ऊष्मीय प्रसार

पुलों में जोड़ क्यों होते हैं, थर्मोस्टैट क्यों क्लिक करते हैं और झीलें ऊपर से क्यों जम जाती हैं: अधिकांश पदार्थ गर्म होने पर फैलते हैं, $Δ L = α L_{0} Δ T$ के अनुसार।

एक एल्युमिनियम की छड़ और एक पीतल-स्टील की पट्टी को 20 °C से 220 °C तक गर्म करके फिर ठंडा किया जाता है: छड़ लंबी होती है और पट्टी ऊपर की ओर मुड़ जाती है, और दोनों अपने मूल आकार में लौट आते हैं।

इस विषय से पहले: ताप और ऊष्मा, प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति

शुरुआती

मुख्य विचार

अधिकांश वस्तुएँ गर्म होने पर फैलती हैं और ठंडी होने पर वापस सिकुड़ती हैं: उनके कंपन करते कण थोड़े और दूर खिसक जाते हैं।
वृद्धि लंबाई और तापमान में वृद्धि के समानुपाती होती है: दोगुनी लंबाई की छड़ दोगुनी फैलती है।
परिवर्तन छोटा है पर बल बहुत बड़ा है, इसलिए पुलों, फुटपाथों और रेल-पटरियों में जोड़ या खाली जगह चाहिए।
अलग-अलग पदार्थ अलग मात्रा में फैलते हैं: पीतल-स्टील की पट्टी गर्म होने पर मुड़ती है, और कई थर्मोस्टैट इसी से काम करते हैं।

चरण 1। लगभग हर चीज़ गर्म होने पर थोड़ी फैलती है और ठंडी होने पर फिर सिकुड़ती है, इसीलिए कंक्रीट के फुटपाथ के स्लैबों के बीच पतली खाली जगह छोड़ी जाती है। इसे ऊष्मीय प्रसार कहते हैं।

चरण 2। ऐसा क्यों होता है? हर वस्तु बहुत छोटे कणों से बनी होती है, जो लगातार कंपन करते रहते हैं। गर्म करने पर वे और ज़ोर से कंपन करते हैं और एक-दूसरे को थोड़ा और दूर धकेलते हैं, इसलिए पूरी वस्तु थोड़ी लंबी, चौड़ी और मोटी हो जाती है।

चरण 3। कितना? वृद्धि छोटी है पर बहुत नियमित है: छड़ को दोगुना गर्म करें तो वह दोगुनी फैलती है; दोगुनी लंबी छड़ भी दोगुनी फैलती है। 200 डिग्री से गर्म की गई 1 m की एल्युमिनियम छड़ 5 mm से भी कम बढ़ती है, फिर भी एक लंबा स्टील का पुल सर्दी और गर्मी के बीच दसियों सेंटीमीटर तक लंबाई बदल देता है। धक्का देने वाला बल बहुत अधिक होता है, इसीलिए पुलों में दाँतेदार प्रसार-संधियाँ लगाई जाती हैं।

चरण 4। अलग-अलग पदार्थ अलग मात्रा में फैलते हैं। पीतल की एक पट्टी को स्टील की एक पट्टी से जोड़कर गर्म करें: पीतल अधिक फैलता है, इसलिए यह जोड़ी मुड़ जाती है, और पीतल मोड़ के बाहरी ओर रहता है। ऐसी द्विधात्विक पट्टियाँ थर्मोस्टैट और केतली को चालू-बंद करती हैं।

ऐनिमेशन में लपटें एक धात्विक छड़ और एक पीतल-स्टील की पट्टी को गर्म करती हैं। छड़ का सिरा बिंदीदार रेखा के आगे खिसक जाता है (उसकी वृद्धि 25 गुना बड़ी करके दिखाई गई है), जबकि पट्टी ऊपर की ओर मुड़ती है; लपटें बुझने पर दोनों अपने मूल आकार में लौट आते हैं।

स्वयं जाँचें: एक धातु का ढक्कन काँच के जार पर अटक गया है। उसे खोलने के लिए ढक्कन पर गर्म पानी डालें या काँच पर? (ढक्कन पर: धातु काँच से अधिक फैलती है, इसलिए ढक्कन ढीला हो जाता है।)

जल एक विचित्र अपवाद है: 0 °C और 4 °C के बीच यह गर्म होने पर सिकुड़ता है।

मध्यम

मुख्य विचार

$Δ L = α L_{0} Δ T$ : वृद्धि मूल लंबाई और तापमान-परिवर्तन के समानुपाती होती है; $α$ का मात्रक K⁻¹ है।
प्रतिनिधि $α$ : स्टील 12, पीतल 19, एल्युमिनियम 23 (×10⁻⁶ K⁻¹); 200 K से गर्म की गई 1 m एल्युमिनियम छड़ 4.6 mm बढ़ती है।
क्षेत्रफल $Δ A \approx 2 α A Δ T$ और आयतन $Δ V \approx 3 α V Δ T$ से बढ़ते हैं; द्रवों का वर्णन आयतन-गुणांक $β$ से होता है।
गर्म की गई प्लेट में बना छेद भी बढ़ता है: हर लंबाई उसी अनुपात में बढ़ती है, जैसे फ़ोटो का बड़ा होना।

क्या फैलता है और क्यों

ठोस में परमाणु अपने पड़ोसियों से लगभग निश्चित दूरी पर रहते हैं, और वे कठोर स्प्रिंग जैसे बंधनों से जुड़े होते हैं। वे अपनी स्थिति के आसपास कंपन करते हैं, और गर्म करने से यह कंपन और तेज़ हो जाता है। बंधन खिंचने की तुलना में दबने का अधिक विरोध करते हैं, इसलिए जो परमाणु अधिक ज़ोर से हिलता है, वह थोड़ी अधिक दूरी पर अधिक समय बिताता है, और औसत अंतर बढ़ जाता है। वस्तु की हर लंबाई इसी अंतर के साथ बढ़ती है।

इस प्रभाव को तीन राशियाँ वर्णित करती हैं: मूल लंबाई $L_{0}$ , लंबाई में परिवर्तन $Δ L = L - L_{0}$ (ठंडा करने पर ऋणात्मक) और तापमान में परिवर्तन $Δ T$ । 1 °C की वृद्धि उतनी ही होती है जितनी 1 K की, इसलिए $Δ T$ दोनों पैमानों पर एक ही मान का होता है: 20 °C से 220 °C तक गर्म करने पर $Δ T = 200 K$ होता है।

रैखिक प्रसार का नियम

मापों से एक सरल नियम मिलता है: लंबाई में परिवर्तन मूल लंबाई और तापमान-परिवर्तन दोनों के समानुपाती होता है,
$Δ L = α L_{0} Δ T$

छड़ का हर मीटर अपने आप फैलता है, इसलिए दोगुनी लंबी छड़ भी दोगुनी फैलती है। रैखिक प्रसार गुणांक $α$ पदार्थ का गुण है। इसका मात्रक K⁻¹ है, क्योंकि यह प्रति केल्विन भिन्नात्मक वृद्धि $Δ L / L_{0}$ है: $α = 23 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ का अर्थ है कि एल्युमिनियम का हर मीटर प्रति केल्विन 23 माइक्रोमीटर बढ़ता है।

विशिष्ट मान, $1 0^{- 6} K^{- 1}$ इकाई में: इनवार (लोहा-निकल मिश्रधातु) 1.2, काँच 9, स्टील और कंक्रीट लगभग 12, ताँबा 17, पीतल 19, एल्युमिनियम 23। रोज़मर्रा के तापन में $α Δ T$ 1% से काफ़ी कम रहता है, इसलिए यह परिवर्तन नज़रअंदाज़ करना आसान है, पर रोकना कठिन है।

क्षेत्रफल, आयतन और द्रव

एकसमान प्लेट को गर्म करने पर उसकी हर लंबाई $(1 + α Δ T)$ गुना हो जाती है, इसलिए उसका क्षेत्रफल $(1 + α Δ T)^{2} \approx 1 + 2 α Δ T$ गुना हो जाता है; छोड़ा गया पद $(α Δ T)^{2}$ नगण्य है। किसी ब्लॉक का आयतन इसी गुणक के घन से गुणित होता है। प्रथम कोटि तक, क्षेत्रफल और आयतन इस प्रकार बढ़ते हैं
$Δ A \approx 2 α A_{0} Δ T$
$Δ V = β V_{0} Δ T, β \approx 3 α$

यहाँ $β$ आयतन-प्रसार गुणांक है। छेद भी अनुपात में बढ़ते हैं: किसी वलय का खुला भाग ठीक उसी प्रकार बढ़ता है जैसे उसी पदार्थ की एक डिस्क, जैसे फ़ोटो का बड़ा होना।

द्रवों का अपना कोई निश्चित आकार नहीं होता, इसलिए उनका वर्णन केवल $β$ से होता है। $1 0^{- 6} K^{- 1}$ इकाई में 20 °C पर जल लगभग 210 है, पारा 180 और पेट्रोल 950, जबकि काँच केवल 27। द्रव-काँच थर्मामीटर इसी अंतर से पढ़ा जाता है: द्रव अपने बल्ब से अधिक फैलता है और पतली नली में ऊपर चढ़ता है। इसी कारण धूप में रखी, ठंडे पेट्रोल से पूरी तरह भरी टंकी से पेट्रोल छलक जाता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की छड़ और पट्टी

