Ondas estacionárias

Iniciante

Dois amigos girando uma corda longa de pular fazem com que ela oscile como um grande laço: o meio sobe mais alto enquanto as extremidades continuam nas mãos. Se você balança uma ponta mais rápido, a corda pode se acomodar em dois laços, com um ponto parado no meio. Nenhuma das formas se desloca ao longo da corda: isso é uma onda estacionária.

De onde ela vem? As ondas percorrem a corda, batem nas extremidades fixas e voltam. As ondas que vão e as que voltam se sobrepõem e juntas formam um padrão que permanece no lugar. Na corda do meio da animação, as ondas tracejadas correm em sentidos opostos, e a corda contínua é a soma delas.

Alguns pontos nunca se movem. São os nós, marcados por pontos dourados; as extremidades fixas também são nós. No meio entre dois nós, a corda oscila mais: isso é um ventre.

Como as duas extremidades precisam ficar paradas, cabe apenas um número inteiro de laços: um, dois, três e assim por diante. O padrão de um laço é o fundamental e dá a nota mais grave. Dois laços vibram duas vezes mais rápido que um, e três laços, três vezes mais rápido, gerando notas mais agudas chamadas harmônicos. Uma corda real vibra em vários desses padrões ao mesmo tempo, e essa mistura é o motivo pelo qual um violão e um violino tocando a mesma nota ainda soam diferentes.

Pressionar a corda contra um traste encurta a parte que vibra, então cada laço fica menor e a nota fica mais aguda. Esticar mais a corda, ou usar uma mais fina, também eleva a nota. Flautas e tubos de órgão fazem o mesmo com ondas sonoras estacionárias em um tubo: tubos mais longos, notas mais graves.

Teste você mesmo: uma corda vibra em três laços. Quantos nós ela tem, contando as duas extremidades? (Quatro.)

Intermediário

Duas ondas progressivas formam uma onda estacionária

As ondas em uma corda presa nas duas extremidades são refletidas nas pontas e atravessam umas às outras. Quando duas ondas de mesma amplitude $A$, comprimento de onda $\lambda$ e frequência $f$ viajam em sentidos opostos, a soma delas não se desloca: é uma onda estacionária. Na corda do meio da animação, as curvas tracejadas são as duas ondas e a corda contínua é a soma delas.

Onde as duas ondas sempre chegam com deslocamentos opostos, elas se anulam: esses nós, marcados por pontos dourados, nunca se movem. No meio entre dois nós, as ondas sempre concordam, e a corda oscila com amplitude $2A$: esses são os ventres. Todos os outros pontos oscilam na mesma frequência, com amplitude menor, e laços vizinhos se movem em sentidos opostos.

Além de $\lambda$, $f$ em hertz e da velocidade da onda $v=f\lambda$ de Fundamentos das ondas, uma corda tem seu comprimento $L$ entre as presilhas, sua tensão $F$ em newtons e sua densidade linear $\mu$, a massa de um metro de corda, em kg/m. O número harmônico $n$ conta os laços.

Encaixando meias-ondas entre as extremidades

Nós vizinhos estão separados por meio comprimento de onda, e cada ventre fica a um quarto de comprimento de onda do nó mais próximo. Uma extremidade presa não pode se mover, então ela deve ser um nó, e a corda comporta um número inteiro $n$ de laços, cada um com $\lambda /2$ de comprimento:
$L=\frac{n\lambda }{2}$
logo, os únicos comprimentos de onda permitidos são
${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$
com $n=1,2,3,\dots$ O maior é o dobro do comprimento da corda.

Uma onda que não encaixa volta a cada ida e volta fora de fase com a onda que ainda está chegando, e suas reflexões se anulam em grande parte. Só os comprimentos de onda que encaixam se reforçam, então toda onda confinada tem um conjunto definido de frequências naturais.

A série harmônica e a velocidade da onda

Todas as ondas em uma mesma corda viajam com a mesma velocidade $v$, então cada comprimento de onda permitido tem sua própria frequência, $f_n=v/{\lambda }_n$:
$f_n=\frac{nv}{2L}=n{f}_1$
A menor, $f_1=v/(2L)$, é a fundamental; as outras, $2f_1$, $3f_1$ e assim por diante, são seus harmônicos, igualmente espaçados por $f_1$. O segundo harmônico soa uma oitava acima da fundamental.

