Dilatation thermique

Débutant

Étape 1. Presque tout grandit un peu en se réchauffant et rétrécit en refroidissant : voilà pourquoi les dalles de béton d'un trottoir sont posées avec de fins joints entre elles. C'est la dilatation thermique.

Étape 2. Pourquoi ? Un objet est fait de minuscules particules qui s'agitent sans arrêt. Chauffez-le : elles s'agitent plus fort et s'écartent un peu les unes des autres, si bien que l'objet entier devient un peu plus long, plus large et plus épais.

Étape 3. De combien ? L'allongement est faible mais très régulier : chauffez une tige deux fois plus et elle s'allonge deux fois plus ; prenez une tige deux fois plus longue et elle s'allonge aussi deux fois plus. Une barre d'aluminium de 1 m chauffée de 200 degrés s'allonge de moins de 5 mm, mais un long pont en acier change de longueur de plusieurs dizaines de centimètres entre l'hiver et l'été. La force mise en jeu est énorme : les ponts ont donc des joints de dilatation en forme de peignes.

Étape 4. Tous les matériaux ne se dilatent pas autant. Collez une lame de laiton sur une lame d'acier et chauffez : le laiton s'allonge davantage, le couple est obligé de se courber, laiton à l'extérieur de la courbe. Ces bilames allument et éteignent thermostats et bouilloires.

Dans l'animation, des flammes chauffent une barre de métal et un bilame laiton-acier. L'extrémité de la barre dépasse la ligne pointillée (son allongement est dessiné 25 fois plus grand) tandis que le bilame se courbe vers le haut ; quand les flammes s'éteignent, tout reprend sa forme initiale.

Testez-vous : un couvercle en métal est coincé sur un bocal en verre. Faut-il passer l'eau chaude sur le couvercle ou sur le verre ? (Sur le couvercle : le métal se dilate plus que le verre, le couvercle se desserre.)

L'eau est une étrange exception : entre 0 °C et 4 °C, elle se contracte en se réchauffant.

Intermédiaire

Ce qui se dilate, et pourquoi

Dans un solide, les atomes restent à des distances presque fixes de leurs voisins, retenus par des liaisons qui se comportent comme des ressorts raides. Ils vibrent autour de ces positions, et le chauffage les fait vibrer plus fort. Les liaisons résistent davantage à la compression qu'à l'étirement : un atome qui s'agite plus fort passe donc un peu plus de temps légèrement plus loin, et l'écartement moyen augmente. Toutes les longueurs de l'objet croissent avec cet écartement.

Trois grandeurs décrivent l'effet : la longueur initiale $L_0$, la variation de longueur $\Delta L=L-L_0$ (négative au refroidissement) et la variation de température $\Delta T$. Un écart de 1 °C est identique à un écart de 1 K : $\Delta T$ a donc la même valeur dans les deux échelles. Passer de 20 °C à 220 °C correspond à $\Delta T=200\mathrm{K}$.

La loi de la dilatation linéique

L'expérience donne une règle simple : l'allongement est proportionnel à la longueur initiale et à la variation de température,
$\Delta L=\alpha L_0\Delta T$

Chaque mètre d'une tige s'allonge pour son propre compte, donc une tige deux fois plus longue s'allonge deux fois plus. Le coefficient de dilatation linéique $\alpha$ est propre au matériau. Son unité est le K⁻¹, car c'est l'allongement relatif $\Delta L/L_0$ par kelvin : $\alpha =23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ signifie que chaque mètre d'aluminium gagne 23 micromètres par kelvin.

Voici des valeurs typiques, en unités de $10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ : l'invar (alliage de fer et de nickel) 1,2 ; le verre 9 ; l'acier et le béton environ 12 ; le cuivre 17 ; le laiton 19 ; l'aluminium 23. Comme $\alpha \Delta T$ reste très inférieur à 1 % dans un échauffement ordinaire, le changement passe facilement inaperçu, mais il est difficile à empêcher.

Surfaces, volumes et liquides

Chauffer une plaque homogène multiplie chacune de ses longueurs par $(1+\alpha \Delta T)$ : son aire est donc multipliée par $(1+\alpha \Delta T{)}^2\approx 1+2\alpha \Delta T$, le terme omis $(\alpha \Delta T{)}^2$ étant négligeable. Le volume d'un bloc est multiplié par le cube. Au premier ordre, l'aire et le volume augmentent donc de
$\Delta A\approx 2\alpha A_0\Delta T$
$\Delta V=\beta V_0\Delta T,\beta \approx 3\alpha$

Ici $\beta$ est le coefficient de dilatation volumique. Les trous se dilatent eux aussi : l'ouverture d'une bague s'agrandit exactement comme le ferait un disque du même matériau, à la manière d'un agrandissement photographique.

