Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques

Débutant

Frottez-vous les mains : elles se réchauffent ; gonflez un pneu de vélo : la pompe devient chaude. Dans les deux cas, du travail s'est transformé en chaleur.

Étape 1 : trois mots. La température indique à quelle vitesse, en moyenne, s'agitent les molécules d'un objet. L'énergie thermique est l'énergie totale de toutes ces molécules. La chaleur est de l'énergie en mouvement, qui passe d'un objet plus chaud à un objet plus froid parce que leurs températures diffèrent.

Étape 2 : le premier principe. L'énergie ne se crée ni ne se détruit ; elle se déplace ou change de forme. Chauffez un gaz dans un cylindre : l'énergie apportée fait l'une de deux choses, ou un peu des deux. Elle réchauffe le gaz, ou elle lui permet de pousser un piston, ce qui est un travail.

Étape 3 : les moteurs thermiques. Un moteur de voiture ou une centrale électrique laisse la chaleur passer d'un endroit chaud à un endroit froid et en récupère une partie sous forme de travail. Une part de la chaleur doit toujours continuer vers le côté froid, perdue : c'est pourquoi les voitures ont un radiateur et les centrales des tours de refroidissement.

Étape 4 : plus l'écart entre le côté chaud et le côté froid est grand, plus la part de chaleur qui peut devenir travail est grande.

Testez-vous : vous donnez 100 J de chaleur à un gaz et il fournit 30 J de travail en poussant un piston. Où sont passés les 70 J restants ? (Dans le gaz, qui est maintenant plus chaud.)

Dans l'animation, un gaz enfermé dans un cylindre répète quatre étapes : chauffé, il pousse le piston et se refroidit en continuant à se détendre ; puis il est comprimé en cédant de la chaleur perdue au côté froid. Comprimer le gaz refroidi coûte moins de travail que le gaz chaud n'en a fourni : la différence est le travail utile.

Intermédiaire

Chaleur, travail et énergie interne

La thermodynamique suit l'énergie qui entre dans un système et en sort, ici le gaz du cylindre, à l'aide de trois grandeurs mesurées en joules. L'énergie interne $U$ est l'énergie stockée dans le gaz ; pour un gaz parfait, c'est l'énergie cinétique de ses molécules. La chaleur $Q$ traverse la frontière à cause d'une différence de température, et le travail $W$ la traverse quand une force déplace quelque chose, comme lorsque le gaz pousse un piston.

$Q$ est positive quand de la chaleur entre dans le gaz. $W$ est le travail fourni par le gaz : positif quand il se détend, négatif quand le piston le comprime. À pression constante, $W=p\Delta V$ ; un gaz à 100 kPa qui se détend de 2 L fournit donc $100\mathrm{kPa}\cdot 2\mathrm{L}=200\mathrm{J}$ de travail, car un kilopascal multiplié par un litre fait un joule.

Le premier principe : la comptabilité de l'énergie

La chaleur est de l'énergie en mouvement : l'énergie qui entre sous forme de chaleur reste donc dans le gaz ou en ressort sous forme de travail :
$\Delta U=Q-W$

C'est le premier principe de la thermodynamique. Dans les années 1840, Joule a réchauffé de l'eau au moyen de palettes entraînées par la chute de masses, et il a constaté qu'environ 4,2 J de travail produisent le même effet qu'une calorie de chaleur.

Pour un gaz parfait monoatomique, $U=\frac{3}{2}nRT$, donc $\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T$. Le gaz de l'animation a $nR=2J/K$ (environ 0,24 mol) : son énergie interne varie donc de 3 J par kelvin. Quatre transformations simples répartissent cette énergie de façons différentes :

• Isotherme, à $T$ constante : $\Delta U=0$, donc $Q=W$. À la première étape de l'animation, le gaz reçoit 1099 J et fournit 1099 J de travail.
• Adiabatique, sans échange de chaleur : $Q=0$, donc $W=-\Delta U$. À la deuxième étape, le gaz fournit 600 J de travail et se refroidit de 500 K à 300 K ; comprimé, un gaz s'échauffe, comme dans une pompe à vélo.
• À volume constant : le piston ne peut pas bouger, donc $W=0$ et toute la chaleur élève la température, $Q=\Delta U$.
• À pression constante : $W=p\Delta V=nR\Delta T$. Pour chauffer de 10 K une mole de gaz monoatomique, il faut $\Delta U=125\mathrm{J}$ plus $W=83\mathrm{J}$, soit $Q=208\mathrm{J}$.

