Fundamentos de las ondas

Principiante

Piensa en la ola de un estadio: cada aficionado solo se levanta y vuelve a sentarse, y sin embargo una oleada de brazos en alto recorre todas las gradas. Eso es una onda: una perturbación que viaja de un lugar a otro llevando energía, mientras la materia se queda donde estaba. Una barca en un lago sube y baja al paso de las ondas, pero estas no la arrastran hasta la orilla.

En la animación, una mano sacude el extremo de una cuerda. Los puntos dorados van sobre las crestas y avanzan sin parar hacia la derecha, mientras la cuenta roja solo sube y baja por su línea discontinua.

Hay dos tipos de ondas. En la cuerda, cada trocito se mueve perpendicularmente a la dirección de avance: es una onda transversal. En el muelle de abajo, las espiras van y vienen a lo largo de esa dirección, juntándose y separándose: es una onda longitudinal. El sonido en el aire es de este tipo.

Cuatro palabras describen una onda regular. La longitud de onda es la distancia de una cresta a la siguiente; la amplitud, cuánto sube una cresta sobre la línea de reposo; la frecuencia, cuántas crestas pasan por un punto cada segundo, en hercios (Hz); la velocidad, cuánto avanza una cresta en un segundo. Si cada segundo te pasan 2 crestas separadas 3 metros, la onda recorre $2\times 3=6$ metros por segundo: velocidad = frecuencia × longitud de onda.

La velocidad la fija el medio, no la mano. Si sacudes más deprisa, salen más crestas cada segundo, así que tienen que quedar más juntas.

Ponte a prueba: sacudes la cuerda tres veces más a menudo. ¿Qué le pasa a la longitud de onda? (Se vuelve tres veces más corta; la velocidad no cambia.)

Intermedio

Qué se mueve y qué medimos

Una onda es una perturbación que viaja por un medio y transporta energía, mientras que cada parte del medio solo oscila alrededor de su posición de reposo. En una cuerda sacudida, cada trocito copia a su vecino un instante después: el movimiento se transmite y la cuerda se queda donde está. En la animación las crestas avanzan hacia la derecha, pero la cuenta roja solo sube y baja por su línea discontinua.

En la cuerda, cada trozo se mueve perpendicularmente a la dirección de avance: es una onda transversal. En el muelle de abajo, las espiras van y vienen a lo largo de esa dirección, apiñándose en compresiones y separándose en rarefacciones: es una onda longitudinal. El sonido en el aire es longitudinal, porque un gas se resiste a ser comprimido, pero no a que sus capas se deslicen unas sobre otras. La luz también es transversal, aunque lo que oscila son los campos eléctrico y magnético, no la materia.

El desplazamiento $y$ es lo que se aleja un punto de su posición de reposo (la línea discontinua), en metros; la amplitud $A$ es el mayor desplazamiento, desde la línea de reposo hasta una cresta. La longitud de onda $\lambda$ es la longitud de un ciclo en el espacio, de cresta a cresta. El periodo $T$ es el tiempo de una oscilación completa de un punto, y la frecuencia $f$, el número de oscilaciones por segundo, en hercios (Hz).

Una longitud de onda por periodo

Fíjate en una sola cresta. Mientras el punto que tiene debajo hace una oscilación completa, la cresta siguiente llega adonde estaba la primera: en un periodo $T$ el patrón avanza exactamente una longitud de onda, así que su velocidad es $\lambda /T$. Como la frecuencia es el número de periodos por segundo, las dos relaciones clave de esta lección son:

• $f=\frac{1}{T}$
• $v=f\lambda$

Valen para toda onda periódica, ya sea la de una cuerda, la del sonido o la de la luz, y dos cualesquiera de $v$, $f$ y $\lambda$ dan la tercera. Sin embargo, la relación no dice qué magnitud queda fija: eso lo deciden el medio y la fuente.

El medio fija la velocidad

Lo deprisa que se transmite una perturbación depende solo del medio: de con qué fuerza tira hacia atrás y de cuánta masa hay que poner en movimiento. Para una cuerda con tensión $F$, en newtons, y masa por metro $\mu$, en kilogramos por metro,
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Si tiras más fuerte, la onda va más deprisa; una cuerda más pesada la hace más lenta, y con una tensión cuatro veces mayor la velocidad se duplica. El sonido viaja a unos 343 m/s en el aire a 20 °C, a 1480 m/s en el agua y a 6000 m/s en el acero, y la luz a $3,00\times 10^{8}m/s$ en el vacío.

