Температура и теплота

Начальный

Шаг 1. Насколько горячо тело? На этот вопрос отвечает термометр, показывая число — температуру. По шкале Цельсия вода замерзает при 0 °С и кипит при 100 °С. Учёные пользуются и шкалой Кельвина: она начинается с самой низкой возможной температуры — абсолютного нуля (около −273 °С), а шаг в один кельвин в точности равен шагу в один градус Цельсия.

Шаг 2. Что же на самом деле измеряет термометр? Всё состоит из крошечных частиц, которые никогда не перестают колебаться и метаться. Температура показывает, насколько энергично в среднем движется каждая частица: чем горячее тело, тем быстрее движутся его частицы.

Шаг 3. Температура — это не количество энергии. У ванны тёплой воды и у чайной ложки той же воды температура одинакова, но в ванне в тысячи раз больше энергии движения частиц — просто потому, что частиц в ней в тысячи раз больше.

Шаг 4. Теплота — это энергия в пути. Когда горячее тело касается холодного, его быстрые частицы толкают более медленные и передают им часть своего движения. Энергия сама собой переходит от горячего к холодному, а не наоборот, пока температуры не сравняются: это тепловое равновесие. В анимации частицы горячего бруска сначала колеблются сильнее; стрелка теплоты укорачивается по мере того, как сближаются показания термометров, и исчезает, когда оба бруска нагреты одинаково.

Шаг 5. Одни вещества нагреть гораздо труднее, чем другие. Чтобы нагреть килограмм воды на один градус, нужно около 4200 джоулей, а килограмм железа — всего около 450. Поэтому песок на пляже обжигает ноги, а море остаётся прохладным.

Проверьте себя: искры бенгальского огня горячее 1000 °С, но почти не обжигают руку, на которую падают. Почему? (Каждая искра крошечная: она очень горячая, но несёт очень мало энергии.)

Средний

Температура, теплота и их единицы

Температура — это то, что показывает термометр. По шкале Цельсия вода замерзает при 0 °С и кипит при 100 °С. Шкала Кельвина (единица — кельвин, К) имеет шаг того же размера, но начинается с абсолютного нуля, −273,15 °С, — самой низкой возможной температуры:
$T(\mathrm{К})=T({}^{\circ }\mathrm{C})+273,15$

Поэтому изменение температуры $\Delta T$ одинаково в обеих шкалах: от 20 °С до 30 °С — это изменение на 10 К. Только шкала Кельвина начинается с настоящего нуля, так что всякий раз, когда температуры умножают, делят или возводят в степень, берите их в кельвинах.

Теплота $Q$ — это энергия (в джоулях, Дж), которая переходит от одного тела к другому из-за разности их температур. Тело не «содержит» теплоту: оно обладает внутренней энергией $U$ — энергией беспорядочного движения его частиц и сил взаимодействия между ними. Теплота, как и работа, — это энергия в процессе передачи; она положительна, когда поступает в тело, и отрицательна, когда уходит из него.

Удельная теплоёмкость

Пока ничего не плавится, не кипит и не вступает в реакцию, теплота, необходимая для изменения температуры тела, и теплоёмкость тела равны

• $Q=mc\Delta T$
• $C=mc$

Здесь $m$ — масса, $\Delta T$ — конечная температура минус начальная, а $c$ — удельная теплоёмкость: энергия, которая нагревает 1 кг вещества на 1 К; её измеряют в Дж/(кг·К). Теплоёмкость всего тела $C=mc$ измеряют в Дж/К. Когда тело остывает, и $\Delta T$, и $Q$ отрицательны.

Типичные значения в Дж/(кг·К): 4180 для воды, 2100 для льда, 900 для алюминия, около 800 для сухого песка, 450 для железа, 385 для меди и 130 для свинца. Для одинакового нагрева килограмму воды требуется примерно в девять раз больше энергии, чем килограмму железа. Вот почему море нагревается и остывает так медленно.

Тепловой баланс и конечная температура

Когда горячее и холодное тела соприкасаются внутри хорошей теплоизоляции, теплота переходит от одного к другому, пока оба не придут к общей температуре $T$; при этом теплота, отданная горячим телом, равна теплоте, полученной холодным:
$m_1{c}_1(T_1-T)=m_2{c}_2(T-T_2)$
Решив уравнение относительно $T$, находим равновесную температуру:
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{m_1{c}_1{T}_1+m_2{c}_2{T}_2}{m_1{c}_1+m_2{c}_2}$

Это среднее начальных температур, взвешенное по теплоёмкостям: оно лежит между ними, ближе к температуре тела с большим $mc$. Взвешенное среднее не зависит от того, где на шкале находится нуль, поэтому формула работает и в °С, и в кельвинах. Тело с вдвое большей теплоёмкостью меняет температуру вдвое меньше.

