Wärmeausdehnung

Einsteiger

Schritt 1. Fast alles dehnt sich beim Erwärmen ein wenig aus und zieht sich beim Abkühlen wieder zusammen, deshalb verlegt man Betonplatten mit schmalen Fugen dazwischen. Das ist die Wärmeausdehnung.

Schritt 2. Warum? Ein Körper besteht aus winzigen Teilchen, die ständig zittern. Erwärmt man ihn, zittern sie stärker und schieben sich etwas weiter auseinander, sodass der ganze Körper ein wenig länger, breiter und dicker wird.

Schritt 3. Wie stark? Die Dehnung ist klein, aber sehr regelmäßig: Erwärmt man einen Stab doppelt so stark, dehnt er sich doppelt so stark aus; nimmt man einen doppelt so langen Stab, dehnt er sich ebenfalls doppelt so stark aus. Ein 1 m langer Aluminiumstab, um 200 Grad erwärmt, wird um weniger als 5 mm länger, doch eine lange Stahlbrücke ändert ihre Länge zwischen Winter und Sommer um mehrere Dezimeter. Die Druckkraft ist enorm, deshalb bekommen Brücken gezahnte Dehnungsfugen.

Schritt 4. Verschiedene Stoffe dehnen sich unterschiedlich stark aus. Verbindet man einen Messingstreifen mit einem Stahlstreifen und erwärmt beide, dehnt sich das Messing stärker aus. Deshalb muss sich das Paar krümmen, mit dem Messing auf der Außenseite der Biegung. Solche Bimetallstreifen schalten Thermostate und Wasserkocher ein und aus.

In der Animation erhitzen Flammen einen Metallstab und einen Messing-Stahl-Streifen. Das Ende des Stabs wandert über die gestrichelte Linie (seine Dehnung ist 25-fach vergrößert gezeichnet), während sich der Streifen nach oben krümmt. Sind die Flammen aus, kehren beide in ihre ursprüngliche Form zurück.

Teste dich selbst: Ein Metalldeckel sitzt fest auf einem Glas. Sollte man heißes Wasser über den Deckel oder über das Glas laufen lassen? (Über den Deckel: Metall dehnt sich stärker aus als Glas, der Deckel lockert sich.)

Wasser ist eine merkwürdige Ausnahme: Zwischen 0 °C und 4 °C schrumpft es beim Erwärmen.

Mittelstufe

Was sich ausdehnt und warum

In einem Festkörper sitzen die Atome in nahezu festen Abständen zu ihren Nachbarn, gehalten von Bindungen, die wie steife Federn wirken. Sie schwingen um diese Lagen, und Erwärmen lässt sie stärker schwingen. Die Bindungen wehren sich stärker gegen Zusammendrücken als gegen Dehnen, sodass ein stärker schwingendes Atom etwas mehr Zeit weiter außen verbringt und der mittlere Abstand wächst. Jede Länge des Körpers wächst mit diesem Abstand.

Drei Größen beschreiben den Effekt: die ursprüngliche Länge $L_0$, die Längenänderung $\Delta L=L-L_0$ (beim Abkühlen negativ) und die Temperaturänderung $\Delta T$. Ein Schritt von 1 °C ist genauso groß wie ein Schritt von 1 K, daher hat $\Delta T$ auf beiden Skalen denselben Wert: Eine Erwärmung von 20 °C auf 220 °C ist $\Delta T=200\mathrm{K}$.

Das Gesetz der linearen Ausdehnung

Messungen ergeben eine einfache Regel: Die Längenänderung ist proportional zur ursprünglichen Länge und zur Temperaturänderung,
$\Delta L=\alpha L_0\Delta T$

Jeder Meter eines Stabs wächst für sich, daher wächst ein doppelt so langer Stab doppelt so viel. Der Längenausdehnungskoeffizient $\alpha$ gehört zum Stoff. Seine Einheit ist K⁻¹, denn er ist die relative Längenzunahme $\Delta L/L_0$ pro Kelvin: $\alpha =23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ bedeutet, dass jeder Meter Aluminium pro Kelvin 23 Mikrometer gewinnt.

Typische Werte in Einheiten von $10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ sind: Invar (eine Eisen-Nickel-Legierung) 1,2, Glas 9, Stahl und Beton etwa 12, Kupfer 17, Messing 19, Aluminium 23. Da $\alpha \Delta T$ bei alltäglichem Erwärmen deutlich unter 1 % bleibt, ist die Änderung leicht zu übersehen, aber schwer zu verhindern.

Flächen, Volumina und Flüssigkeiten

Beim Erwärmen wird jede Länge einer gleichmäßigen Platte mit $(1+\alpha \Delta T)$ multipliziert, ihre Fläche daher mit $(1+\alpha \Delta T{)}^2\approx 1+2\alpha \Delta T$; der weggelassene Term $(\alpha \Delta T{)}^2$ ist vernachlässigbar. Das Volumen eines Blocks wird mit der dritten Potenz multipliziert. In erster Näherung wachsen Fläche und Volumen also um
$\Delta A\approx 2\alpha A_0\Delta T$
$\Delta V=\beta V_0\Delta T,\beta \approx 3\alpha$

Hier ist $\beta$ der Volumenausdehnungskoeffizient. Auch Löcher wachsen mit: Die Öffnung eines Rings wächst genau so, als wäre sie eine Scheibe aus demselben Stoff, wie bei einer Fotovergrößerung.