A velocidade da onda depende da tensão e da densidade linear:
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$
Uma corda tensa puxa com força um pedaço deslocado de volta, então as ondas correm rápido; uma corda pesada tem mais inércia, então elas correm devagar.

Há, portanto, três maneiras de aumentar a altura do som: encurtar a parte que vibra (um traste), esticar mais a corda (a cravelha) ou usar uma mais leve. A frequência é inversamente proporcional a $L$, mas cresce apenas com $\sqrt{F}$: reduzir o comprimento à metade a dobra, enquanto fazer o mesmo só com a tensão exige quatro vezes a força.

Exemplo resolvido: a corda de violão da animação

As cordas da animação têm 0,65 m de comprimento, como as de um violão clássico, e suas ondas viajam a 143 m/s. Na fundamental, a corda comporta meio comprimento de onda:
${\lambda }_1=2L=2\cdot 0,65=1,30\mathrm{m}$
$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{143}{1,30}=110\mathrm{Hz}$
Depois, $f_2=220\mathrm{Hz}$ e $f_3=330\mathrm{Hz}$, os rótulos roxos ao lado das cordas; 110 Hz é o lá da quinta corda de um violão. Um período real de $1/110\mathrm{s}\approx 9,1\mathrm{ms}$ é curto demais para ser acompanhado, então a animação o estende para 2 s, 220 vezes mais lento.

Na terceira corda, ${\lambda }_3=2L/3\approx 0,433\mathrm{m}$, então os nós ficam ${\lambda }_3/2\approx 0,217\mathrm{m}$ afastados e cada ventre fica ${\lambda }_3/4\approx 0,108\mathrm{m}$ de seus vizinhos: o espaçamento das letras N A N A N A N sob a corda, quatro nós contando as duas extremidades e três ventres.

Para elevar a fundamental uma oitava, até 220 Hz, mantendo o mesmo comprimento, $v$ deve dobrar para 286 m/s; como $v$ cresce com $\sqrt{F}$, a tensão deve ser multiplicada por quatro, não por dois.

Exemplo resolvido: afinando uma corda de violino

A corda Lá de um violino vibra ao longo de 0,325 m e tem densidade linear de 0,60 g/m, ou seja, $6,0\times 10^{-4}kg/m$. Qual tensão a afina em 440 Hz? Primeiro, encontre a velocidade da onda:
$v=2L{f}_1=2\cdot 0,325\cdot 440=286m/s$
$F=\mu v^2=6,0\times 10^{-4}\cdot 286^2\approx 49\mathrm{N}$
Isso equivale aproximadamente ao peso de uma massa de 5 kg; deixar $\mu$ em g/m daria uma tensão mil vezes maior.

Se a corda afrouxa e soa 436 Hz, a tensão deve crescer pelo fator $(440/436{)}^2\approx 1,018$, menos de 2% ou cerca de 0,9 N, porque $f_1$ é proporcional a $\sqrt{F}$. Para tocar o Si a 494 Hz, encurta-se a corda: $L^{\prime }=v/(2f)=286/988\approx 0,289\mathrm{m}$. O dedo desce cerca de 3,5 cm a partir da pestana.

Ler o padrão: laços, fases e tubos

Para ler uma imagem de onda estacionária, conte os laços: há $n$ deles, cada um com $\lambda /2$ de comprimento, e $n+1$ nós incluindo as extremidades. Pontos dentro de um mesmo laço se movem em fase; laços vizinhos estão meio ciclo defasados. Duas vezes por ciclo, a corda inteira passa pela posição de equilíbrio, movendo-se mais rápido, e nos extremos ela para por um instante.

Em um tubo, o ar se move para frente e para trás ao longo dele. Uma extremidade fechada o imobiliza e é um nó de deslocamento; uma extremidade aberta fica próxima de um ventre de deslocamento. Aberto nas duas extremidades, um tubo tem a mesma série de uma corda, $f_n=nv/(2L)$. Fechado em uma extremidade, ele comporta um número ímpar de quartos de comprimento de onda, então $f_n=nv/(4L)$ apenas com $n$ ímpar. Com som a 343 m/s, um tubo de 0,65 m soa 132, 396 e 660 Hz quando fechado em uma extremidade, e 264, 528 e 792 Hz quando aberto nas duas.

