Ondes stationnaires

Débutant

Deux amis qui font tourner une longue corde à sauter la font osciller en un seul grand fuseau : le milieu monte le plus haut tandis que les bouts restent dans leurs mains. Agitez un bout plus vite et la corde peut se stabiliser en deux fuseaux, avec un point immobile au milieu. Aucune de ces formes ne se déplace le long de la corde : c'est une onde stationnaire.

D'où vient-elle ? Des ondes parcourent la corde, rebondissent sur les extrémités fixes et reviennent. Les ondes aller et retour se superposent et forment ensemble un motif qui reste en place. Sur la corde du milieu de l'animation, les ondes pointillées vont en sens contraires, et la corde en trait plein est leur somme.

Certains points ne bougent jamais : ce sont les nœuds, marqués par des points dorés ; les extrémités fixes sont aussi des nœuds. À mi-chemin entre deux nœuds, la corde oscille le plus : c'est un ventre.

Comme les deux bouts doivent rester immobiles, seul un nombre entier de fuseaux peut tenir : un, deux, trois, etc. Le motif à un fuseau est le fondamental et donne la note la plus grave. Deux fuseaux vibrent deux fois plus vite qu'un seul, trois fuseaux trois fois plus vite, et donnent des notes plus aiguës, les harmoniques. Une vraie corde vibre selon plusieurs de ces motifs à la fois, et ce mélange explique pourquoi une guitare et un violon jouant la même note sonnent différemment.

Appuyer sur une frette raccourcit la partie qui vibre : chaque fuseau est plus court et la note plus aiguë. Tendre une corde, ou en prendre une plus fine, rend aussi la note plus aiguë. Flûtes et tuyaux d'orgue font de même avec des ondes sonores stationnaires dans un tube : plus le tuyau est long, plus la note est grave.

Testez-vous : une corde vibre en trois fuseaux. Combien a-t-elle de nœuds, en comptant les deux bouts ? (Quatre.)

Intermédiaire

Deux ondes progressives forment une onde stationnaire

Les ondes qui parcourent une corde fixée à ses deux extrémités rebondissent sur les bouts et se traversent l'une l'autre. Quand deux ondes de même amplitude $A$, de même longueur d'onde $\lambda$ et de même fréquence $f$ se propagent en sens opposés, leur somme ne se propage pas du tout : c'est une onde stationnaire. Sur la corde du milieu de l'animation, les courbes en pointillé sont les deux ondes et la corde en trait plein est leur somme.

Aux endroits où les deux ondes arrivent toujours avec des déplacements opposés, elles s'annulent : ces nœuds, marqués par des points dorés, ne bougent jamais. À mi-chemin entre deux nœuds, les ondes s'accordent toujours et la corde oscille avec l'amplitude $2A$ : ce sont les ventres. Tous les autres points oscillent à la même fréquence avec une amplitude plus petite, et deux fuseaux voisins se déplacent en sens contraires.

Outre $\lambda$, la fréquence $f$ en hertz et la vitesse des ondes $v=f\lambda$ vue dans la leçon Notions de base sur les ondes, une corde est décrite par sa longueur $L$ entre les attaches, sa tension $F$ en newtons et sa masse linéique $\mu$, la masse d'un mètre de corde, en kg/m. Le numéro d'harmonique $n$ compte les fuseaux.

Des demi-longueurs d'onde qui tiennent sur la corde

Deux nœuds voisins sont distants d'une demi-longueur d'onde, et chaque ventre se trouve à un quart de longueur d'onde du nœud le plus proche. Une extrémité fixée ne peut pas bouger : c'est donc un nœud, et la corde contient un nombre entier $n$ de fuseaux, chacun long de $\lambda /2$ :
$L=\frac{n\lambda }{2}$
ce qui ne laisse que les longueurs d'onde
${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$
avec $n=1,2,3,\dots$ La plus grande vaut le double de la longueur de la corde.

Une onde qui ne s'ajuste pas revient de chaque aller-retour déphasée par rapport à l'onde qui arrive encore, et ses réflexions s'annulent en grande partie. Seules les longueurs d'onde qui conviennent se renforcent elles-mêmes : toute onde confinée possède donc un ensemble bien défini de fréquences propres.

La série harmonique et la vitesse des ondes

Toutes les ondes d'une même corde se propagent à la même vitesse $v$ ; chaque longueur d'onde permise a donc sa propre fréquence, $f_n=v/{\lambda }_n$ :
$f_n=\frac{nv}{2L}=n{f}_1$
La plus basse, $f_1=v/(2L)$, est le fondamental ; les autres, $2f_1$, $3f_1$ et ainsi de suite, sont ses harmoniques, régulièrement espacés de $f_1$. Le deuxième harmonique sonne une octave au-dessus du fondamental.

