Громкость, интенсивность звука и децибелы

Начальный

Поднесите баллончик с краской близко к стене — получится маленькое густое пятно. Отойдите вдвое дальше — та же краска ляжет пятном вдвое шире и вдвое выше, то есть вчетверо большей площади, и слой станет вчетверо тоньше. Звук от динамика расходится точно так же, во все стороны, как растущий пузырь. Синие кольца в анимации — это и есть такой пузырь; разрастаясь, они бледнеют.

Каждую секунду динамик испускает одну и ту же звуковую энергию. Интенсивность — это то, сколько её каждую секунду приходится на один квадратный метр; измеряют её в ваттах на квадратный метр. Посмотрите на золотые квадраты: звук, прошедший через один квадрат возле динамика, вдвое дальше делится между четырьмя такими же квадратами, и каждому достаётся лишь четверть.

Наш слух охватывает огромный диапазон: от самого слабого различимого звука до шума в триллион раз интенсивнее. Чтобы числа оставались удобными, пользуются децибелами (дБ) — они показаны на шкале: каждые 10 дБ означают вдесятеро большую интенсивность. Так, 60 дБ в сто раз интенсивнее 40 дБ. Если отойти вдвое дальше, уровень упадёт примерно на 6 дБ.

Ощущение громкости скромнее цифр: чтобы звук казался вдвое громче, нужна примерно вдесятеро большая интенсивность, то есть на 10 дБ больше. И громкость — это не высота: высокий или низкий звук, зависит от частоты, поэтому тихий свист может быть высоким, а громкий барабан — низким.

Берегите слух: если часами слушать звук громче примерно 85 дБ, его можно повредить навсегда.

Проверьте себя: радио играет на 70 дБ, другой звук — 90 дБ. Во сколько раз он интенсивнее? (В 100 раз: две ступени по 10 дБ.)

Средний

Интенсивность: мощность на каждый квадратный метр

Звуковая (акустическая) мощность $P$ источника — это энергия звука, которую он излучает за каждую секунду, в ваттах. Звук несёт немного энергии: обычный громкоговоритель превращает в звук лишь 1 % электрической мощности или меньше, а динамик в анимации излучает всего $P=10\mathrm{мВт}$.

Ухо улавливает только ту долю этой мощности, которая падает на его небольшую площадь. Интенсивность — это мощность, проходящая через каждый квадратный метр поверхности, обращённой к звуку:
$I=\frac{P}{A}$

Её измеряют в Вт/м², и она характеризует звук в данном месте, а не источник. Не путайте интенсивность с громкостью (насколько сильным звук кажется слушателю) и с высотой (высокий звук или низкий): высота определяется главным образом частотой.

Закон обратных квадратов

Представьте небольшой источник, который излучает звук одинаково во все стороны. На расстоянии $r$ энергия, излучаемая им за секунду, распределена по сфере площадью $4\pi r^2$, поэтому интенсивность точечного источника равна
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

При удвоении расстояния площадь сферы возрастает вчетверо, и интенсивность падает до четверти; при утроении расстояния она уменьшается в 9 раз. Если сравнивать два расстояния, $P$ и $4\pi$ сокращаются:
$\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2$

Золотая пирамида в анимации показывает эту геометрию. Лучи, проведённые через углы одного квадрата на расстоянии $r=2\mathrm{м}$, на расстоянии 4 м ограничивают квадрат вдвое шире и вдвое выше: четыре одинаковых квадрата с подписью $I/4$. Энергия, прошедшая через один квадрат, делится между четырьмя: она не теряется, а лишь распределяется тоньше.

Шкала децибел

Ухо справляется с огромным диапазоном: от примерно $10^{-12}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ — самого слабого тона частотой 1 кГц, который слышит молодой человек, — до примерно 10 Вт/м², когда звук становится болезненным. Вместо чисел, разбросанных по тринадцати порядкам, мы считаем сами порядки. Уровень интенсивности звука равен
$\beta =10\lg \frac{I}{I_0},I_0=10^{-12}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
и выражается в децибелах (дБ). Рост интенсивности в 10 раз добавляет 10 дБ, в 100 раз — 20 дБ; так как $\lg 2=0,301$, удвоение добавляет 3,0 дБ, а учетверение — 6,0 дБ.

