Первое начало термодинамики и тепловые двигатели

Начальный

Потрите ладони — они нагреются; накачайте велосипедную шину — насос станет горячим. В обоих случаях работа превратилась в теплоту.

Шаг 1: три слова. Температура показывает, насколько быстро в среднем колеблются и движутся молекулы тела. Внутренняя (тепловая) энергия — это суммарная энергия всех этих молекул. Теплота — это энергия в пути: она переходит от более горячего тела к более холодному, потому что их температуры различаются.

Шаг 2: первое начало. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, а только переходит из одного места в другое или из одной формы в другую. Нагрейте газ в цилиндре — подведённая энергия сделает одно из двух или понемногу и то и другое: нагреет газ или позволит ему толкать поршень, то есть совершать работу.

Шаг 3: тепловые двигатели. Автомобильный двигатель или электростанция пропускают теплоту от горячего места к холодному и превращают её часть в работу. Часть теплоты всегда уходит дальше, к холодной стороне, впустую: поэтому у машин есть радиатор, а у электростанций — градирни.

Шаг 4: чем больше разница между горячей и холодной сторонами, тем большая доля теплоты может стать работой.

Проверьте себя: газу передали 100 Дж теплоты, и он совершил 30 Дж работы, толкая поршень. Куда делись остальные 70 Дж? (Остались в газе — он стал теплее.)

В анимации газ в цилиндре повторяет четыре шага: нагретый, он поднимает поршень и остывает, продолжая расширяться; затем его сжимают, пока он отдаёт бросовую теплоту холодной стороне. Сжать остывший газ стоит меньше работы, чем совершил горячий газ: разница — полезная работа.

Средний

Теплота, работа и внутренняя энергия

Термодинамика следит за энергией, которая входит в систему и выходит из неё (здесь система — газ в цилиндре), и пользуется тремя величинами, измеряемыми в джоулях. Внутренняя энергия $U$ — это энергия, запасённая в газе; у идеального газа это кинетическая энергия его молекул. Теплота $Q$ пересекает границу системы из-за разности температур, а работа $W$ — когда сила что-то перемещает, например когда газ толкает поршень.

Величина $Q$ положительна, когда теплота поступает в газ. $W$ — это работа, совершённая газом: положительная, когда он расширяется, и отрицательная, когда поршень его сжимает. При постоянном давлении $W=p\Delta V$, поэтому газ при 100 кПа, расширяясь на 2 л, совершает работу $100\mathrm{кПа}\cdot 2\mathrm{л}=200\mathrm{Дж}$: килопаскаль, умноженный на литр, равен джоулю.

Первое начало: энергетический баланс

Теплота — это энергия в пути, поэтому энергия, пришедшая в виде теплоты, либо остаётся в газе, либо уходит в виде работы:
$\Delta U=Q-W$

Это и есть первое начало термодинамики. В 1840-х годах Джоуль нагревал воду лопастями, которые вращали падающие грузы, и обнаружил, что около 4,2 Дж работы дают тот же нагрев, что и одна калория теплоты.

У идеального одноатомного газа $U=\frac{3}{2}nRT$, поэтому $\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T$. У газа из анимации $nR=2\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$ (около 0,24 моль), так что его внутренняя энергия меняется на 3 Дж на каждый кельвин. Четыре простых процесса распределяют энергию по-разному:

• Изотермический, при постоянной $T$: $\Delta U=0$, поэтому $Q=W$. На первом этапе анимации газ получает 1099 Дж теплоты и совершает 1099 Дж работы.
• Адиабатный, без теплообмена: $Q=0$, поэтому $W=-\Delta U$. На втором этапе газ совершает 600 Дж работы и остывает с 500 К до 300 К; при сжатии газ, наоборот, нагревается, как в велосипедном насосе.
• При постоянном объёме поршень не может двигаться, поэтому $W=0$, и вся теплота идёт на нагревание: $Q=\Delta U$.
• При постоянном давлении $W=p\Delta V=nR\Delta T$. Чтобы нагреть 1 моль одноатомного газа на 10 К, нужно $\Delta U=125\mathrm{Дж}$ плюс $W=83\mathrm{Дж}$, то есть $Q=208\mathrm{Дж}$.

Тепловые двигатели и КПД

Тепловой двигатель работает циклами: газ возвращается в исходное состояние, поэтому за каждый цикл $\Delta U=0$. Двигатель берёт теплоту $Q_h$ у нагревателя (горячего резервуара) и отдаёт теплоту $Q_c$ холодильнику (холодному резервуару); обе величины считаются положительными. Чистая работа за цикл и КПД (доля полученной теплоты, ставшая работой) равны

• $W=Q_h-Q_c$
• $\eta =\frac{W}{Q_h}=1-\frac{Q_c}{Q_h}$

Тепловой резервуар — это тело настолько большое, что его температура не меняется, например топка или река. Между резервуарами с абсолютными температурами $T_h$ и $T_c$ ни один двигатель не может превзойти КПД Карно (почему, показывает экспертный уровень):
${\eta }_C=1-\frac{T_c}{T_h}$
Часть теплоты всегда приходится отдавать; чем больше разность температур, тем большая доля теплоты может стать работой.