Moteurs thermiques et rendement

Un moteur thermique répète un cycle qui ramène le gaz dans son état initial : sur chaque cycle, $\Delta U=0$. Il prélève une chaleur $Q_h$ à une source chaude et rejette une chaleur $Q_c$ vers une source froide, toutes deux comptées comme des quantités positives. Son travail net et son rendement (la fraction de la chaleur reçue qui devient travail) valent

• $W=Q_h-Q_c$
• $\eta =\frac{W}{Q_h}=1-\frac{Q_c}{Q_h}$

Une source de chaleur est un corps trop grand pour que sa température change, comme un four ou une rivière. Entre des sources aux températures absolues $T_h$ et $T_c$, aucun moteur ne peut dépasser le rendement de Carnot (le niveau expert montre pourquoi) :
${\eta }_C=1-\frac{T_c}{T_h}$
Une partie de la chaleur doit toujours être rejetée ; plus l'écart de température est grand, plus la part qui peut devenir travail est grande.

Exemple résolu : le moteur de l'animation

Le moteur animé suit un cycle de Carnot entre $T_h=500\mathrm{K}$ et $T_c=300\mathrm{K}$. À l'étape 1, le gaz se détend de façon isotherme de 1 L à 3 L au contact de la source chaude. Un gaz parfait à température constante fournit un travail $nRT\ln (V_f/V_i)$ (établi au niveau expert), entièrement apporté sous forme de chaleur :
$Q_h=2\cdot 500\cdot \ln 3=1098,6\mathrm{J}$

À l'étape 2, le gaz, isolé thermiquement, continue de se détendre jusqu'à 6,46 L et fournit un travail $W=-\Delta U=3\cdot 200=600\mathrm{J}$ en se refroidissant à 300 K. À l'étape 3, il est comprimé au contact de la source froide de 6,46 L à 2,15 L, de nouveau d'un facteur 3, et rejette $Q_c=2\cdot 300\cdot \ln 3=659,2\mathrm{J}$. L'étape 4, adiabatique, coûte 600 J et rétablit 1 L et 500 K. On obtient alors
$W=Q_h-Q_c=1098,6-659,2=439,4\mathrm{J},\eta =\frac{439,4}{1098,6}=40\%$

C'est exactement $1-300/500$ : un moteur de Carnot atteint la limite. Les deux étapes adiabatiques se compensent, $+600$ et $-600\mathrm{J}$, car chacune couvre le même écart de 200 K.

Lire le cycle : affichages et diagramme p–V

Les affichages sont des cumuls depuis le début du cycle, arrondis au joule ; la relation $\Delta U=Q-W$ reste vraie à chaque instant. À l'étape 1, la flèche rouge $Q_h$ est allumée, $T$ reste à 500 K, et $Q$ et $W$ augmentent ensemble jusqu'à 1099 J. À l'étape 2, $Q$ reste figée tandis que $W$ monte à 1699 J et que $\Delta U$ descend à $-600\mathrm{J}$. À l'étape 3, la flèche bleue $Q_c$ apparaît, et $Q$ et $W$ diminuent ensemble, jusqu'à 439 J et 1039 J. À l'étape 4, $Q$ reste à 439 J pendant que $W$ redescend à 439 J et que $\Delta U$ revient à zéro : la chaleur nette reçue est entièrement devenue travail. La flèche verte $W$ pointe vers le haut tant que le gaz pousse le piston, et vers le bas quand c'est le piston qui pousse le gaz.

Sur un diagramme pression–volume, le travail d'une étape est l'aire sous sa courbe. À l'aller, le long du haut de la boucle, le gaz fournit 1698,6 J ; au retour, le long du bas, le piston lui en fournit 1259,2 J, de sorte que la boucle enferme le travail net de 439,4 J.

Exemple résolu : une centrale électrique

Une centrale électrique produit de la vapeur à 527 °C (800 K), la condense avec l'eau d'une rivière à 27 °C (300 K) et transforme 40 % de sa chaleur en une puissance électrique de 600 MW. Les équations du cycle valent aussi par seconde, en mégawatts.

La limite de Carnot est $1-300/800=62,5\%$ : un rendement de 40 % est donc permis. Le combustible doit fournir $Q_h=W/\eta =600/0,40=1500\mathrm{MW}$, et $Q_c=1500-600=900\mathrm{MW}$ partent en chaleur perdue, plus que l'électricité. L'eau a une capacité thermique massique de 4186 J/(kg·K) ; réchauffer la rivière de seulement 10 K exige donc $900\times 10^6/(4186\cdot 10)\approx 21500\mathrm{kg}$ d'eau chaque seconde. Un moteur de Carnot parfait aurait quand même besoin de $600/0,625=960\mathrm{MW}$ de chaleur et en rejetterait 360 MW.

Erreurs fréquentes

• La chaleur n'est pas stockée dans un corps ; c'est de l'énergie en transit, donc $Q$ et $W$ dépendent du chemin. De 1 L à 1000 kPa jusqu'à 3 L à 333 kPa, le gaz fournit 2000 J de travail s'il se détend d'abord à pression constante, seulement 667 J s'il se refroidit d'abord à volume constant, avec $\Delta U=0$ dans les deux cas.
• Gardez une seule convention de signe. Les chimistes comptent souvent le travail reçu par le gaz et écrivent $\Delta U=Q+W$ ; dans les deux conventions, 250 J de chaleur reçue et 90 J de travail fourni donnent $\Delta U=160\mathrm{J}$.
• Adiabatique ne veut pas dire isotherme : sans échange de chaleur, le gaz de l'étape 2 se refroidit de 200 K. Isotherme ne veut pas dire sans chaleur non plus : à l'étape 1, le gaz reçoit 1099 J.
• Exprimez les températures en kelvins. Entre 100 °C et 20 °C, la limite est $1-293/373=21\%$, et non $1-20/100=80\%$.
• La chaleur perdue n'est pas un défaut de conception : même un moteur sans frottements entre 500 K et 300 K doit rejeter au moins 60 % de sa chaleur.

