驻波

入门

两个朋友甩动一根长跳绳，让它整体摆成一个大环：中间荡得最高，两端却一直握在手里。更快地抖动一端，绳子就可能稳定成两个环，中间有一个静止点。这两种形状都不沿绳子传播：这就是驻波。

它从哪里来？波沿着弦传播，遇到固定端后反弹回来。向外的波与返回的波相互重叠，共同形成一个位置不变的图样。动画中间那根弦上，虚线波沿相反方向传播，实线弦就是它们相加的结果。

有些点始终完全不动，它们是节点，用金色圆点标出；固定端也是节点。两个节点正中间的弦摆动最剧烈，这里是波腹。

由于两端都必须保持静止，弦上只能容纳整数个环：一个、两个、三个……依此类推。一个环的图样是基频，给出最低的音。两个环的振动频率是一个环的两倍，三个环则是三倍，这些更高的音称为谐波。一根实际的弦会同时以多种这样的图样振动，正是这种混合让吉他和小提琴演奏同一个音时听起来仍然不同。

把弦按在琴品上会缩短振动部分，于是每个环都变短，音调变高。拉紧弦或换用更细的弦，同样会提高音调。长笛和风琴管也是如此，利用的是管内的声音驻波：管越长，音越低。

自测：一根弦振动成三个环，包括两端在内共有多少个节点？（四个。）

中级

两列行波形成驻波

两端固定的弦上，波在两端反射后会彼此穿过。当振幅 $A$、波长 $\lambda$、频率 $f$ 都相同的两列波沿相反方向传播时，它们的和并不传播，而是一个驻波。动画中间那根弦上，虚线是两列波，实线弦则是它们的和。

在两列波总是以相反位移到达的地方，它们相互抵消：这些节点用金色圆点标出，永远不动。两个节点正中间，两列波始终同相，弦以振幅 $2A$ 摆动：这些就是波腹。其他各点以相同频率振动，但振幅较小，相邻的环朝相反方向运动。

除了 $\lambda$、以赫兹计的 $f$，以及《波的基础》中的波速 $v=f\lambda$，弦还有：两夹点之间的长度 $L$、以牛顿计的张力 $F$，以及线密度 $\mu$（每米弦的质量，单位 kg/m）。谐波序数 $n$ 即环的个数。

两端之间容纳半波长的整数倍

相邻节点相距半个波长，每个波腹位于距最近节点四分之一波长处。被夹住的端点不能移动，因此必须是节点，弦上容纳整数 $n$ 个环，每个环长 $\lambda /2$：
$L=\frac{n\lambda }{2}$
因此它允许的波长只有
${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$
其中 $n=1,2,3,\dots$。最长的波长是弦长的两倍。

容纳不下的波，每次往返回来时都与仍在到达的波不同步，其反射大多相互抵消。只有恰好容纳的波长才能自我加强，因此每个受限的波都有一组确定的固有频率。

谐波列与波速

同一根弦上的所有波都以相同速度 $v$ 传播，因此每个允许的波长都对应一个频率，$f_n=v/{\lambda }_n$：
$f_n=\frac{nv}{2L}=n{f}_1$
最低的 $f_1=v/(2L)$ 是基频；其余的 $2f_1$、$3f_1$ 等是它的谐波，彼此相隔 $f_1$。二次谐波比基频高一个八度。

波速取决于张力和线密度：
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$
绷紧的弦把被拉离平衡位置的一小段拉回得很用力，因此波传播得快；重的弦惯性大，波传播得慢。

因此提高音调有三种办法：缩短振动部分（按琴品）、拉紧弦或换用更轻的弦。频率与 $L$ 成反比，但只与 $\sqrt{F}$ 成正比：长度减半时频率加倍，而仅靠张力使频率加倍，则需要四倍的力。

例题：动画中的吉他弦

动画中的弦长 0.65 m，与古典吉他的弦长相同，其波速为 143 m/s。在基频中，弦上容纳半个波长：
${\lambda }_1=2L=2\cdot 0.65=1.30\mathrm{m}$
$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{143}{1.30}=110\mathrm{Hz}$
于是 $f_2=220\mathrm{Hz}$，$f_3=330\mathrm{Hz}$，即弦旁的紫色标签；110 Hz 是吉他第五弦的 A 音。实际周期 $1/110\mathrm{s}\approx 9.1\mathrm{ms}$ 太短，无法看清，因此动画将其放慢到 2 s，即慢了 220 倍。