Пример: двигатель из анимации

Двигатель в анимации работает по циклу Карно между $T_h=500\mathrm{К}$ и $T_c=300\mathrm{К}$. На этапе 1 газ изотермически расширяется от 1 л до 3 л в контакте с нагревателем. Идеальный газ при постоянной температуре совершает работу $nRT\ln (V_f/V_i)$ (вывод — на экспертном уровне), и вся она поступает в виде теплоты:
$Q_h=2\cdot 500\cdot \ln 3=1098,6\mathrm{Дж}$

На этапе 2 теплоизолированный газ продолжает расширяться до 6,46 л, совершая работу $W=-\Delta U=3\cdot 200=600\mathrm{Дж}$ и остывая до 300 К. На этапе 3 его сжимают в контакте с холодильником от 6,46 л до 2,15 л, снова в 3 раза, и он отдаёт теплоту $Q_c=2\cdot 300\cdot \ln 3=659,2\mathrm{Дж}$. Этап 4, адиабатный, стоит 600 Дж и возвращает газ к 1 л и 500 К. Тогда
$W=Q_h-Q_c=1098,6-659,2=439,4\mathrm{Дж},\eta =\frac{439,4}{1098,6}=40\%$

Это в точности $1-300/500$: двигатель Карно достигает предела. Два адиабатных этапа компенсируют друг друга, $+600$ и $-600\mathrm{Дж}$, потому что каждый охватывает одну и ту же разность температур в 200 К.

Как читать цикл: индикаторы и диаграмма p–V

Индикаторы показывают нарастающие итоги с начала цикла, округлённые до джоуля; равенство $\Delta U=Q-W$ выполняется в каждый момент. На этапе 1 включена красная стрелка $Q_h$, температура $T$ остаётся равной 500 К, а $Q$ и $W$ растут вместе до 1099 Дж. На этапе 2 значение $Q$ не меняется, $W$ растёт до 1699 Дж, а $\Delta U$ падает до $-600\mathrm{Дж}$. На этапе 3 появляется синяя стрелка $Q_c$, а $Q$ и $W$ уменьшаются вместе — до 439 Дж и 1039 Дж. На этапе 4 значение $Q$ остаётся равным 439 Дж, $W$ уменьшается до 439 Дж, а $\Delta U$ возвращается к нулю: вся чистая полученная теплота стала работой. Зелёная стрелка $W$ направлена вверх, пока газ толкает поршень, и вниз, пока поршень толкает газ.

На диаграмме $p$–$V$ работа на этапе равна площади под его кривой. Туда, по верхней части петли, газ совершает работу 1698,6 Дж; на обратном пути, по нижней части, поршень совершает над газом работу 1259,2 Дж, поэтому петля охватывает чистые 439,4 Дж.

Пример: электростанция

Электростанция вырабатывает пар при 527 °С (800 К), конденсирует его речной водой при 27 °С (300 К) и превращает 40 % теплоты в 600 МВт электрической мощности. Уравнения цикла справедливы и для величин в секунду, то есть в мегаваттах.

Предел Карно равен $1-300/800=62,5\%$, так что 40 % ему не противоречат. Топливо должно давать $Q_h=W/\eta =600/0,40=1500\mathrm{МВт}$, а $Q_c=1500-600=900\mathrm{МВт}$ уходит бросовой теплотой — больше, чем составляет электрическая мощность. Удельная теплоёмкость воды равна 4186 Дж/(кг·К), поэтому, чтобы нагреть реку всего на 10 К, нужно каждую секунду пропускать $900\times 10^6/(4186\cdot 10)\approx 21500\mathrm{кг}$ воды. Даже идеальному двигателю Карно потребовалось бы $600/0,625=960\mathrm{МВт}$ теплоты, и он отдавал бы 360 МВт.

Частые ошибки

• Теплота не хранится в теле, это энергия в пути, поэтому $Q$ и $W$ зависят от пути процесса. При переходе от 1 л при 1000 кПа к 3 л при 333 кПа газ совершает 2000 Дж работы, если сначала расширяется при постоянном давлении, и лишь 667 Дж, если сначала остывает при постоянном объёме, а $\Delta U=0$ в обоих случаях.
• Держитесь одного правила знаков. Во многих учебниках берут работу $A^{\prime }$, совершённую над газом, и пишут $\Delta U=Q+A^{\prime }$; при любом выборе 250 Дж подведённой теплоты и 90 Дж работы, совершённой газом, дают $\Delta U=160\mathrm{Дж}$.
• Адиабатный не значит изотермический: без теплообмена газ на этапе 2 остывает на 200 К. Но и изотермический не значит без теплоты: на этапе 1 газ получает 1099 Дж.
• Температуры берите в кельвинах. Между 100 °С и 20 °С предел равен $1-293/373=21\%$, а не $1-20/100=80\%$.
• Бросовая теплота — не конструктивный недостаток: даже двигатель без трения между 500 К и 300 К обязан отдавать не менее 60 % своей теплоты.

