Тепловое расширение

Начальный

Шаг 1. Почти всё немного увеличивается при нагревании и снова уменьшается при остывании — поэтому бетонные плиты тротуара укладывают с узкими зазорами. Это тепловое расширение.

Шаг 2. Почему? Любое тело состоит из крошечных частиц, которые всё время колеблются. Нагрейте его — они колеблются сильнее и чуть-чуть расталкивают друг друга, поэтому всё тело становится немного длиннее, шире и толще.

Шаг 3. Насколько? Удлинение маленькое, но очень правильное: нагрейте стержень вдвое сильнее — он удлинится вдвое больше; возьмите стержень вдвое длиннее — он тоже удлинится вдвое больше. Алюминиевый стержень длиной 1 м при нагреве на 200 градусов удлиняется меньше чем на 5 мм, а длинный стальной мост между зимой и летом меняет длину на десятки сантиметров. Сила при этом огромна, поэтому у мостов есть деформационные швы с зубцами, как у гребёнки.

Шаг 4. Разные вещества расширяются по-разному. Скрепите латунную полоску со стальной и нагрейте: латунь удлиняется сильнее, и пара вынуждена изогнуться, причём латунь оказывается снаружи изгиба. Такие биметаллические пластинки включают и выключают термостаты и чайники.

В анимации пламя нагревает металлический стержень и пластинку из латуни и стали. Конец стержня заходит за пунктирную линию (удлинение нарисовано в 25 раз крупнее), а пластинка изгибается вверх; когда пламя гаснет, всё возвращается к прежней форме.

Проверьте себя: металлическая крышка не откручивается со стеклянной банки. Лить горячую воду на крышку или на стекло? (На крышку: металл расширяется сильнее стекла, и крышка ослабнет.)

Вода — странное исключение: от 0 °С до 4 °С она при нагревании сжимается.

Средний

Что расширяется и почему

В твёрдом теле атомы находятся на почти неизменных расстояниях от соседей, удерживаемые связями, которые действуют как жёсткие пружины. Атомы колеблются около этих положений, а при нагревании колеблются сильнее. Связи сопротивляются сжатию сильнее, чем растяжению, поэтому атом, который раскачивается сильнее, проводит больше времени чуть дальше от соседа, и среднее расстояние растёт. Вместе с ним увеличиваются все размеры тела.

Эффект описывают три величины: начальная длина $L_0$, изменение длины $\Delta L=L-L_0$ (при остывании оно отрицательно) и изменение температуры $\Delta T$. Изменение на 1 °C равно изменению на 1 К, поэтому $\Delta T$ имеет одно и то же значение по обеим шкалам: нагрев от 20 °C до 220 °C даёт $\Delta T=200\mathrm{К}$.

Закон линейного расширения

Измерения дают простое правило: изменение длины пропорционально начальной длине и изменению температуры,
$\Delta L=\alpha L_0\Delta T$

Каждый метр стержня удлиняется сам по себе, поэтому вдвое более длинный стержень удлиняется вдвое больше. Коэффициент линейного расширения $\alpha$ — свойство материала. Его единица — К⁻¹, потому что это относительное удлинение $\Delta L/L_0$ на один кельвин: $\alpha =23\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$ означает, что каждый метр алюминия удлиняется на 23 микрометра на каждый кельвин.

Типичные значения в единицах $10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$: инвар (сплав железа с никелем) 1,2; стекло 9; сталь и бетон около 12; медь 17; латунь 19; алюминий 23. Поскольку при обычном нагревании $\alpha \Delta T$ остаётся намного меньше 1 %, изменение легко не заметить, но трудно остановить.

Площади, объёмы и жидкости

При нагревании каждый размер однородной пластины умножается на $(1+\alpha \Delta T)$, поэтому её площадь умножается на $(1+\alpha \Delta T{)}^2\approx 1+2\alpha \Delta T$; отброшенным слагаемым $(\alpha \Delta T{)}^2$ можно пренебречь. Объём бруска умножается на куб этого множителя. Поэтому в первом приближении площадь и объём увеличиваются на
$\Delta A\approx 2\alpha A_0\Delta T$
$\Delta V=\beta V_0\Delta T,\beta \approx 3\alpha$

Здесь $\beta$ — коэффициент объёмного расширения. Отверстия увеличиваются так же: просвет кольца растёт точно так же, как рос бы диск из того же материала, — как при увеличении фотографии.