Où on le rencontre

Les moteurs de voiture transforment en travail environ le quart ou le tiers de l'énergie de leur carburant ; les centrales à vapeur atteignent à peu près 40 %, et les centrales à gaz à cycle combiné environ 60 %, car elles partent d'un gaz beaucoup plus chaud. Les réfrigérateurs et les pompes à chaleur sont des moteurs thermiques qui fonctionnent à l'envers. Les piles à combustible et les batteries produisent du travail électrique sans passer par la chaleur : la limite de Carnot ne s'applique donc pas à elles. La leçon suivante, Le second principe de la thermodynamique et l'entropie, explique pourquoi tout moteur doit rejeter de la chaleur et définit l'entropie à partir du rapport $Q/T$.

Avancé

La chaleur et le travail dépendent du chemin

Un moteur transforme de la chaleur en travail en faisant parcourir au gaz, encore et encore, une boucle fermée d'états. Avant de se demander quel rendement on peut en tirer, il faut comprendre pourquoi une boucle peut fournir du travail. La raison est que la chaleur et le travail, contrairement à l'énergie, dépendent du chemin que suit le gaz d'un état à un autre.

Le gaz considéré tout du long est celui de l'animation : un gaz parfait monoatomique, environ 0,24 mol, de sorte que $nR=2,00J/K$, où $n$ est la quantité de gaz et $R$ la constante des gaz parfaits. Son état est fixé par sa pression $p$ et son volume $V$, et sa température s'en déduit par $pV=nRT$. Son énergie interne $U$, l'énergie cinétique totale de ses atomes, vaut $U=\frac{3}{2}nRT$. On note $Q$ la chaleur reçue par le gaz et $W$ le travail fourni par le gaz. Une transformation est quasi statique quand elle est assez lente pour que le gaz reste uniforme, de sorte que $p$ et $T$ ont à chaque instant des valeurs bien définies. Pour une petite étape quasi statique, le premier principe, c'est-à-dire la conservation de l'énergie, s'écrit
$dU=\delta Q-\delta W,\delta W=pdV$
La seconde formule est « force fois distance » : le gaz pousse un piston d'aire $A$ avec la force $pA$, et si le piston recule de $dx$, le gaz fournit le travail $pAdx=pdV$. Ce travail est positif quand le gaz se détend et négatif quand il est comprimé.

L'énergie interne est une fonction d'état : dès que $p$ et $V$ sont connus, $U$ l'est aussi (pour un gaz parfait, $T$ seule la fixe). Sa variation $dU$ est donc une différentielle exacte, et sur toute boucle fermée $\oint dU=0$. La chaleur et le travail sont différents. Le symbole $\delta$ désigne une petite quantité dont le total dépend du chemin : une expression comme « la chaleur contenue dans le gaz » n'a donc aucun sens. La figure 1 le montre directement.

Légende

$p$	Pression du gaz.	$\mathrm{Pa}$
$V$	Volume du gaz.	${\mathrm{m}}^3$
$a$	Chemin le long de l'isotherme à 500 K, à température constante.
$b$	Chemin qui se détend d'abord à pression constante, puis se refroidit à volume constant.
$c$	Chemin qui se refroidit d'abord à volume constant, puis se détend à pression constante.
$W_a$	Travail fourni par le gaz le long du chemin $a$ : l'aire sous ce chemin.	$\mathrm{J}$
$W_b$	Travail fourni par le gaz le long du chemin $b$ : l'aire sous ce chemin.	$\mathrm{J}$
$W_c$	Travail fourni par le gaz le long du chemin $c$ : l'aire sous ce chemin.	$\mathrm{J}$

La figure 1 trace trois chemins que le gaz peut suivre de l'état 1 (1 L, 1000 kPa) à l'état 2 (3 L, 333 kPa). Dans chaque panneau, $p$ est en ordonnée et $V$ en abscisse. Regardez l'aire colorée sous chaque chemin. Chaque petite étape ajoute $pdV$ au travail, une fine bande de hauteur $p$ et de largeur $dV$ : le travail d'un chemin est donc l'aire sous ce chemin. Un kilopascal multiplié par un litre fait $10^3\mathrm{Pa}\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3=1\mathrm{J}$, si bien que les aires, dans ces unités, se lisent directement en joules.