在第三根弦上 ${\lambda }_3=2L/3\approx 0.433\mathrm{m}$，因此相邻节点相距 ${\lambda }_3/2\approx 0.217\mathrm{m}$，每个波腹距相邻节点 ${\lambda }_3/4\approx 0.108\mathrm{m}$：弦下方的字母 N A N A N A N 即标出这一间距，包括两端在内共四个节点、三个波腹。

若要在相同长度下把基频提高一个八度到 220 Hz，$v$ 必须加倍到 286 m/s；由于 $v$ 与 $\sqrt{F}$ 成正比，张力必须乘以四，而不是二。

例题：调小提琴弦

小提琴的 A 弦在 0.325 m 的长度上振动，线密度为 0.60 g/m，即 $6.0\times 10^{-4}kg/m$。要把它调到 440 Hz，需要多大的张力？先求波速：
$v=2L{f}_1=2\cdot 0.325\cdot 440=286m/s$
$F=\mu v^2=6.0\times 10^{-4}\cdot 286^2\approx 49\mathrm{N}$
这大约相当于一个 5 kg 物体的重量；若把 $\mu$ 直接用 g/m 代入，得到的张力会大一千倍。

若弦松弛到 436 Hz，张力必须增大为原来的 $(440/436{)}^2\approx 1.018$ 倍，即增加不到 2%，约 0.9 N，因为 $f_1$ 与 $\sqrt{F}$ 成正比。要拉出 494 Hz 的 B 音，小提琴手则改为缩短弦长至 $L^{\prime }=v/(2f)=286/988\approx 0.289\mathrm{m}$：手指需从琴枕处向下移动约 3.5 cm。

读懂图样：环、相位与管

要读懂驻波图，先数环：共有 $n$ 个环，每个长 $\lambda /2$，包括两端在内共有 $n+1$ 个节点。同一环内的点同步运动；相邻的环相差半个周期。每个周期中，整根弦两次经过其平直位置，此时速度最快；在最大位移处则瞬间静止。

在管中，空气沿管长方向来回运动。封闭端使空气停止，是位移节点；开口端近似为位移波腹。两端开口的管与弦具有相同的频率序列，$f_n=nv/(2L)$。一端封闭的管则容纳奇数个四分之一波长，因此 $f_n=nv/(4L)$，且只允许奇数 $n$。取声速为 343 m/s，0.65 m 长的管一端封闭时发出 132、396 和 660 Hz，两端开口时发出 264、528 和 792 Hz。

常见错误

• 驻波并非静止不动：除节点外，每个点都在以同一频率振动，动画中最低那根弦上为 330 Hz。
• 波长不等于弦长：在基频中，弦只容纳半个波长，因此 0.65 m 的弦 ${\lambda }_1=1.30\mathrm{m}$。
• 节点相距半个波长，而非一个整波长：若 $\lambda =0.8\mathrm{m}$，它们相距 0.4 m，且节点距最近的波腹 0.2 m。
• 张力加倍并不使音调加倍：由于 $f$ 与 $\sqrt{F}$ 成正比，110 Hz 的弦只会升到约 156 Hz。
• 谐波不是同一音符的更响版本，而是不同的频率，此处为 110、220 和 330 Hz；拨弦所激发的混合比例决定了每种乐器的音色。

它在哪里出现

每一件弦乐器都是一组驻波：琴品改变 $L$，弦轴改变 $F$，低音弦外缠金属丝以增加质量。小提琴手若在弦的中点轻触，便在那里强制形成节点：基频及奇次谐波需要中央运动，因而消失，音高跳高一个八度。长笛、单簧管和风琴管内都有声音驻波。微波炉中的热点相距半个波长，约 6 cm。

以固有频率驱动一个系统会积累出很大的振幅，即《阻尼与共振》中的共振。驻波是《干涉与叠加》的一个特例，管乐器利用《声音与多普勒效应》中的声速，而沿轨道绕行恰好容纳整数个波长的思路，又在《原子模型：玻尔原子》中用于描述电子。