Где это встречается

Автомобильные двигатели превращают в работу примерно от четверти до трети энергии топлива; паровые электростанции достигают около 40 %, а парогазовые установки — около 60 %, потому что начинают с гораздо более горячего газа. Холодильные машины и тепловые насосы — это тепловые двигатели, запущенные в обратную сторону. Топливные элементы и аккумуляторы получают электрическую работу, минуя теплоту, поэтому предел Карно на них не распространяется. Следующий урок, «Второе начало термодинамики и энтропия», объясняет, почему любой двигатель обязан отдавать теплоту, и превращает отношение $Q/T$ в энтропию.

Продвинутый

Теплота и работа зависят от пути

Двигатель превращает теплоту в работу, снова и снова проводя газ по замкнутой петле состояний. Прежде чем спрашивать, каким может быть КПД, нужно понять, почему петля вообще способна давать работу. Дело в том, что теплота и работа, в отличие от энергии, зависят от пути, по которому газ переходит из одного состояния в другое.

Везде далее речь идёт о газе из анимации: это идеальный одноатомный газ, примерно 0,24 моль, так что $nR=2,00\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$, где $n$ — количество газа, а $R$ — газовая постоянная. Его состояние задаётся давлением $p$ и объёмом $V$, а температура следует из $pV=nRT$. Внутренняя энергия $U$, то есть полная кинетическая энергия его атомов, равна $U=\frac{3}{2}nRT$. Через $Q$ обозначим теплоту, поступающую в газ, а через $W$ — работу, совершаемую газом. Изменение квазистатическое, если оно настолько медленное, что газ остаётся однородным и в каждый момент $p$ и $T$ имеют определённые значения. Для одного малого квазистатического шага первое начало, то есть закон сохранения энергии, записывается так:
$dU=\delta Q-\delta W,\delta W=pdV$
Вторая формула — это «сила на путь»: газ давит на поршень площадью $A$ с силой $pA$, и если поршень сдвигается наружу на $dx$, газ совершает работу $pAdx=pdV$. Она положительна, когда газ расширяется, и отрицательна, когда его сжимают.

Внутренняя энергия — функция состояния: если известны $p$ и $V$, известна и $U$ (у идеального газа её определяет одна лишь температура $T$). Поэтому её изменение $dU$ — полный дифференциал, и по любой замкнутой петле $\oint dU=0$. Теплота и работа устроены иначе. Знак $\delta$ означает малое количество, полная величина которого зависит от пути, поэтому выражение вроде «теплота, содержащаяся в газе», лишено смысла. Рисунок 1 показывает это наглядно.

Обозначения

$p$	Давление газа.	$\mathrm{Па}$
$V$	Объём газа.	${\mathrm{м}}^3$
$a$	Путь вдоль изотермы 500 К, при постоянной температуре.
$b$	Путь, на котором газ сначала расширяется при постоянном давлении, а затем охлаждается при постоянном объёме.
$c$	Путь, на котором газ сначала охлаждается при постоянном объёме, а затем расширяется при постоянном давлении.
$W_a$	Работа газа на пути $a$: площадь под ним.	$\mathrm{Дж}$
$W_b$	Работа газа на пути $b$: площадь под ним.	$\mathrm{Дж}$
$W_c$	Работа газа на пути $c$: площадь под ним.	$\mathrm{Дж}$

На рисунке 1 изображены три пути, по которым газ может перейти из состояния 1 (1 л, 1000 кПа) в состояние 2 (3 л, 333 кПа). В каждой панели $p$ отложено вверх, $V$ — вправо. Посмотрите на закрашенную площадь под каждым путём. Каждый малый шаг добавляет к работе $pdV$ — узкую полоску высотой $p$ и шириной $dV$, поэтому работа на пути равна площади под ним. Килопаскаль, умноженный на литр, равен $10^3\mathrm{Па}\cdot 10^{-3}{\mathrm{м}}^3=1\mathrm{Дж}$, так что площади в таких единицах читаются прямо в джоулях.

