Ondas estacionarias

Principiante

Dos amigos que hacen girar una comba larga la hacen oscilar como un único gran vientre: el centro sube más que nada mientras los extremos siguen en sus manos. Si se sacude un extremo más deprisa, la cuerda puede quedarse en dos vientres con un punto quieto en medio. Ninguna de esas formas avanza por la cuerda: es una onda estacionaria.

¿De dónde sale? Las ondas recorren la cuerda, rebotan en los extremos fijos y vuelven. Las ondas de ida y de vuelta se superponen y juntas forman un patrón que se queda en su sitio. En la cuerda central de la animación, las ondas discontinuas van en sentidos opuestos, y la cuerda continua es su suma.

Algunos puntos no se mueven nunca. Son los nodos, marcados con puntos dorados; los extremos fijos también son nodos. A medio camino entre dos nodos la cuerda oscila al máximo: es un vientre.

Como los dos extremos deben quedarse quietos, solo cabe un número entero de vientres: uno, dos, tres, etc. El patrón de un vientre es la fundamental y da la nota más grave. Dos vientres vibran el doble de rápido que uno y tres, el triple, y dan notas más agudas llamadas armónicos. Una cuerda real vibra en varios de estos patrones a la vez, y esa mezcla explica por qué una guitarra y un violín que tocan la misma nota suenan distinto.

Pisar un traste acorta la parte que vibra, así que cada vientre es más corto y la nota más aguda. Tensar una cuerda, o usar una más fina, también sube la nota. Las flautas y los tubos de órgano hacen lo mismo con ondas sonoras estacionarias en un tubo: cuanto más largo el tubo, más grave la nota.

Ponte a prueba: una cuerda vibra con tres vientres. ¿Cuántos nodos tiene, contando los dos extremos? (Cuatro.)

Intermedio

Dos ondas viajeras forman una onda estacionaria

Las ondas de una cuerda sujeta por ambos extremos rebotan en ellos y se atraviesan unas a otras. Cuando dos ondas de la misma amplitud $A$, longitud de onda $\lambda$ y frecuencia $f$ viajan en sentidos opuestos, su suma no viaja en absoluto: es una onda estacionaria. En la cuerda central de la animación, las curvas discontinuas son las dos ondas y la cuerda continua es su suma.

Donde las dos ondas llegan siempre con desplazamientos opuestos, se anulan: esos son los nodos, marcados con puntos dorados, y nunca se mueven. A medio camino entre dos nodos las ondas coinciden siempre y la cuerda oscila con amplitud $2A$: son los vientres. Todos los demás puntos oscilan con la misma frecuencia pero con menos amplitud, y los husos vecinos (cada tramo entre dos nodos) se mueven en sentidos opuestos.

Además de $\lambda$, de $f$ en hercios y de la velocidad de la onda $v=f\lambda$ que ya conoces de Fundamentos de las ondas, una cuerda tiene su longitud $L$ entre los dos extremos fijos, su tensión $F$ en newtons y su densidad lineal $\mu$, la masa de un metro de cuerda, en kg/m. El número de armónico $n$ cuenta los husos.

Encajar medias longitudes de onda entre los extremos

Dos nodos vecinos están separados media longitud de onda, y cada vientre está a un cuarto de longitud de onda del nodo más cercano. Un extremo fijo no puede moverse, así que tiene que ser un nodo, y en la cuerda cabe un número entero $n$ de husos, cada uno de $\lambda /2$ de largo:
$L=\frac{n\lambda }{2}$
así que las únicas longitudes de onda que admite son
${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$
con $n=1,2,3,\dots$ La más larga mide el doble que la cuerda.

Una onda que no encaja vuelve de cada viaje de ida y vuelta fuera de fase con la onda que sigue llegando, y sus reflexiones se anulan en gran parte. Solo las longitudes de onda que encajan se refuerzan a sí mismas, de modo que toda onda confinada tiene un conjunto bien definido de frecuencias propias.

La serie armónica y la velocidad de la onda

Todas las ondas de una misma cuerda viajan con la misma velocidad $v$, así que cada longitud de onda permitida tiene su propia frecuencia, $f_n=v/{\lambda }_n$:
$f_n=\frac{nv}{2L}=n{f}_1$
La más baja, $f_1=v/(2L)$, es la fundamental; las demás, $2f_1$, $3f_1$ y así sucesivamente, son sus armónicos, equiespaciados en pasos de $f_1$. El segundo armónico suena una octava por encima de la fundamental.

La velocidad de la onda depende de la tensión y de la densidad lineal:
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$
Una cuerda tensa tira con fuerza de un trozo desplazado para devolverlo a su sitio, así que las ondas corren deprisa; una cuerda pesada tiene más inercia, así que corren despacio.