高级

弦上的两列行波

本课解释为什么两端固定的弦只会以某些特定频率振动。出发点是最简单的问题：单个波如何沿绷紧的弦移动？

设 $y(x,t)$ 为时刻 $t$ 位于 $x$ 处的弦上一点的横向位移。对于小斜率，张力为 $F$、每米质量为 $\mu$ 的弦服从波动方程
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$
其中 $v^2=F/\mu$，$v$ 为波速。其通解是任意向右传播的形状与任意向左传播的形状之和：
$y(x,t)=u(x-vt)+q(x+vt)$
只要 $x-vt$ 保持不变，$u$ 的值就保持不变，因此形状 $u$ 以速度 $v$ 向 $x$ 增大的方向滑动，且形状不变；$q$ 则向相反方向滑动。弦的一端将这两列波联系在一起，驻波就由此而来。

夹紧端的反射

当脉冲到达一个不能移动的点时会发生什么？答案是一个倒置的回波，它正是每一个驻波的前半部分。

图例

$q(x+vt)$	射向墙壁的入射脉冲。当它位于墙后、离开弦时以虚线表示。	$\mathrm{m}$
$q(vt-x)$	其孪生波 $-q(vt-x)$：脉冲关于墙面成镜像并倒置。它远离墙壁运动，位于墙后时以虚线表示。	$\mathrm{m}$
$v$	脉冲及其孪生波的速度。	$m/s$
$x$	沿弦的位置，从墙壁起算。	$\mathrm{m}$
$t_1$	脉冲到达墙壁之前的某一时刻（上图）。	$\mathrm{s}$
$t_2$	较晚的时刻，脉冲与其孪生波已相互穿过之后（下图）。	$\mathrm{s}$

图 1 将弦夹紧于 $x=0$ 处；真实的弦是墙右侧的部分，即 $x>0$。脉冲 $q(x+vt)$ 从右侧向左传来。夹紧意味着每一时刻都有 $y(0,t)=0$。将 $x=0$ 代入通解，对每个 $t$ 都得到 $u(-vt)+q(vt)=0$。令 $s=-vt$，这表明对每个 $s$ 都有 $u(s)=-q(-s)$：返回的波完全由入射的波决定，于是
$y(x,t)=q(x+vt)-q(vt-x)$

请把第二项看作一幅图像。把 $q(x+vt)$ 中的 $x$ 换成 $-x$ 即得 $q(vt-x)$，也就是入射脉冲关于夹紧点的镜像；负号使其倒置。在图 1 的上图中，时刻 $t_1$ 的两个形状值得仔细观察。紫色脉冲 $q(x+vt)$ 位于真实的弦上，向左运动。它的金色虚线孪生波 $-q(vt-x)$ 在墙后的镜像位置向下悬挂，并向右运动。两者都以速度 $v$ 运动，因此同时到达墙处，并且在 $x=0$ 处每时每刻都相互抵消：夹紧点从不移动。

在下图中，较晚的时刻 $t_2$，两者已经相互穿过。实线金色孪生波现在是真实弦上唯一的形状，倒置并远离墙壁运动，而紫色原脉冲则以虚线形式继续前进，位于墙后没有弦的地方。结果是：在夹紧端，脉冲以倒置的形式返回，其形状和速度都不变。

自由端（例如沿光滑细杆滑动的小环）则表现不同。小环可以移动，但不受杆的横向力，因此弦必须与杆垂直相交：在 $x=0$ 处有 $\partial y/\partial x=0$。同样的推导给出 $u(s)=+q(-s)$，脉冲以正立的形式返回。

从两列行波到驻波

现在用正弦波代替单个脉冲。入射波与其反射波在整根弦上重叠，它们的和就是驻波。

取入射波 $A\sin (kx+\omega t)$，其振幅为 $A$，波长为 $\lambda$ 时波数 $k=2\pi /\lambda$，角频率 $\omega =vk$；它是 $q(x+vt)$ 形式的波。它的倒置镜像 $-q(vt-x)$ 为 $-A\sin (\omega t-kx)=A\sin (kx-\omega t)$。利用 $\sin a+\sin b=2\sin \frac{1}{2}(a+b)\cos \frac{1}{2}(a-b)$ 将两者相加，得到
$y(x,t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$