Отсюда два рабочих правила. Так как $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, логарифм превращает квадрат в множитель 2, а $10\cdot 2=20$: уровень падает на 20 дБ при десятикратном увеличении расстояния и на 6 дБ при его удвоении. А поскольку независимые источники складывают интенсивности, $N$ одинаковых источников повышают уровень на $10\lg N$:

• ${\beta }_2={\beta }_1-20\lg \left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
• ${\beta }_N={\beta }_1+10\lg N\text{(}N\text{ одинаковых некогерентных источников)}$

Пример: шумомер из анимации

Динамик излучает $P=10\mathrm{мВт}=0,010\mathrm{Вт}$. Для ближнего слушателя, на расстоянии $r=2\mathrm{м}$:
$A=4\pi r^2=4\pi \cdot 2^2=50,3{\mathrm{м}}^2$
$I=\frac{0,010\mathrm{Вт}}{50,3{\mathrm{м}}^2}=1,99\times 10^{-4}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
значит, $I/I_0=1,99\times 10^8$ и
$\beta =10\lg \left(1,99\times 10^8\right)=10\cdot 8,30=83,0\mathrm{дБ}$

Дальний слушатель, на расстоянии 4 м, получает четверть этой интенсивности, $4,97\times 10^{-5}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$, при уровне $83,0-20\lg 2=77,0\mathrm{дБ}$. Именно эти значения $I$ и $\beta$ показывают индикаторы, когда красный шумомер проходит те расстояния, на которых стоят слушатели: около 199 мкВт/м² и 83,0 дБ, затем 49,7 мкВт/м² и 77,0 дБ.

Шумомер стартует на расстоянии 1 м (795,8 мкВт/м², 89,0 дБ) и заканчивает на 8 м (12,4 мкВт/м², 70,9 дБ). Расстояние шумомера от динамика удваивается каждые 2 с, поэтому каждый шаг делит интенсивность на 4 и снижает уровень на те же 6,0 дБ, а указатель скользит по шкале равными шагами. За весь путь интенсивность уменьшается в 64 раза, а уровень падает всего на 18 дБ.

Пример: безопасное расстояние от отбойного молотка

Пневматический отбойный молоток создаёт на расстоянии 2 м уровень 100 дБ. Как далеко нужно отойти, чтобы уровень упал до 85 дБ — отметки риска для слуха на шкале? На расстоянии 2 м $I=I_0\cdot 10^{100/10}=0,01\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$; если бы молоток излучал одинаково во все стороны, его звуковая мощность составила бы $P=4\pi \cdot 2^2\cdot 0,01\approx 0,50\mathrm{Вт}$. Уровень должен снизиться на 15 дБ, поэтому
$20\lg \left(\frac{r}{2\mathrm{м}}\right)=15$
$r=2\mathrm{м}\cdot 10^{15/20}=2\mathrm{м}\cdot 10^{0,75}=11,2\mathrm{м}$

Второй такой же молоток повышает уровень на расстоянии 2 м до $100+10\lg 2=103,0\mathrm{дБ}$, а расстояние, где уровень равен 85 дБ, вырастает до $2\cdot 10^{18/20}=15,9\mathrm{м}$: в $\sqrt{2}$ раз дальше, а не вдвое. Твёрдая земля добавляет примерно те же 3 дБ на любом расстоянии: она вдвое уменьшает оценку мощности, но не меняет эти расстояния.

Распространённая производственная норма допускает 8 часов в день при 85 дБ и сокращает время вдвое на каждые лишние 3 дБ. Рабочий в 2 м от одного молотка находится на 15 дБ выше этого уровня, то есть на пять удвоений, поэтому предельное время равно $8\mathrm{ч}/2^5=15\mathrm{мин}$.

Как читать шкалу децибел

Шкала рядом с динамиком — это линейка в децибелах, поэтому равные отрезки на ней отвечают равным отношениям интенсивностей: от шёпота в 30 дБ до разговора в 60 дБ интенсивность растёт в 1000 раз, а от 0 дБ до болевого порога в 130 дБ — в $10^{13}$ раз. Цветная полоса зелёная до 70 дБ, золотая до 85 дБ и красная выше, где долгое воздействие вредит слуху. Указатель начинает в красной зоне, на 89,0 дБ, пересекает 85 дБ, когда шумомер находится примерно в 1,6 м от динамика, и заканчивает на 70,9 дБ, чуть выше зелёной зоны.

Громкость растёт гораздо медленнее интенсивности. Чтобы звук казался вдвое громче, его уровень должен вырасти примерно на 10 дБ, то есть интенсивность — в десять раз. Поэтому рок-концерт в 110 дБ, на 50 дБ выше разговора, имеет интенсивность в $10^5$ раз больше, но кажется лишь примерно в $2^5=32$ раза громче.