Hay, pues, tres maneras de subir el tono: acortar la parte que vibra (un traste), tensar la cuerda (la clavija) o usar una más ligera. La frecuencia es inversamente proporcional a $L$, pero crece solo como $\sqrt{F}$: reducir la longitud a la mitad la duplica, mientras que lograr lo mismo solo con la tensión exige cuatro veces la fuerza.

Ejemplo resuelto: la cuerda de guitarra de la animación

Las cuerdas de la animación miden 0,65 m, como las de una guitarra clásica, y sus ondas viajan a 143 m/s. En la fundamental, la cuerda contiene media longitud de onda:
${\lambda }_1=2L=2\cdot 0,65=1,30\mathrm{m}$
$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{143}{1,30}=110\mathrm{Hz}$
Entonces $f_2=220\mathrm{Hz}$ y $f_3=330\mathrm{Hz}$, las etiquetas moradas junto a las cuerdas; 110 Hz es el La de la quinta cuerda de una guitarra. Un periodo real de $1/110\mathrm{s}\approx 9,1\mathrm{ms}$ es demasiado corto para verlo, así que la animación lo alarga hasta 2 s, 220 veces más despacio.

En la tercera cuerda, ${\lambda }_3=2L/3\approx 0,433\mathrm{m}$, así que los nodos están separados ${\lambda }_3/2\approx 0,217\mathrm{m}$ y cada vientre queda a ${\lambda }_3/4\approx 0,108\mathrm{m}$ de los nodos vecinos: es la separación de las letras N A N A N A N bajo la cuerda (N por nodo, A por antinodo, el otro nombre del vientre), con cuatro nodos contando los dos extremos y tres vientres.

Para subir la fundamental una octava, hasta 220 Hz, con la misma longitud, $v$ debe duplicarse hasta 286 m/s; como $v$ crece como $\sqrt{F}$, hay que multiplicar la tensión por cuatro, no por dos.

Ejemplo resuelto: afinar una cuerda de violín

La cuerda La de un violín vibra a lo largo de 0,325 m y tiene una densidad lineal de 0,60 g/m, es decir, $6,0\times 10^{-4}kg/m$. ¿Qué tensión la afina a 440 Hz? Primero se halla la velocidad de la onda:
$v=2L{f}_1=2\cdot 0,325\cdot 440=286m/s$
$F=\mu v^2=6,0\times 10^{-4}\cdot 286^2\approx 49\mathrm{N}$
Es aproximadamente el peso de una masa de 5 kg; si se dejara $\mu$ en g/m, saldría una tensión mil veces demasiado grande.

Si la cuerda se afloja y suena a 436 Hz, la tensión debe aumentar en el factor $(440/436{)}^2\approx 1,018$, menos de un 2 %, unos 0,9 N, porque $f_1$ es proporcional a $\sqrt{F}$. Para tocar el Si a 494 Hz, el violinista acorta la cuerda en lugar de tensarla, hasta $L^{\prime }=v/(2f)=286/988\approx 0,289\mathrm{m}$: el dedo se coloca a unos 3,5 cm de la cejuela.

Cómo leer el patrón: husos, fases y tubos

Para leer el dibujo de una onda estacionaria, cuenta los husos: hay $n$, cada uno de $\lambda /2$, y $n+1$ nodos contando los extremos. Los puntos de un mismo huso oscilan en fase; los husos vecinos están desfasados medio ciclo. Dos veces por ciclo, toda la cuerda pasa por su posición recta, moviéndose con la máxima rapidez, y en los extremos de la oscilación se detiene un instante.

En un tubo, el aire va y viene a lo largo del tubo. Un extremo cerrado lo detiene y es un nodo de desplazamiento; un extremo abierto está cerca de un vientre de desplazamiento. Abierto por ambos extremos, un tubo tiene la misma serie que una cuerda, $f_n=nv/(2L)$. Cerrado por un extremo, contiene un número impar de cuartos de longitud de onda, así que $f_n=nv/(4L)$ solo con $n$ impar. Con el sonido a 343 m/s, un tubo de 0,65 m suena a 132, 396 y 660 Hz si está cerrado por un extremo, y a 264, 528 y 792 Hz si está abierto por ambos.