Les liquides, qui n'ont pas de forme propre, se décrivent par $\beta$ seul. En unités de $10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, il vaut environ 210 pour l'eau à 20 °C, 180 pour le mercure et 950 pour l'essence, contre 27 pour le verre. Un thermomètre à liquide exploite cet écart : le liquide se dilate plus que son réservoir et monte dans le tube étroit. C'est aussi pourquoi un réservoir rempli à ras bord d'essence fraîche déborde au soleil.

Exemple résolu : la barre et le bilame de l'animation

La barre d'aluminium a $L_0=1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$ et passe de 20 °C à 220 °C, donc $\Delta T=200\mathrm{K}$ et
$\Delta L=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}\cdot 1000\mathrm{mm}\cdot 200\mathrm{K}=4,6\mathrm{mm}$

C'est l'indicateur bleu $\Delta L$ à 220 °C : la barre mesure maintenant 1,0046 m. L'allongement et sa flèche sont dessinés 25 fois plus grands, car à l'échelle réelle ils seraient invisibles.

Le bilame se compose de 10 cm de laiton ($\alpha =19\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$) collés à 10 cm d'acier ($\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$). Libre, le laiton s'allongerait de $19\times 10^{-6}\cdot 100\mathrm{mm}\cdot 200=0,38\mathrm{mm}$ et l'acier de 0,24 mm : l'écart n'est que de 0,14 mm. Les deux couches étant collées, elles ne peuvent pas glisser l'une sur l'autre, et le bilame doit se courber, le laiton, plus long, du côté extérieur de la courbure. Ici le laiton est dessous, donc le bilame se recourbe vers le haut.

Il se courbe en un arc de rayon $R\approx 25\mathrm{cm}$, que l'on établit au niveau expert. Un arc de longueur $L$ s'écarte de sa ligne de départ d'environ $L^2/(2R)$ : l'extrémité du bilame de 100 mm se soulève donc de $d\approx 100^2/(2\cdot 246)\approx 20\mathrm{mm}$, c'est la flèche verte $d$ et son indicateur. Un écart de 0,14 mm est devenu un déplacement de 20 mm : voilà ce qui fait du bilame un bon interrupteur.

Exemple résolu : un pont et son joint de dilatation

Le tablier en acier d'un pont, long de 120 m, est fixé à une extrémité et repose sur des appuis glissants à l'autre. Construit à 15 °C, il descend à −20 °C les nuits d'hiver et monte à +45 °C sous le soleil d'été. Quel déplacement le joint de l'extrémité libre doit-il autoriser ?

Avec $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ et $L_0=120000\mathrm{mm}$, chaque kelvin modifie la longueur de $\alpha L_0=1,44\mathrm{mm}$. En été, avec $\Delta T=+30\mathrm{K}$, le tablier s'allonge de $1,44\cdot 30\approx 43\mathrm{mm}$ ; en hiver, avec $\Delta T=-35\mathrm{K}$, il raccourcit de $1,44\cdot 35\approx 50\mathrm{mm}$. Le joint doit donc absorber environ 94 mm, d'où ses longues dents d'acier imbriquées.

Sans joint, les culées devraient comprimer le tablier pour annuler l'allongement d'été, soit une déformation de $\alpha \Delta T=3,6\times 10^{-4}$. Avec un module d'Young $E=200\mathrm{GPa}$, cela demande une contrainte $\sigma =E\alpha \Delta T=72\mathrm{MPa}$, environ le quart de la limite d'élasticité de l'acier de construction, et ce quelle que soit la longueur du tablier.

Lire l'animation

Les traits pointillés marquent les formes à froid. La barre est fixée au mur et repose sur un rouleau, comme un tablier de pont sur ses appuis : tout son allongement apparaît donc à l'extrémité libre. Le bilame, encastré par un seul bout, est libre de se courber.

$\Delta L$ et $d$ sont tous deux proportionnels à l'écart de température par rapport à 20 °C : à mi-course, à 120 °C, ils indiquent 2,30 mm et environ 10 mm. Chaque kelvin ajoute 0,023 mm à la barre et environ 0,1 mm à la flèche du bilame. Au refroidissement, les indicateurs repassent par les mêmes valeurs jusqu'à zéro : la dilatation thermique est réversible, sauf si l'on a sollicité un objet au-delà de sa limite d'élasticité.

