Свободное падение

Движение под действием одной лишь силы тяжести: каждую секунду любое тело набирает одну и ту же скорость вниз, $g \approx 9, 81 м / с^{2}$ , поэтому из состояния покоя $v = g t$ и $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ , а тяжёлый и лёгкий шары приземляются одновременно.

Мяч падает без начальной скорости. Стробоскопические кружки через каждые 0,5 с, подписанные на целых секундах, показывают растущие промежутки; синяя стрелка — скорость, зелёная — постоянное ускорение g.

Перед этой темой: Прямолинейное движение

Начальный

Главное

Падающее тело каждую секунду набирает около 9,81 м/с скорости; этот прирост называют g.
Путь растёт быстрее скорости: около 4,9 м за первую секунду и 19,6 м за две.
Без воздуха тяжёлое и лёгкое падают вместе: притяжение сильнее, но и разогнать массу труднее.
Воздух тормозит тем сильнее, чем быстрее тело падает, поэтому перо или парашют скоро перестают разгоняться.
Сила тяжести не выключается: брошенный вверх мяч замедляется, на миг останавливается наверху и падает обратно.

Тело свободно падает, когда на него действует только сила тяжести. У поверхности Земли оно каждую секунду набирает около 9,81 м/с скорости вниз, из чего бы оно ни было сделано. Этот равномерный прирост называют g — ускорением свободного падения.

Отпустите камень с высокого моста. Через 1 с он падает со скоростью около 10 м/с, через 2 с — около 20 м/с, через 3 с — около 29 м/с: скорость растёт на одну и ту же величину каждую секунду.

Проверьте себя: примерно с какой скоростью он падает через 5 с? (Около 49 м/с.)

Путь растёт быстрее скорости, ведь камень начинает движение из состояния покоя. За первую секунду его средняя скорость всего около 4,9 м/с, поэтому он опускается примерно на 4,9 м; за две секунды он пролетает 19,6 м — вчетверо больше. В анимации бледные кружки, по одному на каждые полсекунды, расходятся всё дальше друг от друга.

Почему тяжёлые и лёгкие тела падают вместе? Тяжёлое тело Земля притягивает сильнее, но и разогнать его труднее — ровно во столько же раз, так что оба эффекта компенсируются. В трубке, из которой откачан воздух, перо и монета падают бок о бок. В обычной жизни воздух тормозит падающее тело тем сильнее, чем быстрее оно летит, поэтому перо или парашют скоро перестают разгоняться.

Сила тяжести не выключается и при подъёме. Мяч, брошенный вверх, каждую секунду теряет около 9,81 м/с, на мгновение останавливается в верхней точке и падает обратно.

Проверьте себя: мяч вылетает из руки вертикально вверх со скоростью около 20 м/с. Когда он перестанет подниматься? (Примерно через 2 с.)

Средний

Главное

Из состояния покоя (ось вниз, $h$ — пройденный путь): $v = g t$ , $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ , $v = 2 g h$ .
Пути, пройденные за последовательные равные промежутки времени, относятся как 1 : 3 : 5 : 7.
Брошенное вверх со скоростью $v_{0}$ тело останавливается через $v_{0} / g$ и возвращается через $2 v_{0} / g$ с той же скоростью.
В верхней точке $v = 0$ , но ускорение по-прежнему равно $g$ и направлено вниз.

Свободное падение и выбор знака

Тело свободно падает, если на него действует только сила тяжести, а сопротивлением воздуха пренебрегают. Брошенный вверх мяч тоже падает свободно — с того момента, как он покинул вашу руку. Вблизи поверхности Земли все свободно падающие тела имеют одно и то же ускорение, направленное вниз, $g \approx 9, 81 м / с^{2}$ , какой бы ни была их масса.

Движение происходит вдоль вертикальной прямой, поэтому сначала выберите положительное направление. Для падения возьмите ось вниз и включите секундомер в момент отпускания: тогда скорость $v$ , ускорение $g$ и пройденный путь $h$ положительны. Для броска возьмите ось вверх: ускорение тогда равно $- g$ , а отрицательная скорость означает, что тело движется вниз. Не смешивайте два выбора в одной задаче. В формулах ниже $h$ — пройденный при падении путь, а индикатор $h$ в анимации показывает высоту над землёй.

Одно ускорение для всех тел

При свободном падении скорость каждую секунду меняется на одну и ту же величину, $g = Δ v /Δ t$ : на 9,81 м/с вниз за каждую секунду, одинаково для монеты и для человека. Земля притягивает тело с силой тяжести $F_{т} = m g$ , пропорциональной массе, но масса ещё и препятствует любому изменению скорости, и второй закон Ньютона даёт $a = F_{т} / m = g$ . Тело, в десять раз более тяжёлое, притягивается в десять раз сильнее, но и разогнать его в десять раз труднее.

Галилей пришёл к тому же выводу рассуждением. Если бы тяжёлые тела падали быстрее, лёгкий камень, привязанный к тяжёлому, должен был бы его сдерживать; но связка тяжелее каждого из камней и должна была бы падать ещё быстрее. Противоречие исчезает, только если все тела падают одинаково. В 1971 году астронавт «Аполлона-15» на лишённой воздуха Луне, где $g \approx 1, 62 м / с^{2}$ , уронил молоток и перо сокола, и они упали одновременно.

Уравнения свободного падения

Поскольку $g$ постоянно, применимы уравнения равноускоренного движения из урока «Прямолинейное движение» при $v_{0} = 0$ и $a = g$ (ось направлена вниз):

$v = g t$
$h = \frac{1}{2} g t^{2} (путь, пройденный из состояния покоя)$
$v = 2 g h$

Скорость растёт пропорционально времени, а путь — его квадрату: за вдвое большее время тело пролетает вчетверо больше, потому что ещё и движется быстрее. Третье уравнение, следующее из $v^{2} = 2 g h$ , связывает скорость и высоту без участия времени. Полезные проверки: падение примерно с 5 м длится около 1 с, примерно с 20 м — около 2 с.

Для броска сохраняйте начальную скорость $v_{0}$ . При оси вверх и высоте $y$ над точкой броска
$v = v_{0} - g t (ось вверх)$
$y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
Мяч, брошенный вверх со скоростью $v_{0}$ , останавливается в верхней точке через $v_{0} / g$ на высоте $v_{0}^{2} / (2 g)$ и возвращается в точку броска через $2 v_{0} / g$ , двигаясь вниз с той же по модулю скоростью $v_{0}$ : спуск повторяет подъём в обратном порядке. Бросок вниз — это просто отрицательная $v_{0}$ .

Пример: мяч из анимации

Мяч отпускают без начальной скорости с высоты $h_{0} = 40 м$ над землёй, и он приземляется, пролетев 40 м:
$t = \frac{2 h _{0}}{g} = \frac{2 \cdot 40}{9 , 81} \approx 2, 86 с$
$v = g t = 9, 81 \cdot 2, 856 \approx 28, 0 м / с$
Третье уравнение даёт тот же результат без времени: $2 \cdot 9, 81 \cdot 40 = 784, 8 \approx 28, 0 м / с$ , около 100 км/ч.