Пример: бруски из анимации

Железный брусок массой 1 кг ($c_1=450\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot \mathrm{К})$, значит, $C_1=450\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$) при 327 °С касается алюминиевого бруска массой 1 кг ($c_2=900\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot \mathrm{К})$, $C_2=900\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$) при 27 °С. Если потерь нет, отданная теплота равна полученной:
$450(327-T)=900(T-27)$
$1350T=147150+24300=171450,T=127{}^{\circ }\mathrm{С}$

Железо остывает на 200 К, а алюминий нагревается всего на 100 К, потому что его теплоёмкость вдвое больше. Через контакт передана теплота $Q=450\cdot 200=900\cdot 100=90000\mathrm{Дж}=90\mathrm{кДж}$. Это конечные значения на индикаторах: $T_1$ и $T_2$ встречаются на 127 °С, а $Q$ достигает 90 кДж.

Индикаторы показывают и то, как обмен замедляется: через 1 с на них около 217 °С, 82 °С и 50 кДж, то есть больше половины теплоты передаётся уже в первую секунду. Оранжево-красная стрелка $dQ/dt$ — скорость теплопередачи в ваттах — по длине пропорциональна $T_1-T_2$. Она вдвое короче, когда показания доходят примерно до 227 °С и 77 °С, и тает по мере того, как столбики термометров сходятся: столбик железа всегда опускается вдвое быстрее, чем растёт столбик алюминия.

Пример: наполняем ванну

Вам нужна ванна на 80 кг воды при 38 °С: для этого смешивают горячую воду при 60 °С и холодную при 12 °С. Сколько нужно горячей воды и сколько энергии потратил котёл, чтобы её нагреть? Потери не учитывайте.

В обоих случаях это вода, поэтому $c$ сокращается: $m_{\mathrm{г}}(60-38)=m_{\mathrm{х}}(38-12)$. Вместе с $m_{\mathrm{г}}+m_{\mathrm{х}}=80\mathrm{кг}$ это даёт $m_{\mathrm{г}}=80\cdot 26/48\approx 43,3\mathrm{кг}$ горячей воды и 36,7 кг холодной: горячей больше, потому что 38 °С ближе к 60 °С. Котёл нагрел горячую воду от 12 °С до 60 °С:
$Q=mc\Delta T=43,3\cdot 4180\cdot 48\approx 8,7\times 10^6\mathrm{Дж}$

Это 8,7 МДж, или примерно 2,4 кВт·ч (1 кВт·ч равен 3,6 МДж), то есть почти 50 минут работы нагревателя мощностью 3 кВт.

Как быстро течёт теплота: убывающая стрелка

Тепловой баланс даёт конечную точку, но не время, за которое она достигается. В анимации теплота проходит через контакт со скоростью $dQ/dt=k(T_1-T_2)$, где тепловая проводимость $k=240\mathrm{Вт}/\mathrm{К}$: сначала 72 кВт, а затем всё меньше по мере того, как разность температур сокращается. Поскольку поток пропорционален разности, за равные промежутки времени она уменьшается в одно и то же число раз — вдвое примерно за каждые 0,87 с — и никогда точно не достигает нуля.

Тело, остывающее в большой комнате с температурой $T_{\mathrm{env}}$, подчиняется тому же правилу — закону охлаждения Ньютона:
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$
Слева стоит скорость изменения температуры, а постоянная времени $\tau$ растёт вместе с теплоёмкостью тела. Превышение над температурой среды убывает по закону $T-T_{\mathrm{env}}=(T_0-T_{\mathrm{env}})e^{-t/\tau }$: чай при 80 °С в комнате при 20 °С, если его превышение вдвое уменьшается каждые 12 минут, через 12, 24 и 36 минут остывает до 50 °С, 35 °С и 27,5 °С.