Erreurs fréquentes

• Un trou dans une plaque chauffée s'agrandit comme toutes les autres longueurs : un trou de 20,00 mm dans de l'acier chauffé de 100 K passe à 20,02 mm, et c'est ainsi que l'on frette des bagues sur des arbres.
• Les atomes ne gonflent pas ; c'est leur écartement moyen qui augmente, de 0,46 % pour la barre de l'animation.
• Il faut prendre la variation de température, et non la température : passer de 20 °C à 30 °C donne le même allongement que de 80 °C à 90 °C, et une variation de 200 °C vaut 200 K, sans ajouter 273.
• Les aires croissent comme $2\alpha$ et les volumes comme $3\alpha$ : un bloc d'aluminium chauffé de 200 K gagne 1,38 % de volume, soit trois fois les 0,46 % de chacune de ses arêtes.
• Tout ne se dilate pas quand on le chauffe : l'eau se contracte en passant de 0 °C à 4 °C, et un élastique tendu raccourcit lorsqu'on le chauffe.

Où on la rencontre

On laisse de la place aux grandes structures pour bouger : joints et appuis à rouleaux des ponts, espaces entre les dalles de béton, boucles dans les canalisations, lignes électriques qui pendent plus bas les jours de chaleur. Les matériaux qui doivent rester solidaires, comme le verre scellé autour des fils d'une lampe ou l'obturation d'une dent, sont choisis avec des coefficients voisins, tandis que les bilames exploitent volontairement l'écart pour commander bouilloires, fers à repasser et thermostats.

Cette leçon prolonge Température et chaleur. Le comportement étrange de l'eau revient dans Changements d'état et chaleur latente : elle se dilate de 9 % en gelant. La dilatation empêchée, c'est la relation contrainte–déformation en action ; elle est étudiée dans Élasticité : loi de Hooke, contrainte et déformation. Les gaz, qui se dilatent bien plus que les solides, sont expliqués dans Théorie cinétique des gaz.

Avancé

Le coefficient, un taux de variation

Tout ce cours repose sur un seul nombre par matériau, le coefficient de dilatation $\alpha$. La règle familière $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$ n'est qu'une approximation : voyons donc exactement ce qu'elle approche. La définition précise est l'allongement relatif par kelvin, pris à une seule température :
$\alpha =\frac{1}{L}\frac{dL}{dT}$

Le membre de droite est la dérivée de $\ln L$ par rapport à $T$. En l'intégrant de la température initiale $T_0$ à $T$, on obtient donc la longueur exacte :
$L=L_0\exp \left({\int }_{T_0}^T\alpha d{T}^{\prime }\right)$

Si $\alpha$ ne dépend pas de la température, l'intégrale vaut simplement $\alpha \Delta T$, et le développement de l'exponentielle donne $L=L_0{e}^{\alpha \Delta T}=L_0(1+\alpha \Delta T+\frac{1}{2}{\alpha }^2\Delta T^2+\dots )$. La loi linéaire ne garde que la première correction, $\alpha \Delta T$, et néglige le reste. Pour les solides, cela ne coûte presque rien : dans l'animation, $\alpha \Delta T=4,6\times 10^{-3}$, et l'exponentielle donne un allongement de 4,611 mm au lieu de 4,600 mm.

Le vrai défaut de la loi linéaire est ailleurs : $\alpha$ lui-même varie avec la température. Pour l'aluminium réel, il augmente de plus d'un dixième entre 20 °C et 220 °C, si bien qu'une barre réelle de 1 m s'allongerait de près de 5 mm, une erreur bien plus grande que les 0,011 mm perdus en négligeant le terme du second ordre. Sur de larges plages de température, il faut intégrer $\alpha$.

Le graphe de $\Delta L$ en fonction de $T$ dans l'animation montre la loi linéaire : une droite qui va de 0 à 20 °C jusqu'à 4,6 mm à 220 °C, de pente $dL/dT=\alpha L_0=0,023mm/K$. Au refroidissement, le point redescend le long de la même droite. Aucune boucle ne s'ouvre, car la longueur dépend seulement de la température actuelle, non de l'histoire des chauffages et des refroidissements. Avec le $\alpha$ de l'aluminium réel, qui varie avec la température, la droite s'incurverait doucement vers le haut.

La même définition s'applique au volume : $\beta =(1/V)dV/dT$. Un solide isotrope, c'est-à-dire qui se dilate de la même façon dans toutes les directions, garde sa forme, donc $V\propto L^3$. Alors $\ln V$ vaut $3\ln L$ à une constante près, et la dérivation donne exactement $\beta =3\alpha$. La formule familière $\Delta V\approx 3\alpha V_0\Delta T$ n'est approchée que parce qu'elle néglige des termes en $(\alpha \Delta T{)}^2$.

Pourquoi les atomes chauds ont besoin de plus de place

Pourquoi un solide se dilate-t-il ? La réponse tient à la forme de la liaison entre atomes voisins. Supposons que la force entre deux voisins soit exactement $-kx$, où $x$ est la variation de leur écartement par rapport à sa valeur d'équilibre et $k$ la raideur de la liaison. L'énergie potentielle serait alors une parabole, chaque vibration serait symétrique autour de $x=0$, et l'écartement moyen ne changerait jamais, si fort que vibrent les atomes. Un cristal dont les liaisons seraient parfaitement élastiques (harmoniques) ne se dilaterait pas. Les liaisons réelles sont dissymétriques. Rapprocher deux atomes se heurte à une forte répulsion, car leurs nuages électroniques se recouvrent, tandis que les écarter ne rencontre qu'une attraction qui s'affaiblit avec la distance.