एल्युमिनियम की छड़ की $L_{0} = 1 m = 1000 mm$ है और इसे 20 °C से 220 °C तक गर्म किया जाता है, इसलिए $Δ T = 200 K$ और
$Δ L = 23 \times 1 0^{- 6} K^{- 1} \cdot 1000 mm \cdot 200 K = 4.6 mm$

यह 220 °C पर नीले $Δ L$ का पाठ्यांक है: छड़ अब 1.0046 m लंबी है। वृद्धि और उसका तीर 25 गुना बड़े करके बनाए गए हैं, क्योंकि वास्तविक पैमाने पर वे दिखाई ही नहीं देंगे।

पट्टी 10 cm पीतल ( $α = 19 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ ) को 10 cm स्टील ( $α = 12 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ ) से जोड़कर बनी है। मुक्त होने पर पीतल $19 \times 1 0^{- 6} \cdot 100 mm \cdot 200 = 0.38 mm$ बढ़ता और स्टील 0.24 mm, यानी असंगति केवल 0.14 mm होती। जुड़ी होने पर दोनों परतें एक-दूसरे पर फिसल नहीं सकतीं, इसलिए पट्टी को मुड़ना पड़ता है, और लंबी पीतल की परत मोड़ के बाहरी ओर होती है। यहाँ पीतल नीचे है, इसलिए पट्टी ऊपर की ओर मुड़ती है।

यह त्रिज्या $R \approx 25 cm$ के चाप में मुड़ती है, जिसे विशेषज्ञ स्तर पर निकाला गया है। लंबाई $L$ का चाप अपनी प्रारंभिक रेखा से लगभग $L^{2} / (2 R)$ ऊपर उठता है, इसलिए 100 mm की पट्टी का सिरा $d \approx 10 0^{2} / (2 \cdot 246) \approx 20 mm$ उठता है: यही हरा $d$ तीर और उसका पाठ्यांक है। 0.14 mm की असंगति 20 mm की गति बन गई है, और यही इसे एक अच्छा स्विच बनाता है।

उदाहरण: पुल और उसकी प्रसार-संधि

120 m लंबा एक स्टील का पुल-डेक एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर खिसकने वाले बेयरिंग पर टिका है। यह 15 °C पर बना, सर्दी की रातों में −20 °C तक और गर्मी की धूप में +45 °C तक पहुँचता है। मुक्त सिरे की संधि को कितनी गति सहनी होगी?

$α = 12 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ और $L_{0} = 120000 mm$ के साथ, हर केल्विन पर लंबाई $α L_{0} = 1.44 mm$ बदलती है। गर्मी में, $Δ T = + 30 K$ के साथ, डेक $1.44 \cdot 30 \approx 43 mm$ बढ़ता है; सर्दी में, $Δ T = - 35 K$ के साथ, वह $1.44 \cdot 35 \approx 50 mm$ घटता है। संधि को लगभग 94 mm की गति सहनी होगी, इसीलिए उसमें स्टील के लंबे, आपस में फँसने वाले दाँते होते हैं।

संधि के बिना, अबटमेंट को गर्मी की वृद्धि को वापस दबाना पड़ता, यानी विकृति $α Δ T = 3.6 \times 1 0^{- 4}$ । यंग गुणांक $E = 200 GPa$ के साथ इसके लिए प्रतिबल $σ = E α Δ T = 72 MPa$ चाहिए, जो लगभग उस प्रतिबल का एक-चौथाई है जिस पर संरचनात्मक स्टील का पराभव (yield) शुरू होता है, चाहे डेक कितना भी लंबा हो।

ऐनिमेशन को पढ़ना

बिंदीदार रेखाएँ ठंडी अवस्था के आकार दिखाती हैं। छड़ दीवार से जुड़ी है और एक रोलर पर टिकी है, जैसे पुल का डेक अपने बेयरिंग पर टिका होता है, इसलिए उसकी सारी वृद्धि मुक्त सिरे पर दिखती है; पट्टी केवल एक सिरे पर कसी है, इसलिए वह मुड़ने के लिए स्वतंत्र है।

$Δ L$ और $d$ दोनों 20 °C से ऊपर की वृद्धि के समानुपाती हैं: बीच में, 120 °C पर, वे क्रमशः 2.30 mm और लगभग 10 mm पढ़ते हैं। हर केल्विन छड़ में 0.023 mm जोड़ता है और पट्टी के विक्षेप में लगभग 0.1 mm। ठंडा करने पर पाठ्यांक उन्हीं मानों से होकर वापस शून्य पर लौटते हैं: ऊष्मीय प्रसार उत्क्रमणीय है, जब तक कि कोई वस्तु अपनी प्रत्यास्थ सीमा से अधिक प्रतिबल में न डाली गई हो।

सामान्य गलतियाँ

गर्म प्लेट का छेद भी बाकी लंबाइयों की तरह बढ़ता है: स्टील में 20.00 mm का छेद 100 K गर्म होने पर 20.02 mm हो जाता है, इसी से छल्लों को शाफ़्ट पर संकुचन-फिट किया जाता है।
परमाणु फूलते नहीं; उनका औसत अंतर बढ़ता है, और ऐनिमेशन की छड़ में यह 0.46% है।
तापमान नहीं, तापमान-परिवर्तन लें: 20 °C से 30 °C और 80 °C से 90 °C पर वृद्धि समान है, और 200 °C का परिवर्तन 200 K है, इसमें 273 नहीं जोड़ा जाता।
क्षेत्रफल $2 α$ से और आयतन $3 α$ से बढ़ता है: 200 K गर्म किए गए एल्युमिनियम ब्लॉक का आयतन 1.38% बढ़ता है, जो हर किनारे की 0.46% वृद्धि का तीन गुना है।
हर चीज़ गर्म होने पर नहीं फैलती: जल 0 °C से 4 °C तक गर्म होने पर सिकुड़ता है, और खिंचा हुआ रबर बैंड छोटा हो जाता है।

इसका प्रयोग कहाँ होता है

लंबी संरचनाओं को हिलने-डुलने की जगह चाहिए: पुलों पर संधियाँ और रोलर बेयरिंग, कंक्रीट स्लैबों के बीच खाली जगहें, पाइपलाइनों में मोड़, और बिजली की तारें जो गर्म दिनों में नीचे झूल जाती हैं। जो पदार्थ जुड़े रहना चाहिए, जैसे बल्ब के तारों के चारों ओर सील किया गया काँच या दाँत में भरा गया मसाला, उनके गुणांक मिलते-जुलते चुने जाते हैं, जबकि द्विधात्विक पट्टियाँ केतली, इस्त्री और थर्मोस्टैट को चालू-बंद करने के लिए जानबूझकर असंगति का उपयोग करती हैं।

यह पाठ “ताप और ऊष्मा” पर आधारित है। जल का विचित्र व्यवहार “अवस्था परिवर्तन और गुप्त ऊष्मा” में फिर आता है: जमने पर पानी 9% फैलता है। अवरुद्ध प्रसार “प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति” का प्रतिबल-विकृति नियम है, और गैसें, जो ठोसों से कहीं अधिक फैलती हैं, “गैसों का अणुगति सिद्धांत” में समझाई जाती हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

$α = (1/ L) d L / d T$ ; $α Δ T ≪ 1$ के लिए $L \approx L_{0} (1 + α Δ T)$ : ढलान $α L_{0}$ की सीधी रेखा, जो ठंडा करने पर उसी पर लौटती है।
प्रसार परमाणु-बंधन की असंनादी (anharmonic) होने से आता है: परवलयिक स्थितिज में औसत दूरी कंपन के बावजूद नहीं बढ़ती।
अवरुद्ध प्रसार $σ = E α Δ T$ देता है; द्विधात्विक पट्टी $1/ R = 3 Δ α Δ T / (2 h)$ के अनुसार मुड़ती है और उसका सिरा $d \approx L^{2} / (2 R)$ तक उठता है।
जल का घनत्व 3.98 °C पर अधिकतम होता है, क्योंकि बर्फ जैसी व्यवस्था टूटती है; इसलिए झील की तली 4 °C पर रहती है और ऊपर से जमती है।

बदलाव की दर के रूप में गुणांक

इस पाठ की हर बात प्रत्येक पदार्थ की एक संख्या पर टिकी है: प्रसार गुणांक $α$ । परिचित नियम $Δ L = α L_{0} Δ T$ केवल एक सन्निकटन है, इसलिए यह देखना उपयोगी है कि यह वास्तव में किसका सन्निकटन है। सटीक परिभाषा है: किसी एक तापमान पर प्रति केल्विन लंबाई की भिन्नात्मक वृद्धि:
$α = \frac{1}{L} \frac{d L}{d T}$

दायाँ पक्ष $ln L$ का $T$ के सापेक्ष अवकलज है। इसे प्रारंभिक तापमान $T_{0}$ से $T$ तक समाकलित करने पर लंबाई ठीक-ठीक मिल जाती है:
$L = L_{0} exp (\int_{T_{0}}^{T} α d T^{'})$

यदि $α$ तापमान पर निर्भर न हो, तो समाकल सरलतः $α Δ T$ होता है, और घातांक का विस्तार करने पर $L = L_{0} e^{α Δ T} = L_{0} (1 + α Δ T + \frac{1}{2} α^{2} Δ T^{2} + \dots)$ मिलता है। रैखिक नियम केवल पहला सुधार, $α Δ T$ , रखता है और बाकी छोड़ देता है। ठोसों के लिए इसकी कीमत लगभग कुछ नहीं है: ऐनिमेशन में $α Δ T = 4.6 \times 1 0^{- 3}$ है, और घातांकीय सूत्र 4.611 mm की वृद्धि देता है, जबकि रैखिक सूत्र 4.600 mm।