Erros comuns

• Uma onda estacionária não está congelada: todo ponto, exceto os nós, continua oscilando, todos na mesma frequência, 330 Hz na corda de baixo da animação.
• O comprimento de onda não é o comprimento da corda: na fundamental, a corda comporta meio comprimento de onda, então a corda de 0,65 m tem ${\lambda }_1=1,30\mathrm{m}$.
• Os nós ficam separados por meio comprimento de onda, não por um inteiro: com $\lambda =0,8\mathrm{m}$ eles ficam a 0,4 m uns dos outros, e um nó fica a 0,2 m do ventre mais próximo.
• Dobrar a tensão não dobra a altura do som: como $f$ cresce com $\sqrt{F}$, a corda de 110 Hz subiria apenas para cerca de 156 Hz.
• Harmônicos não são cópias mais fortes de uma mesma nota, mas frequências diferentes, aqui 110, 220 e 330 Hz; a mistura excitada por um pinçamento dá a cada instrumento seu timbre.

Onde isso aparece

Todo instrumento de cordas é um conjunto de ondas estacionárias: os trastes mudam $L$, as cravelhas mudam $F$, e as cordas graves são enroladas com fio para acrescentar massa. Tocar levemente uma corda em seu ponto médio força um nó ali; a fundamental e os harmônicos ímpares, que precisam de movimento no centro, desaparecem, e a nota salta uma oitava. Flautas, clarinetes e tubos de órgão sustentam ondas sonoras estacionárias. Em um forno de micro-ondas, os pontos quentes ficam separados por meio comprimento de onda, cerca de 6 cm.

Excitar um sistema em uma frequência natural constrói um movimento grande, a ressonância de Amortecimento e ressonância. Ondas estacionárias são um caso especial de Interferência e superposição; tubos usam a velocidade do som de Som e efeito Doppler, e encaixar comprimentos de onda inteiros em uma órbita reaparece para elétrons em Modelos atômicos: o átomo de Bohr.

Avançado

Duas ondas progressivas em uma corda

Esta lição explica por que uma corda presa nas duas extremidades vibra apenas em certas frequências. O ponto de partida é a pergunta mais simples: como uma única onda se move ao longo de uma corda esticada?

Seja $y(x,t)$ o deslocamento lateral do ponto da corda na posição $x$, no instante $t$. Para pequenas inclinações, uma corda com tensão $F$ e massa por metro $\mu$ obedece à equação de onda
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$
em que $v^2=F/\mu$ e $v$ é a velocidade da onda. Sua solução geral é qualquer forma que se desloca para a direita somada a qualquer forma que se desloca para a esquerda:
$y(x,t)=u(x-vt)+q(x+vt)$
O valor de $u$ permanece o mesmo sempre que $x-vt$ permanece o mesmo, então a forma $u$ desliza para valores maiores de $x$ com velocidade $v$, sem mudar; $q$ desliza no sentido oposto. Uma extremidade da corda une essas duas ondas, e é daí que vêm as ondas estacionárias.

Reflexão em uma extremidade presa

O que acontece quando um pulso chega a um ponto que não pode se mover? A resposta, um eco invertido, é a primeira metade de toda onda estacionária.

Legenda

$q(x+vt)$	O pulso incidente, que se desloca em direção à parede. Onde está atrás da parede, fora da corda, é tracejado.	$\mathrm{m}$
$q(vt-x)$	Seu gêmeo $-q(vt-x)$: o pulso refletido na parede e invertido. Afasta-se da parede e é tracejado enquanto está atrás dela.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidade do pulso e de seu gêmeo.	$m/s$
$x$	Posição ao longo da corda, medida a partir da parede.	$\mathrm{m}$
$t_1$	Um instante antes de o pulso chegar à parede (figura superior).	$\mathrm{s}$
$t_2$	Um instante posterior, depois de o pulso e seu gêmeo terem se cruzado (figura inferior).	$\mathrm{s}$

A Figura 1 prende a corda em $x=0$; a corda real é a parte à direita da parede, $x>0$. Um pulso $q(x+vt)$ chega pela direita, deslocando-se para a esquerda. O ponto de fixação significa $y(0,t)=0$ em todo instante. Substituindo $x=0$ na solução geral, obtém-se $u(-vt)+q(vt)=0$ para todo $t$. Escrevendo $s=-vt$, isso diz que $u(s)=-q(-s)$ para todo $s$: a onda que retorna fica completamente determinada pela que chega, e
$y(x,t)=q(x+vt)-q(vt-x)$