Le chemin $a$ suit l'isotherme $pV=nRT=2,00\cdot 500=1000\mathrm{J}$, la courbe de température constante 500 K qui passe par les deux états. Son aire, calculée dans la troisième section, vaut $W_a=1098,6\mathrm{J}$. Le chemin $b$ commence par une détente à 1000 kPa, puis un refroidissement à volume constant ; l'étape de refroidissement est verticale et n'ajoute aucune aire, de sorte que l'aire sous le chemin $b$ est un rectangle de hauteur 1000 kPa et de largeur 2 L : $W_b=2000\mathrm{J}$. Le chemin $c$ commence par un refroidissement à volume constant, puis une détente à 333 kPa, ce qui laisse un rectangle de hauteur 333 kPa : $W_c=667\mathrm{J}$.

Les deux états se trouvent sur l'isotherme à 500 K, donc $\Delta U=0$ quel que soit le chemin, et le premier principe donne $Q=W$ : le gaz reçoit 1098,6 J, 2000 J ou 667 J de chaleur selon le chemin. Les états de départ et d'arrivée sont les mêmes dans les trois panneaux, et pourtant le travail et la chaleur diffèrent. Ils appartiennent au chemin, non aux états.

Un cycle exploite cette liberté. Après une boucle complète, le gaz est revenu à son point de départ, donc $\oint dU=0$ et $\oint \delta Q=\oint \delta W$. Comme le travail dépend du chemin, aller par un chemin et revenir par un autre laisse un travail net, l'aire enfermée par la boucle :
$W=\oint pdV$
Ce travail net est payé par un apport net de chaleur. C'est ainsi que fonctionne tout moteur thermique.

La boucle de Carnot dans le diagramme p–V

Le cycle de Carnot est la boucle qui n'échange de la chaleur qu'à deux températures fixes. Il fixe la limite supérieure du rendement de tous les moteurs, et mérite donc une lecture attentive. Sa chaleur vient de deux sources, des corps si grands que leur température ne change pas quand ils cèdent ou reçoivent de la chaleur : une source chaude à $T_h=500\mathrm{K}$ et une source froide à $T_c=300\mathrm{K}$. La boucle se compose de deux sortes d'étapes. Sur une isotherme, le gaz est en contact avec une source et garde sa température. Sur une adiabatique, le gaz est isolé et aucune chaleur ne circule.

Légende

$p$	Pression du gaz.	$\mathrm{Pa}$
$V$	Volume du gaz.	${\mathrm{m}}^3$
$V_1$	Volume au sommet 1, où commence l'isotherme chaude.	${\mathrm{m}}^3$
$V_2$	Volume au sommet 2, où finit l'isotherme chaude.	${\mathrm{m}}^3$
$V_3$	Volume au sommet 3, où commence l'isotherme froide.	${\mathrm{m}}^3$
$V_4$	Volume au sommet 4, où finit l'isotherme froide.	${\mathrm{m}}^3$
$T_h$	Température de l'isotherme chaude et de la source chaude.	$\mathrm{K}$
$T_c$	Température de l'isotherme froide et de la source froide.	$\mathrm{K}$
$Q_h$	Chaleur que le gaz reçoit de la source chaude le long de l'isotherme chaude.	$\mathrm{J}$
$Q_c$	Chaleur que le gaz cède à la source froide le long de l'isotherme froide.	$\mathrm{J}$
$W$	Travail net fourni par le gaz en un cycle : l'aire à l'intérieur de la boucle.	$\mathrm{J}$

La figure 2 montre à l'échelle la boucle de Carnot de l'animation. Suivez-la dans le sens horaire à partir du sommet 1. De 1 à 2, le gaz se détend le long de l'isotherme chaude, à $T_h$, et reçoit de la source chaude la chaleur $Q_h$. De 2 à 3, il continue de se détendre le long d'une adiabatique ; sans apport de chaleur, il fournit ce travail aux dépens de son énergie interne et se refroidit donc jusqu'à $T_c$. De 3 à 4, il est comprimé le long de l'isotherme froide, à $T_c$, et cède la chaleur $Q_c$ à la source froide. De 4 à 1, une seconde adiabatique le comprime sans échange de chaleur, et le travail reçu le réchauffe jusqu'à $T_h$.

Les sommets sont en $V_1=1\mathrm{L}$ et 1000 kPa, $V_2=3\mathrm{L}$ et 333 kPa, $V_3=6,46\mathrm{L}$ et 93 kPa, et $V_4=2,15\mathrm{L}$ et 279 kPa ; la section suivante montre d'où viennent $V_3$ et $V_4$. Les deux isothermes sont les hyperboles $pV=1000\mathrm{J}$ et $pV=nR{T}_c=600\mathrm{J}$.

Comparons maintenant les courbes en un sommet. Une adiabatique obéit à $p{V}^{\gamma }=\text{const}$ (démontré dans la section suivante), où $\gamma$, rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant, vaut 5/3 pour un gaz monoatomique. En dérivant, on trouve sa pente $dp/dV=-\gamma p/V$, contre $-p/V$ pour une isotherme passant par le même point. Là où elles se croisent, l'adiabatique est donc 5/3 fois plus raide. C'est pourquoi chaque adiabatique de la figure 2 descend de l'isotherme chaude à l'isotherme froide et ferme la boucle.