Путь $a$ идёт по изотерме $pV=nRT=2,00\cdot 500=1000\mathrm{Дж}$ — кривой постоянной температуры 500 К, проходящей через оба состояния. Её площадь, вычисленная в третьем разделе, равна $W_a=1098,6\mathrm{Дж}$. На пути $b$ газ сначала расширяется при 1000 кПа, а затем охлаждается при постоянном объёме; охлаждение изображается вертикальным отрезком и площади не добавляет, поэтому площадь под путём $b$ — прямоугольник высотой 1000 кПа и шириной 2 л: $W_b=2000\mathrm{Дж}$. На пути $c$ газ сначала охлаждается при постоянном объёме, а затем расширяется при 333 кПа, и остаётся прямоугольник высотой 333 кПа: $W_c=667\mathrm{Дж}$.

Оба состояния лежат на изотерме 500 К, поэтому при любом пути $\Delta U=0$, и первое начало даёт $Q=W$: газ получает 1098,6 Дж, 2000 Дж или 667 Дж теплоты в зависимости от пути. Начальное и конечное состояния во всех трёх панелях одни и те же, а работа и теплота разные. Они принадлежат пути, а не состояниям.

Цикл использует эту свободу. После полной петли газ возвращается в исходное состояние, поэтому $\oint dU=0$ и $\oint \delta Q=\oint \delta W$. Работа зависит от пути, и потому, если идти туда по одному пути, а возвращаться по другому, остаётся чистая работа — площадь, охваченная петлёй:
$W=\oint pdV$
Эта чистая работа оплачивается чистым притоком теплоты. Так работает любой тепловой двигатель.

Цикл Карно на диаграмме p–V

Цикл Карно — это петля, в которой газ обменивается теплотой лишь при двух фиксированных температурах. Он задаёт верхний предел для всех двигателей, поэтому его стоит прочитать внимательно. Теплота поступает от двух резервуаров — тел настолько больших, что их температура не меняется, когда они отдают или принимают теплоту: горячего при $T_h=500\mathrm{К}$ и холодного при $T_c=300\mathrm{К}$. Петля составлена из этапов двух видов. На изотерме газ соприкасается с резервуаром и сохраняет свою температуру. На адиабате газ теплоизолирован, поэтому теплота вообще не поступает.

Обозначения

$p$	Давление газа.	$\mathrm{Па}$
$V$	Объём газа.	${\mathrm{м}}^3$
$V_1$	Объём в вершине 1, где начинается горячая изотерма.	${\mathrm{м}}^3$
$V_2$	Объём в вершине 2, где заканчивается горячая изотерма.	${\mathrm{м}}^3$
$V_3$	Объём в вершине 3, где начинается холодная изотерма.	${\mathrm{м}}^3$
$V_4$	Объём в вершине 4, где заканчивается холодная изотерма.	${\mathrm{м}}^3$
$T_h$	Температура горячей изотермы и горячего резервуара.	$\mathrm{К}$
$T_c$	Температура холодной изотермы и холодного резервуара.	$\mathrm{К}$
$Q_h$	Теплота, которую газ получает от горячего резервуара на горячей изотерме.	$\mathrm{Дж}$
$Q_c$	Теплота, которую газ отдаёт холодному резервуару на холодной изотерме.	$\mathrm{Дж}$
$W$	Чистая работа газа за один цикл: площадь внутри петли.	$\mathrm{Дж}$

Рисунок 2 показывает в масштабе цикл Карно из анимации. Обойдите его по часовой стрелке, начав с вершины 1. От 1 к 2 газ расширяется по горячей изотерме при $T_h$ и получает от горячего резервуара теплоту $Q_h$. От 2 к 3 он продолжает расширяться по адиабате; теплота не поступает, поэтому он совершает эту работу за счёт своей внутренней энергии и охлаждается до $T_c$. От 3 к 4 его сжимают по холодной изотерме при $T_c$, и он отдаёт теплоту $Q_c$ холодному резервуару. От 4 к 1 вторая адиабата сжимает его без теплообмена, и полученная работа нагревает его обратно до $T_h$.

Вершины находятся в точках $V_1=1\mathrm{л}$ и 1000 кПа, $V_2=3\mathrm{л}$ и 333 кПа, $V_3=6,46\mathrm{л}$ и 93 кПа, $V_4=2,15\mathrm{л}$ и 279 кПа; откуда берутся $V_3$ и $V_4$, показывает следующий раздел. Две изотермы — это гиперболы $pV=1000\mathrm{Дж}$ и $pV=nR{T}_c=600\mathrm{Дж}$.

Теперь сравним кривые в вершине. Адиабата подчиняется закону $p{V}^{\gamma }=\mathrm{const}$ (он выводится в следующем разделе), где $\gamma$ — отношение теплоёмкостей при постоянном давлении и при постоянном объёме — для одноатомного газа равно 5/3. Дифференцируя, получаем её наклон $dp/dV=-\gamma p/V$, тогда как у изотермы через ту же точку он равен $-p/V$. Значит, в точке пересечения адиабата в 5/3 раза круче. Поэтому каждая адиабата на рисунке 2 спускается с горячей изотермы на холодную и замыкает петлю.