空间与时间已经分离：一个固定形状 $\sin kx$ 乘以所有点共享的同一个振荡 $\cos \omega t$。位于 $x$ 处的点以振幅 $2A|\sin kx|$ 按正弦规律上下运动。在 $\sin kx=0$ 之处，即 $kx=m\pi$（$m$ 为整数）时，弦从不移动：这些点是节点；由于 $k=2\pi /\lambda$，它们相距 $\lambda /2$。节点之间的正中间，即 $|\sin kx|=1$ 处，是波腹，以完整振幅 $2A$ 摆动。

由于 $\sin kx$ 在每个节点处变号，相邻的环总位于直线的两侧：它们以反相位摆动。所有点以同一频率、保持固定形状振荡的运动，称为简正模式。

动画在弦的第二模式 $n=2$ 上展示了这一点。虚线金色波 $A\sin (kx-\omega t)$ 向右运动，虚线紫色波向左运动，实线弦是它们的和。图像跟随 $x=L/4$ 处的红色波腹，此处 $\sin kx=1$：其运动是纯余弦 $2A\cos \omega t$，从虚线的 $+2A$ 处开始。

两端夹紧：只有某些波数被允许

第二个夹紧点把连续的一族可能的波变成一组分立的音。正是这一步赋予了弦音高。

上述驻波在 $x=0$ 处已有一个节点。在 $x=L$ 处的第二个夹紧点同样要求所有时刻都有 $y(L,t)=0$，因此 $\sin kL=0$，且 $kL$ 必须是 $\pi$ 的整数倍：
$k_n=\frac{n\pi }{L}$
其中 $n=1,2,3,\dots$ 为环的个数。换言之，两夹点之间必须恰好容纳整数个半波长，$L=n{\lambda }_n/2$。由于弦上每一列波都满足 $\omega =vk$，允许的角频率为 ${\omega }_n=n\pi v/L$，频率为
$f_n=\frac{nv}{2L}$
它们是最低频率即基频 $f_1=v/(2L)$ 的整数倍：这就是谐波列。

对于动画中的弦，$L=0.65\mathrm{m}$，$v=143m/s$，因此 $f_1=143/(2\cdot 0.65)=110\mathrm{Hz}$，$k_1=\pi /0.65\approx 4.83rad/m$，${\omega }_1=2\pi \cdot 110\approx 691rad/s$。只有一个夹紧点的弦接受任何 $k$：正是第二个边界使频谱变为离散的。

往返路径与谐波列

同样的频率无需任何正弦函数即可得出：追踪一个脉冲在两夹点之间来回反弹即可。这种观点说明了谐波为什么恰好是整数倍。

图例

$x$	沿弦的位置。	$\mathrm{m}$
$t$	时间，向上递增。	$\mathrm{s}$
$L$	两个夹点之间的距离。	$\mathrm{m}$
$x_0$	脉冲的起始位置，也是经过一次往返后它回到的位置。	$\mathrm{m}$
$v$	脉冲的速度；即每一段线的斜率。	$m/s$
$T_1$	一次往返的时间，$2L/v$。	$\mathrm{s}$

图 2 是一张时空图：横轴为位置 $x$，纵轴向上为时间 $t$，两条粗竖线即位于 $x=0$ 和 $x=L$ 的夹紧点，始终固定不动。以恒定速度运动的脉冲是一条倾斜直线，每次反弹则是一个拐角。沿蓝色路径从底部开始：脉冲在 $t=0$ 时离开 $x_0$，以速度 $v$ 向右运动；符号 $+$ 表示它是正立的。在 $x=L$ 处它反射并倒置（$-$），穿过整根弦向左运动，然后在 $x=0$ 处反射并再次正立（$+$）。两次反射意味着两次倒置，因此它以正立且向右运动的状态到达顶部的 $x_0$ 点，与出发时完全相同。

路径长度与脉冲从何处开始无关：$(L-x_0)+L+x_0=2L$。因此往返一次所需时间为
$T_1=\frac{2L}{v}=\frac{1.30}{143}\approx 9.09\mathrm{ms}$
这恰好是 110 Hz 的 $1/f_1$。任意形状的扰动都由各自完成这同一往返的部分组成，因此经过 $T_1$ 后，整根弦回到初始状态，运动以周期 $T_1$ 重复。周期为 $T_1$ 的运动只能包含那些在 $T_1$ 内恰好容纳整数个周期的频率：即 $1/T_1=110\mathrm{Hz}$ 的整数倍。谐波列就是以频谱形式写出的往返时间。