Lisons le travail sur les aires. Sous les deux étapes de détente, de 1 à 2 et de 2 à 3, l'aire vaut $1098,6+600=1698,6\mathrm{J}$ ; sous les deux compressions, de 3 à 4 et de 4 à 1, elle vaut $659,2+600=1259,2\mathrm{J}$. La boucle colorée comprise entre les deux représente le travail net, $W=1698,6-1259,2=439,4\mathrm{J}$. Les deux aires adiabatiques sont égales, 600 J chacune, car sur une adiabatique $Q=0$, donc le travail est égal à la variation de $U$, et les deux adiabatiques changent $U$ de $\frac{3}{2}nR(T_h-T_c)=1,5\cdot 2,00\cdot 200=600\mathrm{J}$. La boucle est parcourue dans le sens horaire : le gaz fournit donc plus de travail en se détendant à haute pression qu'on ne lui en fournit en le comprimant à basse pression. Parcourue dans le sens antihoraire, la même boucle est un réfrigérateur.

Établir le rendement de Carnot pour un gaz parfait

Le rendement d'un moteur est la fraction de la chaleur reçue qui ressort en travail, $\eta =W/Q_h$. Sur un cycle, $\Delta U=0$, donc $W=Q_h-Q_c$ et $\eta =1-Q_c/Q_h$. Tout dépend donc du rapport $Q_c/Q_h$, que les étapes de la figure 2 donnent en trois temps.

D'abord, les isothermes. Pour un gaz parfait, $U$ ne dépend que de $T$ ; le long d'une isotherme, $dU=0$ et $\delta Q=\delta W=pdV$. Avec $p=nRT/V$ et $T$ fixe,
$Q={\int }_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}dV=nRT\ln \frac{V_f}{V_i}$
L'isotherme chaude, de $V_1$ à $V_2$ sur la figure 2, absorbe $Q_h=nR{T}_h\ln (V_2/V_1)=1000\ln 3=1098,6\mathrm{J}$. L'isotherme froide est parcourue en compression, de $V_3$ à $V_4$ : le gaz cède de la chaleur, que l'on compte comme une quantité positive, $Q_c=nR{T}_c\ln (V_3/V_4)$.

Ensuite, les adiabatiques. Le long d'une adiabatique, $\delta Q=0$, donc $dU=-pdV$. Remplaçons $dU=\frac{3}{2}nRdT$ et $p=nRT/V$, puis divisons par $nRT$ :
$\frac{3}{2}\frac{dT}{T}=-\frac{dV}{V}$
L'intégration donne $\frac{3}{2}\ln T+\ln V=\text{const}$, c'est-à-dire $T{V}^{2/3}=\text{const}$. Pour tout gaz parfait, les mêmes étapes donnent $T{V}^{\gamma -1}=\text{const}$, et remplacer $T$ par $pV/nR$ conduit à $p{V}^{\gamma }=\text{const}$, avec ici $\gamma =5/3$.

Enfin, les volumes. L'adiabatique de 2 à 3 part de $T_h$ et du volume $V_2$ pour arriver à $T_c$ et au volume $V_3$, donc $T_h{V}_2^{2/3}=T_c{V}_3^{2/3}$, ce qui donne $V_3/V_2=(T_h/T_c{)}^{3/2}$. L'adiabatique de 4 à 1 relie les mêmes deux températures : $V_4/V_1$ est donc le même facteur. En divisant un rapport par l'autre,
$\frac{V_3}{V_4}=\frac{V_2}{V_1}$
Dans l'animation, le facteur vaut $(5/3{)}^{3/2}=2,15$ : il fait passer 3 L à 6,46 L et 1 L à 2,15 L, les variations de volume des deux adiabatiques de la figure 2.

Les deux logarithmes sont donc égaux, $\ln (V_3/V_4)=\ln (V_2/V_1)=\ln 3$, d'où $Q_c=600\ln 3=659,2\mathrm{J}$ ; en divisant $Q_h$ par $Q_c$, il ne reste que les températures :
$\frac{Q_h}{T_h}=\frac{Q_c}{T_c}\text{(Carnot)}$
${\eta }_C=1-\frac{T_c}{T_h}$
Les deux rapports valent $nR\ln 3=2,197J/K$ dans l'animation, et le rendement est $1-300/500=40\%$, quels que soient les volumes ou la quantité de gaz. L'exposant $\gamma$ a lui aussi disparu : un gaz diatomique demanderait d'autres volumes, mais atteindrait le même rendement. C'est un premier indice que le résultat n'appartient à aucune substance particulière ; les deux sections suivantes le démontrent.