Именно эти значения показывают индикаторы в момент приземления: $t$ останавливается на 2,9 с (индикаторы показывают одну цифру после запятой), $v$ — на 28,0 м/с, а индикатор $h$ , высота $h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$ , уменьшается от 40 м до 0. Синяя стрелка $v$ каждую секунду удлиняется на один и тот же шаг, а зелёная стрелка $g$ всё время сохраняет длину.

На середине времени, при 1,43 с, мяч пролетел лишь 10,0 м, четверть высоты падения, и движется со скоростью 14,0 м/с; индикатор $h$ показывает 30,0 м. Середину высоты, 20 м, он проходит только через 2,02 с, со скоростью 19,8 м/с: нижнюю половину пути мяч пролетает меньше чем за треть времени. Его средняя скорость, $40/2, 856 \approx 14, 0 м / с$ , вдвое меньше конечной.

Пример: мяч, брошенный вертикально вверх

Вы бросаете мяч вертикально вверх со скоростью 12 м/с из руки, находящейся на высоте 1,5 м над землёй, и отходите в сторону. На какую высоту поднимется мяч, когда он вернётся на уровень руки и с какой скоростью упадёт на землю? Возьмите ось вверх, а начало отсчёта — в руке: $v_{0} = + 12 м / с$ , ускорение $- 9, 81 м / с^{2}$ .

В верхней точке $v = 0$ , поэтому из $0 = 12 - 9, 81 t$ получаем $t \approx 1, 22 с$ , а набранная высота равна $v_{0}^{2} / (2 g) = 144/19, 62 \approx 7, 34 м$ : верхняя точка находится на высоте 8,84 м над землёй. На уровень руки мяч возвращается через $2 v_{0} / g \approx 2, 45 с$ , двигаясь вниз со скоростью 12 м/с. При $t = 2 с$ скорость $v = 12 - 9, 81 \cdot 2 = - 7, 6 м / с$ : знак минус означает, что мяч уже падает.

К моменту удара о землю перемещение равно $Δ y = - 1, 5 м$ , а время не нужно, поэтому применим $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g Δ y$ :
$v^{2} = 1 2^{2} - 2 \cdot 9, 81 \cdot (- 1, 5) = 144 + 29, 4 = 173, 4 м^{2} / с^{2}$
Мяч приземляется со скоростью 13,2 м/с, направленной вниз, $v = - 13, 2 м / с$ , через $t = (12 + 13, 2) /9, 81 \approx 2, 57 с$ — быстрее, чем был брошен, потому что заканчивает движение на 1,5 м ниже.

Как читать стробоскопический снимок и графики

Бледные кружки показывают мяч через каждые 0,5 с; у кружков с подписями 1 с и 2 с он пролетел 4,9 м и 19,6 м. Промежутки между соседними кружками равны 1,23; 3,68; 6,13; 8,58 и 11,04 м, то есть относятся как 1 : 3 : 5 : 7 : 9. Это правило нечётных чисел Галилея: путь пропорционален $t^{2}$ (1, 4, 9, 16, 25), а разности последовательных квадратов — нечётные числа. Каждый промежуток длиннее предыдущего на $g (Δ t)^{2} = 9, 81 \cdot 0, 5^{2} \approx 2, 45 м$ .

На графике скорости от времени падение — прямая, проходящая через начало координат, с наклоном $g$ , а пройденный путь равен площади под ней: для анимации это треугольник шириной 2,86 с и высотой 28,0 м/с, площадью $\frac{1}{2} \cdot 2, 856 \cdot 28, 0 \approx 40 м$ . График высоты от времени, который показан в экспертном слое, — парабола: она начинается горизонтально и становится всё круче, а её наклон равен скорости.

Частые ошибки

Ускорение в верхней точке не равно нулю: на мгновение нулю равна только скорость, а ускорение остаётся равным 9,81 м/с² вниз и разворачивает мяч. Мяч, брошенный вверх со скоростью 19,62 м/с, останавливается через 2,0 с и возвращается через 4,0 с.
Тяжёлые тела не падают быстрее: без воздуха и 5-килограммовое ядро, и 5-граммовый шарик набирают скорость на 9,81 м/с каждую секунду.
Не теряйте множитель 2 и корень в $v = 2 g h$ : падение с 20 м даёт $392, 4 \approx 19, 8 м / с$ , а не 392 и не 196 м/с.
Не путайте пройденный путь с высотой над землёй: через 1 с мяч из анимации пролетел 4,9 м и находится на высоте 35,1 м.

Где это встречается

Отпустите линейку между пальцами друга: если она пролетела 20 см, прежде чем он её поймал, его время реакции равно $2 \cdot 0, 20/9, 81 \approx 0, 20 с$ . Прыгун с десятиметровой вышки достигает воды примерно через 1,4 с, имея скорость около 14 м/с, а по времени падения брошенного камня можно определить глубину колодца. Свободное падение — это ещё и вертикальная половина любого броска. Дальше идут уроки «Движение тела, брошенного под углом» (к падению добавляется равномерное горизонтальное движение), «Законы Ньютона» (откуда берётся само ускорение), «Работа, энергия и мощность» (где $v^{2} = 2 g h$ читается как закон сохранения энергии) и «Сопротивление среды и предельная скорость» (где учитывается воздух).

Продвинутый

Главное

Вес пропорционален инертной массе, поэтому $\overset{y}{¨} = - g$ для любого тела: в падающем ящике всё парит (принцип эквивалентности).
Интегрируем $\overset{y}{¨} = - g$ : $v_{y} = v_{0} - g t$ — прямая с наклоном $- g$ , $y = h_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ — парабола.
$g = GM / R^{2}$ — тот же закон, что держит Луну: на расстоянии 60 радиусов Земли она за секунду падает в $6 0^{2}$ раз меньше яблока.
Квадратичное сопротивление: $v (t) = v_{уст} th (g t / v_{уст})$ , $v_{уст} = 2 m g / (ρ C_{x} S)$ ; идеальная модель верна при $v ≪ v_{уст}$ .

Инертность, сила тяжести и принцип эквивалентности

Всё в этом уроке опирается на один опытный факт: в вакууме все тела вблизи земной поверхности падают с одинаковым ускорением, какими бы ни были их масса и вещество. Этот раздел показывает, чем этот факт удивителен и к чему он привёл.

Направим ось $y$ вверх. Тогда второй закон Ньютона для падающего тела имеет вид
$m_{и} \overset{y}{¨} = - m_{г} g$
Здесь фигурируют две разные массы. Слева инертная масса $m_{и}$ показывает, насколько трудно разогнать тело. Справа гравитационная масса $m_{г}$ показывает, насколько сильно его притягивает Земля, подобно тому как электрический заряд показывает, насколько сильно на тело действует электрическое поле; $g$ — напряжённость поля тяготения Земли у её поверхности, около 9,81 м/с². Ничто в механике Ньютона не требует, чтобы эти две массы были равны.

