Фазовые переходы и скрытая теплота

Почему тающий лёд и кипящая вода поглощают теплоту, не нагреваясь, и сколько теплоты требует каждый переход: $Q = λm$ и $Q = L m$ , где $λ = 334 кДж / кг$ и $L = 2260 кДж / кг$ для воды.

1 кг льда нагревают от −20 °C до пара при 120 °C: температура растёт, останавливается на 0 °C, пока лёд плавится, снова растёт и останавливается на 100 °C, пока вода выкипает.

Перед этой темой: Температура и теплота

Начальный

Главное

В твёрдом теле молекулы занимают постоянные места, в жидкости скользят друг мимо друга, а в газе далеко друг от друга и свободно летают.
Пока лёд тает или вода кипит, температура не меняется, хотя теплота продолжает поступать.
Эта скрытая теплота рвёт связи между молекулами; на кипение её нужно примерно в семь раз больше, чем на плавление.
При замерзании и конденсации теплота возвращается, а испарение охлаждает — так нас охлаждает пот.

Шаг 1. Вещество бывает в трёх привычных состояниях. В твёрдом теле, например во льду, молекулы занимают постоянные места в правильном порядке и могут лишь дрожать на месте. В жидкости они остаются рядом, но скользят друг мимо друга. В газе, например в паре, они далеко друг от друга и свободно летают.

Шаг 2. Начните нагревать лёд из морозилки: термометр ползёт вверх, но только до 0 °С. А дальше — сюрприз: пламя продолжает отдавать теплоту, а термометр стоит на 0 °С, пока не растает последний кусочек льда. Теплота уходит на разрыв связей, удерживающих молекулы на местах, а не на то, чтобы они двигались быстрее. Раз она словно исчезает, её называют скрытой теплотой.

Шаг 3. То же самое происходит при 100 °С: вода кипит, внутри неё рождаются пузыри пара, а температура не меняется, пока вся вода не превратится в пар. Кипение требует примерно в семь раз больше теплоты, чем плавление, ведь каждая молекула должна полностью оторваться от соседей.

Шаг 4. Прокрутите плёнку назад — и теплота вернётся: замерзающая вода и конденсирующийся пар её отдают. Вода испаряется и без кипения: самые быстрые молекулы вылетают с поверхности и уносят энергию — так пот охлаждает кожу.

Масло — смесь жиров, а у стекла нет правильного порядка молекул, поэтому они размягчаются постепенно, а не плавятся при одной температуре.

В анимации следите, как термометр останавливается на 0 °С, пока рвутся связи кристалла, а затем на 100 °С, пока молекулы одна за другой улетают. Кипение показано в четыре раза быстрее.

Проверьте себя: почему напиток со льдом держится около 0 °С, пока лёд не растает? (Теплота из тёплой комнаты идёт на таяние льда, а не на нагревание напитка.)

Средний

Главное

$Q = c m Δ T$ меняет температуру; $Q = λm$ и $Q = L m$ меняют агрегатное состояние при постоянной температуре ( $Δ T = 0$ ).
Вода: $λ = 334 кДж / кг$ , $L = 2260 кДж / кг$ ; испарить 1 кг — более чем в пять раз больше теплоты, чем нагреть его от 0 до 100 °С.
Чтобы превратить 1 кг льда при −20 °С в пар при 120 °С, нужно около 3094 кДж, из них 73 % — на кипение.
Температура кипения зависит от давления: около 71 °С на Эвересте и около 120 °С в скороварке.

Два вида теплоты

Когда веществу передают теплоту, энергия может пойти двумя путями. Она может ускорить молекулы — тогда термометр показывает рост температуры; это явная теплота (теплота нагревания), $Q = c m Δ T$ , знакомая по уроку «Температура и теплота». А может растащить молекулы друг от друга, не ускоряя их, — тогда вещество меняет состояние при постоянной температуре; это скрытая теплота.

Удельная теплоёмкость $c$ относится к фазе, а не к веществу в целом. У воды она составляет около 2100 Дж/(кг·К) для льда, 4180 Дж/(кг·К) для жидкости и 2010 Дж/(кг·К) для пара, поэтому одно и то же количество теплоты нагревает лёд примерно вдвое сильнее, чем жидкую воду.

Скрытая теплота меняет состояние

Пока вещество меняет состояние, теплота пропорциональна массе той части, которая изменила состояние:
$Q = λm (плавление, кристаллизация)$
$Q = L m (парообразование, конденсация)$
Здесь $λ$ — удельная теплота плавления, $L$ — удельная теплота парообразования; обе измеряются в Дж/кг, а температура всё это время постоянна: $Δ T = 0$ .

Для воды при атмосферном давлении $λ = 334 кДж / кг$ при 0 °C и $L = 2260 кДж / кг$ при 100 °C. На кипение килограмма нужно в 6,8 раза больше теплоты, чем на плавление, и в 5,4 раза больше, чем на нагревание от 0 до 100 °C: плавление лишь ослабляет связи между молекулами, а при кипении каждая молекула отрывается от соседей полностью.

Переход идёт в обе стороны при одной и той же температуре: при замерзании килограмма воды выделяется 334 кДж, при конденсации килограмма пара — 2260 кДж. Выделяемая теплота считается отрицательной: при кристаллизации $Q = - λm$ .

Тепловой баланс при изменении состояния

Эти четыре соотношения, применяемые этап за этапом, решают почти любую задачу этой темы:

$Q = c m Δ T$
$Q = λm (плавление, кристаллизация)$
$Q = L m (парообразование, конденсация)$
$λ = 334 кДж / кг, L = 2260 кДж / кг (вода)$

Разбейте процесс на этапы: на каждом либо меняется температура одной фазы (тогда берут $c$ этой фазы), либо меняется состояние при постоянной температуре (тогда берут $λm$ или $L m$ ); ни одно слагаемое $c m Δ T$ не должно пересекать 0 °C или 100 °C. В теплоизолированном сосуде сумма всех теплот равна нулю, включая скрытые. Прежде чем искать конечную температуру, проверьте, хватает ли теплоты, чтобы переход завершился; если нет, смесь остаётся при температуре перехода, и в ней присутствуют обе фазы.

Пример: лёд из анимации

Килограмм льда при −20 °C нагревают при давлении 1 атм до пара при 120 °C. Считаем в килоджоулях, а $c$ берём в кДж/(кг·К), как на экране:

Нагревание льда от −20 до 0 °C: $Q_{1} = c_{льда} m Δ T = 2, 1 \cdot 1 \cdot 20 = 42 кДж$
Плавление при 0 °C: $Q_{2} = λm = 334 \cdot 1 = 334 кДж$
Нагревание воды от 0 до 100 °C: $Q_{3} = c_{воды} m Δ T = 4, 18 \cdot 1 \cdot 100 = 418 кДж$
Кипение при 100 °C: $Q_{4} = L m = 2260 \cdot 1 = 2260 кДж$
Нагревание пара от 100 до 120 °C: $Q_{5} = c_{пара} m Δ T = 2, 01 \cdot 1 \cdot 20 = 40, 2 кДж$

Сумма $42 + 334 + 418 + 2260 + 40, 2 \approx 3094 кДж$ — это итоговое значение на индикаторе $Q$ , а индикатор $T$ заканчивает на 120 °C. Одно кипение забирает 73 % всей теплоты.