任何运动都是模式之和

真实的弦从来不会以单一纯模式开始振动。本节说明每种运动仍是模式的混合，以及如何求出这一混合。

波动方程是线性的：若两种运动都是解，则它们的和也是解。每个模式都是解，而所有模式合起来足以构成弦的任何运动：
$y(x,t)={\sum }_n{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\cos ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$
模式 $n$ 以其自身的振幅 $b_n$ 和相位 ${\phi }_n$ 参与其中。两者都由弦的初始形状和初速度决定，求出它们的方法称为傅里叶分析。

完成这一求解的工具是正交性：将两个不同模式的形状相乘并沿弦积分，结果为零。对于从静止释放、形状为 $y_0(x)$ 的弦，每个相位 ${\phi }_n$ 都为零，因为每个模式都必须从静止开始。将 $y_0(x)$ 乘以模式 $n$ 的形状并从 0 积分到 $L$。正交性消去了除模式 $n$ 自身之外的所有项，得到 $b_n$ 乘以 ${\int }_0^L{\sin }^2(n\pi x/L)dx=L/2$。因此
$b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L{y}_0(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

对称性不需要积分即可解决一种情形。在中央拨弦得到的形状关于 $x=L/2$ 对称，而所有偶数模式关于该点反对称：一半向上，另一半向下。对称形状与反对称形状的乘积积分为零，因此偶数系数消失，在中央拨弦的弦只发出奇次谐波。反过来，少数几个模式已能构成丰富的运动：仅前两个模式，相位差四分之一周期，相加即得到一个在两端之间来回移动的凸起；许多模式合在一起则能构成真实拨弦时的尖角。

正交性也分配了能量。弦的总能量是各模式能量之和，模式之间没有交叉项：
$E_n=\frac{1}{4}\mu L{\omega }_n^2{b}_n^2$
这是模式 $n$ 经过平衡位置瞬间的动能：每米为 $\frac{1}{2}\mu {\omega }_n^2{b}_n^2{\sin }^2(n\pi x/L)$，而 ${\sin }^2$ 沿弦平均为一半。从这个意义上讲，任何线性振动系统，从桥梁到分子，都是一组独立振子的集合，每个模式对应一个。

能量藏在哪里

驻波沿弦并不输运能量，但能量在其内部仍在不断移动。图 3 显示了能量储存的位置。

图例

$n$	模式编号。弦处于其第二模式 $n=2$，图中画出其两个极端形状。
$\lambda /2$	相邻节点（金色圆点）之间的距离：半个波长。	$\mathrm{m}$
$x$	沿弦的位置。	$\mathrm{m}$
$u_K$	每米动能：一个周期内它在每一点达到的最大值。	$J/m$
$u_E$	每米弹性（拉伸）能：一个周期内它在每一点达到的最大值。	$J/m$

图 3 显示 $n=2$ 的弦处于其两个极端形状，金色圆点为节点，相距 $\lambda /2$。其下方的两条曲线显示每米能量如何沿 $x$ 分布。每条曲线都是一个周期内该能量在每一点所达到的最大值；两个最大值出现在不同的时刻。

每米动能为 $u_K=\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$。由于 $\partial y/\partial t=-2A\omega \sin kx\sin \omega t$，它随 ${\sin }^{2}kx{\sin }^2\omega t$ 变化。其最大值即实线紫色曲线，在波腹处达到峰值（弦在此运动最快），在从不移动的节点处为零。它在弦经过平直位置的时刻达到。

通过拉伸弦而储存的每米弹性能为 $u_E=\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$。由于 $\partial y/\partial x=2Ak\cos kx\cos \omega t$，它随 ${\cos }^{2}kx{\cos }^2\omega t$ 变化。其最大值即虚线绿色曲线，在节点处达到峰值（弦在此倾斜最大），并在位移最大的时刻达到。两条曲线达到相同的高度 $2\mu A^2{\omega }^2$，因为 $F{k}^2=\mu {\omega }^2$（由 $v^2=F/\mu$ 和 $\omega =vk$ 得出）。因此在每个周期中，能量在节点附近的弹性能与波腹附近的动能之间来回晃动。

