Dilatação térmica

Iniciante

Passo 1. Quase tudo aumenta um pouco quando esquenta e volta a diminuir quando esfria. É por isso que as placas de concreto das calçadas são assentadas com pequenas folgas entre elas. Isso é a dilatação térmica.

Passo 2. Por quê? Um objeto é formado por partículas minúsculas que estão sempre vibrando. Ao aquecê-lo, elas vibram mais forte e se afastam um pouco umas das outras, de modo que o objeto inteiro fica um pouco mais comprido, mais largo e mais grosso.

Passo 3. Quanto? O aumento é pequeno, mas muito regular: aqueça uma barra duas vezes mais e ela aumenta o dobro; pegue uma barra duas vezes mais comprida e ela também aumenta o dobro. Uma barra de alumínio de 1 m aquecida em 200 graus aumenta menos de 5 mm, mas uma ponte longa de aço muda de comprimento em dezenas de centímetros entre o inverno e o verão. A força com que ela empurra é enorme, por isso as pontes recebem juntas de dilatação com dentes.

Passo 4. Materiais diferentes aumentam em quantidades diferentes. Una uma tira de latão a uma tira de aço e aqueça: o latão aumenta mais, então o conjunto precisa se curvar, com o latão do lado de fora da curva. Essas tiras bimetálicas ligam e desligam termostatos e chaleiras.

Na animação, chamas aquecem uma barra de metal e uma tira de latão e aço. A ponta da barra passa da linha tracejada (seu aumento está desenhado 25 vezes maior), enquanto a tira se curva para cima. Quando as chamas se apagam, as duas voltam à forma original.

Teste você mesmo: uma tampa de metal está presa em um pote de vidro. Você deve jogar água quente sobre a tampa ou sobre o vidro? (Sobre a tampa: o metal dilata mais que o vidro, então a tampa se solta.)

A água é uma exceção curiosa: entre 0 °C e 4 °C ela encolhe ao esquentar.

Intermediário

O que dilata, e por quê

Num sólido, os átomos ficam quase em distâncias fixas dos vizinhos, mantidos por ligações que se comportam como molas rígidas. Eles vibram em torno dessas posições, e o aquecimento faz com que vibrem mais. As ligações resistem mais a ser comprimidas do que a ser esticadas, então um átomo que treme mais passa um pouco mais de tempo afastado e a distância média cresce. Cada comprimento do objeto cresce com essa distância.

Três grandezas descrevem o efeito: o comprimento original $L_0$, a variação de comprimento $\Delta L=L-L_0$ (negativa no resfriamento) e a variação de temperatura $\Delta T$. Um passo de 1 °C tem o mesmo tamanho de um passo de 1 K, então $\Delta T$ tem o mesmo valor nas duas escalas: esquentar de 20 °C a 220 °C é $\Delta T=200\mathrm{K}$.

A lei da dilatação linear

As medições dão uma regra simples: a variação de comprimento é proporcional ao comprimento original e à variação de temperatura,
$\Delta L=\alpha L_0\Delta T$

Cada metro de uma barra dilata por conta própria, então uma barra duas vezes mais comprida dilata o dobro. O coeficiente de dilatação linear $\alpha$ pertence ao material. Sua unidade é K⁻¹, porque ele é o aumento fracionário $\Delta L/L_0$ por kelvin: $\alpha =23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ significa que cada metro de alumínio ganha 23 micrômetros por kelvin.

Valores típicos, em unidades de $10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, são: invar (uma liga de ferro e níquel) 1,2, vidro 9, aço e concreto cerca de 12, cobre 17, latão 19, alumínio 23. Como $\alpha \Delta T$ fica bem abaixo de 1 % no aquecimento do dia a dia, a variação é fácil de ignorar, mas difícil de impedir.

Áreas, volumes e líquidos

O aquecimento multiplica cada comprimento de uma placa uniforme por $(1+\alpha \Delta T)$, então a área é multiplicada por $(1+\alpha \Delta T{)}^2\approx 1+2\alpha \Delta T$; o termo descartado $(\alpha \Delta T{)}^2$ é desprezível. O volume de um bloco é multiplicado pelo cubo. Em primeira aproximação, área e volume aumentam em
$\Delta A\approx 2\alpha A_0\Delta T$
$\Delta V=\beta V_0\Delta T,\beta \approx 3\alpha$

Aqui $\beta$ é o coeficiente de dilatação volumétrica. Os furos também aumentam: a abertura de um anel cresce exatamente como um disco do mesmo material, como numa ampliação fotográfica.

Os líquidos, por não terem forma própria, são descritos apenas por $\beta$. Em unidades de $10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, ele vale cerca de 210 para a água a 20 °C, 180 para o mercúrio e 950 para a gasolina, contra 27 do vidro. Um termômetro de líquido em vidro lê essa diferença: o líquido dilata mais que o bulbo e sobe pelo tubo estreito. É também por isso que um tanque cheio até a borda com gasolina fria transborda ao sol.

Exemplo resolvido: a barra e a tira da animação

A barra de alumínio tem $L_0=1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$ e é aquecida de 20 °C a 220 °C, então $\Delta T=200\mathrm{K}$ e
$\Delta L=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}\cdot 1000\mathrm{mm}\cdot 200\mathrm{K}=4,6\mathrm{mm}$

Esta é a leitura azul de $\Delta L$ a 220 °C: a barra agora mede 1,0046 m. O aumento e sua seta são desenhados 25 vezes maiores, pois em escala real seriam invisíveis.

A tira tem 10 cm de latão ($\alpha =19\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$) ligados a 10 cm de aço ($\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$). Livre, o latão aumentaria $19\times 10^{-6}\cdot 100\mathrm{mm}\cdot 200=0,38\mathrm{mm}$ e o aço 0,24 mm, uma diferença de apenas 0,14 mm. Ligadas, as camadas não podem deslizar, então a tira precisa se curvar, com o latão mais longo do lado de fora da curva. Aqui o latão está embaixo, por isso a tira se curva para cima.

Ela se dobra em um arco de raio $R\approx 25\mathrm{cm}$, deduzido no nível avançado. Um arco de comprimento $L$ sobe acima da sua linha inicial cerca de $L^2/(2R)$, então a ponta da tira de 100 mm sobe $d\approx 100^2/(2\cdot 246)\approx 20\mathrm{mm}$: a seta verde $d$ e a leitura. Uma diferença de 0,14 mm virou um movimento de 20 mm: é isso que torna a tira um bom interruptor.

Exemplo resolvido: uma ponte e sua junta de dilatação

O tabuleiro de aço de uma ponte com 120 m está fixo em uma extremidade e apoiado em aparelhos de apoio deslizantes na outra. Construído a 15 °C, ele chega a −20 °C nas noites de inverno e a +45 °C sob o sol de verão. Quanto movimento a junta na extremidade livre precisa acomodar?

Com $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ e $L_0=120000\mathrm{mm}$, cada kelvin muda o comprimento em $\alpha L_0=1,44\mathrm{mm}$. No verão, com $\Delta T=+30\mathrm{K}$, o tabuleiro cresce $1,44\cdot 30\approx 43\mathrm{mm}$; no inverno, com $\Delta T=-35\mathrm{K}$, ele encolhe $1,44\cdot 35\approx 50\mathrm{mm}$. A junta precisa cobrir cerca de 94 mm, por isso seus longos dentes de aço entrelaçados.

Sem junta, os encontros teriam que empurrar de volta a dilatação de verão, uma deformação de $\alpha \Delta T=3,6\times 10^{-4}$. Com módulo de Young $E=200\mathrm{GPa}$, isso exige uma tensão $\sigma =E\alpha \Delta T=72\mathrm{MPa}$, cerca de um quarto da tensão em que o aço estrutural começa a escoar, qualquer que seja o comprimento do tabuleiro.

Lendo a animação

As linhas tracejadas marcam as formas frias. A barra está presa à parede e apoiada em um rolete, como um tabuleiro de ponte sobre seus apoios, então toda a dilatação aparece na extremidade livre. A tira está presa só em uma ponta, então pode se curvar livremente.

$\Delta L$ e $d$ são ambos proporcionais ao aumento acima de 20 °C: na metade do caminho, a 120 °C, eles marcam 2,30 mm e cerca de 10 mm. Cada kelvin acrescenta 0,023 mm à barra e cerca de 0,1 mm ao deslocamento da tira. No resfriamento, as leituras voltam pelos mesmos valores até zero: a dilatação térmica é reversível, a menos que algo tenha sido tensionado além do limite elástico.

Erros comuns

• Um furo em uma placa aquecida cresce como qualquer outro comprimento: um furo de 20,00 mm em aço aquecido em 100 K passa a 20,02 mm, e é assim que anéis são encaixados por contração em eixos.
• Os átomos não incham; sua distância média cresce, em 0,46 % na barra da animação.
• Use a variação de temperatura, não a temperatura: de 20 °C a 30 °C dá o mesmo aumento que de 80 °C a 90 °C, e uma variação de 200 °C são 200 K, sem somar 273.
• Áreas crescem com $2\alpha$ e volumes com $3\alpha$: um bloco de alumínio aquecido em 200 K ganha 1,38 % de volume, o triplo dos 0,46 % de cada aresta.
• Nem tudo dilata ao ser aquecido: a água se contrai ao esquentar de 0 °C a 4 °C, e um elástico esticado encurta.

Onde aparece

Estruturas longas precisam de espaço para se mover: juntas e roletes de apoio em pontes, folgas entre placas de concreto, liras de dilatação em tubulações e linhas de transmissão que cedem mais nos dias quentes. Materiais que precisam continuar unidos, como o vidro selado em volta dos fios de uma lâmpada ou uma obturação de dente, são escolhidos com coeficientes compatíveis, enquanto as tiras bimetálicas usam a diferença de propósito para ligar chaleiras, ferros de passar e termostatos.

Esta lição se apoia em Temperatura e calor. O comportamento estranho da água volta em Mudanças de fase e calor latente: ela aumenta 9 % de volume ao congelar. A dilatação impedida é a lei tensão-deformação de Elasticidade: lei de Hooke, tensão e deformação em ação, e os gases, que dilatam muito mais que os sólidos, são explicados em Teoria cinética dos gases.

Avançado

O coeficiente como taxa de variação

Tudo nesta lição se apoia em um número por material, o coeficiente de dilatação $\alpha$. A regra familiar $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$ é apenas uma aproximação, então vale a pena ver exatamente o que ela aproxima. A definição precisa é o aumento fracionário do comprimento por kelvin, tomado em uma única temperatura:
$\alpha =\frac{1}{L}\frac{dL}{dT}$

O lado direito é a derivada de $\ln L$ em relação a $T$. Integrando-a da temperatura inicial $T_0$ até $T$, obtém-se o comprimento exatamente:
$L=L_0\exp \left({\int }_{T_0}^T\alpha d{T}^{\prime }\right)$

Se $\alpha$ não depende da temperatura, a integral é simplesmente $\alpha \Delta T$, e expandir a exponencial dá $L=L_0{e}^{\alpha \Delta T}=L_0(1+\alpha \Delta T+\frac{1}{2}{\alpha }^2\Delta T^2+\dots )$. A lei linear mantém apenas a primeira correção, $\alpha \Delta T$, e descarta o resto. Para sólidos, isso custa quase nada: na animação $\alpha \Delta T=4,6\times 10^{-3}$, e a exponencial dá 4,611 mm de aumento em vez de 4,600 mm.

A verdadeira fraqueza da lei linear está em outro ponto: o próprio $\alpha$ muda com a temperatura. Para o alumínio real, ele sobe mais de um décimo entre 20 °C e 220 °C, então uma barra real de 1 m aumentaria quase 5 mm, um erro muito maior que os 0,011 mm perdidos ao descartar o termo quadrático. Em faixas largas de temperatura, $\alpha$ precisa ser integrado.

O gráfico de $\Delta L$ contra $T$ na animação mostra a lei linear: uma reta que vai de 0 a 20 °C até 4,6 mm a 220 °C, com inclinação $dL/dT=\alpha L_0=0,023mm/K$. No resfriamento, o ponto desliza de volta pela mesma reta. Não se abre nenhum laço de histerese, porque o comprimento depende apenas da temperatura atual, e não do histórico de aquecimento e resfriamento. Com o $\alpha$ dependente da temperatura do alumínio real, a reta encurvaria suavemente para cima.

A mesma definição vale para o volume: $\beta =(1/V)dV/dT$. Um sólido isotrópico, que dilata igualmente em todas as direções, mantém sua forma, então $V\propto L^3$. Assim $\ln V$ é $3\ln L$ mais uma constante, e derivando obtém-se $\beta =3\alpha$ exatamente. A conhecida $\Delta V\approx 3\alpha V_0\Delta T$ é apenas aproximada, porque descarta termos em $(\alpha \Delta T{)}^2$.

Por que átomos quentes precisam de mais espaço

Por que um sólido deveria dilatar? A resposta está na forma da ligação entre átomos vizinhos. Suponha que a força entre dois vizinhos fosse exatamente $-kx$, em que $x$ é a variação de sua separação em relação ao valor de repouso e $k$ é a rigidez da ligação. Então a energia potencial seria uma parábola, cada vibração seria simétrica em torno de $x=0$, e a distância média nunca mudaria, por mais forte que os átomos vibrassem. Um cristal com ligações perfeitamente do tipo mola (harmônicas) assim não dilataria. As ligações reais são assimétricas. Ao empurrar dois átomos um contra o outro, encontra-se uma repulsão íngreme quando suas nuvens eletrônicas se sobrepõem; ao afastá-los, encontra-se uma atração que enfraquece com a distância.

Legenda

$x$	Variação da distância entre dois átomos vizinhos, medida a partir do fundo do poço.	$\mathrm{m}$
$U$	Energia potencial da ligação.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}k{x}^2$	Energia de uma mola ideal de rigidez $k$: a parábola simétrica que a curva real segue perto do fundo.	$\mathrm{J}$
$k_{B}T$	Energia térmica, constante de Boltzmann vezes a temperatura: a altura do nível em que os átomos vibram.	$\mathrm{J}$
$\bar{x}$	Variação média da distância: a posição média do átomo vibrante, empurrada para $x$ positivo pela ligação assimétrica.	$\mathrm{m}$

A figura 1 mostra a energia $U$ de uma ligação em função da variação $x$ de sua distância. Observe primeiro as duas curvas. A parábola tracejada $\frac{1}{2}k{x}^2$ é a mola ideal e simétrica. A curva contínua é a ligação real e assimétrica: perto do fundo do poço as duas coincidem, mas do lado comprimido (à esquerda) a curva real sobe acima da parábola, e do lado esticado (à direita) ela desce abaixo dela.

Agora observe a linha horizontal traçada na altura $k_{B}T$, a energia térmica típica de um átomo vibrando ($k_B$ é a constante de Boltzmann). Um átomo com essa energia oscila entre os dois pontos em que a linha encontra a curva contínua: são seus pontos de retorno. À esquerda a parede é íngreme, então o ponto de retorno fica perto de $x=0$. À direita a parede é suave, então o ponto de retorno fica mais afastado. O átomo, portanto, avança mais para fora do que para dentro, e sua posição média $\bar{x}$, a linha dourada, fica em $x$ positivo, à direita do fundo do poço. Um átomo mais quente oscila em um nível mais alto, em um trecho mais assimétrico da curva, e $\bar{x}$ se afasta ainda mais. Esse deslocamento para fora da distância média, repetido em cada ligação do cristal, é a dilatação térmica.

Para quantificar isso, a ligação assimétrica mais simples acrescenta à mola um termo cúbico, com uma constante $b$ que mede a assimetria. Esta é a curva contínua da figura 1, com a assimetria exagerada:
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{3}b{x}^3$
O sinal de menos coloca a energia abaixo da parábola para $x>0$ e acima dela para $x<0$, como na figura. A força sobre o átomo é $-dU/dx=-kx+b{x}^2$.

Agora faça a média sobre o movimento. Um átomo vibrante permanece no lugar em média, então a média temporal da força sobre ele deve se anular: $k\bar{x}=b\overline{x^2}$, em que $\overline{x^2}$ é o deslocamento quadrático médio. Como $b$ é pequeno, basta tomar $\overline{x^2}$ da mola harmônica. Para uma vibração de energia $E_{\mathrm{vib}}$, metade dela é energia potencial em média, então $\frac{1}{2}k\overline{x^2}=\frac{1}{2}{E}_{\mathrm{vib}}$ e $\bar{x}=b{E}_{\mathrm{vib}}/k^2$. Um oscilador clássico em equilíbrio térmico tem $E_{\mathrm{vib}}=k_{B}T$ em média, o que dá
$\bar{x}=\frac{b{k}_{B}T}{k^2}$
Tomar a média de $x$ com o fator de Boltzmann $e^{-U/k_{B}T}$, até primeira ordem em $b$, dá o mesmo resultado. Assim, a figura 1, que acompanha uma vibração com energia $k_{B}T$, marca o mesmo $\bar{x}$ que a média térmica fornece.

O deslocamento médio cresce em proporção à temperatura. Dividindo pela distância de repouso $r_0$, obtém-se o aumento fracionário por kelvin, $\alpha \approx b{k}_B/(k^2{r}_0)$: constante em temperaturas comuns e proporcional a $b$. O coeficiente de dilatação é, portanto, uma medida direta da assimetria das ligações.

O que determina o tamanho do coeficiente

A mesma imagem explica uma regularidade impressionante. Fusão e dilatação dependem de quão alto no poço de potencial a energia térmica chega: um sólido funde quando suas vibrações se tornam uma fração considerável da distância atômica, e se dilata quando os átomos sobem mais no poço assimétrico. Um poço profundo e rígido dá, portanto, ao mesmo tempo uma alta temperatura de fusão e um $\alpha$ pequeno, e para muitos metais o produto dos dois é aproximadamente o mesmo, cerca de 0,02. Para o alumínio, $23\times 10^{-6}\cdot 933\approx 0,021$; para o tungstênio, $4,5\times 10^{-6}\cdot 3695\approx 0,017$.

O invar, uma liga de ferro e níquel, quebra a regra: uma contração magnética quase cancela sua dilatação normal, uma descoberta que rendeu a Charles-Édouard Guillaume o Prêmio Nobel de 1920 e torna o invar valioso em instrumentos de precisão.

Em baixas temperaturas, a imagem clássica falha. As vibrações congelam em seu estado fundamental quântico, que quase não ganha energia quando a temperatura sobe. A dilatação segue a energia vibracional, então $\alpha$ cai a zero junto com a capacidade térmica, como exige a terceira lei da termodinâmica. A razão entre eles permanece quase constante (regra de Grüneisen).

Tensão térmica em uma barra impedida

O que acontece quando a dilatação é impedida? Pegue uma barra presa entre paredes rígidas. Ela não pode mudar de comprimento, então as paredes precisam comprimi-la exatamente o quanto ela se dilataria: elas impõem uma deformação elástica $-\alpha \Delta T$ que cancela a dilatação livre. Pela lei de Hooke, a tensão é o módulo de Young $E$ vezes a deformação, então isso exige uma tensão de módulo
$\sigma =E\alpha \Delta T$
A tensão é de compressão ao aquecer e de tração ao resfriar. Observe que o comprimento se cancelou, porque só importa a deformação fracionária: uma barra de 1 m e um trilho de aço de 1 km ganham ambos 2,4 MPa de tensão por kelvin.

A tira que se curva

Uma tira de dois metais unidos, como latão sobre aço, está apenas parcialmente impedida. Cada camada tenta se dilatar em sua própria medida, mas a ligação as obriga a compartilhar uma única forma, e o compromisso é uma curvatura. É assim que um termostato transforma uma variação de temperatura em movimento. Para encontrar a curvatura, precisamos saber como a deformação varia ao longo da espessura da tira.

Legenda

$y$	Posição através da tira, medida da interface em direção ao centro de curvatura (lado do aço positivo).	$\mathrm{m}$
$h$	Espessura da tira, com as duas camadas juntas.	$\mathrm{m}$
$\epsilon$	Deformação ao longo da tira: a variação fracionária do comprimento.
${\epsilon }_0$	Deformação na interface, $y=0$: a média das duas deformações livres, para camadas iguais.
$R$	Raio de curvatura da tira curvada; a linha azul desce $1/R$ por unidade de $y$.	$\mathrm{m}$
${\alpha }_1\Delta T$	Deformação que o latão teria se estivesse livre: seu coeficiente ${\alpha }_1$ vezes a elevação de temperatura.
${\alpha }_2\Delta T$	Deformação que o aço teria se estivesse livre: seu coeficiente ${\alpha }_2$ vezes a elevação de temperatura.
${\sigma }_1$	Tensão no latão: $E$ vezes a distância entre a linha azul e a própria deformação livre do latão.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_2$	Tensão no aço: $E$ vezes a distância entre a linha azul e a própria deformação livre do aço.	$\mathrm{Pa}$

A figura 2 é um corte pela espessura $h$ da tira. O eixo vertical é a posição $y$ através da tira, medida da interface em direção ao centro de curvatura, de modo que o aço (cinza) ocupa $0<y<h/2$ e o latão (dourado) ocupa $-h/2<y<0$. O eixo horizontal é a deformação $\epsilon$ ao longo da tira.

Comece pelas duas linhas verticais. Elas são as deformações que cada camada teria se estivesse livre: ${\alpha }_1\Delta T$ para o latão e ${\alpha }_2\Delta T$ para o aço. O latão dilata mais, ${\alpha }_1>{\alpha }_2$, então sua linha fica mais à direita.

Agora a linha azul. Unidas, as camadas precisam se curvar juntas, até um raio $R$. Em uma curva, cada fatia fina ao longo da tira é alongada ou encurtada em proporção à sua distância ao centro de curvatura, então a deformação varia linearmente através da tira:
$\epsilon (y)={\epsilon }_0-\frac{y}{R}$
Aqui ${\epsilon }_0$ é a deformação na interface. A linha desce em direção ao centro de curvatura, então o latão, do lado de fora da curva, é o mais alongado.

Uma camada só fica tensionada pela parte de sua deformação que não é dilatação livre, então a tensão é $E(\epsilon -{\alpha }_i\Delta T)$, com ${\alpha }_1$ no latão e ${\alpha }_2$ no aço. Na figura, isso é $E$ vezes a distância horizontal entre a linha azul e a linha vertical própria da camada: as cunhas verdes, ${\sigma }_1$ no latão e ${\sigma }_2$ no aço. Junto à interface, a linha azul fica à esquerda da linha do latão e à direita da linha do aço, então o latão é comprimido e o aço, tracionado. Perto das faces externas, a linha azul já cruzou as linhas verticais, e os sinais se invertem.

A linha azul tem duas incógnitas, sua posição ${\epsilon }_0$ e sua inclinação $1/R$. Nenhuma carga externa atua sobre a tira, então as tensões devem produzir força resultante nula ao longo dela e momento fletor resultante nulo. Essas duas condições fixam as duas incógnitas.

Tome espessuras iguais e módulos iguais. O termo $-y/R$ dá forças iguais e opostas nas duas metades, então a força resultante só se anula se ${\epsilon }_0$ for a média das duas deformações livres, ${\epsilon }_0=\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2)\Delta T$: a linha azul cruza a interface exatamente a meio caminho entre as duas linhas verticais. Em relação a esse valor, o latão é comprimido e o aço tracionado pela mesma deformação de descasamento $\frac{1}{2}\Delta \alpha \Delta T$, em que $\Delta \alpha ={\alpha }_1-{\alpha }_2$. Por unidade de largura, essas duas forças iguais e opostas, cada uma $\frac{1}{4}E\Delta \alpha \Delta Th$, atuam a uma distância $h/2$ e formam um binário de momento $\frac{1}{8}E\Delta \alpha \Delta T{h}^2$. A tensão de flexão $-Ey/R$ fornece o momento oposto $E{h}^3/(12R)$. Igualando os dois momentos,
$\frac{1}{R}=\frac{3\Delta \alpha \Delta T}{2h}\text{(equal thicknesses and moduli)}$
Com essa inclinação, a linha azul cruza cada linha vertical a dois terços do caminho da interface até a face externa, como desenhado.

Para a animação, $\Delta \alpha =7\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, $\Delta T=200\mathrm{K}$ e $h=0,5\mathrm{mm}$ dão $1/R=4,2{\mathrm{m}}^{-1}$. A animação usa a fórmula geral de 1925 com os módulos reais (latão 100 GPa, aço 200 GPa) e obtém $4,07{\mathrm{m}}^{-1}$, um raio de 24,6 cm.

Quanto a ponta se move? Para pequenos ângulos, um círculo acompanha uma parábola, então um arco de raio $R$ se afasta de sua tangente inicial, depois de um comprimento $L$, por
$d\approx \frac{L^2}{2R}$
A tira de 10 cm, portanto, levanta a ponta cerca de 20,4 mm. O arco exato, que gira a ponta em 23°, dá os 20,1 mm da leitura verde. Combinando as duas fórmulas, obtém-se $d=3\Delta \alpha \Delta T{L}^2/(4h)$: reduzir a espessura à metade dobra o movimento, e dobrar o comprimento o quadruplica. É por isso que os termostatos usam tiras longas e finas, ou enroladas.

A curva da água

A maioria dos líquidos dilata de forma constante quando aquecida. A água entre 0 °C e cerca de 4 °C faz o oposto, e essa pequena anomalia determina como os lagos congelam.

Legenda

$T$	Temperatura, aqui em graus Celsius.	${}^{\circ }\mathrm{C}$
$\rho$	Densidade da água líquida.	$kg/{\mathrm{m}}^3$
$T_m$	Temperatura da densidade máxima, 3,98 °C.	${}^{\circ }\mathrm{C}$
${\rho }_m$	Maior densidade da água líquida, 999,97 kg/m³, atingida em $T_m$.	$kg/{\mathrm{m}}^3$
$\beta$	Coeficiente de dilatação volumétrica no ponto de tangência: negativo onde a densidade sobe com $T$, nulo no máximo, positivo onde ela cai.	${\mathrm{K}}^{-1}$

A figura 3 mostra a densidade $\rho$ da água de 0 a 12 °C, o painel da direita da animação, com a tangente desenhada em três temperaturas. Para ler o coeficiente de dilatação nessa curva, observe que, para massa fixa, a densidade é inversamente proporcional ao volume, então $\beta =-(1/\rho )d\rho /dT$. A inclinação da curva é, portanto, $-\beta \rho$, e seu sinal é sempre oposto ao de $\beta$.

Agora acompanhe as tangentes da esquerda para a direita. À esquerda a curva sobe, a inclinação é positiva e $\beta <0$: cerca de $-68\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ a 0 °C, o que significa que aquecer a água ali faz com que ela encolha. No pico a tangente é horizontal, e $\beta =0$. Esta é a temperatura $T_m=3,98$ °C de maior densidade, ${\rho }_m=999,97kg/{\mathrm{m}}^3$. Depois dela a curva desce e $\beta >0$, como em qualquer outro líquido. O eixo vertical está muito esticado: de 4 °C a 12 °C, a densidade cai menos de 0,05 %.

Essa anomalia governa os lagos. No outono, a água da superfície resfriada é mais densa que a água de baixo, então afunda, até que o lago inteiro esteja a cerca de 4 °C. Resfriando mais, a água da superfície fica mais leve, e não mais pesada, então permanece no topo, onde congela, enquanto o fundo se mantém perto de 4 °C sob o gelo flutuante.

Quando aquecer faz as coisas encolherem

A anomalia da água é estrutural. O gelo é uma rede aberta, unida por ligações de hidrogênio e cheia de espaço vazio. A fusão colapsa parcialmente essa rede, e os aglomerados semelhantes ao gelo que sobrevivem no líquido frio continuam se desfazendo ao aquecer, permitindo que as moléculas se aproximem. Esse encolhimento compete com a dilatação normal das ligações, e vence até 3,98 °C.

Um elástico sustentando um peso encurta quando aquecido, por outro motivo. Sua tensão vem principalmente de moléculas longas em cadeia: uma cadeia esticada tem muito menos arranjos possíveis do que uma enovelada, então tem menor entropia, e o calor empurra as cadeias de volta para formas mais curtas e desordenadas. A termodinâmica liga isso a um efeito térmico sem nenhum modelo molecular. Seja $f$ a tensão e $L$ o comprimento do elástico. A energia livre $F=U-TS$ então varia como $dF=-SdT+fdL$. Como $F$ é função de $T$ e $L$, suas derivadas segundas cruzadas são iguais, e isso fornece uma relação de Maxwell:
${\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)}_L$

A tensão da borracha a comprimento fixo aumenta com a temperatura, então o lado direito é negativo: esticar a borracha reduz sua entropia, e o elástico precisa liberar calor. Esticado rapidamente, antes que esse calor possa escapar, o elástico esquenta. Um fio de aço mantido em comprimento fixo se comporta ao contrário: aquecê-lo alivia seu esticamento, então ele perde tensão, à razão de $EA\alpha$ por kelvin para uma seção $A$. O sinal se inverte, e um estiramento rápido resfria o aço, em cerca de 0,1 K a 100 MPa.

Problema resolvido: a barra entre duas paredes

A tensão térmica pode ser enorme, mas uma barra esbelta tem uma saída. Este problema põe números nas duas coisas.

Legenda

$L$	Comprimento da barra entre as paredes.	$\mathrm{m}$
$a$	Lado da seção transversal quadrada da barra.	$\mathrm{m}$
$F$	Força de compressão entre cada parede e a barra; antes da flambagem, $F=\sigma a^2$.	$\mathrm{N}$
$\delta$	Deslocamento lateral do meio da barra curvada, exagerado aqui.	$\mathrm{m}$
$L/2$	Comprimento do trecho entre os dois pontos de inflexão: metade da barra.	$\mathrm{m}$

A figura 4 mostra a barra de alumínio de 1 m da animação, com o rolete substituído por uma segunda parede rígida, de modo que ela fica presa nas duas extremidades. Seu comprimento é $L$, sua seção transversal quadrada tem lado $a=10\mathrm{mm}$, então sua área é $a^2=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$; considere $E=70\mathrm{GPa}$. Cada parede empurra a barra com a força $F$.

Primeiro, suponha que a barra permaneça reta durante todos os 200 K. Ela precisaria da tensão
$\sigma =E\alpha \Delta T=70\times 10^9\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 200\approx 3,2\times 10^8\mathrm{Pa}$
isto é, 322 MPa, ou $F=\sigma a^2=32\mathrm{kN}$ em cada parede. Até uma liga estrutural forte de alumínio escoa em cerca de 280 MPa, então a barra seria esmagada plasticamente, encurtada de forma permanente.

Na prática, uma barra esbelta falha muito antes, por flambagem. A figura a mostra depois de ter se curvado lateralmente, com seu meio deslocado de $\delta$; o contorno tracejado é a barra reta, e a curvatura está exagerada. Como as extremidades engastadas não podem girar, a barra assume a forma de uma onda completa, com pontos de inflexão (os pontos) a um quarto e a três quartos do comprimento. Em um ponto de inflexão a curvatura da barra passa por zero, e como o momento fletor é proporcional à curvatura, o momento ali é zero, exatamente como em uma extremidade livre para girar. O trecho entre os pontos, de comprimento $L/2$, se comporta, portanto, como uma barra com extremidades livres para girar, e uma barra assim flamba com a força ${\pi }^{2}EI/(L/2{)}^2$. Aqui $I$ é o segundo momento de área da seção, e para um quadrado $I=a^4/12$. Assim, uma coluna com extremidades engastadas se curva lateralmente quando a força de compressão atinge $4{\pi }^{2}EI/L^2$, e dividindo pela área $a^2$ obtém-se a tensão crítica
${\sigma }_c=\frac{4{\pi }^{2}EI}{a^2{L}^2}=\frac{{\pi }^{2}E{a}^2}{3L^2}\approx 23\mathrm{MPa}$

A barra flamba quando a tensão térmica atinge esse valor. Fazendo $E\alpha \Delta T_c={\sigma }_c$, o módulo se cancela:
$\Delta T_c=\frac{{\pi }^2{a}^2}{3\alpha L^2}=\frac{{\pi }^2\cdot 0,01^2}{3\cdot 23\times 10^{-6}\cdot 1^2}\approx 14\mathrm{K}$

Depois de apenas 14 K, quando uma barra livre teria crescido só 0,33 mm, a barra presa se curva lateralmente. Trilhos flambariam do mesmo modo em dias quentes se dormentes e lastro não os mantivessem presos lateralmente.

Limites de validade

A lei linear faz duas suposições. A primeira, $\alpha \Delta T\ll 1$, vale sempre para sólidos: 1000 K alteram o aço em apenas cerca de 1,2 %. A segunda, um $\alpha$ constante, é o limite real: em faixas largas, $\alpha$ precisa ser integrado. Perto do zero absoluto a dilatação desaparece: o $\alpha$ do cobre a 50 K é apenas cerca de um quarto de seu valor à temperatura ambiente, $17\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$. Numa mudança de fase a lei falha abruptamente: a água aumenta 9 % de volume ao congelar, e o aço encolhe um pouco quando sua estrutura cristalina muda perto de 900 °C.

As fórmulas também supõem temperatura uniforme. Despeje água fervendo num copo grosso e frio, e a superfície interna esquenta uns 50 K enquanto a externa continua fria. A camada quente é impedida pela fria, como a barra entre paredes, e as tensões são da ordem de $E\alpha \Delta T\approx 70\times 10^9\cdot 9\times 10^{-6}\cdot 50\approx 30\mathrm{MPa}$, comparáveis à resistência prática do vidro comum. O vidro borossilicato, com $\alpha \approx 3,3\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$, fica com cerca de um terço disso, e por isso é usado em utensílios de forno e vidraria de laboratório.

Os gases não seguem nada disso. A pressão constante, um gás ideal tem $\beta =1/T$, cerca de $3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ a 20 °C, dezesseis vezes o valor da água.

Para onde isso leva

Temperatura e calor fornece o kelvin; Elasticidade: lei de Hooke, tensão e deformação fornece $\sigma =E\epsilon$, por trás da tensão térmica e da flambagem. Teoria cinética dos gases explica por que um gás se dilata $1/T$ por kelvin, e Primeira lei da termodinâmica e máquinas térmicas coloca essa dilatação para trabalhar. A anomalia de 4 °C molda a convecção em Condução, convecção e radiação, o gelo volta em Mudanças de fase e calor latente, e a entropia de um elástico antecipa Segunda lei da termodinâmica e entropia.

A dilatação chega até a geometria. Imagine uma placa fria no centro e quente na borda, medida por habitantes com réguas feitas do próprio material da placa. Perto da borda, suas réguas se alongam, então eles contam menos réguas ao redor de um círculo do que atravessando-o: círculos em torno do centro medem menos que $2\pi$ vezes o raio, e os ângulos de um triângulo somam mais de $180^{\circ }$, como numa esfera. Em A gravidade como espaço-tempo curvo, a massa faz com réguas e relógios o que o calor faz aqui.