Errores frecuentes

• Una onda estacionaria no está congelada: todos los puntos salvo los nodos siguen oscilando, todos con una misma frecuencia, 330 Hz en la cuerda inferior de la animación.
• La longitud de onda no es la longitud de la cuerda: en la fundamental, la cuerda contiene media longitud de onda, así que la cuerda de 0,65 m tiene ${\lambda }_1=1,30\mathrm{m}$.
• Los nodos están separados media longitud de onda, no una entera: con $\lambda =0,8\mathrm{m}$ distan 0,4 m entre sí, y un nodo está a 0,2 m del vientre más cercano.
• Duplicar la tensión no duplica el tono: como $f$ crece como $\sqrt{F}$, la cuerda de 110 Hz subiría solo hasta unos 156 Hz.
• Los armónicos no son copias más fuertes de una misma nota, sino frecuencias distintas, aquí 110, 220 y 330 Hz; la mezcla que excita una pulsación da a cada instrumento su timbre.

Dónde aparece

Todo instrumento de cuerda es un conjunto de ondas estacionarias: los trastes cambian $L$, las clavijas cambian $F$, y las cuerdas graves se entorchan con hilo metálico para añadir masa. Un violinista que roza suavemente una cuerda en su punto medio obliga a que allí haya un nodo; la fundamental y los armónicos impares, que necesitan movimiento en el centro, se extinguen, y la nota salta una octava. Las flautas, los clarinetes y los tubos de órgano contienen ondas sonoras estacionarias. En un horno microondas, los puntos calientes están separados media longitud de onda, unos 6 cm.

Excitar un sistema a una de sus frecuencias propias acumula un gran movimiento: es la resonancia de Amortiguamiento y resonancia. Las ondas estacionarias son un caso particular de Interferencia y superposición; los tubos se apoyan en la velocidad del sonido de El sonido y el efecto Doppler; y el encaje de longitudes de onda enteras a lo largo de una órbita reaparece para los electrones en Modelos atómicos: el átomo de Bohr.

Avanzado

Dos ondas viajeras en una cuerda

Esta lección explica por qué una cuerda sujeta por sus dos extremos solo vibra a ciertas frecuencias. El punto de partida es la pregunta más sencilla: ¿cómo se mueve una sola onda a lo largo de una cuerda tensa?

Sea $y(x,t)$ el desplazamiento lateral del punto de la cuerda situado en la posición $x$, en el instante $t$. Para pendientes pequeñas, una cuerda con tensión $F$ y masa por metro $\mu$ obedece la ecuación de ondas
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$
donde $v^2=F/\mu$ y $v$ es la velocidad de la onda. Su solución general es cualquier forma que avanza hacia la derecha más cualquier forma que avanza hacia la izquierda:
$y(x,t)=u(x-vt)+q(x+vt)$
El valor de $u$ es el mismo allí donde $x-vt$ es el mismo, así que la forma $u$ se desliza hacia los $x$ mayores a velocidad $v$ sin deformarse; $q$ se desliza en sentido contrario. Un extremo de la cuerda liga estas dos ondas entre sí, y de ahí salen las ondas estacionarias.

Reflexión en un extremo fijo

¿Qué ocurre cuando un pulso llega a un punto que no puede moverse? La respuesta, un eco invertido, es la primera mitad de toda onda estacionaria.

Leyenda

$q(x+vt)$	El pulso incidente, que avanza hacia la pared. Donde está detrás de la pared, fuera de la cuerda, es discontinuo.	$\mathrm{m}$
$q(vt-x)$	Su gemelo $-q(vt-x)$: el pulso reflejado en la pared e invertido. Se aleja de la pared y es discontinuo mientras está detrás de ella.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidad del pulso y de su gemelo.	$m/s$
$x$	Posición a lo largo de la cuerda, medida desde la pared.	$\mathrm{m}$
$t_1$	Un instante antes de que el pulso llegue a la pared (dibujo superior).	$\mathrm{s}$
$t_2$	Un instante posterior, cuando el pulso y su gemelo ya se han cruzado (dibujo inferior).	$\mathrm{s}$

En la figura 1 la cuerda está sujeta en $x=0$; la cuerda real es la parte a la derecha de la pared, $x>0$. Un pulso $q(x+vt)$ llega desde la derecha y avanza hacia la izquierda. La sujeción significa que $y(0,t)=0$ en todo instante. Al poner $x=0$ en la solución general se obtiene $u(-vt)+q(vt)=0$ para todo $t$. Si escribes $s=-vt$, esto dice que $u(s)=-q(-s)$ para todo $s$: la onda que vuelve queda totalmente determinada por la incidente, y
$y(x,t)=q(x+vt)-q(vt-x)$

Lee el segundo término como un dibujo. Sustituir $x$ por $-x$ en $q(x+vt)$ da $q(vt-x)$, el pulso incidente reflejado en un espejo situado en el extremo fijo; el signo menos le da la vuelta. En el dibujo superior de la figura 1, en el instante $t_1$, fíjate en las dos formas. El pulso morado $q(x+vt)$ está en la cuerda real y avanza hacia la izquierda. Su gemelo dorado y discontinuo, $-q(vt-x)$, cuelga hacia abajo en la posición especular, detrás de la pared, y avanza hacia la derecha. Ambos se mueven con velocidad $v$, así que llegan a la pared en el mismo momento, y en $x=0$ se anulan en todo instante: el extremo fijo nunca se mueve.