Частые ошибки

• Децибелы не складываются. Два одинаковых независимых станка по 80 дБ дают 83 дБ, а не 160 дБ: складываются интенсивности, а удвоение интенсивности добавляет 3 дБ. Чтобы получить 86 дБ, нужны четыре станка.
• Удвоение расстояния не уменьшает интенсивность вдвое, а делит её на четыре, то есть снижает уровень на 6 дБ; всего по 3 дБ на удвоение теряет лишь длинная цепочка источников, например оживлённая дорога.
• 0 дБ — это не тишина, а опорная интенсивность $I_0$, примерно самый слабый звук, который различает молодое ухо; звуки слабее имеют отрицательные уровни, а $10^{-13}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ — это −10 дБ.
• Вчетверо большая интенсивность не звучит вчетверо громче: 6 дБ, выигранные при сокращении расстояния вдвое, дают лишь примерно в 1,5 раза большую громкость, потому что громкость удваивается примерно каждые 10 дБ.
• Мелкие промахи стоят целых множителей: деление на $r^2$ вместо $4\pi r^2$ завышает интенсивность в 12,6 раза, а если забыть $I_0$ или множитель 10, то 70 дБ — уровень интенсивности $10^{-5}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ — превращаются в −50 дБ или в 7 дБ.

Где это встречается

Нормы шума на рабочих местах и около аэропортов, заявленное заглушение противошумных наушников (хорошие наушники снижают уровень на 20–30 дБ, то есть интенсивность в 100–1000 раз) и шумовые карты городов — всё это опирается на эти правила. Децибел применяют везде, где отношения охватывают много порядков: усиление сигнала в усилителях, потери света в оптических волокнах, уровень сигнала мобильных телефонов.

Закон обратных квадратов присущ не одному лишь звуку: свет, тяготение и электрическое поле точечного заряда тоже расходятся по сферам, как показывают уроки «Тяготение и орбиты», «Закон Кулона» и «Электромагнитные волны». Когерентные источники, которые складывают амплитуды, а не интенсивности, ведут к уроку «Интерференция и суперпозиция волн», а звук, заключённый между стенами, — к уроку «Стоячие волны».

Продвинутый

Что измеряет интенсивность

Интенсивность показывает, сколько звуковой энергии проходит через поверхность: это мощность, пересекающая каждый квадратный метр, поставленный перпендикулярно потоку, в ваттах на квадратный метр. Именно на неё откликается микрофон или барабанная перепонка, и одного закона сохранения энергии достаточно, чтобы установить, как она меняется с расстоянием.

Откуда берётся этот поток? В звуковой волне давление воздуха поднимается и опускается на небольшое избыточное давление $p$ относительно обычного значения, а сам воздух движется туда и обратно со скоростью $u$. Давление толкает движущийся перед ним воздух и потому совершает работу: мощность на квадратный метр равна $pu$ — сила на единицу площади, умноженная на скорость, акустическая форма произведения силы на скорость. Это произведение колеблется вместе с волной, поэтому интенсивность $\vec{I}$ определяют как его среднее за период. Это вектор, направленный туда, куда течёт энергия.

Теперь окружите источник любой замкнутой поверхностью и разрежьте её на маленькие площадки. Изобразите каждую площадку вектором $d\vec{A}$, длина которого равна площади площадки и который направлен наружу. Энергию через площадку переносит только та часть потока, которая её пересекает, поэтому мощность, уходящая через одну площадку, равна $\vec{I}\cdot d\vec{A}$. Если источник работает в установившемся режиме и ничто не поглощает звук, энергия не может накапливаться внутри, и вся мощность источника $P$ должна уходить через поверхность (интеграл с кружком означает сумму по всей замкнутой поверхности):
$\oint \vec{I}\cdot d\vec{A}=P$

Расхождение в конусе: закон обратных квадратов

Проще всего понять, что это уравнение говорит о расстоянии, если проследить за одним узким пучком потока.