Частые ошибки

• Теплота не хранится в теле, а «холод» не течёт: 90 кДж в анимации — это энергия, перешедшая от железа к алюминию.
• Берите изменение температуры, а не конечную температуру. Чтобы нагреть алюминиевую кастрюлю массой 0,5 кг с 20 °С до 120 °С, нужно $0,5\cdot 900\cdot 100=45\mathrm{кДж}$, а не 54 кДж.
• Одинаковая теплота не означает одинакового изменения температуры. Те же 90 кДж охлаждают железо на 200 К, но нагревают алюминий всего на 100 К.
• Температуры по Цельсию нельзя сравнивать как отношения: 54 °С не вдвое горячее, чем 27 °С, ведь 327 К всего на 9 % больше, чем 300 К.
• Металлическая ручка кажется холоднее деревянной при той же температуре 20 °С лишь потому, что металл, проводящий теплоту в сотни раз лучше, гораздо быстрее отбирает теплоту у кожи: кожа чувствует потерю теплоты, а не температуру.

Где это встречается

Большая удельная теплоёмкость воды даёт прибрежным городам более мягкую зиму и более прохладное лето, а океаны поглотили около девяти десятых избыточной энергии, удерживаемой парниковыми газами. Двигатели охлаждают водой, теплоаккумулирующие обогреватели хранят тепло в плотных кирпичах, а энергию пищи измеряют, сжигая её в калориметре; пищевая калория (ккал) равна 4,18 кДж.

Случай, когда теплота идёт не на нагрев, а на плавление или кипение, разбирает урок «Фазовые переходы и скрытая теплота», а то, как теплота распространяется, — урок «Теплопроводность, конвекция и излучение». «Тепловое расширение» показывает, как нагрев меняет размеры тел, «Молекулярно-кинетическая теория газов» объясняет температуру как движение молекул, а «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели» соединяет теплоту и работу в одном энергетическом балансе.

Продвинутый

Температура как условие равновесия

Прежде чем измерять температуру, её нужно определить, а определение берётся из опыта. Приведите два тела в тепловой контакт, так чтобы они могли обмениваться энергией, но не веществом, и подождите. Некоторое время их свойства меняются: длины, давления и электрические сопротивления дрейфуют. Потом изменения прекращаются. Теперь тела находятся в тепловом равновесии, и мы по определению говорим, что у них одинаковая температура.

Нулевое начало термодинамики добавляет один факт: два тела, каждое из которых находится в равновесии с третьим, находятся в равновесии и друг с другом. Именно поэтому термометру можно доверять. Термометр — это третье тело: если он показывает одно и то же при контакте с A и при контакте с B, то A и B не изменились бы, если бы соприкоснулись. Чтобы это работало, теплоёмкость термометра должна быть достаточно мала, чтобы не искажать температуру, которую он измеряет.

Это определение говорит, когда две температуры равны, но не говорит, как их нумеровать. Ртутный, резистивный и термопарный термометры согласуются в точках градуировки, но между ними слегка расходятся, потому что каждый опирается на свойство собственного материала. Разреженный газ снимает эту зависимость: при постоянном объёме его давление пропорционально температуре, которая при достаточно малой плотности одна и та же для любого газа. Эта температура и есть шкала Кельвина. С 2019 года кельвин определён тем, что постоянной Больцмана придано точное значение, и тем самым любая температура $T$ связана с энергией $k_{B}T$:
$k_B=1,380649\times 10^{-23}\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$

Что выравнивается при столкновениях

Равенство температур имеет смысл и в масштабе молекул: это условие, при котором столкновения в среднем перестают переносить энергию от одного тела к другому. Почему так, показывает мысленный опыт.

Возьмите два разных газа в сосуде, разделённых свободно скользящим поршнем. Вскоре он занимает положение, где давления на его две стороны уравновешены, но никогда не стоит совсем неподвижно: он дрожит под отдельными ударами молекул. Через эту дрожь сторона, где молекулы в среднем бьют сильнее, передаёт энергию другой. Обмен прекращается лишь тогда, когда средняя кинетическая энергия молекулы с обеих сторон одинакова. В смеси ту же работу прямо выполняют столкновения, от молекулы к молекуле. Поэтому в равновесии тяжёлые молекулы движутся медленнее лёгких, но у всех одно и то же среднее значение $\frac{1}{2}m{v}^2$.

Классическая статистическая механика превращает это в теорему о равнораспределении. В равновесии на каждое слагаемое энергии частицы, квадратичное по одной компоненте скорости или по одной координате, например $\frac{1}{2}m{v}_x^2$, приходится одно и то же среднее, $\frac{1}{2}{k}_{B}T$. У молекулы одноатомного газа три таких слагаемых, по одному кинетическому на каждое направление, поэтому её средняя кинетическая энергия равна $\frac{3}{2}{k}_{B}T$. У атома в твёрдом теле три кинетических слагаемых и ещё три потенциальных, потому что связи тянут его назад к положению покоя вдоль каждого направления; его средняя энергия поэтому равна $3k_{B}T$.

