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência. Assim, se duas funções a satisfazem, sua soma também a satisfaz. Dois pulsos que se movem um em direção ao outro se somam onde se sobrepõem e seguem com suas formas intactas; a solução geral em uma corda longa é $f(x-vt)+g(x+vt)$, com $f$ e $g$ quaisquer formas, como d'Alembert mostrou em 1747. Interferência, batimentos e ondas estacionárias são todos superposições.

A linearidade também funciona no sentido inverso: qualquer forma pode ser construída como soma de senoides. Cada senoide se propaga com seu próprio $\omega /k$; na corda ideal, esse é o mesmo $v$ para todas, de modo que a soma, e com ela a forma, se propaga sem mudança. A luz obedece à mesma equação, derivada das equações de Maxwell em vez da lei de Newton.

Energia transportada por uma onda

A energia se desloca junto com a forma. Por metro, um trecho de corda tem energia cinética $\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. Ele também tem energia potencial $\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$, porque um trecho inclinado é mais longo que $dx$ em cerca de $\frac{1}{2}(\partial y/\partial x{)}^{2}dx$, e a tração realizou trabalho ao esticá-lo. Para uma onda progressiva, $\partial y/\partial t=-v\partial y/\partial x$ e $F=\mu v^2$ tornam as duas iguais em cada ponto.

Para uma senoide, a energia cinética por metro é $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2{\cos }^2(kx-\omega t)$, cuja média em um ciclo é $\frac{1}{4}\mu {\omega }^2{A}^2$. Dobrando esse valor para incluir a energia potencial igual, o total é $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2$ por metro. Essa energia se desloca com $v$, então a potência média que passa por qualquer ponto é
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$

Ela cresce com $A^2$ e com ${\omega }^2$. Onde duas cordas se encontram, um salto no produto $\mu v$ envia parte da onda de volta. Para as cordas do exemplo de nível intermediário, $\mu v$ dobra, de 1,2 para 2,4 kg/s; a amplitude refletida é $(1,2-2,4)/(1,2+2,4)=-1/3$ da incidente, ou seja, um terço da amplitude volta invertida, e como a potência varia com o quadrado da amplitude, um nono da potência é refletido.

Problema resolvido: alimentando a corda

Suponha que a corda da animação, com $A=0,3\mathrm{m}$, $\omega =\pi rad/s$ e $v=1m/s$, tenha $\mu =0,2kg/m$ e esteja sobre um piso liso, sacudida lateralmente, de modo que a gravidade não tenha papel. Que tração ela precisa, que potência a mão deve fornecer e o que muda se a mão sacudir com o dobro da frequência?

A tração vem de $v=\sqrt{F/\mu }$, e a potência, da fórmula acima:
$F=\mu v^2=0,2\cdot 1^2=0,2\mathrm{N}$
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot {\pi }^2\cdot 0,3^2\cdot 1\approx 0,089\mathrm{W}$

Confira a potência contando a energia. A corda guarda $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2\approx 0,089\mathrm{J}$ por metro, então um comprimento de onda, 2 m de corda, guarda cerca de 0,18 J. A cada período de 2 s, a mão entrega $0,089\cdot 2\approx 0,18\mathrm{J}$, exatamente essa quantidade: a cada período, a mão enche de energia mais um comprimento de onda de corda.

Agora sacuda a 1 Hz com a mesma amplitude. A velocidade é definida apenas por $F$ e $\mu$, então continua 1 m/s, e o comprimento de onda passa a ser $\lambda =v/f=1\mathrm{m}$. A potência cresce com ${\omega }^2$, quatro vezes, para cerca de 0,36 W. Para manter 89 mW, $\omega A$ deve permanecer o mesmo, então a amplitude deve cair pela metade, para 0,15 m. A maior inclinação $kA$ continua em 0,94, e assim também a velocidade máxima da bolinha, $\omega A$. Em um dado meio, a potência é determinada pela velocidade máxima dos pontos em movimento, $\omega A$, e não pela amplitude sozinha.

Limites de validade

Três suposições foram feitas no caminho: inclinações pequenas, um meio contínuo e liso, e uma velocidade igual para todas as frequências.

Inclinações pequenas. Cada etapa usou $\sin \theta \approx \tan \theta$ e $\cos \theta \approx 1$. Com inclinação de 0,1, os termos desprezados valem cerca de meio por cento; com os 0,94 da animação, desenhados grandes para ficarem visíveis, seriam dezenas por cento. Uma corda de violão real, com amplitude de 1 mm e comprimento de onda de 1,3 m, tem $kA\approx 0,005$. Para o som, a mesma condição é $\delta P\ll P_0$: até um som doloroso, de 120 dB, tem amplitude de pressão de apenas cerca de 28 Pa, $3\times 10^{-4}$ da pressão atmosférica. Em uma explosão, a condição falha: as partes comprimidas e aquecidas da onda viajam mais rápido e ultrapassam as partes à frente, e a frente fica cada vez mais íngreme, formando uma onda de choque.

Um meio contínuo. Tratar o gás como liso exige comprimentos de onda muito maiores que o caminho livre médio, a distância média que uma molécula percorre entre colisões, cerca de 70 nm no ar. O som audível, com comprimentos de onda de 1,7 cm a 17 m, é seguro, mas o ultrassom perto de 1 GHz, com $\lambda \approx 0,34\mu \mathrm{m}$, é absorvido em uma distância curta.

Uma velocidade para todas as frequências. Uma forma só se mantém se $v$ não depender da frequência. Ondas de águas profundas têm $v=\sqrt{g\lambda /(2\pi )}$, 1,8 m/s com 2 m de comprimento de onda e 3,5 m/s com 8 m, e a luz no vidro é mais lenta para o azul do que para o vermelho. Essas ondas são chamadas dispersivas: um pulso se espalha à medida que avança, e sua energia se desloca com a velocidade de grupo $d\omega /dk$, que em águas profundas é metade da velocidade das cristas.

Onde isso leva

Som e efeito Doppler acompanha fontes e observadores em movimento; Volume, intensidade e decibéis converte $\bar{P}\propto A^2$ em decibéis; Ondas estacionárias e Interferência e superposição aplicam a linearidade; Reflexão e refração e Prismas, dispersão e cor tratam de velocidades que mudam entre meios ou com a frequência. Ondas eletromagnéticas deriva a velocidade da luz a partir da mesma equação. Na Dualidade onda-partícula, a frequência torna-se proporcional à energia e o número de onda, proporcional à quantidade de movimento, e a Equação de Schrödinger e tunelamento descreve ondas que são dispersivas por natureza.