Обозначения

$\Delta P$	Мощность, которую несёт конус: доля мощности источника, проходящая через каждую площадку.	$\mathrm{Вт}$
$r_1$	Расстояние от источника до первой площадки.	$\mathrm{м}$
$r_2$	Расстояние от источника до второй площадки, вдвое больше $r_1$.	$\mathrm{м}$
$A_1$	Площадь первой площадки, обращённой к источнику.	${\mathrm{м}}^2$
$A_2$	Площадь второй площадки: вчетверо больше $A_1$, по одному лучу в каждой из четырёх клеток.	${\mathrm{м}}^2$
$I_1$	Интенсивность на первой площадке: мощность на квадратный метр в этом месте, $\Delta P/A_1$.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$I_2$	Интенсивность на второй площадке, $\Delta P/A_2$.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

Рисунок 1 прослеживает энергию внутри одного узкого конуса с вершиной в источнике. Четыре его луча изображают мощность $\Delta P$, которую несёт конус. Они пересекают квадратную площадку площадью $A_1$ на расстоянии $r_1$, а затем вторую площадку площадью $A_2$ на расстоянии $r_2=2r_1$; обе площадки обращены к источнику. Рёбра конуса — прямые, выходящие из его вершины, поэтому каждая сторона квадрата растёт пропорционально расстоянию: на вдвое большем расстоянии площадка вдвое шире и вдвое выше, и $A_2=4A_1$. Пересекающиеся линии делят $A_2$ на четыре клетки, каждая размером с $A_1$.

Теперь посмотрите на точки, где проходят лучи. На $A_1$ все четыре луча проходят через площадь одной клетки; на $A_2$ в каждой клетке по одному лучу. Та же мощность распределена по вчетверо большей площади, поэтому мощность на квадратный метр уменьшилась вчетверо: $I_2=I_1/4$. В символах: между площадками ничего не теряется, поэтому $I_1{A}_1=I_2{A}_2=\Delta P$. Вдоль конуса сечение растёт как $r^2$, поэтому интенсивность убывает как $1/r^2$, а конус несёт одну и ту же мощность на любом расстоянии.

Заполните такими конусами все направления. Для источника, излучающего одинаково во все стороны, на сфере радиуса $r$ с центром в нём вектор $\vec{I}$ направлен прямо наружу и везде имеет одну и ту же величину $I$. Тогда каждая площадка пропускает $IdA$, а в сумме площадки дают площадь сферы $4\pi r^2$. Уравнение для замкнутой поверхности превращается в $4\pi r^{2}I=P$ — это и есть закон обратных квадратов:
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$
Контрольное показание над первым графиком экспертного слоя демонстрирует это для динамика мощностью 10 мВт из анимации: от 1 до 8 м величина $I$ круто падает с 796 до 12,4 мкВт/м², а $4\pi r^{2}I$ остаётся равным 10,0 мВт.

Почему амплитуда убывает как 1/r

Закон обратных квадратов говорит об энергии. Что происходит с самой волной — с колебаниями давления, которые записывает микрофон? Они тоже должны ослабевать; вопрос в том, насколько быстро.

Обозначения

$p$	Избыточное давление звуковой волны в показанный момент.	$\mathrm{Па}$
$r$	Расстояние от источника вдоль луча.	$\mathrm{м}$
$p_1$	Высота гребня в точке $r_1$: амплитуда давления в этом месте.	$\mathrm{Па}$
$p_2$	Высота гребня в точке $r_2$: половина $p_1$.	$\mathrm{Па}$
$r_1$	Расстояние от источника до первого отмеченного гребня.	$\mathrm{м}$
$r_2$	Расстояние до второго отмеченного гребня, вдвое больше $r_1$.	$\mathrm{м}$
$\lambda$	Длина волны: расстояние между соседними гребнями, одинаковое при любом $r$.	$\mathrm{м}$
$C/r$	Огибающая волны, где $C$ — постоянная, заданная источником: гребни касаются $+C/r$, впадины — $-C/r$.	$\mathrm{Па}$

Рисунок 2 — мгновенный снимок избыточного давления $p$ вдоль одного луча, выходящего из динамика в точке $r=0$. Сначала посмотрите на расстояния между гребнями: соседние гребни всегда отстоят друг от друга на длину волны $\lambda$, поэтому расстояние не меняет высоту тона. Затем посмотрите на высоту гребней. Гребень в точке $r_1$ достигает $p_1$, а гребень в точке $r_2=2r_1$ — только $p_2=p_1/2$. Каждый гребень касается штриховой кривой $+C/r$, а каждая впадина — кривой $-C/r$, где $C$ — постоянная, зависящая от мощности источника. Вдвое дальше — вдвое меньше амплитуда: амплитуда давления меняется как $1/r$.

