Dilatación térmica

Principiante

Paso 1. Casi todo crece un poco al calentarse y vuelve a encogerse al enfriarse; por eso las losas de hormigón de una acera se colocan con finas juntas entre ellas. Es la dilatación térmica.

Paso 2. ¿Por qué? Un objeto está hecho de partículas diminutas que no dejan de agitarse. Si lo calientas, se agitan con más fuerza y se separan un poquito unas de otras, así que el objeto entero se vuelve algo más largo, más ancho y más grueso.

Paso 3. ¿Cuánto? El alargamiento es pequeño pero muy regular: calienta una varilla el doble y crecerá el doble; toma una varilla el doble de larga y también crecerá el doble. Una barra de aluminio de 1 m calentada 200 grados crece menos de 5 mm, pero un puente de acero largo cambia de longitud decenas de centímetros entre el invierno y el verano. La fuerza en juego es enorme, por eso los puentes llevan juntas de dilatación dentadas.

Paso 4. Cada material se dilata de forma distinta. Une una tira de latón a una tira de acero y caliéntalas: el latón crece más, así que la pareja tiene que curvarse, con el latón en el lado exterior de la curva. Estas láminas bimetálicas encienden y apagan termostatos y hervidores.

En la animación, unas llamas calientan una barra de metal y una lámina de latón y acero. El extremo de la barra sobrepasa la línea discontinua (su alargamiento está dibujado 25 veces mayor) mientras la lámina se curva hacia arriba; al apagarse las llamas, todo recupera su forma.

Ponte a prueba: la tapa metálica de un tarro de vidrio está atascada. ¿Echas agua caliente sobre la tapa o sobre el vidrio? (Sobre la tapa: el metal se dilata más que el vidrio, y la tapa se afloja.)

El agua es una extraña excepción: entre 0 °C y 4 °C se contrae al calentarse.

Intermedio

Qué se dilata, y por qué

En un sólido, los átomos ocupan posiciones casi fijas respecto a sus vecinos, unidos por enlaces que se comportan como muelles rígidos. Vibran en torno a esas posiciones, y al calentar el sólido vibran con más fuerza. Los enlaces se resisten más a que los comprimas que a que los estires, así que un átomo que se agita con más fuerza pasa más tiempo algo más alejado, y la separación media aumenta. Todas las longitudes del objeto crecen con esa separación.

Tres magnitudes describen el efecto: la longitud inicial $L_0$, el cambio de longitud $\Delta L=L-L_0$ (negativo al enfriar) y el cambio de temperatura $\Delta T$. Un salto de 1 °C equivale a uno de 1 K, así que $\Delta T$ vale lo mismo en las dos escalas: pasar de 20 °C a 220 °C es $\Delta T=200\mathrm{K}$.

La ley de la dilatación lineal

Las medidas dan una regla sencilla: el cambio de longitud es proporcional a la longitud inicial y al cambio de temperatura,
$\Delta L=\alpha L_0\Delta T$

Cada metro de una varilla se dilata por su cuenta, así que una varilla el doble de larga crece el doble. El coeficiente de dilatación lineal $\alpha$ es propio del material. Su unidad es K⁻¹ porque es el crecimiento relativo $\Delta L/L_0$ por cada kelvin: $\alpha =23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ significa que cada metro de aluminio gana 23 micrómetros por kelvin.

Valores típicos, en unidades de $10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$: invar (una aleación de hierro y níquel) 1,2; vidrio 9; acero y hormigón, unos 12; cobre 17; latón 19; aluminio 23. Como $\alpha \Delta T$ queda muy por debajo del 1 % en los calentamientos cotidianos, el cambio es fácil de pasar por alto, pero muy difícil de impedir.

Áreas, volúmenes y líquidos

Al calentar una placa uniforme, cada una de sus longitudes se multiplica por $(1+\alpha \Delta T)$, así que su área se multiplica por $(1+\alpha \Delta T{)}^2\approx 1+2\alpha \Delta T$; el término que se omite, $(\alpha \Delta T{)}^2$, es despreciable. El volumen de un bloque se multiplica por el cubo. A primer orden, el área y el volumen crecen, por tanto, según
$\Delta A\approx 2\alpha A_0\Delta T$
$\Delta V=\beta V_0\Delta T,\beta \approx 3\alpha$

Aquí $\beta$ es el coeficiente de dilatación volumétrica. También los agujeros se escalan: el hueco de un anillo crece exactamente igual que lo haría un disco del mismo material, como en una ampliación fotográfica.