Прочитаем работу по площадям. Под двумя этапами расширения, от 1 к 2 и от 2 к 3, площадь равна $1098,6+600=1698,6\mathrm{Дж}$; под двумя этапами сжатия, от 3 к 4 и от 4 к 1, она равна $659,2+600=1259,2\mathrm{Дж}$. Закрашенная петля между ними — это чистая работа $W=1698,6-1259,2=439,4\mathrm{Дж}$. Площади под двумя адиабатами равны, по 600 Дж, потому что на адиабате $Q=0$, а значит, работа равна изменению $U$, и обе адиабаты меняют $U$ на $\frac{3}{2}nR(T_h-T_c)=1,5\cdot 2,00\cdot 200=600\mathrm{Дж}$. Петля обходится по часовой стрелке, поэтому газ при расширении под высоким давлением совершает больше работы, чем совершают над ним при сжатии под низким. При обходе против часовой стрелки та же петля превращается в холодильную машину.

Вывод КПД Карно для идеального газа

КПД двигателя — это доля полученной теплоты, которая выходит в виде работы: $\eta =W/Q_h$. За один цикл $\Delta U=0$, поэтому $W=Q_h-Q_c$ и $\eta =1-Q_c/Q_h$. Всё сводится к отношению $Q_c/Q_h$, и этапы рисунка 2 дают его в три шага.

Первый шаг — изотермы. У идеального газа $U$ зависит только от $T$, поэтому на изотерме $dU=0$ и $\delta Q=\delta W=pdV$. Подставив $p=nRT/V$ и считая $T$ постоянной, получаем
$Q={\int }_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}dV=nRT\ln \frac{V_f}{V_i}$
На горячей изотерме, от $V_1$ до $V_2$ на рисунке 2, газ получает $Q_h=nR{T}_h\ln (V_2/V_1)=1000\ln 3=1098,6\mathrm{Дж}$. Холодная изотерма проходится как сжатие от $V_3$ до $V_4$, поэтому газ отдаёт теплоту; если считать её положительной величиной, $Q_c=nR{T}_c\ln (V_3/V_4)$.

Второй шаг — адиабаты. На адиабате $\delta Q=0$, поэтому $dU=-pdV$. Подставим $dU=\frac{3}{2}nRdT$ и $p=nRT/V$ и разделим на $nRT$:
$\frac{3}{2}\frac{dT}{T}=-\frac{dV}{V}$
Интегрирование даёт $\frac{3}{2}\ln T+\ln V=\mathrm{const}$, то есть $T{V}^{2/3}=\mathrm{const}$. Для любого идеального газа те же шаги дают $T{V}^{\gamma -1}=\mathrm{const}$, а замена $T$ на $pV/nR$ превращает это в $p{V}^{\gamma }=\mathrm{const}$, здесь $\gamma =5/3$.

Третий шаг — объёмы. Адиабата от 2 к 3 начинается при $T_h$ и объёме $V_2$ и заканчивается при $T_c$ и объёме $V_3$, поэтому $T_h{V}_2^{2/3}=T_c{V}_3^{2/3}$, откуда $V_3/V_2=(T_h/T_c{)}^{3/2}$. Адиабата от 4 к 1 соединяет те же две температуры, поэтому $V_4/V_1$ — тот же множитель. Разделив одно отношение на другое, получаем
$\frac{V_3}{V_4}=\frac{V_2}{V_1}$
В анимации этот множитель равен $(5/3{)}^{3/2}=2,15$: он переводит 3 л в 6,46 л, а 1 л — в 2,15 л, то есть задаёт изменения объёма на двух адиабатах рисунка 2.

Значит, два логарифма равны, $\ln (V_3/V_4)=\ln (V_2/V_1)=\ln 3$, поэтому $Q_c=600\ln 3=659,2\mathrm{Дж}$, а при делении $Q_h$ на $Q_c$ остаются одни температуры:
$\frac{Q_h}{T_h}=\frac{Q_c}{T_c}\text{(цикл Карно)}$
${\eta }_C=1-\frac{T_c}{T_h}$
В анимации оба отношения равны $nR\ln 3=2,197\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$, а КПД равен $1-300/500=40\%$ независимо от объёмов и количества газа. Показатель $\gamma$ тоже выпал из ответа: двухатомному газу понадобились бы другие объёмы, но КПД получился бы тем же. Это первый намёк на то, что результат не связан ни с каким конкретным веществом; два следующих раздела это доказывают.