La vitesse des ondes dépend de la tension et de la masse linéique :
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$
Une corde tendue ramène vigoureusement un morceau écarté, donc les ondes y vont vite ; une corde lourde a plus d'inertie, donc elles y vont lentement.

Il y a donc trois façons d'élever la note : raccourcir la partie qui vibre (une frette), tendre davantage la corde (la cheville) ou en prendre une plus légère. La fréquence est inversement proportionnelle à $L$, mais elle ne croît que comme $\sqrt{F}$ : diviser la longueur par deux la double, alors qu'obtenir le même effet avec la seule tension exige une force quatre fois plus grande.

Exemple résolu : la corde de guitare de l'animation

Les cordes de l'animation mesurent 0,65 m, comme celles d'une guitare classique, et les ondes y vont à 143 m/s. Dans le fondamental, la corde contient une demi-longueur d'onde :
${\lambda }_1=2L=2\cdot 0,65=1,30\mathrm{m}$
$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{143}{1,30}=110\mathrm{Hz}$
Viennent ensuite $f_2=220\mathrm{Hz}$ et $f_3=330\mathrm{Hz}$, les valeurs violettes écrites à côté des cordes ; 110 Hz est le « la » de la cinquième corde d'une guitare. Une vraie période de $1/110\mathrm{s}\approx 9,1\mathrm{ms}$ est beaucoup trop courte pour être observée : l'animation l'étire donc jusqu'à 2 s, soit 220 fois plus lentement.

Sur la troisième corde, ${\lambda }_3=2L/3\approx 0,433\mathrm{m}$ : les nœuds sont donc distants de ${\lambda }_3/2\approx 0,217\mathrm{m}$, et chaque ventre se trouve à ${\lambda }_3/4\approx 0,108\mathrm{m}$ de ses nœuds voisins. C'est l'espacement des lettres N A N A N A N sous la corde (N pour nœud, A pour ventre, de l'anglais antinode) : quatre nœuds en comptant les deux bouts, et trois ventres.

Pour monter le fondamental d'une octave, à 220 Hz, à longueur égale, il faut que $v$ double et atteigne 286 m/s ; comme $v$ croît comme $\sqrt{F}$, la tension doit être multipliée par quatre, et non par deux.

Exemple résolu : accorder une corde de violon

La corde « la » d'un violon vibre sur 0,325 m et a une masse linéique de 0,60 g/m, soit $6,0\times 10^{-4}kg/m$. Quelle tension l'accorde sur 440 Hz ? Cherchons d'abord la vitesse des ondes :
$v=2L{f}_1=2\cdot 0,325\cdot 440=286m/s$
$F=\mu v^2=6,0\times 10^{-4}\cdot 286^2\approx 49\mathrm{N}$
C'est à peu près le poids d'une masse de 5 kg ; laisser $\mu$ en g/m donnerait une tension mille fois trop grande.

Si la corde se détend et sonne à 436 Hz, il faut augmenter la tension d'un facteur $(440/436{)}^2\approx 1,018$, soit moins de 2 %, ou environ 0,9 N, car $f_1$ est proportionnelle à $\sqrt{F}$. Pour jouer le « si » à 494 Hz, le violoniste raccourcit plutôt la corde, jusqu'à $L^{\prime }=v/(2f)=286/988\approx 0,289\mathrm{m}$ : son doigt se pose à environ 3,5 cm du sillet.

Lire le motif : fuseaux, phases et tuyaux

Pour lire l'image d'une onde stationnaire, comptez les fuseaux : il y en a $n$, chacun long de $\lambda /2$, et $n+1$ nœuds en comptant les extrémités. Les points d'un même fuseau bougent en phase ; deux fuseaux voisins sont décalés d'une demi-période. Deux fois par période, toute la corde passe par sa position rectiligne, avec sa vitesse maximale, et aux extrêmes elle s'arrête un instant.

Dans un tuyau, l'air va et vient le long du tuyau. Une extrémité fermée l'arrête et constitue un nœud de déplacement ; une extrémité ouverte est proche d'un ventre de déplacement. Ouvert aux deux bouts, un tuyau a la même série qu'une corde, $f_n=nv/(2L)$. Fermé à une extrémité, il contient un nombre impair de quarts de longueur d'onde, donc $f_n=nv/(4L)$ avec $n$ impair seulement. Avec un son à 343 m/s, un tuyau de 0,65 m sonne à 132, 396 et 660 Hz quand il est fermé à une extrémité, et à 264, 528 et 792 Hz quand il est ouvert aux deux bouts.