Légende

$x$	Variation de l'écartement de deux atomes voisins, mesurée à partir du fond du puits.	$\mathrm{m}$
$U$	Énergie potentielle de la liaison.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}k{x}^2$	Énergie d'un ressort idéal de raideur $k$ : la parabole symétrique que la courbe réelle suit près de son fond.	$\mathrm{J}$
$k_{B}T$	Énergie thermique, constante de Boltzmann multipliée par la température : la hauteur du niveau auquel vibrent les atomes.	$\mathrm{J}$
$\bar{x}$	Variation moyenne de l'écartement : la position moyenne de l'atome qui vibre, repoussée vers les $x$ positifs par la liaison dissymétrique.	$\mathrm{m}$

La figure 1 trace l'énergie $U$ d'une liaison en fonction de la variation $x$ de son écartement. Regardez d'abord les deux courbes. La parabole en tirets $\frac{1}{2}k{x}^2$ est le ressort idéal, symétrique. La courbe en trait plein est la liaison réelle, dissymétrique : près du fond du puits, les deux coïncident, mais du côté comprimé (à gauche) la courbe réelle passe au-dessus de la parabole, et du côté étiré (à droite) elle passe au-dessous.

Regardez maintenant le niveau horizontal tracé à la hauteur $k_{B}T$, l'énergie thermique typique d'un atome qui vibre ($k_B$ est la constante de Boltzmann). Un atome de cette énergie oscille entre les deux points où le niveau coupe la courbe en trait plein : ce sont ses points de rebroussement. À gauche, la paroi est raide, donc le point de rebroussement reste proche de $x=0$. À droite, la paroi est douce, donc il se trouve plus loin. L'atome s'écarte donc plus vers l'extérieur que vers l'intérieur, et sa position moyenne $\bar{x}$, la ligne dorée, se trouve en $x$ positif, à droite du fond du puits. Un atome plus chaud occupe un niveau plus haut, sur une portion plus dissymétrique de la courbe, et $\bar{x}$ s'éloigne davantage. Cette dérive de l'écartement moyen vers l'extérieur, répétée dans chaque liaison du cristal, est la dilatation thermique.

Pour préciser cela, la liaison dissymétrique la plus simple ajoute un terme cubique au ressort, avec une constante $b$ qui mesure la dissymétrie. C'est la courbe en trait plein de la figure 1, dont la dissymétrie est exagérée :
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{3}b{x}^3$
Le signe moins place l'énergie sous la parabole pour $x>0$ et au-dessus pour $x<0$, comme sur la figure. La force qui s'exerce sur l'atome est $-dU/dx=-kx+b{x}^2$.

Moyennons maintenant sur le mouvement. Un atome qui vibre reste en place en moyenne, donc la moyenne temporelle de la force qui s'exerce sur lui doit s'annuler : $k\bar{x}=b\overline{x^2}$, où $\overline{x^2}$ est la moyenne du carré du déplacement. Comme $b$ est petit, il suffit de prendre $\overline{x^2}$ pour le ressort harmonique. Pour une vibration d'énergie $E_{\mathrm{vib}}$, la moitié est en moyenne de l'énergie potentielle, donc $\frac{1}{2}k\overline{x^2}=\frac{1}{2}{E}_{\mathrm{vib}}$ et $\bar{x}=b{E}_{\mathrm{vib}}/k^2$. Un oscillateur classique à l'équilibre thermique a en moyenne $E_{\mathrm{vib}}=k_{B}T$, ce qui donne
$\bar{x}=\frac{b{k}_{B}T}{k^2}$
Une moyenne de $x$ pondérée par le facteur de Boltzmann $e^{-U/k_{B}T}$, au premier ordre en $b$, donne le même résultat. La figure 1, qui suit une vibration d'énergie $k_{B}T$, marque donc le même $\bar{x}$ que la moyenne thermique.

Le déplacement moyen croît proportionnellement à la température. En divisant par l'écartement d'équilibre $r_0$, on obtient l'allongement relatif par kelvin, $\alpha \approx b{k}_B/(k^2{r}_0)$ : constant aux températures ordinaires, et proportionnel à $b$. Le coefficient de dilatation mesure directement la dissymétrie des liaisons.