La fuente fija la frecuencia: la mano o el altavoz deciden cuántos ciclos salen cada segundo, y la longitud de onda se deduce de ahí, $\lambda =v/f$. En un medio nuevo, cada punto es arrastrado por el anterior al mismo ritmo, así que $f$ no cambia, mientras que $v$ y $\lambda$ cambian a la vez. La energía transportada crece con el cuadrado de la amplitud: si duplicas $A$, se transporta cuatro veces más energía cada segundo.

Ejemplo resuelto: la cuerda de la animación

La cuenta roja hace una oscilación cada 2 s, y la flecha doble morada abarca una longitud de onda, 2 m. Por tanto,
$f=1/T=1/2=0,5\mathrm{Hz}$
$v=f\lambda =0,5\cdot 2=1m/s$
Son los valores que aparecen arriba en la animación. En cada periodo, la flecha morada avanza 2 m con las crestas y luego salta atrás hasta un punto donde la imagen vuelve a verse igual.

La cuenta está a 3 m de la mano, así que el movimiento de la mano le llega $3/1=3\mathrm{s}$ después, o sea, un periodo y medio: la cuenta va desfasada medio ciclo. Siempre que la mano está en su punto más bajo, $-0,3\mathrm{m}$, la cuenta está en el más alto, $+0,3\mathrm{m}$; la lectura roja oscila entre estos dos valores, la amplitud que marca la flecha dorada $A$. En cada periodo la cuenta recorre $4A=1,2\mathrm{m}$ hacia arriba y hacia abajo, una media de 0,6 m/s en dirección transversal a la cuerda, mientras que cada cresta avanza 2 m a lo largo de ella. Las compresiones del muelle también están separadas 2 m.

Ejemplo resuelto: dos cuerdas unidas

Una cuerda ligera de 0,040 kg por metro está atada a otra pesada de 0,160 kg por metro, cada una de 6 m de largo, con una tensión de 36 N. Sacudes la cuerda ligera 5 veces por segundo. En cada cuerda,
$v_1=\sqrt{36/0,040}=\sqrt{900}=30m/s,{\lambda }_1=30/5=6\mathrm{m}$
$v_2=\sqrt{36/0,160}=\sqrt{225}=15m/s,{\lambda }_2=15/5=3\mathrm{m}$
La frecuencia es 5 Hz en las dos, porque el nudo sacude la cuerda pesada con la misma frecuencia con que lo sacuden a él. Una masa por metro cuatro veces mayor reduce la velocidad a la mitad, y con ella la longitud de onda.

Un pulso cruza la cuerda ligera en $6/30=0,2\mathrm{s}$ y la pesada en $6/15=0,4\mathrm{s}$, en total 0,6 s. Además, parte de cada onda rebota en el nudo: ahí empieza la reflexión.

Instantáneas y registros temporales

Una instantánea dibuja $y$ frente a la posición $x$ en un instante, como la propia cuerda, y muestra la longitud de onda y la amplitud. Un registro temporal dibuja $y$ frente al tiempo $t$ para un solo punto, como la gráfica de la cuenta roja en la vista experta, y muestra el periodo. Ambos son senos de la misma altura, uno que se repite cada 2 m y el otro cada 2 s; su cociente es esa velocidad de 1 m/s.

Una onda longitudinal se dibuja igual, con el desplazamiento a lo largo del muelle representado hacia arriba, de modo que la curva parece transversal. Léela con cuidado: una compresión no está donde el desplazamiento es mayor, sino en una espira que está justo en su posición de reposo con sus dos vecinas empujadas hacia ella. Media longitud de onda más allá, las vecinas se alejan de ella: es una rarefacción.