У жидкостей нет собственной формы, поэтому их описывает один лишь $\beta$. В единицах $10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$ он равен примерно 210 для воды при 20 °C, 180 для ртути и 950 для бензина, а для стекла — 27. Жидкостный стеклянный термометр показывает именно эту разницу: жидкость расширяется сильнее своего резервуара и поднимается по узкой трубке. По той же причине бак, доверху залитый прохладным бензином, переливается на солнце.

Пример: стержень и пластинка из анимации

Алюминиевый стержень имеет длину $L_0=1\mathrm{м}=1000\mathrm{мм}$ и нагревается от 20 °C до 220 °C, то есть $\Delta T=200\mathrm{К}$, и
$\Delta L=23\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}\cdot 1000\mathrm{мм}\cdot 200\mathrm{К}=4,6\mathrm{мм}$

Это значение показывает синий индикатор $\Delta L$ при 220 °C: теперь стержень имеет длину 1,0046 м. Удлинение и его стрелка нарисованы в 25 раз крупнее, потому что в реальном масштабе их не было бы видно.

Пластинка состоит из латунного слоя длиной 10 см ($\alpha =19\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$), скреплённого со стальным слоем длиной 10 см ($\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$). Свободная латунь удлинилась бы на $19\times 10^{-6}\cdot 100\mathrm{мм}\cdot 200=0,38\mathrm{мм}$, а сталь — на 0,24 мм: разница всего 0,14 мм. Скреплённые слои скользить друг по другу не могут, поэтому пластинка должна изогнуться, причём более длинная латунь окажется снаружи изгиба. Здесь латунь снизу, и пластинка загибается вверх.

Она изгибается в дугу радиусом $R\approx 25\mathrm{см}$; вывод — на экспертном уровне. Дуга длиной $L$ отходит от исходной прямой примерно на $L^2/(2R)$, поэтому конец пластинки длиной 100 мм поднимается на $d\approx 100^2/(2\cdot 246)\approx 20\mathrm{мм}$: это зелёные стрелка и индикатор $d$. Разница в 0,14 мм превратилась в перемещение на 20 мм — поэтому пластинка и служит хорошим переключателем.

Пример: мост и его деформационный шов

Стальной пролёт моста длиной 120 м закреплён с одного конца, а другим концом опирается на подвижные опоры. Его построили при 15 °C; зимними ночами он остывает до −20 °C, а летом на солнце нагревается до +45 °C. Какое перемещение должен допускать шов на свободном конце?

При $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$ и $L_0=120000\mathrm{мм}$ каждый кельвин меняет длину на $\alpha L_0=1,44\mathrm{мм}$. Летом, при $\Delta T=+30\mathrm{К}$, пролёт удлиняется на $1,44\cdot 30\approx 43\mathrm{мм}$, зимой, при $\Delta T=-35\mathrm{К}$, — укорачивается на $1,44\cdot 35\approx 50\mathrm{мм}$. Шов должен перекрывать около 94 мм — отсюда его длинные входящие друг в друга стальные зубья.

Без шва устоям пришлось бы «выдавливать» летнее удлинение обратно — это деформация $\alpha \Delta T=3,6\times 10^{-4}$. При модуле Юнга $E=200\mathrm{ГПа}$ для этого нужно напряжение $\sigma =E\alpha \Delta T=72\mathrm{МПа}$, примерно четверть напряжения, при котором конструкционная сталь достигает предела текучести; от длины пролёта оно не зависит.

Как читать анимацию

Пунктирные линии показывают холодные формы. Стержень закреплён в стене и опирается на каток, как пролёт моста на опорные части, поэтому всё удлинение проявляется на свободном конце; пластинка зажата только с одного конца и потому может свободно изгибаться.

Обе величины, $\Delta L$ и $d$, пропорциональны превышению над 20 °C: на полпути, при 120 °C, они равны 2,30 мм и около 10 мм. Каждый кельвин добавляет 0,023 мм к удлинению стержня и около 0,1 мм к прогибу пластинки. При остывании индикаторы проходят те же значения в обратном порядке до нуля: тепловое расширение обратимо, если только материал не нагружен сверх предела упругости.

Частые ошибки

• Отверстие в нагретой пластине увеличивается, как и любой другой размер: отверстие 20,00 мм в стали, нагретой на 100 К, становится 20,02 мм — на этом основана горячая посадка колец на валы.
• Атомы не раздуваются: растёт среднее расстояние между ними — на 0,46 % у стержня из анимации.
• Подставляйте изменение температуры, а не саму температуру: нагрев от 20 °C до 30 °C даёт такое же удлинение, как от 80 °C до 90 °C, а изменение на 200 °C — это 200 К, без прибавления 273.
• Площади растут с множителем $2\alpha$, а объёмы — с $3\alpha$: алюминиевый брусок, нагретый на 200 К, увеличивается по объёму на 1,38 %, втрое больше, чем на 0,46 % по каждому ребру.
• Расширяется при нагревании не всё: вода сжимается при нагревании от 0 °C до 4 °C, а растянутая резиновая лента укорачивается.