Moteurs réversibles et second principe

Une transformation est réversible si une modification arbitrairement petite des conditions peut la faire fonctionner en sens inverse, par les mêmes états, tous les échanges de chaleur et de travail étant renversés. Il faut pour cela deux choses : pas de frottements, et une chaleur qui ne traverse que des écarts de température tendant vers zéro. Toutes les étapes de Carnot remplissent ces conditions. Sur les isothermes, le gaz est à la température même de la source ; sur les adiabatiques, aucune chaleur ne circule. Le moteur peut donc fonctionner à l'envers, en utilisant 439,4 J de travail pour prélever 659,2 J à la source froide et en fournir 1098,6 J à la source chaude.

Le second principe demande un ingrédient de plus : un énoncé de ce que la nature interdit. Sous la forme que lui a donnée Kelvin, précisée ensuite par Planck : aucun cycle ne peut prélever de la chaleur à une seule source et la transformer en travail sans autre changement. Cela paraît modeste, mais la section suivante montre que cet énoncé suffit à fixer le meilleur rendement qu'un moteur puisse avoir.

Pourquoi aucun moteur ne bat un moteur réversible

Le raisonnement est une expérience de pensée. Supposons que quelqu'un construise un moteur $A$ meilleur qu'un moteur de Carnot entre les mêmes deux sources. Couplons-le à un moteur de Carnot $C$ fonctionnant à l'envers et faisons le bilan.

Légende

$T_h$	Température de la source chaude.	$\mathrm{K}$
$T_c$	Température de la source froide.	$\mathrm{K}$
$A$	Moteur censé être plus efficace qu'un moteur réversible.
$C$	Moteur de Carnot, fonctionnant à l'envers comme réfrigérateur.
$Q_h$	Chaleur que $A$ prélève à la source chaude et que $C$ lui rend : la même quantité.	$\mathrm{J}$
$Q_A$	Chaleur que $A$ rejette à la source froide.	$\mathrm{J}$
$Q_c$	Chaleur que $C$ prélève à la source froide, supérieure à $Q_A$.	$\mathrm{J}$
$W_A$	Travail que $A$ fournit par cycle.	$\mathrm{J}$
$W_C$	Partie de $W_A$ transmise pour entraîner $C$.	$\mathrm{J}$
$W_A-W_C$	Travail restant : la chaleur que perd la source froide, $Q_c-Q_A$, transformée en travail.	$\mathrm{J}$

Sur la figure 3, la source chaude à $T_h=500\mathrm{K}$ est en haut et la source froide à $T_c=300\mathrm{K}$ en bas. Les flèches verticales portent la chaleur, les flèches horizontales le travail. Le moteur $A$ prélève à la source chaude la même chaleur $Q_h=1098,6\mathrm{J}$ que le moteur de Carnot, mais il est censé fournir plus de travail, $W_A=500\mathrm{J}$, soit un rendement de 45,5 %. D'après le premier principe, il ne rejette alors à la source froide que $Q_A=1098,6-500=598,6\mathrm{J}$. Transmettons maintenant $W_C=439,4\mathrm{J}$ de ce travail à $C$, qui fonctionne en réfrigérateur : il prélève $Q_c=659,2\mathrm{J}$ à la source froide et en fournit $Q_h=1098,6\mathrm{J}$ à la source chaude.

Suivez les flèches et tenez les comptes. La source chaude cède $Q_h$ à $A$ et reçoit la même quantité $Q_h$ de $C$ : elle est donc exactement dans l'état où elle était. La source froide reçoit $Q_A$ et cède $Q_c$, soit une perte nette de $Q_c-Q_A=659,2-598,6=60,6\mathrm{J}$. Pendant ce temps, il reste $W_A-W_C=500-439,4=60,6\mathrm{J}$ de travail. Prises ensemble, les deux machines transforment en travail de la chaleur venant de la seule source froide, sans autre changement. Le second principe interdit exactement cela : le moteur $A$ ne peut donc pas exister, et aucun moteur ne bat un moteur réversible.

Supposons maintenant que $A$ soit lui aussi réversible. S'il était moins efficace que $C$, le même raisonnement, les rôles échangés, avec $C$ entraînant $A$ à l'envers, fournirait de nouveau du travail à partir d'une seule source. Tous les moteurs réversibles entre les deux mêmes températures ont donc le même rendement, quelle que soit leur substance de travail, et le calcul pour le gaz parfait en a déjà donné la valeur : ${\eta }_C=1-T_c/T_h$.

Cette universalité définit une température absolue sans aucune substance thermométrique : posons $T_h/T_c=Q_h/Q_c$ pour un moteur réversible quelconque fonctionnant entre deux corps. Le calcul pour le gaz parfait montre que cette échelle est proportionnelle à celle du gaz parfait, et les deux coïncident donc dès qu'on choisit la même unité. Le principe zéro (deux corps en équilibre avec un troisième sont en équilibre entre eux) est ce qui donne d'abord un sens à « la température d'une source ».

