Упругость: закон Гука, напряжение и деформация

Почему пружина растягивается равными шагами, $F = k x$ , где это правило перестаёт работать и как напряжение $σ$ , относительное удлинение $ε$ и модуль Юнга $E = σ / ε$ описывают любой упругий материал.

К пружине по одному подвешивают одинаковые грузы: каждый добавляет одинаковое удлинение на линейке, а когда грузы снимают, пружина возвращается к прежней длине.

Перед этой темой: Работа, энергия и мощность

Начальный

Главное

Упругие тела возвращают прежнюю форму, когда сила перестаёт действовать; пластилин и тесто — нет.
Одинаковые грузы растягивают пружину равными шагами: вдвое больше вес — вдвое больше удлинение.
Жёсткость k показывает, насколько трудно растянуть пружину: жёсткую тот же груз растягивает меньше.
Растянутая пружина запасает энергию и отдаёт её, когда её отпускают, — как рогатка или батут.
За пределом упругости пружина навсегда остаётся растянутой.

Сожмите губку, растяните резинку или согните пластмассовую линейку, а потом отпустите: каждая вещь возвращает себе прежнюю форму. Разберём это поведение шаг за шагом.

Шаг 1. Упругое или нет? Материал называют упругим, если после снятия нагрузки он возвращается к исходной форме. По этому признаку сталь упруже резины: её гораздо труднее деформировать, зато она восстанавливается почти идеально. Пластилин и тесто — полная противоположность: они сохраняют ту форму, которую им придали.

Шаг 2. Правило Гука. Подвесьте к пружине груз — она немного растянется. Подвесьте второй такой же груз — она растянется ещё на столько же. Вдвое больше вес — вдвое больше удлинение. Роберт Гук описал это в 1678 году; записывают так: $F = k x$ — сила $F$ равна некоторому числу $k$ , умноженному на удлинение $x$ .

Шаг 3. Жёсткость. Число $k$ показывает, насколько жёсткая пружина. Игрушечная пружинка-спираль очень мягкая ( $k$ мало), а пружина автомобильной подвески очень жёсткая ( $k$ велико): тот же груз растягивает её гораздо меньше.

Шаг 4. Энергия и пределы. Растянутая пружина запасает энергию и отдаёт её, когда её отпускают: так работают рогатка и батут. Но если потянуть слишком сильно, пружина перейдёт предел упругости: она навсегда останется удлинённой и уже не вернётся к прежней длине.

Проверьте себя: пружина растягивается на 2 см под грузом весом 5 Н. На сколько она растянется под грузом 15 Н, если не перейти предел упругости? (На 6 см: втрое больше сила — втрое больше удлинение.)

В анимации одинаковые грузы подвешивают по одному. Каждый сдвигает красную стрелку вниз по линейке на один и тот же шаг (зелёные метки), а зелёные столбики растут равными ступеньками. Когда грузы снимают, пружина возвращается точно к пунктирной линии, с которой начинала.

Средний

Главное

Закон Гука: $F = k x$ , где $x$ — изменение длины, а не сама длина.
$k = F / x$ в Н/м; у пружины из анимации $k = 1, 0 Н /0, 040 м = 25 Н / м$ .
Подвешенный груз покоится, когда сила упругости равна силе тяжести: $k x = m g$ .
Последовательно: $1/ k = 1/ k_{1} + 1/ k_{2}$ (мягче). Параллельно: $k = k_{1} + k_{2}$ (жёстче).
Напряжение $σ = F / S$ и относительное удлинение $ε = Δ l / l_{0}$ описывают материал; модуль Юнга $E = σ / ε$ .

Нагрузка, удлинение и жёсткость пружины

Подвесьте к пружине груз — она станет длиннее. Важно именно изменение длины, удлинение $x = l - l_{0}$ , где $l_{0}$ — длина недеформированной пружины, а $l$ — длина под нагрузкой; в анимации его отсчитывают от пунктирной линии. У сжатой пружины $x$ отрицательно.

Роберт Гук в 1678 году опубликовал закон, согласно которому вплоть до некоторого предела удлинение пропорционально вызывающей его силе: вдвое больший груз — вдвое большее удлинение.
$F = k x$

Постоянная $k$ — это жёсткость пружины в ньютонах на метр (Н/м): сила, приходящаяся на метр удлинения. Её находят, разделив нагрузку на вызванное ею удлинение:
$k = \frac{F}{x}$
Игрушечная пружинка-спираль имеет жёсткость около 1 Н/м, пружина из анимации — 25 Н/м, а пружина автомобильной подвески — порядка 30 000 Н/м.

Пружина тянет в ответ с силой упругости той же величины, направленной против удлинения: $F = - k x$ , когда важен знак. Груз, неподвижно висящий на пружине, находится в равновесии, поэтому $k x = m g$ — на этом основано взвешивание на пружинных весах. В анимации синяя стрелка $k x$ и красная стрелка $F$ всегда одной длины; пока груз опускают, остальную часть его веса держит подставка — это серая стрелка.

Энергия и график зависимости силы от удлинения

Если построить график зависимости нагрузки от удлинения, получится прямая, проходящая через начало координат, а её наклон равен $k$ : у жёсткой пружины она крутая, у мягкой — пологая. Точки лежат на прямой только до предела упругости. Ниже него после снятия нагрузки пружина возвращается точно к недеформированной длине; за ним прямая загибается, и пружина навсегда остаётся длиннее — это пластическая деформация.

Площадь под прямой — это работа, совершённая при растяжении; она запасается как потенциальная энергия упругой деформации. Сила растёт равномерно от 0 до $k x$ , поэтому её среднее значение равно половине конечного, а площадь — это треугольник:
$U = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} F x$
При вдвое большем растяжении запасается вчетверо больше энергии, а лук или рогатка отдают её, когда их отпускают.

Пружины, соединённые последовательно и параллельно

Подвесьте две пружины одну под другой, то есть последовательно: каждая несёт всю нагрузку, поэтому удлинения складываются, $x = F / k_{1} + F / k_{2}$ . Разделив на $F$ , получаем
$последовательно : \frac{1}{k} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$

Подвесьте груз к двум пружинам, расположенным рядом, то есть параллельно, и соединённым планкой, которая удерживает их удлинения равными. Тогда нагрузка делится между ними, и их силы складываются:
$параллельно : k = k_{1} + k_{2}$

Две пружины вроде той, что в анимации, дают 12,5 Н/м при последовательном соединении и 50 Н/м при параллельном: последовательная пара мягче каждой из пружин, параллельная — жёстче. Любую пружину можно считать двумя половинами, соединёнными последовательно, поэтому каждая половина пружины из анимации имела бы жёсткость 50 Н/м.