Errores frecuentes

• Sacudir más deprisa no hace la onda más rápida: en la cuerda ligera de 36 N, 10 sacudidas por segundo siguen viajando a 30 m/s; solo se acorta la longitud de onda, de 6 m a 3 m.
• La velocidad de la onda no es la velocidad del medio: la cuenta roja se mueve a 0,6 m/s de media, y más deprisa si crece la amplitud, mientras que las crestas viajan a una velocidad constante de 1 m/s.
• La amplitud se mide desde la línea de reposo: la cuerda abarca 0,6 m desde su punto más bajo hasta el más alto, pero $A=0,3\mathrm{m}$.
• De cresta a valle hay media longitud de onda, y de arriba abajo, medio periodo: un punto que tarda 0,25 s en ir de arriba abajo tiene $T=0,5\mathrm{s}$ y $f=2\mathrm{Hz}$.

Dónde aparece

El sonido necesita unos 3 s por kilómetro, así que el retraso entre el relámpago y el trueno da la distancia a la que está una tormenta. El sonido audible, de 20 Hz a 20 kHz, tiene longitudes de onda desde 17 m hasta 1,7 cm; los ultrasonidos médicos de 5 MHz, a unos 1540 m/s en los tejidos, tienen ondas de 0,3 mm, lo bastante finas para mostrar un corazón latiendo. Los terremotos envían los dos tipos de onda a través del suelo, y las transversales no pueden atravesar el núcleo externo de la Tierra, de ahí que sepamos que es líquido.

A continuación vienen las lecciones El sonido y el efecto Doppler, Ondas estacionarias, Interferencia y superposición, Reflexión y refracción, y Ondas electromagnéticas.

Avanzado

Una forma que se desliza

Una onda es una perturbación que viaja mientras el medio se queda donde está: cada punto de la cuerda solo sube y baja, y sin embargo una forma recorre la cuerda. Para trabajar con ondas necesitamos una sola función que dé el desplazamiento de cada punto en cada instante, y necesitamos saber qué aspecto tiene esa función cuando una forma se mueve sin cambiar.

Leyenda

$y$	Desplazamiento de la cuerda respecto a su línea de reposo.	$\mathrm{m}$
$x$	Posición a lo largo de la cuerda; el punto del pulso discontinuo está en $x$.	$\mathrm{m}$
$t$	Tiempo: el pulso continuo es la cuerda en $t=0$, y el discontinuo, un tiempo $t$ después.	$\mathrm{s}$
$v$	Velocidad de la onda, hacia $+x$.	$m/s$
$vt$	Distancia que ha recorrido la forma en el tiempo $t$.	$\mathrm{m}$
$x-vt$	Posición del punto del pulso continuo, cuya altura se encuentra ahora en $x$.	$\mathrm{m}$

Llama $y(x,t)$ al desplazamiento lateral de la cuerda en la posición $x$ y el instante $t$. La figura 1 sigue un pulso asimétrico, más empinado por su lado izquierdo que por el derecho, para que veas cómo toda la forma se traslada sin cambiar. La curva continua es la cuerda en $t=0$; llama a su forma $y=f(x)$, donde de momento $f$ nombra una forma, no una frecuencia. La curva discontinua es la misma cuerda un tiempo $t$ después. En ese tiempo la forma se ha movido hacia $+x$ con velocidad $v$, así que se ha desplazado la distancia $vt$ marcada bajo el eje.

Fíjate ahora en los dos puntos. El de la derecha está sobre la curva discontinua, en la posición $x$. El de la izquierda está sobre la curva continua, una distancia $vt$ más atrás, en $x-vt$. La línea horizontal discontinua que los une muestra que están a la misma altura: la forma en movimiento simplemente ha llevado esa altura una distancia $vt$ hacia delante. Lo mismo vale para cada punto, así que la altura que hay en $x$ en el instante $t$ es la que había en $x-vt$ en el instante cero:
$y(x,t)=f(x-vt)$

Todo depende de la única combinación $x-vt$. Mantenerla fija, $x-vt=x_1$, selecciona un rasgo de la forma, por ejemplo un pico, y ese rasgo está en $x=x_1+vt$: avanza con velocidad $v$, como debe ser. Con el mismo argumento, una forma que se mueve hacia $-x$ se escribe $g(x+vt)$.