En el dibujo inferior, en el instante posterior $t_2$, los dos ya se han cruzado. El gemelo dorado, ahora continuo, es la única forma sobre la cuerda real, invertido y alejándose de la pared, mientras que el original morado sigue, discontinuo, detrás de la pared, donde no hay cuerda. El resultado: en un extremo fijo, un pulso vuelve invertido, con su forma y su velocidad intactas.

Un extremo libre, como un anillo que desliza por una varilla lisa, se comporta de otro modo. El anillo puede moverse, pero la varilla no ejerce sobre él ninguna fuerza lateral, así que la cuerda debe llegar a la varilla en ángulo recto: $\partial y/\partial x=0$ en $x=0$. Los mismos pasos dan entonces $u(s)=+q(-s)$, y el pulso vuelve sin invertirse.

De dos ondas viajeras a una onda estacionaria

Envía ahora una onda senoidal en lugar de un pulso aislado. La onda incidente y su reflexión se solapan a lo largo de toda la cuerda, y su suma es una onda estacionaria.

Toma la onda incidente $A\sin (kx+\omega t)$, con amplitud $A$, número de onda $k=2\pi /\lambda$ para la longitud de onda $\lambda$ y frecuencia angular $\omega =vk$; es una onda de la forma $q(x+vt)$. Su imagen especular invertida $-q(vt-x)$ es $-A\sin (\omega t-kx)=A\sin (kx-\omega t)$. Sumando las dos con $\sin a+\sin b=2\sin \frac{1}{2}(a+b)\cos \frac{1}{2}(a-b)$ se obtiene
$y(x,t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$

El espacio y el tiempo se han separado: una forma fija $\sin kx$ multiplicada por una única oscilación $\cos \omega t$, común a todos los puntos. El punto situado en $x$ sube y baja senoidalmente con amplitud $2A|\sin kx|$. Donde $\sin kx=0$, es decir, donde $kx=m\pi$ con $m$ entero, la cuerda nunca se mueve: esos puntos son los nodos, y están separados $\lambda /2$ porque $k=2\pi /\lambda$. A medio camino entre nodos, donde $|\sin kx|=1$, están los vientres, que oscilan con la amplitud completa $2A$.

Como $\sin kx$ cambia de signo en cada nodo, los husos vecinos están siempre a lados opuestos de la posición de reposo: oscilan en oposición de fase. Un movimiento en el que cada punto oscila con una sola frecuencia y con una forma fija se llama modo normal.

La animación lo muestra en una cuerda en su segundo modo, $n=2$. La onda dorada discontinua $A\sin (kx-\omega t)$ avanza hacia la derecha, la morada discontinua hacia la izquierda, y la cuerda continua es su suma. La gráfica sigue al vientre rojo en $x=L/4$, donde $\sin kx=1$: su movimiento es un coseno puro, $2A\cos \omega t$, que empieza sobre la línea discontinua de $+2A$.

Dos extremos fijos: solo ciertos números de onda

Una segunda sujeción convierte un continuo de ondas posibles en un conjunto de notas. Este es el paso que da a una cuerda su altura tonal.

La onda estacionaria anterior ya tiene un nodo en $x=0$. Una segunda sujeción en $x=L$ exige también $y(L,t)=0$ en todo instante, así que $\sin kL=0$, y $kL$ debe ser un múltiplo entero de $\pi$:
$k_n=\frac{n\pi }{L}$
con $n=1,2,3,\dots$, que cuenta los husos. Dicho con palabras, entre las sujeciones debe caber un número entero de medias longitudes de onda, $L=n{\lambda }_n/2$. Como $\omega =vk$ para toda onda en la cuerda, las frecuencias angulares permitidas son ${\omega }_n=n\pi v/L$, y las frecuencias son
$f_n=\frac{nv}{2L}$
Son múltiplos enteros de la más baja, la fundamental $f_1=v/(2L)$: esta es la serie armónica.