Для одного моля простого твёрдого тела, с $N_A$ атомами и $R=N_A{k}_B$, энергия равна $3RT$, так что молярная теплоёмкость у всех элементов одна и та же:
$C_m=3R\approx 25\mathrm{Дж}/(\mathrm{моль}\cdot \mathrm{К})$
Это закон Дюлонга и Пти, найденный на опыте в 1819 году. Если разделить $3R$ на молярные массы железа и алюминия, 0,0558 и 0,0270 кг/моль, получатся удельные теплоёмкости около 447 и 924 Дж/(кг·К), близкие к 450 и 900, которые использует анимация. У алюминия значение примерно вдвое больше, чем у железа, потому что его атомы примерно вдвое легче: в килограмме алюминия примерно вдвое больше атомов, и каждый запасает одну и ту же энергию.

Насколько атом дрожит

Равнораспределение говорит, сколько энергии заключено в колебании атома. Рисунок 1 переводит эту энергию в расстояние — размер дрожания атома — и показывает, как он растёт с температурой.

Обозначения

$U$	Упругая энергия одного атома в его связях, $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$, где $k_s$ — жёсткость связей.	$\mathrm{Дж}$
$x$	Смещение атома от положения покоя вдоль одного направления.	$\mathrm{м}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$	Средняя упругая энергия вдоль одного направления при более высокой температуре $T_1$, нарисованная как уровень.	$\mathrm{Дж}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$	Средняя упругая энергия вдоль одного направления при более низкой температуре $T_2$, нарисованная как уровень.	$\mathrm{Дж}$
$x_1$	Точка, где уровень $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ пересекает яму: среднеквадратичное смещение, типичный размер дрожания, при $T_1$.	$\mathrm{м}$
$x_2$	То же при $T_2$; меньше $x_1$ в $\sqrt{2}$ раз при $T_1=2T_2$.	$\mathrm{м}$

На рисунке 1 показан один атом твёрдого тела, движущийся вдоль одного направления, со смещением $x$ от положения покоя. При малых смещениях его связи действуют как пружина жёсткости $k_s$, так что его упругая энергия равна $U=\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$: это параболическая яма на рисунке. (Здесь $U$ — энергия этого одного атома в его связях, а не внутренняя энергия бруска.) По равнораспределению среднее значение $U$ равно $\frac{1}{2}{k}_{B}T$. Каждая горизонтальная линия проведена на высоте этого среднего для одной температуры: верхняя на уровне $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ для горячего тела, нижняя на уровне $\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$ для холодного, при $T_1=2T_2$, как в анимации.

Теперь посмотрите, где каждая линия пересекает яму. Там $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2=\frac{1}{2}{k}_{B}T$, поэтому линия пересекает яму в точках $x=\pm \sqrt{k_{B}T/k_s}$ — по одной с каждой стороны от центра. Скобки под осью отмечают расстояние от центра до пересечения: $x_1$ для $T_1$ и $x_2$ для $T_2$. У этих расстояний есть физический смысл. Поскольку среднее значение $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$ равно $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, среднее значение $x^2$ равно $k_{B}T/k_s$, и каждое пересечение — это в точности среднеквадратичное смещение: типичный размер дрожания при данной температуре.

Форма ямы определяет, как этот размер растёт. Поскольку $U$ растёт как $x^2$, подъём линии вдвое выше отодвигает пересечение лишь в $\sqrt{2}$ раз: на рисунке $x_1=\sqrt{2}{x}_2$. Дрожание растёт как $\sqrt{T}$, а не как $T$. Анимация рисует частицы по этому правилу: частицы железа при 600 К дрожат с амплитудой, в $\sqrt{2}\approx 1,4$ раза большей, чем частицы алюминия при 300 К.

Теплота, работа и первое начало

Температура говорит, в какую сторону пойдёт энергия; теплота — это название самого потока. Когда-то теплоту представляли жидкостью — теплородом, — заключённой в телах. В 1840-х годах Джеймс Джоуль показал, что падающие грузы, вращающие колесо с лопастями в воде, нагревают её так же, как подвод теплоты, — из расчёта около 4,2 Дж работы на каждую калорию. Значит, теплота — не вещество, а энергия в процессе передачи, а закон сохранения энергии с её учётом — это первое начало термодинамики:
$\Delta U=Q-W$

Здесь $U$ — внутренняя энергия системы, $Q$ — теплота, которую она получает, $W$ — работа, которую она совершает над окружением; это правило знаков урока «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели». Если же $W$ означает работу, совершённую над системой, закон записывается как $\Delta U=Q+W$.