Обратимые двигатели и второе начало

Процесс обратим, если сколь угодно малое изменение условий способно пустить его в обратную сторону, через те же состояния, с обращением всех потоков теплоты и работы. Для этого нужны два условия: нет трения, и теплота передаётся лишь при исчезающе малых разностях температур. Каждый этап цикла Карно им удовлетворяет. На изотермах газ имеет ту же температуру, что и резервуар, а на адиабатах теплота вообще не передаётся. Поэтому двигатель можно запустить в обратном направлении: затратив 439,4 Дж работы, он заберёт 659,2 Дж у холодного резервуара и передаст 1098,6 Дж горячему.

Второму началу нужен ещё один ингредиент — формулировка того, что запрещает природа. В форме, которую дал Кельвин и затем уточнил Планк: никакой цикл не может взять теплоту у единственного резервуара и превратить её в работу без каких-либо других изменений. Это звучит скромно, но следующий раздел показывает, что одно лишь это утверждение определяет наибольший КПД, возможный для любого двигателя.

Почему ни один двигатель не превосходит обратимый

Рассуждение — мысленный эксперимент. Допустим, кто-то построил двигатель $A$, который работает лучше двигателя Карно между теми же двумя резервуарами. Соединим его с двигателем Карно $C$, работающим в обратную сторону, и подсчитаем итог.

Обозначения

$T_h$	Температура горячего резервуара.	$\mathrm{К}$
$T_c$	Температура холодного резервуара.	$\mathrm{К}$
$A$	Двигатель, который якобы эффективнее обратимого.
$C$	Двигатель Карно, работающий в обратную сторону как холодильная машина.
$Q_h$	Теплота, которую $A$ берёт у горячего резервуара и которую $C$ ему возвращает: одинаковое количество.	$\mathrm{Дж}$
$Q_A$	Теплота, которую $A$ отдаёт холодному резервуару.	$\mathrm{Дж}$
$Q_c$	Теплота, которую $C$ забирает у холодного резервуара, больше $Q_A$.	$\mathrm{Дж}$
$W_A$	Работа, которую $A$ даёт за цикл.	$\mathrm{Дж}$
$W_C$	Часть $W_A$, передаваемая на привод $C$.	$\mathrm{Дж}$
$W_A-W_C$	Лишняя работа: теплота, которую теряет холодный резервуар, $Q_c-Q_A$, превращённая в работу.	$\mathrm{Дж}$

На рисунке 3 горячий резервуар при $T_h=500\mathrm{К}$ расположен вверху, а холодный при $T_c=300\mathrm{К}$ — внизу. Вертикальные стрелки переносят теплоту, горизонтальные — работу. Двигатель $A$ берёт у горячего резервуара ту же теплоту $Q_h=1098,6\mathrm{Дж}$, что и двигатель Карно, но должен давать больше работы, $W_A=500\mathrm{Дж}$, то есть иметь КПД 45,5 %. По первому началу он тогда отдаёт холодному резервуару всего $Q_A=1098,6-500=598,6\mathrm{Дж}$. Передадим теперь $W_C=439,4\mathrm{Дж}$ этой работы двигателю $C$, который работает как холодильная машина: он забирает у холодного резервуара $Q_c=659,2\mathrm{Дж}$ и передаёт горячему $Q_h=1098,6\mathrm{Дж}$.

Проследите за стрелками и подведите баланс. Горячий резервуар отдаёт $Q_h$ двигателю $A$ и получает те же $Q_h$ от $C$, поэтому остаётся точно таким, каким был. Холодный резервуар получает $Q_A$ и отдаёт $Q_c$, то есть теряет $Q_c-Q_A=659,2-598,6=60,6\mathrm{Дж}$. При этом остаётся $W_A-W_C=500-439,4=60,6\mathrm{Дж}$ работы. В сумме две машины превращают в работу теплоту одного лишь холодного резервуара без каких-либо других изменений. Второе начало запрещает именно это, поэтому двигатель $A$ существовать не может: ни один двигатель не превосходит обратимый.

Пусть теперь $A$ тоже обратим. Если бы он был менее эффективен, чем $C$, то то же рассуждение с переменой ролей, когда $C$ приводит в действие $A$, работающий в обратную сторону, снова дало бы работу за счёт одного резервуара. Значит, все обратимые двигатели между одними и теми же двумя температурами имеют один и тот же КПД, каким бы ни было рабочее вещество, а расчёт для идеального газа уже нашёл его значение: ${\eta }_C=1-T_c/T_h$.

Эта универсальность определяет абсолютную температуру вообще без термометрического вещества: для любого обратимого двигателя, работающего между двумя телами, полагают $T_h/T_c=Q_h/Q_c$. Расчёт для идеального газа показывает, что эта шкала пропорциональна шкале идеального газа, так что при выборе одной и той же единицы они совпадают. Нулевое начало (два тела, каждое из которых находится в равновесии с третьим, находятся в равновесии друг с другом) как раз и делает осмысленным выражение «температура резервуара».