Идеальная горелка даёт мощность $P = 2 кВт$ , поэтому каждый этап длится $t = Q / P$ : плавление — $334 000/2000 = 167 с$ , кипение — $2260 000/2000 = 1130 с$ , почти 19 минут, а весь путь — 1547 с, то есть итоговые 25,8 мин на индикаторе часов. Анимация идёт не в реальном масштабе времени: кипение показано в четыре раза быстрее, а короткие нагревания — в четыре раза медленнее, о чём говорят фиолетовые подписи.

На наклонных этапах строка формулы показывает $Q = c m Δ T$ с $c$ текущей фазы; на горизонтальных она меняется на $Q = λm$ или $Q = L m$ при $Δ T = 0$ , и индикатор $T$ замирает, а $Q$ продолжает расти. Золотые стрелки у пламени не меняются: теплота поступает равномерно. В рамке с молекулами серые связи кристалла рвутся одна за другой при 0 °C, а при 100 °C молекулы вылетают по одной, и на каждую из 24 нарисованных молекул приходится $2260/24 \approx 94 кДж$ .

Пример: лёд в кувшине с лимонадом

В теплоизолированный кувшин с 300 г лимонада при 24 °C бросают 100 г льда при −10 °C. Считая лимонад водой, найдите конечную температуру.

Сначала сравним, сколько теплоты нужно льду и сколько может отдать лимонад. Нагревание льда до 0 °C требует $0, 10 \cdot 2100 \cdot 10 = 2100 Дж$ , а плавление всего льда — $0, 10 \cdot 334000 = 33400 Дж$ , итого 35 500 Дж; но лимонад, остывая до 0 °C, может отдать не больше $0, 30 \cdot 4180 \cdot 24 \approx 30100 Дж$ . Значит, напиток остановится ровно на 0 °C: оставшиеся 28 000 Дж расплавят $28 000/334 000 \approx 0, 084 кг$ , и 16 г льда так и будут плавать.

Если взять всего 50 г льда, на нагревание и плавление нужно $1050 + 16700 = 17750 Дж$ , так что весь лёд растает, и уравнение теплового баланса принимает вид
$0, 30 \cdot 4180 \cdot (24 - T) = 17750 + 0, 05 \cdot 4180 \cdot T$
Отсюда получается около 8,4 °C, тогда как 50 г воды при 0 °C оставили бы напиток при 20,6 °C: большая часть охлаждения происходит за счёт плавления.

Как читать график нагревания

Постройте зависимость показаний индикатора $T$ от показаний индикатора $Q$ — получится график нагревания, составленный из отрезков прямых. Наклонный участок имеет наклон $1/ (c m)$ , поэтому участок воды вдвое положе, чем участки льда и пара. Длина горизонтального участка вдоль оси $Q$ равна $λm$ при плавлении и $L m$ при кипении: 334 кДж и 2260 кДж. При постоянной мощности горелки график зависимости от времени выглядит так же, ведь $t = Q / P$ .

Если читать график в обратную сторону, это график охлаждения: замерзающая жидкость перестаёт остывать, потому что выделяющаяся скрытая теплота возмещает теплоту, уходящую в окружающую среду; так измеряют температуры плавления. Сливочное масло и воск — смеси, а у стекла нет правильного кристалла, поэтому ни у одного из них нет горизонтального участка: они размягчаются постепенно.

Частые ошибки

Если прибавить огонь, кипящая вода при 1 атм не станет горячее 100 °C, она лишь быстрее выкипит: горелка мощностью 4 кВт выпаривает килограмм воды из анимации за 9,4 минуты, а не за 19.
Теплота — не температура: пока тает килограмм льда, поступает 334 кДж, а термометр стоит на 0 °C. Энергия перестраивает молекулы, а не ускоряет их.
Следите за единицами $λ$ и $L$ : 334 кДж/кг — это 334 Дж/г, поэтому на плавление 20 г льда нужно $20 \cdot 334 = 6680 Дж$ . Если смешать граммы с джоулями на килограмм, вы ошибётесь в 1000 раз.
Значения 0 °C и 100 °C верны только при 1 атм. На Эвересте, где давление около трети атмосферы, вода кипит примерно при 71 °C, а в скороварке при давлении около 2 атм — примерно при 120 °C.
Испарение — не кипение: оно идёт с поверхности при любой температуре, а кипение требует пузырьков пара внутри жидкости.

Где это встречается

Пар обжигает, потому что каждый грамм, конденсируясь на коже, отдаёт 2260 Дж, а грамм воды при 100 °C, остывая до температуры тела, отдаёт лишь около 260 Дж. Пот охлаждает нас, испаряясь: при температуре кожи $L \approx 2420 кДж / кг$ , поэтому литр пота в час уносит около 670 Вт. В морозные ночи садоводы опрыскивают плодовые деревья водой: замерзая, она выделяет 334 кДж на килограмм и удерживает почки около 0 °C. Холодильник внутри испаряет рабочую жидкость, забирая скрытую теплоту у продуктов, а сзади конденсирует её, отдавая теплоту на кухню.

В облаках конденсирующийся пар выделяет скрытую теплоту, которая питает грозы. Эти идеи возвращаются в уроках «Теплопроводность, конвекция и излучение», «Молекулярно-кинетическая теория газов» и «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели».

Продвинутый

Главное

Теплота перехода — скачок энтальпии, $q = Δ u + p Δ v$ : при 1 атм около 7,5 % теплоты парообразования уходит на оттеснение атмосферы.
У сосуществующих фаз равны $g = h - T s$ , что фиксирует $T$ при заданном $p$ ; энтропия скачком растёт на $Δ s = q / T$ .
Цикл Карно поперёк «полки» кипения даёт уравнение Клапейрона — Клаузиуса: $d p / d T = q / (T Δ v)$ ; для льда $Δ v < 0$ .
Плотность пара меняется как $e^{- W / k_{B} T}$ , где $W$ — энергия отрыва одной молекулы, поэтому давление пара круто растёт с $T$ .

Молекулярная картина «полки»

«Полка» на графике нагревания — это участок, где теплота продолжает поступать, а температура не растёт. Чтобы понять, куда уходит эта энергия, посмотрим на молекулы.

Во льду каждая молекула воды связана водородными связями с четырьмя соседями в рыхлой гексагональной решётке и колеблется около своего неподвижного места. Температура измеряет среднюю кинетическую энергию этого дрожания. Ниже 0 °C подводимая теплота усиливает колебания, и термометр показывает рост. При температуре плавления подводимая энергия, наоборот, идёт на разрыв связей: она превращается в потенциальную энергию по мере разрушения решётки, средняя кинетическая энергия остаётся прежней, и температура стоит на месте, пока не исчезнет весь кристалл.

Анимация рисует это в виде упрощённой схемы. Молекулы кристалла колеблются с амплитудой, растущей как $T$ , потому что средний квадрат смещения при колебании пропорционален температуре. На «полке» связи рвутся одна за другой, а жидкость упакована плотнее рыхлого кристалла, ведь вода плотнее льда.