Flüssigkeiten haben keine eigene Form und werden daher nur durch $\beta$ beschrieben. In Einheiten von $10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ beträgt er etwa 210 für Wasser bei 20 °C, 180 für Quecksilber und 950 für Benzin, gegenüber 27 für Glas. Ein Flüssigkeitsthermometer nutzt diesen Unterschied: Die Flüssigkeit dehnt sich stärker aus als ihr Glasgefäß und steigt in der engen Röhre. Deshalb läuft ein bis zum Rand mit kühlem Benzin gefüllter Tank in der Sonne über.

Beispiel: Stab und Streifen aus der Animation

Der Aluminiumstab hat $L_0=1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$ und wird von 20 °C auf 220 °C erhitzt, also $\Delta T=200\mathrm{K}$ und
$\Delta L=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}\cdot 1000\mathrm{mm}\cdot 200\mathrm{K}=4,6\mathrm{mm}$

Das ist die blaue $\Delta L$-Anzeige bei 220 °C: Der Stab ist jetzt 1,0046 m lang. Die Dehnung und ihr Pfeil sind 25-fach vergrößert gezeichnet, da sie im wahren Maßstab unsichtbar wären.

Der Streifen besteht aus 10 cm Messing ($\alpha =19\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$), das mit 10 cm Stahl ($\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$) verbunden ist. Frei würde sich das Messing um $19\times 10^{-6}\cdot 100\mathrm{mm}\cdot 200=0,38\mathrm{mm}$ ausdehnen, der Stahl um 0,24 mm, eine Differenz von nur 0,14 mm. Verbunden können die Schichten nicht gegeneinander gleiten, also muss sich der Streifen krümmen, mit dem längeren Messing auf der Außenseite der Biegung. Hier liegt das Messing unten, daher krümmt sich der Streifen nach oben.

Er biegt sich zu einem Bogen mit dem Radius $R\approx 25\mathrm{cm}$, hergeleitet auf Expertenniveau. Ein Bogen der Länge $L$ hebt sich über seine Ausgangslinie um etwa $L^2/(2R)$, daher hebt sich die Spitze des 100 mm langen Streifens um $d\approx 100^2/(2\cdot 246)\approx 20\mathrm{mm}$: die grüne $d$-Anzeige. Aus einer Differenz von 0,14 mm ist eine Bewegung von 20 mm geworden. Genau das macht den Streifen zu einem guten Schalter.

Beispiel: Eine Brücke und ihre Dehnungsfuge

Eine 120 m lange Stahlbrückenplatte ist an einem Ende fest und liegt am anderen auf gleitenden Lagern. Sie wurde bei 15 °C gebaut und erreicht in Winternächten −20 °C und in der Sommersonne +45 °C. Wie viel Bewegung muss die Fuge am freien Ende aufnehmen?

Mit $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ und $L_0=120000\mathrm{mm}$ ändert jedes Kelvin die Länge um $\alpha L_0=1,44\mathrm{mm}$. Im Sommer, mit $\Delta T=+30\mathrm{K}$, wächst die Platte um $1,44\cdot 30\approx 43\mathrm{mm}$; im Winter, mit $\Delta T=-35\mathrm{K}$, schrumpft sie um $1,44\cdot 35\approx 50\mathrm{mm}$. Die Fuge muss etwa 94 mm abdecken, daher ihre langen, ineinandergreifenden Stahlzähne.

Ohne Fuge müssten die Widerlager die sommerliche Ausdehnung wieder herausdrücken, eine Dehnung von $\alpha \Delta T=3,6\times 10^{-4}$. Mit dem Elastizitätsmodul $E=200\mathrm{GPa}$ entspricht das einer Spannung $\sigma =E\alpha \Delta T=72\mathrm{MPa}$, etwa einem Viertel der Spannung, bei der Baustahl zu fließen beginnt, unabhängig von der Länge der Platte.

Die Animation lesen

Die gestrichelten Linien markieren die kalten Formen. Der Stab ist an der Wand befestigt und liegt auf einer Rolle, wie eine Brückenplatte auf ihren Lagern, daher erscheint seine ganze Dehnung am freien Ende. Der Streifen ist nur an einem Ende eingespannt und kann sich deshalb frei biegen.

$\Delta L$ und $d$ sind beide proportional zum Anstieg über 20 °C: Bei der Hälfte, 120 °C, zeigen sie 2,30 mm und etwa 10 mm. Jedes Kelvin fügt dem Stab 0,023 mm und der Auslenkung des Streifens etwa 0,1 mm hinzu. Beim Abkühlen laufen die Anzeigen über dieselben Werte zurück auf null: Die Wärmeausdehnung ist reversibel, solange nichts über die Elastizitätsgrenze belastet wird.

Häufige Fehler

• Ein Loch in einer erwärmten Platte wächst wie jede andere Länge: Ein 20,00 mm großes Loch in Stahl, um 100 K erwärmt, wird 20,02 mm groß. So werden Ringe auf Wellen aufgeschrumpft.
• Die Atome schwellen nicht an; ihr mittlerer Abstand wächst, im Stab der Animation um 0,46 %.
• Rechne mit der Temperaturänderung, nicht mit der Temperatur: 20 °C auf 30 °C ergibt dieselbe Dehnung wie 80 °C auf 90 °C, und eine Änderung um 200 °C sind 200 K, ohne 273 hinzuzuaddieren.
• Flächen wachsen mit $2\alpha$, Volumina mit $3\alpha$: Ein Aluminiumblock, um 200 K erwärmt, gewinnt 1,38 % an Volumen, das Dreifache der 0,46 % jeder Kante.
• Nicht alles dehnt sich beim Erwärmen aus: Wasser zieht sich beim Erwärmen von 0 °C auf 4 °C zusammen, und ein gespanntes Gummiband verkürzt sich.

Wo es vorkommt

Lange Bauwerke brauchen Platz zum Bewegen: Fugen und Rollenlager bei Brücken, Spalte zwischen Betonplatten, Schleifen in Rohrleitungen und Freileitungen, die an heißen Tagen tiefer durchhängen. Stoffe, die verbunden bleiben müssen, etwa Glas, das um die Drähte einer Lampe eingeschmolzen wird, oder eine Zahnfüllung, wählt man mit passenden Ausdehnungskoeffizienten aus. Bimetallstreifen nutzen die Differenz dagegen absichtlich, um Wasserkocher, Bügeleisen und Thermostate zu schalten.

Dieses Kapitel baut auf Temperatur und Wärme auf. Das seltsame Verhalten des Wassers kehrt bei Phasenübergänge und latente Wärme zurück: Beim Gefrieren dehnt es sich um 9 % aus. Die blockierte Ausdehnung ist das Spannungs-Dehnungs-Gesetz aus Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung. Gase, die sich weit stärker ausdehnen als Festkörper, werden in Kinetische Gastheorie erklärt.

Fortgeschritten

Der Koeffizient als Änderungsrate

Alles in diesem Kapitel beruht auf einer Zahl pro Stoff, dem Ausdehnungskoeffizienten $\alpha$. Die bekannte Regel $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$ ist nur eine Näherung, daher lohnt es sich zu sehen, was genau sie annähert. Die exakte Definition ist die relative Längenzunahme pro Kelvin, bei einer einzelnen Temperatur genommen:
$\alpha =\frac{1}{L}\frac{dL}{dT}$

Die rechte Seite ist die Ableitung von $\ln L$ nach $T$. Integriert man sie von der Ausgangstemperatur $T_0$ bis $T$, erhält man die Länge exakt:
$L=L_0\exp \left({\int }_{T_0}^T\alpha d{T}^{\prime }\right)$

Hängt $\alpha$ nicht von der Temperatur ab, ist das Integral einfach $\alpha \Delta T$, und das Entwickeln der Exponentialfunktion ergibt $L=L_0{e}^{\alpha \Delta T}=L_0(1+\alpha \Delta T+\frac{1}{2}{\alpha }^2\Delta T^2+\dots )$. Das lineare Gesetz behält nur die erste Korrektur $\alpha \Delta T$ und verwirft den Rest. Für Festkörper kostet das fast nichts: In der Animation ist $\alpha \Delta T=4,6\times 10^{-3}$, und die Exponentialfunktion ergibt 4,611 mm Wachstum statt 4,600 mm.

Die eigentliche Schwäche des linearen Gesetzes liegt woanders: $\alpha$ selbst ändert sich mit der Temperatur. Bei echtem Aluminium steigt es zwischen 20 °C und 220 °C um mehr als ein Zehntel. Ein echter 1 m langer Stab würde daher knapp 5 mm wachsen, ein Fehler, der weit größer ist als die 0,011 mm, die durch das Weglassen des quadratischen Terms verloren gehen. Über große Temperaturbereiche muss $\alpha$ integriert werden.

Das Diagramm von $\Delta L$ gegen $T$ in der Animation zeigt das lineare Gesetz: eine Gerade von 0 bei 20 °C bis 4,6 mm bei 220 °C, mit der Steigung $dL/dT=\alpha L_0=0,023mm/K$. Beim Abkühlen gleitet der Punkt auf derselben Geraden zurück. Es entsteht keine Schleife, weil die Länge nur von der gegenwärtigen Temperatur abhängt, nicht von der Vorgeschichte des Erwärmens und Abkühlens. Mit dem temperaturabhängigen $\alpha$ von echtem Aluminium würde sich die Linie sanft nach oben krümmen.

Dieselbe Definition gilt für das Volumen: $\beta =(1/V)dV/dT$. Ein isotroper Festkörper, der sich in alle Richtungen gleich ausdehnt, behält seine Form, also gilt $V\propto L^3$. Dann ist $\ln V$ gleich $3\ln L$ plus einer Konstanten, und die Ableitung ergibt $\beta =3\alpha$ exakt. Die bekannte Formel $\Delta V\approx 3\alpha V_0\Delta T$ ist nur näherungsweise richtig, weil sie Terme in $(\alpha \Delta T{)}^2$ weglässt.

Warum heiße Atome mehr Platz brauchen

Warum sollte sich ein Festkörper überhaupt ausdehnen? Die Antwort liegt in der Form der Bindung zwischen Nachbaratomen. Angenommen, die Kraft zwischen zwei Nachbarn wäre genau $-kx$, wobei $x$ die Änderung ihres Abstands gegenüber dem Ruhewert und $k$ die Steifigkeit der Bindung ist. Dann wäre die potentielle Energie eine Parabel, jede Schwingung wäre symmetrisch um $x=0$, und der mittlere Abstand würde sich nie ändern, egal wie stark die Atome schwingen. Ein Kristall mit solchen perfekt federartigen (harmonischen) Bindungen würde sich nicht ausdehnen. Echte Bindungen sind asymmetrisch. Drückt man zwei Atome zusammen, trifft man auf eine steile Abstoßung, wenn sich ihre Elektronenhüllen überlappen. Zieht man sie auseinander, trifft man auf eine Anziehung, die mit dem Abstand schwächer wird.