Волновое уравнение это подтверждает. Пусть $c$ — скорость звука. Когда точечный источник излучает звук одинаково во все стороны, $p$ зависит только от расстояния $r$ и времени $t$. В этом случае трёхмерное волновое уравнение можно точно переписать как одномерное волновое уравнение для произведения $rp$:
$\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial r^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial t^2}$
Это уравнение волны на струне, решения которого — формы, бегущие со скоростью $c$ без изменения. Решение, уходящее от источника, имеет вид $rp=f(t-r/c)$ с произвольной функцией $f$: всё, что источник делает в данный момент, повторяется на расстоянии $r$ спустя время $r/c$. Разделив на $r$, получаем
$p(r,t)=\frac{f(t-r/c)}{r}$

Сравните это с рисунком 2: функция $f$ рисует колебания, а делитель $r$ — их огибающую $\pm C/r$. Поэтому же в анимации волновые фронты по мере роста становятся тоньше и бледнее.

Почему амплитуда, убывающая как $1/r$, означает интенсивность, убывающую как $1/r^2$? Подумайте о том, что принимает звук: о барабанной перепонке или мембране микрофона. Такой приёмник линеен: при возбуждении на заданной частоте он движется со скоростью, пропорциональной действующей на него силе. Поглощаемая им мощность равна силе, умноженной на скорость, поэтому она пропорциональна квадрату амплитуды. Амплитуда как $1/r$ и мощность как квадрат амплитуды дают интенсивность как $1/r^2$. Сохранение энергии и волновое уравнение согласуются, и те же два факта верны для электрического поля света.

Давление и интенсивность в плоской волне

Чтобы перевести показание давления в интенсивность, нужна скорость воздуха $u$, соответствующая данному $p$. Вдали от источника небольшой участок сферической волны практически плоский: это плоская волна, бегущая вдоль оси $x$. Второй закон Ньютона для тонкого слоя воздуха плотностью $\rho$ гласит, что масса единицы объёма, умноженная на ускорение, равна результирующей силе давления, которая возникает потому, что на одну грань слоя давление больше, чем на другую:
$\rho \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}$
Для волны, бегущей в сторону $+x$, $p=F(t-x/c)$ с некоторой функцией $F$, поэтому правая часть равна $F^{\prime }/c$. Интегрируя по времени, получаем
$u=\frac{p}{\rho c}$
Воздух движется точно в фазе с давлением: где давление высокое, воздух устремляется вперёд. Мощность на квадратный метр $pu$ тогда равна $p^2/(\rho c)$. Для синусоидальной волны с амплитудой $p_0$ среднее значение $p^2$ за период равно $p_0^2/2$, поэтому
$I=\frac{p_0^2}{2\rho c}$
Произведение $\rho c$ — акустическое сопротивление (импеданс) среды: оно показывает, какое давление нужно, чтобы заставить воздух двигаться с данной скоростью. Для воздуха при 20 °C $\rho c\approx 413\mathrm{кг}/({\mathrm{м}}^2\mathrm{с})$.

Каковы эти величины на деле? У ближнего слушателя в анимации, в 2 м от источника, $I=1,99\times 10^{-4}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$. Тогда $p_0=\sqrt{2\cdot 413\cdot 1,99\times 10^{-4}}\approx 0,41\mathrm{Па}$, а амплитуда скорости воздуха $p_0/(\rho c)$ составляет около 1 мм/с. Разделив амплитуду скорости на $2\pi$, умноженное на частоту, получаем смещение: на частоте 1 кГц воздух колеблется лишь на 0,16 мкм в обе стороны, а на пороге слышимости — примерно на $10^{-11}\mathrm{м}$, то есть на десятую часть диаметра атома.

Две шкалы децибел

Слух охватывает около тринадцати порядков интенсивности, поэтому уровни выражают в логарифмической шкале. Уровень интенсивности звука равен $\beta =10\lg (I/I_0)$, где $I_0=10^{-12}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ — примерно самый тихий звук частотой 1 кГц, который слышит молодое ухо. Каждое увеличение интенсивности в десять раз добавляет 10 дБ: $1,99\times 10^{-4}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ у ближнего слушателя — это 83,0 дБ.

Однако шумомер чувствует давление, а не интенсивность. Он показывает уровень звукового давления $L_p=20\lg (p_{\mathrm{эфф}}/p_{\mathrm{оп}})$, где $p_{\mathrm{эфф}}=p_0/\sqrt{2}$ — эффективное (среднеквадратичное) давление, а $p_{\mathrm{оп}}=20\mathrm{мкПа}$. Множитель равен 20, а не 10, потому что интенсивность пропорциональна квадрату давления, а $20\lg$ отношения равен $10\lg$ его квадрата. Поскольку $I=p_{\mathrm{эфф}}^2/(\rho c)$, две шкалы различаются лишь на постоянную: в воздухе $L_p-\beta =10\lg (\rho c{I}_0/p_{\mathrm{оп}}^2)\approx 0,14\mathrm{дБ}$, так что на практике они взаимозаменяемы — 83,0 дБ ближнего слушателя шумомер покажет как 83,1 дБ.