Две скрытые теплоты измеряют эти две работы. Удельная теплота плавления, $λ = 334 кДж / кг$ , плавит лёд при 0 °C; удельная теплота парообразования, $L = 2260 кДж / кг$ , заставляет воду кипеть при 100 °C. Плавление лишь ослабляет сетку водородных связей, поэтому $λ$ составляет всего 12 % от 2834 кДж/кг, нужных, чтобы превратить лёд сразу в пар. При кипении надо освободить каждую молекулу от всех её соседей, поэтому $L \approx 6, 8 λ$ .

Энергия на одну молекулу равна $L M / N_{A}$ , где $M = 0, 018 кг / моль$ — молярная масса, а $N_{A}$ — число Авогадро: $L M / N_{A} \approx 6, 8 \times 1 0^{- 20} Дж \approx 0, 42 эВ$ . Это примерно в 13 раз больше $k_{B} T$ при 100 °C — типичной тепловой энергии, где $k_{B}$ — постоянная Больцмана. Молекула вылетает, только если случайно накопит намного больше своей средней доли энергии. Вылет поэтому — редкое событие, частота которого круто зависит от температуры, и это ниже вернётся в виде крутой кривой давления пара.

Скрытая теплота как скачок энтальпии

**Рисунок 1.** Один килограмм кипит при постоянном давлении $p$ : теплота $L$ поступает, пар прибавляет объём $Δ v$ и поднимает поршень. Столбик показывает, как $L$ делится на $Δ u$ и $p Δ v$ для воды при 1 атм. Цилиндр нарисован без соблюдения масштаба.

Куда именно уходит скрытая теплота? Часть её разделяет молекулы, а часть оплачивает место, которое занимает пар. Если разделить эти части, видно, что скрытая теплота — это изменение энтальпии, величина, с помощью которой в остальной части урока описаны все фазовые переходы.

На рисунке 1 килограмм жидкости кипит в цилиндре, закрытом свободно скользящим поршнем. Стрелки на поршне изображают давление $p$ окружающей среды, которое остаётся постоянным. Стрелки внизу — подводимая теплота $L$ . Когда жидкость превращается в пар, объём растёт на $Δ v$ — это скобка рядом с цилиндром, — и поршень поднимается против давления $p$ . Для подъёма нужна работа $p Δ v$ — энергия, которая покидает вещество и уходит в окружающую среду. Остаток, $Δ u$ , остаётся внутри как прирост внутренней энергии: энергия, затраченная на разведение молекул. Столбик справа складывает обе части, и вместе они составляют $L$ .

Чтобы записать это уравнением, обозначим строчными буквами величины, отнесённые к килограмму: $u$ — внутренняя энергия, $v$ — объём, $h = u + p v$ — энтальпия. Первое начало термодинамики говорит, что полученная теплота равна приросту внутренней энергии плюс совершённая работа, $L = Δ u + p Δ v$ . Поскольку $p$ постоянно, $p Δ v$ — то же самое, что $Δ (p v)$ , и поэтому теплота в точности равна скачку энтальпии:

$L = Δ h = Δ u + p Δ v$

Для воды, кипящей при 1 атм (101 325 Па), каждый килограмм расширяется от 0,00104 м³ жидкости до 1,673 м³ пара, поэтому $p Δ v = 101325 \cdot 1, 672 \approx 169 кДж / кг$ . Лишь 7,5 % от $L$ уходит на оттеснение атмосферы; остальные 2091 кДж/кг разделяют молекулы. Столбик на рисунке 1 нарисован в этих пропорциях.

Плавление — другое дело. Лёд при таянии сжимается примерно на 8 %, поэтому $Δ v$ мало и отрицательно, $p Δ v \approx - 9 Дж / кг$ : атмосфера совершает над льдом ничтожную работу, и $λ$ — почти целиком внутренняя энергия.

Почему температура не растёт

**Рисунок 2.** Удельные энергии Гиббса твёрдого тела, $g_{s}$ , и жидкости, $g_{l}$ , при одном давлении. Каждая убывает с наклоном $- s$ , у жидкости — быстрее. Нижняя кривая, нарисованная толстой, — устойчивая фаза, а пересекаются они в точке плавления $T_{m}$ . Без соблюдения масштаба.

Молекулярная картина говорит, что делает теплота на «полке». Термодинамика объясняет, почему вещество при смене фазы обязано оставаться при одной температуре. Инструмент здесь — удельная энергия Гиббса $g = h - T s$ , где $s$ — удельная энтропия. При постоянных температуре и давлении система устанавливается в состоянии с наименьшей энергией Гиббса, подобно тому как механическая система устанавливается в состоянии с наименьшей потенциальной энергией.

На рисунке 2 $g$ изображена как функция $T$ при одном фиксированном давлении, для твёрдого тела, $g_{s}$ , и для жидкости, $g_{l}$ . При каждой температуре устойчива та фаза, чья кривая лежит ниже, и эта часть её кривой нарисована толстой: у твёрдого тела — левее $T_{m}$ , у жидкости — правее.

Почему кривые пересекаются? При постоянном давлении малое изменение $g$ равно $d g = - s d T$ , поэтому каждая кривая убывает с наклоном $- s$ . Посмотрите на два маленьких треугольника: на одном и том же шаге $d T$ кривая твёрдого тела опускается на $s_{s} d T$ , а кривая жидкости — на $s_{l} d T$ . Жидкость — более беспорядочная фаза, поэтому $s_{l} > s_{s}$ и её кривая падает быстрее. При низкой температуре кривая жидкости лежит выше, так что более крутая кривая обязана пересечь более пологую, и делает это один раз, в точке плавления $T_{m}$ : ниже неё меньше $g$ у твёрдого тела, и оно устойчиво, выше — у жидкости. Кроме того, обе кривые загибаются вниз, потому что энтропия каждой фазы растёт при нагревании.

Теперь приведём лёд и воду в контакт. У них общие $T$ и $p$ , и они свободно обмениваются молекулами. Переход килограмма из твёрдого состояния в жидкое меняет энергию Гиббса на $g_{l} - g_{s}$ , поэтому молекулы перетекают в фазу с более низкой кривой, пока другая фаза не исчезнет. Вместе они могут оставаться только там, где ни одно направление ничего не даёт, $g_{s} = g_{l}$ : в точке пересечения, при $T_{m}$ и больше нигде. Вот почему температура не растёт. Пока присутствуют обе фазы, она закреплена на $T_{m}$ , и подводимая теплота может изменить лишь пропорции: после подведения теплоты $Q$ на «полке» плавления расплавилась доля $Q / (λm)$ массы $m$ .

Пересечение задаёт и скачок энтропии. Запись $g_{s} = g_{l}$ в виде $h_{s} - T s_{s} = h_{l} - T s_{l}$ даёт $Δ h = T Δ s$ , а так как $Δ h$ — это удельная теплота перехода $q$ ( $λ$ при плавлении, $L$ при парообразовании),

$Δ s = \frac{q}{T}$

Для воды это 1,22 кДж/(кг·К) при плавлении и 6,06 кДж/(кг·К) при кипении. На моль значение для кипения составляет 109 Дж/(моль·К). Правило Трутона — наблюдение, а не закон — гласит, что многие простые жидкости при кипении получают примерно 87 Дж/(моль·К). У воды прирост больше, потому что водородные связи делают жидкость необычно упорядоченной, и превращение её в пар добавляет больше беспорядка.