Ce qui fixe la taille du coefficient

La même image explique une régularité frappante. La fusion et la dilatation dépendent toutes deux de la hauteur à laquelle l'énergie thermique monte dans le puits de potentiel : un solide fond quand ses vibrations atteignent une fraction notable de la distance interatomique, et il se dilate à mesure que les atomes montent plus haut dans le puits dissymétrique. Un puits profond et raide donne donc à la fois une température de fusion élevée et un petit $\alpha$, et pour beaucoup de métaux leur produit est à peu près le même, environ 0,02. Pour l'aluminium, $23\times 10^{-6}\cdot 933\approx 0,021$ ; pour le tungstène, $4,5\times 10^{-6}\cdot 3695\approx 0,017$.

L'invar, alliage de fer et de nickel, fait exception à la règle : une contraction d'origine magnétique compense presque sa dilatation normale, une découverte qui valut à Charles-Édouard Guillaume le prix Nobel en 1920 et qui rend l'invar précieux dans les instruments de précision.

Aux basses températures, l'image classique tombe en défaut. Les vibrations se figent dans leur état fondamental quantique, qui gagne à peine de l'énergie quand la température monte. La dilatation suit l'énergie de vibration, donc $\alpha$ tend vers zéro en même temps que la capacité thermique, comme l'exige le troisième principe de la thermodynamique. Leur rapport reste presque constant (règle de Grüneisen).

Contrainte thermique dans une tige bloquée

Que se passe-t-il quand la dilatation est empêchée ? Prenons une tige tenue entre deux parois rigides. Sa longueur ne peut pas changer, donc les parois doivent la comprimer exactement de ce dont elle se serait dilatée : elles imposent une déformation élastique $-\alpha \Delta T$ qui annule la dilatation libre. D'après la loi de Hooke, la contrainte est le module d'Young $E$ multiplié par la déformation ; il faut donc une contrainte d'intensité
$\sigma =E\alpha \Delta T$
La contrainte est de compression au chauffage et de traction au refroidissement. Remarquez que la longueur a disparu, car seule compte la déformation relative : une tige d'acier de 1 m et un rail d'acier de 1 km gagnent tous deux 2,4 MPa de contrainte par kelvin.

Le bilame qui se courbe

Une lame formée de deux métaux collés, par exemple du laiton sur de l'acier, n'est bloquée qu'en partie. Chaque couche cherche à se dilater à sa façon, mais le collage les oblige à partager une même forme, et le compromis est une courbure. C'est ainsi qu'un thermostat transforme une variation de température en mouvement. Pour trouver la courbure, il faut savoir comment la déformation varie dans l'épaisseur de la lame.

Légende

$y$	Position en travers de la lame, mesurée de l'interface vers le centre de courbure (du côté de l'acier, elle est positive).	$\mathrm{m}$
$h$	Épaisseur de la lame, les deux couches ensemble.	$\mathrm{m}$
$\epsilon$	Déformation le long de la lame : la variation relative de longueur.
${\epsilon }_0$	Déformation à l'interface, $y=0$ : la moyenne des deux déformations libres pour des couches égales.
$R$	Rayon de courbure de la lame courbée ; la droite bleue décroît de $1/R$ par unité de $y$.	$\mathrm{m}$
${\alpha }_1\Delta T$	Déformation qu'aurait le laiton s'il était libre : son coefficient ${\alpha }_1$ multiplié par l'élévation de température.
${\alpha }_2\Delta T$	Déformation qu'aurait l'acier s'il était libre : son coefficient ${\alpha }_2$ multiplié par l'élévation de température.
${\sigma }_1$	Contrainte dans le laiton : $E$ multiplié par l'écart entre la droite bleue et la déformation libre propre au laiton.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_2$	Contrainte dans l'acier : $E$ multiplié par l'écart entre la droite bleue et la déformation libre propre à l'acier.	$\mathrm{Pa}$

La figure 2 est une coupe dans l'épaisseur $h$ de la lame. L'axe vertical est la position $y$ en travers de la lame, mesurée de l'interface vers le centre de courbure : l'acier (gris) occupe donc $0<y<h/2$ et le laiton (doré) $-h/2<y<0$. L'axe horizontal est la déformation $\epsilon$ le long de la lame.

Commencez par les deux droites verticales. Ce sont les déformations que chaque couche aurait si elle était libre : ${\alpha }_1\Delta T$ pour le laiton et ${\alpha }_2\Delta T$ pour l'acier. Le laiton se dilate davantage, ${\alpha }_1>{\alpha }_2$, donc sa droite est plus à droite.

Regardez maintenant la droite bleue. Collées ensemble, les couches doivent se courber d'un seul tenant, selon un rayon $R$. Dans une flexion, chaque fine tranche de la lame est allongée ou raccourcie proportionnellement à sa distance au centre de courbure, donc la déformation varie linéairement dans l'épaisseur :
$\epsilon (y)={\epsilon }_0-\frac{y}{R}$
Ici ${\epsilon }_0$ est la déformation à l'interface. La droite décroît quand on va vers le centre de courbure, si bien que le laiton, à l'extérieur de la courbure, est le plus étiré.