Давления здесь крошечные. Разговор громкостью 60 дБ даёт $p_{\mathrm{эфф}}=0,02\mathrm{Па}$ — две десятимиллионные доли атмосферы, а болезненные 120 дБ — всего 20 Па. Именно эта малость делает волновое уравнение линейным с превосходной точностью, а линейность позволяет волнам нескольких источников просто складываться, чем пользуется один из следующих разделов.

Прямые на логарифмических осях

Логарифмы не только сжимают огромный диапазон: они превращают степенные законы в прямые. Для двух расстояний от точечного источника $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, и, взяв $10\lg$ от обеих частей, получаем
${\beta }_2={\beta }_1-20\lg \left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
Поэтому в зависимости от $\lg r$ уровень падает по прямой: на 20 дБ при каждом увеличении расстояния в десять раз (на декаду) и на $20\lg 2=6,02$ дБ при каждом удвоении.

Два графика экспертного слоя показывают оба вида. На первом $I(r)$ падает с 796 мкВт/м² на 1 м до 199 на 2 м, а потом медленно ползёт к 12,4 мкВт/м² на 8 м — на такой кривой равные отношения трудно разглядеть. На втором, построенном в зависимости от $\lg r$, расстояния 1, 2, 4 и 8 м расположены через равные промежутки, а уровень идёт вниз по прямой через 89,0; 83,0; 77,0 и 70,9 дБ. Шумомер, расстояние которого удваивается каждые 2 с, движется по этой прямой равномерно.

Наклон измеряет показатель степени. Любой степенной закон $I\propto r^{-n}$ на таких осях даёт прямую с наклоном $-10n$ дБ на декаду: −20 для точечного источника, −10 для длинного линейного источника (задача ниже), 0 для плоской волны или для звука, направляемого трубой. Так проверяют безэховые камеры, стены которых поглощают почти весь звук: там, где измеренный уровень отклоняется от прямой −20 дБ на декаду, к нему добавляются отражения.

Сложение источников: решает фаза

Когда два источника звучат вместе, уровни в децибелах не складываются: два станка по 80 дБ не дают 160 дБ. Поскольку волны малы, они накладываются, и в каждый момент их давления складываются: $p=p_1+p_2$. Интенсивность определяется средним квадратом давления; обозначив чертой среднее по времени, получаем
$\overline{p^2}=\overline{p_1^2}+\overline{p_2^2}+2\overline{p_1{p}_2}$
Первые два члена — собственные вклады двух источников. Последний, перекрёстный член, зависит от того, как согласованы по фазе две волны, и именно он определяет результат.

Обозначения

$p_1$	Амплитуда давления первой волны у слушателя: длина её стрелки.	$\mathrm{Па}$
$p_2$	Амплитуда давления второй волны, здесь равная $p_1$; её направление показывает фазу относительно первой волны.	$\mathrm{Па}$
$p$	Амплитуда результирующей волны: сумма стрелок $p_1+p_2$.	$\mathrm{Па}$
$\phi$	Разность фаз: угол, на который $p_2$ повёрнута относительно направления $p_1$; $0$ — волны в фазе, $\pi$ — сдвиг на полпериода.	$\mathrm{рад}$

Рисунок 3 показывает сложение у одного слушателя для двух синусоидальных волн одной частоты. Отсюда и далее $p_1$, $p_2$ и $p$ обозначают амплитуды. Каждая волна изображена стрелкой, длина которой равна её амплитуде давления, а направление — её фазе, то есть той точке цикла, до которой она дошла. Стрелка $p_1$ лежит вдоль горизонтальной оси. Стрелка $p_2$ начинается в её конце и повёрнута на разность фаз $\phi$ — угол, на который вторая волна опережает первую. Результирующая волна — стрелка $p$ от начала $p_1$ до конца $p_2$, замыкающая треугольник. Угол треугольника, лежащий против стороны $p$, равен $\pi -\phi$, поэтому теорема косинусов даёт
$p^2=p_1^2+p_2^2+2p_1{p}_2\cos \phi$
и последний член — это перекрёстный член среднего квадрата, записанный теперь через фазу. На рисунке источники одинаковы, $p_1=p_2$, поэтому при изменении $\phi$ конец $p$ обегает штриховую окружность с центром в конце $p_1$.