रैखिक नियम की असली कमज़ोरी कहीं और है: $α$ स्वयं तापमान के साथ बदलता है। वास्तविक एल्युमिनियम के लिए 20 °C और 220 °C के बीच यह दसवें भाग से भी अधिक बढ़ जाता है, इसलिए असली 1 m की छड़ लगभग 5 mm बढ़ेगी, और यह त्रुटि वर्ग-पद छोड़ने से होने वाली 0.011 mm की हानि से कहीं बड़ी है। विस्तृत तापमान-परिसर में $α$ का समाकलन करना ही पड़ता है।

ऐनिमेशन का $Δ L$ बनाम $T$ का आलेख रैखिक नियम दिखाता है: 20 °C पर 0 से 220 °C पर 4.6 mm तक एक सीधी रेखा, जिसकी ढलान $d L / d T = α L_{0} = 0.023 mm/K$ है। ठंडा करने पर बिंदु उसी रेखा पर नीचे फिसलता है। कोई लूप नहीं बनता, क्योंकि लंबाई केवल वर्तमान तापमान पर निर्भर करती है, गर्म और ठंडा होने के इतिहास पर नहीं। वास्तविक एल्युमिनियम के तापमान-आश्रित $α$ के साथ रेखा हल्की ऊपर की ओर मुड़ेगी।

यही परिभाषा आयतन पर भी लागू होती है: $β = (1/ V) d V / d T$ । समदैशिक ठोस, यानी जो हर दिशा में समान फैलता है और अपना आकार बनाए रखता है, के लिए $V \propto L^{3}$ होता है। तब $ln V$ बराबर $3 ln L$ और एक स्थिरांक होता है, और अवकलन से $β = 3 α$ ठीक-ठीक मिलता है। परिचित सूत्र $Δ V \approx 3 α V_{0} Δ T$ केवल सन्निकट है, क्योंकि यह $(α Δ T)^{2}$ कोटि के पद छोड़ देता है।

गर्म परमाणुओं को अधिक जगह क्यों चाहिए

ठोस फैलता ही क्यों है? उत्तर पड़ोसी परमाणुओं के बीच बंधन के आकार में है। मान लीजिए दो निकटतम परमाणुओं के बीच बल ठीक $- k x$ है, जहाँ $x$ उनकी दूरी में विराम-मान से परिवर्तन है और $k$ बंधन की दृढ़ता है। तब स्थितिज ऊर्जा एक परवलय होगी, हर कंपन $x = 0$ के सापेक्ष सममित होगा, और परमाणु चाहे जितनी ज़ोर से कंपन करें, औसत दूरी कभी नहीं बदलेगी। ऐसे पूर्णतः स्प्रिंग-समान (संनादी) बंधनों वाला क्रिस्टल नहीं फैलेगा। वास्तविक बंधन असममित होते हैं। दो परमाणुओं को पास धकेलने पर इलेक्ट्रॉन-बादलों के अतिव्यापन से तीव्र प्रतिकर्षण मिलता है, जबकि उन्हें दूर खींचने पर ऐसा आकर्षण मिलता है जो दूरी के साथ घटता है।

चित्र 1 एक बंधन की ऊर्जा $U$ को उसकी दूरी के परिवर्तन $x$ के विरुद्ध दिखाता है। पहले दोनों वक्रों को देखें। बिंदीदार परवलय $\frac{1}{2} k x^{2}$ आदर्श, सममित स्प्रिंग है। ठोस वक्र वास्तविक, असममित बंधन है: गर्त के तल के पास दोनों लगभग एक जैसे हैं, पर संपीड़ित पक्ष (बाएँ) पर वास्तविक वक्र परवलय से ऊपर उठता है, और खिंचे हुए पक्ष (दाएँ) पर वह उससे नीचे गिरता है।

अब $k_{B} T$ ऊँचाई पर खींची गई क्षैतिज रेखा को देखें, जो कंपन करते परमाणु की विशिष्ट तापीय ऊर्जा है ( $k_{B}$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है)। इस ऊर्जा वाला परमाणु उन दो बिंदुओं के बीच आगे-पीछे झूलता है जहाँ यह रेखा ठोस वक्र को काटती है: ये उसके वापसी-बिंदु हैं। बाईं ओर दीवार खड़ी है, इसलिए वापसी-बिंदु $x = 0$ के पास है। दाईं ओर दीवार ढलवाँ है, इसलिए वापसी-बिंदु और दूर है। अतः परमाणु अंदर की तुलना में बाहर की ओर अधिक दूर तक पहुँचता है, और उसकी औसत स्थिति $\overset{x}{ˉ}$ (सुनहरी रेखा) धनात्मक $x$ पर, यानी गर्त के तल के दाईं ओर रहती है। अधिक गर्म परमाणु ऊँचे स्तर पर चढ़ता है, वक्र के और असममित भाग पर, और $\overset{x}{ˉ}$ और बाहर खिसक जाता है। क्रिस्टल के हर बंधन में दोहराया गया औसत दूरी का यह बाहरी खिसकाव ही ऊष्मीय प्रसार है।

इसे मात्रात्मक रूप देने के लिए, सबसे सरल असममित बंधन स्प्रिंग में एक घनीय पद जोड़ता है, जिसमें स्थिरांक $b$ असममिति मापता है। यह चित्र 1 का ठोस वक्र है, जिसकी असममिति बढ़ाकर दिखाई गई है:
$U (x) = \frac{1}{2} k x^{2} - \frac{1}{3} b x^{3}$
ऋण चिह्न से ऊर्जा $x > 0$ के लिए परवलय से नीचे और $x < 0$ के लिए ऊपर रहती है, जैसा चित्र में है। परमाणु पर बल $- d U / d x = - k x + b x^{2}$ है।

अब गति पर औसत लीजिए। कंपन करता परमाणु औसतन अपनी जगह पर रहता है, इसलिए उस पर बल का समय-औसत शून्य होना चाहिए: $k \overset{x}{ˉ} = b \overline{x^{2}}$ , जहाँ $\overline{x^{2}}$ माध्य-वर्ग विस्थापन है। चूँकि $b$ छोटा है, $\overline{x^{2}}$ संनादी स्प्रिंग से लेना पर्याप्त है। $E_{vib}$ ऊर्जा के कंपन में औसतन आधी ऊर्जा स्थितिज होती है, इसलिए $\frac{1}{2} k \overline{x^{2}} = \frac{1}{2} E_{vib}$ और $\overset{x}{ˉ} = b E_{vib} / k^{2}$ । ऊष्मीय साम्य में एक चिरसम्मत दोलक का औसतन $E_{vib} = k_{B} T$ होता है, जिससे मिलता है
$\overset{x}{ˉ} = \frac{b k _{B} T}{k ^{2}}$
बोल्ट्ज़मान कारक $e^{- U / k_{B} T}$ से $x$ का औसत लेने पर, $b$ में प्रथम कोटि तक, वही परिणाम मिलता है। अतः चित्र 1, जो $k_{B} T$ ऊर्जा के एक कंपन का अनुसरण करता है, वही $\overset{x}{ˉ}$ अंकित करता है जो ऊष्मीय औसत देता है।

औसत विस्थापन तापमान के समानुपाती बढ़ता है। विराम-दूरी $r_{0}$ से भाग देने पर प्रति केल्विन भिन्नात्मक वृद्धि मिलती है: $α \approx b k_{B} / (k^{2} r_{0})$ । सामान्य तापमानों पर यह स्थिर है और $b$ के समानुपाती है। प्रसार गुणांक बंधनों की असममिति का सीधा माप है।

गुणांक का आकार क्या तय करता है

यही चित्र एक उल्लेखनीय नियमितता भी समझाता है। गलनांक और प्रसार दोनों इस पर निर्भर करते हैं कि तापीय ऊर्जा स्थितिज गर्त में कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है: जब कंपन परमाणु-दूरी के बड़े भाग तक पहुँचते हैं, तब ठोस पिघलता है, और परमाणु असममित गर्त में जितना ऊपर चढ़ते हैं, ठोस उतना ही फैलता है। गहरा और कठोर गर्त इसलिए ऊँचा गलनांक और छोटा $α$ दोनों देता है, और कई धातुओं के लिए इन दोनों का गुणनफल लगभग समान, लगभग 0.02 होता है। एल्युमिनियम के लिए $23 \times 1 0^{- 6} \cdot 933 \approx 0.021$ ; टंगस्टन के लिए $4.5 \times 1 0^{- 6} \cdot 3695 \approx 0.017$ ।

इनवार, एक लोहा-निकल मिश्रधातु, यह नियम तोड़ता है: चुंबकीय संकुचन उसके सामान्य प्रसार को लगभग निरस्त कर देता है। इस खोज के लिए चार्ल्स-एडवर्ड गियोम (Charles-Édouard Guillaume) को 1920 में नोबेल पुरस्कार मिला, और इसी कारण इनवार सटीक उपकरणों में बहुमूल्य है।

निम्न तापमान पर चिरसम्मत चित्र विफल हो जाता है। कंपन अपनी क्वांटम भू-अवस्था में जम जाते हैं, और तापमान बढ़ने पर वे लगभग ऊर्जा नहीं पाते। प्रसार कंपन-ऊर्जा का अनुसरण करता है, इसलिए $α$ ऊष्माधारिता के साथ शून्य की ओर जाता है, जैसा ऊष्मागतिकी का तीसरा नियम माँगता है। उनका अनुपात लगभग स्थिर रहता है (ग्रुनाइज़न नियम)।