Опыт говорит, что они равны. Крутильные весы показывают, что отношение $m_{г} / m_{и}$ одинаково для разных веществ с точностью около одной части на $1 0^{13}$ , а в 2022 году спутник, сравнивавший пробные массы из сплавов платины и титана, довёл точность примерно до одной части на $1 0^{15}$ . При $m_{и} = m_{г}$ масса сокращается в обеих частях, и для любого тела остаётся $\overset{y}{¨} = - g$ : ускорение свободного падения не зависит от того, что именно падает.

Эйнштейн возвёл это равенство в принцип — принцип эквивалентности. Представьте себе небольшой закрытый ящик, который свободно падает. Каждый предмет внутри имеет то же ускорение, что и ящик, поэтому относительно ящика ничто не ускоряется: незакреплённые предметы парят, и никакой опыт внутри не позволит отличить падение от парения далеко в пустом пространстве. Ящик должен быть небольшим, чтобы $g$ было одинаковым по величине и направлению во всём его объёме. Принцип эквивалентности — отправная точка общей теории относительности, в которой тяготение становится геометрией пространства-времени.

Вот почему космонавты парят в невесомости. На высоте космической станции, около 400 км, $g$ всё ещё около 8,7 м/с², почти 90 % значения у поверхности. Тяготение никуда не исчезло: экипаж и станция падают вместе, поэтому не давят друг на друга.

Интегрирование уравнения движения

Когда масса сократилась, всё движение следует из $a_{y} = - g$ . Два интегрирования дают скорость и координату, а ещё один шаг — энергию.

Направим ось вверх и запустим отсчёт времени в момент отпускания, $t = 0$ , когда тело находится на высоте $h_{0}$ и имеет вертикальную скорость $v_{0}$ . Поскольку $a_{y} = d v_{y} / d t = - g$ постоянно, одно интегрирование даёт скорость; поскольку $v_{y} = d y / d t$ , второе даёт координату:
$v_{y} (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} (- g) d t^{'} = v_{0} - g t$
$y (t) = h_{0} + \int_{0}^{t} v_{y} (t^{'}) d t^{'} = h_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
Каждое интегрирование приносит одну постоянную, которую определяет начальное состояние: $v_{0}$ в первом, $h_{0}$ во втором. Само тяготение даёт лишь слагаемое $- \frac{1}{2} g t^{2}$ , которое изгибает график $y (t)$ в параболу, причём изгибает любое падение одинаково.

В анимации мяч отпускают без начальной скорости, $v_{0} = 0$ , с высоты $h_{0} = 40 м$ . Он достигает земли, $y = 0$ , когда $\frac{1}{2} g T^{2} = h_{0}$ , то есть в момент
$T = \frac{2 h _{0}}{g} = \frac{2 \cdot 40}{9 , 81} \approx 2, 86 с$
Его скорость в этот момент $v_{y} = - g T \approx - 28, 0 м / с$ ; знак минус означает, что она направлена вниз.

Часто время не важно, а важно лишь, как скорость зависит от высоты. Правило дифференцирования сложной функции исключает $t$ : $a_{y} = d v_{y} / d t = (d v_{y} / d y) (d y / d t) = v_{y} d v_{y} / d y$ . Значит, $v_{y} d v_{y} = - g d y$ , и интегрирование от момента отпускания даёт
$v_{y}^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - h_{0})$
Умножьте на $m /2$ и перегруппируйте: $\frac{1}{2} m v_{y}^{2} + m g y = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g h_{0}$ . Левая часть, сумма кинетической и потенциальной энергий, остаётся равной своему начальному значению: энергия сохраняется. На каждый килограмм массы мяча из анимации в начале приходится потенциальная энергия $g h_{0} = 9, 81 \cdot 40 = 392, 4 Дж / кг$ , а при приземлении — кинетическая энергия $\frac{1}{2} v_{y}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 784, 8 = 392, 4 Дж / кг$ .

Как читать графики скорости и высоты

Обе формулы легче всего понять по графикам. Наклоны и площади на них — самый быстрый способ проверить любое движение с постоянным ускорением.

**Рисунок 1.** Падение из анимации на общей оси времени. Верхний график: $v_{y} = - g t$ — прямая с наклоном $- g$ , а закрашенная площадь между ней и осью $t$ равна изменению высоты $Δ h$ . Нижний график: наклон $h (t)$ в каждый момент равен $v_{y}$ , и круче всего кривая идёт в момент удара $T$ .

На рисунке 1 падение из анимации показано двумя графиками, один над другим, с общей осью времени $t$ . Их соединяет вертикальная штриховая линия в момент удара $T \approx 2, 86 с$ .

Посмотрите сначала на верхний график, $v_{y} (t) = - g t$ : это прямая, идущая от нуля вниз до $- g T \approx - 28, 0 м / с$ . Её наклон — это ускорение. Маленький треугольник показывает, что за любой промежуток $Δ t$ скорость меняется на $Δ v_{y} = - g Δ t$ , а наклон всей прямой, $- 28, 01/2, 856 \approx - 9, 81 м / с^{2}$ , равен $a_{y} = - g$ . Наклон везде одинаков, значит, одинаково и ускорение: на графике постоянное ускорение означает прямую линию скорости.

Теперь посмотрите на закрашенный треугольник между прямой и осью времени. Его площадь равна изменению высоты $Δ h$ : каждая его тонкая вертикальная полоска имеет ширину $d t$ и высоту $v_{y}$ , а $v_{y} d t$ — это расстояние, пройденное за это время. Треугольник лежит под осью, поэтому его площадь берётся со знаком минус: $Δ h = \frac{1}{2} \cdot 2, 856 \cdot (- 28, 0) \approx - 40 м$ — всё падение.

Нижний график — высота $h (t)$ , которая во время падения равна $y (t) = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$ : парабола ветвями вниз. Её наклон в каждый момент равен текущей $v_{y}$ , которую можно прочесть на верхнем графике. В момент отпускания $v_{y} = 0$ , поэтому кривая выходит с уровня $h_{0} = 40 м$ горизонтально. В момент удара $v_{y} = - 28, 0 м / с$ , поэтому здесь кривая круче всего; касательная, проведённая в момент $T$ и обозначенная $v_{y}$ , имеет наклон $- g T$ — то значение, на котором заканчивается верхняя прямая. Скорость изменения наклона, то есть изгиб кривой, — это вторая производная, равная $- g$ на всём протяжении падения.

Парабола показывает и то, как неравномерно падение расходует время. К середине времени падения, $T /2 = 1, 43 с$ , мяч пролетел лишь $\frac{1}{2} \cdot 9, 81 \cdot 1, 42 8^{2} = 10, 0 м$ и всё ещё находится на высоте 30 м, на трёх четвертях начальной; оставшиеся 30 м занимают вторую половину времени. В момент $T$ оба графика обрываются: земля давит на мяч в ответ, и свободное падение закончилось.