У независимых источников, например двух станков или двух голосов, нет постоянного соотношения фаз. Их разность фаз случайно блуждает, конец $p$ бродит по всей окружности, и $\cos \phi$ в среднем обращается в нуль. Перекрёстный член исчезает, и интенсивности просто складываются, так что $N$ одинаковых источников дают в $N$ раз большую интенсивность, чем один:
${\beta }_N={\beta }_1+10\lg N\text{(}N\text{ одинаковых некогерентных источников)}$

Два источника добавляют 3,0 дБ, десять — 10 дБ. Если источники неравны, преобладает более громкий: 80 дБ и 70 дБ — это $10^8$ и $10^7$ от $I_0$, поэтому вместе они дают $10\lg (10^8+10^7)=80,4\mathrm{дБ}$. Применённое в обратную сторону, это правило позволяет исключить из измерения фоновый шум: вычитать нужно интенсивности, а не децибелы.

Когерентные источники, например два динамика с одним и тем же тоном, сохраняют постоянную разность фаз, поэтому перекрёстный член не исчезает. Его величина зависит от того, где стоит слушатель, потому что $\phi$ зависит от разности длин двух путей. Там, где волны приходят в фазе, $\phi =0$ и конец $p$ находится в крайней правой точке окружности: стрелки выстраиваются в линию, $p=2p_1$, и интенсивность вчетверо больше, чем от одного источника, +6,0 дБ. Там, где они приходят со сдвигом в полпериода, $\phi =\pi$ и конец $p$ находится в крайней левой точке, вернувшись в начало $p_1$: волны гасят друг друга. В среднем по всей картине интенсивность всё равно вдвое больше, чем от одного источника. Интерференция перераспределяет энергию, но не создаёт её.

Задача: шум прямой дороги

Повседневный шум часто создаёт множество источников, выстроенных в ряд. Представим длинную прямую дорогу как ряд независимых источников, каждый из которых подобен динамику в анимации, $P=10\mathrm{мВт}$, по одному через каждые $d=20\mathrm{м}$. Что покажет шумомер на расстоянии $r=40\mathrm{м}$ от дороги и как быстро падает уровень, если отходить от неё?

Обозначения

$P$	Акустическая мощность каждого источника.	$\mathrm{Вт}$
$d$	Расстояние между соседними источниками.	$\mathrm{м}$
$M$	Шумомер.
$r$	Расстояние от шумомера до дороги, оно же расстояние до ближайшего источника.	$\mathrm{м}$
$x$	Положение источника вдоль дороги, отсчитанное от основания перпендикуляра, опущенного из $M$.	$\mathrm{м}$
$s$	Расстояние от этого источника до шумомера, $\sqrt{r^2+x^2}$.	$\mathrm{м}$
$dx$	Длина тонкого отрезка дороги; он содержит $dx/d$ источников.	$\mathrm{м}$

На рисунке 4 дорога показана сверху и нарисована при $r=2d$, как в числовом примере. Шумомер $M$ стоит на расстоянии $r$ от дороги, напротив ближайшего источника. Другой источник находится на расстоянии $x$ вдоль дороги, отсчитанном от основания перпендикуляра, опущенного из $M$. По теореме Пифагора он удалён от шумомера на $s=\sqrt{r^2+x^2}$, так что сам по себе создаёт там интенсивность $P/(4\pi s^2)$.

Источники независимы, поэтому, согласно предыдущему разделу, шумомер складывает их интенсивности. Вместо того чтобы складывать их по одному, распределим их равномерно вдоль дороги: отрезок длиной $dx$ содержит $dx/d$ источников. Суммирование по отрезкам вдоль всей дороги превращает сумму в интеграл. На промежуточном шаге используется
${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{r^2+x^2}=\frac{\pi }{r}$
а результат таков:
$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{P}{4\pi (r^2+x^2)}\frac{dx}{d}=\frac{P}{4\pi d}\cdot \frac{\pi }{r}=\frac{P}{4dr}$

На расстоянии 40 м $I=0,010/(4\cdot 20\cdot 40)=3,1\times 10^{-6}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$, поэтому $\beta =64,9\mathrm{дБ}$, тогда как один ближайший источник дал бы 57,0 дБ. На 80 м уровень равен 61,9 дБ, на 160 м — 58,9 дБ: по 3,0 дБ на удвоение, вдвое меньше, чем у точечного источника, потому что теперь $I\propto 1/r$. Причина видна в интеграле: половина звука приходит с участка дороги в пределах $r$ по обе стороны от ближайшей точки. Удвоение $r$ уменьшает вклад каждого источника вчетверо, но вдвое увеличивает число источников на этом участке, поэтому интенсивность уменьшается лишь вдвое.