Где это встречается

Длинным сооружениям оставляют место для движения: деформационные швы и катковые опоры на мостах, зазоры между бетонными плитами, компенсаторные петли на трубопроводах; провода линий электропередачи в жару провисают ниже. Материалы, которые должны оставаться скреплёнными, — например, стекло, впаянное вокруг проводов лампы, или пломба в зубе, — подбирают с одинаковыми коэффициентами, а биметаллические пластинки, наоборот, используют разницу намеренно: они включают и выключают чайники, утюги и термостаты.

Этот урок опирается на урок «Температура и теплота». Странное поведение воды продолжается в уроке «Фазовые переходы и скрытая теплота»: при замерзании она расширяется на 9 %. Стеснённое расширение — это закон связи напряжения и деформации из урока «Упругость: закон Гука, напряжение и деформация» в действии, а газы, расширяющиеся гораздо сильнее твёрдых тел, объясняет урок «Молекулярно-кинетическая теория газов».

Продвинутый

Коэффициент как скорость изменения

Весь этот урок опирается на одно число для каждого материала — коэффициент расширения $\alpha$. Привычное правило $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$ лишь приближённое, поэтому полезно увидеть, что именно оно приближает. Точное определение — относительное удлинение на один кельвин при одной определённой температуре:
$\alpha =\frac{1}{L}\frac{dL}{dT}$

Правая часть — это производная $\ln L$ по $T$. Поэтому, проинтегрировав её от начальной температуры $T_0$ до $T$, получаем точную длину:
$L=L_0\exp \left({\int }_{T_0}^T\alpha d{T}^{\prime }\right)$

Если $\alpha$ не зависит от температуры, интеграл просто равен $\alpha \Delta T$, а разложение экспоненты даёт $L=L_0{e}^{\alpha \Delta T}=L_0(1+\alpha \Delta T+\frac{1}{2}{\alpha }^2\Delta T^2+\dots )$. Линейный закон сохраняет лишь первую поправку, $\alpha \Delta T$, и отбрасывает остальные. Для твёрдых тел это почти ничего не стоит: в анимации $\alpha \Delta T=4,6\times 10^{-3}$, а экспонента даёт удлинение 4,611 мм вместо 4,600 мм.

Настоящий недостаток линейного закона в другом: сам $\alpha$ меняется с температурой. У настоящего алюминия он возрастает более чем на десятую часть между 20 °C и 220 °C, поэтому реальный стержень длиной 1 м удлинился бы почти на 5 мм — ошибка гораздо больше, чем 0,011 мм, потерянные при отбрасывании квадратичного слагаемого. В широких интервалах температур $\alpha$ приходится интегрировать.

График $\Delta L$ от $T$ в анимации показывает линейный закон: прямая от 0 при 20 °C до 4,6 мм при 220 °C с наклоном $dL/dT=\alpha L_0=0,023\mathrm{мм}/\mathrm{К}$. При остывании точка скользит обратно по той же прямой. Петля не возникает, потому что длина зависит лишь от нынешней температуры, а не от истории нагревов и охлаждений. При зависящем от температуры $\alpha$ настоящего алюминия прямая плавно изгибалась бы вверх.

То же определение применимо к объёму: $\beta =(1/V)dV/dT$. Изотропное твёрдое тело, то есть расширяющееся одинаково во всех направлениях, сохраняет форму, поэтому $V\propto L^3$. Тогда $\ln V$ равен $3\ln L$ плюс постоянная, и дифференцирование даёт в точности $\beta =3\alpha$. Привычная формула $\Delta V\approx 3\alpha V_0\Delta T$ приближённа лишь потому, что отбрасывает слагаемые порядка $(\alpha \Delta T{)}^2$.

Почему горячим атомам нужно больше места

Почему твёрдое тело вообще расширяется? Ответ — в форме связи между соседними атомами. Предположим, что сила между двумя соседями в точности равна $-kx$, где $x$ — изменение расстояния между ними относительно равновесного значения, а $k$ — жёсткость связи. Тогда потенциальная энергия была бы параболой, каждое колебание было бы симметрично относительно $x=0$, и среднее расстояние никогда не менялось бы, как бы сильно ни колебались атомы. Кристалл с такими идеально пружинными (гармоническими) связями не расширялся бы. Реальные связи несимметричны. При сближении двух атомов возникает резкое отталкивание, потому что их электронные облака перекрываются, а при раздвижении возникает притяжение, которое слабеет с расстоянием.