Откуда берётся g

До сих пор $g$ было просто заданным числом. Закон всемирного тяготения Ньютона объясняет его значение и показывает, почему оно постоянно лишь приближённо.

Сферическая Земля массой $M$ и радиусом $R$ притягивает тело массой $m$ на своей поверхности с силой $GM m / R^{2}$ , как если бы вся её масса была сосредоточена в центре. Разделив на $m$ , получаем ускорение
$g = \frac{GM}{R ^{2}}$
При $G = 6, 674 \times 1 0^{- 11} Н м^{2} / к г^{2}$ , $M = 5, 97 \times 1 0^{24} кг$ и $R = 6371 км$ оно равно 9,82 м/с². Измеренное значение слегка меняется от места к месту, потому что Земля вращается, сплюснута у полюсов и неоднородна внутри.

На высоте $h$ над поверхностью расстояние до центра равно $R + h$ , поэтому $g$ становится равным $GM / (R + h)^{2} \approx (GM / R^{2}) (1 - 2 h / R)$ при $h ≪ R$ , то есть меньше примерно на долю $2 h / R$ . Для 40 м анимации эта доля равна $80/ (6, 371 \times 1 0^{6}) \approx 1, 3 \times 1 0^{- 5}$ , около 13 миллионных. Поэтому $g$ и кажется постоянным: обычные высоты ничтожно малы по сравнению с $R$ .

Орбита — падение, которое никак не достигнет земли

То же $g$ , которое возвращает на землю отпущенный мяч, удерживает на орбите спутник. Рисунок 2 показывает, как это происходит, сравнивая два малых расстояния.

На рисунке 2 мяч бросают горизонтально чуть выше поверхности земли со скоростью $v$ . Без тяготения он двигался бы по штриховой прямой, касательной к Земле, и через короткое время $t$ оказался бы на месте бледного мяча, на расстоянии $v t$ от начальной точки. Тяготение добавляет смещение примерно на $\frac{1}{2} g t^{2}$ к центру $O$ — золотистый отрезок. Поэтому через время $t$ мяч находится не на месте бледного мяча, а на месте закрашенного мяча чуть ниже, на криволинейной траектории; там стрелка $g$ направлена к $O$ .

Земля тоже уходит вниз от штриховой прямой, потому что она круглая. Касательная перпендикулярна радиусу $R$ , поэтому по теореме Пифагора точка касательной, удалённая на $x$ от точки касания, находится на расстоянии $R^{2} + x^{2}$ от $O$ , а её высота над поверхностью равна
$R^{2} + x^{2} - R \approx \frac{x ^{2}}{2 R}$
при $x ≪ R$ . При $x = v t$ поверхность лежит на $(v t)^{2} / (2 R)$ ниже прямой.

Теперь сравните два опускания. Если мяч опускается меньше, чем поверхность, он удаляется от земли; если больше — падает на неё; если ровно настолько же — остаётся на той же высоте над землёй. А поскольку так происходит в каждой точке пути, мяч в этом случае обращается вокруг Земли бесконечно. Условие таково:
$\frac{1}{2} g t^{2} = \frac{( v t ) ^{2}}{2 R}$
Время сокращается, и остаётся $v^{2} / R = g$ : тяготение сообщает ровно то центростремительное ускорение $v^{2} / R$ , которое нужно для движения по окружности радиусом $R$ . У поверхности для этого требуется $v = g R = 9, 81 \cdot 6, 371 \times 1 0^{6} \approx 7, 9 км / с$ . Орбита — это свободное падение с такой боковой скоростью, что поверхность Земли всё время уходит из-под падающего тела.

То же рассуждение выдержало у Ньютона решающую проверку — движением Луны. Если тяготение ослабевает как $1/ r^{2}$ с расстоянием $r$ от центра, то на расстоянии Луны, около 60 земных радиусов, оно должно давать ускорение $g /6 0^{2} \approx 2, 7 \times 1 0^{- 3} м / с^{2}$ . На самом деле Луна обращается на расстоянии 384 000 км с периодом 27,3 суток, а для этого нужно центростремительное ускорение $2, 72 \times 1 0^{- 3} м / с^{2}$ : значения совпадают. За одну секунду Луна «падает» на $\frac{1}{2} \cdot 2, 72 \times 1 0^{- 3} \cdot 1^{2} \approx 1, 4 \times 1 0^{- 3} м$ , примерно на 1,4 мм, ниже прямой, по которой двигалась бы без притяжения. Это то же $\frac{1}{2} g t^{2}$ , что на рисунке 2, только с гораздо меньшим $g$ на орбите Луны; яблоко у поверхности Земли за ту же секунду пролетает 4,9 м.

Падение в воздухе

В воздухе правило «все тела падают одинаково» нарушается, причём нарушается предсказуемо. Рисунок 3 показывает этот эффект прежде, чем его объяснят уравнения.

На рисунке 3 показана зависимость скорости $v$ от времени $t$ для двух мячей одинакового размера и формы: одного массой $m$ , другого массой $4 m$ . Штриховая прямая — это $v = g t$ , падение без воздуха. Обе кривые выходят из начала координат вдоль неё, потому что при малой скорости сопротивление пренебрежимо мало. Затем они отклоняются от прямой и выходят каждая на свою предельную скорость, отмеченную горизонтальной штриховой линией: $v_{t}$ у более лёгкого мяча и $2 v_{t}$ у более тяжёлого. Более тяжёлый мяч дольше идёт вдоль прямой и в итоге падает вдвое быстрее. Дальше в этом разделе выводятся эти кривые и множитель 2.

Сопротивление воздуха — это сила, с которой воздух действует на движущееся в нём тело; она направлена против движения и растёт со скоростью. При обычных размерах и скоростях она близка к
$F_{с} = \frac{1}{2} ρ C_{x} S v^{2}$
где $ρ$ — плотность воздуха, $S$ — площадь поперечного сечения, обращённого к потоку, а $C_{x}$ — коэффициент лобового сопротивления, безразмерное число, зависящее от формы, около 0,5 для шара. Для пылинок и капелек тумана, крошечных и медленных, сопротивление пропорционально $v$ .

Направим ось вниз. Второй закон Ньютона, с силой тяжести, направленной вниз, и сопротивлением, направленным вверх, имеет вид
$m \frac{d v}{d t} = m g - \frac{1}{2} ρ C_{x} S v^{2}$
В начале $v = 0$ , сопротивление равно нулю, а ускорение равно $g$ . По мере роста скорости сопротивление догоняет силу тяжести, и ускорение затухает. Скорость стремится к значению, при котором две силы уравновешены и $d v / d t = 0$ , — к предельной скорости:
$v_{t} = \frac{2 m g}{ρ C _{x} S}$

Если записать уравнение движения через $v_{t}$ , оно примет вид $d v / d t = g (1 - v^{2} / v_{t}^{2})$ . Его решение при старте из состояния покоя:
$v (t) = v_{t} th (\frac{g t}{v _{t}})$
Проверьте его дифференцированием: поскольку $d (th x) / d x = 1 - th^{2} x$ , производная равна $g (1 - v^{2} / v_{t}^{2})$ . Для малых $t$ получаем $th x \approx x$ и $v \approx g t$ — прямую без воздуха; при $t ≫ v_{t} / g$ имеем $th \to 1$ и $v \to v_{t}$ . Значит, $v_{t} / g$ — характерное время, за которое кривая выходит на постоянный уровень.