Los líquidos, que no tienen forma propia, se describen solo con $\beta$. En unidades de $10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ vale unos 210 para el agua a 20 °C, 180 para el mercurio y 950 para la gasolina, frente a 27 para el vidrio. Un termómetro de líquido en vidrio lee justo esa diferencia: el líquido se dilata más que su bulbo y sube por el tubo estrecho. Por eso también rebosa al sol un depósito lleno hasta el borde de gasolina fría.

Ejemplo resuelto: la barra y la lámina de la animación

La barra de aluminio tiene $L_0=1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$ y se calienta de 20 °C a 220 °C, así que $\Delta T=200\mathrm{K}$ y
$\Delta L=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}\cdot 1000\mathrm{mm}\cdot 200\mathrm{K}=4,6\mathrm{mm}$

Es la lectura azul de $\Delta L$ a 220 °C: la barra mide ahora 1,0046 m. El alargamiento y su flecha están dibujados 25 veces mayores, porque a escala real serían invisibles.

La lámina es una tira de latón de 10 cm ($\alpha =19\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$) unida a otra de acero de 10 cm ($\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$). Libre, el latón crecería $19\times 10^{-6}\cdot 100\mathrm{mm}\cdot 200=0,38\mathrm{mm}$ y el acero, 0,24 mm: una diferencia de solo 0,14 mm. Al estar unidas, las capas no pueden deslizar una sobre otra, así que la lámina tiene que curvarse, con el latón, más largo, en el lado exterior de la curva. Aquí el latón está debajo, de modo que la lámina se curva hacia arriba.

Se curva formando un arco de radio $R\approx 25\mathrm{cm}$, que se deduce en el nivel experto. Un arco de longitud $L$ se separa de su recta de partida en unos $L^2/(2R)$, así que el extremo de la lámina de 100 mm sube $d\approx 100^2/(2\cdot 246)\approx 20\mathrm{mm}$: es la flecha verde $d$ y su lectura. Una diferencia de 0,14 mm se ha convertido en un movimiento de 20 mm: por eso la lámina sirve como interruptor.

Ejemplo resuelto: un puente y su junta de dilatación

El tablero de acero de un puente, de 120 m de largo, está fijo por un extremo y descansa por el otro sobre apoyos deslizantes. Construido a 15 °C, llega a −20 °C en las noches de invierno y a +45 °C bajo el sol del verano. ¿Qué movimiento debe permitir la junta del extremo libre?

Con $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ y $L_0=120000\mathrm{mm}$, cada kelvin cambia la longitud en $\alpha L_0=1,44\mathrm{mm}$. En verano, con $\Delta T=+30\mathrm{K}$, el tablero se alarga $1,44\cdot 30\approx 43\mathrm{mm}$; en invierno, con $\Delta T=-35\mathrm{K}$, se acorta $1,44\cdot 35\approx 50\mathrm{mm}$. La junta debe cubrir unos 94 mm, de ahí sus largos dientes de acero entrelazados.

Sin junta, los estribos tendrían que comprimir el tablero para anular el alargamiento de verano, una deformación de $\alpha \Delta T=3,6\times 10^{-4}$. Con un módulo de Young $E=200\mathrm{GPa}$, eso exige un esfuerzo $\sigma =E\alpha \Delta T=72\mathrm{MPa}$, aproximadamente la cuarta parte del esfuerzo al que empieza a ceder el acero estructural, sea cual sea la longitud del tablero.

Cómo leer la animación

Las líneas discontinuas marcan las formas en frío. La barra está fija a la pared y apoya en un rodillo, como el tablero de un puente sobre sus apoyos, de modo que todo su alargamiento aparece en el extremo libre; la lámina está sujeta solo por un extremo, así que puede curvarse libremente.

$\Delta L$ y $d$ son proporcionales a la subida de temperatura sobre 20 °C: a mitad de camino, a 120 °C, marcan 2,30 mm y unos 10 mm. Cada kelvin suma 0,023 mm a la barra y unos 0,1 mm al desplazamiento del extremo de la lámina. Al enfriar, las lecturas recorren los mismos valores hasta llegar a cero: la dilatación térmica es reversible, salvo que algo haya sido sometido a un esfuerzo superior a su límite elástico.

Errores frecuentes

• Un agujero en una placa calentada crece como cualquier otra longitud: uno de 20,00 mm en acero, calentado 100 K, pasa a 20,02 mm, y así se montan en caliente los anillos sobre los ejes.
• Los átomos no se hinchan; lo que aumenta es su separación media, un 0,46 % en la barra de la animación.
• Usa el cambio de temperatura, no la temperatura: pasar de 20 °C a 30 °C da el mismo alargamiento que pasar de 80 °C a 90 °C, y un cambio de 200 °C son 200 K, sin sumar 273.
• Las áreas crecen con $2\alpha$ y los volúmenes con $3\alpha$: un bloque de aluminio calentado 200 K gana un 1,38 % de volumen, el triple del 0,46 % de cada arista.
• No todo se dilata al calentarse: el agua se contrae al calentarse de 0 °C a 4 °C, y una goma elástica estirada se acorta.