अवरुद्ध छड़ में ऊष्मीय प्रतिबल

जब प्रसार रोक दिया जाए तो क्या होता है? दो कठोर दीवारों के बीच फँसी एक छड़ लीजिए। उसकी लंबाई बदल नहीं सकती, इसलिए दीवारों को उसे उतना ही दबाना होगा जितना वह मुक्त प्रसार में फैलती: वे एक प्रत्यास्थ विकृति $- α Δ T$ लगाती हैं, जो मुक्त प्रसार को निरस्त करती है। हुक के नियम से, प्रतिबल यंग गुणांक $E$ गुणा विकृति होता है, अतः इसका परिमाण होगा
$σ = E α Δ T$
गर्म करने पर प्रतिबल संपीड़न का और ठंडा करने पर तनन का होता है। ध्यान दें कि लंबाई रद्द हो गई है, क्योंकि केवल भिन्नात्मक विकृति मायने रखती है: 1 m की छड़ और 1 km लंबी स्टील की रेल, दोनों हर केल्विन पर 2.4 MPa प्रतिबल पाती हैं।

मुड़ती हुई पट्टी

दो धातुओं की जुड़ी हुई पट्टी, जैसे स्टील पर चिपका पीतल, केवल आंशिक रूप से अवरुद्ध होती है। हर परत अपनी अलग मात्रा में फैलना चाहती है, पर बंधन उन्हें एक ही आकार साझा करने पर मजबूर करता है, और इस समझौते का परिणाम मोड़ है। इसी तरह थर्मोस्टैट तापमान-परिवर्तन को गति में बदलता है। मोड़ ज्ञात करने के लिए हमें यह जानना होगा कि विकृति पट्टी की मोटाई के आर-पार कैसे बदलती है।

चित्र 2 पट्टी की मोटाई $h$ का एक काट है। ऊर्ध्वाधर अक्ष पट्टी के आर-पार की स्थिति $y$ है, जिसे अंतरापृष्ठ से वक्रता-केंद्र की ओर मापा गया है, इसलिए स्टील (धूसर) $0 < y < h /2$ भरता है और पीतल (सुनहरा) $- h /2 < y < 0$ भरता है। क्षैतिज अक्ष पर पट्टी के अनुदिश विकृति $ε$ है।

पहले दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं को देखें। ये वे विकृतियाँ हैं जो हर परत मुक्त होने पर पाती: पीतल के लिए $α_{1} Δ T$ और स्टील के लिए $α_{2} Δ T$ । पीतल अधिक फैलता है, $α_{1} > α_{2}$ , इसलिए उसकी रेखा अधिक दाईं ओर है।

अब नीली रेखा। साथ जुड़ी परतों को त्रिज्या $R$ के एक चाप में एक साथ मुड़ना होगा। किसी मोड़ में, पट्टी का प्रत्येक पतला टुकड़ा वक्रता-केंद्र से अपनी दूरी के अनुपात में खिंचता या सिकुड़ता है, इसलिए विकृति मोटाई के आर-पार रैखिक बदलती है:
$ε (y) = ε_{0} - \frac{y}{R}$
यहाँ $ε_{0}$ अंतरापृष्ठ पर विकृति है। यह रेखा वक्रता-केंद्र की ओर नीचे गिरती है, इसलिए मोड़ के बाहरी ओर का पीतल सबसे अधिक खिंचता है।

किसी परत पर केवल उसकी विकृति के उस भाग से प्रतिबल पड़ता है जो मुक्त प्रसार नहीं है, इसलिए प्रतिबल $E (ε - α_{i} Δ T)$ है, पीतल में $α_{1}$ और स्टील में $α_{2}$ के साथ। चित्र में यह $E$ गुणा नीली रेखा और उस परत की अपनी ऊर्ध्वाधर रेखा के बीच का क्षैतिज अंतर है: हरे पच्चर, पीतल में $σ_{1}$ और स्टील में $σ_{2}$ । अंतरापृष्ठ के पास नीली रेखा पीतल की रेखा के बाईं ओर और स्टील की रेखा के दाईं ओर है, इसलिए पीतल दबता है और स्टील खिंचता है। बाहरी सतहों के पास नीली रेखा ऊर्ध्वाधर रेखाओं को पार कर चुकी है, और चिह्न उलट जाते हैं।

नीली रेखा की दो अज्ञात राशियाँ हैं: स्थिति $ε_{0}$ और ढलान $1/ R$ । पट्टी पर कोई बाहरी भार नहीं है, इसलिए प्रतिबलों का उसके अनुदिश शुद्ध बल शून्य और शुद्ध आघूर्ण भी शून्य होना चाहिए। ये दो शर्तें दोनों अज्ञात राशियाँ तय कर देती हैं।

समान मोटाई और समान मापांक लीजिए। पद $- y / R$ दोनों भागों में बराबर और विपरीत बल देता है, इसलिए शुद्ध बल तभी शून्य होगा जब $ε_{0}$ दोनों मुक्त विकृतियों का माध्य हो, $ε_{0} = \frac{1}{2} (α_{1} + α_{2}) Δ T$ : नीली रेखा अंतरापृष्ठ को दोनों ऊर्ध्वाधर रेखाओं के ठीक बीच में काटती है। इसके सापेक्ष, पीतल दबता है और स्टील खिंचता है, उसी असंगति-विकृति $\frac{1}{2} Δ α Δ T$ से, जहाँ $Δ α = α_{1} - α_{2}$ । प्रति इकाई चौड़ाई, ये दो बराबर और विपरीत बल, प्रत्येक $\frac{1}{4} E Δ α Δ T h$ , $h /2$ दूरी पर कार्य करते हैं और $\frac{1}{8} E Δ α Δ T h^{2}$ आघूर्ण का युग्म बनाते हैं। मोड़-प्रतिबल $- E y / R$ उसके विपरीत आघूर्ण $E h^{3} / (12 R)$ देता है। दोनों आघूर्ण बराबर रखने पर
$\frac{1}{R} = \frac{3Δ α Δ T}{2 h} (equal thicknesses and moduli)$
इस ढलान पर नीली रेखा, जैसा चित्र में है, हर ऊर्ध्वाधर रेखा को अंतरापृष्ठ से बाहरी सतह की ओर दो-तिहाई दूरी पर काटती है।

ऐनिमेशन के लिए, $Δ α = 7 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ , $Δ T = 200 K$ और $h = 0.5 mm$ से $1/ R = 4.2 m^{- 1}$ आता है। ऐनिमेशन स्टीफ़न टिमोशेंको (Stephen Timoshenko) के 1925 के सामान्य सूत्र का उपयोग करता है, वास्तविक मापांकों (पीतल 100 GPa, स्टील 200 GPa) के साथ, और $4.07 m^{- 1}$ पाता है, यानी 24.6 cm त्रिज्या।

पट्टी का सिरा कितना हिलता है? छोटे कोणों के लिए वृत्त-चाप परवलय से लगभग मेल खाता है, इसलिए त्रिज्या $R$ का चाप लंबाई $L$ के बाद अपनी प्रारंभिक स्पर्शरेखा से
$d \approx \frac{L ^{2}}{2 R}$
तक दूर हटता है। इसलिए 10 cm की पट्टी का सिरा लगभग 20.4 mm उठता है। ठीक चाप, जो सिरे को 23° घुमाता है, हरे पाठ्यांक वाला 20.1 mm देता है। दोनों सूत्रों को मिलाने पर $d = 3 Δ α Δ T L^{2} / (4 h)$ मिलता है: मोटाई आधी करने पर गति दोगुनी होती है, और लंबाई दोगुनी करने पर चार गुना। इसीलिए थर्मोस्टैट लंबी, पतली या कुंडलित पट्टियाँ उपयोग करते हैं।

जल का वक्र

अधिकांश द्रव गर्म होने पर लगातार फैलते हैं। 0 °C से लगभग 4 °C के बीच का जल इसके विपरीत करता है, और यह छोटी-सी विसंगति तय करती है कि झीलें कैसे जमती हैं।

चित्र 3 0 से 12 °C के बीच जल का घनत्व $ρ$ दिखाता है, जो ऐनिमेशन का दायाँ पैनल है, और तीन तापमानों पर उसकी स्पर्शरेखाएँ खींची गई हैं। इस वक्र से प्रसार गुणांक पढ़ने के लिए ध्यान दें कि स्थिर द्रव्यमान के लिए घनत्व आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए $β = - (1/ ρ) d ρ / d T$ । अतः वक्र की ढलान $- βρ$ है, और उसका चिह्न सदा $β$ के चिह्न के विपरीत होता है।

अब स्पर्शरेखाओं को बाएँ से दाएँ देखें। बाईं ओर वक्र चढ़ता है, ढलान धनात्मक है और इसलिए $β < 0$ : 0 °C पर यह लगभग $- 68 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ है, यानी वहाँ जल को गर्म करने से वह सिकुड़ता है। शिखर पर स्पर्शरेखा समतल है और $β = 0$ । यही अधिकतम घनत्व का तापमान $T_{m} = 3.98$ °C है, जहाँ $ρ_{m} = 999.97 kg/ m^{3}$ । उस बिंदु के बाद वक्र गिरता है और $β > 0$ होता है, जैसा किसी भी अन्य द्रव में होता है। ऊर्ध्वाधर अक्ष बहुत खिंचा हुआ है: 4 °C से 12 °C तक घनत्व 0.05% से भी कम गिरता है।