Чтобы найти скорость после падения на расстояние $s$ , снова воспользуйтесь правилом дифференцирования сложной функции: $d v / d t = v d v / d s = \frac{1}{2} d (v^{2}) / d s$ . Тогда уравнение для $v^{2}$ имеет вид
$\frac{d ( v ^{2} )}{d s} = 2 g (1 - \frac{v ^{2}}{v _{t}^{2}})$
поэтому $v^{2}$ экспоненциально приближается к $v_{t}^{2}$ на характерном расстоянии $v_{t}^{2} / (2 g)$ :
$v^{2} = v_{t}^{2} (1 - e^{- 2 g s / v_{t}^{2}})$
При коротком падении, $s ≪ v_{t}^{2} / (2 g)$ , экспонента близка к $1 - 2 g s / v_{t}^{2}$ , и результат сводится к формуле без воздуха $v^{2} = 2 g s$ .

Теперь множитель 2. При одинаковых размере и форме величины $ρ$ , $C_{x}$ и $S$ у обоих мячей одни и те же, поэтому $v_{t} \propto m$ : учетверённая масса даёт удвоенную предельную скорость. Она же удваивает характерное время $v_{t} / g$ , так что более тяжёлый мяч остаётся вблизи прямой $v = g t$ вдвое дольше. Это и есть вторая кривая рисунка 3.

Уроните теннисный мяч — более лёгкий мяч рисунка 3 — с тех же 40 м анимации. Возьмите $m = 57 г$ , диаметр 6,7 см (тогда $S = π \cdot 0, 033 5^{2} \approx 3, 53 \times 1 0^{- 3} м^{2}$ ), $C_{x} \approx 0, 55$ и $ρ = 1, 2 кг / м^{3}$ . Его предельная скорость равна
$v_{t} = \frac{2 \cdot 0 , 057 \cdot 9 , 81}{1 , 2 \cdot 0 , 55 \cdot 3 , 53 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 22 м / с$
и он приземляется со скоростью 19,7 м/с через 3,26 с вместо 28,0 м/с через 2,86 с без воздуха. Мяч того же размера, но в четыре раза тяжелее, имеет вдвое большую предельную скорость, около 44 м/с, и приземляется со скоростью 25,4 м/с через 2,95 с. Значит, воздух всё-таки различает тяжёлое и лёгкое — через $v_{t} \propto m$ при тех же размерах и форме.

Для сравнения: парашютист, падающий лицом вниз, выходит на скорость около 55 м/с (примерно 200 км/ч), а капля дождя диаметром 1 мм — около 4 м/с. При предельной скорости ускорение равно нулю, а не $g$ : тело падает с постоянной скоростью, и сопротивление уравновешивает силу тяжести.

Задача: встреча с падающим мячом

В момент, когда мяч из анимации отпускают с высоты 40 м, из точки на земле прямо под ним вертикально вверх бросают второй мяч со скоростью 28,0 м/с — той, с которой первый приземляется. Когда и где мячи встретятся?

**Рисунок 4.** Высоты двух мячей из задачи: $y_{1}$ — отпущенного с высоты $h_{0}$ , $y_{2}$ — брошенного вверх с земли. Кривые зеркально симметричны относительно штриховой линии в момент $T /2$ , где они пересекаются на высоте $\frac{3}{4} h_{0}$ .

На рисунке 4 показаны высоты обоих мячей в зависимости от времени; ось направлена вверх, начало отсчёта — на земле. Первый мяч отпускают с высоты $h_{0}$ , второй бросают вверх со скоростью $v_{0} = 28, 0 м / с$ :
$y_{1} = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}, y_{2} = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
Проследите за $y_{1}$ : кривая выходит с уровня $h_{0}$ горизонтально и достигает земли в момент $T$ . Проследите за $y_{2}$ : второй мяч стартует с земли, и, поскольку $v_{0} = g T$ , его скорость $v_{0} - g t$ обращается в нуль ровно в момент $T$ . Значит, второй мяч достигает верхней точки полёта в момент $T$ на высоте $v_{0} T - \frac{1}{2} g T^{2} = \frac{1}{2} g T^{2} = h_{0}$ — там, откуда стартовал первый.

Две кривые зеркально симметричны относительно штриховой линии в момент $T /2$ : $y_{2} (t) = y_{1} (T - t)$ . Чтобы проверить это, воспользуйтесь равенством $h_{0} = \frac{1}{2} g T^{2}$ : тогда $y_{1} (T - t) = h_{0} - \frac{1}{2} g (T - t)^{2} = g Tt - \frac{1}{2} g t^{2}$ , а это и есть $y_{2} (t)$ . Мячи встречаются там, где пересекаются кривые, а в силу симметрии это пересечение лежит на штриховой линии.

Алгебра ещё короче. Слагаемые $\frac{1}{2} g t^{2}$ одинаковы, поэтому в расстоянии между мячами они сокращаются: $y_{1} - y_{2} = h_{0} - v_{0} t$ . Расстояние уменьшается с постоянной скоростью 28,0 м/с, как будто тяготения нет, и обращается в нуль при $t = h_{0} / v_{0} = 40/28, 01 \approx 1, 43 с$ , ровно в момент $T /2$ .

В этот момент оба мяча находятся на высоте $y = 40 - \frac{1}{2} \cdot 9, 81 \cdot 1, 42 8^{2} = 30, 0 м$ — на уровне $\frac{3}{4} h_{0}$ , отмеченном на рисунке 4. Первый мяч движется вниз со скоростью $g T /2 = 14, 0 м / с$ , второй — вверх со скоростью $28, 0 - 14, 0 = 14, 0 м / с$ . Равенство скоростей не случайно: полёт второго мяча — это полёт первого, показанный в обратном порядке, о чём и говорит зеркальная симметрия рисунка 4.

Более медленный бросок приведёт к встрече позже и ниже. Время встречи $h_{0} / v_{0}$ не может превышать 2,86 с, за которые первый мяч долетает до земли, поэтому скорость броска должна быть не меньше $v_{0} = h_{0} / T = 14, 0 м / с$ — средней скорости падения; при ровно такой скорости оба мяча достигают земли одновременно.