Une couche n'est sous contrainte que par la part de sa déformation qui n'est pas de la dilatation libre ; la contrainte vaut donc $E(\epsilon -{\alpha }_i\Delta T)$, avec ${\alpha }_1$ dans le laiton et ${\alpha }_2$ dans l'acier. Sur la figure, c'est $E$ multiplié par l'écart horizontal entre la droite bleue et la droite verticale propre à la couche : les coins verts, ${\sigma }_1$ dans le laiton et ${\sigma }_2$ dans l'acier. Près de l'interface, la droite bleue est à gauche de celle du laiton et à droite de celle de l'acier : le laiton est comprimé et l'acier étiré. Près des faces extérieures, la droite bleue a franchi les droites verticales, et les signes sont inversés.

La droite bleue a deux inconnues, sa position ${\epsilon }_0$ et sa pente $1/R$. Aucune charge extérieure n'agit sur la lame, donc les contraintes doivent donner une force résultante nulle et un moment fléchissant résultant nul. Ces deux conditions fixent les deux inconnues.

Prenons des épaisseurs et des modules égaux. Le terme $-y/R$ apporte des forces égales et opposées dans les deux moitiés, donc la force résultante ne s'annule que si ${\epsilon }_0$ est la moyenne des deux déformations libres, ${\epsilon }_0=\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2)\Delta T$ : la droite bleue coupe l'interface à mi-chemin entre les deux droites verticales. Par rapport à cette valeur, le laiton est comprimé et l'acier étiré de la même déformation d'écart $\frac{1}{2}\Delta \alpha \Delta T$, avec $\Delta \alpha ={\alpha }_1-{\alpha }_2$. Par unité de largeur, ces deux forces égales et opposées, de valeur $\frac{1}{4}E\Delta \alpha \Delta Th$ chacune, agissent à la distance $h/2$ l'une de l'autre et forment un couple de moment $\frac{1}{8}E\Delta \alpha \Delta T{h}^2$. La contrainte de flexion $-Ey/R$ fournit le moment opposé $E{h}^3/(12R)$. En égalant les deux moments, on obtient
$\frac{1}{R}=\frac{3\Delta \alpha \Delta T}{2h}\text{(eˊpaisseurs et modules eˊgaux)}$
Avec cette pente, la droite bleue coupe chaque droite verticale aux deux tiers du chemin entre l'interface et la face extérieure, comme sur le dessin.

Pour l'animation, $\Delta \alpha =7\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, $\Delta T=200\mathrm{K}$ et $h=0,5\mathrm{mm}$ donnent $1/R=4,2{\mathrm{m}}^{-1}$. L'animation utilise la formule générale établie en 1925 par Stephen Timoshenko, avec les modules réels (laiton 100 GPa, acier 200 GPa), et obtient $4,07{\mathrm{m}}^{-1}$, soit un rayon de 24,6 cm.

De combien l'extrémité se déplace-t-elle ? Pour de petits angles, un cercle épouse une parabole : un arc de rayon $R$ s'écarte de sa tangente de départ, au bout d'une longueur $L$, d'environ
$d\approx \frac{L^2}{2R}$
La lame de 10 cm soulève donc son extrémité d'environ 20,4 mm. L'arc exact, qui fait tourner l'extrémité de 23°, donne les 20,1 mm de l'indicateur vert. En combinant les deux formules, on trouve $d=3\Delta \alpha \Delta T{L}^2/(4h)$ : diviser l'épaisseur par deux double le déplacement, et doubler la longueur le quadruple. C'est pourquoi les thermostats emploient des lames longues, minces ou enroulées.

La courbe de l'eau

La plupart des liquides se dilatent régulièrement quand on les chauffe. L'eau, entre 0 °C et environ 4 °C, fait le contraire, et cette petite anomalie décide de la façon dont les lacs gèlent.

Légende

$T$	Température, ici en degrés Celsius.	${}^{\circ }\mathrm{C}$
$\rho$	Masse volumique de l'eau liquide.	$kg/{\mathrm{m}}^3$
$T_m$	Température du maximum de masse volumique, 3,98 °C.	${}^{\circ }\mathrm{C}$
${\rho }_m$	Masse volumique maximale de l'eau liquide, 999,97 kg/m³, atteinte en $T_m$.	$kg/{\mathrm{m}}^3$
$\beta$	Coefficient de dilatation volumique au point de tangence : négatif là où la masse volumique croît avec $T$, nul au maximum, positif là où elle décroît.	${\mathrm{K}}^{-1}$

La figure 3 montre la masse volumique $\rho$ de l'eau de 0 à 12 °C, le panneau de droite de l'animation, avec sa tangente tracée à trois températures. Pour lire le coefficient de dilatation sur cette courbe, notons que, pour une masse fixée, la masse volumique est inversement proportionnelle au volume, donc $\beta =-(1/\rho )d\rho /dT$. La pente de la courbe vaut donc $-\beta \rho$, et son signe est toujours opposé à celui de $\beta$.