Dónde aparece

A las estructuras largas se les deja sitio para moverse: juntas y apoyos de rodillos en los puentes, huecos entre las losas de hormigón, bucles en los oleoductos y cables eléctricos que cuelgan más bajos los días de calor. Los materiales que deben quedar unidos, como el vidrio sellado alrededor de los hilos de una bombilla o un empaste dental, se eligen con coeficientes parecidos, mientras que las láminas bimetálicas aprovechan una diferencia a propósito para conectar y desconectar hervidores, planchas y termostatos.

Esta lección se apoya en Temperatura y calor. El comportamiento extraño del agua vuelve en Cambios de estado y calor latente: al congelarse se dilata un 9 %. La dilatación impedida es la ley de Hooke en acción, tal como se estudia en Elasticidad: ley de Hooke, esfuerzo y deformación. Los gases, que se dilatan mucho más que los sólidos, se explican en Teoría cinética de los gases.

Avanzado

El coeficiente como ritmo de cambio

Todo este tema descansa sobre un único número por material, el coeficiente de dilatación $\alpha$. La regla conocida $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$ es solo una aproximación, así que conviene ver exactamente qué aproxima. La definición precisa es el crecimiento relativo de la longitud por kelvin, tomado a una sola temperatura:
$\alpha =\frac{1}{L}\frac{dL}{dT}$

El miembro de la derecha es la derivada de $\ln L$ respecto a $T$. Por tanto, al integrarla desde la temperatura inicial $T_0$ hasta $T$, se obtiene la longitud exacta:
$L=L_0\exp \left({\int }_{T_0}^T\alpha d{T}^{\prime }\right)$

Si $\alpha$ no depende de la temperatura, la integral vale simplemente $\alpha \Delta T$, y el desarrollo de la exponencial da $L=L_0{e}^{\alpha \Delta T}=L_0(1+\alpha \Delta T+\frac{1}{2}{\alpha }^2\Delta T^2+\dots )$. La ley lineal conserva solo la primera corrección, $\alpha \Delta T$, y descarta el resto. En los sólidos esto casi no cuesta nada: en la animación, $\alpha \Delta T=4,6\times 10^{-3}$, y la exponencial da 4,611 mm de crecimiento en lugar de 4,600 mm.

La verdadera debilidad de la ley lineal está en otra parte: el propio $\alpha$ cambia con la temperatura. En el aluminio real aumenta en más de una décima entre 20 °C y 220 °C, de modo que una barra real de 1 m crecería casi 5 mm, un error mucho mayor que los 0,011 mm que se pierden al descartar el término cuadrático. En intervalos amplios de temperatura hay que integrar $\alpha$.

La gráfica de $\Delta L$ frente a $T$ de la animación muestra la ley lineal: una recta que va de 0 a 20 °C hasta 4,6 mm a 220 °C, con pendiente $dL/dT=\alpha L_0=0,023mm/K$. Al enfriar, el punto vuelve a deslizarse por la misma recta. No se abre ningún lazo, porque la longitud depende solo de la temperatura actual, no de la historia de calentamientos y enfriamientos. Con la $\alpha$ del aluminio real, que varía con la temperatura, la recta se curvaría suavemente hacia arriba.

La misma definición vale para el volumen: $\beta =(1/V)dV/dT$. Un sólido isótropo, es decir, que se dilata igual en todas las direcciones, conserva su forma, así que $V\propto L^3$. Entonces $\ln V$ es $3\ln L$ más una constante, y al derivar resulta exactamente $\beta =3\alpha$. La fórmula conocida $\Delta V\approx 3\alpha V_0\Delta T$ es aproximada solo porque descarta términos en $(\alpha \Delta T{)}^2$.

Por qué los átomos calientes necesitan más sitio

¿Por qué se dilata un sólido? La respuesta está en la forma del enlace entre átomos vecinos. Supón que la fuerza entre dos vecinos fuera exactamente $-kx$, donde $x$ es el cambio de su separación respecto a su valor de equilibrio y $k$ es la rigidez del enlace. La energía potencial sería entonces una parábola, toda vibración sería simétrica respecto a $x=0$, y la separación media no cambiaría nunca, por mucho que vibraran los átomos. Un cristal con enlaces perfectamente elásticos (armónicos) no se dilataría. Los enlaces reales son asimétricos. Acercar dos átomos choca con una repulsión que crece bruscamente, porque sus nubes electrónicas se solapan, mientras que alejarlos encuentra una atracción que se debilita con la distancia.