С точки зрения первого мяча тяготение исчезло: у обоих мячей одно и то же ускорение $- g$ , поэтому в свободно падающей системе отсчёта первого мяча второй приближается по прямой с постоянной скоростью $v_{0}$ . Здесь работает принцип эквивалентности из первого раздела. То же рассуждение объясняет, почему в уроке «Движение тела, брошенного под углом» дротик, нацеленный прямо в мишень, которая начинает падать в момент выстрела, попадает в неё при любой начальной скорости, если долетает раньше, чем мишень достигнет земли.

Границы применимости

Идеальная модель свободного падения опирается на три допущения: $g$ однородно, воздуха нет, Земля не вращается. Приведённые выше числа показывают, насколько выполняется каждое из них.

Однородное $g$ отлично подходит для падения с 40 м, где $g$ меняется на 13 миллионных долей. Падение же с орбитальных высот требует $g = GM / r^{2}$ на каждом расстоянии $r$ от центра. Воздухом можно пренебречь, только пока $v ≪ v_{t}$ : при падении с 40 м более тяжёлый мяч из предыдущего раздела не дотягивает до идеальных 28,0 м/с на 9 %, а теннисный — на 30 %.

Из-за вращения Земли её поверхность — слегка неинерциальная система отсчёта, то есть сама движется с ускорением. Часть притяжения уходит на то, чтобы удерживать поверхность на её суточной окружности, и это уменьшает эффективное $g$ не более чем на 0,034 м/с² (на экваторе). Вместе со сплюснутостью Земли это даёт значения $g$ от 9,78 м/с² на экваторе до 9,83 м/с² на полюсах. Вращение также отклоняет падение к востоку: вершина башни движется на восток чуть быстрее её основания, и мяч, отпущенный с вершины, сохраняет эту добавочную скорость. Мяч из анимации, отпущенный на широте 45°, приземлился бы примерно на 4 мм восточнее точки, лежащей прямо под местом отпускания.

Релятивистские поправки при таких скоростях ничтожны: при 28 м/с $v^{2} / c^{2} \approx 9 \times 1 0^{- 15}$ . Тяготение влияет и на само время: часы, поднятые на 40 м, идут быстрее, чем на земле, на долю $g h / c^{2} \approx 4, 4 \times 1 0^{- 15}$ . Этот сдвиг впервые измерили около 1960 года по гамма-лучам, посланным вверх по башне высотой 22,5 м, а теперь оптические часы замечают его при разности высот меньше метра.

Что дальше

Свободное падение связывает большую часть механики. В уроке «Движение тела, брошенного под углом» оно сочетается с равномерным горизонтальным движением; урок «Законы Ньютона» объясняет ускорение как отношение силы тяжести к массе; в уроке «Работа, энергия и мощность» формула $v^{2} = 2 g h$ для скорости после падения с высоты $h$ из состояния покоя превращается в $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ . Урок «Тяготение и орбиты» распространяет $g = GM / r^{2}$ на планеты и спутники, в уроке «Сопротивление среды и предельная скорость» воздух учитывается всерьёз, а урок «Гармонические колебания» показывает, как период маятника зависит от $g$ , — так на протяжении веков и измеряли $g$ . Урок «Гравитация как искривление пространства-времени» строит целую теорию на том, что все тела падают одинаково.

Главные формулы

Скорость тела, падающего из состояния покоя

v = g t

При свободном падении ускорение постоянно и равно $g$ , поэтому тело, отпущенное без начальной скорости, каждую секунду набирает одни и те же 9,81 м/с скорости вниз, а за время $t$ набирает $g t$ . На графике скорости от времени это прямая через начало координат с наклоном $g$ . Масса в формулу не входит: все тела набирают скорость одинаково быстро.

Обозначения
$v$	скорость вниз в момент $t$	$м / с$
$g$	ускорение свободного падения	$м / с^{2}$
$t$	время от момента отпускания	$с$

Когда верна: Для падения из состояния покоя при оси вниз и пренебрежимо малом сопротивлении воздуха ( $v ≪ v_{уст}$ ). Для броска используйте $v = v_{0} - g t$ .

Пример: Через 2 с $v = 9, 81 \cdot 2 = 19, 62 м / с$ ; мяч из анимации приземляется через 2,86 с со скоростью около 28,0 м/с.

Путь, пройденный при падении из состояния покоя

h = \frac{1}{2} g t^{2} (путь, пройденный из состояния покоя)

Пройденный путь равен площади под линией скорости — треугольника с основанием $t$ и высотой $g t$ , то есть $\frac{1}{2} g t^{2}$ . Иначе говоря, средняя скорость при движении из состояния покоя равна половине конечной, $\frac{1}{2} g t$ , и её умножают на время. Раз путь растёт как $t^{2}$ , за вдвое большее время тело пролетает вчетверо больше, а промежутки между положениями тела через равные интервалы времени относятся как 1 : 3 : 5 : 7.

Обозначения
$h$	путь, пройденный с момента отпускания	$м$
$g$	ускорение свободного падения	$м / с^{2}$
$t$	время от момента отпускания	$с$

Когда верна: Из состояния покоя, при однородном $g$ и без сопротивления воздуха. Здесь $h$ отсчитывают вниз от точки отпускания; высота над землёй равна $h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$ , как на индикаторе анимации.

Пример: За 1 с тело пролетает 4,9 м, за 2 с — 19,6 м; 40 м анимации оно проходит за $2 \cdot 40/9, 81 \approx 2, 86 с$ .

Скорость после падения с высоты h

v = 2 g h

Исключив время из $v = g t$ и $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ , получаем $v^{2} = 2 g h$ . Это и закон сохранения энергии: потерянная потенциальная энергия $m g h$ переходит в кинетическую $\frac{1}{2} m v^{2}$ , а масса сокращается. Скорость растёт лишь как квадратный корень из высоты: при вчетверо большей высоте она вдвое больше.

Обозначения
$v$	скорость после падения на путь $h$	$м / с$
$g$	ускорение свободного падения	$м / с^{2}$
$h$	высота падения из состояния покоя	$м$

Когда верна: Из состояния покоя и без сопротивления воздуха. Тело, брошенное вверх или вниз со скоростью $v_{0}$ , на глубине $h$ ниже точки броска имеет скорость $v_{0}^{2} + 2 g h$ . При наличии сопротивления реальная скорость меньше, а тело, отпущенное из состояния покоя, никогда не превысит $v_{уст}$ .

Пример: С 40 м анимации: $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 40 \approx 28, 0 м / с$ ; с 20 м — 19,8 м/с.

Скорость тела, брошенного вертикально

v = v_{0} - g t (ось вверх)

При оси вверх тяготение каждую секунду меняет скорость на $- g$ , куда бы ни двигалось тело. Мяч, брошенный вверх со скоростью $v_{0}$ , замедляется, в верхней точке через $v_{0} / g$ имеет $v = 0$ , а затем $v$ становится отрицательной, когда мяч падает обратно. Ускорение всё время равно $- g$ , в том числе и в верхней точке.