La forma más importante es un seno. Dale una longitud de onda $\lambda$, la distancia entre crestas vecinas, y un periodo $T$, el tiempo que tarda un punto en completar un ciclo. El argumento del seno, llamado fase, debe entonces aumentar $2\pi$ cuando $x$ aumenta en $\lambda$, y también cuando $t$ aumenta en $T$. Ambas condiciones se cumplen con
$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)$
$k=\frac{2\pi }{\lambda }$
$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$
donde $A$ es la amplitud y $f=1/T$ es ahora la frecuencia. El número de onda $k$ cuenta los radianes de fase por metro de cuerda, y la frecuencia angular $\omega$, los radianes de fase por segundo. Para hallar la velocidad, saca $k$ factor común en la fase: $kx-\omega t=k(x-(\omega /k)t)$. Por tanto, el seno depende de $x$ y $t$ solo a través de $x-vt$, con
$v=\frac{\omega }{k}=f\lambda$

En la animación $k=\pi rad/m$ y $\omega =\pi rad/s$, así que la longitud de onda es de 2 m, el periodo de 2 s y la velocidad de 1 m/s. Midiendo $x$ desde la mano, la cuerda es $y=0,3\sin (\pi x-\pi t)$, en metros y segundos. Añadir una constante de fase, $A\sin (kx-\omega t+\phi )$, solo desplaza el punto del ciclo en el que empieza la onda.

La ley de Newton para un trozo de cuerda

Hasta ahora solo hemos descrito una forma que viaja. Ahora nos preguntamos por qué una perturbación viaja por una cuerda y qué fija su velocidad. La respuesta sale de la segunda ley de Newton aplicada a un trocito diminuto de cuerda.

Leyenda

$x$	Posición del extremo izquierdo del trozo.	$\mathrm{m}$
$x+dx$	Posición del extremo derecho del trozo.	$\mathrm{m}$
$dx$	Longitud del trozo a lo largo de $x$.	$\mathrm{m}$
$\mu dx$	Masa del trozo, con $\mu$ la masa por unidad de longitud.	$\mathrm{kg}$
$F$	Tensión: el tirón del resto de la cuerda sobre el trozo, a lo largo de la cuerda, en cada extremo.	$\mathrm{N}$
${\theta }_1$	Ángulo entre el tirón en el extremo izquierdo y la horizontal.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ángulo entre el tirón en el extremo derecho y la horizontal.	$\mathrm{rad}$
$F_y$	Fuerza transversal neta sobre el trozo: la suma de las partes transversales de los dos tirones.	$\mathrm{N}$

La figura 2 muestra un trozo corto de cuerda entre $x$ y $x+dx$, en un lugar donde la cuerda está curvada. Si $\mu$ es la masa por unidad de longitud, el trozo tiene masa $\mu dx$. El resto de la cuerda tira de él por ambos extremos con la tensión $F$, siempre a lo largo de la cuerda, formando los ángulos ${\theta }_1$ y ${\theta }_2$ con la horizontal.

Descompón cada tirón en una parte horizontal y una parte transversal; las líneas discontinuas de cada extremo muestran la descomposición. Cuando los ángulos son pequeños, las dos partes horizontales valen casi exactamente $F$ y apuntan en sentidos opuestos, así que se anulan. La parte transversal de cada tirón es $F\sin \theta$. Para un ángulo pequeño, $\sin \theta \approx \tan \theta$, y $\tan \theta$ no es más que la pendiente de la cuerda, $\partial y/\partial x$. Así, la parte transversal en cada extremo es $F$ por la pendiente de la cuerda en ese extremo.

En la figura la pendiente es negativa en el extremo izquierdo y positiva en el derecho, así que las dos partes transversales apuntan hacia arriba y se suman. En general, del extremo izquierdo se tira hacia $-x$ y del derecho hacia $+x$, de modo que sus partes transversales entran con signos opuestos: la fuerza transversal neta es $F$ por la pendiente en $x+dx$ menos $F$ por la pendiente en $x$. Esa diferencia de pendientes a lo largo de una longitud $dx$ es $({\partial }^{2}y/\partial x^2)dx$, así que
$F_y=F\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}dx$