Leyenda

$x$	Cambio en la separación de dos átomos vecinos, medido desde el fondo del pozo.	$\mathrm{m}$
$U$	Energía potencial del enlace.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}k{x}^2$	Energía de un muelle ideal de rigidez $k$: la parábola simétrica que la curva real sigue cerca de su fondo.	$\mathrm{J}$
$k_{B}T$	Energía térmica, la constante de Boltzmann por la temperatura: la altura del nivel al que vibran los átomos.	$\mathrm{J}$
$\bar{x}$	Cambio medio de la separación: la posición media del átomo que vibra, desplazada hacia $x$ positivo por el enlace asimétrico.	$\mathrm{m}$

La figura 1 representa la energía $U$ de un enlace frente al cambio $x$ de su separación. Fíjate primero en las dos curvas. La parábola discontinua $\frac{1}{2}k{x}^2$ es el muelle ideal, simétrico. La curva continua es el enlace real, asimétrico: cerca del fondo del pozo coinciden, pero en el lado comprimido (izquierda) la curva real queda por encima de la parábola, y en el lado estirado (derecha) queda por debajo.

Fíjate ahora en el nivel horizontal dibujado a la altura $k_{B}T$, la energía térmica típica de un átomo que vibra ($k_B$ es la constante de Boltzmann). Un átomo con esa energía oscila entre los dos puntos donde el nivel corta la curva continua: son sus puntos de retorno. A la izquierda la pared es empinada, así que el punto de retorno queda cerca de $x=0$. A la derecha la pared es suave, así que queda más lejos. El átomo se aleja, pues, más hacia fuera que hacia dentro, y su posición media $\bar{x}$, la línea dorada, queda en $x$ positivo, a la derecha del fondo del pozo. Un átomo más caliente ocupa un nivel más alto, en un tramo más asimétrico de la curva, y $\bar{x}$ se desplaza aún más. Esta deriva hacia fuera de la separación media, repetida en cada enlace del cristal, es la dilatación térmica.

Para hacerlo cuantitativo, el enlace asimétrico más simple añade un término cúbico al muelle, con una constante $b$ que mide la asimetría. Esta es la curva continua de la figura 1, con su asimetría exagerada:
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{3}b{x}^3$
El signo menos sitúa la energía por debajo de la parábola para $x>0$ y por encima para $x<0$, como en la figura. La fuerza sobre el átomo es $-dU/dx=-kx+b{x}^2$.

Ahora promediemos sobre el movimiento. Un átomo que vibra permanece en su sitio en promedio, así que el promedio temporal de la fuerza sobre él debe anularse: $k\bar{x}=b\overline{x^2}$, donde $\overline{x^2}$ es el desplazamiento cuadrático medio. Como $b$ es pequeño, basta tomar $\overline{x^2}$ del muelle armónico. Para una vibración de energía $E_{\mathrm{vib}}$, la mitad es energía potencial en promedio, de modo que $\frac{1}{2}k\overline{x^2}=\frac{1}{2}{E}_{\mathrm{vib}}$ y $\bar{x}=b{E}_{\mathrm{vib}}/k^2$. Un oscilador clásico en equilibrio térmico tiene en promedio $E_{\mathrm{vib}}=k_{B}T$, lo que da
$\bar{x}=\frac{b{k}_{B}T}{k^2}$
Promediar $x$ con el factor de Boltzmann $e^{-U/k_{B}T}$, a primer orden en $b$, da el mismo resultado. Así, la figura 1, que sigue una vibración de energía $k_{B}T$, marca el mismo $\bar{x}$ que el promedio térmico.

El desplazamiento medio crece en proporción a la temperatura. Al dividir por la separación de equilibrio $r_0$ se obtiene el crecimiento relativo por kelvin, $\alpha \approx b{k}_B/(k^2{r}_0)$: constante a temperaturas ordinarias y proporcional a $b$. El coeficiente de dilatación es una medida directa de lo asimétricos que son los enlaces.