为什么这些能量都不沿弦传播？每个行波分量携带平均功率 $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$，但在驻波中两者方向相反，因此净流动为零。逐时刻看，通过某一点的功率等于左侧弦施加的横向力 $-F\partial y/\partial x$ 乘以该点的速度 $\partial y/\partial t$：
$P=-F\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}=Fk\omega A^2\sin 2kx\sin 2\omega t$
因子 $\sin 2kx$ 在任何时刻、每个节点和每个波腹处都为零。能量从不穿过这些点：它在每个四分之一波长内来回摆动，频率为运动频率的两倍。在动画的图像中，波腹以其最大速度 $2A\omega$ 经过零点；此时该区域的全部能量都是动能。

若以某个 $f_n$ 驱动弦，则每个周期输入的能量会累加，振幅随之增大，直至损耗与驱动平衡。这就是共振，其峰值的高度由《阻尼与共振》中出现的品质因数 $Q$ 决定。

超越理想的弦

整数个波长必须恰好容纳的规律，同样适用于其他边界条件、更硬的弦以及表面，只是会带来你能听出来的变化。

在 $x=0$ 处夹紧、在 $x=L$ 处自由的弦，要求自由端的斜率为零，即 $\cos kL=0$，因此 $kL=(m-\frac{1}{2})\pi$，其中 $m\ge 1$ 为整数。容纳的是奇数个四分之一波长，且 $f=(2m-1)v/(4L)$：只有最低频率 $v/(4L)$ 的奇数倍。这就是一端封闭的管。封闭端是位移节点，与夹紧端类似；开口端是压强节点，与自由端类似。开口端外侧的空气也参与振动，会使有效长度增加约管半径的 0.6 倍。

真实的弦还抵抗弯曲。这一额外的回复力随曲率增大得比张力更快，因此短波传播得更快，泛音会偏高：
$f_n\approx n{f}_1\sqrt{1+B{n}^2}$
其中刚度常数 $B$ 与金属丝直径的四次方成正比。对于中央 C 附近的钢琴弦，$B$ 的量级为 $4\times 10^{-4}$，因此对第十个模式，$\sqrt{1+0.04}\approx 1.02$：它比基频的十倍高出约 2%，调音师会将八度稍稍拉宽以与之匹配。

在二维中，波必须同时在两个方向上恰好容纳。边长为 $L_x$ 和 $L_y$ 的矩形膜的模式为 $f_{mn}=(v/2)\sqrt{(m/L_x{)}^2+(n/L_y{)}^2}$。圆形鼓面的模式约为其最低频率的 1.59、2.14 和 2.30 倍，而不是整数倍，这就是鼓的音高不如弦的音高那样确定的原因。

例题：拨动动画中的弦

本题将各部分综合起来：真实拨弦的傅里叶系数、它遗漏的谐波，以及每个谐波所占的能量份额。

图例

$y_0$	释放瞬间弦的形状：一个三角形。	$\mathrm{m}$
$H$	拨弦点处弦被拉开的距离。	$\mathrm{m}$
$d$	从左端到拨弦点的距离。	$\mathrm{m}$
$L$	弦的长度。	$\mathrm{m}$
$n$	模式编号：模式 $n$ 有 $n$ 个环。图中画出 $n=1$ 和 $n=5$ 时的 $\sin (n\pi x/L)$。

图 4 画出了放手瞬间的弦。这就是动画中的弦，$L=0.65\mathrm{m}$，$v=143m/s$，在距左端 $d=0.13\mathrm{m}$（即其长度的五分之一）处被拉开 $H=3\mathrm{mm}$，然后从静止释放。高度 $H$ 的绘制比实际大得多。哪些谐波会发声，能量又如何在它们之间分配？

初始形状 $y_0(x)$ 是蓝色三角形：两条直线从夹点连到 $x=d$ 处高度为 $H$ 的点。将其代入 $b_n$ 的公式，并对每一段直线积分，得到
$b_n=\frac{2H{L}^2}{{\pi }^2{n}^{2}d(L-d)}\sin \frac{n\pi d}{L}=\frac{25H}{2{\pi }^2{n}^2}\sin \frac{n\pi }{5}$
其中第二种形式利用了 $d=L/5$，因此 $d(L-d)=4L^2/25$。这给出 $b_1\approx 2.23\mathrm{mm}$，$b_2\approx 0.90\mathrm{mm}$ 和 $b_3\approx 0.40\mathrm{mm}$，分别对应 110、220 和 330 Hz。