Por tanto, un trozo recto no siente fuerza neta, y un trozo curvado es arrastrado hacia el interior de su curva, como muestra la flecha $F_y$. La segunda ley de Newton para el trozo dice $\mu dx{\partial }^{2}y/\partial t^2=F_y$, y al dividir entre $\mu dx$ se obtiene
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{F}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Esta es la ecuación de onda. Dicho con palabras: cada trocito de cuerda acelera en proporción a lo curvada que está la cuerda en ese lugar. ¿La cumple la forma que se desliza de la primera sección, $y=f(x-vt)$, con $f$ nombrando de nuevo una forma? Por la regla de la cadena, cada derivada respecto a $t$ saca un factor $-v$, y cada derivada respecto a $x$ un factor 1, así que ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{f}^{\prime \prime }$ y ${\partial }^{2}y/\partial x^2=f^{\prime \prime }$, donde $f^{\prime \prime }$ es la segunda derivada de la forma. La ecuación queda $v^2{f}^{\prime \prime }=(F/\mu )f^{\prime \prime }$. Se cumple para cualquier forma, siempre que
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

La tensión aporta la fuerza recuperadora y la masa por unidad de longitud, la inercia, igual que la rigidez y la masa en un oscilador con un muelle: una cuerda más tensa transmite las ondas más deprisa, y una más pesada, más despacio. En la deducción se esconden dos aproximaciones. Se supuso que las partes horizontales de los tirones, $F\cos \theta \approx F$, se anulan, de modo que el trozo solo se mueve de lado, y que la tensión es la misma en todas partes. Las dos requieren pendientes pequeñas, $|\partial y/\partial x|\ll 1$.

El sonido: la misma ley en un gas

El sonido también es mecánica. En el aire la fuerza recuperadora viene de la presión en lugar de la tensión, y el gas se mueve en la dirección de propagación en lugar de perpendicularmente a ella. Esta sección deduce la ecuación de onda para un gas y, a partir de ella, la velocidad del sonido.

Leyenda

$x$	Posición de reposo de la cara izquierda de la capa.	$\mathrm{m}$
$x+dx$	Posición de reposo de la cara derecha de la capa.	$\mathrm{m}$
$dx$	Grosor de la capa en reposo.	$\mathrm{m}$
$s$	Desplazamiento de la cara izquierda respecto a su posición de reposo, a lo largo de $x$.	$\mathrm{m}$
$s+ds$	Desplazamiento de la cara derecha; $ds$ es cuánto más se ha movido que la cara izquierda.	$\mathrm{m}$
$dx+ds$	Grosor de la capa una vez desplazada.	$\mathrm{m}$

En una onda sonora, cada capa delgada de gas va y viene a lo largo de $x$, como las espiras del muelle de la animación. Sea $s(x,t)$ el desplazamiento a lo largo de $x$ de la capa que en reposo está en $x$. La figura 3 sigue una capa, entre $x$ y $x+dx$ mientras el gas está en reposo (fila superior). En la fila inferior una onda sonora ha desplazado el gas. La cara izquierda de la capa se ha movido $s$ y la cara derecha $s+ds$, una cantidad distinta, así que ahora la capa tiene un grosor $dx+ds$. En la figura $ds$ es negativo: la cara derecha ha retrocedido, la capa está comprimida y el gas que contiene es más denso.

Tres eslabones llevan de esta imagen a una ecuación de onda.

Primero, la masa se conserva. Las dos caras se han movido cantidades que difieren en $ds=(\partial s/\partial x)dx$, así que la misma masa ocupa ahora un grosor $(1+\partial s/\partial x)dx$. La densidad es inversamente proporcional al grosor, de modo que, para un $\partial s/\partial x$ pequeño, cambia en $\delta \rho \approx -{\rho }_0\partial s/\partial x$, donde ${\rho }_0$ es la densidad en reposo.

Segundo, la presión depende de la densidad. Para un cambio pequeño, $\delta P=(dP/d\rho {)}_0\delta \rho$, donde el subíndice 0 indica que la derivada se toma en el gas en reposo.

Tercero, la ley de Newton para la capa. Por unidad de área, su masa es ${\rho }_{0}dx$. La presión sobre su cara izquierda la empuja hacia $+x$ y la presión sobre su cara derecha hacia $-x$, así que la fuerza neta por unidad de área es la caída de presión a través de ella, $-(\partial \delta P/\partial x)dx$. Dividiendo entre $dx$, ${\rho }_0{\partial }^{2}s/\partial t^2=-\partial \delta P/\partial x$: la capa es empujada lejos del lado de mayor presión.