Обозначения
$v$	вертикальная скорость в момент $t$ , положительная вверх	$м / с$
$v_{0}$	начальная вертикальная скорость, положительная при броске вверх	$м / с$
$g$	ускорение свободного падения	$м / с^{2}$
$t$	время от момента броска	$с$

Когда верна: Пока тело в полёте и сопротивление воздуха пренебрежимо мало: на пути вверх, в верхней точке и на пути вниз. При броске вниз $v_{0} < 0$ .

Пример: Брошенный вверх со скоростью 19,62 м/с, мяч имеет $v = 0$ через $19, 62/9, 81 = 2, 0 с$ и $v = - 19, 62 м / с$ при возвращении в точку броска через 4,0 с.

Установившаяся скорость при квадратичном сопротивлении

v_{уст} = \frac{2 m g}{ρ C _{x} S}

Сопротивление растёт как $\frac{1}{2} ρ C_{x} S v^{2}$ , а сила тяжести $m g$ остаётся постоянной, поэтому падающее тело разгоняется, пока они не сравняются. Из условия $\frac{1}{2} ρ C_{x} S v_{уст}^{2} = m g$ получается эта скорость, при которой равнодействующая и ускорение равны нулю. Поскольку $v_{уст} \propto m$ при тех же размерах и форме, вчетверо более тяжёлый шар имеет вдвое большую установившуюся скорость.

Обозначения
$v_{уст}$	установившаяся скорость	$м / с$
$m$	масса падающего тела	$кг$
$g$	ускорение свободного падения	$м / с^{2}$
$ρ$	плотность воздуха	$кг / м^{3}$
$C_{x}$	коэффициент лобового сопротивления (фактор формы)
$S$	площадь поперечного сечения, обращённого к воздуху	$м^{2}$

Когда верна: Для сопротивления, пропорционального $v^{2}$ : так бывает у предметов обычных размеров при обычных скоростях. Для пылинок и капелек тумана сопротивление пропорционально $v$ , и эта формула неверна.

Пример: Теннисный мяч (57 г, диаметр 6,7 см, $C_{x} \approx 0, 55$ ) в воздухе плотностью $1, 2 кг / м^{3}$ : $v_{уст} \approx 22 м / с$ .

Глоссарий

Свободное падение: Движение под действием одной лишь силы тяжести, без учёта сопротивления воздуха. Брошенный мяч падает свободно и на пути вверх, и в верхней точке, и на пути вниз, а не только пока опускается.
Ускорение свободного падения: Ускорение $g$ , одинаковое для всех свободно падающих тел в данном месте: около 9,81 м/с² у поверхности Земли, направлено вертикально вниз. Меняется от примерно 9,78 м/с² на экваторе до 9,83 м/с² на полюсах.
Сила тяжести и вес: Сила тяжести — гравитационная сила, действующая на тело, $F_{т} = m g$ ; измеряется в ньютонах. Это сила, а не масса: сумка массой 2 кг притягивается к Земле с силой около 19,6 Н, а к Луне — около 3,2 Н. Вес же — сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес, поэтому у свободно падающего тела он равен нулю.
Инертная и гравитационная массы: Инертная масса показывает, насколько трудно разогнать тело; гравитационная — насколько сильно его притягивает тяготение. Опыты находят их равными с точностью около одной части на $1 0^{15}$ , и поэтому все тела падают одинаково.
Принцип эквивалентности: Утверждение, что внутри небольшого свободно падающего ящика никакой опыт не отличит падение от парения в пустом пространстве, потому что всё в нём имеет одно и то же ускорение. Это отправная точка общей теории относительности.
Невесомость: Состояние тела при свободном падении: его ничто не поддерживает, поэтому оно не ощущает своего веса. Тяготение при этом не исчезает: на борту станции, обращающейся на высоте 400 км, $g$ всё ещё около 8,7 м/с².
Выбор положительного направления оси: Выбор того, какое вертикальное направление считать положительным. Ось вниз удобна для падения из состояния покоя ( $v = g t$ ), ось вверх — для броска ( $v = v_{0} - g t$ ); годится любой выбор, если не менять его на протяжении задачи.
Правило нечётных чисел: Из состояния покоя пути, пройденные за последовательные равные промежутки времени, относятся как 1 : 3 : 5 : 7, потому что полный путь растёт как $t^{2}$ . Галилей нашёл это правило на шарах, скатывающихся по наклонной плоскости.
Верхняя точка вертикального броска: Момент, когда у брошенного вертикально вверх мяча скорость равна нулю; он наступает через $v_{0} / g$ на высоте $v_{0}^{2} / (2 g)$ . Ускорение там по-прежнему равно $g$ и направлено вниз, поэтому мяч поворачивает обратно.
Сопротивление воздуха: Сила, с которой воздух противодействует движению тела в нём. Она растёт со скоростью — примерно как $v^{2}$ для обычных предметов и как $v$ для мельчайших капелек, — и поэтому перо падает медленнее камня.
Предельная (установившаяся) скорость: Постоянная скорость, при которой сопротивление воздуха уравновешивает силу тяжести, так что ускорение равно нулю. Она растёт как $m / (C_{d} A)$ : около 22 м/с у теннисного мяча и 55 м/с у парашютиста, летящего плашмя.
Закон всемирного тяготения: Закон Ньютона: любые две массы притягиваются с силой $GM m / r^{2}$ . У поверхности Земли он даёт $g = GM / R^{2}$ , и тот же закон удерживает Луну на орбите.

Величины
$g$	Ускорение свободного падения	$м / с^{2}$	Прирост скорости за каждую секунду свободного падения, одинаковый для всех тел: около $9, 81 м / с^{2}$ вблизи поверхности Земли, направлен вниз.
$h$	Путь, пройденный при падении	$м$	В формулах — путь, пройденный с момента отпускания из состояния покоя. Индикатор $h$ в анимации показывает вместо этого высоту над землёй: $h_{0}$ (40 м в анимации) минус пройденный путь.
$v$	Скорость	$м / с$	В формулах для падения — скорость вниз в момент $t$ ; в $v = v_{0} - g t$ — вертикальная скорость при оси вверх, отрицательная на спуске.
$v_{0}$	Начальная скорость	$м / с$	Вертикальная скорость в момент отпускания: нулевая при падении, положительная при броске вверх, если ось направлена вверх.
$t$	Время	$с$	Время от момента отпускания (или броска), когда включают секундомер: мяч из анимации приземляется при $t \approx 2, 86 с$ .
$m$	Масса	$кг$	Масса тела. В свободном падении без воздуха она сокращается, но определяет установившуюся скорость: $v_{уст} \propto m$ при тех же размерах и форме.
$v_{t}$	Предельная скорость	$м / с$	Скорость, при которой сопротивление воздуха уравновешивает силу тяжести и тело перестаёт разгоняться. В тексте урока обозначается $v_{уст}$ .
$ρ$	Плотность воздуха	$кг / м^{3}$	Масса воздуха в единице объёма, около $1, 2 кг / м^{3}$ на уровне моря; в разреженном воздухе на высоте установившаяся скорость больше.
$C_{d}$	Коэффициент лобового сопротивления		Безразмерное число, описывающее, как форма тела обтекается воздухом: около 0,5 для шара и около 1 для человека, падающего лицом вниз. В тексте урока обозначается $C_{x}$ .
$A$	Площадь поперечного сечения	$м^{2}$	Площадь, которую тело подставляет набегающему воздуху, измеренная поперёк движения: $π d^{2} /4$ для шара диаметром $d$ . В тексте урока обозначается $S$ .