Пример: пружина из анимации

Каждый груз в анимации весит 1,0 Н (масса $1, 0/9, 81 \approx 0, 102 кг$ ) и сдвигает указатель на 4,0 см вниз по линейке. По первой строке таблицы
$k = \frac{F}{x} = \frac{1 , 0 Н}{0 , 040 м} = 25 Н / м$

Остальные строки, от 2,0 Н при 0,08 м до 4,0 Н при 0,16 м, дают в последнем столбце то же отношение: это постоянство и есть закон Гука. Со всеми четырьмя грузами $x = F / k = 4, 0/25 = 0, 16 м$ . Именно эти значения — 4,0 Н и 16 см — показывают табло $F$ и $x$ , когда висят все четыре груза, а зелёная стрелка $x$ тогда охватывает 16 см линейки.

Запасённая энергия равна $U = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 0, 1 6^{2} = 0, 32 Дж$ , или $\frac{1}{2} \cdot 4, 0 \cdot 0, 16$ . После одного, двух и трёх грузов она была 0,02, 0,08 и 0,18 Дж: каждый груз добавляет те же 4 см, но четвёртый добавляет 0,14 Дж — в семь раз больше первого, потому что пружина уже тянет с силой 3,0 Н. Когда грузы снимают, $x$ возвращается к нулю и энергия возвращается, ведь 4,0 Н меньше предела упругости 5,5 Н (22 см). Пятый груз ещё был бы безопасен, шестой — нет.

Напряжение, деформация и модуль Юнга

Жёсткость пружины относится к конкретному предмету, а не к металлу. Проволока вдвое длиннее под тем же грузом растягивается вдвое сильнее, а проволоке с вдвое большей площадью сечения нужна вдвое большая сила для того же удлинения. Чтобы описать сам материал, силу делят на площадь поперечного сечения $S$ , а удлинение — на начальную длину $l_{0}$ :
$σ = \frac{F}{S}, ε = \frac{Δ l}{l _{0}}$

Механическое напряжение $σ$ измеряют в паскалях ( $1 Па = 1 Н / м^{2}$ , а $1 МПа = 1 Н / м м^{2}$ ); относительное удлинение, или относительная деформация, $ε$ — число без размерности, его часто дают в процентах. На линейном участке они пропорциональны, а их отношение — модуль Юнга:
$E = \frac{σ}{ε}$

Он равен примерно 200 ГПа у стали, 70 ГПа у алюминия и стекла, 10 ГПа у дерева вдоль волокон и лишь 0,01–0,1 ГПа у резины. Вместе три соотношения дают удлинение любой проволоки или стержня:
$Δ l = \frac{F l _{0}}{SE}$
Поэтому однородная проволока — это пружина с $k = SE / l_{0}$ : чем длиннее, тем мягче; чем толще, тем жёстче.

Пример: стальная проволока под нагрузкой

Стальная проволока длиной 2,0 м и диаметром 1,0 мм удерживает груз массой 10 кг. На сколько она растянется? Нагрузка — это вес, $F = m g = 10 \cdot 9, 81 = 98, 1 Н$ , а сечение — круг:
$S = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \cdot ( 1 , 0 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4} = 7, 85 \times 1 0^{- 7} м^{2}$

Напряжение равно $σ = 98, 1/ (7, 85 \times 1 0^{- 7}) = 1, 25 \times 1 0^{8} Па$ , то есть 125 МПа. Разделив на $E = 200 ГПа$ , получаем относительное удлинение $ε = 1, 25 \times 1 0^{8} / (2, 0 \times 1 0^{11}) = 6, 25 \times 1 0^{- 4}$ , около 0,06 %. Удлинение проволоки равно
$Δ l = ε l_{0} = 6, 25 \times 1 0^{- 4} \cdot 2, 0 = 1, 25 \times 1 0^{- 3} м$
то есть 1,25 мм.

Как пружина эта проволока имеет жёсткость $k = SE / l_{0} \approx 7, 9 \times 1 0^{4} Н / м$ — примерно в 3000 раз больше, чем у пружины из анимации. Напряжение 125 МПа составляет около половины предела текучести даже обычной конструкционной стали, примерно 250 МПа, поэтому после снятия нагрузки проволока восстанавливается полностью. Проволока вдвое толще, с вчетверо большей площадью сечения, растянулась бы всего примерно на 0,31 мм.

Частые ошибки

Берут длину вместо удлинения: пружина длиной 20 см, растянутая до 24 см, имеет $x = 4 см$ , а не 24 см.
Смешивают сантиметры и метры: 1,0 Н на 4,0 см дают $1, 0/0, 040 = 25 Н / м$ , а не $1, 0/4, 0 = 0, 25$ .
Принимают массу за силу: груз массой 0,20 кг тянет с силой своего веса, $0, 20 \cdot 9, 81 = 1, 96 Н$ , а не 0,20 Н.
Забывают одну вторую: при 16 см пружина из анимации запасает $\frac{1}{2} F x = 0, 32 Дж$ , а не $F x = 0, 64 Дж$ , потому что в начале растяжения сила была меньше.
Думают, что пружины, соединённые последовательно, жёстче: две пружины по 25 Н/м, подвешенные одна под другой, дают 12,5 Н/м, потому что каждая несёт всю нагрузку.

Где это встречается

Пружинные весы, подвески автомобилей, матрасы, волоски часовых механизмов и пружинка в шариковой ручке — всё это основано на $F = k x$ . В электронных весах используют тензодатчики — металлические фольги, сопротивление которых меняется при растяжении; они чувствительны к деформациям в несколько миллионных долей. Мосты, краны и самолёты проектируют так, чтобы все напряжения оставались далеко внутри линейной области.

Груз, оттянутый вниз на пружине и отпущенный, колеблется — это тема уроков «Гармонические колебания» и затем «Затухание и резонанс». Скорость звука в твёрдом теле определяется его модулем Юнга («Волны: основные понятия»), а рельс, который не может расшириться при нагревании, оказывается под напряжением («Тепловое расширение»).

Продвинутый

Главное

Запасённая энергия $U = \int_{0}^{x} k x^{'} d x^{'} = \frac{1}{2} k x^{2}$ — площадь под прямой $F (x)$ : вдвое больше $x$ — вчетверо больше $U$ .
Около любого устойчивого минимума $U \approx U_{0} + \frac{1}{2} U^{''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}$ : закон Гука — это первый член, $k = U^{''} (x_{0})$ .
Бруски друг за другом удлиняются вдвое сильнее, рядом — требуют вдвое большей силы. Отсюда $F / S = E Δ l / l$ .
Разгрузка из-за предела текучести идёт по прямой, параллельной упругому участку, и оставляет остаточную деформацию.
Витая пружина работает на кручение: $k = G d^{4} / (8 D^{3} n)$ , так что $k$ зависит и от формы, и от материала.

Почему малые деформации линейны

**Рисунок 1.** Энергия $U$ двух соседних атомов в зависимости от расстояния $x$ между ними (сплошная линия) и парабола идеальной пружины с тем же дном (пунктир). Около $x_{0}$ они совпадают; на равных расстояниях по обе стороны настоящая кривая лежит выше параболы при сжатии и ниже при растяжении. Не в масштабе.