Обозначения

$x$	Изменение расстояния между двумя соседними атомами, отсчитанное от дна ямы.	$\mathrm{м}$
$U$	Потенциальная энергия связи.	$\mathrm{Дж}$
$\frac{1}{2}k{x}^2$	Энергия идеальной пружины жёсткостью $k$: симметричная парабола, к которой реальная кривая близка у дна.	$\mathrm{Дж}$
$k_{B}T$	Тепловая энергия — постоянная Больцмана, умноженная на температуру: высота уровня, на котором колеблются атомы.	$\mathrm{Дж}$
$\bar{x}$	Среднее изменение расстояния: среднее положение колеблющегося атома, смещённое несимметричной связью в сторону положительных $x$.	$\mathrm{м}$

На рисунке 1 показана энергия $U$ одной связи как функция изменения $x$ её длины. Посмотрите сначала на две кривые. Штриховая парабола $\frac{1}{2}k{x}^2$ — идеальная симметричная пружина. Сплошная кривая — реальная несимметричная связь: у дна ямы они совпадают, но со стороны сжатия (слева) реальная кривая идёт выше параболы, а со стороны растяжения (справа) — ниже.

Теперь посмотрите на горизонтальный уровень на высоте $k_{B}T$ — типичной тепловой энергии колеблющегося атома ($k_B$ — постоянная Больцмана). Атом с такой энергией колеблется между двумя точками, где уровень пересекает сплошную кривую: это его точки поворота. Слева стенка крутая, поэтому точка поворота лежит близко к $x=0$. Справа стенка пологая, и точка поворота лежит дальше. Атом поэтому уходит наружу дальше, чем внутрь, и его среднее положение $\bar{x}$ — золотая линия — оказывается при положительном $x$, правее дна ямы. Более горячий атом движется на более высоком уровне, на более несимметричном участке кривой, и $\bar{x}$ смещается ещё дальше. Этот дрейф среднего расстояния наружу, повторённый в каждой связи кристалла, и есть тепловое расширение.

Для количественной оценки самая простая несимметричная связь добавляет к пружине кубическое слагаемое с постоянной $b$, измеряющей асимметрию. Это сплошная кривая на рисунке 1, асимметрия которой преувеличена:
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{3}b{x}^3$
Знак «минус» помещает энергию ниже параболы при $x>0$ и выше неё при $x<0$, как на рисунке. Сила, действующая на атом, равна $-dU/dx=-kx+b{x}^2$.

Теперь усредним по движению. Колеблющийся атом в среднем остаётся на месте, поэтому среднее по времени от силы, действующей на него, должно равняться нулю: $k\bar{x}=b\overline{x^2}$, где $\overline{x^2}$ — средний квадрат смещения. Поскольку $b$ мало, достаточно взять $\overline{x^2}$ для гармонической пружины. Для колебания с энергией $E_{\mathrm{кол}}$ в среднем половина приходится на потенциальную энергию, поэтому $\frac{1}{2}k\overline{x^2}=\frac{1}{2}{E}_{\mathrm{кол}}$ и $\bar{x}=b{E}_{\mathrm{кол}}/k^2$. Классический осциллятор в тепловом равновесии имеет в среднем $E_{\mathrm{кол}}=k_{B}T$, что даёт
$\bar{x}=\frac{b{k}_{B}T}{k^2}$
Усреднение $x$ с множителем Больцмана $e^{-U/k_{B}T}$ в первом порядке по $b$ даёт тот же результат. Так что рисунок 1, следящий за одним колебанием с энергией $k_{B}T$, отмечает то же $\bar{x}$, что и тепловое среднее.

Среднее смещение растёт пропорционально температуре. Разделив на равновесное расстояние $r_0$, получаем относительный рост на один кельвин, $\alpha \approx b{k}_B/(k^2{r}_0)$: постоянный при обычных температурах и пропорциональный $b$. Коэффициент расширения напрямую измеряет асимметрию связей.

От чего зависит величина коэффициента

Та же картина объясняет одну поразительную закономерность. И плавление, и расширение зависят от того, как высоко по яме поднимается тепловая энергия: твёрдое тело плавится, когда колебания становятся заметной долей межатомного расстояния, а расширяется оно по мере того, как атомы поднимаются выше по несимметричной яме. Глубокая и жёсткая яма поэтому даёт и высокую температуру плавления, и малый $\alpha$, а у многих металлов их произведение примерно одинаково — около 0,02. У алюминия $23\times 10^{-6}\cdot 933\approx 0,021$; у вольфрама $4,5\times 10^{-6}\cdot 3695\approx 0,017$.