Наконец, прочитайте равенство $Q_h/T_h=Q_c/T_c$ как баланс. Двигатель забирает величину $Q/T$ у горячего резервуара и передаёт её холодному без изменений. Эта величина — изменение энтропии, тема урока «Второе начало термодинамики и энтропия». Строка $\Delta S_{\mathrm{tot}}=Q_c/T_c-Q_h/T_h=0$ в продвинутом слое анимации фиксирует, что 2,197 Дж/К уходит от горячей стороны и приходит к холодной, и ничего не возникает.

Задача: цикл без адиабат

Чего стоит нарушение одного из правил Карно? Оставим газ, резервуары и изотермы из анимации между $V_1=1\mathrm{л}$ и $V_2=3\mathrm{л}$, но заменим адиабаты этапами при постоянном объёме: поршень фиксируют, а цилиндр переносят к другому резервуару. Найдите работу, КПД и то, куда уходит недостающее.

Обозначения

$p$	Давление газа.	$\mathrm{Па}$
$V$	Объём газа.	${\mathrm{м}}^3$
$V_1$	Меньший объём, 1 л, где выполняется левый этап.	${\mathrm{м}}^3$
$V_2$	Больший объём, 3 л, где выполняется правый этап.	${\mathrm{м}}^3$
$T_h$	Температура горячей изотермы и горячего резервуара.	$\mathrm{К}$
$T_c$	Температура холодной изотермы и холодного резервуара.	$\mathrm{К}$
$W$	Чистая работа газа за один цикл: площадь внутри петли.	$\mathrm{Дж}$
$Q_{41}$	Теплота, взятая у горячего резервуара, пока газ нагревается при постоянном объёме, от вершины 4 к вершине 1.	$\mathrm{Дж}$
$Q_{23}$	Теплота, отданная холодному резервуару, пока газ остывает при постоянном объёме, от вершины 2 к вершине 3.	$\mathrm{Дж}$

Рисунок 4 показывает новую петлю в масштабе. От 1 к 2 газ расширяется по горячей изотерме ($T_h$), а от 3 к 4 сжимается по холодной ($T_c$), точно как раньше, так что изотермы по-прежнему дают 1098,6 Дж, полученных при 500 К, и 659,2 Дж, отданных при 300 К. Два вертикальных этапа — новые. При постоянном объёме газ не совершает работы, поэтому обмениваемая им теплота равна изменению внутренней энергии.

От 2 к 3, при 3 л, газ остывает с 500 К до 300 К, а его давление падает с 333 кПа до 200 кПа; он отдаёт холодному резервуару $Q_{23}=\frac{3}{2}nR\cdot 200=600\mathrm{Дж}$. От 4 к 1, при 1 л, он должен взять $Q_{41}=600\mathrm{Дж}$ у горячего резервуара, чтобы снова нагреться, и его давление растёт с 600 кПа до 1000 кПа. Вертикальные этапы площади не добавляют, поэтому чистая работа такая же, как у Карно, но горячий резервуар теперь отдаёт $1098,6+600=1698,6\mathrm{Дж}$:
$W=1098,6-659,2=439,4\mathrm{Дж},\eta =\frac{439,4}{1098,6+600}=25,9\%$

Потери возникают из-за того, что теплота переходит через конечную разность температур, и мерой этого служит энтропия. На изотермах потоки энтропии точно компенсируются, как в цикле Карно. На вертикальных этапах — нет. Пока газ нагревается при 1 л, он приобретает энтропию $\int \frac{3}{2}nRdT/T=\frac{3}{2}nR\ln (5/3)=1,53\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$, но горячий резервуар, отдавая свои 600 Дж при постоянных 500 К, теряет лишь $600/500=1,20\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$. Пока газ остывает при 3 л, он теряет 1,53 Дж/К, а холодный резервуар приобретает $600/300=2,00\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$. Газ возвращается в исходное состояние, поэтому его собственные изменения компенсируются, и за каждый цикл в резервуарах возникает $2,00-1,20=0,80\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$ энтропии.

Потерянная работа равна $T_c$, умноженной на возникшую энтропию: $300\cdot 0,80=240\mathrm{Дж}$. Проверим: двигатель Карно, получивший те же 1698,6 Дж, дал бы $0,40\cdot 1698,6=679,4\mathrm{Дж}$, а $679,4-439,4=240\mathrm{Дж}$ в точности. Исправить это помогает регенератор — пористый накопитель теплоты, который слой за слоем принимает 600 Дж, пока газ остывает, и тем же способом возвращает их, пока газ нагревается. Каждый слой встречает газ почти при своей температуре, поэтому энтропия не возникает, горячий резервуар отдаёт лишь 1098,6 Дж изотермы, и КПД возвращается к 40 %. На этом держится идея двигателя Стирлинга.

Холодильники и тепловые насосы

Если пустить двигатель Карно в обратную сторону, он перекачивает теплоту «в гору» — от холодного к горячему. Холодильную машину оценивают по холодильному коэффициенту $\mathrm{COP}$ — теплоте, отнятой у холодной стороны на каждый джоуль работы, $Q_c/W$. При $W=Q_h-Q_c$ и отношении Карно $Q_h/Q_c=T_h/T_c$ наилучшее возможное значение равно
$\mathrm{COP}=\frac{Q_c}{W}\le \frac{T_c}{T_h-T_c}$
В анимации $659,2/439,4=1,5=300/200$. Используемая как тепловой насос, та же машина передаёт теплоту $Q_h$ тёплой стороне: $1098,6/439,4=2,5$ джоуля теплоты на джоуль работы, что равно пределу $T_h/(T_h-T_c)=500/200$. Значения больше 1 не нарушают никакого закона: работе не нужно создавать теплоту, которую она перемещает, — её нужно лишь поднять.

Почему реальные двигатели уступают идеальным

Реальные двигатели проигрывают идеальному не только из-за трения. Большинство из них получают теплоту в некотором интервале температур, а не целиком при самой высокой. Идеальный цикл бензинового двигателя (цикл Отто) состоит из двух адиабат, соединённых нагревом и охлаждением при постоянном объёме. Его КПД равен $\eta =1-r^{1-\gamma }$, где степень сжатия $r$ — наибольший объём, делённый на наименьший: 60 % при $r=10$ для воздуха ($\gamma =1,4$). Это заметно ниже значения Карно, почти 90 %, между наивысшей температурой газа, около 2500 К, и 300 К воздуха на впуске. Реальные бензиновые двигатели, у которых есть ещё трение и утечки теплоты, достигают самое большее 35–40 %.

Важна и скорость. Обратимый двигатель должен обмениваться теплотой при исчезающе малых разностях температур, поэтому он работает бесконечно медленно и не даёт мощности. Двигатель, ограниченный скоростью притока и оттока теплоты, развивает наибольшую мощность примерно при $\eta =1-\sqrt{T_c/T_h}$, то есть при 39 % между 800 К и 300 К, что близко к КПД реальных паровых электростанций.

Границы применимости

Формулы для этапов предполагают квазистатические изменения. Давление выравнивается примерно со скоростью звука: цилиндр в 10 см оно пересекает примерно за 0,2 мс, что намного меньше 10 мс одного такта автомобильного двигателя при 3000 об/мин. Теплота распространяется гораздо медленнее, поэтому быстрые такты почти адиабатны, а по-настоящему изотермические неосуществимы; реальные циклы подводят теплоту примерно при постоянном объёме или постоянном давлении.

Значения $U=\frac{3}{2}nRT$ и $\gamma =5/3$ верны для разреженного одноатомного газа. У воздуха при комнатной температуре $\gamma =1,4$, а в плотном газе $U$ зависит ещё и от объёма, но ${\eta }_C$ от этого не меняется, как гарантирует рассуждение к рисунку 3. У первого начала нет известных исключений, но в теории относительности энергия включает энергию покоя. При сгорании 1 кг бензина выделяется около 46 МДж, поэтому продукты сгорания легче бензина и кислорода на $46\times 10^6/(3,00\times 10^8{)}^2\approx 5\times 10^{-10}\mathrm{кг}$ — слишком мало, чтобы это взвесить.

Кроме того, законы описывают средние величины. Для горстки молекул $Q$ и $W$ колеблются от цикла к циклу, и один-единственный цикл может даже превзойти КПД Карно. Относительные флуктуации убывают как $1/\sqrt{N}$ для $N$ молекул, то есть составляют около $3\times 10^{-12}$ для $1,4\times 10^{23}$ атомов газа из анимации, поэтому для всего видимого законы выполняются точно. Третье начало делает абсолютный нуль недостижимым, так что $T_c$ никогда не равна нулю, а ${\eta }_C$ всегда остаётся меньше 1.

Что дальше

Урок «Второе начало термодинамики и энтропия» превращает $Q/T$ в энтропию, доказывает неравенство Клаузиуса и объясняет, подсчитывая способы расположения молекул, почему теплота течёт только «под гору». Урок «Молекулярно-кинетическая теория газов» даёт молекулярные причины равенства $U=\frac{3}{2}nRT$ и адиабатного нагрева. Паровые машины опираются на урок «Фазовые переходы и скрытая теплота»: кипение и конденсация происходят при постоянной температуре, поэтому их теплообмен естественным образом изотермичен. Урок «Теплопроводность, конвекция и излучение» определяет, как быстро теплота доходит до двигателя, а значит, чем ограничена его мощность; «Электрическая мощность и энергия в быту» прослеживает энергию от электростанции до розетки; а «Работа, энергия и мощность» — это то место, где зародился закон сохранения энергии.