Закон Гука утверждает, что сила, нужная для деформации тела, пропорциональна деформации. Это не фундаментальный принцип вроде закона сохранения энергии. Так выглядит почти любая гладкая сила при малых смещениях, и рисунок 1 показывает почему.

Сплошная кривая $U$ — потенциальная энергия двух соседних атомов твёрдого тела в зависимости от расстояния $x$ между ними. На больших расстояниях атомы притягиваются, на малых — резко отталкиваются; оба эффекта электрические. Вместе они создают потенциальную яму, нижняя точка которой — равновесное расстояние $x_{0}$ . Слева, где атомы сближены, кривая круто поднимается. Справа, где их растаскивают, она становится пологой, и достаточно далеко связь рвётся.

Пунктирная парабола $\frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2}$ — энергия идеальной пружины с тем же дном и той же кривизной. Посмотрите сначала около $x_{0}$ : там две кривые трудно различить. Затем посмотрите на две пунктирные вертикали, стоящие на равных расстояниях по обе стороны от $x_{0}$ . Точки на них показывают, где кривые расходятся: на стороне сжатия (слева) настоящая кривая лежит выше параболы, на стороне растяжения (справа) — ниже.

Чтобы сказать это точно, разложите $U$ в ряд Тейлора около минимума:
$U (x) = U (x_{0}) + U^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{1}{2} U^{''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2} + \frac{1}{6} U^{'''} (x_{0}) (x - x_{0})^{3} + \dots$

Каждый следующий член содержит более высокую степень смещения $x - x_{0}$ , поэтому при малых смещениях он намного меньше предыдущего. Первый член постоянен и силы не создаёт. Второй равен нулю, потому что в минимуме наклон $U$ обращается в нуль: $U^{'} (x_{0}) = 0$ . Дифференцируя оставшееся, получаем силу $F = - d U / d x$ :
$F = - k (x - x_{0}) - \frac{1}{2} U^{'''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}, k = U^{''} (x_{0})$

Первый член — это закон Гука. При достаточно малых смещениях он побеждает второй, какой бы формы ни была яма, поэтому один закон описывает и молекулярную связь, и стальной трос, и мост. Жёсткость $k$ — это кривизна ямы в её нижней точке, а $k > 0$ — в точности условие устойчивого равновесия: при смещении в любую сторону атомы возвращаются назад.

Второй член показывает, насколько яма несимметрична: это зазор между двумя кривыми на рисунке 1. Настоящую связь труднее сжать, чем растянуть, поэтому $U^{'''} (x_{0}) < 0$ , и добавочная сила $- \frac{1}{2} U^{'''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}$ положительна по обе стороны. Когда связь растянута ( $x > x_{0}$ ), эта сила действует против возвращающего притяжения, и связь становится мягче; когда связь сжата ( $x < x_{0}$ ), она добавляется к возвращающему отталкиванию, и связь становится жёстче. Поправка мала: сталь остаётся упругой лишь до относительных деформаций (относительных изменений длины) около 0,1 %, и там поправка составляет доли процента. И всё же именно эта несимметричность заставляет твёрдые тела расширяться при нагревании.

От одной пружины к материалу

Постоянная $k$ относится к одной конкретной пружине или стержню. Чтобы описать материал, нужна постоянная, не зависящая от размеров образца, и два мысленных эксперимента показывают, на что надо делить.

Поставьте два одинаковых бруска друг за другом и потяните. Каждый брусок несёт одну и ту же силу $F$ , поэтому каждый удлиняется на одну и ту же величину, а пара удлиняется вдвое сильнее одного бруска: это правило последовательного соединения. Удлинение растёт пропорционально длине, поэтому мера деформации, не зависящая от длины, — относительное удлинение, то есть удлинение на единицу начальной длины, $ε = Δ L / L_{0}$ .

Теперь поставьте бруски рядом. Чтобы растянуть их на столько же, нужна вдвое большая сила: это правило параллельного соединения. Сила растёт пропорционально площади поперечного сечения $A$ , поэтому мера нагрузки, не зависящая от площади, — механическое напряжение, то есть сила на единицу площади, $σ = F / A$ . (Здесь, как и на рисунке 2, начальная длина и площадь сечения обозначены $L_{0}$ и $A$ ; в формулах урока это $l_{0}$ и $S$ .)

Для однородного стержня напряжение пропорционально относительному удлинению, а коэффициент пропорциональности $E$ , модуль Юнга, зависит только от материала. Записанный иначе, тот же закон даёт жёсткость стержня:
$\frac{F}{A} = E \frac{Δ L}{L _{0}}, k = \frac{A E}{L _{0}}$

Короткий толстый стержень жёсткий, длинный тонкий — мягкий, и всё же одно значение $E$ описывает оба, если они сделаны из одной и той же стали.

От атомных связей к модулю Юнга

**Рисунок 2.** Стержень как кристалл: атомы на расстоянии $a$ друг от друга, каждая связь — пружина жёсткостью $k_{b}$ . Нагрузка $F$ тянет $A / a^{2}$ цепочек, идущих рядом, и каждая — последовательность из $L_{0} / a$ связей (здесь три и пять); пластина — торец, видимый с ребра. Не в масштабе.

Модуль Юнга можно оценить по самим атомам, применив тот же подсчёт последовательных и параллельных соединений. На рисунке 2 кристалл представлен кубической укладкой атомов на расстоянии $a$ друг от друга, и каждая связь — пружина жёсткостью $k_{b}$ . Стержень длиной $L_{0}$ закреплён в стене слева и растягивается силой $F$ справа. Тёмная пластина — его торец площадью $A$ , видимый с ребра.

Сначала посчитайте поперёк стержня. Каждый атом занимает на торце квадрат со стороной $a$ , поэтому вдоль стержня рядом идут $A / a^{2}$ атомных цепочек (на схеме три). Затем посчитайте вдоль одной цепочки: это последовательность из $L_{0} / a$ связей (на схеме пять).

Теперь объедините оба подсчёта. При последовательном соединении $L_{0} / a$ одинаковых пружин делят удлинение между собой, поэтому цепочка мягче одной связи во столько же раз: её жёсткость $k_{b} / (L_{0} / a) = k_{b} a / L_{0}$ . При параллельном соединении цепочки делят нагрузку, поэтому их жёсткости складываются:
$k = \frac{A}{a ^{2}} \cdot \frac{k _{b} a}{L _{0}} = \frac{A}{L _{0}} \cdot \frac{k _{b}}{a}$

Сравнение с $k = A E / L_{0}$ даёт $E = k_{b} / a$ : модуль равен жёсткости одной связи, делённой на расстояние между атомами.

Для стали $E = 200 ГПа$ и $a \approx 0, 25 нм$ дают $k_{b} = E a \approx 50 Н / м$ — всего вдвое больше, чем 25 Н/м пружины из анимации. Отдельная связь вовсе не так уж жёстка. Модуль огромен лишь потому, что вместе тянет очень много цепочек: через каждый квадратный метр их проходит $1/ a^{2}$ , около $1, 6 \times 1 0^{19}$ .