Две проверки модели. Интеграл совпадает с точной суммой по отдельным источникам с точностью до 0,4 %, как только $r\ge d$; ближе преобладает ближайший источник, и дорога уже не выглядит непрерывной. А дорога конечной длины $L$ с расстояния, намного большего $L$, снова выглядит точечным источником, и уровень опять падает на 6 дБ на удвоение.

Более тонкий вопрос: соответствуют ли 64,9 дБ энергии, которая действительно проходит мимо шумомера? Проведите вокруг дороги цилиндр радиуса $r$. Волны от далёких источников пересекают его наклонно, и из цилиндра выходит только та часть их потока, которая направлена прямо наружу. Учёт только этой части даёт $P/(2\pi dr)$ на квадратный метр; умноженное на площадь цилиндра на метр дороги, $2\pi r$, это возвращает те самые $P/d$, которые излучает каждый метр дороги. Это $2/\pi$ от показания шумомера, примерно на 2 дБ меньше, потому что шумомер складывает интенсивности всех волн независимо от их направления. Значит, $p_0^2/(2\rho c)$ равно потоку энергии лишь для волны, бегущей в одну сторону.

Границы применимости

Закон обратных квадратов опирается на четыре предположения: малый источник, открытое пространство, неподвижный воздух без поглощения и малые амплитуды. Каждое из них где-нибудь нарушается.

Вблизи источника: в пределах примерно одной длины волны от реального источника (3,4 м при 100 Гц) или нескольких его размеров давление и скорость воздуха ещё не совпадают по фазе, как в плоской волне, а давление протяжённого источника ещё не убывает как $1/r$. Кроме того, реальные источники излучают направленно: громкоговоритель посылает волны короче своего диффузора в основном вперёд. Это описывает коэффициент направленности $Q$ в формуле $I=QP/(4\pi r^2)$; источник на твёрдой земле излучает только в полупространство, поэтому $Q=2$ (+3 дБ). Такие коэффициенты не зависят от расстояния, поэтому 6 дБ на удвоение сохраняются.

В помещении звук отражается от стен. За критическим расстоянием, на котором отражённый звук становится таким же сильным, как прямой (в жилой комнате нередко около метра), преобладают отражения, и удаление от источника почти не снижает уровень. На открытом воздухе поглощение сверх геометрического расхождения отнимает фиксированное число децибел на километр, и эти потери резко растут с частотой: при 20 °C и влажности 70 % около 0,3 дБ на километр на частоте 125 Гц, 5 дБ на 1 кГц и почти 80 дБ на 8 кГц, тогда как расхождение волны стоит 60 дБ на пути от 1 м до 1 км. Высокие звуки затухают первыми — отсюда глухие раскаты далёкого грома.

При большой амплитуде линейность нарушается. На 150 дБ, возле реактивного двигателя, $p_{\mathrm{эфф}}\approx 630\mathrm{Па}$ — лишь 0,6 % атмосферного давления, но гребни бегут чуть быстрее впадин, и плоская волна частотой 1 кГц превратилась бы в ударную примерно через 7 м. Ни одна неискажённая синусоида не превышает примерно 191 дБ на уровне моря: при этом её амплитуда сравнялась бы с атмосферным давлением, а во впадинах был бы вакуум. Наконец, $\beta$ — физическая величина, а не громкость: ухо гораздо менее чувствительно к низким частотам, поэтому шумомеры обычно применяют частотную коррекцию А — фильтр, ослабляющий частоты, которые ухо слышит плохо, — и дают результат в дБ(А).

Что дальше

Поток через замкнутые поверхности объясняет также, почему тяготение и поле точечного заряда убывают как $1/r^2$ (уроки «Тяготение и орбиты» и «Закон Кулона»); на этой идее основана теорема Гаусса. Свет подчиняется той же арифметике: в уроке «Электромагнитные волны» его интенсивность равна $E_0^2/(2Z_0)$, а волновое сопротивление вакуума $Z_0\approx 377\mathrm{Ом}$ играет роль $\rho c$. Когерентные источники и их перекрёстный член ведут к уроку «Интерференция и суперпозиция волн», звук, заключённый между стенами, — к уроку «Стоячие волны», а барабанная перепонка как приёмник, совершающий вынужденные колебания, — к уроку «Затухание и резонанс». Поглощение на фиксированное число децибел на километр — это тот же экспоненциальный спад, что и в уроке «Радиоактивность и период полураспада».