Инвар, сплав железа с никелем, нарушает это правило: магнитное сжатие почти компенсирует его обычное расширение. Это открытие принесло Шарлю Эдуару Гийому Нобелевскую премию 1920 года и сделало инвар ценным материалом для точных приборов.

При низких температурах классическая картина перестаёт работать. Колебания замирают в основном квантовом состоянии, которое почти не получает энергии при росте температуры. Расширение следует за энергией колебаний, поэтому $\alpha$ стремится к нулю вместе с теплоёмкостью, как того требует третье начало термодинамики. Их отношение остаётся почти постоянным (правило Грюнайзена).

Температурное напряжение в зажатом стержне

Что происходит, когда расширению мешают? Возьмём стержень, зажатый между жёсткими стенками. Его длина не может измениться, поэтому стенки должны сжать его ровно настолько, насколько он расширился бы: они создают упругую деформацию $-\alpha \Delta T$, компенсирующую свободное расширение. По закону Гука напряжение равно модулю Юнга $E$, умноженному на деформацию, так что для этого нужно напряжение величиной
$\sigma =E\alpha \Delta T$
Оно сжимающее при нагревании и растягивающее при охлаждении. Обратите внимание: длина в ответ не вошла, ведь важна лишь относительная деформация. И стальной стержень длиной 1 м, и стальной рельс длиной 1 км получают по 2,4 МПа напряжения на кельвин.

Изгиб биметаллической пластинки

Пластинка из двух скреплённых металлов, например латуни на стали, стеснена лишь частично. Каждый слой стремится расшириться на свою величину, но скрепление заставляет их принять общую форму, и компромиссом становится изгиб. Так термостат превращает изменение температуры в движение. Чтобы найти изгиб, нужно знать, как деформация меняется по толщине пластинки.

Обозначения

$y$	Положение поперёк пластинки, отсчитываемое от границы слоёв в сторону центра кривизны (на стороне стали оно положительно).	$\mathrm{м}$
$h$	Толщина пластинки, оба слоя вместе.	$\mathrm{м}$
$\epsilon$	Деформация вдоль пластинки: относительное изменение длины.
${\epsilon }_0$	Деформация на границе слоёв, $y=0$: для одинаковых слоёв — среднее двух свободных деформаций.
$R$	Радиус кривизны изогнутой пластинки; синяя прямая убывает на $1/R$ на единицу $y$.	$\mathrm{м}$
${\alpha }_1\Delta T$	Деформация, которую имела бы свободная латунь: её коэффициент ${\alpha }_1$, умноженный на повышение температуры.
${\alpha }_2\Delta T$	Деформация, которую имела бы свободная сталь: её коэффициент ${\alpha }_2$, умноженный на повышение температуры.
${\sigma }_1$	Напряжение в латуни: $E$, умноженное на зазор между синей прямой и собственной свободной деформацией латуни.	$\mathrm{Па}$
${\sigma }_2$	Напряжение в стали: $E$, умноженное на зазор между синей прямой и собственной свободной деформацией стали.	$\mathrm{Па}$

Рисунок 2 — разрез по толщине $h$ пластинки. Вертикальная ось — положение $y$ поперёк пластинки, отсчитываемое от границы слоёв в сторону центра кривизны, так что сталь (серая) занимает область $0<y<h/2$, а латунь (золотая) — область $-h/2<y<0$. Горизонтальная ось — деформация $\epsilon$ вдоль пластинки.

Начнём с двух вертикальных прямых. Это деформации, которые имел бы каждый слой, будь он свободным: ${\alpha }_1\Delta T$ для латуни и ${\alpha }_2\Delta T$ для стали. Латунь расширяется сильнее, ${\alpha }_1>{\alpha }_2$, поэтому её прямая лежит правее.

Теперь синяя прямая. Скреплённые слои должны изгибаться как одно целое, по радиусу $R$. При изгибе каждый тонкий слой вдоль пластинки растягивается или сжимается пропорционально расстоянию до центра кривизны, поэтому деформация меняется по толщине линейно:
$\epsilon (y)={\epsilon }_0-\frac{y}{R}$
Здесь ${\epsilon }_0$ — деформация на границе слоёв. Прямая убывает в сторону центра кривизны, поэтому латунь, лежащая снаружи изгиба, растянута сильнее всего.