Erreurs fréquentes

• Une onde stationnaire n'est pas figée : tous les points sauf les nœuds continuent d'osciller, tous à la même fréquence, 330 Hz sur la corde du bas de l'animation.
• La longueur d'onde n'est pas la longueur de la corde : dans le fondamental, la corde contient une demi-longueur d'onde, donc la corde de 0,65 m a ${\lambda }_1=1,30\mathrm{m}$.
• Les nœuds sont distants d'une demi-longueur d'onde, et non d'une longueur d'onde entière : avec $\lambda =0,8\mathrm{m}$, ils sont à 0,4 m l'un de l'autre, et un nœud se trouve à 0,2 m du ventre le plus proche.
• Doubler la tension ne double pas la hauteur de la note : comme $f$ croît comme $\sqrt{F}$, la corde de 110 Hz ne monterait qu'à environ 156 Hz.
• Les harmoniques ne sont pas des copies plus fortes d'une même note, mais des fréquences différentes, ici 110, 220 et 330 Hz ; le mélange qu'excite un pincement donne à chaque instrument son timbre.

Où on le rencontre

Tout instrument à cordes est un ensemble d'ondes stationnaires : les frettes changent $L$, les chevilles changent $F$, et les cordes graves sont filées de fil métallique pour leur donner de la masse. Un violoniste qui effleure une corde en son milieu y impose un nœud ; le fondamental et les harmoniques impairs, qui exigent un mouvement au centre, s'éteignent, et la note saute d'une octave. Les flûtes, les clarinettes et les tuyaux d'orgue contiennent des ondes sonores stationnaires. Dans un four à micro-ondes, les points chauds sont distants d'une demi-longueur d'onde, soit environ 6 cm.

Exciter un système à l'une de ses fréquences propres fait grandir fortement son mouvement : c'est la résonance, étudiée dans la leçon Amortissement et résonance. Les ondes stationnaires sont un cas particulier de ce que traite la leçon Interférences et superposition ; les tuyaux s'appuient sur la vitesse du son vue dans la leçon Le son et l'effet Doppler, et l'idée de faire tenir des longueurs d'onde entières le long d'une orbite revient pour les électrons dans la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr.

Avancé

Deux ondes progressives sur une corde

Cette leçon explique pourquoi une corde tenue à ses deux extrémités ne vibre qu'à certaines fréquences. Le point de départ est la question la plus simple : comment une onde unique se déplace-t-elle le long d'une corde tendue ?

Notons $y(x,t)$ le déplacement transversal du point de la corde situé à la position $x$, à l'instant $t$. Pour de faibles pentes, une corde de tension $F$ et de masse par mètre $\mu$ obéit à l'équation d'onde
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$
où $v^2=F/\mu$ et $v$ est la vitesse de propagation de l'onde. Sa solution générale est une forme quelconque qui se propage vers la droite plus une forme quelconque qui se propage vers la gauche :
$y(x,t)=u(x-vt)+q(x+vt)$
La valeur de $u$ reste la même partout où $x-vt$ reste le même, donc la forme $u$ glisse vers les $x$ croissants à la vitesse $v$ sans se déformer ; $q$ glisse dans l'autre sens. Une extrémité de la corde lie ces deux ondes entre elles, et c'est de là que viennent les ondes stationnaires.

Réflexion sur une extrémité fixe

Que se passe-t-il quand une impulsion atteint un point qui ne peut pas bouger ? La réponse, un écho à l'envers, est la première moitié de toute onde stationnaire.

Légende

$q(x+vt)$	L'impulsion incidente, qui va vers le mur. Là où elle est derrière le mur, hors de la corde, elle est en pointillé.	$\mathrm{m}$
$q(vt-x)$	Sa jumelle $-q(vt-x)$ : l'impulsion réfléchie dans le mur et retournée. Elle s'éloigne du mur et reste en pointillé tant qu'elle est derrière lui.	$\mathrm{m}$
$v$	Vitesse de l'impulsion et de sa jumelle.	$m/s$
$x$	Position le long de la corde, mesurée à partir du mur.	$\mathrm{m}$
$t_1$	Un instant avant que l'impulsion atteigne le mur (image du haut).	$\mathrm{s}$
$t_2$	Un instant ultérieur, après que l'impulsion et sa jumelle se sont croisées (image du bas).	$\mathrm{s}$