Qué fija el tamaño del coeficiente

La misma imagen explica una regularidad llamativa. La fusión y la dilatación dependen de hasta qué altura del pozo de potencial llega la energía térmica: un sólido se funde cuando sus vibraciones llegan a ser una fracción apreciable de la distancia entre átomos, y se dilata a medida que los átomos suben por el pozo asimétrico. Un pozo profundo y rígido da, por tanto, una temperatura de fusión alta y un $\alpha$ pequeño, y en muchos metales su producto es aproximadamente el mismo, en torno a 0,02. Para el aluminio, $23\times 10^{-6}\cdot 933\approx 0,021$; para el wolframio, $4,5\times 10^{-6}\cdot 3695\approx 0,017$.

El invar, una aleación de hierro y níquel, rompe la regla: una contracción magnética compensa casi por completo su dilatación normal, un descubrimiento que le valió a Charles-Édouard Guillaume el premio Nobel en 1920 y que hace del invar un material valioso en los instrumentos de precisión.

A bajas temperaturas la imagen clásica deja de valer. Las vibraciones se congelan en su estado fundamental cuántico, que apenas gana energía cuando sube la temperatura. La dilatación sigue a la energía de vibración, así que $\alpha$ tiende a cero junto con la capacidad calorífica, como exige la tercera ley de la termodinámica. Su cociente se mantiene casi constante (regla de Grüneisen).

Esfuerzo térmico en una varilla bloqueada

¿Qué ocurre cuando se impide la dilatación? Toma una varilla sujeta entre paredes rígidas. No puede cambiar de longitud, así que las paredes deben comprimirla exactamente lo que se habría dilatado: imponen una deformación elástica $-\alpha \Delta T$ que cancela la dilatación libre. Según la ley de Hooke, el esfuerzo es el módulo de Young $E$ por la deformación, de modo que se necesita un esfuerzo de magnitud
$\sigma =E\alpha \Delta T$
El esfuerzo es de compresión al calentar y de tracción al enfriar. Fíjate en que la longitud ha desaparecido, porque solo importa la deformación relativa: una varilla de acero de 1 m y un raíl de acero de 1 km ganan ambos 2,4 MPa de esfuerzo por kelvin.

La lámina que se curva

Una lámina formada por dos metales unidos, como latón sobre acero, queda bloqueada solo en parte. Cada capa intenta dilatarse a su manera, pero la unión las obliga a compartir una misma forma, y el compromiso es una curvatura. Así convierte un termostato un cambio de temperatura en un movimiento. Para hallar la curvatura hay que saber cómo varía la deformación a lo largo del espesor de la lámina.

Leyenda

$y$	Posición a través de la lámina, medida desde la interfaz hacia el centro de curvatura (el lado del acero es positivo).	$\mathrm{m}$
$h$	Espesor de la lámina, las dos capas juntas.	$\mathrm{m}$
$\epsilon$	Deformación a lo largo de la lámina: el cambio relativo de longitud.
${\epsilon }_0$	Deformación en la interfaz, $y=0$: la media de las dos deformaciones libres cuando las capas son iguales.
$R$	Radio de curvatura de la lámina curvada; la recta azul decrece $1/R$ por unidad de $y$.	$\mathrm{m}$
${\alpha }_1\Delta T$	Deformación que tendría el latón si estuviera libre: su coeficiente ${\alpha }_1$ por la subida de temperatura.
${\alpha }_2\Delta T$	Deformación que tendría el acero si estuviera libre: su coeficiente ${\alpha }_2$ por la subida de temperatura.
${\sigma }_1$	Esfuerzo en el latón: $E$ por la separación entre la recta azul y la deformación libre propia del latón.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_2$	Esfuerzo en el acero: $E$ por la separación entre la recta azul y la deformación libre propia del acero.	$\mathrm{Pa}$

La figura 2 es un corte por el espesor $h$ de la lámina. El eje vertical es la posición $y$ a través de la lámina, medida desde la interfaz hacia el centro de curvatura, de modo que el acero (gris) ocupa $0<y<h/2$ y el latón (dorado) ocupa $-h/2<y<0$. El eje horizontal es la deformación $\epsilon$ a lo largo de la lámina.

Empieza por las dos rectas verticales. Son las deformaciones que tendría cada capa si estuviera libre: ${\alpha }_1\Delta T$ para el latón y ${\alpha }_2\Delta T$ para el acero. El latón se dilata más, ${\alpha }_1>{\alpha }_2$, así que su recta queda más a la derecha.

Ahora, la recta azul. Unidas, las capas deben curvarse como una sola, con un radio $R$. En una flexión, cada rebanada fina de la lámina se alarga o se acorta en proporción a su distancia al centro de curvatura, de modo que la deformación varía linealmente a lo largo del espesor:
$\epsilon (y)={\epsilon }_0-\frac{y}{R}$
Aquí ${\epsilon }_0$ es la deformación en la interfaz. La recta decrece hacia el centro de curvatura, por lo que el latón, en la parte exterior de la curva, es el que más se estira.