Слой испытывает напряжение лишь от той части деформации, которая не является свободным расширением, поэтому напряжение равно $E(\epsilon -{\alpha }_i\Delta T)$, где ${\alpha }_1$ относится к латуни, а ${\alpha }_2$ — к стали. На рисунке это $E$, умноженное на горизонтальный зазор между синей прямой и собственной вертикальной прямой слоя: зелёные клинья, ${\sigma }_1$ в латуни и ${\sigma }_2$ в стали. Возле границы слоёв синяя прямая лежит левее латунной и правее стальной, так что латунь сжата, а сталь растянута. Возле внешних поверхностей синяя прямая пересекла вертикальные, и знаки меняются на противоположные.

У синей прямой две неизвестные: положение ${\epsilon }_0$ и наклон $1/R$. Внешняя нагрузка на пластинку не действует, поэтому напряжения должны давать нулевую результирующую силу и нулевой результирующий изгибающий момент. Эти два условия определяют обе неизвестные.

Возьмём равные толщины и равные модули. Слагаемое $-y/R$ даёт равные и противоположные силы в двух половинах, поэтому результирующая сила обращается в нуль, только если ${\epsilon }_0$ — среднее двух свободных деформаций, ${\epsilon }_0=\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2)\Delta T$: синяя прямая пересекает границу слоёв посередине между двумя вертикальными прямыми. Относительно этого значения латунь сжата, а сталь растянута на одну и ту же деформацию рассогласования $\frac{1}{2}\Delta \alpha \Delta T$, где $\Delta \alpha ={\alpha }_1-{\alpha }_2$. На единицу ширины эти две равные и противоположные силы, каждая $\frac{1}{4}E\Delta \alpha \Delta Th$, действуют на расстоянии $h/2$ друг от друга и образуют пару сил с моментом $\frac{1}{8}E\Delta \alpha \Delta T{h}^2$. Напряжение изгиба $-Ey/R$ создаёт противоположный момент $E{h}^3/(12R)$. Приравняв моменты, получаем
$\frac{1}{R}=\frac{3\Delta \alpha \Delta T}{2h}\text{(равные толщины и модули)}$
При таком наклоне синяя прямая пересекает каждую вертикальную на двух третях расстояния от границы слоёв до внешней поверхности, как нарисовано.

Для анимации $\Delta \alpha =7\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$, $\Delta T=200\mathrm{К}$ и $h=0,5\mathrm{мм}$ дают $1/R=4,2{\mathrm{м}}^{-1}$. В анимации использована общая формула Степана Тимошенко (1925 год) с реальными модулями (латунь 100 ГПа, сталь 200 ГПа); она даёт $4,07{\mathrm{м}}^{-1}$, то есть радиус 24,6 см.

Как далеко сдвигается конец? При малых углах окружность прилегает к параболе, поэтому дуга радиусом $R$ после длины $L$ отходит от своей начальной касательной примерно на
$d\approx \frac{L^2}{2R}$
Конец пластинки длиной 10 см поднимается поэтому примерно на 20,4 мм. Точная дуга, поворачивающая конец на 23°, даёт 20,1 мм зелёного индикатора. Вместе две формулы дают $d=3\Delta \alpha \Delta T{L}^2/(4h)$: уменьшение толщины вдвое удваивает перемещение, а увеличение длины вдвое увеличивает его вчетверо. Поэтому в термостатах применяют длинные, тонкие или свёрнутые спиралью пластинки.

Кривая плотности воды

Большинство жидкостей при нагревании расширяются равномерно. Вода между 0 °C и примерно 4 °C ведёт себя наоборот, и эта небольшая аномалия определяет, как замерзают озёра.

Обозначения

$T$	Температура, здесь в градусах Цельсия.	${}^{\circ }\mathrm{С}$
$\rho$	Плотность жидкой воды.	$\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3$
$T_m$	Температура максимума плотности, 3,98 °C.	${}^{\circ }\mathrm{С}$
${\rho }_m$	Наибольшая плотность жидкой воды, 999,97 кг/м³, достигаемая при $T_m$.	$\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3$
$\beta$	Коэффициент объёмного расширения в точке касания: отрицателен там, где плотность растёт с $T$, равен нулю в максимуме, положителен там, где она падает.	${\mathrm{К}}^{-1}$

На рисунке 3 показана плотность $\rho$ воды от 0 до 12 °C — правый график анимации — с касательной, проведённой при трёх температурах. Чтобы прочитать по этой кривой коэффициент расширения, заметим, что при фиксированной массе плотность обратно пропорциональна объёму, поэтому $\beta =-(1/\rho )d\rho /dT$. Наклон кривой равен поэтому $-\beta \rho$, и его знак всегда противоположен знаку $\beta$.

Теперь проследим за касательными слева направо. Слева кривая поднимается, поэтому наклон положителен и $\beta <0$: около $-68\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$ при 0 °C, а значит, нагревание воды там заставляет её сжиматься. В максимуме касательная горизонтальна и $\beta =0$. Это температура $T_m=3,98$ °C наибольшей плотности, ${\rho }_m=999,97\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3$. Правее кривая падает и $\beta >0$, как у любой другой жидкости. Вертикальная ось сильно растянута: от 4 °C до 12 °C плотность уменьшается меньше чем на 0,05 %.

Эта аномалия определяет жизнь озёр. Осенью охлаждённая поверхностная вода плотнее воды под ней, поэтому она тонет, пока всё озеро не примет температуру около 4 °C. Дальнейшее охлаждение делает поверхностную воду не тяжелее, а легче, поэтому она остаётся наверху, где и замерзает, а у дна под плавающим льдом остаётся температура около 4 °C.

Когда нагревание сжимает тела

Аномалия воды имеет структурную природу. Лёд — рыхлая решётка из водородных связей, полная пустот. При плавлении она частично разрушается, а льдоподобные скопления, уцелевшие в холодной жидкости, продолжают распадаться по мере нагревания, позволяя молекулам упаковываться плотнее. Это сжатие конкурирует с обычным расширением связей и побеждает до 3,98 °C.

Резиновая лента с грузом при нагревании укорачивается, и причина здесь другая. Её натяжение создают в основном длинные цепочечные молекулы: выпрямленная цепь имеет гораздо меньше возможных конфигураций, чем скомканная, то есть меньшую энтропию, и тепло возвращает цепи к более коротким, беспорядочным формам. Термодинамика связывает это с тепловым эффектом без какой-либо молекулярной модели. Пусть $f$ — сила натяжения, $L$ — длина ленты. Свободная энергия $F=U-TS$ тогда меняется как $dF=-SdT+fdL$. Поскольку $F$ — функция $T$ и $L$, её смешанные вторые производные равны, и это даёт соотношение Максвелла:
${\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)}_L$

Натяжение резины при фиксированной длине растёт с температурой, поэтому правая часть отрицательна: растяжение резины уменьшает её энтропию, и лента должна отдавать теплоту. Растянутая быстро, до того как эта теплота успеет уйти, лента нагревается. Стальная проволока, удерживаемая при фиксированной длине, ведёт себя наоборот: нагревание снимает её растяжение, поэтому она теряет натяжение — на $EA\alpha$ на кельвин при поперечном сечении $A$. Знак меняется, и быстрое растяжение охлаждает сталь, примерно на 0,1 К при 100 МПа.

Задача: стержень между двумя стенами

Температурное напряжение может быть огромным, но у тонкого стержня есть выход. В этой задаче оба случая считаются в числах.

Обозначения

$L$	Длина стержня между стенами.	$\mathrm{м}$
$a$	Сторона квадратного сечения стержня.	$\mathrm{м}$
$F$	Сжимающая сила между каждой стеной и стержнем; до потери устойчивости $F=\sigma a^2$.	$\mathrm{Н}$
$\delta$	Боковое смещение середины выпученного стержня, здесь преувеличено.	$\mathrm{м}$
$L/2$	Длина участка между двумя точками перегиба: половина стержня.	$\mathrm{м}$

На рисунке 4 показан алюминиевый стержень длиной 1 м из анимации, у которого каток заменён второй жёсткой стеной, так что он зажат с обоих концов. Его длина — $L$, а квадратное сечение имеет сторону $a=10\mathrm{мм}$, так что площадь сечения $a^2=10^{-4}{\mathrm{м}}^2$; возьмём $E=70\mathrm{ГПа}$. Каждая стена давит на стержень с силой $F$.

Сначала предположим, что стержень остаётся прямым при нагреве на все 200 К. Для этого потребовалось бы напряжение
$\sigma =E\alpha \Delta T=70\times 10^9\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 200\approx 3,2\times 10^8\mathrm{Па}$
то есть 322 МПа, или $F=\sigma a^2=32\mathrm{кН}$ на каждую стену. Даже прочный конструкционный алюминиевый сплав течёт при напряжении около 280 МПа, так что стержень пластически смялся бы, навсегда укоротившись.