Тест

Начальный Космонавт на Луне, где нет воздуха, одновременно отпускает молоток и перо. Что упадёт первым?
1. Они упадут одновременно
2. Молоток
3. Перо
4. Ничего не упадёт, ведь там нет воздуха
Показать ответ
Ответ: A. Они упадут одновременно
Без сопротивления воздуха сила тяжести сообщает всем телам одинаковое ускорение независимо от массы, поэтому они падают одновременно.
Начальный Камень отпускают без начальной скорости. Какова его скорость через 2 с, если пренебречь сопротивлением воздуха? (g = 9,81 м/с²)
1. 19,62 м/с
2. 9,81 м/с
3. 39,24 м/с
4. 2 м/с
Показать ответ
Ответ: A. 19,62 м/с
Каждую секунду скорость растёт на 9,81 м/с: v = g·t = 9,81 × 2 = 19,62 м/с.
Начальный Мяч подбросили вертикально вверх. В самой верхней точке он на мгновение останавливается. Что делает сила тяжести в этот момент?
1. Ничего, ведь мяч не движется
2. По-прежнему тянет его вниз ровно с той же силой, что и раньше
3. Тянет его вниз слабее, чем раньше
4. Толкает его вверх
Показать ответ
Ответ: B. По-прежнему тянет его вниз ровно с той же силой, что и раньше
Сила тяжести не зависит от того, как движется мяч: она всё время тянет его с одной и той же силой, поэтому и в верхней точке ускорение равно 9,81 м/с² и направлено вниз. Именно поэтому мяч сразу же начинает падать обратно; если бы в верхней точке его ничто не тянуло, он бы там завис.
Средний Мяч падает с высоты 20 м. С какой скоростью он ударится о землю, если пренебречь сопротивлением воздуха?
1. 19,8 м/с
2. 392 м/с
3. 196 м/с
4. 14,0 м/с
Показать ответ
Ответ: A. 19,8 м/с
v = √(2gh) = √(2 × 9,81 × 20) = √392,4 ≈ 19,8 м/с. Не забудьте корень и множитель 2.
Средний Тело падает без начальной скорости. Как относятся пути, пройденные им за 1-ю, 2-ю, 3-ю и 4-ю секунды?
1. 1 : 3 : 5 : 7
2. 1 : 2 : 3 : 4
3. 1 : 4 : 9 : 16
4. 1 : 1 : 1 : 1
Показать ответ
Ответ: A. 1 : 3 : 5 : 7
Полный путь растёт как t² (1, 4, 9, 16), а путь за каждую отдельную секунду — это разность: 1, 3, 5, 7.
Средний Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 19,62 м/с. Через какое время он вернётся в точку броска, если пренебречь сопротивлением воздуха?
1. 4,0 с
2. 2,0 с
3. 8,0 с
4. 1,0 с
Показать ответ
Ответ: A. 4,0 с
Подъём длится v₀/g = 19,62 ÷ 9,81 = 2,0 с, спуск — столько же, всего 4,0 с. 2,0 с — это только подъём.
Продвинутый Парашютистка достигла установившейся скорости. Каково её ускорение?
1. Ноль
2. 9,81 м/с² вниз
3. 9,81 м/с² вверх
4. Чуть больше 9,81 м/с² вниз
Показать ответ
Ответ: A. Ноль
При установившейся скорости сопротивление уравновешивает силу тяжести, поэтому равнодействующая, а значит и ускорение, равны нулю. Скорость постоянна.
Продвинутый Два шара одинаковых размеров и формы, но один в четыре раза тяжелее. Как соотносятся их установившиеся скорости при квадратичном сопротивлении?
1. У тяжёлого вдвое больше
2. Они равны
3. У тяжёлого в четыре раза больше
4. У тяжёлого в шестнадцать раз больше
Показать ответ
Ответ: A. У тяжёлого вдвое больше
v_уст = √(2mg/(ρC_xS)) пропорциональна √m, поэтому вчетверо большая масса даёт вдвое большую установившуюся скорость.

$t$	Время, прошедшее с момента отпускания.	$с$
$T$	Момент удара о землю, когда падение заканчивается.	$с$
$v_{y}$	Проекция скорости на ось, направленную вверх: высота верхней прямой и наклон касательной к $h (t)$ .	$м / с$
$g T$	Скорость, набранная за всё падение; верхняя прямая заканчивается на $v_{y} = - g T$ .	$м / с$
$Δ t$	Любой промежуток времени: горизонтальный катет треугольника наклона.	$с$
$Δ v_{y}$	Изменение $v_{y}$ за $Δ t$ : вертикальный катет. Наклон равен $Δ v_{y} /Δ t = - g$ .	$м / с$
$Δ h$	Изменение высоты за всё падение: площадь со знаком между прямой $v_{y}$ и осью $t$ .	$м$
$h$	Высота над землёй.	$м$
$h_{0}$	Высота, с которой отпускают мяч, при $t = 0$ .	$м$

$O$	Центр Земли.
$R$	Радиус Земли.	$м$
$v$	Начальная скорость, горизонтальная, вдоль касательной.	$м / с$
$v t$	Расстояние вдоль прямой за время $t$ без тяготения.	$м$
$g$	Ускорение свободного падения, направленное к центру $O$ .	$м / с^{2}$
$\frac{1}{2} g t^{2}$	Расстояние, на которое тяготение опускает мяч ниже прямой за время $t$ .	$м$

$t$	Время, прошедшее с момента отпускания.	$с$
$v$	Модуль скорости мяча, направленной вниз.	$м / с$
$g t$	Скорость через время $t$ без воздуха: штриховая прямая.	$м / с$
$v_{t}$	Предельная скорость более лёгкого мяча. У более тяжёлого она равна $2 v_{t}$ , поскольку $v_{t} \propto m$ .	$м / с$
$m$	Масса более лёгкого мяча; масса более тяжёлого — $4 m$ .	$кг$

$t$	Время, прошедшее с момента отпускания первого мяча.	$с$
$T$	Момент, когда первый мяч приземляется, а второй достигает верхней точки.	$с$
$\frac{T}{2}$	Момент встречи мячей.	$с$
$y$	Высота над землёй; ось направлена вверх.	$м$
$h_{0}$	Высота, с которой отпускают первый мяч, и верхняя точка полёта второго.	$м$
$\frac{3}{4} h_{0}$	Высота, на которой мячи встречаются.	$м$
$y_{1}$	Высота отпущенного мяча.	$м$
$y_{2}$	Высота мяча, брошенного вверх с земли.	$м$