Una capa soporta esfuerzo solo por la parte de su deformación que no es dilatación libre, así que el esfuerzo es $E(\epsilon -{\alpha }_i\Delta T)$, con ${\alpha }_1$ en el latón y ${\alpha }_2$ en el acero. En la figura es $E$ por la separación horizontal entre la recta azul y la recta vertical propia de la capa: las cuñas verdes, ${\sigma }_1$ en el latón y ${\sigma }_2$ en el acero. Junto a la interfaz, la recta azul queda a la izquierda de la del latón y a la derecha de la del acero, así que el latón está comprimido y el acero estirado. Cerca de las caras exteriores la recta azul ha cruzado las verticales, y los signos se invierten.

La recta azul tiene dos incógnitas, su posición ${\epsilon }_0$ y su pendiente $1/R$. Sobre la lámina no actúa ninguna carga exterior, así que los esfuerzos deben dar fuerza neta nula y momento flector neto nulo. Estas dos condiciones fijan las dos incógnitas.

Toma espesores y módulos iguales. El término $-y/R$ aporta fuerzas iguales y opuestas en las dos mitades, así que la fuerza neta se anula solo si ${\epsilon }_0$ es la media de las dos deformaciones libres, ${\epsilon }_0=\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2)\Delta T$: la recta azul corta la interfaz a medio camino entre las dos rectas verticales. Respecto a ese valor, el latón está comprimido y el acero estirado con la misma deformación de desajuste $\frac{1}{2}\Delta \alpha \Delta T$, donde $\Delta \alpha ={\alpha }_1-{\alpha }_2$. Por unidad de anchura, estas dos fuerzas iguales y opuestas, de $\frac{1}{4}E\Delta \alpha \Delta Th$ cada una, actúan separadas $h/2$ y forman un par de momento $\frac{1}{8}E\Delta \alpha \Delta T{h}^2$. El esfuerzo de flexión $-Ey/R$ aporta el momento opuesto $E{h}^3/(12R)$. Igualando los dos momentos resulta
$\frac{1}{R}=\frac{3\Delta \alpha \Delta T}{2h}\text{(espesores y moˊdulos iguales)}$
Con esta pendiente, la recta azul corta cada recta vertical a dos tercios del camino entre la interfaz y la cara exterior, como se ha dibujado.

Para la animación, $\Delta \alpha =7\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, $\Delta T=200\mathrm{K}$ y $h=0,5\mathrm{mm}$ dan $1/R=4,2{\mathrm{m}}^{-1}$. La animación usa la fórmula general de Stephen Timoshenko, de 1925, con los módulos reales (latón 100 GPa, acero 200 GPa), y obtiene $4,07{\mathrm{m}}^{-1}$, un radio de 24,6 cm.

¿Cuánto se mueve el extremo? Para ángulos pequeños, una circunferencia se confunde con una parábola, así que un arco de radio $R$ se aparta de su tangente inicial, tras una longitud $L$, en
$d\approx \frac{L^2}{2R}$
La lámina de 10 cm levanta, por tanto, su extremo unos 20,4 mm. El arco exacto, que hace girar el extremo 23°, da los 20,1 mm de la lectura verde. Combinando las dos fórmulas resulta $d=3\Delta \alpha \Delta T{L}^2/(4h)$: reducir el espesor a la mitad duplica el movimiento, y duplicar la longitud lo cuadruplica. Por eso los termostatos usan láminas largas, finas o enrolladas.

La curva del agua

La mayoría de los líquidos se dilatan de forma regular al calentarse. El agua entre 0 °C y unos 4 °C hace lo contrario, y esta pequeña anomalía decide cómo se congelan los lagos.

Leyenda

$T$	Temperatura, aquí en grados Celsius.	${}^{\circ }\mathrm{C}$
$\rho$	Densidad del agua líquida.	$kg/{\mathrm{m}}^3$
$T_m$	Temperatura del máximo de densidad, 3,98 °C.	${}^{\circ }\mathrm{C}$
${\rho }_m$	Máxima densidad del agua líquida, 999,97 kg/m³, alcanzada en $T_m$.	$kg/{\mathrm{m}}^3$
$\beta$	Coeficiente de dilatación volumétrica en el punto de tangencia: negativo donde la densidad crece con $T$, nulo en el máximo, positivo donde decrece.	${\mathrm{K}}^{-1}$

La figura 3 muestra la densidad $\rho$ del agua de 0 a 12 °C, el panel derecho de la animación, con su tangente dibujada a tres temperaturas. Para leer el coeficiente de dilatación en esta curva, observa que, para una masa fija, la densidad es inversamente proporcional al volumen, así que $\beta =-(1/\rho )d\rho /dT$. La pendiente de la curva es, por tanto, $-\beta \rho$, y su signo es siempre opuesto al de $\beta$.