यही विसंगति झीलों को नियंत्रित करती है। शरद ऋतु में ठंडा हुआ सतही जल नीचे के जल से अधिक घना होता है, इसलिए वह डूबता है, जब तक पूरी झील लगभग 4 °C तक नहीं पहुँच जाती। इसके आगे ठंडा करने पर सतही जल भारी नहीं, बल्कि हल्का होता है, इसलिए वह ऊपर ही रहता है और वहीं जमता है, जबकि तली तैरती बर्फ के नीचे लगभग 4 °C पर रहती है।

जब गर्म करने से चीज़ें सिकुड़ती हैं

जल की विसंगति संरचनात्मक है। बर्फ एक खुली, हाइड्रोजन-बंधित जालक है, जो खाली जगह से भरी है। पिघलने पर वह आंशिक रूप से ढह जाती है, और ठंडे द्रव में बचे बर्फ-जैसे गुच्छे गर्म होने पर टूटते रहते हैं, जिससे अणु अधिक कसकर सिमट पाते हैं। यह संकुचन बंधों के सामान्य प्रसार से होड़ करता है, और 3.98 °C तक वही जीतता है।

वज़न लटकाए गए रबर का बैंड गर्म होने पर छोटा हो जाता है, पर इसका कारण अलग है। इसका तनाव मुख्यतः लंबी शृंखला-अणुओं से आता है: सीधी की गई शृंखला की व्यवस्थाएँ मुड़ी हुई शृंखला की तुलना में कहीं कम होती हैं, इसलिए उसकी एन्ट्रॉपी कम होती है, और ऊष्मा शृंखलाओं को छोटे, अव्यवस्थित आकारों की ओर वापस धकेलती है। ऊष्मागतिकी इसे बिना किसी आणविक मॉडल के ऊष्मीय प्रभाव से जोड़ देती है। मान लीजिए $f$ तनाव है और $L$ बैंड की लंबाई। तब मुक्त ऊर्जा $F = U - TS$ का परिवर्तन $d F = - S d T + f d L$ होता है। चूँकि $F$ , $T$ और $L$ का फलन है, उसके मिश्रित द्वितीय अवकलज बराबर होते हैं, और इससे मैक्सवेल संबंध मिलता है:
$(\frac{\partial S}{\partial L})_{T} = - (\frac{\partial f}{\partial T})_{L}$

नियत लंबाई पर रबर का तनाव तापमान के साथ बढ़ता है, इसलिए दाएँ पक्ष का मान ऋणात्मक है: रबर को खींचने से उसकी एन्ट्रॉपी घटती है, और बैंड को ऊष्मा छोड़नी पड़ती है। यदि उसे जल्दी खींचा जाए, इससे पहले कि वह ऊष्मा निकल सके, तो बैंड गर्म हो जाता है। नियत लंबाई पर रखा स्टील का तार उल्टा व्यवहार करता है: गर्म करने पर उसका खिंचाव ढीला होता है, इसलिए उसका तनाव घटता है, प्रति केल्विन $E A α$ (जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट है)। चिह्न उलट जाता है, और तेज़ी से खींचा गया स्टील का तार ठंडा हो जाता है, 100 MPa पर लगभग 0.1 K।

हल सहित प्रश्न: दो दीवारों के बीच छड़

ऊष्मीय प्रतिबल बहुत बड़ा हो सकता है, पर पतली छड़ के पास एक रास्ता होता है। यह प्रश्न दोनों के लिए संख्याएँ देता है।

चित्र 4 ऐनिमेशन की 1 m की एल्युमिनियम छड़ दिखाता है, जिसका रोलर दूसरी कठोर दीवार से बदल दिया गया है, ताकि वह दोनों सिरों पर कसी हो। उसकी लंबाई $L$ है, और उसके वर्गाकार अनुप्रस्थ काट की भुजा $a = 10 mm$ है, इसलिए उसका क्षेत्रफल $a^{2} = 1 0^{- 4} m^{2}$ है; $E = 70 GPa$ लीजिए। हर दीवार बल $F$ के साथ छड़ को धकेलती है।

सबसे पहले मान लीजिए कि छड़ पूरे 200 K तक सीधी रहती है। उसके लिए चाहिए प्रतिबल
$σ = E α Δ T = 70 \times 1 0^{9} \cdot 23 \times 1 0^{- 6} \cdot 200 \approx 3.2 \times 1 0^{8} Pa$
यानी 322 MPa, और हर दीवार पर बल $F = σ a^{2} = 32 kN$ । मज़बूत संरचनात्मक एल्युमिनियम मिश्रधातु भी लगभग 280 MPa पर पराभूत (yield) हो जाती है, इसलिए छड़ प्लास्टिक रूप से कुचल जाएगी, स्थायी रूप से छोटी हो जाएगी।

वास्तव में पतली छड़ इससे पहले, बकलिंग से विफल होती है। चित्र में वह दिखाई गई है, जब वह बगल में झुक चुकी है, उसका मध्य बिंदु $δ$ विस्थापित है; बिंदीदार रूपरेखा सीधी छड़ की है, और झुकाव बढ़ाकर दिखाया गया है। चूँकि जकड़े हुए सिरे घूम नहीं सकते, छड़ एक पूरी तरंग का आकार लेती है, जिसके नति-परिवर्तन बिंदु (चित्र में बिंदु) लंबाई के एक-चौथाई और तीन-चौथाई पर होते हैं। नति-परिवर्तन बिंदु पर छड़ की वक्रता शून्य से गुज़रती है, और चूँकि आघूर्ण वक्रता के समानुपाती है, वहाँ आघूर्ण शून्य होता है, ठीक वैसे ही जैसे उस सिरे पर जो घूमने के लिए स्वतंत्र है। बिंदुओं के बीच का, $L /2$ लंबाई का खंड इसलिए ऐसी छड़ की तरह व्यवहार करती है जिसके सिरे घूमने के लिए स्वतंत्र हैं, और ऐसी छड़ $π^{2} E I / (L /2)^{2}$ बल पर बकल होती है। यहाँ $I$ काट का द्वितीय क्षेत्र-आघूर्ण है, वर्गाकार काट के लिए $I = a^{4} /12$ । अतः जिस स्तंभ के सिरे जकड़े हैं, वह संपीड़न बल $4 π^{2} E I / L^{2}$ तक पहुँचने पर बगल में झुक जाता है, और क्षेत्रफल $a^{2}$ से भाग देने पर क्रांतिक प्रतिबल मिलता है
$σ_{c} = \frac{4 π ^{2} E I}{a ^{2} L ^{2}} = \frac{π ^{2} E a ^{2}}{3 L ^{2}} \approx 23 MPa$

जब ऊष्मीय प्रतिबल यह मान छूता है, तब छड़ बकल होती है। $E α Δ T_{c} = σ_{c}$ रखने पर मापांक रद्द हो जाता है:
$Δ T_{c} = \frac{π ^{2} a ^{2}}{3 α L ^{2}} = \frac{π ^{2} \cdot 0.0 1 ^{2}}{3 \cdot 23 \times 1 0 ^{- 6} \cdot 1 ^{2}} \approx 14 K$

केवल 14 K गर्म होने पर, जब मुक्त छड़ 0.33 mm ही बढ़ी होती, तब जकड़ी हुई छड़ बगल में झुक जाती है। यदि स्लीपर और गिट्टी रेल को बगल में न थामें, तो गर्म दिनों में पटरियाँ भी इसी तरह बकल हो जाएँगी।

वैधता की सीमाएँ

रैखिक नियम दो मान्यताओं पर टिका है। पहली, $α Δ T ≪ 1$ , ठोसों के लिए सदा सत्य है: 1000 K केवल लगभग 1.2% तक स्टील को बदलता है। दूसरी, स्थिर $α$ , यही असली सीमा है: विस्तृत परिसर में $α$ का समाकलन करना पड़ता है। परम शून्य के निकट प्रसार लगभग समाप्त हो जाता है: ताँबे का 50 K पर $α$ अपने कक्ष-तापमान मान $17 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ का केवल लगभग एक-चौथाई है। प्रावस्था-परिवर्तन पर नियम अचानक विफल हो जाता है: जल जमने पर 9% फैलता है, और लगभग 900 °C के आसपास स्टील अपनी क्रिस्टल संरचना बदलने पर थोड़ा सिकुड़ता है।

ये सूत्र एकसमान तापमान भी मानते हैं। यदि उबलता पानी मोटे, ठंडे काँच के गिलास में डाला जाए, तो भीतरी सतह लगभग 50 K तक गर्म हो जाती है, जबकि बाहर ठंडा रहता है। गर्म परत ठंडी परत से बँधी रहती है, जैसे दो दीवारों के बीच की छड़ में, और प्रतिबल की कोटि $E α Δ T \approx 70 \times 1 0^{9} \cdot 9 \times 1 0^{- 6} \cdot 50 \approx 30 MPa$ होती है, जो साधारण काँच की व्यावहारिक सामर्थ्य के बराबर है। बोरोसिलिकेट काँच का $α \approx 3.3 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ है, जो उसका लगभग एक-तिहाई है, और इसीलिए उसका उपयोग ओवन के बर्तनों और प्रयोगशाला के काँच में होता है।

गैसें इनमें से किसी का पालन नहीं करतीं। स्थिर दाब पर आदर्श गैस के लिए $β = 1/ T$ है, जो 20 °C पर लगभग $3.4 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ है, यानी जल के मान का सोलह गुना।