На деле тонкий стержень выходит из строя гораздо раньше — из-за потери устойчивости. На рисунке он показан после того, как выпучился в сторону, а его середина сместилась на $\delta$; штриховой контур — прямой стержень, выпучивание преувеличено. Поскольку защемлённые концы не могут поворачиваться, стержень принимает форму одной полной волны, с точками перегиба (точки на рисунке) на четверти и на трёх четвертях длины. В точке перегиба кривизна стержня обращается в нуль, а поскольку изгибающий момент пропорционален кривизне, он там тоже равен нулю — как на конце, который может свободно поворачиваться. Участок между точками длиной $L/2$ поэтому ведёт себя как стержень со свободно поворачивающимися концами, а такой стержень теряет устойчивость при силе ${\pi }^{2}EI/(L/2{)}^2$. Здесь $I$ — осевой момент инерции сечения, $I=a^4/12$ для квадрата. Значит, стержень с защемлёнными концами выпучивается в сторону, как только сжимающая сила достигает $4{\pi }^{2}EI/L^2$, а деля на площадь $a^2$, получаем критическое напряжение
${\sigma }_c=\frac{4{\pi }^{2}EI}{a^2{L}^2}=\frac{{\pi }^{2}E{a}^2}{3L^2}\approx 23\mathrm{МПа}$

Стержень теряет устойчивость, когда температурное напряжение достигает этого значения. Приравняв $E\alpha \Delta T_c={\sigma }_c$, видим, что модуль Юнга сокращается:
$\Delta T_c=\frac{{\pi }^2{a}^2}{3\alpha L^2}=\frac{{\pi }^2\cdot 0,01^2}{3\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 1^2}\approx 14\mathrm{К}$

Уже при 14 К, когда свободный стержень удлинился бы всего на 0,33 мм, зажатый стержень выпучивается в сторону. Рельсы выпучивались бы так же в жаркие дни, если бы шпалы и балласт не удерживали их от смещения вбок.

Границы применимости

Линейный закон опирается на два предположения. Первое, $\alpha \Delta T\ll 1$, для твёрдых тел выполняется всегда: 1000 К меняют длину стали лишь примерно на 1,2 %. Второе — постоянство $\alpha$ — и есть настоящее ограничение: в широких интервалах температур $\alpha$ приходится интегрировать. Вблизи абсолютного нуля расширение сходит на нет: $\alpha$ меди при 50 К составляет лишь около четверти комнатного значения $17\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$. При фазовом переходе закон нарушается резко: вода при замерзании расширяется на 9 %, а сталь немного сжимается, когда около 900 °C меняется её кристаллическая структура.

Формулы предполагают также равномерную температуру. Налейте кипяток в толстый холодный стакан: его внутренняя поверхность нагреется примерно на 50 К, тогда как снаружи стекло останется холодным. Горячий слой сдерживается холодным, как стержень между стенами, и напряжения имеют порядок $E\alpha \Delta T\approx 70\times 10^9\cdot 9\times 10^{-6}\cdot 50\approx 30\mathrm{МПа}$, что сравнимо с практической прочностью обычного стекла. У боросиликатного стекла с $\alpha \approx 3,3\times 10^{-6}{\mathrm{К}}^{-1}$ получается примерно треть этой величины, поэтому из него делают жаропрочную и лабораторную посуду.

Газы ничему из этого не подчиняются. При постоянном давлении у идеального газа $\beta =1/T$, около $3,4\times 10^{-3}{\mathrm{К}}^{-1}$ при 20 °C, то есть в шестнадцать раз больше, чем у воды.

Что дальше

Урок «Температура и теплота» вводит кельвин; урок «Упругость: закон Гука, напряжение и деформация» даёт $\sigma =E\epsilon$ — основу температурного напряжения и потери устойчивости. «Молекулярно-кинетическая теория газов» объясняет, почему газ расширяется на долю $1/T$ на каждый кельвин, а в уроке «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели» это расширение заставляют совершать работу. Аномалия воды при 4 °C определяет конвекцию в уроке «Теплопроводность, конвекция и излучение», лёд возвращается в уроке «Фазовые переходы и скрытая теплота», а энтропия резиновой ленты предвосхищает урок «Второе начало термодинамики и энтропия».

Расширение добирается даже до геометрии. Представьте пластину, холодную в центре и горячую у края, и жителей, которые измеряют её линейками из того же материала. Возле края линейки удлиняются, поэтому вдоль окружности они насчитывают меньше длин линейки, чем поперёк неё: окружности вокруг центра получаются короче $2\pi$ радиусов, а сумма углов треугольника больше $180^{\circ }$, как на сфере. В уроке «Гравитация как искривление пространства-времени» масса делает с линейками и часами то же, что здесь делает тепло.