Encadena los tres: sustituye $\delta \rho$ en $\delta P$ y $\delta P$ en la ley de Newton, y divide entre ${\rho }_0$:
$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2},c^2={\left(\frac{dP}{d\rho }\right)}_0$

Es la misma ecuación de onda que para la cuerda, y $c$ es la velocidad del sonido. Cuál es la derivada $dP/d\rho$ correcta depende de lo que hace la temperatura mientras se comprime el gas. Newton supuso que se mantiene constante, de modo que $P\propto \rho$; eso da $c=\sqrt{P_0/{\rho }_0}\approx 290m/s$ para el aire a 20 °C, un 15 % por debajo de los 343 m/s medidos. Laplace encontró el fallo: el calor no tiene tiempo de pasar de las compresiones, que se calientan, a las rarefacciones, que se enfrían. A 1 kHz el calor se difunde unos 0,1 mm en medio periodo, mientras que una compresión y la rarefacción siguiente están separadas 17 cm. Por eso cada capa se comprime sin intercambiar calor: es un proceso adiabático, en el que $P\propto {\rho }^{\gamma }$ con $\gamma =1,40$ para el aire. Entonces $dP/d\rho =\gamma P/\rho$, y
$c=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma k_{B}T}{m}}$

La segunda expresión usa la ley de los gases ideales, $P_0={\rho }_0{k}_{B}T/m$. Aquí $T$ es la temperatura absoluta, no el periodo, $m$ la masa de una molécula y $k_B$ la constante de Boltzmann. La presión desaparece, porque a temperatura fija una presión mayor significa una densidad proporcionalmente mayor. La velocidad del sonido solo depende del gas y de su temperatura: 331 m/s a 0 °C y 343 m/s a 20 °C. Compárala con las propias moléculas: su velocidad cuadrática media, $\sqrt{3k_{B}T/m}$ (véase Teoría cinética de los gases), es de 502 m/s a 20 °C, así que $c$ es $\sqrt{\gamma /3}\approx 0,68$ de ella. Una señal de presión, transmitida de molécula en molécula mediante choques, viaja algo más despacio que las moléculas que la transportan.

Instantánea, registro temporal y gráfica

Una onda depende de dos variables, así que puede representarse de dos maneras: toda la cuerda en un instante, o un punto de la cuerda a lo largo del tiempo. Esta sección muestra que, para una onda viajera, las dos gráficas son la misma curva, y qué dice eso sobre cómo se mueve cada punto.

Leyenda

$y$	Desplazamiento de la cuerda respecto a su línea de reposo.	$\mathrm{m}$
$x$	Posición a lo largo de la cuerda, medida desde la mano.	$\mathrm{m}$
$t$	Tiempo.	$\mathrm{s}$
$x_0$	Posición de la cuenta roja.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidad de la onda, hacia $+x$.	$m/s$
$\partial y/\partial x$	Pendiente de la cuerda en la cuenta en la instantánea: la tangente superior.
$\partial y/\partial t$	Velocidad de la cuenta: la pendiente de su registro temporal, la tangente inferior.	$m/s$

Imagina $y(x,t)$ como una superficie sobre el plano $(x,t)$; la figura 4 la corta de dos maneras. La curva superior es una instantánea, un corte en un instante: la cuerda en $t=0$, $y=0,3\sin (\pi x)$. La curva inferior es un registro temporal, un corte en un lugar: la cuenta roja en $x_0=3\mathrm{m}$, es decir, la gráfica de la vista experta. Como $\sin (3\pi -a)=\sin a$, la cuenta se mueve según $y=0,3\sin (3\pi -\pi t)=0,3\sin (\pi t)$: un seno de periodo 2 s que parte de cero y sube. La mano, en $x=0$, se mueve según $-0,3\sin (\pi t)$, la misma curva boca abajo. La línea discontinua une las dos apariciones de la cuenta en $t=0$.

¿Por qué están relacionados los dos cortes? Como $y$ depende de $x$ y de $t$ solo a través de $x-vt$, la regla de la cadena da $\partial y/\partial x=f^{\prime }$ y $\partial y/\partial t=-v{f}^{\prime }$. Por tanto
$\frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}$

Un punto de la cuerda se mueve con una velocidad igual a menos la velocidad de la onda por la pendiente local. Tiene sentido: donde la cuerda baja hacia $+x$, la parte más alta que viene detrás está llegando, así que el punto sube. En la figura 4 los ejes $x$ y $t$ tienen la misma escala y $v=1m/s$, así que la curva inferior es la superior volteada de izquierda a derecha, su imagen especular respecto a la línea discontinua. Mira las dos tangentes en la cuenta: la instantánea baja, $\partial y/\partial x=-kA$, y el registro temporal sube, $\partial y/\partial t=+\omega A$.