इसके आगे

“ताप और ऊष्मा” केल्विन-पैमाना देता है; “प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति” $σ = Eε$ देता है, जो ऊष्मीय प्रतिबल और बकलिंग के पीछे है। “गैसों का अणुगति सिद्धांत” समझाता है कि गैस प्रति केल्विन $1/ T$ क्यों फैलती है, और “ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन” उस प्रसार को कार्य में लगाता है। 4 °C की विसंगति “चालन, संवहन और विकिरण” के संवहन को आकार देती है, बर्फ “अवस्था परिवर्तन और गुप्त ऊष्मा” में लौटती है, और रबर बैंड की एन्ट्रॉपी “ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी” की ओर संकेत करती है।

प्रसार ज्यामिति तक भी पहुँचता है। कल्पना कीजिए एक प्लेट जो केंद्र पर ठंडी और किनारे पर गर्म है, और उसे उसी पदार्थ के बने रूलरों से मापा जा रहा है। किनारे के पास उनके रूलर लंबे हो जाते हैं, इसलिए वे वृत्त की परिधि पर, उसके व्यास की तुलना में, कम रूलर-लंबाइयाँ गिनते हैं, यानी केंद्र के चारों ओर के वृत्त उनकी त्रिज्या के $2 π$ गुना से कम मापे जाते हैं, और त्रिभुजों के कोणों का योग $18 0^{\circ}$ से अधिक होता है, जैसे गोले पर। “वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व” में द्रव्यमान रूलरों और घड़ियों के साथ वही करता है जो यहाँ ऊष्मा करती है।

मुख्य सूत्र

रैखिक प्रसार

Δ L = α L_{0} Δ T

छड़ का हर भाग एक ही भिन्न $α Δ T$ से बढ़ता है, इसलिए लंबाई का परिवर्तन मूल लंबाई का उतना ही भाग है। यदि छड़ दोगुनी लंबी हो या तापन दोगुना हो, तो यह भी दोगुना होता है। ऋणात्मक $Δ T$ (ठंडा करना) ऋणात्मक $Δ L$ देता है।

चिह्न
$Δ L$	लंबाई में परिवर्तन	$m$
$α$	पदार्थ का रैखिक प्रसार गुणांक	$K^{- 1}$
$L_{0}$	मूल लंबाई, प्रारंभिक तापमान पर	$m$
$Δ T$	तापमान में परिवर्तन (K और °C में समान)	$K$

कब लागू होता है: उस पिंड के लिए जो स्वतंत्र रूप से फैल सकता है, समान रूप से गर्म होता है, जिसमें $α Δ T ≪ 1$ है और $α$ उस परिसर में लगभग स्थिर है; गलने या जमने जैसे प्रावस्था-परिवर्तन पर नहीं।

उदाहरण: ऐनिमेशन की एल्युमिनियम छड़: $23 \times 1 0^{- 6} \cdot 1000 mm \cdot 200 = 4.6 mm$ ।

क्षेत्र-प्रसार

Δ A \approx 2 α A_{0} Δ T

सतह की दोनों भुजाएँ गुणक $(1 + α Δ T)$ से बढ़ती हैं, इसलिए क्षेत्रफल उसके वर्ग से गुणित होता है, यानी $1 + 2 α Δ T$ और नगण्य $(α Δ T)^{2}$ । सतह के छेद उतने ही अनुपात में बढ़ते हैं जितना उनके आसपास का पदार्थ।

चिह्न
$Δ A$	क्षेत्रफल में परिवर्तन	$m^{2}$
$α$	रैखिक प्रसार गुणांक	$K^{- 1}$
$A_{0}$	मूल क्षेत्रफल	$m^{2}$
$Δ T$	तापमान में परिवर्तन	$K$

कब लागू होता है: समदैशिक पदार्थ के लिए, समान तापन में, रैखिक प्रसार की शर्तों के साथ। छोड़ा गया पद $(α Δ T)^{2}$ 200 K तक गर्म किए गए एल्युमिनियम में भी क्षेत्रफल का केवल लगभग $2 \times 1 0^{- 5}$ है।

उदाहरण: 1 m² की एल्युमिनियम प्लेट 200 K गर्म होने पर $2 \cdot 23 \times 1 0^{- 6} \cdot 1 \cdot 200 = 0.0092 m^{2}$ बढ़ती है, यानी 92 cm²।

आयतन-प्रसार

Δ V = β V_{0} Δ T, β \approx 3 α

आयतन भिन्न $β Δ T$ से बढ़ता है। समदैशिक ठोस में हर लंबाई $(1 + α Δ T)$ गुणित होती है, इसलिए आयतन उसके घन से गुणित होता है और $β \approx 3 α$ । द्रवों और गैसों का अपना कोई निश्चित आकार नहीं होता, और उन्हें सीधे $β$ से वर्णित किया जाता है।

चिह्न
$Δ V$	आयतन में परिवर्तन	$m^{3}$
$β$	आयतन-प्रसार गुणांक	$K^{- 1}$
$V_{0}$	मूल आयतन	$m^{3}$
$Δ T$	तापमान में परिवर्तन	$K$
$α$	ठोस का रैखिक प्रसार गुणांक	$K^{- 1}$

कब लागू होता है: $β \approx 3 α$ केवल समदैशिक ठोसों के लिए सत्य है। जल के लिए $β$ 3.98 °C पर चिह्न बदलता है, और आदर्श गैस के लिए स्थिर दाब पर $β = 1/ T$ ।

उदाहरण: 40 L पेट्रोल ( $β = 950 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ ) को 15 K गर्म करने पर $950 \times 1 0^{- 6} \cdot 40000 mL \cdot 15 = 570 mL$ बढ़ता है।

प्रसार गुणांक की परिभाषा

α = \frac{1}{L} \frac{d L}{d T}

यह गुणांक एक तापमान पर लंबाई की तापमान के साथ भिन्नात्मक वृद्धि-दर है, यानी $ln L$ का अवकलज। इसका समाकलन $L = L_{0} exp (\int α d T)$ देता है, जो $α$ स्थिर और $α Δ T$ छोटा होने पर $L_{0} (1 + α Δ T)$ रह जाता है।

चिह्न
$α$	तापमान $T$ पर रैखिक प्रसार गुणांक	$K^{- 1}$
$L$	तापमान $T$ पर लंबाई	$m$
$\frac{d L}{d T}$	तापमान के साथ लंबाई में परिवर्तन की दर, लंबाई-तापमान आलेख की ढलान	$m/K$
$T$	तापमान	$K$

कब लागू होता है: परिभाषा के रूप में सदा मान्य। $α$ स्वयं तापमान पर निर्भर करता है और परम शून्य के निकट शून्य की ओर जाता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की छड़ 200 K में 4.6 mm बढ़ती है, ढलान $0.023 mm/K$ ; इसे 1000 mm से भाग देने पर $α = 23 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ मिलता है।

अवरुद्ध छड़ में ऊष्मीय प्रतिबल

σ = E α Δ T

यदि दीवारें छड़ को उसकी मूल लंबाई पर रखें, तो उन्हें उसे उस विकृति $α Δ T$ तक दबाना होगा जो मुक्त प्रसार से होती। हुक के नियम $σ = Eε$ से इसके लिए प्रतिबल $E α Δ T$ चाहिए: गर्म करने पर संपीड़न और ठंडा करने पर तनन। छड़ की लंबाई इसमें नहीं आती।

चिह्न
$σ$	छड़ में प्रतिबल (परिमाण)	$Pa$
$E$	पदार्थ का यंग गुणांक	$Pa$
$α$	रैखिक प्रसार गुणांक	$K^{- 1}$
$Δ T$	छड़ स्थिर होने के बाद तापमान में परिवर्तन	$K$

कब लागू होता है: पूर्णतः कठोर आधारों के लिए और प्रत्यास्थ सीमा से नीचे के प्रतिबलों के लिए; पतली छड़ कहीं कम प्रतिबल पर पार्श्व में बकल हो जाती है।

उदाहरण: स्टील डेक ( $E = 200 GPa$ ) को अवरुद्ध करके 30 K गर्म करने पर: $σ = 200 \times 1 0^{9} \cdot 12 \times 1 0^{- 6} \cdot 30 = 72 MPa$ ।

द्विधात्विक पट्टी की वक्रता

\frac{1}{R} = \frac{3Δ α Δ T}{2 h} (equal thicknesses and moduli)

दो जुड़ी परतें अलग-अलग मात्रा में फैलना चाहती हैं, और पट्टी उस आकार में स्थिर होती है जहाँ आंतरिक प्रतिबलों से न शुद्ध बल हो न शुद्ध आघूर्ण: वह एक चाप है जिसकी वक्रता $1/ R$ असंगति $Δ α Δ T$ के साथ बढ़ती है। पतली पट्टी अधिक मुड़ती है, क्योंकि वही विकृति-असंगति कम मोटाई में समाहित होती है। जिस परत का $α$ बड़ा है, वह वक्र के बाहर रहती है।

चिह्न
$R$	पट्टी की वक्रता-त्रिज्या	$m$
$Δ α$	दोनों प्रसार गुणांकों का अंतर	$K^{- 1}$
$Δ T$	पट्टी के सीधी होने के बाद तापमान में परिवर्तन	$K$
$h$	पट्टी की कुल मोटाई	$m$

कब लागू होता है: समान मोटाई और समान यंग गुणांक की दो परतों के लिए, बिना फिसले जुड़ी और समान रूप से गर्म की गई; असमान मापांक गुणांक बदल देते हैं (पीतल-स्टील के लिए लगभग 3%)।