Lisez enfin $Q_h/T_h=Q_c/T_c$ comme un bilan. Le moteur prélève la grandeur $Q/T$ à la source chaude et la transmet inchangée à la source froide. Cette grandeur est la variation d'entropie, sujet de la leçon Le second principe de la thermodynamique et l'entropie. La ligne $\Delta S_{\mathrm{tot}}=Q_c/T_c-Q_h/T_h=0$ de la couche avancée de l'animation enregistre 2,197 J/K qui quittent le côté chaud et arrivent au côté froid, sans rien de créé.

Problème résolu : un cycle sans adiabatiques

Que coûte la violation d'une des règles de Carnot ? Gardons le gaz, les sources et les isothermes de l'animation entre $V_1=1\mathrm{L}$ et $V_2=3\mathrm{L}$, mais remplaçons les adiabatiques par des étapes à volume constant : on bloque le piston et l'on déplace le cylindre vers l'autre source. Trouvez le travail, le rendement et la destination du manque à gagner.

Légende

$p$	Pression du gaz.	$\mathrm{Pa}$
$V$	Volume du gaz.	${\mathrm{m}}^3$
$V_1$	Le plus petit volume, 1 L, où se fait l'étape de gauche.	${\mathrm{m}}^3$
$V_2$	Le plus grand volume, 3 L, où se fait l'étape de droite.	${\mathrm{m}}^3$
$T_h$	Température de l'isotherme chaude et de la source chaude.	$\mathrm{K}$
$T_c$	Température de l'isotherme froide et de la source froide.	$\mathrm{K}$
$W$	Travail net fourni par le gaz en un cycle : l'aire à l'intérieur de la boucle.	$\mathrm{J}$
$Q_{41}$	Chaleur prélevée à la source chaude pendant que le gaz se réchauffe à volume constant, du sommet 4 au sommet 1.	$\mathrm{J}$
$Q_{23}$	Chaleur cédée à la source froide pendant que le gaz se refroidit à volume constant, du sommet 2 au sommet 3.	$\mathrm{J}$

La figure 4 montre à l'échelle la nouvelle boucle. De 1 à 2, le gaz se détend le long de l'isotherme chaude ($T_h$) et de 3 à 4, il est comprimé le long de l'isotherme froide ($T_c$), exactement comme avant : les isothermes apportent donc toujours 1098,6 J à 500 K et rejettent 659,2 J à 300 K. Les deux étapes verticales sont nouvelles. À volume constant, le gaz ne fournit aucun travail, donc la chaleur qu'il échange est égale à la variation de son énergie interne.

De 2 à 3, à 3 L, le gaz se refroidit de 500 K à 300 K et sa pression passe de 333 kPa à 200 kPa ; il cède à la source froide $Q_{23}=\frac{3}{2}nR\cdot 200=600\mathrm{J}$. De 4 à 1, à 1 L, il doit prélever $Q_{41}=600\mathrm{J}$ à la source chaude pour se réchauffer, sa pression passant de 600 kPa à 1000 kPa. Les étapes verticales n'ajoutent aucune aire, donc le travail net est le même que celui de Carnot, mais la source chaude fournit maintenant $1098,6+600=1698,6\mathrm{J}$ :
$W=1098,6-659,2=439,4\mathrm{J},\eta =\frac{439,4}{1098,6+600}=25,9\%$

La perte vient de la chaleur qui traverse un écart fini de température, et l'entropie la mesure. Sur les isothermes, les flux d'entropie s'annulent exactement comme dans le cycle de Carnot. Sur les étapes verticales, non. Pendant le réchauffement à 1 L, le gaz gagne l'entropie $\int \frac{3}{2}nRdT/T=\frac{3}{2}nR\ln (5/3)=1,53J/K$, mais la source chaude, qui cède ses 600 J à 500 K constants, ne perd que $600/500=1,20J/K$. Pendant le refroidissement à 3 L, le gaz perd 1,53 J/K, mais la source froide gagne $600/300=2,00J/K$. Le gaz revient à son état initial, donc ses propres variations s'annulent, et chaque cycle crée $2,00-1,20=0,80J/K$ d'entropie dans les sources.

Le travail perdu est $T_c$ fois l'entropie créée, $300\cdot 0,80=240\mathrm{J}$. Vérifions : un moteur de Carnot alimenté par les mêmes 1698,6 J fournirait $0,40\cdot 1698,6=679,4\mathrm{J}$, et $679,4-439,4=240\mathrm{J}$ exactement. Le remède est un régénérateur, une réserve de chaleur poreuse qui absorbe les 600 J couche par couche pendant que le gaz se refroidit et les restitue de la même façon pendant qu'il se réchauffe. Chaque couche rencontre un gaz presque à sa propre température : aucune entropie n'est créée, la source chaude ne fournit plus que les 1098,6 J de l'isotherme, et le rendement revient à 40 %. C'est l'idée du moteur Stirling.