Запасённая энергия — площадь под прямой

Вернёмся к одной пружине; теперь $x$ — её удлинение относительно недеформированной длины. Чтобы растянуть её от 0 до $x$ против её собственной силы $k x^{'}$ , нужна работа
$U = \int_{0}^{x} k x^{'} d x^{'} = \frac{1}{2} k x^{2}$

На графике $F (x)$ в анимации это заштрихованный треугольник под прямой с основанием $x$ и высотой $k x$ . Пока красная точка поднимается, табло $U$ проходит значения 0,02, 0,08, 0,18 и 0,32 Дж при 1, 2, 3 и 4 Н.

Посмотрите на приращения, а не на итоги: 0,02, 0,06, 0,10 и 0,14 Дж, в отношении 1 : 3 : 5 : 7. Каждый ньютон нагрузки добавляет 4 см удлинения, а каждая 4-сантиметровая полоса треугольника — трапеция со средней высотой 0,5, 1,5, 2,5 и 3,5 Н. Более поздние полосы обходятся дороже, потому что к их началу пружина уже тянет. По той же причине растяжение от $x_{1}$ до $x_{2}$ требует работы $\frac{1}{2} k (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})$ , а не $\frac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$ .

Для стержня тот же треугольник даёт $U = \frac{1}{2} F Δ L = \frac{1}{2} (σ A) (ε L_{0})$ . Деля на объём $A L_{0}$ и используя $ε = σ / E$ , получаем энергию единицы объёма — площадь под прямой на диаграмме $σ (ε)$ :
$u = \frac{1}{2} σ ε = \frac{σ ^{2}}{2 E}$

Сталь при пределе текучести около 250 МПа — наибольшем напряжении, которое она выдерживает упруго, — запасает $u = (2, 5 \times 1 0^{8})^{2} / (2 \cdot 2, 0 \times 1 0^{11}) \approx 1, 6 \times 1 0^{5} Дж / м^{3}$ . При плотности около 7800 кг/м³ это примерно 20 Дж на килограмм — хватит, чтобы поднять этот килограмм всего на 2 м. Пружины запасают энергию удобно, но не плотно.

Поперечное сужение, сдвиг и витые пружины

Растянутый стержень ещё и становится тоньше. Его ширина уменьшается на долю $ν ε$ , где $ν$ , коэффициент Пуассона, около 0,3 у металлов и близок к 0,5 у резины.

Законы линейны, поэтому действия отдельных нагрузок просто складываются. Сожмите куб давлением $p$ на все шесть граней: это три сжатия сразу, по одному вдоль каждой оси. Каждое укорачивает куб вдоль своей оси на относительную величину $p / E$ и, через коэффициент Пуассона, удлиняет его вдоль двух других осей на $ν p / E$ . Поэтому вдоль любой оси итоговая деформация равна $- (p / E) (1 - 2 ν)$ . Относительное изменение объёма — сумма трёх деформаций, $- 3 (p / E) (1 - 2 ν)$ , а модуль всестороннего сжатия, то есть давление, делённое на относительное уменьшение объёма, равен
$K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$

Положительное $K$ требует $ν < 1/2$ . При $ν = 1/2$ растяжение не меняет объёма, поэтому резину так трудно сжать.

Третий модуль описывает сдвиг — изменение формы при постоянном объёме, как когда верх бруска сдвигают вбок относительно основания. Для изотропного материала, свойства которого одинаковы во всех направлениях, он не независим: любую малую деформацию описывают две постоянные. Если известны $E$ и $ν$ , модуль сдвига равен
$G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$
около 80 ГПа у стали.

Именно сдвиг важен в витой пружине. Если тянуть витую пружину, её проволока почти не удлиняется — она закручивается. При диаметре проволоки $d$ , диаметре витков $D$ и числе витков $n$ закручивание проволоки даёт
$k = \frac{G d ^{4}}{8 D ^{3} n}$

Стальная проволока толщиной 0,5 мм, свитая в 25 витков диаметром 10 мм, даёт $k = 8, 0 \times 1 0^{10} \cdot (5 \times 1 0^{- 4})^{4} / (8 \cdot 0, 0 1^{3} \cdot 25) = 25 Н / м$ — пружину из анимации. Обратите внимание на сильную зависимость от $D$ : витки в 1,4 раза шире сделали бы пружину в $1, 4^{3} \approx 2, 7$ раза мягче. Итак, $k$ описывает одну пружину, а $E$ , $ν$ и $G$ — сталь, из которой она сделана.

За пределом упругости

До сих пор мы считали деформации малыми. Рисунок 3 показывает, что происходит, если тянуть металлическую проволоку дальше: её напряжение $σ$ в зависимости от относительного удлинения $ε$ — вплоть до разрыва. Здесь $σ$ — сила, делённая на начальную площадь сечения проволоки.

Начните от начала координат. Напряжение растёт вдоль прямой с наклоном $E$ : это область закона Гука. Прямая заканчивается в точке на уровне $σ_{y}$ , предела текучести (фиолетовая точка на графике проволоки в анимации). Дальше проволока течёт. Дислокации — линейные дефекты кристалла — начинают скользить, и атомные плоскости смещаются друг относительно друга по одному ряду, а не все сразу. Поэтому реальные металлы начинают течь так рано: идеальный кристалл выдержал бы несколько гигапаскалей, а реальные стали текут при 0,25–2 ГПа. График $F (x)$ пружины в анимации имеет ту же форму: его прямая заканчивается на пределе упругости — фиолетовой точке при 5,5 Н и 22 см, где пунктирная кривая загибается.

Теперь проследите кривую за $σ_{y}$ . Она продолжает расти, но положе, потому что дислокации запутываются и мешают друг другу; это называется упрочнением (наклёпом). Вершина кривой — предел прочности $σ_{u}$ . За ним образуется шейка: короткий участок проволоки утончается быстрее остальных. Сила, а с ней и напряжение на графике, падает, хотя истинное напряжение в сужающейся шейке всё ещё растёт, и проволока рвётся в точке, отмеченной крестиком (×).

Далее прекратите нагружение, не дойдя до вершины, в точке на восходящей части кривой, и разгрузите проволоку. Проволока опускается вдоль стрелки — прямой, параллельной упругой, с тем же наклоном $E$ , потому что восстанавливается только упругая часть деформации. При нулевом напряжении у неё остаётся остаточная деформация $ε_{p}$ . При повторной нагрузке она поднимается по той же прямой и возвращается на кривую: теперь она упруга вплоть до более высокого напряжения, чем раньше.

Закрашенная площадь под всей кривой, $u = \int σ d ε$ , — это энергия, которую единица объёма поглощает до разрушения; на прямом участке это треугольник $\frac{1}{2} σ ε$ , который уже встречался выше. Большая площадь означает вязкий материал. Пластичные металлы поглощают много энергии, пока текут перед разрушением, а стекло или чугун ломаются вблизи конца прямого участка. Пружина из анимации останавливается на 4,0 Н, то есть на 73 % своего предела 5,5 Н, поэтому при разгрузке она проходит ту же прямую и возвращает все 0,32 Дж.