Legende

$x$	Änderung des Abstands zweier Nachbaratome, vom Talboden aus gemessen.	$\mathrm{m}$
$U$	Potentielle Energie der Bindung.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}k{x}^2$	Energie einer idealen Feder mit Steifigkeit $k$: die symmetrische Parabel, der die echte Kurve nahe ihrem Boden folgt.	$\mathrm{J}$
$k_{B}T$	Thermische Energie, Boltzmann-Konstante mal Temperatur: die Höhe des Niveaus, auf dem die Atome schwingen.	$\mathrm{J}$
$\bar{x}$	Mittlere Abstandsänderung: die mittlere Lage des schwingenden Atoms, durch die unsymmetrische Bindung nach positivem $x$ verschoben.	$\mathrm{m}$

Abbildung 1 zeigt die Energie $U$ einer Bindung gegen die Änderung $x$ ihres Abstands. Betrachte zuerst die beiden Kurven. Die gestrichelte Parabel $\frac{1}{2}k{x}^2$ ist die ideale, symmetrische Feder. Die durchgezogene Kurve ist die echte, asymmetrische Bindung: Nahe dem Talboden stimmen beide überein. Auf der gestauchten Seite (links) steigt die echte Kurve jedoch über die Parabel, auf der gedehnten Seite (rechts) fällt sie darunter.

Betrachte nun die waagerechte Linie in der Höhe $k_{B}T$, der typischen thermischen Energie eines schwingenden Atoms ($k_B$ ist die Boltzmann-Konstante). Ein Atom mit dieser Energie schwingt zwischen den beiden Punkten hin und her, an denen die Linie die durchgezogene Kurve schneidet: Das sind seine Umkehrpunkte. Links ist die Wand steil, der Umkehrpunkt liegt also nahe bei $x=0$. Rechts ist die Wand flach, der Umkehrpunkt liegt weiter außen. Das Atom reicht also weiter nach außen als nach innen, und seine mittlere Lage $\bar{x}$, die goldene Linie, liegt bei positivem $x$, rechts vom Talboden. Ein heißeres Atom reitet auf einer höheren Linie, auf einem asymmetrischeren Stück der Kurve, und $\bar{x}$ wandert weiter nach außen. Diese nach außen gerichtete Verschiebung des mittleren Abstands, die sich in jeder Bindung des Kristalls wiederholt, ist die Wärmeausdehnung.

Um dies quantitativ zu fassen, fügt die einfachste asymmetrische Bindung der Feder einen kubischen Term hinzu, mit einer Konstanten $b$, die die Asymmetrie misst. Das ist die durchgezogene Kurve aus Abbildung 1, mit übertriebener Asymmetrie:
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{3}b{x}^3$
Das Minuszeichen legt die Energie für $x>0$ unter die Parabel und für $x<0$ darüber, wie in der Abbildung. Die Kraft auf das Atom ist $-dU/dx=-kx+b{x}^2$.

Nun mittle über die Bewegung. Ein schwingendes Atom bleibt im Mittel an seinem Platz, also muss der Zeitmittelwert der Kraft auf es verschwinden: $k\bar{x}=b\overline{x^2}$, wobei $\overline{x^2}$ die mittlere quadratische Auslenkung ist. Da $b$ klein ist, genügt es, $\overline{x^2}$ aus der harmonischen Feder zu nehmen. Für eine Schwingung mit der Energie $E_{\mathrm{vib}}$ ist im Mittel die Hälfte potentielle Energie, also $\frac{1}{2}k\overline{x^2}=\frac{1}{2}{E}_{\mathrm{vib}}$ und $\bar{x}=b{E}_{\mathrm{vib}}/k^2$. Ein klassischer Oszillator im thermischen Gleichgewicht hat im Mittel $E_{\mathrm{vib}}=k_{B}T$, was
$\bar{x}=\frac{b{k}_{B}T}{k^2}$
ergibt. Mittelt man $x$ mit dem Boltzmann-Faktor $e^{-U/k_{B}T}$, erhält man in erster Ordnung in $b$ dasselbe Ergebnis. Abbildung 1, die eine Schwingung mit der Energie $k_{B}T$ verfolgt, markiert also dasselbe $\bar{x}$, das der thermische Mittelwert liefert.

Der mittlere Abstand wächst proportional zur Temperatur. Teilt man durch den Ruheabstand $r_0$, erhält man die relative Zunahme pro Kelvin, $\alpha \approx b{k}_B/(k^2{r}_0)$: bei gewöhnlichen Temperaturen konstant und proportional zu $b$. Der Ausdehnungskoeffizient ist also ein direktes Maß dafür, wie asymmetrisch die Bindungen sind.