Sur la figure 1, la corde est fixée en $x=0$ ; la vraie corde est la partie située à droite du mur, $x>0$. Une impulsion $q(x+vt)$ arrive de la droite et se propage vers la gauche. L'attache impose $y(0,t)=0$ à chaque instant. En posant $x=0$ dans la solution générale, on obtient $u(-vt)+q(vt)=0$ pour tout $t$. Si l'on écrit $s=-vt$, cela signifie $u(s)=-q(-s)$ pour tout $s$ : l'onde qui revient est entièrement fixée par l'onde incidente, et
$y(x,t)=q(x+vt)-q(vt-x)$

Lisez le second terme comme une image. Remplacer $x$ par $-x$ dans $q(x+vt)$ donne $q(vt-x)$, l'impulsion incidente réfléchie dans un miroir placé à l'attache ; le signe moins la retourne. Sur l'image du haut de la figure 1, à l'instant $t_1$, regardez les deux formes. L'impulsion violette $q(x+vt)$ est sur la vraie corde et va vers la gauche. Sa jumelle dorée en pointillé, $-q(vt-x)$, pend vers le bas à la position miroir, derrière le mur, et va vers la droite. Toutes deux avancent à la vitesse $v$ : elles atteignent donc le mur au même moment, et en $x=0$ elles s'annulent à chaque instant. L'attache ne bouge jamais.

Sur l'image du bas, à l'instant ultérieur $t_2$, les deux se sont croisées. La jumelle dorée, en trait plein, est maintenant la seule forme sur la vraie corde, à l'envers et s'éloignant du mur, tandis que l'original violet continue, en pointillé, derrière le mur, là où il n'y a pas de corde. Résultat : sur une extrémité fixe, une impulsion revient renversée, avec sa forme et sa vitesse inchangées.

Une extrémité libre, comme un anneau qui glisse sur une tige lisse, se comporte autrement. L'anneau peut bouger mais ne subit aucune force transversale de la part de la tige, donc la corde doit rencontrer la tige à angle droit : $\partial y/\partial x=0$ en $x=0$. Le même raisonnement donne alors $u(s)=+q(-s)$, et l'impulsion revient à l'endroit.

Des deux ondes progressives à l'onde stationnaire

Envoyez maintenant une onde sinusoïdale au lieu d'une impulsion isolée. L'onde incidente et sa réflexion se superposent tout le long de la corde, et leur somme est une onde stationnaire.

Prenez l'onde incidente $A\sin (kx+\omega t)$, d'amplitude $A$, de nombre d'onde $k=2\pi /\lambda$ pour la longueur d'onde $\lambda$, et de pulsation $\omega =vk$ ; c'est une onde de la forme $q(x+vt)$. Son image miroir renversée $-q(vt-x)$ vaut $-A\sin (\omega t-kx)=A\sin (kx-\omega t)$. En additionnant les deux avec $\sin a+\sin b=2\sin \frac{1}{2}(a+b)\cos \frac{1}{2}(a-b)$, on obtient
$y(x,t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$

L'espace et le temps se sont séparés : une forme fixe $\sin kx$ multipliée par une seule oscillation $\cos \omega t$, commune à tous les points. Le point d'abscisse $x$ monte et descend de façon sinusoïdale avec l'amplitude $2A|\sin kx|$. Là où $\sin kx=0$, c'est-à-dire là où $kx=m\pi$ avec $m$ entier, la corde ne bouge jamais : ce sont les nœuds, distants de $\lambda /2$ puisque $k=2\pi /\lambda$. À mi-chemin entre deux nœuds, là où $|\sin kx|=1$, se trouvent les ventres, qui oscillent avec l'amplitude maximale $2A$.

Comme $\sin kx$ change de signe à chaque nœud, deux fuseaux voisins sont toujours de part et d'autre de la position de repos : ils oscillent en opposition de phase. Un mouvement dans lequel chaque point oscille à une même fréquence avec une forme fixe s'appelle un mode propre.

L'animation le montre sur une corde dans son deuxième mode, $n=2$. L'onde dorée en pointillé $A\sin (kx-\omega t)$ va vers la droite, la violette en pointillé va vers la gauche, et la corde en trait plein est leur somme. Le graphique suit le ventre rouge en $x=L/4$, où $\sin kx=1$ : son mouvement est une cosinusoïde pure, $2A\cos \omega t$, qui part de la ligne en pointillé $+2A$.

Deux extrémités fixes : seuls certains nombres d'onde

Une seconde attache transforme un continuum d'ondes possibles en un ensemble de notes. C'est cette étape qui donne sa hauteur à une corde.

L'onde stationnaire ci-dessus a déjà un nœud en $x=0$. Une seconde attache en $x=L$ exige aussi $y(L,t)=0$ à tout instant, donc $\sin kL=0$, et $kL$ doit être un multiple entier de $\pi$ :
$k_n=\frac{n\pi }{L}$
avec $n=1,2,3,\dots$, qui compte les fuseaux. Autrement dit, un nombre entier de demi-longueurs d'onde doit tenir entre les attaches, $L=n{\lambda }_n/2$. Comme $\omega =vk$ pour toute onde sur la corde, les pulsations permises sont ${\omega }_n=n\pi v/L$, et les fréquences sont
$f_n=\frac{nv}{2L}$
Ce sont des multiples entiers de la plus basse, le fondamental $f_1=v/(2L)$ : c'est la série harmonique.

Pour la corde de l'animation, $L=0,65\mathrm{m}$ et $v=143m/s$, donc $f_1=143/(2\cdot 0,65)=110\mathrm{Hz}$, avec $k_1=\pi /0,65\approx 4,83rad/m$ et ${\omega }_1=2\pi \cdot 110\approx 691rad/s$. Une corde fixée en un seul point accepte tous les $k$ : c'est la seconde condition aux limites qui rend le spectre discret.

L'aller-retour et la série harmonique

Les mêmes fréquences s'obtiennent sans aucun sinus, en suivant une impulsion qui rebondit entre les attaches. Ce point de vue montre pourquoi les harmoniques sont des multiples exacts.

Légende

$x$	Position le long de la corde.	$\mathrm{m}$
$t$	Temps, croissant vers le haut.	$\mathrm{s}$
$L$	Distance entre les deux attaches.	$\mathrm{m}$
$x_0$	Point de départ de l'impulsion, où elle est de retour après un aller-retour.	$\mathrm{m}$
$v$	Vitesse de l'impulsion ; elle fixe l'inclinaison de chaque segment.	$m/s$
$T_1$	Durée d'un aller-retour, $2L/v$.	$\mathrm{s}$

La figure 2 est un diagramme espace-temps : la position $x$ est en abscisse, le temps $t$ croît vers le haut, et les deux traits verticaux épais sont les attaches en $x=0$ et $x=L$, qui restent immobiles. Une impulsion qui avance à vitesse constante y est une droite inclinée, et chaque rebond est un coin. Suivez le trajet bleu depuis le bas. L'impulsion quitte $x_0$ à $t=0$ en allant vers la droite à la vitesse $v$ ; le signe $+$ indique qu'elle est à l'endroit. En $x=L$, elle se réfléchit et se retourne ($-$), traverse toute la corde vers la gauche, puis se réfléchit en $x=0$ et se remet à l'endroit ($+$). Deux réflexions font deux retournements : elle revient en $x_0$, au point du haut, à l'endroit et allant vers la droite, exactement comme au départ.

La longueur du trajet ne dépend pas du point de départ de l'impulsion : $(L-x_0)+L+x_0=2L$. L'aller-retour dure donc
$T_1=\frac{2L}{v}=\frac{1,30}{143}\approx 9,09\mathrm{ms}$
soit exactement $1/f_1$ pour 110 Hz. Une perturbation de forme quelconque est faite de parties qui effectuent toutes ce même aller-retour ; au bout de $T_1$, la corde entière est donc revenue dans son état initial, et le mouvement se répète avec la période $T_1$. Un mouvement de période $T_1$ ne peut contenir que des fréquences qui font entrer un nombre entier de cycles dans $T_1$ : les multiples de $1/T_1=110\mathrm{Hz}$. La série harmonique n'est que la durée de l'aller-retour écrite sous forme de spectre.

Tout mouvement est une somme de modes

Une vraie corde n'est jamais mise en mouvement dans un mode pur. Cette partie montre que tout mouvement reste pourtant un mélange de modes, et comment trouver ce mélange.

L'équation d'onde est linéaire : si deux mouvements sont solutions, leur somme l'est aussi. Chaque mode est une solution, et l'ensemble des modes suffit à construire n'importe quel mouvement de la corde :
$y(x,t)={\sum }_n{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\cos ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$
Le mode $n$ intervient avec sa propre amplitude $b_n$ et sa propre phase ${\phi }_n$. Toutes deux sont fixées par la forme et la vitesse initiales de la corde, et leur recherche s'appelle l'analyse de Fourier.

L'outil qui permet de les trouver est l'orthogonalité : multipliez les formes de deux modes différents, intégrez le long de la corde, et le résultat est nul. Pour une corde lâchée sans vitesse avec la forme $y_0(x)$, toutes les phases ${\phi }_n$ sont nulles, car chaque mode doit partir du repos. Multipliez $y_0(x)$ par la forme du mode $n$ et intégrez de 0 à $L$. L'orthogonalité élimine tous les termes sauf celui du mode $n$, qui donne $b_n$ fois ${\int }_0^L{\sin }^2(n\pi x/L)dx=L/2$. Par conséquent
$b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L{y}_0(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

La symétrie règle un cas sans aucune intégrale. Un pincement au centre donne une forme symétrique par rapport à $x=L/2$, alors que chaque mode pair est antisymétrique par rapport à ce point : une moitié monte pendant que l'autre descend. Le produit d'une forme symétrique et d'une forme antisymétrique a une intégrale nulle, donc les coefficients pairs s'annulent, et une corde pincée en son centre ne fait entendre que des harmoniques impairs. Dans l'autre sens, quelques modes suffisent déjà à produire des mouvements riches : les deux premiers seuls, décalés d'un quart de période, s'additionnent en une bosse qui fait des allers-retours entre les extrémités, et de nombreux modes ensemble reconstruisent le coude brusque d'un vrai pincement.

L'orthogonalité répartit aussi l'énergie. L'énergie totale de la corde est la somme des énergies des modes, sans aucun terme croisé entre modes :
$E_n=\frac{1}{4}\mu L{\omega }_n^2{b}_n^2$
C'est l'énergie cinétique du mode $n$ à l'instant où il passe par la position droite : $\frac{1}{2}\mu {\omega }_n^2{b}_n^2{\sin }^2(n\pi x/L)$ par mètre, et la moyenne de ${\sin }^2$ le long de la corde vaut un demi. En ce sens, tout système vibrant linéaire, d'un pont à une molécule, est un ensemble d'oscillateurs indépendants, un par mode.

Où se trouve l'énergie

Une onde stationnaire ne transporte aucune énergie le long de la corde, et pourtant l'énergie ne cesse de se déplacer à l'intérieur. La figure 3 montre où elle est stockée.

Légende

$n$	Numéro du mode. La corde est dans son deuxième mode, $n=2$, dessinée dans ses deux formes extrêmes.
$\lambda /2$	Distance entre nœuds voisins (points dorés) : une demi-longueur d'onde.	$\mathrm{m}$
$x$	Position le long de la corde.	$\mathrm{m}$
$u_K$	Énergie cinétique par mètre : la plus grande valeur qu'elle atteint en chaque point au cours d'une période.	$J/m$
$u_E$	Énergie élastique (d'allongement) par mètre : la plus grande valeur qu'elle atteint en chaque point au cours d'une période.	$J/m$

La figure 3 montre la corde $n=2$ dans ses deux formes extrêmes, avec ses nœuds en points dorés, distants de $\lambda /2$. En dessous, deux courbes montrent comment l'énergie par mètre se répartit selon $x$. Chaque courbe donne la plus grande valeur que cette énergie atteint en chaque point au cours d'une période ; les deux maximums sont atteints à des instants différents.

L'énergie cinétique par mètre vaut $u_K=\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. Avec $\partial y/\partial t=-2A\omega \sin kx\sin \omega t$, elle varie comme ${\sin }^{2}kx{\sin }^2\omega t$. Sa plus grande valeur, la courbe violette en trait plein, culmine aux ventres, où la corde bouge le plus vite, et s'annule aux nœuds, qui ne bougent jamais. Elle est atteinte aux instants où la corde passe par la position droite.

L'énergie élastique par mètre, stockée par l'allongement de la corde, vaut $u_E=\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$. Avec $\partial y/\partial x=2Ak\cos kx\cos \omega t$, elle varie comme ${\cos }^{2}kx{\cos }^2\omega t$. Sa plus grande valeur, la courbe verte en pointillé, culmine aux nœuds, où la corde est la plus inclinée, et elle est atteinte aux instants de déplacement maximal. Les deux courbes montent à la même hauteur, $2\mu A^2{\omega }^2$, car $F{k}^2=\mu {\omega }^2$ (d'après $v^2=F/\mu$ et $\omega =vk$). Au cours de chaque période, l'énergie passe donc de la forme élastique près des nœuds à la forme cinétique près des ventres, puis revient.

Pourquoi aucune partie de cette énergie ne voyage-t-elle le long de la corde ? Chaque composante progressive transporte une puissance moyenne $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$, mais dans une onde stationnaire les deux la transportent en sens opposés, si bien que le flux net est nul. Instant par instant, la puissance qui traverse un point est la force transversale exercée par la corde située à gauche, $-F\partial y/\partial x$, multipliée par la vitesse de ce point, $\partial y/\partial t$ :
$P=-F\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}=Fk\omega A^2\sin 2kx\sin 2\omega t$
Le facteur $\sin 2kx$ est nul en chaque nœud et en chaque ventre, à tout instant. L'énergie ne franchit jamais ces points : elle oscille à l'intérieur de chaque quart de longueur d'onde, à une fréquence double de celle du mouvement. Sur le graphique de l'animation, le ventre passe par zéro à sa vitesse maximale, $2A\omega$ ; à cet instant, toute l'énergie de sa région est cinétique.

Excitez la corde à l'une de ses fréquences $f_n$, et l'énergie fournie à chaque période s'accumule : l'amplitude croît jusqu'à ce que les pertes équilibrent l'excitation. C'est la résonance, et la hauteur de son pic est fixée par le facteur de qualité $Q$ vu dans la leçon Amortissement et résonance.

Au-delà de la corde idéale

La règle selon laquelle un nombre entier d'ondes doit tenir s'étend à d'autres extrémités, à des cordes plus raides et à des surfaces, avec des différences que l'on entend.

Une corde fixée en $x=0$ mais libre en $x=L$ exige une pente nulle à l'extrémité libre, $\cos kL=0$, donc $kL=(m-\frac{1}{2})\pi$ avec $m\ge 1$ entier. C'est alors un nombre impair de quarts de longueur d'onde qui tient, et $f=(2m-1)v/(4L)$ : uniquement les multiples impairs de la fréquence la plus basse, $v/(4L)$. C'est le tuyau fermé à une extrémité. Son bout fermé est un nœud de déplacement, comme l'attache, et son bout ouvert est un nœud de pression, comme l'extrémité libre. L'air juste à l'extérieur d'un bout ouvert participe aussi au mouvement, ce qui ajoute à la longueur effective environ 0,6 fois le rayon du tuyau.

Une vraie corde résiste aussi à la flexion. Cette force de rappel supplémentaire croît avec la courbure plus vite que celle due à la tension, si bien que les ondes courtes vont plus vite et que les partiels supérieurs sonnent trop haut :
$f_n\approx n{f}_1\sqrt{1+B{n}^2}$
où la constante de raideur $B$ croît comme la puissance quatrième du diamètre du fil. Pour une corde de piano près du do central, $B$ est de l'ordre de $4\times 10^{-4}$, donc pour le dixième mode $\sqrt{1+0,04}\approx 1,02$ : il se situe environ 2 % au-dessus de dix fois le fondamental, et les accordeurs étirent légèrement leurs octaves en conséquence.

En deux dimensions, les ondes doivent tenir dans les deux directions à la fois. Une membrane rectangulaire de côtés $L_x$ et $L_y$ a pour modes $f_{mn}=(v/2)\sqrt{(m/L_x{)}^2+(n/L_y{)}^2}$. Une peau de tambour circulaire a des modes à environ 1,59, 2,14 et 2,30 fois sa fréquence la plus basse, et non à des multiples entiers, ce qui explique que la hauteur d'un tambour soit moins nette que celle d'une corde.

Problème résolu : pincer la corde de l'animation

Ce problème rassemble les morceaux : les coefficients de Fourier d'un vrai pincement, les harmoniques qu'il laisse de côté et la part d'énergie que reçoit chaque harmonique.

Légende

$y_0$	Forme de la corde au moment où on la lâche : un triangle.	$\mathrm{m}$
$H$	Distance dont la corde est écartée au point de pincement.	$\mathrm{m}$
$d$	Distance de l'extrémité gauche au point de pincement.	$\mathrm{m}$
$L$	Longueur de la corde.	$\mathrm{m}$
$n$	Numéro du mode : le mode $n$ a $n$ fuseaux. Représentés : $\sin (n\pi x/L)$ pour $n=1$ et $n=5$.

La figure 4 représente la corde au moment où on la lâche. C'est la corde de l'animation, $L=0,65\mathrm{m}$ et $v=143m/s$, écartée de $H=3\mathrm{mm}$ à $d=0,13\mathrm{m}$ de l'extrémité gauche, soit un cinquième de sa longueur, puis lâchée sans vitesse. La hauteur $H$ est dessinée bien plus grande qu'en réalité. Quels harmoniques sonnent, et comment l'énergie se répartit-elle entre eux ?

La forme initiale $y_0(x)$ est le triangle bleu : deux segments de droite qui montent des attaches jusqu'à la hauteur $H$ en $x=d$. En la reportant dans la formule de $b_n$ et en intégrant sur chaque segment, on obtient
$b_n=\frac{2H{L}^2}{{\pi }^2{n}^{2}d(L-d)}\sin \frac{n\pi d}{L}=\frac{25H}{2{\pi }^2{n}^2}\sin \frac{n\pi }{5}$
où la seconde forme utilise $d=L/5$, de sorte que $d(L-d)=4L^2/25$. On trouve $b_1\approx 2,23\mathrm{mm}$, $b_2\approx 0,90\mathrm{mm}$ et $b_3\approx 0,40\mathrm{mm}$, à 110, 220 et 330 Hz.

Les deux images du bas montrent pourquoi certains harmoniques manquent. Regardez le long de la verticale en pointillé qui passe par le point de pincement $x=d$. La forme du mode 1, $\sin (\pi x/L)$, y est nettement au-dessus de zéro : tirer en $d$ alimente donc fortement le mode 1. La forme du mode 5, $\sin (5\pi x/L)$, passe exactement par zéro à cet endroit, puisque $d=L/5$. Le point de pincement est un nœud du mode 5, un endroit où ce mode ne bouge jamais, donc aucune traction appliquée là ne peut le mettre en mouvement. Il en va de même pour chaque mode qui a un nœud en $d$ : $\sin (n\pi /5)=0$ pour $n=5,10,\dots$, donc 550 Hz et 1100 Hz sont absents.

Pour l'énergie, $E_n\propto {\omega }_n^2{b}_n^2$, avec ${\omega }_n\propto n$ et $b_n\propto \sin (n\pi d/L)/n^2$, donc $E_n\propto {\sin }^2(n\pi d/L)/n^2$. En divisant chaque terme par la somme sur tous les modes, on trouve que le fondamental reçoit 44 % de l'énergie, le deuxième harmonique 29 % et le troisième 13 %. Pincée au centre, la même corde mettrait 81 % dans le fondamental, 9 % dans le troisième harmonique et rien dans les harmoniques pairs. Pincer plus près de l'extrémité alimente les harmoniques aigus : c'est pourquoi une guitare a un son brillant et mince près du chevalet, et rond au-dessus de la rosace.

Limites de validité

La corde idéale est un modèle. Savoir où il cesse d'être juste vous indique quand vous pouvez vous fier aux résultats ci-dessus.

Le modèle suppose de faibles pentes, de sorte que la corde s'allonge à peine et que sa tension reste égale à $F$. Ici, la pente maximale vaut $H/d=3/130\approx 0,023$, ce qui reste largement dans ce domaine. Un pincement énergique étire bel et bien la corde : la note démarre légèrement trop haut, puis se stabilise en s'éteignant.

Les extrémités ne sont pas non plus parfaitement rigides, et elles ne doivent pas l'être : une corde seule met très peu d'air en mouvement, et un instrument ne sonne que parce que le chevalet bouge et transmet la vibration à la caisse. Cette fuite, avec la traînée de l'air et les frottements internes, amortit les modes, les plus aigus le plus vite. Si l'amplitude du fondamental diminue d'un facteur e en $\tau \approx 3\mathrm{s}$, son facteur de qualité vaut $Q=\pi f_1\tau =\pi \cdot 110\cdot 3\approx 1000$.

Une corde est faite d'atomes distants d'environ 0,3 nm : l'équation d'onde continue ne vaut donc que pour des longueurs d'onde très supérieures à cet espacement. Une chaîne de $N$ atomes possède exactement $N$ modes, la plus courte longueur d'onde valant deux espacements. Dans un cristal, ces modes atteignent environ $10^{13}\mathrm{Hz}$, et leurs quanta, appelés phonons, transportent le son et la chaleur.

Où cela mène

L'idée que seules survivent les ondes qui tiennent exactement va bien au-delà des cordes.

La lumière entre deux miroirs forme des ondes stationnaires espacées en fréquence de $c/(2L)$, où $c$ est la vitesse de la lumière : environ 500 MHz pour une cavité laser de 30 cm (leçon Ondes électromagnétiques). L'addition des ondes en général mène à la leçon suivante, Interférences et superposition.

L'écho le plus profond se trouve en mécanique quantique, où un électron est une onde et où sa fréquence est une énergie, $E=hf$, avec $h$ la constante de Planck. Un électron confiné dans une boîte de longueur $L$ doit lui aussi y faire tenir des demi-longueurs d'onde entières, ${\lambda }_n=2L/n$. Sa quantité de mouvement vaut $p=h/\lambda$ et son énergie $p^2/(2m_e)$, avec $m_e$ la masse de l'électron, donc
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m_e{L}^2}$
soit environ 0,38 eV pour $n=1$ dans une boîte de 1 nm. Les niveaux croissent comme $n^2$ et non comme $n$, car pour les ondes de matière la fréquence varie comme $k^2$, alors que sur une corde elle varie comme $k$. Faire tenir des longueurs d'onde entières le long d'une orbite est l'idée centrale de la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr ; la boîte est résolue proprement dans la leçon Équation de Schrödinger et effet tunnel, et la leçon Dualité onde-corpuscule explique pourquoi les électrons sont des ondes.