Leia o segundo termo como uma imagem. Trocando $x$ por $-x$ em $q(x+vt)$, obtém-se $q(vt-x)$, o pulso que chega refletido no ponto de fixação; o sinal de menos o põe de cabeça para baixo. Na figura superior da Figura 1, no instante $t_1$, observe as duas formas. O pulso roxo $q(x+vt)$ está na corda real e se desloca para a esquerda. Seu gêmeo dourado tracejado $-q(vt-x)$ fica pendurado para baixo na posição espelhada atrás da parede e se desloca para a direita. Ambos se movem com velocidade $v$, então chegam à parede no mesmo momento, e em $x=0$ se anulam a cada instante: o ponto de fixação nunca se move.

Na figura inferior, no instante posterior $t_2$, os dois já se atravessaram. O gêmeo dourado sólido é agora a única forma na corda real, invertido e afastando-se da parede, enquanto o original roxo segue, tracejado, atrás da parede, onde não há corda. Resultado: em uma extremidade presa, um pulso retorna invertido, com forma e velocidade inalteradas.

Uma extremidade livre, como um anel deslizando em uma haste lisa, se comporta de outra maneira. O anel pode se mover, mas não sofre força lateral da haste, então a corda deve encontrar a haste em ângulo reto: $\partial y/\partial x=0$ em $x=0$. Os mesmos passos dão então $u(s)=+q(-s)$, e o pulso retorna sem inversão.

De duas ondas progressivas a uma onda estacionária

Agora, envie uma onda senoidal em vez de um único pulso. A onda incidente e sua reflexão se superpõem ao longo de toda a corda, e a soma delas é uma onda estacionária.

Considere a onda incidente $A\sin (kx+\omega t)$, com amplitude $A$, número de onda $k=2\pi /\lambda$ para comprimento de onda $\lambda$, e frequência angular $\omega =vk$; ela tem a forma $q(x+vt)$. Sua imagem especular invertida $-q(vt-x)$ é $-A\sin (\omega t-kx)=A\sin (kx-\omega t)$. Somando as duas com $\sin a+\sin b=2\sin \frac{1}{2}(a+b)\cos \frac{1}{2}(a-b)$, obtém-se
$y(x,t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$

Espaço e tempo se separaram: uma forma fixa $\sin kx$ multiplicada por uma única oscilação $\cos \omega t$, compartilhada por todos os pontos. O ponto em $x$ sobe e desce senoidalmente com amplitude $2A|\sin kx|$. Onde $\sin kx=0$, isto é, onde $kx=m\pi$ com $m$ inteiro, a corda nunca se move: esses pontos são os nós, e estão separados por $\lambda /2$ porque $k=2\pi /\lambda$. No meio entre os nós, onde $|\sin kx|=1$, estão os ventres, que oscilam com a amplitude total $2A$.

Como $\sin kx$ muda de sinal em cada nó, laços vizinhos estão sempre em lados opostos da linha: oscilam em oposição de fase. Um movimento em que todo ponto oscila em uma única frequência com forma fixa é chamado de modo normal.

A animação mostra isso em uma corda no segundo modo, $n=2$. A onda tracejada dourada $A\sin (kx-\omega t)$ se desloca para a direita, a tracejada roxa para a esquerda, e a corda contínua é a soma delas. O gráfico acompanha o ventre vermelho em $x=L/4$, onde $\sin kx=1$: seu movimento é um cosseno puro, $2A\cos \omega t$, que começa na linha tracejada de $+2A$.

Duas extremidades presas: só certos números de onda

Uma segunda fixação transforma um conjunto contínuo de ondas possíveis em um conjunto de notas. É esse passo que dá à corda a sua altura.

A onda estacionária acima já tem um nó em $x=0$. Um segundo ponto de fixação em $x=L$ também exige $y(L,t)=0$ em todos os instantes, logo $\sin kL=0$, e $kL$ deve ser um múltiplo inteiro de $\pi$:
$k_n=\frac{n\pi }{L}$
com $n=1,2,3,\dots$ contando os laços. Em palavras, um número inteiro de meios comprimentos de onda deve caber entre os pontos de fixação, $L=n{\lambda }_n/2$. Como $\omega =vk$ para toda onda na corda, as frequências angulares permitidas são ${\omega }_n=n\pi v/L$, e as frequências são
$f_n=\frac{nv}{2L}$
São múltiplos inteiros da menor, a fundamental $f_1=v/(2L)$: esta é a série harmônica.

Para a corda da animação, $L=0,65\mathrm{m}$ e $v=143m/s$, logo $f_1=143/(2\cdot 0,65)=110\mathrm{Hz}$, com $k_1=\pi /0,65\approx 4,83rad/m$ e ${\omega }_1=2\pi \cdot 110\approx 691rad/s$. Uma corda com apenas um ponto de fixação aceita todo $k$: é o segundo contorno que torna o espectro discreto.

O percurso de ida e volta e a série harmônica

As mesmas frequências surgem sem nenhum seno, acompanhando um único pulso enquanto ele quica entre os pontos de fixação. Essa visão mostra por que os harmônicos são múltiplos exatos.

Legenda

$x$	Posição ao longo da corda.	$\mathrm{m}$
$t$	Tempo, crescendo para cima.	$\mathrm{s}$
$L$	Distância entre os dois pontos de fixação.	$\mathrm{m}$
$x_0$	Onde o pulso começa e onde volta após uma ida e volta.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidade do pulso; a inclinação de cada trecho.	$m/s$
$T_1$	Tempo de uma ida e volta, $2L/v$.	$\mathrm{s}$

A Figura 2 é um diagrama espaço-tempo: a posição $x$ é mostrada na horizontal, o tempo $t$ cresce para cima, e as duas linhas verticais grossas são os pontos de fixação em $x=0$ e $x=L$, que permanecem fixos. Um pulso com velocidade constante é uma reta inclinada, e cada reflexão é uma quina. Siga o caminho azul de baixo para cima. O pulso sai de $x_0$ em $t=0$, deslocando-se para a direita com velocidade $v$; o sinal $+$ indica que ele está na posição normal. Em $x=L$ ele se reflete e fica invertido ($-$), percorre a corda inteira para a esquerda, e então se reflete em $x=0$ e volta a ficar na posição normal ($+$). Duas reflexões significam duas inversões, então ele chega ao ponto superior $x_0$ na posição normal e se deslocando para a direita, exatamente como começou.

O comprimento do percurso não depende de onde o pulso começou: $(L-x_0)+L+x_0=2L$. Assim, a ida e volta leva
$T_1=\frac{2L}{v}=\frac{1,30}{143}\approx 9,09\mathrm{ms}$
que é exatamente $1/f_1$ para 110 Hz. Uma perturbação de qualquer forma é feita de partes que fazem essa mesma ida e volta; depois de $T_1$, a corda inteira volta ao estado inicial e o movimento se repete com período $T_1$. Um movimento de período $T_1$ só pode conter frequências que caibam um número inteiro de ciclos em $T_1$: os múltiplos de $1/T_1=110\mathrm{Hz}$. A série harmônica é o tempo de ida e volta escrito como espectro.

Qualquer movimento é uma soma de modos

Uma corda real nunca é posta a vibrar em um único modo puro. Esta seção mostra que todo movimento ainda é uma mistura de modos, e como encontrar essa mistura.

A equação de onda é linear: se dois movimentos são soluções, a soma deles também é. Cada modo é uma solução, e juntos os modos bastam para construir qualquer movimento da corda:
$y(x,t)={\sum }_n{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\cos ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$
O modo $n$ entra com sua própria amplitude $b_n$ e fase ${\phi }_n$. Ambas são definidas pela forma e pela velocidade iniciais da corda, e encontrá-las chama-se análise de Fourier.

A ferramenta para encontrá-las é a ortogonalidade: multiplique as formas de dois modos diferentes e integre ao longo da corda, e o resultado é zero. Para uma corda solta do repouso com forma $y_0(x)$, todas as fases ${\phi }_n$ são zero, porque cada modo deve começar em repouso. Multiplique $y_0(x)$ pela forma do modo $n$ e integre de 0 a $L$. A ortogonalidade elimina todos os termos, exceto o próprio do modo $n$, o que dá $b_n$ vezes ${\int }_0^L{\sin }^2(n\pi x/L)dx=L/2$. Portanto
$b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L{y}_0(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

A simetria resolve um caso sem nenhuma integral. Um pinçamento no centro dá uma forma simétrica em torno de $x=L/2$, enquanto todo modo par é antissimétrico nesse ponto: uma metade sobe enquanto a outra desce. Uma forma simétrica multiplicada por uma antissimétrica integra-se a zero, então os coeficientes pares se anulam, e uma corda pinçada no centro soa apenas harmônicos ímpares. No sentido inverso, poucos modos já formam movimentos ricos: os dois primeiros, defasados de um quarto de ciclo, somam uma protuberância que vai e volta entre as extremidades, e muitos modos juntos constroem a quina aguda de um pinçamento real.

A ortogonalidade também divide a energia. A energia total da corda é a soma das energias dos modos, sem termos cruzados entre eles:
$E_n=\frac{1}{4}\mu L{\omega }_n^2{b}_n^2$
Esta é a energia cinética do modo $n$ no instante em que passa pela posição reta: $\frac{1}{2}\mu {\omega }_n^2{b}_n^2{\sin }^2(n\pi x/L)$ por metro, e o ${\sin }^2$ tem média igual à metade ao longo da corda. Nesse sentido, qualquer sistema vibrante linear, de uma ponte a uma molécula, é um conjunto de osciladores independentes, um para cada modo.

Onde está a energia

Uma onda estacionária não transporta energia ao longo da corda, mas a energia continua se movendo dentro dela. A Figura 3 mostra onde ela fica armazenada.

Legenda

$n$	Número do modo. A corda está em seu segundo modo, $n=2$, desenhada em suas duas formas extremas.
$\lambda /2$	Distância entre nós vizinhos (pontos dourados): meio comprimento de onda.	$\mathrm{m}$
$x$	Posição ao longo da corda.	$\mathrm{m}$
$u_K$	Energia cinética por metro: o maior valor que ela atinge em cada ponto durante um ciclo.	$J/m$
$u_E$	Energia elástica (de estiramento) por metro: o maior valor que ela atinge em cada ponto durante um ciclo.	$J/m$

A Figura 3 mostra a corda com $n=2$ em suas duas formas extremas, com os nós como pontos dourados, separados por $\lambda /2$. Abaixo, duas curvas mostram como a energia por metro se distribui ao longo de $x$. Cada curva é o maior valor que essa energia atinge em cada ponto durante um ciclo; os dois maiores valores ocorrem em instantes diferentes.

A energia cinética por metro é $u_K=\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. Com $\partial y/\partial t=-2A\omega \sin kx\sin \omega t$, ela varia como ${\sin }^{2}kx{\sin }^2\omega t$. Seu maior valor, a curva roxa contínua, atinge o máximo nos ventres, onde a corda se move mais rápido, e se anula nos nós, que nunca se movem. É atingido nos instantes em que a corda passa pela posição reta.

A energia elástica por metro, armazenada ao esticar a corda, é $u_E=\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$. Com $\partial y/\partial x=2Ak\cos kx\cos \omega t$, ela varia como ${\cos }^{2}kx{\cos }^2\omega t$. Seu maior valor, a curva verde tracejada, atinge o máximo nos nós, onde a corda está mais inclinada, e é atingido nos instantes de deslocamento máximo. As duas curvas alcançam a mesma altura, $2\mu A^2{\omega }^2$, porque $F{k}^2=\mu {\omega }^2$ (de $v^2=F/\mu$ e $\omega =vk$). Assim, em cada ciclo a energia oscila da energia elástica perto dos nós para a energia cinética perto dos ventres, e de volta.

Por que nada disso se desloca ao longo da corda? Cada componente progressiva transporta uma potência média $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$, mas em uma onda estacionária as duas as transportam em sentidos opostos, então o fluxo líquido é zero. Instante a instante, a potência que atravessa um ponto é a força lateral que a corda exerce à esquerda, $-F\partial y/\partial x$, multiplicada pela velocidade desse ponto, $\partial y/\partial t$:
$P=-F\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}=Fk\omega A^2\sin 2kx\sin 2\omega t$
O fator $\sin 2kx$ é zero em todo nó e em todo ventre, em todos os instantes. A energia nunca cruza esses pontos: ela oscila para trás e para frente dentro de cada quarto de comprimento de onda, com o dobro da frequência do movimento. No gráfico da animação, o ventre passa pela posição de equilíbrio em sua velocidade máxima, $2A\omega$; nesse instante, toda a energia de sua região é cinética.

Excitar a corda em um de seus $f_n$ faz a energia fornecida em cada ciclo se somar, e a amplitude cresce até que as perdas equilibrem a excitação. Isso é ressonância, e a altura do pico é definida pelo fator de qualidade $Q$ visto em Amortecimento e ressonância.

Além da corda ideal

A regra de que números inteiros de ondas devem caber se estende a outras extremidades, cordas mais rígidas e superfícies, com mudanças que você pode ouvir.

Uma corda presa em $x=0$ mas livre em $x=L$ precisa de inclinação zero na extremidade livre, $\cos kL=0$, logo $kL=(m-\frac{1}{2})\pi$ com $m\ge 1$ inteiro. Cabe um número ímpar de quartos de comprimento de onda, e $f=(2m-1)v/(4L)$: apenas múltiplos ímpares da menor frequência $v/(4L)$. Este é o tubo fechado em uma extremidade. Sua extremidade fechada é um nó de deslocamento, como o ponto de fixação, e sua extremidade aberta é um nó de pressão, como a extremidade livre. O ar logo fora de uma extremidade aberta também participa, acrescentando cerca de 0,6 do raio do tubo ao comprimento efetivo.

Uma corda real também resiste à flexão. Essa força restauradora extra cresce com a curvatura mais rápido que a tensão, então ondas curtas correm mais rápido e os harmônicos superiores ficam mais agudos:
$f_n\approx n{f}_1\sqrt{1+B{n}^2}$
em que a constante de rigidez $B$ cresce com a quarta potência do diâmetro do fio. Para uma corda de piano perto do dó central, $B$ é da ordem de $4\times 10^{-4}$, então, para o décimo modo, $\sqrt{1+0,04}\approx 1,02$: ele fica cerca de 2% acima de dez vezes a fundamental, e os afinadores esticam levemente suas oitavas para compensar.

Em duas dimensões, as ondas precisam caber nos dois sentidos ao mesmo tempo. Uma membrana retangular de lados $L_x$ e $L_y$ tem modos $f_{mn}=(v/2)\sqrt{(m/L_x{)}^2+(n/L_y{)}^2}$. Um tampo circular de tambor tem modos em cerca de 1,59, 2,14 e 2,30 vezes sua menor frequência, não múltiplos inteiros, e é por isso que a altura de um tambor é menos definida que a de uma corda.

Problema resolvido: pinçando a corda da animação

Este problema reúne as peças: os coeficientes de Fourier de um pinçamento real, os harmônicos que ele deixa de fora e a parcela de energia que cada harmônico recebe.

Legenda

$y_0$	Forma da corda no momento da soltura: um triângulo.	$\mathrm{m}$
$H$	Quanto a corda é puxada para o lado no ponto de pinçamento.	$\mathrm{m}$
$d$	Distância da extremidade esquerda até o ponto de pinçamento.	$\mathrm{m}$
$L$	Comprimento da corda.	$\mathrm{m}$
$n$	Número do modo: o modo $n$ tem $n$ laços. Mostrado: $\sin (n\pi x/L)$ para $n=1$ e $n=5$.

A Figura 4 desenha a corda no momento da soltura. É a corda da animação, $L=0,65\mathrm{m}$ e $v=143m/s$, puxada para o lado em $H=3\mathrm{mm}$ no ponto $d=0,13\mathrm{m}$ da extremidade esquerda, um quinto de seu comprimento, e solta do repouso. A altura $H$ está desenhada muito maior do que é. Quais harmônicos soam, e como a energia se divide entre eles?

A forma inicial $y_0(x)$ é o triângulo azul: duas retas que vão dos pontos de fixação até a altura $H$ em $x=d$. Substituindo na fórmula de $b_n$ e integrando cada trecho reto, obtém-se
$b_n=\frac{2H{L}^2}{{\pi }^2{n}^{2}d(L-d)}\sin \frac{n\pi d}{L}=\frac{25H}{2{\pi }^2{n}^2}\sin \frac{n\pi }{5}$
em que a segunda forma usa $d=L/5$, de modo que $d(L-d)=4L^2/25$. Isso dá $b_1\approx 2,23\mathrm{mm}$, $b_2\approx 0,90\mathrm{mm}$ e $b_3\approx 0,40\mathrm{mm}$, em 110, 220 e 330 Hz.

As duas figuras inferiores mostram por que alguns harmônicos estão ausentes. Observe ao longo da linha vertical tracejada que passa pelo ponto de pinçamento $x=d$. A forma do modo 1, $\sin (\pi x/L)$, está bem acima de zero ali, então puxar em $d$ excita fortemente o modo 1. A forma do modo 5, $\sin (5\pi x/L)$, cruza exatamente o zero ali, porque $d=L/5$. O ponto de pinçamento é um nó do modo 5, um lugar onde esse modo nunca se move, então nenhum puxão aplicado ali pode iniciá-lo. O mesmo vale para todo modo com um nó em $d$: $\sin (n\pi /5)=0$ para $n=5,10,\dots$, então 550 Hz e 1100 Hz estão ausentes.

Para a energia, $E_n\propto {\omega }_n^2{b}_n^2$, com ${\omega }_n\propto n$ e $b_n\propto \sin (n\pi d/L)/n^2$, logo $E_n\propto {\sin }^2(n\pi d/L)/n^2$. Dividindo cada termo pela soma sobre todos os modos, a fundamental recebe 44% da energia, o segundo harmônico 29% e o terceiro 13%. Pinçada no centro, a mesma corda colocaria 81% na fundamental, 9% no terceiro harmônico e nada nos pares. Pinçar mais perto da extremidade alimenta os harmônicos superiores, por isso um violão soa brilhante e fino perto da ponte e redondo sobre a boca do violão.

Limites de validade

A corda ideal é um modelo. Saber onde ele deixa de valer indica quando os resultados acima são confiáveis.

O modelo supõe pequenas inclinações, de modo que a corda quase não se alonga e sua tensão permanece igual a $F$. Aqui a inclinação máxima é $H/d=3/130\approx 0,023$, bem dentro desse limite. Um pinçamento forte alonga a corda, então a nota começa um pouco aguda e se estabiliza à medida que se extingue.

As extremidades também não são perfeitamente rígidas, e não devem ser: uma corda sozinha empurra muito pouco ar, e um instrumento soa porque a ponte se move e transmite a vibração ao corpo. Essa perda, junto com o arrasto do ar e o atrito interno, amortece os modos, os mais altos mais rapidamente. Se a amplitude da fundamental cai por um fator e em $\tau \approx 3\mathrm{s}$, seu fator de qualidade é $Q=\pi f_1\tau =\pi \cdot 110\cdot 3\approx 1000$.

Uma corda é feita de átomos separados por cerca de 0,3 nm, então a equação de onda contínua vale apenas para comprimentos de onda muito maiores que esse espaçamento. Uma cadeia de $N$ átomos tem exatamente $N$ modos, sendo o menor comprimento de onda igual a dois espaçamentos. Em um cristal, esses modos chegam a cerca de $10^{13}\mathrm{Hz}$, e seus quanta, chamados fônons, transportam som e calor.

Para onde isso leva

A ideia de que apenas ondas que encaixam podem sobreviver vai muito além das cordas.

A luz entre dois espelhos forma ondas estacionárias espaçadas em frequência por $c/(2L)$, em que $c$ é a velocidade da luz: cerca de 500 MHz para uma cavidade de laser de 30 cm (Ondas eletromagnéticas). Somar ondas em geral leva à próxima lição, Interferência e superposição.

O eco mais profundo está na mecânica quântica, em que um elétron é uma onda e sua frequência é uma energia, $E=hf$, com $h$ a constante de Planck. Um elétron confinado em uma caixa de comprimento $L$ também precisa encaixar meios comprimentos de onda inteiros, ${\lambda }_n=2L/n$. Sua quantidade de movimento é $p=h/\lambda$ e sua energia é $p^2/(2m_e)$, com $m_e$ a massa do elétron, logo
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m_e{L}^2}$
que vale cerca de 0,38 eV para $n=1$ em uma caixa de 1 nm. Os níveis crescem com $n^2$, e não com $n$, porque para ondas de matéria a frequência cresce com $k^2$, enquanto em uma corda cresce com $k$. Encaixar comprimentos de onda inteiros em torno de uma órbita é a ideia por trás de Modelos atômicos: o átomo de Bohr; a caixa é resolvida corretamente em Equação de Schrödinger e tunelamento, e Dualidade onda-partícula explica por que elétrons são ondas.