Эти два вида передачи различаются тем, как они происходят. Работа — это энергия, передаваемая макроскопической силой, действующей на некотором расстоянии, как поршень, который давит на газ. Теплота — это энергия, передаваемая микроскопическими столкновениями или излучением под действием разности температур. Лишь $U$ является свойством состояния тела. Тёплый брусок мог быть нагрет пламенем, то есть теплотой, или трением, то есть работой, и ничто в бруске не хранит, как именно; поэтому «теплота, содержащаяся в теле» ничего не означает.

У твёрдых тел и жидкостей работа против атмосферы при расширении пренебрежимо мала, поэтому получаемая ими теплота $Q=C\Delta T$ фактически равна изменению внутренней энергии $\Delta U$. У газов иначе: идеальный газ, нагреваемый при постоянном давлении, при расширении ещё и совершает работу, и его молярная теплоёмкость при постоянном давлении превышает молярную теплоёмкость при постоянном объёме ровно на $R$.

Два бруска в контакте: экспоненциальное сближение

Первое начало определяет, чем закончится обмен; чтобы проследить его во времени, нужна модель того, как быстро теплота проходит через контакт. Будем считать каждый брусок однородным, с одной температурой по всему объёму: у горячего теплоёмкость $C_1$ и температура $T_1(t)$, у холодного — $C_2$ и $T_2(t)$. Пусть через контакт идёт тепловой поток, пропорциональный разности температур, $k(T_1-T_2)$, где $k$ — тепловая проводимость контакта в Вт/К. Энергия каждого бруска меняется только из-за этого потока, поэтому
$C_1\frac{d{T}_1}{dt}=-k(T_1-T_2),C_2\frac{d{T}_2}{dt}=k(T_1-T_2)$

Отсюда следуют два результата. Во-первых, сложив уравнения, получаем $d(C_1{T}_1+C_2{T}_2)/dt=0$: сколько теряет один брусок, столько получает другой, и величина $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ сохраняет начальное значение. В конце обе температуры равны, и это определяет конечную температуру:
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1{T}_1(0)+C_2{T}_2(0)}{C_1+C_2}$

Во-вторых, если разделить каждое уравнение на его теплоёмкость и вычесть второе из первого, получится уравнение только для разности $\Delta T=T_1-T_2$:
$\frac{d\Delta T}{dt}=-k\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\Delta T$
Разность убывает со скоростью, пропорциональной её собственной величине, а это признак экспоненциального затухания. Начиная с $\Delta T_0$,
$\Delta T=\Delta T_0{e}^{-t/\tau },\tau =\frac{C_1{C}_2}{k(C_1+C_2)}$
Постоянная времени $\tau$ велика, когда тела большие или контакт плохой. Комбинация $C_1{C}_2/(C_1+C_2)$ всегда меньше любой из теплоёмкостей, поэтому темп задаёт меньшее тело.

В анимации взяты 1 кг железа при 600 К (327 °С), для которого $C_1=450\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$, и 1 кг алюминия при 300 К (27 °С), для которого $C_2=900\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$. Тогда $T_{\mathrm{eq}}=(450\cdot 600+900\cdot 300)/1350=400\mathrm{К}$, то есть 127 °С, а железо отдаёт алюминию $450\cdot 200=90\mathrm{кДж}$. При $C_1{C}_2/(C_1+C_2)=300\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$ и $k=240\mathrm{Вт}/\mathrm{К}$ постоянная времени равна $\tau =300/240=1,25\mathrm{с}$ ($1/\tau =0,8{\mathrm{с}}^{-1}$). Поток начинается со значения $k\Delta T_0=240\cdot 300=72\mathrm{кВт}$, разность уменьшается вдвое каждые $\tau \ln 2\approx 0,87\mathrm{с}$ и падает до 1 К через $\tau \ln 300\approx 7,1\mathrm{с}$.

Как читать две кривые

Решение проще всего понять по картинке. Рисунок 2 показывает, к чему приходят две температуры, как быстро они стартуют и что означает $\tau$ на графике.