График нагревания

Экспертный график анимации показывает температуру $T$ в зависимости от подведённой теплоты $Q$ , пока 1 кг льда при −20 °C превращается в пар при 120 °C. На нём участки двух видов. Внутри одной фазы теплота повышает температуру, и линия прямая, с наклоном

$\frac{d T}{d Q} = \frac{1}{c m}$

где $c$ — удельная теплоёмкость. При $m = 1 кг$ и $c$ , равной 2,1; 4,18 и 2,01 кДж/(кг·К), наклоны равны 0,48 К/кДж для льда, 0,24 К/кДж для воды и 0,50 К/кДж для пара: жидкую воду труднее всего нагреть. На «полке» температура фиксирована, и значение имеет только ширина: $λm = 334 кДж$ для плавления и $L m = 2260 кДж$ для кипения. Вся ось занимает 3094 кДж, а одна лишь «полка» кипения — 73 % от неё.

Фазовая диаграмма

График нагревания — это один опыт при одном давлении. Фазовая диаграмма показывает сразу для всех давлений и температур, какая фаза устойчива и где могут сосуществовать две фазы.

Рисунок 3 — диаграмма $p$ – $T$ воды; давление отложено по логарифмической оси, чтобы уместились и очень низкие давления, и атмосферное. У каждой фазы своя область: куб отмечает твёрдое тело, капля — жидкость, пузырьки — пар. Вдоль линий между областями сосуществуют две фазы, а три линии сходятся в тройной точке $t$ , 0,01 °C и 612 Па, — единственной точке, где сосуществуют все три фазы.

Опыт с нагреванием при постоянном давлении — это горизонтальный путь слева направо. Точка в анимации движется по пунктирной прямой $p_{1}$ , 1 атм. Она останавливается там, где путь пересекает почти вертикальную линию плавления, при $T_{m}$ , 0 °C, и снова там, где он пересекает кривую парообразования, при $T_{1}$ , 100 °C: эти два пересечения и есть две «полки». В высоких горах давление ниже — это пунктирная прямая $p_{2}$ , треть атмосферы. Этот путь раньше встречает поднимающуюся кривую парообразования, поэтому температура кипения $T_{2}$ ниже. Линия плавления нарисована наклонённой назад гораздо сильнее, чем на самом деле; её истинный наклон вычислен ниже.

Ниже давления тройной точки горизонтальный путь вообще не входит в область жидкости. Вместо этого он пересекает кривую сублимации, где лёд превращается прямо в пар. Так ведёт себя снег в холодный, сухой, солнечный день, когда парциальное давление водяного пара в воздухе намного меньше 612 Па. В тройной точке кривая сублимации круче кривой парообразования, потому что её теплота перехода больше, а следующий раздел покажет, что наклон растёт вместе с теплотой перехода. Эта теплота составляет около 2834 кДж/кг: $λ$ плюс $L$ , измеренная при 0 °C, то есть 2501 кДж/кг, а не 2260 кДж/кг, как при 100 °C.

Вывод уравнения Клапейрона — Клаузиуса

Линии рисунка 3 не произвольны. Их наклон $d p / d T$ определяется только скрытой теплотой и изменением объёма, а рассуждению не нужно ничего, кроме второго начала. Идея состоит в том, чтобы запустить крошечную машину Карно, у которой рабочим ходом служит кипение.

Рисунок 4 — диаграмма $p$ – $v$ . Внутри купола жидкость и пар сосуществуют; давление при данной температуре там закреплено на значении давления пара, поэтому каждая изотерма — горизонтальная прямая. Проследим килограмм по циклу. Вдоль верхней стороны, при температуре $T$ и давлении пара $p$ , жидкость полностью испаряется: её объём растёт от $v_{l}$ до $v_{g}$ , а она поглощает теплоту $L$ . Вниз по наклонной правой стороне влажный пар адиабатно расширяется, не обмениваясь теплотой, и охлаждается до $T - Δ T$ , так что его давление падает на $Δ p$ . Вдоль нижней стороны, при $T - Δ T$ и меньшем давлении $p - Δ p$ , он конденсируется и отдаёт теплоту. Вверх по наклонной левой стороне адиабатное сжатие возвращает его в исходное состояние.

Теперь найдём работу за цикл двумя способами. Геометрически чистая работа равна площади внутри цикла: это тонкая полоска с основанием $v_{g} - v_{l}$ и высотой $Δ p$ , закрашенная полоска, поэтому $w = Δ p (v_{g} - v_{l})$ . Термодинамически любая обратимая машина, работающая между $T$ и $T - Δ T$ , имеет КПД Карно $Δ T / T$ , то есть превращает в работу эту долю поглощённой теплоты: $w = L Δ T / T$ . Приравняв оба выражения и устремив $Δ T$ к нулю, получим уравнение Клапейрона — Клаузиуса для удельной теплоты перехода $q$ (при кипении $q = L$ ), где $Δ v = v_{g} - v_{l}$ :

$\frac{d p}{d T} = \frac{q}{T Δ v}$

Энергия Гиббса даёт тот же результат. Вдоль линии сосуществования обе фазы сохраняют $g_{l} = g_{g}$ , поэтому и их изменения совпадают, $d g_{l} = d g_{g}$ . В общем случае $d g = v d p - s d T$ , значит, $v_{l} d p - s_{l} d T = v_{g} d p - s_{g} d T$ , откуда $d p / d T = Δ s /Δ v$ ; при $Δ s = q / T$ это то же уравнение.

Температуры кипения и давление пара

Уравнением становится легко пользоваться при двух приближениях, и оба хороши вдали от критической точки. Пар занимает гораздо больше места, чем жидкость, $v_{g} ≫ v_{l}$ , поэтому $Δ v \approx v_{g}$ . И пар почти идеальный газ, $v_{g} \approx RT / (Mp)$ , где $R$ — универсальная газовая постоянная. Подстановка обоих даёт

$\frac{d ( l n p )}{d T} = \frac{qM}{R T ^{2}}$

а если считать $q$ постоянной, то интегрирование между двумя точками $(T_{1}, p_{1})$ и $(T_{2}, p_{2})$ кривой даёт

$ln (\frac{p _{2}}{p _{1}}) = - (\frac{qM}{R}) (\frac{1}{T _{2}} - \frac{1}{T _{1}})$

Для воды $qM / R \approx 4900 К$ (при кипении $q = L$ ). Начнём с уровня моря, где $p_{1}$ равно 1 атм, а температура кипения $T_{1} = 373 К$ (рисунок 3). В горах $p_{2} = p_{1} /3$ , поэтому $ln (p_{2} / p_{1}) = - ln 3$ , и формула даёт $1/ T_{2} = 1/373 + ln 3/4900$ (в $К^{- 1}$ ): $T_{2} = 344 К$ , около 71 °C. При 2 атм та же формула даёт около 121 °C — примерно такая температура внутри скороварки.