उदाहरण: पीतल-स्टील, $Δ α = 7 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ , $h = 0.5 mm$ , 200 K गर्म: $1/ R = 4.2 m^{- 1}$ , त्रिज्या 23.8 cm।

मुड़ी पट्टी के सिरे का विक्षेप

d \approx \frac{L ^{2}}{2 R}

त्रिज्या $R$ का वृत्त-चाप अपनी प्रारंभिक स्पर्शरेखा से दूर मुड़ता है, और लंबाई $L$ के बाद यह अंतर लगभग $L^{2} / (2 R)$ हो जाता है, वही ज्यामिति जो क्षैतिज दृष्टि-रेखा से धरती की सतह के नीचे गिरने में होती है। चूँकि $1/ R$ , $Δ T$ के साथ बढ़ता है, सिरा तापमान-परिवर्तन के अनुपात में चलता है।

चिह्न
$d$	मुक्त सिरे का पार्श्व विस्थापन	$m$
$L$	पट्टी की लंबाई	$m$
$R$	वक्रता-त्रिज्या	$m$

कब लागू होता है: छोटे मोड़ों के लिए, $L ≪ R$ ; ठीक चाप $R (1 - cos (L / R))$ देता है, जो थोड़ा कम होता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की 10 cm पट्टी, $R = 24.6 cm$ के साथ: $d \approx 10 0^{2} / (2 \cdot 246) \approx 20 mm$ ।

शब्दावली

ऊष्मीय प्रसार: किसी पिंड की लंबाइयों, क्षेत्रफलों और आयतन का बढ़ना जब उसका तापमान बढ़ता है, और उनका सिकुड़ना जब वह घटता है। यह उत्क्रमणीय है: प्रारंभिक तापमान पर लौटने पर पिंड अपने मूल आकार में आ जाता है।
रैखिक, क्षेत्र और आयतन-प्रसार: एक लंबाई, एक सतह और एक आयतन की वृद्धि। समदैशिक ठोसों के लिए ये आपस में जुड़े हैं: भिन्नात्मक रूप से क्षेत्रफल दोगुना और आयतन तीन गुना बढ़ता है, $β \approx 3 α$ ।
समदैशिक पदार्थ: ऐसा पदार्थ जो हर दिशा में एक-सा व्यवहार करता है, इसलिए एक गुणांक उसकी सभी लंबाइयों का वर्णन करता है। कई क्रिस्टल असमदैशिक होते हैं और अलग-अलग अक्षों के अनुदिश अलग मात्रा में फैलते हैं।
असंनादिता (anharmonicity): परमाणुओं के बीच बल की असममितता: उन्हें एक-दूसरे के पास दबाने में उतनी ही दूरी तक खींचने की तुलना में अधिक ऊर्जा लगती है। इसके बिना परमाणु सममित रूप से कंपन करते और ठोस नहीं फैलते।
द्विधात्विक पट्टी: दो धातुएँ जिनके प्रसार गुणांक भिन्न हैं, सतह-से-सतह जुड़ी हों। गर्म होने पर यह मुड़ती है और अधिक फैलने वाली धातु वक्र के बाहर रहती है; यह कई थर्मोस्टैट और स्विच का चलने वाला भाग है।
ऊष्मीय प्रतिबल: जब प्रसार या संकुचन रोक दिया जाए तो उत्पन्न प्रतिबल; पूर्णतः अवरुद्ध छड़ के लिए $σ = E α Δ T$ । यह लंबाई पर निर्भर नहीं करता: स्टील में प्रति केल्विन लगभग 2.4 MPa।
प्रसार-संधि: पुल, सड़क, पाइपलाइन या रेलवे में छोड़ा गया अंतर, ताकि उसके भाग स्वतंत्र रूप से लंबे और छोटे हो सकें। पुलों पर इसे अक्सर आपस में फँसने वाले स्टील के दाँतों से ढका जाता है।
बकलिंग: संपीड़न में पतली छड़, रेल या प्लेट का अचानक बगल में झुक जाना। दीवारों के बीच जकड़ी 1 m लंबी, 10 mm मोटी एल्युमिनियम छड़ लगभग 14 K गर्म होते ही बकल हो जाती है, उस प्रतिबल से बहुत पहले जो उसे कुचल सकता।
जल का असामान्य प्रसार: जल 0 °C से 3.98 °C तक गर्म होने पर सिकुड़ता है, जहाँ उसका घनत्व 999.97 kg/m³ के शिखर पर होता है, और उससे ऊपर फैलता है। इसी से झील ऊपर से जमती है जबकि तली 4 °C के आसपास रहती है।
ऋणात्मक ऊष्मीय प्रसार: गर्म करने पर संकुचन, जो सामान्य व्यवहार के विपरीत है। 4 °C से नीचे का जल, खिंचा हुआ रबर बैंड और ज़िरकोनियम टंगस्टेट, गर्म होने पर सभी सिकुड़ते हैं।
इनवार: लोहा-निकल मिश्रधातु जिसका प्रसार गुणांक बहुत छोटा है, लगभग $1.2 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ , क्योंकि चुंबकीय संकुचन उसके सामान्य प्रसार को लगभग निरस्त कर देता है। इसका उपयोग सटीक उपकरणों और मापन-फीतों में होता है।
ऊष्मीय-प्रत्यास्थ प्रभाव: तेज़ी से भार डाले गए ठोस का छोटा तापमान-परिवर्तन। तेज़ी से खींचे जाने पर स्टील का तार थोड़ा ठंडा होता है, जबकि रबर गर्म होता है; चिह्न पदार्थ के प्रसार-गुणांक के चिह्न से तय होता है।

राशियाँ
$L_{0}$	मूल लंबाई	$m$	प्रारंभिक तापमान पर लंबाई: ऐनिमेशन की छड़ के लिए 1 m।
$Δ L$	लंबाई में परिवर्तन	$m$	नई लंबाई घटा मूल लंबाई, यानी $L - L_{0}$ : गर्म करने पर धनात्मक, ठंडा करने पर ऋणात्मक। 200 K गर्म छड़ के लिए 4.6 mm।
$Δ T$	तापमान में परिवर्तन	$K$	अंतिम तापमान घटा प्रारंभिक तापमान। केल्विन और सेल्सियस में इसका मान समान है: 20 °C से 220 °C तक 200 K।
$α$	रैखिक प्रसार गुणांक	$K^{- 1}$	प्रति केल्विन लंबाई की भिन्नात्मक वृद्धि, $(1/ L) d L / d T$ , जो पदार्थ का गुण है: स्टील 12, पीतल 19, एल्युमिनियम 23, इकाई $1 0^{- 6} K^{- 1}$ में।
$β$	आयतन-प्रसार गुणांक	$K^{- 1}$	प्रति केल्विन आयतन की भिन्नात्मक वृद्धि; समदैशिक ठोस के लिए $3 α$ , और द्रवों के लिए यही एकमात्र गुणांक: 20 °C पर जल के लिए लगभग $210 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ ।
$σ$	ऊष्मीय प्रतिबल	$Pa$	ऐसे पिंड के भीतर प्रति इकाई अनुप्रस्थ-क्षेत्र बल, जिसका प्रसार अवरुद्ध है; गर्म करने पर संपीड़न, ठंडा करने पर तनन।
$E$	यंग गुणांक	$Pa$	पदार्थ की दृढ़ता, यानी प्रतिबल का विकृति से अनुपात: स्टील के लिए लगभग 200 GPa, पीतल के लिए 100 GPa और एल्युमिनियम के लिए 70 GPa।
$h$	पट्टी की मोटाई	$m$	द्विधात्विक पट्टी की कुल मोटाई, दोनों परतें मिलाकर: ऐनिमेशन में 0.5 mm।
$R$	वक्रता-त्रिज्या	$m$	वह वृत्त जिसमें गर्म द्विधात्विक पट्टी मुड़ती है, उसकी त्रिज्या; $1/ R$ उसकी वक्रता है। 220 °C पर ऐनिमेशन की पट्टी के लिए लगभग 25 cm।
$d$	सिरे का विक्षेप	$m$	मुड़ी पट्टी का मुक्त सिरा अपनी सीधी स्थिति से कितनी दूर हटता है: ऐनिमेशन की 10 cm पट्टी के लिए 20 mm।