Обозначения

$T$	Температура бруска.	$\mathrm{К}$
$t$	Время с момента контакта брусков.	$\mathrm{с}$
$T_1$	Температура горячего бруска, железа; она убывает от начального значения.	$\mathrm{К}$
$T_2$	Температура холодного бруска, алюминия; она растёт от начального значения.	$\mathrm{К}$
$T_{eq}$	Общая конечная температура, уровень, к которому приближаются обе кривые.	$\mathrm{К}$
$\Delta T_0$	Начальная разность температур $T_1-T_2$; затем разность убывает как $e^{-t/\tau }$.	$\mathrm{К}$
$\tau$	Постоянная времени: момент, когда обе начальные касательные достигают $T_{\mathrm{eq}}$.	$\mathrm{с}$

На рисунке 2 нарисованы две кривые графика анимации для продвинутого уровня, с её числами. Оранжево-красная кривая $T_1$ начинается с 327 °С железа и падает; синяя кривая $T_2$ начинается с 27 °С алюминия и растёт. Скобка слева охватывает начальную разность $\Delta T_0$, равную 300 К.

Сначала посмотрите, куда идут кривые. Обе изгибаются к зелёной штриховой линии $T_{\mathrm{eq}}$ на 127 °С. Эта линия делит скобку в отношении 2 : 1 и продолжает делить уменьшающуюся разность в том же отношении: поскольку $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ всегда равно $(C_1+C_2)T_{\mathrm{eq}}$, выполняется $C_1(T_1-T_{\mathrm{eq}})=C_2(T_{\mathrm{eq}}-T_2)$, так что железо, с вдвое меньшей теплоёмкостью, всегда вдвое дальше от $T_{\mathrm{eq}}$. В каждый момент $T_1-T_{\mathrm{eq}}=\frac{2}{3}\Delta T$ и $T_{\mathrm{eq}}-T_2=\frac{1}{3}\Delta T$: кривая железа — это кривая алюминия, отражённая в штриховой линии и растянутая вдвое по высоте.

Затем посмотрите, как они стартуют. Две серые штриховые линии — касательные при $t=0$, а их наклоны — начальные скорости изменения: $-k\Delta T_0/C_1=-160\mathrm{К}/\mathrm{с}$ для железа и $+k\Delta T_0/C_2=+80\mathrm{К}/\mathrm{с}$ для алюминия. Обе касательные достигают линии $T_{\mathrm{eq}}$ в один и тот же момент $t=\tau$, отмеченный на оси времени: железо остыло бы на свои 200 К, а алюминий нагрелся бы на свои 100 К за 1,25 с. Вот что означает $\tau$: время, которое понадобилось бы температуре, чтобы дойти до $T_{\mathrm{eq}}$, если бы она сохраняла начальную скорость изменения. На самом деле эта скорость падает пропорционально оставшейся разности, поэтому через $\tau$ остаётся около 37 % разности, а через $4\tau$ — всего около 2 %.

Если второе тело огромно ($C_2\to \infty$, комната или озеро), его температура почти не отклоняется от $T_{\mathrm{env}}$, $\tau$ становится равной $C_1/k$, а первое уравнение превращается в закон охлаждения Ньютона:
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$

Почему теплота идёт от горячего к холодному

Первое начало не задаёт направление потока: энергия сохранилась бы так же хорошо, если бы 90 кДж вернулись от алюминия к железу. Направление задаёт второе начало термодинамики: полная энтропия изолированной системы не может убывать. Тело с однородной температурой $T$, получающее малую теплоту $\delta Q$, приобретает энтропию $\delta Q/T$. Рисунок 3 применяет это правило к одной малой передаче между брусками.

Обозначения

$T_1$	Температура горячего бруска.	$\mathrm{К}$
$T_2$	Температура холодного бруска.	$\mathrm{К}$
$\delta Q$	Малое количество теплоты, переходящее от горячего бруска к холодному.	$\mathrm{Дж}$
$\delta Q/T_1$	Энтропия, потерянная горячим бруском.	$\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$
$\delta Q/T_2$	Энтропия, полученная холодным бруском.	$\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$
$dS$	Энтропия, созданная передачей: выступ нижнего столбика, $\delta Q(1/T_2-1/T_1)$.	$\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$

На рисунке 3 показано малое количество теплоты $\delta Q$, переходящее от горячего бруска, при $T_1$, к холодному, при $T_2$; оно так мало, что ни одна из температур за время передачи не меняется. Горячий брусок теряет энтропию $\delta Q/T_1$ — верхний столбик; холодный получает $\delta Q/T_2$ — нижний столбик. Теплота с обеих сторон одна и та же, но на холодной стороне она делится на меньшую температуру, поэтому этот столбик длиннее: здесь вдвое, где $T_1=2T_2$. Часть нижнего столбика, выступающая за верхний, $dS$, — это энтропия, которую создаёт передача:
$dS=\delta Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)$

При $\delta Q>0$ эта величина положительна в точности тогда, когда $T_1>T_2$. Значит, поток теплоты от горячего к холодному увеличивает полную энтропию, а обратный поток уменьшил бы её, что второе начало запрещает. На молекулярном уровне обратный поток не нарушает ни одного закона движения; для тел обычных размеров он просто в подавляющей степени невероятен.