Кривую можно читать двояко: как давление пара жидкости при каждой температуре или как её температуру кипения при каждом внешнем давлении. Это одна и та же кривая, потому что жидкость кипит, когда пузырьки её собственного пара могут расти внутри неё, а это происходит, как только давление её пара достигает давления вокруг.

Для плавления то же уравнение объясняет почти вертикальную линию. При $Δ v = - 9, 07 \times 1 0^{- 5} м^{3} / кг$ и 273 К оно даёт $d p / d T \approx - 13, 5 МПа / К$ . Наклон огромный и отрицательный: чтобы понизить температуру плавления на 1 К, нужно 133 атмосферы, и линия слегка наклонена назад, к более низким температурам при более высоких давлениях. Вода здесь необычна; у большинства веществ твёрдое тело плотнее жидкости, $Δ v > 0$ , и линия плавления наклонена вперёд.

Кинетическая теория объясняет, почему кривая кипения так круто растёт. Чтобы вылететь из жидкости, молекуле нужна энергия $W \approx qM / N_{A}$ , а доля молекул с такой энергией примерно пропорциональна множителю Больцмана $e^{- W / k_{B} T}$ . Поскольку $W / k_{B} T = qM / (RT)$ , это та же экспонента, что даёт проинтегрированная формула, $p \propto e^{- qM / (RT)}$ . В результате давление пара воды растёт на 3,5 % на каждый кельвин при 100 °C и примерно на 6 % на кельвин при 20 °C. А поскольку вылетают самые быстрые молекулы, оставшиеся в среднем медленнее: испаряющаяся жидкость остывает.

Задача: тот же лёд в горах

Возьмём килограмм льда при −20 °C из анимации и её идеальную горелку мощностью 2 кВт на вершину Эвереста, где давление примерно треть атмосферы: пунктирная прямая $p_{2}$ на рисунке 3. Сколько теплоты и времени потребуется, чтобы превратить весь лёд в пар? На уровне моря нужно 3054 кДж — столько показывает индикатор $Q$ , когда выкипает последняя вода, — и 1527 с: 42 кДж на нагревание льда, 334 кДж на его плавление, 418 кДж на нагревание воды и 2260 кДж на её кипение.

Нагревание и плавление льда. Температура плавления почти не меняется, как и подсказывает почти вертикальная линия плавления на рисунке 3. Давление падает на 68 кПа, что повышает температуру плавления всего на $68 000/ (13, 5 \times 1 0^{6}) \approx 0, 005 К$ , так что первые два этапа по-прежнему требуют 42 кДж и 334 кДж.

Нагревание воды. Вода теперь кипит примерно при 71 °C — это точка $T_{2}$ на рисунке 3, — поэтому её нагревание от 0 °C требует $4, 18 \cdot 71 \approx 297 кДж$ вместо 418 кДж.

Кипение. Скрытая теплота при 71 °C — не те 2260 кДж/кг, что при 100 °C. Чтобы найти её, воспользуемся тем, что энтальпия — функция состояния: любой путь между теми же двумя крайними состояниями даёт то же изменение. Поэтому вместо кипения при 71 °C сделаем обход: нагреем жидкость до 100 °C, вскипятим её там и охладим пар обратно до 71 °C. Пар ведёт себя почти как идеальный газ, энтальпия которого почти не зависит от давления, так что разные давления на пути обхода не важны:

$L (71^{\circ} С) \approx 4, 18 \cdot 29 + 2260 - 2, 01 \cdot 29 \approx 2323 кДж / кг$

Это близко к измеренным 2331 кДж/кг. В общем случае $L$ растёт со скоростью $c_{воды} - c_{пара} \approx 2, 2 кДж / (кг \cdot К)$ при понижении температуры кипения, то есть примерно на 2,2 кДж/кг на каждый кельвин: при более низкой температуре и жидкость, и пар содержат меньше энтальпии, но жидкость теряет больше, поэтому разрыв между ними, $L$ , увеличивается.

Всего $42 + 334 + 297 + 2323 \approx 2996 кДж$ , которые горелка выдаёт за 1498 с. На графике нагревания участок нагревания воды укорачивается на 121 кДж, а «полка» кипения, теперь при 71 °C, удлиняется на 63 кДж, так что вся работа обходится лишь на 2 % дешевле. Поэтому в горах готовить долго: энергия почти не меняется, но кастрюля, пока в ней вода, никогда не нагреется выше 71 °C, а скорость химических процессов при готовке определяется температурой, а не энергией.

Границы применимости

Всё сказанное выше считает скрытую теплоту постоянной, а пар — идеальным газом. Оба предположения приближённые, да и фазовый переход вовсе не обязан происходить там, где его указывает диаграмма.

Скрытая теплота зависит от температуры: $L$ равна 2501 кДж/кг при 0 °C и 2260 кДж/кг при 100 °C. Поэтому формула давления пара, проинтегрированная вниз от 100 °C с постоянной $L = 2260 кДж / кг$ , даёт при 20 °C 2,8 кПа вместо измеренных 2,34 кПа. Диаграмма в анимации использует среднее значение 2,40 МДж/кг, выбранное так, чтобы её кривая проходила и через тройную точку, и через 100 °C при 1 атм. В критической точке, 374 °C и 22,06 МПа, жидкость и пар становятся одинаковыми: $Δ v$ и $L$ обращаются в нуль, купол на рисунке 4 замыкается наверху, и «полка» кипения исчезает.

Новой фазе нужен зародыш — например, пылинка или уже имеющийся кристалл. Без него мелкие капли воды остаются жидкими при температурах намного ниже 0 °C, как в облаках при −20 °C; такую воду называют переохлаждённой. Когда переохлаждённая вода при −10 °C наконец замерзает, выделяющаяся скрытая теплота нагревает её обратно до 0 °C. Теплота от замерзания части воды должна нагреть всю воду на 10 К, поэтому сразу замерзает лишь доля $c Δ T / λ = 4, 18 \cdot 10/334 \approx 1/8$ , а остальная вода остаётся жидкой при 0 °C. Так же вода, нагретая в микроволновке в гладкой чашке, может подняться выше 100 °C, не закипев, — стать перегретой, — а потом бурно вскипеть.

Плавление под давлением слабо. Человек массой 70 кг на коньке, лезвие которого касается льда площадкой 3 мм на 10 см, давит на лёд примерно с 2,3 МПа, а это понижает температуру плавления лишь на 0,17 К. Скольжение гораздо лучше объясняют трение и тонкий неупорядоченный поверхностный слой на льду.

Не у каждого перехода есть чёткая «полка». Морская вода начинает замерзать при −1,9 °C и продолжает замерзать в некотором интервале температур, потому что остающийся рассол становится всё солонее. Стекло размягчается постепенно, вообще без скрытой теплоты. А у железа, которое теряет магнетизм при 770 °C, на этом месте виден пик удельной теплоёмкости, а не «полка».