Suivons maintenant les tangentes de gauche à droite. À gauche, la courbe monte, donc la pente est positive et $\beta <0$ : environ $-68\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ à 0 °C, ce qui signifie que réchauffer l'eau à cet endroit la fait rétrécir. Au sommet, la tangente est horizontale et $\beta =0$. C'est la température $T_m=3,98$ °C de la masse volumique maximale, ${\rho }_m=999,97kg/{\mathrm{m}}^3$. Au-delà, la courbe descend et $\beta >0$, comme pour tout autre liquide. L'axe vertical est fortement étiré : de 4 °C à 12 °C, la masse volumique baisse de moins de 0,05 %.

Cette anomalie gouverne les lacs. En automne, l'eau de surface refroidie est plus dense que l'eau située en dessous, donc elle coule, jusqu'à ce que tout le lac soit à environ 4 °C. Un refroidissement supplémentaire rend l'eau de surface plus légère, et non plus lourde, si bien qu'elle reste en haut, où elle gèle, tandis que le fond reste proche de 4 °C sous la glace flottante.

Quand chauffer fait rétrécir

L'anomalie de l'eau est d'origine structurale. La glace est un réseau ouvert, tenu par des liaisons hydrogène et plein de vide. La fusion l'effondre en partie, et les amas de type glace qui subsistent dans le liquide froid continuent de se défaire quand il se réchauffe, ce qui permet aux molécules de se rapprocher. Ce rétrécissement fait concurrence à la dilatation ordinaire des liaisons, et il l'emporte jusqu'à 3,98 °C.

Un élastique chargé d'un poids se raccourcit quand on le chauffe, pour une raison différente. Sa tension vient surtout de longues molécules en chaîne : une chaîne tendue a beaucoup moins de configurations possibles qu'une chaîne en pelote, donc une entropie plus basse, et la chaleur ramène les chaînes vers des formes plus courtes et désordonnées. La thermodynamique relie cela à un effet thermique sans aucun modèle moléculaire. Soit $f$ la tension et $L$ la longueur de l'élastique. L'énergie libre $F=U-TS$ varie alors de $dF=-SdT+fdL$. Comme $F$ est une fonction de $T$ et de $L$, ses dérivées secondes croisées sont égales, ce qui donne une relation de Maxwell :
${\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)}_L$

À longueur fixée, la tension du caoutchouc croît avec la température, donc le membre de droite est négatif : étirer le caoutchouc diminue son entropie, et l'élastique doit céder de la chaleur. Étiré rapidement, avant que cette chaleur ne s'échappe, l'élastique s'échauffe. Un fil d'acier maintenu à longueur fixée se comporte à l'inverse : le chauffer relâche son étirement, donc il perd de la tension, de $EA\alpha$ par kelvin pour une section $A$. Le signe s'inverse, et un étirement rapide refroidit l'acier, d'environ 0,1 K sous 100 MPa.

Problème résolu : la barre entre deux murs

La contrainte thermique peut être énorme, mais une barre élancée a une échappatoire. Ce problème chiffre les deux.

Légende

$L$	Longueur de la barre entre les murs.	$\mathrm{m}$
$a$	Côté de la section carrée de la barre.	$\mathrm{m}$
$F$	Force de compression entre chaque mur et la barre ; avant le flambement, $F=\sigma a^2$.	$\mathrm{N}$
$\delta$	Déplacement latéral du milieu de la barre incurvée, exagéré ici.	$\mathrm{m}$
$L/2$	Longueur du tronçon compris entre les deux points d'inflexion : la moitié de la barre.	$\mathrm{m}$

La figure 4 montre la barre d'aluminium de 1 m de l'animation, dont le rouleau est remplacé par un second mur rigide, de sorte qu'elle est encastrée à ses deux extrémités. Sa longueur est $L$ et sa section carrée a pour côté $a=10\mathrm{mm}$, donc pour aire $a^2=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ ; prenons $E=70\mathrm{GPa}$. Chaque mur pousse la barre avec la force $F$.

Supposons d'abord que la barre reste droite pendant toute la hausse de 200 K. Il faudrait la contrainte
$\sigma =E\alpha \Delta T=70\times 10^9\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 200\approx 3,2\times 10^8\mathrm{Pa}$
soit 322 MPa, ou $F=\sigma a^2=32\mathrm{kN}$ sur chaque mur. Même un alliage d'aluminium de construction résistant atteint sa limite d'élasticité vers 280 MPa : la barre serait donc écrasée plastiquement, raccourcie de façon permanente.