Sigue ahora las tangentes de izquierda a derecha. A la izquierda la curva sube, así que la pendiente es positiva y $\beta <0$: unos $-68\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ a 0 °C, lo que significa que allí calentar el agua la hace encoger. En el máximo la tangente es horizontal y $\beta =0$. Es la temperatura $T_m=3,98$ °C de máxima densidad, ${\rho }_m=999,97kg/{\mathrm{m}}^3$. Más allá la curva baja y $\beta >0$, como en cualquier otro líquido. El eje vertical está muy estirado: de 4 °C a 12 °C la densidad baja menos de un 0,05 %.

Esta anomalía gobierna los lagos. En otoño, el agua superficial enfriada es más densa que la de debajo, así que se hunde, hasta que todo el lago está a unos 4 °C. Si sigue enfriándose, el agua superficial se hace más ligera, no más pesada, y se queda arriba, donde se congela, mientras el fondo se mantiene cerca de 4 °C bajo el hielo flotante.

Cuando calentar hace encoger

La anomalía del agua es estructural. El hielo es una red abierta, unida por enlaces de hidrógeno y llena de espacio vacío. Al fundirse se derrumba en parte, y los grupos de tipo hielo que sobreviven en el líquido frío siguen deshaciéndose al calentarlo, con lo que las moléculas pueden empaquetarse más juntas. Esta contracción compite con la dilatación ordinaria de los enlaces, y gana hasta los 3,98 °C.

Una goma elástica que sostiene un peso se acorta al calentarse, por una razón distinta. Su tracción procede sobre todo de moléculas largas en cadena: una cadena estirada tiene muchas menos disposiciones posibles que una arrugada, así que tiene menor entropía, y el calor empuja las cadenas de nuevo hacia formas más cortas y desordenadas. La termodinámica relaciona esto con un efecto térmico sin ningún modelo molecular. Sea $f$ la fuerza de tracción y $L$ la longitud de la goma. La energía libre $F=U-TS$ cambia entonces según $dF=-SdT+fdL$. Como $F$ es una función de $T$ y de $L$, sus derivadas segundas cruzadas son iguales, y eso da una relación de Maxwell:
${\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)}_L$

La tracción de la goma a longitud fija aumenta con la temperatura, así que el miembro de la derecha es negativo: estirar la goma reduce su entropía, y la goma tiene que desprender calor. Si se estira deprisa, antes de que ese calor escape, la goma se calienta. Un hilo de acero mantenido a longitud fija se comporta al revés: calentarlo alivia su estiramiento, de modo que pierde tracción, $EA\alpha$ por kelvin para una sección $A$. El signo se invierte, y un estiramiento rápido enfría el acero, en torno a 0,1 K con 100 MPa.

Problema resuelto: la barra entre dos paredes

El esfuerzo térmico puede ser enorme, pero una barra esbelta tiene una salida. Este problema pone números a ambas cosas.

Leyenda

$L$	Longitud de la barra entre las paredes.	$\mathrm{m}$
$a$	Lado de la sección cuadrada de la barra.	$\mathrm{m}$
$F$	Fuerza de compresión entre cada pared y la barra; antes del pandeo, $F=\sigma a^2$.	$\mathrm{N}$
$\delta$	Desplazamiento lateral del punto medio de la barra arqueada, exagerado aquí.	$\mathrm{m}$
$L/2$	Longitud del tramo entre los dos puntos de inflexión: la mitad de la barra.	$\mathrm{m}$

La figura 4 muestra la barra de aluminio de 1 m de la animación con el rodillo sustituido por una segunda pared rígida, de modo que queda sujeta por los dos extremos. Su longitud es $L$ y su sección cuadrada tiene lado $a=10\mathrm{mm}$, así que su área es $a^2=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$; toma $E=70\mathrm{GPa}$. Cada pared empuja la barra con la fuerza $F$.

Primero, supón que la barra sigue recta durante los 200 K completos. Haría falta el esfuerzo
$\sigma =E\alpha \Delta T=70\times 10^9\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 200\approx 3,2\times 10^8\mathrm{Pa}$
es decir, 322 MPa, o $F=\sigma a^2=32\mathrm{kN}$ sobre cada pared. Incluso una aleación de aluminio estructural resistente cede hacia 280 MPa, de modo que la barra se aplastaría plásticamente y quedaría acortada para siempre.