Для всего обмена в анимации сложим такие шаги. Энтропия каждого бруска изменяется на $dS=CdT/T$, где $T$ в кельвинах, и интегрирование от начальных температур до $T_{\mathrm{eq}}=400\mathrm{К}$ даёт
$\Delta S=C_1\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_1(0)}+C_2\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_2(0)}=450\ln \frac{400}{600}+900\ln \frac{400}{300}\approx 76\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$
Железо теряет 182 Дж/К, а алюминий приобретает 259 Дж/К: он получает те же 90 кДж, но при более низких температурах, поэтому каждый джоуль приносит ему больше энтропии.

Второе начало даёт и самое глубокое определение температуры. Возьмём обратимую машину, которая берёт теплоту $Q_h$ у резервуара с температурой $T_h$ и отдаёт теплоту $Q_c$ резервуару с температурой $T_c$. Каким бы ни было рабочее тело, $Q_h/Q_c=T_h/T_c$, так что это отношение задаёт температурную шкалу, не зависящую ни от какого материала, и она совпадает со шкалой Кельвина для идеального газа. В статистической физике та же мысль записывается как $1/T=\partial S/\partial U$ при постоянном объёме: обратная температура — это энтропия, которую тело приобретает на каждый полученный джоуль. Поэтому теплота идёт к более холодному телу: там каждый джоуль приносит больше энтропии.

Задача: тепловая машина между брусками

Прямой контакт упускает возможность получить работу за счёт разности температур. Эта задача спрашивает, сколько работы можно было бы получить. Допустим, что вместо контакта бруски приводят в действие обратимую тепловую машину, которая берёт теплоту у железа, отдаёт её алюминию и совершает работу, пока температуры обоих не сравняются на значении $T_f$. Железо начинает с $T_1=600\mathrm{К}$, алюминий — с $T_2=300\mathrm{К}$. Чему равна $T_f$ и сколько работы совершается?

Обозначения

$T$	Температура бруска.	$\mathrm{К}$
$s$	Энтропия, уже ушедшая из железа; столько же вошло в алюминий.	$\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$
$T_1$	Начальная температура железа, 600 К; железо остывает вдоль оранжево-красной кривой.	$\mathrm{К}$
$T_2$	Начальная температура алюминия, 300 К; он нагревается вдоль синей кривой.	$\mathrm{К}$
$T_f$	Общая конечная температура, где встречаются две кривые.	$\mathrm{К}$
$W$	Работа, совершённая машиной: площадь между кривыми.	$\mathrm{Дж}$

На рисунке 4 показана машина на диаграмме температура–энтропия. Пусть $s$ — энтропия, уже ушедшая из железа; она отложена по горизонтальной оси. Обратимая машина не создаёт энтропии, поэтому такое же $s$ вошло в алюминий. Поскольку $dS=CdT/T$ для каждого бруска, железо, теряя $s$, остывает вдоль кривой $T_1{e}^{-s/C_1}$ — оранжево-красной, — а алюминий, приобретая $s$, нагревается вдоль $T_2{e}^{s/C_2}$ — синей. Кривые встречаются на штриховом уровне $T_f$; там разности температур не остаётся, и машина останавливается.

Теперь прочитаем работу. За малый шаг $ds$ железо отдаёт теплоту, равную его собственной температуре, умноженной на $ds$, а алюминий принимает теплоту, равную его собственной, более низкой температуре, умноженной на $ds$. Машина превращает разность в работу, которая на диаграмме выглядит как тонкая вертикальная полоска между кривыми. Складывая полоски, получаем, что работа $W$ — это закрашенная площадь между кривыми, которая сужается до точки, когда температуры сближаются.