下方的两幅图说明了为什么某些谐波缺失。沿过拨弦点 $x=d$ 的虚线竖线观察。模式 1 的形状 $\sin (\pi x/L)$ 在该处明显大于零，因此在 $d$ 处拉动会强烈激发模式 1。模式 5 的形状 $\sin (5\pi x/L)$ 恰好在该处穿过零点，因为 $d=L/5$。拨弦点是模式 5 的节点，即该模式从不运动的位置，因此在那里施加的任何拉力都无法启动它。对于在 $d$ 处有节点的每个模式，情况相同：当 $n=5,10,\dots$ 时 $\sin (n\pi /5)=0$，因此 550 Hz 和 1100 Hz 不会出现。

就能量而言，$E_n\propto {\omega }_n^2{b}_n^2$，其中 ${\omega }_n\propto n$，$b_n\propto \sin (n\pi d/L)/n^2$，因此 $E_n\propto {\sin }^2(n\pi d/L)/n^2$。将每一项除以所有模式的总和，基频获得 44% 的能量，二次谐波获得 29%，三次谐波获得 13%。若在中央拨弦，同一根弦会把 81% 的能量给基频，9% 给三次谐波，而偶次谐波则一无所得。在靠近端部的位置拨弦会激发更多高次谐波，这就是为什么吉他在靠近琴马处的声音明亮而单薄，而在音孔上方则圆润饱满。

适用范围的限制

理想的弦只是一个模型。了解它在何处不再适用，才能知道上述结果何时可以信赖。

该模型假定斜率很小，因此弦几乎不被拉长，其张力仍等于 $F$。这里最陡的斜率为 $H/d=3/130\approx 0.023$，完全在此范围之内。用力拨弦确实会拉长弦，因此音符一开始会略微偏高，随着衰减而逐渐稳定。

两端也并非完全刚性，而且它们也不应当是刚性的：单独的弦几乎推不动空气，乐器之所以能发声，是因为琴马会运动并把振动传给琴体。这种泄漏，连同空气阻力与内摩擦，会使各模式衰减，高次模式衰减最快。若基频的振幅在 $\tau \approx 3\mathrm{s}$ 内降至原来的 e 分之一，则其品质因数为 $Q=\pi f_1\tau =\pi \cdot 110\cdot 3\approx 1000$。

弦由间距约 0.3 nm 的原子组成，因此连续波动方程仅对远大于该间距的波长成立。由 $N$ 个原子组成的链恰好有 $N$ 个模式，最短波长为两个原子间距。在晶体中，这些模式的频率可达约 $10^{13}\mathrm{Hz}$，它们的量子称为声子，负责传递声音和热量。

这引向何方

只有能恰好容纳的波才能存续，这一思想远远超出了弦的范围。

两面镜子之间的光形成驻波，其频率间隔为 $c/(2L)$，其中 $c$ 为光速：对于 30 cm 长的激光腔，约为 500 MHz（见《电磁波》）。关于一般的波叠加，则引向下一课《干涉与叠加》。

最深远的回响出现在量子力学中：电子是一种波，其频率即能量，$E=hf$，其中 $h$ 为普朗克常量。被限制在长度为 $L$ 的盒子中的电子，同样必须恰好容纳整数个半波长，${\lambda }_n=2L/n$。它的动量为 $p=h/\lambda$，能量为 $p^2/(2m_e)$，其中 $m_e$ 为电子质量，因此
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m_e{L}^2}$
在 1 nm 的盒子中，$n=1$ 时约为 0.38 eV。能级随 $n^2$ 增长，而非随 $n$ 增长，因为对于物质波，频率与 $k^2$ 成正比，而在弦上则与 $k$ 成正比。绕轨道恰好容纳整数个波长，正是《原子模型：玻尔原子》背后的思想；盒子问题则在《薛定谔方程与隧穿效应》中得到严格求解，而《波粒二象性》解释了电子为何根本上是波。