Что дальше

Первое начало термодинамики и аргумент Карно разбирает урок «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели», а любая паровая электростанция работает за счёт кипения и конденсации воды. Скачок энтропии $Δ s = q / T$ относится к уроку «Второе начало термодинамики и энтропия», множитель Больцмана и максвелловское распределение скоростей вылетающих молекул — к уроку «Молекулярно-кинетическая теория газов». Расширение воды при замерзании на 9 %, из-за которого линия плавления наклонена назад, уже встречалось в уроке «Тепловое расширение». Уравнение Клапейрона — Клаузиуса формирует и погоду: воздух может удерживать примерно на 6–7 % больше пара на каждый кельвин потепления, поэтому более тёплая атмосфера выносит конвекцией вверх больше скрытой теплоты (см. урок «Теплопроводность, конвекция и излучение») и выделяет её в виде более сильных ливней.

Главные формулы

Количество теплоты при нагревании

Q = c m Δ T

Теплота, нужная для изменения температуры одной фазы, пропорциональна массе и изменению температуры; коэффициент $c$ — свойство этой фазы. Формула верна только между переходами: удельная теплоёмкость льда примерно вдвое меньше, чем у жидкой воды.

Обозначения
$Q$	поглощённая теплота (отрицательна, если теплота выделяется)	$Дж$
$c$	удельная теплоёмкость фазы	$Дж / (кг \cdot К)$
$m$	масса	$кг$
$Δ T$	изменение температуры	$К$

Когда верна: В пределах одной фазы и пока $c$ примерно постоянна. Ни в коем случае не через точку плавления или кипения: там процесс разбивают на этапы.

Пример: Лёд из анимации от −20 до 0 °C: $Q = 2100 \cdot 1 \cdot 20 = 42000 Дж$ .

Теплота плавления и кристаллизации

Q = λm (плавление, кристаллизация)

Пока вещество плавится, теплота рвёт связи между молекулами, а не ускоряет их, поэтому температура постоянна, а теплота просто пропорциональна массе расплавившейся части. Обратный переход, кристаллизация, выделяет столько же теплоты, $Q = - λm$ .

Обозначения
$Q$	теплота, поглощённая при плавлении	$Дж$
$λ$	удельная теплота плавления	$Дж / кг$
$m$	масса, изменившая фазу	$кг$

Когда верна: При температуре плавления для данного давления, $Δ T = 0$ . Сама $λ$ зависит от температуры, при которой идёт переход, то есть от давления.

Пример: Плавление 2 кг льда при 0 °C: $Q = 334 \cdot 2 = 668 кДж$ .

Теплота парообразования и конденсации

Q = L m (парообразование, конденсация)

При кипении теплота полностью отрывает каждую молекулу от соседей, температура остаётся постоянной, а теплота пропорциональна массе вещества, превратившегося в пар. Конденсация пара выделяет столько же теплоты, $Q = - L m$ .

Обозначения
$Q$	теплота, поглощённая при парообразовании	$Дж$
$L$	удельная теплота парообразования	$Дж / кг$
$m$	масса, превратившаяся в пар	$кг$

Когда верна: При температуре кипения для данного давления, $Δ T = 0$ . Сама $L$ зависит от температуры, при которой идёт переход: чем она ниже, тем $L$ больше.

Пример: Выпаривание 0,2 кг воды при 100 °C: $Q = 2260 \cdot 0, 2 = 452 кДж$ .

Скрытые теплоты воды

λ = 334 кДж / кг, L = 2260 кДж / кг (вода)

Плавление лишь ослабляет сетку водородных связей, а кипение освобождает каждую молекулу полностью, поэтому $L$ примерно в 6,8 раза больше $λ$ . Обе величины велики по сравнению с большинством веществ: для кипения этанола нужно около 850 кДж/кг.

Обозначения
$λ$	удельная теплота плавления	$Дж / кг$
$L$	удельная теплота парообразования	$Дж / кг$

Когда верна: $λ$ при 0 °C и $L$ при 100 °C, обе при 1 атм. С понижением температуры $L$ растёт: 2420 кДж/кг при температуре кожи и 2501 кДж/кг при 0 °C.

Пример: При горелке мощностью 2 кВт плавление 1 кг льда занимает $334 000/2000 = 167 с$ , а кипение 1 кг воды — 1130 с.

Наклон графика нагревания

\frac{d T}{d Q} = \frac{1}{c m}

На графике температуры в зависимости от подведённой теплоты одна фаза даёт прямую линию, потому что каждый джоуль повышает $T$ на $1/ (c m)$ . Чем больше теплоёмкость $c m$ , тем положе наклон; на «полке» наклон равен нулю.

Обозначения
$T$	температура образца	$К$
$Q$	подведённая к этому моменту теплота	$Дж$
$c$	удельная теплоёмкость имеющейся фазы	$Дж / (кг \cdot К)$
$m$	масса	$кг$

Когда верна: В пределах одной фазы, при равномерной температуре и без потерь теплоты; на «полке» плавления или кипения наклон равен нулю.

Пример: Для 1 кг из анимации: 0,48 К/кДж для льда, 0,24 К/кДж для воды, 0,50 К/кДж для пара.

Скачок энтропии при фазовом переходе

Δ s = \frac{q}{T}

Фазовый переход обратимо поглощает теплоту $q$ при постоянной температуре $T$ , поэтому энтропия растёт на $q / T$ . Это следует из равенства энергий Гиббса $g = h - T s$ двух фаз: $Δ h = T Δ s$ .

Обозначения
$Δ s$	изменение удельной энтропии	$Дж / (кг \cdot К)$
$q$	удельная теплота перехода	$Дж / кг$
$T$	температура перехода, в кельвинах	$К$

Когда верна: Для перехода при постоянных температуре и давлении; $T$ нужно брать в кельвинах.

Пример: Кипение воды: $Δ s = 2260 000/373, 15 \approx 6, 06 кДж / (кг \cdot К)$ .

Уравнение Клапейрона — Клаузиуса

\frac{d p}{d T} = \frac{q}{T Δ v}

Оно даёт наклон линии сосуществования на диаграмме $p$ – $T$ . Его можно получить из малого цикла Карно поперёк «полки», работа которого $Δ p Δ v$ должна быть равна $q Δ T / T$ , или из равенства энергий Гиббса двух фаз. Отрицательное $Δ v$ , как у льда, делает наклон отрицательным.

Обозначения
$p$	давление сосуществования (давление пара)	$Па$
$T$	температура перехода	$К$
$q$	удельная теплота перехода	$Дж / кг$
$Δ v$	удельный объём после перехода минус до него	$м^{3} / кг$

Когда верна: Точно для любого фазового перехода первого рода в чистом веществе, если все величины взяты на линии сосуществования.

Пример: Плавление льда: $d p / d T \approx 334 000/ (273, 15 \cdot (- 9, 07 \times 1 0^{- 5})) \approx - 13, 5 МПа / К$ .

Интегральная форма уравнения Клапейрона — Клаузиуса

ln (\frac{p _{2}}{p _{1}}) = - (\frac{qM}{R}) (\frac{1}{T _{2}} - \frac{1}{T _{1}})

Для пара вдали от критической точки объёмом жидкости можно пренебречь, а сам пар почти идеален, $v_{п} \approx RT / (Mp)$ . Если считать $q$ постоянной, уравнение интегрируется в эту форму: логарифм давления линейно зависит от $1/ T$ .