Was die Größe des Koeffizienten bestimmt

Dasselbe Bild erklärt eine auffällige Regelmäßigkeit. Schmelzen und Ausdehnung hängen beide davon ab, wie weit die thermische Energie in das Potentialtal hinaufreicht: Ein Festkörper schmilzt, wenn seine Schwingungen einen beträchtlichen Bruchteil des Atomabstands erreichen, und er dehnt sich aus, wenn die Atome auf der asymmetrischen Talflanke höher steigen. Ein tiefes, steifes Potentialtal ergibt daher sowohl eine hohe Schmelztemperatur als auch ein kleines $\alpha$. Bei vielen Metallen ist ihr Produkt ungefähr gleich, etwa 0,02. Für Aluminium gilt $23\times 10^{-6}\cdot 933\approx 0,021$; für Wolfram $4,5\times 10^{-6}\cdot 3695\approx 0,017$.

Invar, eine Eisen-Nickel-Legierung, bricht diese Regel: Eine magnetische Kontraktion hebt die normale Ausdehnung fast auf. Diese Entdeckung brachte Charles-Édouard Guillaume 1920 den Nobelpreis ein und macht Invar in Präzisionsinstrumenten wertvoll.

Bei tiefen Temperaturen versagt das klassische Bild. Die Schwingungen frieren in ihren quantenmechanischen Grundzustand ein, der bei steigender Temperatur kaum noch Energie gewinnt. Die Ausdehnung folgt der Schwingungsenergie, daher fällt $\alpha$ zusammen mit der Wärmekapazität auf null, wie es der dritte Hauptsatz der Thermodynamik verlangt. Ihr Verhältnis bleibt nahezu konstant (Grüneisen-Regel).

Thermische Spannung in einem eingespannten Stab

Was geschieht, wenn die Ausdehnung verhindert wird? Nimm einen Stab, der zwischen starren Wänden gehalten wird. Er kann seine Länge nicht ändern, also müssen die Wände ihn genau um so viel zusammendrücken, wie er sich ausgedehnt hätte: Sie erzeugen eine elastische Dehnung $-\alpha \Delta T$, die die freie Ausdehnung aufhebt. Nach dem hookeschen Gesetz ist die Spannung der Elastizitätsmodul $E$ mal der Dehnung, daher entsteht eine Spannung der Größe
$\sigma =E\alpha \Delta T$
Die Spannung ist beim Erwärmen drückend und beim Abkühlen ziehend. Beachte, dass die Länge herausfällt, denn nur die relative Dehnung zählt: Ein 1 m langer Stab und eine 1 km lange Stahlschiene gewinnen beide 2,4 MPa Spannung pro Kelvin.

Der Biegestreifen

Ein Streifen aus zwei fest verbundenen Metallen, etwa Messing auf Stahl, ist nur teilweise behindert. Jede Schicht möchte sich um ihren eigenen Betrag ausdehnen, aber die Verbindung zwingt sie, eine gemeinsame Form anzunehmen, und der Kompromiss ist eine Biegung. So verwandelt ein Thermostat eine Temperaturänderung in eine Bewegung. Um die Biegung zu finden, müssen wir wissen, wie die Dehnung über die Dicke des Streifens variiert.

Legende

$y$	Lage quer zum Streifen, von der Grenzfläche zur Krümmungsmitte gemessen (Stahlseite positiv).	$\mathrm{m}$
$h$	Dicke des Streifens, beide Schichten zusammen.	$\mathrm{m}$
$\epsilon$	Dehnung entlang des Streifens: die relative Längenänderung.
${\epsilon }_0$	Dehnung an der Grenzfläche, $y=0$: der Mittelwert der beiden freien Dehnungen bei gleichen Schichten.
$R$	Krümmungsradius des gebogenen Streifens; die blaue Linie fällt pro Einheit $y$ um $1/R$.	$\mathrm{m}$
${\alpha }_1\Delta T$	Dehnung, die das Messing frei hätte: sein Koeffizient ${\alpha }_1$ mal die Temperaturerhöhung.
${\alpha }_2\Delta T$	Dehnung, die der Stahl frei hätte: sein Koeffizient ${\alpha }_2$ mal die Temperaturerhöhung.
${\sigma }_1$	Spannung im Messing: $E$ mal dem Abstand zwischen blauer Linie und der eigenen freien Dehnung des Messings.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_2$	Spannung im Stahl: $E$ mal dem Abstand zwischen blauer Linie und der eigenen freien Dehnung des Stahls.	$\mathrm{Pa}$

Abbildung 2 ist ein Schnitt durch die Dicke $h$ des Streifens. Die vertikale Achse ist die Position $y$ quer zum Streifen, von der Grenzfläche zur Krümmungsmitte gemessen. Der Stahl (grau) füllt daher den Bereich $0<y<h/2$ und das Messing (golden) den Bereich $-h/2<y<0$. Die horizontale Achse ist die Dehnung $\epsilon$ entlang des Streifens.

Betrachte zuerst die beiden senkrechten Linien. Sie geben die Dehnungen an, die jede Schicht frei hätte: ${\alpha }_1\Delta T$ für das Messing und ${\alpha }_2\Delta T$ für den Stahl. Messing dehnt sich stärker aus, ${\alpha }_1>{\alpha }_2$, daher liegt seine Linie weiter rechts.

Nun die blaue Linie. Verbunden müssen die Schichten als Einheit zu einem Radius $R$ gebogen werden. Bei einer Biegung wird jede dünne Scheibe entlang des Streifens proportional zu ihrem Abstand vom Krümmungsmittelpunkt gedehnt oder gestaucht, daher variiert die Dehnung linear über den Streifen:
$\epsilon (y)={\epsilon }_0-\frac{y}{R}$
Dabei ist ${\epsilon }_0$ die Dehnung an der Grenzfläche. Die Linie fällt zum Krümmungsmittelpunkt hin, daher wird das Messing auf der Außenseite der Biegung am stärksten gedehnt.