Задача: груз отпускают внезапно

**Рисунок 4.** Сила в зависимости от удлинения для внезапно отпущенного груза. Нагрузка $F$ и сила упругости $k x$ сравниваются при $x_{e}$ . Левый треугольник — кинетическая энергия $K$ , набранная до этой точки; правый, той же площади, забирает её, и грузы останавливаются при $x_{m} = 2 x_{e}$ , за пределом упругости $x_{L}$ .

Подставка в анимации опускает каждый груз плавно, поэтому пружина в каждый момент находится в равновесии. Пусть теперь все четыре груза, 4,0 Н в сумме, подвесили вместе на недеформированную пружину и отпустили. Рисунок 4 прослеживает падение на графике силы в зависимости от удлинения $x$ .

На грузы действуют две силы. Нагрузка $F$ , их вес, одинакова при любом удлинении: это горизонтальная прямая. Сила упругости $k x$ растёт с удлинением: это наклонная прямая. Прямые пересекаются при $x_{e} = F / k = 4, 0/25 = 0, 16 м$ — те самые 16 см плавного нагружения.

Левее $x_{e}$ нагрузка больше, поэтому грузы разгоняются. Равнодействующая — это зазор между прямыми, а её работа, площадь левого треугольника, становится их кинетической энергией $K$ . Она максимальна при $x_{e}$ , где равна $\frac{1}{2} F x_{e}$ .

Правее $x_{e}$ пружина тянет сильнее, чем нагрузка, поэтому грузы тормозят, и пружина забирает энергию обратно: это правый треугольник, отмеченный $- K$ . Его площадь равна площади левого, потому что сила упругости растёт от $F$ до $2 F$ на том же расстоянии $x_{e}$ , на котором она выросла от 0 до $F$ . Поэтому кинетическая энергия снова обращается в нуль при $x_{m} = 2 x_{e}$ , где грузы на мгновение останавливаются.

Энергия даёт тот же результат сразу. Пренебрежём массой пружины и сопротивлением воздуха. В нижней точке грузы на мгновение неподвижны, поэтому вся энергия, которую высвободила сила тяжести, $F x_{m}$ , запасена в пружине:
$F x_{m} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2}, x_{m} = \frac{2 F}{k} = \frac{2 \cdot 4 , 0}{25} = 0, 32 м$

Это вдвое больше 16 см плавного нагружения и намного дальше предела упругости 22 см, $x_{L}$ , фиолетовой точки на рисунке 4: пружина осталась бы растянутой навсегда. Внезапная нагрузка удваивает наибольшую деформацию, поэтому наибольший груз, который эта пружина выдержит, если его отпустить на недеформированной длине, — половина её статического предела, $25 \cdot 0, 22/2 = 2, 75 Н$ .

Идеальная пружина колебалась бы между 0 и 32 см около 16 см. Масса грузов $m = 4, 0/9, 81 = 0, 408 кг$ , поэтому $ω = k / m = 25/0, 408 \approx 7, 83 рад / с$ , а период $2 π / ω \approx 0, 80 с$ . Скорость в центре следует из энергии. При 16 см сила тяжести совершила работу $4, 0 \cdot 0, 16 = 0, 64 Дж$ , а пружина хранит 0,32 Дж, поэтому остальные 0,32 Дж — кинетическая энергия: $v = 2 \cdot 0, 32/0, 408 \approx 1, 25 м / с$ , что равно $ω \cdot 0, 16 м$ , как и требуют гармонические колебания.

Плавное нагружение избегает всего этого, потому что излишек поглощает подставка: 0,32 Дж, если бы она опускала все четыре груза сразу. Нагружение в четыре шага, как в анимации, теряет меньше. На каждом шаге сила подставки начинается с 1,0 Н — веса только что добавленного груза — и падает до нуля на протяжении 4 см, поэтому подставка поглощает всего $\frac{1}{2} \cdot 1, 0 \cdot 0, 04 = 0, 02 Дж$ за шаг. За четыре шага сила тяжести совершает работу 0,40 Дж (грузы опускаются на 16, 12, 8 и 4 см), пружина оставляет себе 0,32 Дж, а подставка забирает 0,08 Дж. При всё меньших шагах потеря исчезает.

Границы применимости

Закон Гука — закон малых деформаций. Мягкая сталь остаётся линейной лишь до относительного удлинения $250 МПа /200 ГПа = 1, 25 \times 1 0^{- 3}$ , около 0,13 %, а оконное стекло ломается вблизи 0,1 %. Резина растягивается в несколько раз, но уже после нескольких процентов деформации её диаграмма растяжения становится S-образной, а натяжение имеет другую природу. Резина — это клубок длинных цепных молекул. Растяжение распрямляет их, а тепловое движение тянет их обратно к свёрнутым формам, которых гораздо больше. Это энтропийный эффект, и у него неожиданное следствие: растянутая резинка при нагревании тянет сильнее.

Материалы зависят и от времени. Полимеры, бетон и горячие металлы ползут: под постоянной нагрузкой они продолжают медленно деформироваться. Многие материалы к тому же разгружаются по другой кривой, чем нагружались. Петля между двумя кривыми называется гистерезисом, и её площадь — энергия, превращающаяся в теплоту за каждый цикл; поэтому резиновый мяч никогда не отскакивает на прежнюю высоту.

У модели пружины есть и собственные границы. Реальная пружина массой $m_{s}$ колеблется так, словно к грузу добавлено около $m_{s} /3$ . Многие пружины растяжения навивают с начальным натяжением $F_{0}$ : они совсем не растягиваются, пока нагрузка не превысит $F_{0}$ , а затем следуют закону $F = F_{0} + k x$ . У пружины из анимации начального натяжения нет, поэтому её прямая проходит через начало координат.

Что дальше

Груз на пружине подчиняется уравнению $m \overset{x}{¨} = - k x$ — уравнению урока «Гармонические колебания»: груз массой 0,41 кг из анимации колебался бы с периодом 0,80 с, а урок «Затухание и резонанс» добавляет внутренние потери. В стержне каждый слой — это масса между пружинами, и продольные волны бегут по нему со скоростью $E / ρ$ , где $ρ$ — плотность: около 5000 м/с в стали, почти в 15 раз быстрее звука в воздухе («Волны: основные понятия»).

Несимметричная связь с рисунка 1 ведёт к теме «Тепловое расширение». Стальной рельс, зажатый с обоих концов и нагретый на 30 К, не может удлиниться, поэтому оказывается под таким напряжением, которое сжало бы его обратно на величину свободного расширения: $σ = E α Δ T = 2, 0 \times 1 0^{11} \cdot 1, 2 \times 1 0^{- 5} \cdot 30 \approx 7, 2 \times 1 0^{7} Па$ , то есть 72 МПа, где $α$ — коэффициент линейного расширения стали. Наконец, модуль всестороннего сжатия воды около 2,2 ГПа означает, что сжатие на 1 % требует 22 МПа, примерно 220 атмосфер, поэтому в уроке «Давление в жидкостях и закон Паскаля» воду можно считать несжимаемой.