क्विज़

शुरुआती लंबे पुलों में प्रसार-संधियाँ (आपस में फँसने वाले धातु के दाँतों से पाटी गई खाली जगहें) क्यों होती हैं?
1. सड़क से वर्षा का पानी बहाने के लिए
2. तापमान बदलने पर पुल के डेक को लंबा और छोटा होने की जगह देने के लिए
3. पुल को हल्का बनाने के लिए
4. हवा में पुल को झूलने से रोकने के लिए
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उत्तर: B. तापमान बदलने पर पुल के डेक को लंबा और छोटा होने की जगह देने के लिए
स्टील या कंक्रीट का डेक गर्म दिनों में फैलता है और ठंडे दिनों में सिकुड़ता है; लंबे पुल पर यह दसियों सेंटीमीटर तक हो सकता है। संधियों के बिना वह अपने सहारों पर इतना ज़ोर डालेगा कि वे दरक या मुड़ सकते हैं।
शुरुआती एक धातु का ढक्कन काँच के जार पर अटका है। ढक्कन पर गर्म पानी डालने से उसे खोलने में मदद क्यों मिलती है?
1. गर्म पानी ढक्कन को चिकना कर देता है
2. काँच धातु से अधिक फैलता है और ढक्कन को धकेल देता है
3. गर्मी से धातु रबर की तरह नरम हो जाती है
4. धातु का ढक्कन काँच से अधिक फैलता है, इसलिए वह ढीला हो जाता है
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उत्तर: D. धातु का ढक्कन काँच से अधिक फैलता है, इसलिए वह ढीला हो जाता है
समान तापन पर धातु काँच से अधिक फैलती है (और पतला ढक्कन पहले गर्म होता है), इसलिए ढक्कन काँच के किनारे से दूर फैलता है और पकड़ ढीली हो जाती है।
शुरुआती एक पीतल की पट्टी को स्टील की पट्टी से जोड़कर गर्म किया गया। पीतल स्टील से अधिक फैलता है। क्या होता है?
1. पट्टी मुड़ती है, और पीतल वक्र के बाहरी ओर होता है
2. पट्टी मुड़ती है, और पीतल वक्र के भीतरी ओर होता है
3. पट्टी सीधी रहती है और केवल लंबी हो जाती है
4. पट्टी छोटी हो जाती है, क्योंकि स्टील पीतल को पीछे खींच लेता है
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उत्तर: A. पट्टी मुड़ती है, और पीतल वक्र के बाहरी ओर होता है
पीतल की परत स्टील की परत से अधिक लंबी होना चाहती है, पर वे जुड़ी हैं। एक ओर के लंबा होने का एकमात्र रास्ता मुड़ना है, जिसमें लंबा पीतल मोड़ के बाहरी ओर होता है।
मध्यम एक स्टील की रेल (α = 12×10⁻⁶ K⁻¹) 25 m लंबी है। 30 K गर्म होने पर उसकी लंबाई कितनी बढ़ जाती है?
1. 0.9 mm
2. 90 mm
3. 9 mm
4. 0.3 mm
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उत्तर: C. 9 mm
ΔL = α·L₀·ΔT = 12×10⁻⁶ K⁻¹ × 25 m × 30 K = 9×10⁻³ m = 9 mm। ΔT भूल जाने से 0.3 mm मिलता है; दशमलव-घात की गलती से 0.9 mm या 90 mm।
मध्यम एक स्टील की प्लेट में गोल छेद है, जिसे समान रूप से गर्म किया गया है। छेद का क्या होता है?
1. वह सिकुड़ता है, क्योंकि धातु छेद की ओर फैलती है
2. उसका आकार बिल्कुल वैसा ही रहता है
3. वह अंडाकार हो जाता है
4. वह प्लेट की बाकी लंबाइयों के समान अनुपात में बढ़ता है
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उत्तर: D. वह प्लेट की बाकी लंबाइयों के समान अनुपात में बढ़ता है
समान प्रसार हर लंबाई को (1 + α·ΔT) से गुणित करता है, जैसे फ़ोटो का बड़ा होना, छेद की परिधि सहित। इसलिए छेद बढ़ता है, उसी अनुपात में जिसमें प्लेट बढ़ती है।
उन्नत द्विधात्विक पट्टी के लिए 1/R = 3·Δα·ΔT/(2h)। यदि पट्टी आधी मोटी हो (लंबाई, पदार्थ और ΔT वही), तो उसके सिरे के विक्षेप का क्या होगा?
1. आधा हो जाता है
2. दोगुना हो जाता है
3. वही रहता है
4. चार गुना हो जाता है
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उत्तर: B. दोगुना हो जाता है
d ≈ L²/(2R) और 1/R ∝ 1/h, इसलिए h आधा करने से वक्रता और विक्षेप दोनों दोगुने होते हैं। चार गुना परिवर्तन लंबाई दोगुनी करने से आता, क्योंकि d ∝ L²।
उन्नत एक स्टील की छड़ (E = 200 GPa, α = 12×10⁻⁶ K⁻¹) दो कठोर दीवारों के बीच कसी है और 50 K गर्म की गई है। उसमें कितना प्रतिबल बनता है?
1. 120 MPa, संपीड़न
2. 120 MPa, तनन
3. शून्य, क्योंकि उसकी लंबाई नहीं बदलती
4. 2.4 MPa, संपीड़न
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उत्तर: A. 120 MPa, संपीड़न
दीवारों को छड़ को उसके मुक्त प्रसार α·ΔT, यानी 6×10⁻⁴ की विकृति, जितना दबाना होगा, इसलिए σ = E·α·ΔT = 200×10⁹ Pa × 12×10⁻⁶ K⁻¹ × 50 K = 1.2×10⁸ Pa = 120 MPa, संपीड़न में। 2.4 MPa केवल E·α है, ΔT के बिना।
उन्नत सर्दियों में गहरी झील की सतह पर बर्फ जमती है, जबकि तली का पानी लगभग 4 °C पर रहता है। ऐसा क्यों?
1. बर्फ पानी से घनी होती है, इसलिए वह पहले ऊपर बनती है और बाद में डूबती है
2. पृथ्वी के कोर की गर्मी तली को ठीक 4 °C पर रखती है
3. पानी लगभग 4 °C पर सबसे घना होता है, इसलिए झील 4 °C तक पहुँचने के बाद ठंडा पानी ऊपर रहकर वहीं जमता है
4. तली पर अधिक दाब जमाव-बिंदु को ऊँचा कर देता है
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उत्तर: C. पानी लगभग 4 °C पर सबसे घना होता है, इसलिए झील 4 °C तक पहुँचने के बाद ठंडा पानी ऊपर रहकर वहीं जमता है
4 °C से ऊपर ठंडा हुआ सतही जल अधिक घना होकर डूबता है और झील को मिलाता है। 4 °C से नीचे यह विसंगति इसे उलट देती है: ठंडा जल हल्का होकर सतह पर रहता है और जमता है, जबकि लगभग 4 °C का सबसे घना जल तली में भर जाता है। (दाब वास्तव में जमाव-बिंदु को थोड़ा घटाता है।)

$x$	दो पड़ोसी परमाणुओं की दूरी में परिवर्तन, गर्त के तल से मापा गया।	$m$
$U$	बंधन की स्थितिज ऊर्जा।	$J$
$\frac{1}{2} k x^{2}$	कठोरता $k$ वाले आदर्श स्प्रिंग की ऊर्जा: वह सममित परवलय जिसका वास्तविक वक्र उसके तल के पास अनुसरण करता है।	$J$
$k_{B} T$	ऊष्मीय ऊर्जा, बोल्ट्ज़मान नियतांक गुणा तापमान: वह स्तर जिस पर परमाणु कंपन करते हैं।	$J$
$\overset{x}{ˉ}$	दूरी का औसत परिवर्तन: कंपन करते परमाणु की औसत स्थिति, जिसे असममित बंधन धनात्मक $x$ की ओर धकेलता है।	$m$

$T$	तापमान, यहाँ सेल्सियस में।	$^{\circ} C$
$ρ$	द्रव जल का घनत्व।	$kg/ m^{3}$
$T_{m}$	घनत्व के अधिकतम का तापमान, 3.98 °C।	$^{\circ} C$
$ρ_{m}$	द्रव जल का अधिकतम घनत्व, 999.97 kg/m³, जो $T_{m}$ पर पहुँचता है।	$kg/ m^{3}$
$β$	स्पर्श-बिंदु पर आयतन-प्रसार गुणांक: जहाँ घनत्व $T$ के साथ बढ़ता है वहाँ ऋणात्मक, अधिकतम पर शून्य, और जहाँ घटता है वहाँ धनात्मक।	$K^{- 1}$

$y$	पट्टी के आर-पार स्थिति, अंतरापृष्ठ से वक्रता-केंद्र की ओर मापी गई (स्टील की ओर धनात्मक)।	$m$
$h$	पट्टी की मोटाई, दोनों परतें मिलाकर।	$m$
$ε$	पट्टी के अनुदिश विकृति: लंबाई का भिन्नात्मक परिवर्तन।
$ε_{0}$	अंतरापृष्ठ ( $y = 0$ ) पर विकृति: समान परतों के लिए दो मुक्त विकृतियों का माध्य।
$R$	मुड़ी पट्टी की वक्रता-त्रिज्या; नीली रेखा प्रति इकाई $y$ पर $1/ R$ घटती है।	$m$
$α_{1} Δ T$	यदि पीतल मुक्त होता तो उसकी विकृति: उसका गुणांक $α_{1}$ गुणा तापमान-वृद्धि।
$α_{2} Δ T$	यदि स्टील मुक्त होता तो उसकी विकृति: उसका गुणांक $α_{2}$ गुणा तापमान-वृद्धि।
$σ_{1}$	पीतल में प्रतिबल: $E$ गुणा नीली रेखा और पीतल की अपनी मुक्त विकृति के बीच का अंतर।	$Pa$
$σ_{2}$	स्टील में प्रतिबल: $E$ गुणा नीली रेखा और स्टील की अपनी मुक्त विकृति के बीच का अंतर।	$Pa$

$L$	दीवारों के बीच छड़ की लंबाई।	$m$
$a$	छड़ के वर्गाकार अनुप्रस्थ-काट की भुजा।	$m$
$F$	प्रत्येक दीवार और छड़ के बीच संपीड़न बल; बकलिंग से पहले, $F = σ a^{2}$ ।	$N$
$δ$	झुकी हुई छड़ के मध्य का पार्श्व विस्थापन, यहाँ बढ़ाकर दिखाया गया।	$m$
$L /2$	दो नति-परिवर्तन बिंदुओं के बीच का खंड: छड़ का आधा।	$m$