En réalité, une barre élancée cède bien plus tôt, par flambement. La figure la montre après qu'elle s'est incurvée latéralement, son milieu déplacé de $\delta$ ; le contour en tirets est la barre droite, et l'incurvation est exagérée. Comme les extrémités encastrées ne peuvent pas tourner, la barre prend la forme d'une onde entière, avec des points d'inflexion (les points) au quart et aux trois quarts de sa longueur. En un point d'inflexion, la courbure de la barre s'annule ; comme le moment fléchissant est proportionnel à la courbure, il y est nul, comme à une extrémité libre de tourner. Le tronçon compris entre les points, de longueur $L/2$, se comporte donc comme une barre aux extrémités libres de tourner, et une telle barre flambe sous la force ${\pi }^{2}EI/(L/2{)}^2$. Ici $I$ est le moment quadratique de la section, $I=a^4/12$ pour un carré. Une barre encastrée à ses deux bouts fléchit donc latéralement dès que la force de compression atteint $4{\pi }^{2}EI/L^2$, et en divisant par l'aire $a^2$ on obtient la contrainte critique
${\sigma }_c=\frac{4{\pi }^{2}EI}{a^2{L}^2}=\frac{{\pi }^{2}E{a}^2}{3L^2}\approx 23\mathrm{MPa}$

La barre flambe quand la contrainte thermique atteint cette valeur. En écrivant $E\alpha \Delta T_c={\sigma }_c$, le module disparaît :
$\Delta T_c=\frac{{\pi }^2{a}^2}{3\alpha L^2}=\frac{{\pi }^2\cdot 0,01^2}{3\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 1^2}\approx 14\mathrm{K}$

Au bout de 14 K seulement, alors qu'une barre libre ne se serait allongée que de 0,33 mm, la barre encastrée fléchit latéralement. Les rails flamberaient de la même façon les jours de forte chaleur si les traverses et le ballast ne les retenaient pas latéralement.

Limites de validité

La loi linéaire repose sur deux hypothèses. La première, $\alpha \Delta T\ll 1$, est toujours vérifiée pour les solides : 1000 K ne modifient l'acier que d'environ 1,2 %. La seconde, un $\alpha$ constant, est la vraie limite : sur de larges plages, il faut intégrer $\alpha$. Près du zéro absolu, la dilatation s'éteint : le $\alpha$ du cuivre à 50 K n'est qu'environ le quart de sa valeur à température ambiante, $17\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$. Lors d'un changement d'état, la loi tombe brutalement en défaut : l'eau se dilate de 9 % en gelant, et l'acier se contracte légèrement quand sa structure cristalline change, vers 900 °C.

Les formules supposent aussi une température uniforme. Versez de l'eau bouillante dans un verre épais et froid : la surface intérieure s'échauffe d'environ 50 K tandis que l'extérieur reste frais. La couche chaude est bloquée par la couche froide, comme la tige entre les murs, et les contraintes sont de l'ordre de $E\alpha \Delta T\approx 70\times 10^9\cdot 9\times 10^{-6}\cdot 50\approx 30\mathrm{MPa}$, comparables à la résistance pratique du verre ordinaire. Le verre borosilicaté, avec $\alpha \approx 3,3\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, n'en subit qu'environ un tiers, ce qui explique qu'on l'emploie pour la verrerie de cuisson et de laboratoire.

Les gaz ne suivent rien de tout cela. À pression constante, un gaz parfait a $\beta =1/T$, soit environ $3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ à 20 °C, seize fois la valeur de l'eau.

Ce qui vient ensuite

Température et chaleur fournit le kelvin ; Élasticité : loi de Hooke, contrainte et déformation fournit $\sigma =E\epsilon$, à la base de la contrainte thermique et du flambement. Théorie cinétique des gaz explique pourquoi un gaz se dilate de la fraction $1/T$ par kelvin, et Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques met cette dilatation au travail. L'anomalie de 4 °C façonne la convection de Conduction, convection et rayonnement, la glace revient dans Changements d'état et chaleur latente, et l'entropie d'un élastique annonce Le second principe de la thermodynamique et l'entropie.

La dilatation touche même la géométrie. Imaginez une plaque froide en son centre et chaude à sa périphérie, mesurée par des habitants munis de règles faites du matériau de la plaque. Près du bord, leurs règles s'allongent : ils comptent donc moins de longueurs de règle autour d'un cercle que d'un bord à l'autre. Les cercles centrés sur le milieu de la plaque mesurent moins de $2\pi$ fois leur rayon, et les angles d'un triangle totalisent plus de $180^{\circ }$, comme sur une sphère. Dans La gravitation, courbure de l'espace-temps, la masse fait subir aux règles et aux horloges ce que la chaleur leur fait subir ici.