Главные формулы

Закон Гука для пружины

F = k x

Сила, нужная для растяжения пружины, пропорциональна её удлинению: равные нагрузки дают равные удлинения, и график зависимости силы от удлинения — прямая, проходящая через начало координат с наклоном $k$ . Пружина тянет назад с равной по модулю и противоположно направленной силой упругости, которую записывают как $F = - k x$ , когда важен знак. Здесь $x$ — изменение длины, а не сама длина.

Обозначения
$F$	нагрузка, растягивающая пружину	$Н$
$k$	жёсткость пружины	$Н / м$
$x$	удлинение по сравнению с недеформированной длиной	$м$

Когда верна: До предела упругости, для пружины, навитой без начального натяжения; за пределом прямая загибается, и пружина навсегда остаётся длиннее.

Пример: Пружина из анимации, $k = 25 Н / м$ , с четырьмя грузами по 1,0 Н: $x = 4, 0/25 = 0, 16 м$ .

Жёсткость пружины по результатам измерения

k = \frac{F}{x}

Разделив нагрузку на вызванное ею удлинение, получаем жёсткость в ньютонах на метр. Если пружина подчиняется закону Гука, любая пара измеренных значений даёт одно и то же отношение, и это постоянство — проверка закона. У жёсткой пружины $k$ велико, и она мало растягивается.

Обозначения
$k$	жёсткость пружины	$Н / м$
$F$	нагрузка	$Н$
$x$	удлинение, вызванное этой нагрузкой	$м$

Когда верна: Только на линейном участке, при $x$ в метрах, отсчитанном от недеформированной длины. Для пружины с начальным натяжением берите вместо этого наклон $Δ F /Δ x$ между двумя нагрузками.

Пример: Сила 1,0 Н растягивает пружину из анимации на 4,0 см: $k = 1, 0/0, 040 = 25 Н / м$ .

Энергия растянутой пружины

U = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} F x

Работа при растяжении — это площадь под прямой «сила — удлинение», треугольник с основанием $x$ и высотой $F = k x$ . Сила растёт от нуля, поэтому её среднее значение равно $\frac{1}{2} F$ — отсюда и берётся одна вторая. Поскольку $U$ пропорциональна $x^{2}$ , при вдвое большем растяжении запасается вчетверо больше энергии.

Обозначения
$U$	потенциальная энергия упругой деформации	$Дж$
$k$	жёсткость пружины	$Н / м$
$x$	удлинение по сравнению с недеформированной длиной	$м$
$F$	сила при удлинении $x$	$Н$

Когда верна: Для линейной пружины, растянутой от недеформированной длины в пределах упругости. Для дальнейшего растяжения от $x_{1}$ до $x_{2}$ нужна работа $\frac{1}{2} k (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})$ .

Пример: При 16 см пружина из анимации запасает $\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 0, 1 6^{2} = 0, 32 Дж$ .

Пружины, соединённые последовательно

последовательно : \frac{1}{k} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}

Пружины, подвешенные одна под другой, несут всю нагрузку каждая, поэтому их удлинения складываются: $x = F / k_{1} + F / k_{2}$ . Разделив на $F$ , видим, что складываются величины, обратные жёсткостям. Пара всегда мягче более мягкой из пружин.

Обозначения
$k$	жёсткость системы пружин	$Н / м$
$k_{1}$	жёсткость первой пружины	$Н / м$
$k_{2}$	жёсткость второй пружины	$Н / м$

Когда верна: Для лёгких пружин, подчиняющихся закону Гука; при большем числе пружин добавляют по одному слагаемому на каждую.

Пример: Две пружины по 25 Н/м последовательно: $1/ k = 1/25 + 1/25$ , поэтому $k = 12, 5 Н / м$ , и 4,0 Н растягивают пару на 32 см.

Пружины, соединённые параллельно

параллельно : k = k_{1} + k_{2}

Пружины, расположенные рядом и соединённые так, что растягиваются на одну и ту же величину, делят нагрузку, а их силы складываются: $F = k_{1} x + k_{2} x$ . Поэтому складываются жёсткости, и пара жёстче любой из пружин.

Обозначения
$k$	жёсткость системы пружин	$Н / м$
$k_{1}$	жёсткость первой пружины	$Н / м$
$k_{2}$	жёсткость второй пружины	$Н / м$

Когда верна: Только если пружины действительно растягиваются одинаково, а для этого груз должен висеть в нужной точке соединяющей их планки (посередине, если пружины одинаковы).

Пример: Две пружины по 25 Н/м параллельно дают $k = 50 Н / м$ : четыре груза по 1,0 Н растягивают их лишь на 8 см.

Напряжение и относительное удлинение

σ = \frac{F}{S}, ε = \frac{Δ l}{l _{0}}

Напряжение — это сила на единицу площади поперечного сечения, а относительное удлинение — удлинение на единицу длины. Такое деление на размеры образца даёт величины, которые описывают материал: проволока с вдвое большим сечением выдерживает при том же напряжении вдвое большую силу, а проволока вдвое длиннее при том же относительном удлинении растягивается вдвое сильнее. Относительное удлинение — число без размерности, его часто приводят в процентах.

Обозначения
$σ$	напряжение	$Па$
$F$	сила вдоль проволоки или стержня	$Н$
$S$	площадь поперечного сечения	$м^{2}$
$ε$	относительное удлинение
$Δ l$	изменение длины	$м$
$l_{0}$	начальная длина	$м$

Когда верна: Здесь $S$ — начальная площадь сечения (условное напряжение). Когда проволока заметно утончается, как при образовании шейки, истинное напряжение — сила, делённая на фактическую площадь, — больше.

Пример: 98,1 Н на стальной проволоке сечением $7, 85 \times 1 0^{- 7} м^{2}$ : $σ = 1, 25 \times 1 0^{8} Па = 125 МПа$ .

Модуль Юнга

E = \frac{σ}{ε}

На линейном участке напряжение и относительное удлинение пропорциональны, и их отношение — постоянная материала, не зависящая от формы и размера образца. Это закон Гука, записанный для материала, а не для предмета; на диаграмме растяжения модуль — наклон прямого участка. Большой $E$ означает жёсткий материал.

Обозначения
$E$	модуль Юнга	$Па$
$σ$	напряжение	$Па$
$ε$	относительное удлинение

Когда верна: Только при малых деформациях, ниже предела пропорциональности (около 0,1 % у стали). У резины единого значения нет, потому что её кривая не прямая.

Пример: Сталь, $E = 200 ГПа$ , при 125 МПа: $ε = 1, 25 \times 1 0^{8} / (2, 0 \times 1 0^{11}) = 6, 25 \times 1 0^{- 4}$ .

Удлинение проволоки или стержня

Δ l = \frac{F l _{0}}{SE}

Объединив $σ = F / S$ , $ε = Δ l / l_{0}$ и $E = σ / ε$ , получаем удлинение сразу. Оно растёт с нагрузкой и длиной и уменьшается с ростом сечения и модуля. Если записать его как $F = (SE / l_{0}) Δ l$ , получится закон Гука с жёсткостью $k = SE / l_{0}$ .

Обозначения
$Δ l$	изменение длины	$м$
$F$	сила вдоль проволоки или стержня	$Н$
$l_{0}$	начальная длина	$м$
$S$	площадь поперечного сечения	$м^{2}$
$E$	модуль Юнга материала	$Па$

Когда верна: Для однородного стержня при растяжении или сжатии на линейном участке; тонкий стержень при сжатии может сначала потерять устойчивость.

Пример: Стальная проволока длиной 2,0 м и диаметром 1,0 мм под грузом 10 кг: $Δ l = 98, 1 \cdot 2, 0/ (7, 85 \times 1 0^{- 7} \cdot 2, 0 \times 1 0^{11}) \approx 1, 25 \times 1 0^{- 3} м$ .

Глоссарий

Упругость: Способность тела возвращаться к прежним размерам и форме, когда деформирующие силы перестают действовать. Упругий — не значит легко растяжимый: сталь деформируется гораздо меньше резины, но восстанавливается так же полностью, а глина не восстанавливается совсем.
Закон Гука: Малая деформация пропорциональна вызывающей её силе: $F = k x$ для пружины, $σ = Eε$ для материала. Роберт Гук опубликовал его в 1678 году; закон выполняется только до предела, который зависит от материала.
Удлинение: Изменение длины по сравнению с недеформированной длиной, $x = l - l_{0}$ ; отрицательное значение означает сжатие. Пружина длиной 20 см, растянутая до 24 см, имеет удлинение 4 см, а не 24 см.
Сила упругости: Сила, с которой деформированное тело действует на то, что его деформирует; она направлена так, чтобы устранить деформацию: $- k x$ для пружины. Для груза, неподвижно висящего на пружине, она уравновешивает вес, $k x = m g$ .
Потенциальная энергия упругой деформации: Энергия, запасённая в деформированном теле, равная работе, затраченной на деформацию: $\frac{1}{2} k x^{2}$ для пружины, то есть площадь под её прямой «сила — удлинение». Упругое тело возвращает её всю, когда его отпускают.
Последовательное и параллельное соединение пружин: При последовательном соединении (одна за другой) каждая пружина несёт всю нагрузку, а удлинения складываются, поэтому $1/ k = 1/ k_{1} + 1/ k_{2}$ и пара мягче. При параллельном (рядом, с равными удлинениями) складываются силы, поэтому $k = k_{1} + k_{2}$ и пара жёстче.
Квазистатическое нагружение: Приложение нагрузки настолько медленно, что тело в каждый момент находится в равновесии и всё время $x = F / k$ , как в анимации, где груз опускает подставка. Резко отпущенный груз растягивает пружину до удвоенного статического удлинения.
Предел упругости: Наибольшая нагрузка или деформация, после которой тело ещё полностью возвращается к исходной форме; пружина в анимации достигает его при 5,5 Н и 22 см. Конец прямого участка графика, предел пропорциональности, обычно лежит рядом с ним.
Предел текучести: Напряжение, при котором металл начинает пластически течь, потому что дислокации в его кристаллах начинают скользить. Мягкая сталь течёт при напряжении около 250 МПа, то есть при деформации всего около 0,13 %.
Пластическая деформация: Деформация, которая остаётся после снятия нагрузки, её называют также остаточной. Металл, разгруженный после предела текучести, на диаграмме идёт вниз по прямой, параллельной его упругой прямой, и остаётся длиннее, чем был.
Шейка и разрыв: За пределом прочности — самой высокой точкой диаграммы растяжения — пластичная проволока утончается в одном месте (образуется шейка), сила, которую она выдерживает, падает, и проволока рвётся именно там.
Пластичные и хрупкие материалы: Пластичный материал, например медь или мягкая сталь, сильно деформируется пластически, прежде чем разорваться, и поглощает много энергии. Хрупкий, например стекло, чугун или мел, ломается вблизи конца упругой области почти без пластического течения.

Величины
$F$	Нагрузка	$Н$	Сила, растягивающая пружину или проволоку; в равновесии она равна силе упругости пружины $k x$ . В анимации каждый груз добавляет 1,0 Н.
$x$	Удлинение	$м$	Изменение длины по сравнению с недеформированной, положительное при растяжении; каждый груз в 1,0 Н в анимации добавляет 0,040 м.
$k$	Жёсткость пружины	$Н / м$	Сила, нужная на метр удлинения, $F / x$ , и наклон прямой «сила — удлинение». Относится к конкретной пружине и зависит от её формы, а не только от материала: 25 Н/м в анимации.
$U$	Потенциальная энергия упругой деформации	$Дж$	Энергия, запасённая при растяжении, $\frac{1}{2} k x^{2}$ : 0,32 Дж для пружины из анимации при 16 см.
$σ$	Механическое напряжение	$Па$	Сила на единицу площади поперечного сечения, $F / S$ , где $S$ — площадь сечения проволоки или стержня в квадратных метрах ( $7, 85 \times 1 0^{- 7} м^{2}$ для проволоки диаметром 1,0 мм), причём $1 МПа = 1 Н / м м^{2}$ . Показывает, насколько сильно нагружен материал, независимо от размера образца.
$ε$	Относительное удлинение		Относительное изменение длины, $Δ l / l_{0}$ : изменение длины $Δ l$ , делённое на начальную длину $l_{0}$ (обе величины в метрах). Его часто выражают в процентах; сталь остаётся упругой лишь примерно до 0,1 %.
$E$	Модуль Юнга	$Па$	Напряжение, делённое на относительное удлинение на линейном участке; свойство только материала: около 200 ГПа у стали, 70 ГПа у алюминия, 0,01–0,1 ГПа у резины.
$ν$	Коэффициент Пуассона		Показывает, насколько сужается растянутый стержень: его поперечная деформация равна $- ν ε$ . Около 0,3 у металлов и близок к 0,5 у резины, объём которой почти не меняется.
$G$	Модуль сдвига	$Па$	Сопротивление изменению формы при постоянном объёме, $G = E / (2 (1 + ν))$ , около 80 ГПа у стали. Определяет жёсткость витой пружины, проволока которой закручивается.

Тест

Начальный Пружина растягивается на 3 см, когда к ней подвешивают один груз. На сколько она растянется с тремя такими же грузами, если предел упругости не превышен?
1. 3 см
2. 6 см
3. 9 см
4. 27 см
Показать ответ
Ответ: C. 9 см
Удлинение пропорционально силе: втрое больший вес даёт втрое большее удлинение, 3 × 3 см = 9 см.
Начальный Что означает, что пружина вышла за предел упругости?
1. Она больше не возвращается к прежней длине, когда нагрузку снимают
2. Она рвётся сразу, как только достигнут предел
3. Она становится жёстче, и её труднее растянуть
4. Она перестаёт растягиваться, сколько груза ни добавляй
Показать ответ
Ответ: A. Она больше не возвращается к прежней длине, когда нагрузку снимают
За пределом упругости часть деформации остаётся: пружина остаётся длиннее, чем была. Она не обязательно рвётся и обычно растягивается легче, а не труднее.
Средний Груз массой 0,50 кг неподвижно висит на пружине и растягивает её на 10 см. Какова жёсткость пружины? (g = 9,81 м/с²)
1. 0,49 Н/м
2. 5,0 Н/м
3. 4,9 Н/м
4. 49 Н/м
Показать ответ
Ответ: D. 49 Н/м
В покое k·x = m·g, поэтому k = 0,50 × 9,81 ÷ 0,10 = 49 Н/м. Если подставить 10 вместо 0,10 м, получится 0,49 Н/м, а если забыть g — 5,0 Н/м.
Средний Две одинаковые пружины жёсткостью 200 Н/м каждая подвешены одна под другой. Какова жёсткость такой системы?
1. 400 Н/м
2. 100 Н/м
3. 200 Н/м
4. 40 000 Н/м
Показать ответ
Ответ: B. 100 Н/м
При последовательном соединении каждая пружина несёт всю нагрузку, и удлинения складываются: 1/k = 1/200 + 1/200, откуда k = 100 Н/м. Рядом (параллельно) получилось бы 400 Н/м.
Средний Что означает x в законе Гука F = k·x?
1. Полную длину растянутой пружины
2. Длину пружины до растяжения
3. Изменение длины по сравнению с недеформированной пружиной
4. Расстояние от точки подвеса до груза
Показать ответ
Ответ: C. Изменение длины по сравнению с недеформированной пружиной
x — это удлинение: длина растянутой пружины минус её начальная длина. Пружина длиной 20 см, растянутая до 24 см, имеет x = 4 см, а не 24 см.
Продвинутый Пружина жёсткостью k = 500 Н/м уже растянута на 0,10 м. Какую дополнительную работу нужно совершить, чтобы растянуть её до 0,20 м?
1. 2,5 Дж
2. 10 Дж
3. 5,0 Дж
4. 7,5 Дж
Показать ответ
Ответ: D. 7,5 Дж
W = ∫ k·x dx от 0,10 до 0,20 м = ½·k·(x₂² − x₁²) = ½ × 500 × (0,040 − 0,010) = 7,5 Дж. ½·k·(Δx)² = 2,5 Дж не учитывает, что пружина уже в начале тянула с силой 50 Н; 10 Дж — вся энергия, запасённая при 0,20 м; 5,0 Дж = k·x₁·Δx учитывает только начальную силу.
Продвинутый Металлическую проволоку нагрузили за предел текучести, а затем разгрузили. Как идёт разгрузка на диаграмме σ(ε)?
1. По прямой, параллельной начальному упругому участку, с остаточной деформацией
2. Обратно по той же кривой до нулевой деформации
3. Вертикально вниз до нулевого напряжения при неизменной деформации
4. По горизонтали при неизменном напряжении
Показать ответ
Ответ: A. По прямой, параллельной начальному упругому участку, с остаточной деформацией
Разгрузка упругая: напряжение падает вдоль прямой с наклоном E, параллельной первому прямому участку. Когда напряжение становится нулевым, пластическая (остаточная) деформация сохраняется.
Продвинутый Почему закон Гука описывает так много систем — от молекул до мостов?
1. Потому что все материалы состоят из крошечных пружинок
2. Вблизи устойчивого равновесия любая гладкая потенциальная энергия почти параболична, поэтому возвращающая сила линейна
3. Потому что третий закон Ньютона требует сил, пропорциональных смещению
4. Потому что у всех материалов одинаковый предел упругости
Показать ответ
Ответ: B. Вблизи устойчивого равновесия любая гладкая потенциальная энергия почти параболична, поэтому возвращающая сила линейна
Разложение U(x) около минимума даёт U ≈ U₀ + ½·U″(x₀)·(x − x₀)², поэтому F = −dU/dx ≈ −k·(x − x₀), где k = U″(x₀). При больших отклонениях вступают в игру члены высших порядков, и закон перестаёт выполняться.

$U$	Потенциальная энергия пары атомов — сплошная кривая; нуль энергии выбран произвольно.	$Дж$
$x$	Расстояние между двумя атомами.	$м$
$x_{0}$	Равновесное расстояние, на дне ямы.	$м$
$\frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2}$	Энергия идеальной пружины с тем же дном и той же кривизной — пунктирная парабола.	$Дж$
$k$	Жёсткость этой пружины, равная кривизне $U^{''} (x_{0})$ ямы в её нижней точке.	$Н / м$

$a$	Расстояние между соседними атомами.	$м$
$k_{b}$	Жёсткость одной связи, изображённой пружиной.	$Н / м$
$L_{0}$	Длина стержня.	$м$
$A$	Площадь торца, на который действует нагрузка (пластина, видимая с ребра), — площадь поперечного сечения стержня.	$м^{2}$
$F$	Нагрузка, растягивающая стержень за торец.	$Н$

$σ$	Механическое напряжение: сила, делённая на начальную площадь сечения проволоки.	$Па$
$ε$	Относительное удлинение: удлинение на единицу начальной длины.
$E$	Модуль Юнга: наклон начального прямого участка и прямой разгрузки.	$Па$
$σ_{y}$	Предел текучести, где кончается прямая и проволока начинает течь.	$Па$
$σ_{u}$	Предел прочности: наибольшее напряжение на кривой.	$Па$
$ε_{p}$	Остаточная деформация после разгрузки.
$u$	Энергия, поглощённая единицей объёма до разрыва, — закрашенная площадь под кривой.	$Дж / м^{3}$

$F$	Сила; а также сама нагрузка — горизонтальная прямая: вес четырёх грузов, подвешенных вместе.	$Н$
$x$	Удлинение пружины относительно недеформированной длины.	$м$
$k x$	Сила упругости пружины при удлинении $x$ — наклонная прямая.	$Н$
$x_{e}$	Удлинение, при котором сила упругости равна нагрузке, $F / k$ , — равновесие при плавном нагружении.	$м$
$x_{L}$	Удлинение на пределе упругости (фиолетовая точка); дальше линия пружины пунктирная.	$м$
$x_{m}$	Удлинение в нижней точке, где грузы останавливаются: $2 F / k$ .	$м$
$K$	Кинетическая энергия грузов: левый треугольник — энергия, набранная до $x_{e}$ ; правый, $- K$ , — такая же энергия, которую пружина забирает обратно.	$Дж$