Réfrigérateurs et pompes à chaleur

Parcouru à l'envers, le moteur de Carnot fait remonter la chaleur du froid vers le chaud. Un réfrigérateur se juge à son coefficient de performance $\mathrm{COP}$, la chaleur retirée du côté froid par joule de travail, $Q_c/W$. Avec $W=Q_h-Q_c$ et le rapport de Carnot $Q_h/Q_c=T_h/T_c$, la meilleure valeur possible est
$\mathrm{COP}=\frac{Q_c}{W}\le \frac{T_c}{T_h-T_c}$
Dans l'animation, $659,2/439,4=1,5=300/200$. Utilisée comme pompe à chaleur, la même machine fournit $Q_h$ au côté chaud : $1098,6/439,4=2,5$ joules de chaleur par joule de travail, la limite $T_h/(T_h-T_c)=500/200$. Des valeurs supérieures à 1 ne violent aucune loi : le travail n'a pas à créer la chaleur qu'il déplace, seulement à la faire monter.

Pourquoi les moteurs réels font moins bien

Les moteurs réels perdent pour d'autres raisons que les frottements. La plupart prélèvent la chaleur dans une plage de températures au lieu de la prélever entièrement à la plus haute. Le cycle d'Otto idéal du moteur à essence est formé de deux adiabatiques reliées par un chauffage et un refroidissement à volume constant. Son rendement est $\eta =1-r^{1-\gamma }$, où le taux de compression $r$ est le plus grand volume divisé par le plus petit : 60 % pour $r=10$ avec de l'air ($\gamma =1,4$). C'est bien en dessous de la valeur de Carnot, proche de 90 %, entre la température maximale du gaz, environ 2500 K, et les 300 K de l'air d'admission. Les vrais moteurs à essence, qui ont en plus des frottements et des fuites de chaleur, plafonnent vers 35–40 %.

La vitesse compte aussi. Un moteur réversible doit échanger la chaleur à travers des écarts de température tendant vers zéro : il fonctionne donc infiniment lentement et ne fournit aucune puissance. Un moteur limité par la vitesse à laquelle la chaleur entre et sort donne sa puissance maximale vers $\eta =1-\sqrt{T_c/T_h}$, soit 39 % entre 800 K et 300 K, proche de ce qu'obtiennent les centrales à vapeur réelles.

Limites de validité

Les formules des étapes supposent des transformations quasi statiques. La pression s'uniformise à peu près à la vitesse du son : elle traverse un cylindre de 10 cm en environ 0,2 ms, bien en deçà des 10 ms d'une étape d'un moteur de voiture à 3000 tr/min. La chaleur diffuse beaucoup plus lentement : les étapes rapides sont donc presque adiabatiques et les étapes vraiment isothermes sont impraticables ; les cycles réels apportent plutôt la chaleur à volume ou à pression à peu près constants.

Les valeurs $U=\frac{3}{2}nRT$ et $\gamma =5/3$ valent pour un gaz monoatomique dilué. L'air à température ambiante a $\gamma =1,4$, et dans un gaz dense $U$ dépend aussi du volume, mais ${\eta }_C$ n'en est pas affecté, comme le garantit le raisonnement de la figure 3. Le premier principe ne connaît aucune exception, mais en relativité l'énergie comprend l'énergie de masse. Brûler 1 kg d'essence libère environ 46 MJ, de sorte que les produits sont plus légers que l'essence et l'oxygène de départ de $46\times 10^6/(3,00\times 10^8{)}^2\approx 5\times 10^{-10}\mathrm{kg}$, bien trop peu pour être pesé.

Par ailleurs, ces lois décrivent des moyennes. Pour une poignée de molécules, $Q$ et $W$ fluctuent d'un cycle à l'autre, et un cycle isolé peut même dépasser le rendement de Carnot. Les fluctuations relatives varient comme $1/\sqrt{N}$ pour $N$ molécules, soit environ $3\times 10^{-12}$ pour les $1,4\times 10^{23}$ atomes du gaz de l'animation : pour tout ce qui est visible, les lois s'appliquent donc exactement. Le troisième principe rend le zéro absolu inatteignable : $T_c$ n'est jamais nulle, et ${\eta }_C$ reste toujours inférieur à 1.

Ce qui vient ensuite

La leçon Le second principe de la thermodynamique et l'entropie transforme $Q/T$ en entropie, démontre l'inégalité de Clausius et explique, en comptant les arrangements moléculaires, pourquoi la chaleur ne s'écoule que du chaud vers le froid. La leçon Théorie cinétique des gaz donne les raisons moléculaires de $U=\frac{3}{2}nRT$ et de l'échauffement adiabatique. Les machines à vapeur relèvent de la leçon Changements d'état et chaleur latente : l'ébullition et la condensation se font à température fixe, leurs échanges de chaleur sont donc naturellement isothermes. La leçon Conduction, convection et rayonnement fixe la vitesse à laquelle la chaleur parvient à un moteur, donc sa puissance ; Puissance et énergie électriques à la maison suit l'énergie de la centrale jusqu'à la prise ; et Travail, énergie et puissance est le point de départ de la conservation de l'énergie.