Обозначения
$p_{1}$	давление пара при $T_{1}$	$Па$
$p_{2}$	давление пара при $T_{2}$	$Па$
$T_{1}$	первая температура	$К$
$T_{2}$	вторая температура	$К$
$q$	удельная теплота парообразования	$Дж / кг$
$M$	молярная масса	$кг / моль$
$R$	газовая постоянная, 8,314	$Дж / (моль \cdot К)$

Когда верна: Заметно ниже критической точки и в интервале, где $q$ меняется мало (для воды — несколько десятков кельвинов).

Пример: Вода при $qM / R \approx 4900 К$ : при трети атмосферы она кипит примерно при 344 К, то есть при 71 °C.

Глоссарий

Фаза вещества: Форма вещества с одинаковыми свойствами во всём объёме: твёрдая, жидкая или газообразная. Лёд, жидкая вода и пар — три фазы одного вещества: молекулы те же, расположены по-разному.
Фазовый переход: Переход из одной фазы в другую: плавление и кристаллизация, парообразование и конденсация, сублимация (из твёрдого состояния в газообразное) и десублимация (обратно). При заданном давлении чистое вещество меняет фазу при одной определённой температуре.
Явная теплота: Теплота, которая меняет температуру тела, $Q = c m Δ T$ . Её, в отличие от скрытой теплоты, «чувствует» термометр.
Скрытая теплота: Теплота, поглощаемая или выделяемая, пока вещество меняет фазу при постоянной температуре: $Q = λm$ при плавлении, $Q = L m$ при парообразовании. Она идёт на потенциальную энергию молекул, а не на их движение, и возвращается при обратном переходе.
Температура плавления: Температура, при которой сосуществуют твёрдое тело и жидкость: 0 °C для воды при 1 атм. Жидкость замерзает при той же температуре, если только она не переохлаждена.
Температура кипения: Температура, при которой давление пара жидкости равно давлению вокруг неё, так что пузырьки пара могут образовываться внутри: 100 °C для воды при 1 атм и около 71 °C при трети атмосферы.
Испарение: Вылет молекул с поверхности жидкости при любой температуре ниже температуры кипения. Вылетают самые быстрые молекулы, поэтому оставшаяся жидкость остывает: так пот охлаждает кожу.
Давление насыщенного пара: Давление пара, находящегося в равновесии со своей жидкостью (или твёрдым телом) при данной температуре. У воды оно равно 2,34 кПа при 20 °C и 101,3 кПа при 100 °C и круто растёт с температурой.
График нагревания: График температуры в зависимости от подведённой теплоты (или от времени при постоянной мощности). Наклонные участки имеют наклон $1/ (c m)$ , а горизонтальные — «полки» — имеют длину $λm$ или $L m$ .
Фазовая диаграмма: Карта «давление — температура», показывающая, где устойчива каждая фаза. Её линии отмечают сосуществование двух фаз и сходятся в тройной точке, где сосуществуют все три: для воды это 0,01 °C и 612 Па.
Критическая точка: Конец линии «жидкость — пар», где две фазы становятся одинаковыми, а теплота парообразования обращается в нуль: для воды 374 °C и 22,06 МПа.
Переохлаждение: Состояние жидкости ниже температуры замерзания без замерзания, потому что твёрдой фазе нужен зародыш, чтобы начать расти. Перегрев — такая же задержка при кипении выше температуры кипения.

Величины
$Q$	Теплота	$Дж$	Энергия, передаваемая из-за разности температур; положительна, когда вещество её получает, и отрицательна, когда отдаёт.
$m$	Масса	$кг$	Масса, которую нагревают или, в формулах $Q = λm$ и $Q = L m$ , масса, меняющая фазу: 1 кг в анимации.
$c$	Удельная теплоёмкость	$Дж / (кг \cdot К)$	Количество теплоты, которое нагревает 1 кг одной фазы на 1 К. У воды она зависит от фазы: 2100 у льда, 4180 у жидкости, 2010 у пара.
$Δ T$	Изменение температуры	$К$	Конечная температура минус начальная; изменение на 1 К равно изменению на 1 °C. На «полке» $Δ T = 0$ .
$q$	Удельная теплота фазового перехода	$Дж / кг$	Количество теплоты, которое меняет фазу 1 кг вещества при постоянной температуре; при обратном переходе выделяется столько же. Для плавления $q = λ$ , для парообразования $q = L$ .
$λ$	Удельная теплота плавления	$Дж / кг$	Количество теплоты, которое плавит 1 кг твёрдого вещества при температуре плавления: $334 кДж / кг$ для льда при 0 °C.
$L$	Удельная теплота парообразования	$Дж / кг$	Количество теплоты, которое превращает 1 кг жидкости в пар: $2260 кДж / кг$ для воды при 100 °C, при более низких температурах больше.
$T$	Абсолютная температура	$К$	Температура в кельвинах — значение по Цельсию плюс 273,15; именно её нужно подставлять в $Δ s = q / T$ и в уравнение Клапейрона — Клаузиуса.
$Δ s$	Изменение удельной энтропии	$Дж / (кг \cdot К)$	Скачок энтропии на килограмм при фазовом переходе, $q / T$ : $1, 22 кДж / (кг \cdot К)$ при плавлении льда и $6, 06 кДж / (кг \cdot К)$ при кипении воды.
$p$	Давление	$Па$	Давление, при котором сосуществуют фазы; 1 атм равна 101 325 Па. Оно определяет температуры плавления и кипения.
$Δ v$	Изменение удельного объёма	$м^{3} / кг$	Объём килограмма после перехода минус объём до него: примерно $+ 1, 67 м^{3} / кг$ при кипении воды при 1 атм и $- 9, 07 \times 1 0^{- 5} м^{3} / кг$ при плавлении льда.
$M$	Молярная масса	$кг / моль$	Масса одного моля, 0,018 кг/моль для воды; $qM$ — теплота перехода, отнесённая к одному молю.
$R$	Универсальная газовая постоянная	$Дж / (моль \cdot К)$	8,314 Дж/(моль·К); для воды $qM / R \approx 4900 К$ .

Тест

Начальный Лёд при 0 °C тает в кастрюле на слабом огне. Что показывает термометр в смеси льда и воды, пока лёд тает?
1. Температуру, которая равномерно растёт
2. 0 °C, пока не растает весь лёд
3. Температуру ниже 0 °C
4. 100 °C, ведь теплота поступает
Показать ответ
Ответ: B. 0 °C, пока не растает весь лёд
При плавлении теплота идёт на разрушение кристалла льда, а не на ускорение молекул, поэтому температура остаётся 0 °C, пока не растает весь лёд.
Начальный Вода в кастрюле бурно кипит. Что произойдёт, если прибавить огонь?
1. Вода станет намного горячее 100 °C
2. Вода перестанет кипеть
3. Вода остынет
4. Она будет быстрее выкипать, но останется при температуре около 100 °C
Показать ответ
Ответ: D. Она будет быстрее выкипать, но останется при температуре около 100 °C
При заданном давлении кипящая вода остаётся при температуре кипения. Дополнительная теплота каждую секунду превращает в пар больше воды, но не повышает температуру.
Начальный Почему, выйдя из бассейна в ветреный день, вы мёрзнете даже на солнце?
1. Испаряющаяся вода отбирает теплоту у кожи
2. Вода в бассейне всегда холоднее воздуха
3. Ветер вдувает холод в кожу
4. Мокрая кожа пропускает солнечный свет
Показать ответ
Ответ: A. Испаряющаяся вода отбирает теплоту у кожи
Для испарения воде нужна скрытая теплота, и она забирает её у кожи. Ветер уносит пар, поэтому испарение, а с ним и охлаждение, идут быстрее.
Средний Какое количество теплоты нужно, чтобы расплавить 2 кг льда, уже имеющего температуру 0 °C? (λ = 334 кДж/кг)
1. 167 кДж
2. 334 кДж
3. 668 кДж
4. 4520 кДж
Показать ответ
Ответ: C. 668 кДж
Q = λ·m = 334 кДж/кг × 2 кг = 668 кДж. Если делить вместо умножения, получится 167 кДж, если забыть про массу — 334 кДж, а если взять L = 2260 кДж/кг — 4520 кДж.
Средний Почему ожог паром при 100 °C обычно опаснее ожога водой при 100 °C?
1. Пар всегда горячее 100 °C, даже на уровне моря
2. Конденсируясь на коже, пар отдаёт 2260 Дж скрытой теплоты на каждый грамм
3. Удельная теплоёмкость пара больше, чем у жидкой воды
4. Молекулы пара движутся быстрее и сильнее ударяют по коже
Показать ответ
Ответ: B. Конденсируясь на коже, пар отдаёт 2260 Дж скрытой теплоты на каждый грамм
Каждый грамм пара, сконденсировавшийся на коже, отдаёт ей 2260 Дж ещё до того, как начнёт остывать. Грамм воды при 100 °C, остывая до температуры кожи, отдаёт лишь около 260 Дж.
Средний Почему 20 г льда при 0 °C охлаждают напиток гораздо сильнее, чем 20 г воды при 0 °C?
1. У льда температура ниже, чем у воды
2. Удельная теплоёмкость льда больше, чем у воды
3. Лёд плавает и поэтому касается большей части напитка
4. Каждый грамм льда при плавлении поглощает 334 Дж и лишь потом начинает нагреваться
Показать ответ
Ответ: D. Каждый грамм льда при плавлении поглощает 334 Дж и лишь потом начинает нагреваться
Оба начинают с 0 °C. Лёд сначала должен растаять, забрав у напитка 334 × 20 = 6680 Дж, и только потом нагревается, как вода. Удельная теплоёмкость льда, кстати, примерно вдвое меньше, чем у воды.
Продвинутый На вершине Эвереста давление воздуха составляет примерно треть от давления на уровне моря. При какой температуре, согласно уравнению Клапейрона — Клаузиуса, там кипит вода?
1. 71 °C
2. 100 °C
3. 33 °C
4. 120 °C
Показать ответ
Ответ: A. 71 °C
ln(p₂/p₁) = −(q·M/R)·(1/T₂ − 1/T₁), где q·M/R ≈ 4900 К и ln(1/3) ≈ −1,10, даёт 1/T₂ ≈ 1/373 К + 1,10/4900 К, то есть T₂ ≈ 344 К ≈ 71 °C. Температура кипения падает не пропорционально давлению.
Продвинутый Тающий при постоянном давлении лёд всё время получает теплоту, но его температура не меняется. Что её фиксирует?
1. Термометр слишком медленный, чтобы заметить рост температуры
2. Теплота уходит в окружающую среду ровно с той же скоростью, с какой поступает
3. Лёд и вода сосуществуют только при той T, при которой равны их удельные энергии Гиббса
4. Внутренняя энергия льда не меняется, значит, не меняется и его температура
Показать ответ
Ответ: C. Лёд и вода сосуществуют только при той T, при которой равны их удельные энергии Гиббса
В равновесии у двух фаз одинаковы T, p и удельная энергия Гиббса g = h − T·s. При заданном p остаётся единственная T, поэтому поглощённая теплота, λ на килограмм, превращает твёрдую фазу в жидкую, не меняя T. Внутренняя энергия при этом растёт примерно на λ.

$p$	Постоянное давление окружающей среды, давящее на поршень.	$Па$
$L$	Теплота, превращающая килограмм жидкости в пар: скрытая теплота.	$Дж / кг$
$Δ v$	Прирост объёма на килограмм: пар минус жидкость.	$м^{3} / кг$
$Δ u$	Прирост внутренней энергии на килограмм: энергия, которая разводит молекулы.	$Дж / кг$
$p Δ v$	Работа на килограмм, совершаемая над окружающей средой, когда пар поднимает поршень.	$Дж / кг$

$g$	Удельная энергия Гиббса, $h - T s$ ; при постоянных $T$ и $p$ устойчива фаза с меньшим $g$ .	$Дж / кг$
$T$	Температура.	$К$
$g_{s}$	Удельная энергия Гиббса твёрдого тела.	$Дж / кг$
$g_{l}$	Удельная энергия Гиббса жидкости.	$Дж / кг$
$T_{m}$	Температура, при которой кривые пересекаются: точка плавления при этом давлении.	$К$
$d T$	Малый шаг по температуре.	$К$
$s_{s} d T$	На сколько $g_{s}$ уменьшается за шаг $d T$ : энтропия твёрдого тела, умноженная на шаг.	$Дж / кг$
$s_{l} d T$	На сколько $g_{l}$ уменьшается за тот же шаг: больше, потому что энтропия жидкости $s_{l}$ больше.	$Дж / кг$

$p$	Давление, по логарифмической оси.	$Па$
$T$	Температура.	$К$
$t$	Тройная точка — единственная точка, где сосуществуют твёрдое тело, жидкость и пар.
$p_{1}$	Давление на уровне моря, 1 атм.	$Па$
$p_{2}$	Давление в высоких горах, треть от $p_{1}$ .	$Па$
$T_{m}$	Температура плавления льда, почти одинаковая при всех показанных давлениях.	$К$
$T_{1}$	Температура кипения при $p_{1}$ .	$К$
$T_{2}$	Температура кипения при $p_{2}$ , ниже $T_{1}$ .	$К$

$p$	Давление.	$Па$
$v$	Объём на килограмм.	$м^{3} / кг$
$v_{l}$	Объём килограмма жидкости.	$м^{3} / кг$
$v_{g}$	Объём килограмма пара, на самом деле намного больше $v_{l}$ .	$м^{3} / кг$
$Δ p$	Падение давления пара от $T$ до $T - Δ T$ .	$Па$
$T$	Температура испарения: верхняя изотерма.	$К$
$T - Δ T$	Чуть более низкая температура конденсации: нижняя изотерма.	$К$
$L$	Теплота, поглощаемая при испарении килограмма.	$Дж / кг$
$w$	Чистая работа цикла на килограмм, площадь полоски: $Δ p (v_{g} - v_{l})$ .	$Дж / кг$