Eine Schicht ist nur durch den Teil ihrer Dehnung belastet, der nicht freie Ausdehnung ist. Die Spannung ist daher $E(\epsilon -{\alpha }_i\Delta T)$, mit ${\alpha }_1$ im Messing und ${\alpha }_2$ im Stahl. In der Abbildung ist das $E$ mal dem horizontalen Abstand zwischen der blauen Linie und der eigenen senkrechten Linie der Schicht: die grünen Keile, ${\sigma }_1$ im Messing und ${\sigma }_2$ im Stahl. Direkt an der Grenzfläche liegt die blaue Linie links von der Messinglinie und rechts von der Stahllinie, also wird das Messing gestaucht und der Stahl gedehnt. Nahe den äußeren Flächen hat die blaue Linie die senkrechten Linien gekreuzt, und die Vorzeichen sind umgekehrt.

Die blaue Linie hat zwei Unbekannte, ihre Lage ${\epsilon }_0$ und ihre Steigung $1/R$. Auf den Streifen wirkt keine äußere Last, daher müssen die Spannungen netto keine Kraft und kein Biegemoment ergeben. Diese beiden Bedingungen legen die beiden Unbekannten fest.

Nimm gleiche Dicken und gleiche Module an. Der Term $-y/R$ liefert in beiden Hälften gleich große, entgegengesetzte Kräfte, daher verschwindet die Nettokraft nur, wenn ${\epsilon }_0$ der Mittelwert der beiden freien Dehnungen ist, ${\epsilon }_0=\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2)\Delta T$. Die blaue Linie kreuzt die Grenzfläche also genau auf halbem Weg zwischen den beiden senkrechten Linien. Bezogen darauf wird das Messing um dieselbe Differenzdehnung $\frac{1}{2}\Delta \alpha \Delta T$ gestaucht und der Stahl gedehnt, wobei $\Delta \alpha ={\alpha }_1-{\alpha }_2$. Pro Breiteneinheit bilden diese beiden gleich großen, entgegengesetzten Kräfte, je $\frac{1}{4}E\Delta \alpha \Delta Th$, im Abstand $h/2$ ein Kräftepaar mit dem Moment $\frac{1}{8}E\Delta \alpha \Delta T{h}^2$. Die Biegespannung $-Ey/R$ liefert das entgegengesetzte Moment $E{h}^3/(12R)$. Gleichsetzen der beiden Momente ergibt
$\frac{1}{R}=\frac{3\Delta \alpha \Delta T}{2h}\text{(equal thicknesses and moduli)}$
Mit dieser Steigung kreuzt die blaue Linie jede senkrechte Linie auf zwei Dritteln des Weges von der Grenzfläche zur Außenseite, wie gezeichnet.

Für die Animation ergeben $\Delta \alpha =7\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, $\Delta T=200\mathrm{K}$ und $h=0,5\mathrm{mm}$ den Wert $1/R=4,2{\mathrm{m}}^{-1}$. Die Animation verwendet die allgemeine Formel von Stephen Timoshenko aus dem Jahr 1925 mit den echten Moduln (Messing 100 GPa, Stahl 200 GPa) und erhält $4,07{\mathrm{m}}^{-1}$, einen Radius von 24,6 cm.

Wie weit bewegt sich die Spitze? Für kleine Winkel schmiegt sich ein Kreis an eine Parabel, daher fällt ein Bogen mit dem Radius $R$ nach der Länge $L$ von seiner Ausgangstangente um
$d\approx \frac{L^2}{2R}$
ab. Der 10 cm lange Streifen hebt seine Spitze also um etwa 20,4 mm. Der exakte Bogen, der die Spitze um 23° dreht, ergibt die 20,1 mm der grünen Anzeige. Kombiniert man beide Formeln, erhält man $d=3\Delta \alpha \Delta T{L}^2/(4h)$: Halbiert man die Dicke, verdoppelt sich die Bewegung, verdoppelt man die Länge, vervierfacht sie sich. Deshalb verwenden Thermostate lange, dünne oder aufgerollte Streifen.

Die Wasserkurve

Die meisten Flüssigkeiten dehnen sich beim Erwärmen stetig aus. Wasser zwischen 0 °C und etwa 4 °C tut das Gegenteil, und diese kleine Anomalie entscheidet, wie Seen zufrieren.

Legende

$T$	Temperatur, hier in Grad Celsius.	${}^{\circ }\mathrm{C}$
$\rho$	Dichte von flüssigem Wasser.	$kg/{\mathrm{m}}^3$
$T_m$	Temperatur der maximalen Dichte, 3,98 °C.	${}^{\circ }\mathrm{C}$
${\rho }_m$	Größte Dichte von flüssigem Wasser, 999,97 kg/m³, erreicht bei $T_m$.	$kg/{\mathrm{m}}^3$
$\beta$	Volumenausdehnungskoeffizient am Berührungspunkt der Tangente: negativ, wo die Dichte mit $T$ steigt, null im Maximum, positiv, wo sie fällt.	${\mathrm{K}}^{-1}$

Abbildung 3 zeigt die Dichte $\rho$ von Wasser von 0 bis 12 °C, den rechten Teil der Animation, mit den Tangenten bei drei Temperaturen. Um den Ausdehnungskoeffizienten aus dieser Kurve abzulesen, beachte, dass die Dichte bei fester Masse umgekehrt proportional zum Volumen ist, also $\beta =-(1/\rho )d\rho /dT$. Die Steigung der Kurve ist daher $-\beta \rho$, und ihr Vorzeichen ist stets entgegengesetzt zu dem von $\beta$.

Nun verfolge die Tangenten von links nach rechts. Links steigt die Kurve, die Steigung ist positiv und $\beta <0$: etwa $-68\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ bei 0 °C. Erwärmen lässt das Wasser dort also schrumpfen. Am Gipfel verläuft die Tangente waagerecht, und $\beta =0$. Das ist die Temperatur $T_m=3,98$ °C der größten Dichte, ${\rho }_m=999,97kg/{\mathrm{m}}^3$. Darüber fällt die Kurve, und $\beta >0$, wie bei jeder anderen Flüssigkeit. Die vertikale Achse ist stark gestreckt: Von 4 °C bis 12 °C sinkt die Dichte um weniger als 0,05 %.

Diese Anomalie bestimmt das Verhalten von Seen. Im Herbst ist abgekühltes Oberflächenwasser dichter als das Wasser darunter, es sinkt also, bis der ganze See etwa 4 °C hat. Kühlt es weiter ab, wird das Oberflächenwasser leichter statt schwerer. Es bleibt oben, wo es gefriert, während der Grund unter dem schwimmenden Eis nahe bei 4 °C bleibt.

Wenn Erwärmen Körper schrumpfen lässt

Die Anomalie des Wassers ist strukturell bedingt. Eis ist ein offenes, durch Wasserstoffbrücken verknüpftes Gitter voller Leerraum. Das Schmelzen bricht es teilweise zusammen, und eisartige Cluster, die in der kalten Flüssigkeit überleben, zerfallen beim Erwärmen weiter, sodass die Moleküle sich dichter packen können. Dieses Schrumpfen konkurriert mit der gewöhnlichen Ausdehnung der Bindungen, und es gewinnt bis 3,98 °C.

Ein Gummiband, das ein Gewicht trägt, verkürzt sich beim Erwärmen aus einem anderen Grund. Seine Spannung stammt vor allem von langen Kettenmolekülen: Eine gestreckte Kette hat weit weniger mögliche Anordnungen als eine geknäuelte und besitzt daher eine geringere Entropie. Wärme treibt die Ketten zurück zu kürzeren, ungeordneten Formen. Die Thermodynamik verknüpft dies mit einem Wärmeeffekt, ohne ein molekulares Modell zu benötigen. Sei $f$ die Spannung und $L$ die Länge des Bandes. Die freie Energie $F=U-TS$ ändert sich dann um $dF=-SdT+fdL$. Da $F$ eine Funktion von $T$ und $L$ ist, sind ihre gemischten zweiten Ableitungen gleich, und das ergibt eine Maxwell-Relation:
${\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)}_L$

Die Spannung von Gummi steigt bei fester Länge mit der Temperatur, daher ist die rechte Seite negativ: Gedehnter Gummi verringert seine Entropie, und das Band muss Wärme abgeben. Wird es schnell gedehnt, bevor diese Wärme entweichen kann, erwärmt sich das Band. Ein Stahldraht bei fester Länge verhält sich umgekehrt: Erwärmen entlastet seine Dehnung, daher verliert er Spannung, um $EA\alpha$ pro Kelvin bei einem Querschnitt $A$. Das Vorzeichen kehrt sich um, und schnelles Dehnen kühlt Stahl ab, um etwa 0,1 K bei 100 MPa.

Rechenbeispiel: Der Stab zwischen zwei Wänden

Thermische Spannung kann enorm werden, doch ein schlanker Stab hat einen Ausweg. Diese Aufgabe liefert Zahlen für beides.

Legende

$L$	Länge des Stabs zwischen den Wänden.	$\mathrm{m}$
$a$	Seitenlänge des quadratischen Querschnitts des Stabs.	$\mathrm{m}$
$F$	Druckkraft zwischen jeder Wand und dem Stab; vor dem Knicken ist $F=\sigma a^2$.	$\mathrm{N}$
$\delta$	Seitliche Verschiebung der Mitte des ausgebogenen Stabs, hier übertrieben.	$\mathrm{m}$
$L/2$	Länge des Stücks zwischen den beiden Wendepunkten: die halbe Stablänge.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 zeigt den 1 m langen Aluminiumstab der Animation, wobei die Rolle durch eine zweite starre Wand ersetzt ist, sodass er an beiden Enden eingespannt ist. Seine Länge ist $L$, sein quadratischer Querschnitt hat die Seitenlänge $a=10\mathrm{mm}$, also ist seine Fläche $a^2=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$; es sei $E=70\mathrm{GPa}$. Jede Wand drückt mit der Kraft $F$ auf den Stab.

Zunächst sei angenommen, der Stab bleibe über die vollen 200 K gerade. Dafür bräuchte er die Spannung
$\sigma =E\alpha \Delta T=70\times 10^9\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 200\approx 3,2\times 10^8\mathrm{Pa}$
das sind 322 MPa, oder $F=\sigma a^2=32\mathrm{kN}$ an jeder Wand. Selbst eine starke Aluminium-Baulegierung fließt bei etwa 280 MPa. Der Stab würde also plastisch zerdrückt und dauerhaft verkürzt.