Кривые встречаются, когда изменения энтропии двух брусков компенсируют друг друга, ведь полная энтропия не меняется: $C_1\ln (T_f/T_1)+C_2\ln (T_f/T_2)=0$. Решая относительно $\ln T_f$, получаем
$T_f=T_1^{C_1/(C_1+C_2)}{T}_2^{C_2/(C_1+C_2)}=600^{1/3}\cdot 300^{2/3}=300\cdot 2^{1/3}\approx 378\mathrm{К}$
или около 105 °С. К этому моменту от одного бруска к другому перешла энтропия $s=C_1\ln (T_1/T_f)\approx 208\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$. Теплота покидает пару только через машину, поэтому работа равна внутренней энергии, которую бруски теряют вместе:
$W=C_1(T_1-T_f)-C_2(T_f-T_2)\approx 99,9-70,2=29,7\mathrm{кДж}$

Машина берёт у железа 99,9 кДж, больше, чем 90 кДж при прямом контакте, и превращает около 30 % из них в работу; её мгновенный КПД, $1-T_2/T_1$ при текущих температурах, падает с 50 % в начале до нуля в конце. Бруски заканчивают на 22 К ниже, чем 400 К при прямом контакте, потому что обратимая конечная точка — это взвешенное среднее геометрическое начальных температур, тогда как контакт даёт взвешенное среднее арифметическое, которое всегда больше. Любая разность температур может дать работу; если дать теплоте уйти прямо через контакт, она теряется и создаёт найденные выше 76 Дж/К.

Реальные бруски и пределы модели

Модель двух брусков предполагает, что каждый брусок остаётся однородным, а для этого теплота должна распределяться внутри бруска быстрее, чем проходит через контакт. Внутри тела теплота течёт против градиента температуры, по закону теплопроводности Фурье:
$\vec{q}=-\kappa \nabla T$
Здесь $\vec{q}$ — плотность потока теплоты в Вт/м², а $\kappa$ — коэффициент теплопроводности, для железа около 80 Вт/(м·К). Вместе с законом сохранения энергии он даёт уравнение диффузии $\partial T/\partial t=\alpha {\nabla }^{2}T$ с температуропроводностью $\alpha =\kappa /(\rho c)\approx 2,3\times 10^{-5}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$ для железа, где $\rho$ — плотность. Теплоте нужно время порядка $L^2/\alpha$, чтобы распространиться на расстояние $L$: около 110 с для железного куба массой 1 кг со стороной $L\approx 5\mathrm{см}$. Это намного больше, чем $\tau$ в анимации, равная 1,25 с, поэтому настоящие бруски не оставались бы однородными и приходили бы в равновесие минутами; анимация их идеализирует.

Горячие тела ещё и излучают. Поверхность площадью $A$ со степенью черноты $\epsilon$ излучает мощность
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
где $\sigma =5,67\times 10^{-8}\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot {\mathrm{К}}^4)$, а взамен поглощает излучение окружения с температурой $T_0$, так что её чистая потеря равна $\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$. Свободные грани железного бруска, 0,013 м² при $\epsilon \approx 0,6$, при 600 К в окружении с температурой 300 К теряют в итоге около 50 Вт, так что изоляция лишь приблизительна. При малых разностях $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$, и излучение ведёт себя как в законе охлаждения Ньютона; но между 600 К и 300 К поток почти в четыре раза больше этой линейной оценки.

Теплоёмкости тоже не постоянны: удельная теплоёмкость $c$ железа между 300 К и 600 К растёт больше чем на четверть. При низких температурах равнораспределение нарушается. Энергии колебаний квантованы, и когда $k_{B}T$ мало по сравнению с расстоянием между их уровнями, колебания «замораживаются»; их теплоёмкость тогда убывает как $T^3$ вблизи абсолютного нуля. Жёсткий алмаз показывает это даже при комнатной температуре: около 510 Дж/(кг·К) вместо 2080 по закону Дюлонга и Пти. Наконец, для самой температуры нужно много частиц, близких к равновесию: у одной молекулы есть энергия, но нет температуры.

Что дальше

Урок «Молекулярно-кинетическая теория газов» превращает $\frac{3}{2}{k}_{B}T$ в давление и скорости молекул. «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели» строит двигатели на энергетическом балансе, а «Второе начало термодинамики и энтропия» обобщает найденные здесь 76 Дж/К. «Теплопроводность, конвекция и излучение» развивает закон Фурье и излучение, «Фазовые переходы и скрытая теплота» разбирает случай, когда теплота меняет состояние, а не температуру, а «Тепловое расширение» показывает, как нагрев меняет размеры тел. Неудача равнораспределения открыла эру квантовой физики, как объясняет урок «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты».