Стоячие волны

Начальный

Двое друзей крутят длинную скакалку, и она изгибается одной большой дугой: середина взлетает выше всего, а концы остаются в руках. Если трясти конец быстрее, верёвка может выстроиться в две дуги с неподвижной точкой посередине. Ни одна из этих форм не бежит вдоль верёвки — это стоячая волна.

Откуда она берётся? Волны бегут по струне, отражаются от закреплённых концов и возвращаются. Прямые и отражённые волны накладываются и вместе дают картину, которая стоит на месте. На средней струне в анимации пунктирные волны бегут навстречу друг другу, а сплошная струна — их сумма.

Некоторые точки не движутся вовсе. Это узлы, отмеченные золотыми точками; закреплённые концы — тоже узлы. Посередине между двумя узлами струна раскачивается сильнее всего — это пучность.

Поскольку оба конца должны стоять на месте, уместиться может только целое число дуг: одна, две, три и так далее. Колебание с одной дугой — основной тон, самая низкая нота. Две дуги колеблются вдвое чаще одной, три — втрое, и дают более высокие ноты — гармоники. Настоящая струна колеблется сразу несколькими такими способами, и именно эта смесь объясняет, почему гитара и скрипка, играя одну и ту же ноту, звучат по-разному.

Прижатая к ладу струна колеблется более коротким участком, поэтому каждая дуга короче, а нота выше. Подтянутая или более тонкая струна тоже звучит выше. Флейты и органные трубы делают то же самое со стоячими звуковыми волнами в трубе: чем длиннее труба, тем ниже нота.

Проверьте себя: струна колеблется тремя дугами. Сколько у неё узлов, если считать оба конца? (Четыре.)

Средний

Две бегущие волны образуют стоячую

Волны на струне, закреплённой с обоих концов, отражаются от концов и проходят одна сквозь другую. Если две волны с одинаковыми амплитудой $A$, длиной волны $\lambda$ и частотой $f$ бегут в противоположных направлениях, их сумма вообще никуда не бежит: это стоячая волна. На средней струне анимации пунктирные кривые — две бегущие волны, а сплошная струна — их сумма.

Там, где две волны всегда приходят с противоположными смещениями, они гасят друг друга: эти узлы, отмеченные золотыми точками, не движутся никогда. Посередине между двумя узлами волны всегда действуют согласованно, и струна качается с амплитудой $2A$: это пучности. Все остальные точки колеблются с той же частотой, но с меньшей амплитудой, а соседние дуги движутся в противоположных направлениях.

Кроме длины волны $\lambda$, частоты $f$ в герцах и скорости волны $v=f\lambda$ из урока «Волны: основные понятия», у струны есть длина $L$ между зажимами, сила натяжения $F$ в ньютонах и линейная плотность $\mu$ — масса одного метра струны, в кг/м. Номер гармоники $n$ равен числу дуг.

Сколько полуволн умещается на струне

Соседние узлы отстоят друг от друга на половину длины волны, а каждая пучность лежит на четверть длины волны от ближайшего узла. Закреплённый конец двигаться не может, поэтому он — узел, и на струне умещается целое число $n$ дуг, каждая длиной $\lambda /2$:
$L=\frac{n\lambda }{2}$
так что она допускает только такие длины волн:
${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$
при $n=1,2,3,\dots$ Самая длинная из них вдвое больше длины струны.

Волна, которая не укладывается, возвращается из каждого пробега туда и обратно не в фазе с волной, которая ещё только приходит, и её отражения в основном гасят друг друга. Сами себя усиливают лишь подходящие длины волн, поэтому у любой запертой волны есть определённый набор собственных частот.

Ряд гармоник и скорость волны

Все волны на одной струне бегут с одной и той же скоростью $v$, поэтому каждой допустимой длине волны соответствует своя частота, $f_n=v/{\lambda }_n$:
$f_n=\frac{nv}{2L}=n{f}_1$
Самая низкая, $f_1=v/(2L)$, — основной тон; остальные, $2f_1$, $3f_1$ и так далее, — его гармоники, расположенные с равным шагом $f_1$. Вторая гармоника звучит на октаву выше основного тона.

Скорость волны зависит от силы натяжения и линейной плотности:
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$
Туго натянутая струна сильно тянет смещённый участок назад, поэтому волны бегут быстро; тяжёлая струна обладает большей инертностью, и волны по ней бегут медленно.

Значит, повысить тон можно тремя способами: укоротить колеблющуюся часть (лад), подтянуть струну (колок) или взять более лёгкую. Частота обратно пропорциональна $L$, но растёт лишь как $\sqrt{F}$: вдвое меньшая длина удваивает её, а чтобы добиться того же одним натяжением, силу нужно увеличить вчетверо.

Пример: гитарная струна из анимации

Струны в анимации имеют длину 0,65 м, как у классической гитары, и волны бегут по ним со скоростью 143 м/с. В основном тоне на струне умещается половина длины волны:
${\lambda }_1=2L=2\cdot 0,65=1,30\mathrm{м}$
$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{143}{1,30}=110\mathrm{Гц}$
Тогда $f_2=220\mathrm{Гц}$ и $f_3=330\mathrm{Гц}$ — фиолетовые подписи возле струн; 110 Гц — нота ля пятой струны гитары. Настоящий период $1/110\mathrm{с}\approx 9,1\mathrm{мс}$ слишком короток, чтобы его разглядеть, поэтому анимация растягивает его до 2 с, то есть замедляет движение в 220 раз.

На третьей струне ${\lambda }_3=2L/3\approx 0,433\mathrm{м}$, поэтому узлы отстоят друг от друга на ${\lambda }_3/2\approx 0,217\mathrm{м}$, а каждая пучность лежит на ${\lambda }_3/4\approx 0,108\mathrm{м}$ от ближайших узлов. Именно так расставлены буквы N A N A N A N под струной: четыре узла, считая оба конца, и три пучности.

Чтобы при той же длине поднять основной тон на октаву, до 220 Гц, скорость $v$ нужно удвоить до 286 м/с; поскольку $v$ растёт как $\sqrt{F}$, натяжение нужно умножить на четыре, а не на два.

Пример: настройка скрипичной струны

Скрипичная струна ля колеблется на участке длиной 0,325 м и имеет линейную плотность 0,60 г/м, то есть $6,0\times 10^{-4}\mathrm{кг}/\mathrm{м}$. Какое натяжение настраивает её на 440 Гц? Сначала найдём скорость волны:
$v=2L{f}_1=2\cdot 0,325\cdot 440=286\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$F=\mu v^2=6,0\times 10^{-4}\cdot 286^2\approx 49\mathrm{Н}$
Это примерно вес груза массой 5 кг; если оставить $\mu$ в г/м, натяжение получится в тысячу раз больше.

Если струна ослабла и звучит на 436 Гц, натяжение нужно увеличить в $(440/436{)}^2\approx 1,018$ раза, то есть меньше чем на 2 %, или примерно на 0,9 Н, потому что $f_1$ пропорциональна $\sqrt{F}$. Чтобы сыграть си на 494 Гц, скрипач вместо этого укорачивает струну до $L^{\prime }=v/(2f)=286/988\approx 0,289\mathrm{м}$: палец опускается примерно на 3,5 см от верхнего порожка.

Как читать картину: дуги, фазы и трубы

Чтобы прочитать картину стоячей волны, сосчитайте дуги: их $n$, каждая длиной $\lambda /2$, а узлов $n+1$, считая концы. Точки одной дуги движутся синфазно; соседние дуги сдвинуты на полцикла. Дважды за цикл вся струна проходит через прямое положение, двигаясь с наибольшей скоростью, а в крайних положениях на мгновение останавливается.

В трубе воздух движется вдоль трубы туда и обратно. Закрытый конец останавливает его и является узлом смещения; открытый конец близок к пучности смещения. Труба, открытая с обоих концов, даёт тот же ряд, что и струна, $f_n=nv/(2L)$. Труба, закрытая с одного конца, вмещает нечётное число четвертей длины волны, поэтому $f_n=nv/(4L)$ только при нечётных $n$. При скорости звука 343 м/с труба длиной 0,65 м звучит на 132, 396 и 660 Гц, если закрыта с одного конца, и на 264, 528 и 792 Гц, если открыта с обоих.

Частые ошибки

• Стоячая волна — не застывшая: все точки, кроме узлов, продолжают колебаться, и все с одной частотой, 330 Гц на нижней струне анимации.
• Длина волны — не длина струны: в основном тоне на струне умещается половина длины волны, поэтому у струны длиной 0,65 м ${\lambda }_1=1,30\mathrm{м}$.
• Узлы отстоят друг от друга на половину длины волны, а не на целую: при $\lambda =0,8\mathrm{м}$ расстояние между ними 0,4 м, а от узла до ближайшей пучности 0,2 м.
• Удвоение натяжения не удваивает высоту тона: поскольку $f$ растёт как $\sqrt{F}$, струна на 110 Гц поднялась бы лишь примерно до 156 Гц.
• Гармоники — не более громкие копии одной ноты, а разные частоты, здесь 110, 220 и 330 Гц; смесь, которую возбуждает щипок, и придаёт каждому инструменту его тембр.

Где это встречается

Каждый струнный инструмент — это набор стоячих волн: лады меняют $L$, колки меняют $F$, а басовые струны обвивают проволокой, чтобы добавить массу. Скрипач, который слегка касается струны посередине, создаёт там узел; основной тон и нечётные гармоники, которым нужно движение в центре, гаснут, и нота подскакивает на октаву. Флейты, кларнеты и органные трубы содержат стоячие звуковые волны. В микроволновой печи горячие пятна расположены на расстоянии половины длины волны, около 6 см, друг от друга.

Если воздействовать на систему на одной из её собственных частот, система сильно раскачивается — это резонанс из урока «Затухание и резонанс». Стоячие волны — частный случай сложения волн из урока «Интерференция и суперпозиция волн», трубы опираются на скорость звука из урока «Звук и эффект Доплера», а укладывание целого числа длин волн вдоль орбиты возвращается у электронов в уроке «Модели атома: атом Бора».

Продвинутый

Две бегущие волны на струне

В этом уроке объясняется, почему струна, закреплённая с обоих концов, колеблется только на определённых частотах. Отправная точка — самый простой вопрос: как одна-единственная волна движется вдоль натянутой струны?

Пусть $y(x,t)$ — поперечное смещение точки струны с координатой $x$ в момент времени $t$. При малых наклонах струна с натяжением $F$ и массой единицы длины $\mu$ подчиняется волновому уравнению
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$
где $v^2=F/\mu$, а $v$ — скорость волны. Его общее решение — любая форма, бегущая вправо, плюс любая форма, бегущая влево:
$y(x,t)=u(x-vt)+q(x+vt)$
Значение $u$ одинаково везде, где одинаково $x-vt$, поэтому форма $u$ скользит в сторону больших $x$ со скоростью $v$, не меняясь; $q$ скользит в обратную сторону. Конец струны связывает эти две волны между собой — отсюда и берутся стоячие волны.

Отражение от закреплённого конца

Что происходит, когда импульс доходит до точки, которая не может двигаться? Ответ — перевёрнутое эхо — составляет первую половину любой стоячей волны.

Обозначения

$q(x+vt)$	Приходящий импульс, бегущий к стене. Там, где он за стеной, вне струны, он показан пунктиром.	$\mathrm{м}$
$q(vt-x)$	Его двойник $-q(vt-x)$: импульс, зеркально отражённый в стене и перевёрнутый. Он бежит от стены и показан пунктиром, пока находится за ней.	$\mathrm{м}$
$v$	Скорость импульса и его двойника.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$x$	Координата вдоль струны, отсчитанная от стены.	$\mathrm{м}$
$t_1$	Момент до того, как импульс дойдёт до стены (верхняя картинка).	$\mathrm{с}$
$t_2$	Более поздний момент, когда импульс и его двойник уже прошли друг сквозь друга (нижняя картинка).	$\mathrm{с}$

На рисунке 1 струна закреплена в точке $x=0$; настоящая струна — это часть справа от стены, $x>0$. Импульс $q(x+vt)$ приходит справа и бежит влево. Зажим означает, что $y(0,t)=0$ в каждый момент. Подставив $x=0$ в общее решение, получаем $u(-vt)+q(vt)=0$ при любом $t$. Обозначив $s=-vt$, видим, что $u(s)=-q(-s)$ при любом $s$: возвращающаяся волна полностью определяется приходящей, и
$y(x,t)=q(x+vt)-q(vt-x)$

Прочитайте второе слагаемое как картинку. Замена $x$ на $-x$ в $q(x+vt)$ даёт $q(vt-x)$ — приходящий импульс, зеркально отражённый в зажиме; знак минус переворачивает его. На верхней картинке рисунка 1, в момент $t_1$, посмотрите на обе формы. Фиолетовый импульс $q(x+vt)$ находится на настоящей струне и бежит влево. Его золотой пунктирный двойник $-q(vt-x)$ свисает вниз в зеркальном положении за стеной и бежит вправо. Оба движутся со скоростью $v$, поэтому доходят до стены одновременно, и в точке $x=0$ они гасят друг друга в каждый момент: зажим никогда не движется.

На нижней картинке, в более поздний момент $t_2$, они уже прошли друг сквозь друга. Сплошной золотой двойник теперь единственная форма на настоящей струне — перевёрнутая и бегущая от стены, а фиолетовый оригинал продолжает путь пунктиром за стеной, где струны нет. Итог: на закреплённом конце импульс возвращается перевёрнутым, а его форма и скорость не меняются.

Свободный конец, например кольцо, скользящее по гладкому стержню, ведёт себя иначе. Кольцо может двигаться, но стержень не действует на него поперечной силой, поэтому струна должна подходить к стержню под прямым углом: $\partial y/\partial x=0$ при $x=0$. Те же шаги дают тогда $u(s)=+q(-s)$, и импульс возвращается неперевёрнутым.

От двух бегущих волн к стоячей волне

Теперь пошлите вместо одиночного импульса синусоидальную волну. Приходящая волна и её отражение перекрываются по всей струне, и их сумма — стоячая волна.

Возьмите приходящую волну $A\sin (kx+\omega t)$ с амплитудой $A$, волновым числом $k=2\pi /\lambda$ при длине волны $\lambda$ и циклической частотой $\omega =vk$; это волна вида $q(x+vt)$. Её перевёрнутое зеркальное изображение $-q(vt-x)$ равно $-A\sin (\omega t-kx)=A\sin (kx-\omega t)$. Сложив их по формуле $\sin a+\sin b=2\sin \frac{1}{2}(a+b)\cos \frac{1}{2}(a-b)$, получаем
$y(x,t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$

Пространство и время разделились: неизменная форма $\sin kx$, умноженная на одно колебание $\cos \omega t$, общее для всех точек. Точка с координатой $x$ движется вверх и вниз по синусоидальному закону с амплитудой $2A|\sin kx|$. Там, где $\sin kx=0$, то есть где $kx=m\pi$ при целом $m$, струна никогда не движется: это узлы, и они отстоят друг от друга на $\lambda /2$, поскольку $k=2\pi /\lambda$. Посередине между узлами, где $|\sin kx|=1$, лежат пучности, которые качаются с полной амплитудой $2A$.

Поскольку $\sin kx$ меняет знак в каждом узле, соседние дуги всегда находятся по разные стороны от положения равновесия: они качаются в противофазе. Движение, при котором каждая точка колеблется с одной частотой при неизменной форме, называется нормальной модой.

Анимация показывает это на струне во второй моде, $n=2$. Пунктирная золотая волна $A\sin (kx-\omega t)$ бежит вправо, пунктирная фиолетовая — влево, а сплошная струна — их сумма. График следит за красной пучностью в точке $x=L/4$, где $\sin kx=1$: её движение — чистый косинус $2A\cos \omega t$, который начинается на пунктирной линии $+2A$.

Два зажима: допустимы лишь некоторые волновые числа

Второй зажим превращает непрерывный набор возможных волн в набор нот. Именно этот шаг даёт струне высоту тона.

У стоячей волны выше уже есть узел в точке $x=0$. Второй зажим в точке $x=L$ тоже требует $y(L,t)=0$ в любой момент, поэтому $\sin kL=0$, и $kL$ должно быть целым кратным $\pi$:
$k_n=\frac{n\pi }{L}$
где $n=1,2,3,\dots$ — число дуг. Иначе говоря, между зажимами должно укладываться целое число полуволн, $L=n{\lambda }_n/2$. Поскольку $\omega =vk$ для любой волны на струне, допустимые циклические частоты равны ${\omega }_n=n\pi v/L$, а частоты равны
$f_n=\frac{nv}{2L}$
Все они кратны самой низкой из них, основной частоте $f_1=v/(2L)$: это гармонический ряд.

Для струны из анимации $L=0,65\mathrm{м}$ и $v=143\mathrm{м}/\mathrm{с}$, поэтому $f_1=143/(2\cdot 0,65)=110\mathrm{Гц}$, причём $k_1=\pi /0,65\approx 4,83\mathrm{рад}/\mathrm{м}$ и ${\omega }_1=2\pi \cdot 110\approx 691\mathrm{рад}/\mathrm{с}$. Струна только с одним зажимом принимает любое $k$: именно вторая граница делает спектр дискретным.

Путь туда и обратно и гармонический ряд

Те же частоты получаются вообще без синусов, если проследить за одним импульсом, который отражается то от одного зажима, то от другого. Такой взгляд показывает, почему частоты гармоник — точные кратные.

Обозначения

$x$	Координата вдоль струны.	$\mathrm{м}$
$t$	Время, растущее вверх.	$\mathrm{с}$
$L$	Расстояние между двумя зажимами.	$\mathrm{м}$
$x_0$	Точка, откуда импульс стартует и куда возвращается после пути туда и обратно.	$\mathrm{м}$
$v$	Скорость импульса; она задаёт наклон каждого отрезка.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$T_1$	Время пути туда и обратно, $2L/v$.	$\mathrm{с}$

Рисунок 2 — пространственно-временная диаграмма: координата $x$ отложена по горизонтали, время $t$ растёт вверх, а две толстые вертикальные линии — зажимы в точках $x=0$ и $x=L$, которые остаются на месте. Импульс, движущийся с постоянной скоростью, изображается наклонной прямой, а каждое отражение — изломом. Проследите синий путь снизу вверх. Импульс покидает $x_0$ при $t=0$ и бежит вправо со скоростью $v$; знак $+$ означает, что он неперевёрнутый. В точке $x=L$ он отражается и переворачивается ($-$), пробегает влево всю струну, затем отражается в точке $x=0$ и снова становится неперевёрнутым ($+$). Два отражения — два переворота, поэтому в верхней точке он приходит в $x_0$ неперевёрнутым и бегущим вправо, точно как в начале.

Длина пути не зависит от того, где импульс начал движение: $(L-x_0)+L+x_0=2L$. Поэтому путь туда и обратно занимает
$T_1=\frac{2L}{v}=\frac{1,30}{143}\approx 9,09\mathrm{мс}$
а это ровно $1/f_1$ при 110 Гц. Возмущение любой формы состоит из частей, каждая из которых совершает этот же путь туда и обратно, поэтому через $T_1$ вся струна возвращается в начальное состояние, и движение повторяется с периодом $T_1$. Движение с периодом $T_1$ может содержать только частоты, у которых за $T_1$ укладывается целое число циклов: кратные $1/T_1=110\mathrm{Гц}$. Гармонический ряд — это время пути туда и обратно, записанное как спектр.

Любое движение — сумма мод

Настоящую струну никогда не возбуждают в одной чистой моде. В этом разделе показано, что любое движение всё равно является смесью мод, и как эту смесь найти.

Волновое уравнение линейно: если два движения — решения, то и их сумма — решение. Каждая мода — решение, и всех мод вместе достаточно, чтобы построить любое движение струны:
$y(x,t)={\sum }_n{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\cos ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$
Мода $n$ входит со своей амплитудой $b_n$ и своей фазой ${\phi }_n$. Обе определяются начальной формой и начальной скоростью струны, а их нахождение называется анализом Фурье.

Инструмент для их нахождения — ортогональность: перемножьте формы двух разных мод, проинтегрируйте вдоль струны, и получится нуль. Для струны, отпущенной из состояния покоя с формой $y_0(x)$, все фазы ${\phi }_n$ равны нулю, потому что каждая мода должна стартовать из покоя. Умножьте $y_0(x)$ на форму моды $n$ и проинтегрируйте от 0 до $L$. Ортогональность убирает все слагаемые, кроме слагаемого самой моды $n$, которое даёт $b_n$, умноженное на ${\int }_0^L{\sin }^2(n\pi x/L)dx=L/2$. Следовательно,
$b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L{y}_0(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

Симметрия решает один случай без всякого интеграла. Щипок в центре даёт форму, симметричную относительно $x=L/2$, а каждая чётная мода относительно этой точки антисимметрична: одна половина идёт вверх, когда другая идёт вниз. Интеграл от произведения симметричной формы на антисимметричную равен нулю, поэтому чётные коэффициенты обращаются в нуль, и струна, которую щипнули в центре, звучит только нечётными гармониками. И в обратную сторону: уже несколько мод дают богатые движения. Одни лишь две первые моды, сдвинутые на четверть цикла, в сумме дают горб, бегающий туда и обратно между концами, а множество мод вместе создаёт острый излом настоящего щипка.

Ортогональность разделяет и энергию. Полная энергия струны равна сумме энергий мод, без перекрёстных членов между модами:
$E_n=\frac{1}{4}\mu L{\omega }_n^2{b}_n^2$
Это кинетическая энергия моды $n$ в тот момент, когда струна проходит через прямое положение: $\frac{1}{2}\mu {\omega }_n^2{b}_n^2{\sin }^2(n\pi x/L)$ на единицу длины, а среднее значение ${\sin }^2$ вдоль струны равно одной второй. В этом смысле любая линейная колебательная система, от моста до молекулы, — набор независимых осцилляторов, по одному на каждую моду.

Где находится энергия

Стоячая волна не переносит энергию вдоль струны, и всё же энергия внутри неё постоянно перемещается. Рисунок 3 показывает, где она запасена.

Обозначения

$n$	Номер моды. Струна во второй моде, $n=2$, показана в двух крайних положениях.
$\lambda /2$	Расстояние между соседними узлами (золотые точки): половина длины волны.	$\mathrm{м}$
$x$	Координата вдоль струны.	$\mathrm{м}$
$u_K$	Кинетическая энергия на единицу длины: наибольшее значение, которого она достигает в каждой точке за период.	$\mathrm{Дж}/\mathrm{м}$
$u_E$	Упругая энергия (энергия растяжения) на единицу длины: наибольшее значение, которого она достигает в каждой точке за период.	$\mathrm{Дж}/\mathrm{м}$

На рисунке 3 струна $n=2$ изображена в двух крайних положениях, её узлы — золотые точки, отстоящие друг от друга на $\lambda /2$. Ниже две кривые показывают, как энергия на единицу длины распределена по $x$. Каждая кривая — наибольшее значение, которого эта энергия достигает в каждой точке за период; два наибольших значения достигаются в разные моменты.

Кинетическая энергия на единицу длины равна $u_K=\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. При $\partial y/\partial t=-2A\omega \sin kx\sin \omega t$ она меняется как ${\sin }^{2}kx{\sin }^2\omega t$. Её наибольшее значение — сплошная фиолетовая кривая — максимально в пучностях, где струна движется быстрее всего, и равно нулю в узлах, которые никогда не движутся. Оно достигается в моменты, когда струна проходит через прямое положение.

Упругая энергия на единицу длины, запасённая при растяжении струны, равна $u_E=\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$. При $\partial y/\partial x=2Ak\cos kx\cos \omega t$ она меняется как ${\cos }^{2}kx{\cos }^2\omega t$. Её наибольшее значение — пунктирная зелёная кривая — максимально в узлах, где струна наклонена сильнее всего, и достигается в моменты наибольшего смещения. Обе кривые поднимаются до одной и той же высоты $2\mu A^2{\omega }^2$, потому что $F{k}^2=\mu {\omega }^2$ (из $v^2=F/\mu$ и $\omega =vk$). Значит, за каждый период энергия перетекает из упругой формы у узлов в кинетическую у пучностей и обратно.

Почему же никакая её часть не уходит вдоль струны? Каждая бегущая составляющая несёт среднюю мощность $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$, но в стоячей волне две составляющие несут её в противоположных направлениях, поэтому результирующий поток равен нулю. В каждый момент мощность, проходящая через точку, равна поперечной силе со стороны левой части струны, $-F\partial y/\partial x$, умноженной на скорость этой точки, $\partial y/\partial t$:
$P=-F\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}=Fk\omega A^2\sin 2kx\sin 2\omega t$
Множитель $\sin 2kx$ равен нулю в каждом узле и в каждой пучности в любой момент. Энергия никогда не пересекает эти точки: она колеблется туда и обратно в пределах каждой четверти длины волны с удвоенной частотой движения. На графике анимации пучность проходит через нуль с наибольшей скоростью $2A\omega$; в этот момент вся энергия её области кинетическая.

Если возбуждать струну на одной из частот $f_n$, энергия, поступающая за каждый период, накапливается, и амплитуда растёт, пока потери не уравновесят воздействие. Это резонанс, а высоту его пика определяет добротность $Q$ из урока «Затухание и резонанс».

За пределами идеальной струны

Правило «должно уложиться целое число волн» переносится на другие концы, на более жёсткие струны и на поверхности — с изменениями, которые можно услышать.

Струна, закреплённая в точке $x=0$, но свободная в точке $x=L$, требует нулевого наклона на свободном конце, $\cos kL=0$, поэтому $kL=(m-\frac{1}{2})\pi$ при целом $m\ge 1$. Укладывается нечётное число четвертей длины волны, и $f=(2m-1)v/(4L)$: только нечётные кратные самой низкой частоты $v/(4L)$. Это труба, закрытая с одного конца. Её закрытый конец — узел смещения, как зажим, а открытый — узел давления, как свободный конец. Воздух сразу за открытым концом тоже участвует в движении и увеличивает эффективную длину примерно на 0,6 радиуса трубы.

Реальная струна, кроме того, сопротивляется изгибу. Эта дополнительная возвращающая сила растёт с кривизной быстрее, чем сила натяжения, поэтому короткие волны бегут быстрее, а обертоны оказываются завышенными:
$f_n\approx n{f}_1\sqrt{1+B{n}^2}$
где коэффициент жёсткости $B$ растёт как четвёртая степень диаметра проволоки. У фортепианной струны возле до первой октавы $B$ порядка $4\times 10^{-4}$, поэтому для десятой моды $\sqrt{1+0,04}\approx 1,02$: она лежит примерно на 2 % выше десятикратного основного тона, и настройщики немного растягивают октавы, чтобы это учесть.

В двух измерениях волны должны укладываться сразу в обоих направлениях. У прямоугольной мембраны со сторонами $L_x$ и $L_y$ частоты мод равны $f_{mn}=(v/2)\sqrt{(m/L_x{)}^2+(n/L_y{)}^2}$. У круглой мембраны барабана моды имеют частоты примерно в 1,59, 2,14 и 2,30 раза больше самой низкой, а не целые кратные ей, поэтому высота тона у барабана менее определённая, чем у струны.

Задача: щипок струны из анимации

Эта задача собирает всё вместе: коэффициенты Фурье настоящего щипка, гармоники, которые он пропускает, и долю энергии, которая достаётся каждой гармонике.

Обозначения

$y_0$	Форма струны в момент, когда её отпускают: треугольник.	$\mathrm{м}$
$H$	На сколько струна оттянута в сторону в точке щипка.	$\mathrm{м}$
$d$	Расстояние от левого конца до точки щипка.	$\mathrm{м}$
$L$	Длина струны.	$\mathrm{м}$
$n$	Номер моды: у моды $n$ ровно $n$ дуг. Показаны $\sin (n\pi x/L)$ при $n=1$ и $n=5$.

Рисунок 4 изображает струну в момент, когда её отпускают. Это струна из анимации, $L=0,65\mathrm{м}$ и $v=143\mathrm{м}/\mathrm{с}$, оттянутая в сторону на $H=3\mathrm{мм}$ в точке $d=0,13\mathrm{м}$ от левого конца, то есть на пятой части длины, и отпущенная без начальной скорости. Высота $H$ нарисована гораздо больше, чем на самом деле. Какие гармоники зазвучат и как между ними распределится энергия?

Начальная форма $y_0(x)$ — синий треугольник: два прямых отрезка, идущих от зажимов вверх до высоты $H$ в точке $x=d$. Подставив её в формулу для $b_n$ и проинтегрировав по каждому прямому участку, получаем
$b_n=\frac{2H{L}^2}{{\pi }^2{n}^{2}d(L-d)}\sin \frac{n\pi d}{L}=\frac{25H}{2{\pi }^2{n}^2}\sin \frac{n\pi }{5}$
где во второй форме использовано $d=L/5$, так что $d(L-d)=4L^2/25$. Отсюда $b_1\approx 2,23\mathrm{мм}$, $b_2\approx 0,90\mathrm{мм}$ и $b_3\approx 0,40\mathrm{мм}$ на частотах 110, 220 и 330 Гц.

Две нижние картинки показывают, почему некоторых гармоник нет. Посмотрите вдоль пунктирной вертикальной линии, проходящей через точку щипка $x=d$. Форма моды 1, $\sin (\pi x/L)$, там заметно выше нуля, поэтому оттягивание в точке $d$ сильно возбуждает моду 1. Форма моды 5, $\sin (5\pi x/L)$, пересекает нуль ровно там, поскольку $d=L/5$. Точка щипка — узел моды 5, место, где эта мода никогда не движется, поэтому никакое оттягивание в этой точке не может её запустить. То же верно для каждой моды с узлом в точке $d$: $\sin (n\pi /5)=0$ при $n=5,10,\dots$, так что частот 550 и 1100 Гц в звуке нет.

Для энергии $E_n\propto {\omega }_n^2{b}_n^2$, причём ${\omega }_n\propto n$ и $b_n\propto \sin (n\pi d/L)/n^2$, поэтому $E_n\propto {\sin }^2(n\pi d/L)/n^2$. Разделив каждый член на сумму по всем модам, находим, что на основной тон приходится 44 % энергии, на вторую гармонику 29 %, на третью 13 %. При щипке в центре та же струна отдала бы основному тону 81 %, третьей гармонике 9 %, а чётным — ничего. Щипок ближе к концу питает верхние гармоники, поэтому гитара звучит ярко и тонко возле подставки и мягко, округло над резонаторным отверстием.

Границы применимости

Идеальная струна — это модель. Зная, где она перестаёт быть верной, вы понимаете, когда приведённым выше результатам можно доверять.

Модель предполагает малые наклоны, при которых струна почти не растягивается и её натяжение остаётся равным $F$. Здесь наибольший наклон равен $H/d=3/130\approx 0,023$, что вполне укладывается в это условие. Сильный щипок всё-таки растягивает струну, поэтому нота начинается чуть выше и выравнивается по мере затухания.

Концы тоже не идеально жёсткие, и так и должно быть: одна струна почти не толкает воздух, а инструмент звучит потому, что подставка движется и передаёт колебание корпусу. Эта утечка вместе с сопротивлением воздуха и внутренним трением гасит моды, причём высокие быстрее всего. Если амплитуда основного тона уменьшается в $e$ раз за $\tau \approx 3\mathrm{с}$, его добротность равна $Q=\pi f_1\tau =\pi \cdot 110\cdot 3\approx 1000$.

Струна состоит из атомов, расположенных примерно в 0,3 нм друг от друга, поэтому непрерывное волновое уравнение справедливо лишь для длин волн, намного больших этого расстояния. Цепочка из $N$ атомов имеет ровно $N$ мод, причём самая короткая длина волны равна двум межатомным расстояниям. В кристалле эти моды достигают примерно $10^{13}\mathrm{Гц}$, а их кванты, называемые фононами, переносят звук и тепло.

Что дальше

Мысль о том, что выживают только волны, которые укладываются целиком, выходит далеко за пределы струн.

Свет между двумя зеркалами образует стоячие волны, отстоящие по частоте на $c/(2L)$, где $c$ — скорость света: около 500 МГц для лазерного резонатора длиной 30 см (урок «Электромагнитные волны»). Сложение волн вообще ведёт к следующему уроку, «Интерференция и суперпозиция волн».

Самое глубокое продолжение этих идей — в квантовой механике, где электрон является волной, а его частота — это энергия, $E=hf$, где $h$ — постоянная Планка. Электрон, запертый в ящике длиной $L$, тоже должен вместить целое число полуволн, ${\lambda }_n=2L/n$. Его импульс равен $p=h/\lambda$, а энергия равна $p^2/(2m_e)$, где $m_e$ — масса электрона, поэтому
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m_e{L}^2}$
то есть около 0,38 эВ при $n=1$ в ящике размером 1 нм. Уровни растут как $n^2$, а не как $n$, потому что у волн вещества частота пропорциональна $k^2$, а у струны — $k$. Укладывание целых длин волн вдоль орбиты — идея, лежащая в основе урока «Модели атома: атом Бора»; ящик строго решается в уроке «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект», а урок «Корпускулярно-волновой дуализм» объясняет, почему электроны вообще являются волнами.