Donde la cuerda cruza su línea de reposo, como en la cuenta, su pendiente es máxima en valor absoluto, $kA$, y también lo es la velocidad del punto, $vkA=\omega A$; en una cresta ambas son cero. En la animación $kA=0,3\pi \approx 0,94$, así que la cuenta alcanza un máximo de 0,94 m/s, casi la velocidad de la onda, y su gráfica empieza con esa pendiente.

Aplicar la regla dos veces devuelve la ecuación de onda, ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{\partial }^{2}y/\partial x^2$: la aceleración de un punto es $v^2$ por la curvatura de la cuerda en ese lugar. Una cresta, el lugar más curvado, es la que más acelera hacia abajo, con ${\omega }^{2}A=0,3{\pi }^2\approx 2,96m/{\mathrm{s}}^2$. Para un seno, ${\partial }^{2}y/\partial x^2=-k^{2}y$, así que todo punto cumple ${\partial }^{2}y/\partial t^2=-{\omega }^{2}y$. La onda es una fila de osciladores armónicos como los de la lección Movimiento armónico simple, cada uno un poco por detrás de su vecino.

Superposición: sumar ondas

La ecuación de onda es lineal: $y$ y sus derivadas solo aparecen elevadas a la primera potencia. Por eso, si dos funciones la cumplen, su suma también. Dos pulsos que corren uno hacia el otro se suman donde se solapan y salen con su forma intacta, y la solución general en una cuerda larga es $f(x-vt)+g(x+vt)$, con $f$ y $g$ dos formas cualesquiera, como mostró d'Alembert en 1747. La interferencia, los batidos y las ondas estacionarias son todos superposiciones.

La linealidad también funciona al revés: cualquier forma puede construirse como suma de senos. Cada seno viaja a su propio $\omega /k$; en la cuerda ideal es la misma $v$ para todos, así que la suma, y con ella la forma, viaja sin cambiar. La luz obedece la misma ecuación, deducida de las ecuaciones de Maxwell en lugar de la ley de Newton.

La energía que transporta una onda

La energía viaja con la forma. Por metro, un trozo de cuerda tiene energía cinética $\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. También tiene energía potencial $\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$, porque un trozo inclinado es más largo que $dx$ en aproximadamente $\frac{1}{2}(\partial y/\partial x{)}^{2}dx$ y la tensión ha realizado trabajo al estirarlo. Para una onda viajera, $\partial y/\partial t=-v\partial y/\partial x$ y $F=\mu v^2$ hacen que las dos sean iguales en cada punto.

Para un seno, la energía cinética por metro es $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2{\cos }^2(kx-\omega t)$, cuyo promedio en un ciclo es $\frac{1}{4}\mu {\omega }^2{A}^2$. Al duplicarla para incluir la energía potencial, que es igual, el total es $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2$ por metro. Esta energía avanza a $v$, así que la potencia media que pasa por cualquier punto es
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$

Crece como $A^2$ y como ${\omega }^2$. Donde se encuentran dos cuerdas, un salto en el producto $\mu v$ devuelve parte de la onda. Para las cuerdas del ejemplo del nivel intermedio, $\mu v$ se duplica, de 1,2 a 2,4 kg/s; la amplitud reflejada es $(1,2-2,4)/(1,2+2,4)=-1/3$ de la incidente. Así que vuelve un tercio de la amplitud, invertido, y como la potencia va con el cuadrado de la amplitud, se refleja un noveno de la potencia.

Problema resuelto: la potencia para sacudir la cuerda

Supongamos que la cuerda de la animación, con $A=0,3\mathrm{m}$, $\omega =\pi rad/s$ y $v=1m/s$, tiene $\mu =0,2kg/m$ y está sobre un suelo liso, sacudida de lado de modo que la gravedad no interviene. ¿Qué tensión necesita, qué potencia debe suministrar la mano y qué cambia si la mano sacude con el doble de frecuencia?

La tensión sale de $v=\sqrt{F/\mu }$, y la potencia, de la fórmula anterior:
$F=\mu v^2=0,2\cdot 1^2=0,2\mathrm{N}$
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot {\pi }^2\cdot 0,3^2\cdot 1\approx 0,089\mathrm{W}$

Comprueba la potencia contando energía. La cuerda contiene $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2\approx 0,089\mathrm{J}$ por metro, así que una longitud de onda, 2 m de cuerda, contiene unos 0,18 J. En cada periodo de 2 s la mano entrega $0,089\cdot 2\approx 0,18\mathrm{J}$, exactamente esa cantidad: en cada periodo, la mano llena de energía una longitud de onda más de cuerda.

Ahora sacude a 1 Hz con la misma amplitud. La velocidad solo depende de $F$ y $\mu$, así que sigue siendo 1 m/s, y la longitud de onda pasa a ser $\lambda =v/f=1\mathrm{m}$. La potencia crece con ${\omega }^2$: se multiplica por cuatro, hasta unos 0,36 W. Para mantener 89 mW, $\omega A$ debe seguir igual, así que la amplitud debe reducirse a la mitad, a 0,15 m. La mayor pendiente $kA$ se queda entonces en 0,94, y también la velocidad máxima de la cuenta, $\omega A$. En un medio dado, la potencia la fija la velocidad máxima de los puntos que se mueven, $\omega A$, no la amplitud sola.

Límites de validez

Por el camino se hicieron tres suposiciones: pendientes pequeñas, un medio continuo sin estructura granular y una velocidad igual para todas las frecuencias.

Pendientes pequeñas. Todos los pasos usaron $\sin \theta \approx \tan \theta$ y $\cos \theta \approx 1$. Con una pendiente de 0,1, los términos despreciados son de alrededor de medio por ciento; con el 0,94 de la animación, dibujado grande para que se vea, serían de varias decenas por ciento. Una cuerda de guitarra real con 1 mm de amplitud y 1,3 m de longitud de onda tiene $kA\approx 0,005$. Para el sonido, la misma condición es $\delta P\ll P_0$: incluso un sonido doloroso de 120 dB tiene una amplitud de presión de solo unos 28 Pa, $3\times 10^{-4}$ de la presión atmosférica. En una explosión la condición falla: las partes comprimidas y calentadas de la onda viajan más deprisa y alcanzan a las que tienen delante, y el frente se empina hasta formar una onda de choque.

Un medio continuo. Tratar el gas como continuo exige longitudes de onda mucho mayores que el recorrido libre medio, la distancia media que recorre una molécula entre dos choques, de unos 70 nm en el aire. El sonido audible, con longitudes de onda de 1,7 cm a 17 m, está a salvo, pero los ultrasonidos cerca de 1 GHz, con $\lambda \approx 0,34\mu \mathrm{m}$, se absorben a poca distancia.

Una misma velocidad para todas las frecuencias. Una forma solo se conserva si $v$ no depende de la frecuencia. Las olas en aguas profundas tienen $v=\sqrt{g\lambda /(2\pi )}$, 1,8 m/s con una longitud de onda de 2 m y 3,5 m/s con 8 m, y en el vidrio la luz azul va más despacio que la roja. Estas ondas se llaman dispersivas: un pulso se ensancha a medida que avanza, y su energía se mueve a la velocidad de grupo $d\omega /dk$, la mitad de la velocidad de las crestas en aguas profundas.

Lo que viene después

Sigue con la lección El sonido y el efecto Doppler, que estudia las fuentes y los observadores en movimiento, y con Sonoridad, intensidad y decibelios, que convierte $\bar{P}\propto A^2$ en decibelios. Ondas estacionarias e Interferencia y superposición aplican la linealidad; Reflexión y refracción, y Prismas, dispersión y color, tratan velocidades que cambian de un medio a otro o con la frecuencia. Ondas electromagnéticas deduce la velocidad de la luz de esta misma ecuación. En Dualidad onda-corpúsculo la frecuencia pasa a ser proporcional a la energía y el número de onda, al momento lineal, y Ecuación de Schrödinger y efecto túnel describe ondas que son dispersivas por naturaleza.