En realidad, una barra esbelta falla mucho antes, por pandeo. La figura la muestra después de arquearse de lado, con su punto medio desplazado $\delta$; el contorno discontinuo es la barra recta, y el arqueo está exagerado. Como los extremos empotrados no pueden girar, la barra adopta la forma de una onda completa, con puntos de inflexión (los puntos) a un cuarto y a tres cuartos de su longitud. En un punto de inflexión la curvatura de la barra se anula y, como el momento flector es proporcional a la curvatura, allí el momento es nulo, igual que en un extremo libre de girar. El tramo entre los puntos, de longitud $L/2$, se comporta por tanto como una barra con los extremos libres de girar, y una barra así se pandea con la fuerza ${\pi }^{2}EI/(L/2{)}^2$. Aquí $I$ es el momento de inercia de la sección, $I=a^4/12$ para un cuadrado. Así, una barra con los extremos empotrados se arquea de lado en cuanto la fuerza de compresión alcanza $4{\pi }^{2}EI/L^2$, y al dividir por el área $a^2$ se obtiene el esfuerzo crítico
${\sigma }_c=\frac{4{\pi }^{2}EI}{a^2{L}^2}=\frac{{\pi }^{2}E{a}^2}{3L^2}\approx 23\mathrm{MPa}$

La barra se pandea cuando el esfuerzo térmico alcanza este valor. Igualando $E\alpha \Delta T_c={\sigma }_c$, el módulo se cancela:
$\Delta T_c=\frac{{\pi }^2{a}^2}{3\alpha L^2}=\frac{{\pi }^2\cdot 0,01^2}{3\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 1^2}\approx 14\mathrm{K}$

Tras solo 14 K, cuando una barra libre habría crecido apenas 0,33 mm, la barra sujeta se arquea de lado. Los raíles se pandearían igual los días de calor si las traviesas y el balasto no los sujetaran lateralmente.

Límites de validez

La ley lineal supone dos cosas. La primera, $\alpha \Delta T\ll 1$, se cumple siempre en los sólidos: 1000 K cambian el acero solo en torno a un 1,2 %. La segunda, un $\alpha$ constante, es el verdadero límite: en intervalos amplios hay que integrar $\alpha$. Cerca del cero absoluto la dilatación se extingue: el $\alpha$ del cobre a 50 K es solo una cuarta parte, aproximadamente, de su valor a temperatura ambiente, $17\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$. En un cambio de fase la ley falla de golpe: el agua se dilata un 9 % al congelarse, y el acero se contrae ligeramente al cambiar su estructura cristalina hacia los 900 °C.

Las fórmulas suponen además una temperatura uniforme. Vierte agua hirviendo en un vaso grueso y frío: la superficie interior se calienta unos 50 K mientras el exterior sigue frío. La capa caliente queda bloqueada por la fría, como en la varilla entre paredes, y los esfuerzos son del orden de $E\alpha \Delta T\approx 70\times 10^9\cdot 9\times 10^{-6}\cdot 50\approx 30\mathrm{MPa}$, comparables a la resistencia práctica del vidrio común. El vidrio de borosilicato, con $\alpha \approx 3,3\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, sufre en torno a un tercio de eso, y por eso se usa en vajilla de horno y en material de laboratorio.

Los gases no cumplen nada de esto. A presión constante, un gas ideal tiene $\beta =1/T$, unos $3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ a 20 °C, dieciséis veces el valor del agua.

Lo que viene después

Temperatura y calor aporta el kelvin; Elasticidad: ley de Hooke, esfuerzo y deformación aporta $\sigma =E\epsilon$, que está detrás del esfuerzo térmico y del pandeo. Teoría cinética de los gases explica por qué un gas se dilata una fracción $1/T$ por kelvin, y Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas pone esa dilatación a trabajar. La anomalía de los 4 °C da forma a la convección de Conducción, convección y radiación, el hielo vuelve en Cambios de estado y calor latente, y la entropía de una goma elástica anticipa La segunda ley de la termodinámica y la entropía.

La dilatación llega incluso a la geometría. Imagina una placa fría en el centro y caliente en el borde, medida por habitantes que usan reglas del mismo material que la placa. Cerca del borde sus reglas se alargan, así que cuentan menos longitudes de regla alrededor de una circunferencia que de lado a lado: las circunferencias alrededor del centro miden menos de $2\pi$ veces su radio, y los triángulos tienen ángulos que suman más de $180^{\circ }$, como en una esfera. En La gravedad como curvatura del espacio-tiempo, la masa hace a las reglas y a los relojes lo que aquí hace el calor.