In Wirklichkeit versagt ein schlanker Stab viel früher, durch Knicken. Die Abbildung zeigt ihn, nachdem er seitlich ausgebogen ist, wobei seine Mitte um $\delta$ verschoben ist. Der gestrichelte Umriss ist der gerade Stab, und die Ausbiegung ist übertrieben. Da die eingespannten Enden sich nicht drehen können, nimmt der Stab die Form einer ganzen Welle an, mit Wendepunkten (den Punkten) auf einem Viertel und Dreiviertel der Länge. An einem Wendepunkt geht die Krümmung des Stabs durch null. Da das Biegemoment proportional zur Krümmung ist, ist das Moment dort null, genau wie an einem Ende, das sich frei drehen kann. Das Stück zwischen den Punkten, der Länge $L/2$, verhält sich daher wie ein Stab mit frei drehbaren Enden, und ein solcher knickt bei der Kraft ${\pi }^{2}EI/(L/2{)}^2$. Hier ist $I$ das axiale Flächenmoment zweiten Grades des Querschnitts, für ein Quadrat $I=a^4/12$. Ein Stab mit eingespannten Enden biegt sich also seitlich aus, sobald die Druckkraft $4{\pi }^{2}EI/L^2$ erreicht. Teilt man durch die Fläche $a^2$, erhält man die kritische Spannung
${\sigma }_c=\frac{4{\pi }^{2}EI}{a^2{L}^2}=\frac{{\pi }^{2}E{a}^2}{3L^2}\approx 23\mathrm{MPa}$

Der Stab knickt, wenn die thermische Spannung diesen Wert erreicht. Mit $E\alpha \Delta T_c={\sigma }_c$ kürzt sich der Elastizitätsmodul heraus:
$\Delta T_c=\frac{{\pi }^2{a}^2}{3\alpha L^2}=\frac{{\pi }^2\cdot 0,01^2}{3\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 1^2}\approx 14\mathrm{K}$

Nach nur 14 K, wenn ein freier Stab gerade einmal 0,33 mm gewachsen wäre, biegt sich der eingespannte seitlich aus. Schienen würden an heißen Tagen auf dieselbe Weise knicken, wenn Schwellen und Schotter sie nicht seitlich halten würden.

Grenzen der Gültigkeit

Das lineare Gesetz macht zwei Annahmen. Die erste, $\alpha \Delta T\ll 1$, gilt für Festkörper immer: 1000 K verändern Stahl nur um etwa 1,2 %. Die zweite, ein konstantes $\alpha$, ist die eigentliche Grenze: Über große Bereiche muss $\alpha$ integriert werden. Nahe dem absoluten Nullpunkt erlischt die Ausdehnung. Das $\alpha$ von Kupfer bei 50 K beträgt nur etwa ein Viertel seines Raumtemperaturwerts von $17\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$. Bei einem Phasenübergang versagt das Gesetz abrupt: Wasser dehnt sich beim Gefrieren um 9 % aus, und Stahl schrumpft leicht, wenn sich seine Kristallstruktur nahe 900 °C ändert.

Die Formeln setzen außerdem eine gleichmäßige Temperatur voraus. Gießt man kochendes Wasser in ein dickes, kaltes Glas, erwärmt sich die Innenfläche um rund 50 K, während die Außenseite kühl bleibt. Die heiße Schicht wird von der kalten blockiert, wie der Stab zwischen den Wänden, und die Spannungen liegen in der Größenordnung von $E\alpha \Delta T\approx 70\times 10^9\cdot 9\times 10^{-6}\cdot 50\approx 30\mathrm{MPa}$. Das ist vergleichbar mit der praktischen Festigkeit von gewöhnlichem Glas. Borosilikatglas mit $\alpha \approx 3,3\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ erhält etwa ein Drittel davon, weshalb es für Backformen und Laborglas verwendet wird.

Gase folgen all dem nicht. Bei konstantem Druck hat ein ideales Gas $\beta =1/T$, etwa $3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ bei 20 °C, das Sechzehnfache des Werts für Wasser.

Wohin es führt

Temperatur und Wärme liefert das Kelvin. Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung liefert $\sigma =E\epsilon$, das hinter thermischer Spannung und Knicken steht. Kinetische Gastheorie erklärt, warum ein Gas um $1/T$ pro Kelvin wächst, und Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen setzt diese Ausdehnung in Arbeit um. Die Anomalie bei 4 °C prägt die Konvektion in Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung. Eis kehrt in Phasenübergänge und latente Wärme zurück, und die Entropie eines Gummibandes nimmt vorweg, was in Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie folgt.

Die Ausdehnung reicht sogar bis in die Geometrie. Stell dir eine Platte vor, die im Zentrum kalt und am Rand heiß ist, vermessen von Bewohnern mit Linealen aus dem Material der Platte selbst. Nahe dem Rand werden ihre Lineale länger, sodass sie rund um einen Kreis weniger Lineallängen zählen als quer hindurch. Kreise um das Zentrum messen weniger als $2\pi$ mal ihren Radius, und die Winkel von Dreiecken ergeben zusammen mehr als $180^{\circ }$, wie auf einer Kugel. In Gravitation als gekrümmte Raumzeit tut die Masse mit Maßstäben und Uhren, was hier die Wärme tut.