Para la cuerda de la animación, $L=0,65\mathrm{m}$ y $v=143m/s$, así que $f_1=143/(2\cdot 0,65)=110\mathrm{Hz}$, con $k_1=\pi /0,65\approx 4,83rad/m$ y ${\omega }_1=2\pi \cdot 110\approx 691rad/s$. Una cuerda con una sola sujeción acepta cualquier $k$: es la segunda condición de contorno lo que vuelve discreto el espectro.

El viaje de ida y vuelta y la serie armónica

Las mismas frecuencias se obtienen sin un solo seno, siguiendo un pulso que rebota entre las sujeciones. Este punto de vista muestra por qué los armónicos son múltiplos exactos.

Leyenda

$x$	Posición a lo largo de la cuerda.	$\mathrm{m}$
$t$	Tiempo, que crece hacia arriba.	$\mathrm{s}$
$L$	Distancia entre las dos sujeciones.	$\mathrm{m}$
$x_0$	Dónde empieza el pulso, y dónde vuelve a estar tras un viaje de ida y vuelta.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidad del pulso; fija la inclinación de cada tramo.	$m/s$
$T_1$	Duración de un viaje de ida y vuelta, $2L/v$.	$\mathrm{s}$

La figura 2 es un diagrama espacio-tiempo: la posición $x$ va en horizontal, el tiempo $t$ crece hacia arriba, y las dos líneas verticales gruesas son las sujeciones en $x=0$ y $x=L$, que no se mueven. Un pulso que avanza a velocidad constante es una recta inclinada, y cada rebote es una esquina. Sigue el camino azul desde abajo. El pulso sale de $x_0$ en $t=0$ hacia la derecha a velocidad $v$; el signo $+$ indica que no está invertido. En $x=L$ se refleja y se invierte ($-$), cruza toda la cuerda hacia la izquierda, luego se refleja en $x=0$ y vuelve a quedar sin invertir ($+$). Dos reflexiones suponen dos inversiones, así que llega a $x_0$, en el punto superior, sin invertir y moviéndose hacia la derecha, exactamente como empezó.

La longitud del camino no depende de dónde empezó el pulso: $(L-x_0)+L+x_0=2L$. Así que el viaje de ida y vuelta dura
$T_1=\frac{2L}{v}=\frac{1,30}{143}\approx 9,09\mathrm{ms}$
que es exactamente $1/f_1$ para 110 Hz. Una perturbación de cualquier forma está hecha de partes que hacen todas este mismo viaje de ida y vuelta, así que al cabo de $T_1$ toda la cuerda ha vuelto a su estado inicial y el movimiento se repite con periodo $T_1$. Un movimiento de periodo $T_1$ solo puede contener frecuencias que quepan en $T_1$ un número entero de ciclos: los múltiplos de $1/T_1=110\mathrm{Hz}$. La serie armónica es el tiempo de ida y vuelta escrito como un espectro.

Todo movimiento es una suma de modos

Una cuerda real nunca se pone en marcha en un modo puro. Esta sección muestra que, aun así, todo movimiento es una mezcla de modos, y cómo encontrar esa mezcla.

La ecuación de ondas es lineal: si dos movimientos son soluciones, su suma también lo es. Cada modo es una solución, y juntos los modos bastan para construir cualquier movimiento de la cuerda:
$y(x,t)={\sum }_n{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\cos ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$
El modo $n$ entra con su propia amplitud $b_n$ y su propia fase ${\phi }_n$. Ambas las fijan la forma y la velocidad iniciales de la cuerda, y encontrarlas se llama análisis de Fourier.

La herramienta para encontrarlas es la ortogonalidad: multiplica las formas de dos modos distintos, integra a lo largo de la cuerda y el resultado es cero. Para una cuerda soltada desde el reposo con la forma $y_0(x)$, todas las fases ${\phi }_n$ son cero, porque cada modo debe empezar en reposo. Multiplica $y_0(x)$ por la forma del modo $n$ e integra de 0 a $L$. La ortogonalidad elimina todos los términos salvo el del propio modo $n$, que da $b_n$ por ${\int }_0^L{\sin }^2(n\pi x/L)dx=L/2$. Por tanto
$b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L{y}_0(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

La simetría resuelve un caso sin ninguna integral. Pulsar en el centro da una forma simétrica respecto de $x=L/2$, mientras que todo modo par es antisimétrico respecto de ese punto: una mitad sube mientras la otra baja. Una forma simétrica multiplicada por una antisimétrica da integral nula, así que los coeficientes pares se anulan, y una cuerda pulsada en su centro solo suena con armónicos impares. En sentido contrario, unos pocos modos ya forman movimientos ricos: los dos primeros solos, desfasados un cuarto de ciclo, se suman en una joroba que va y viene entre los extremos, y muchos modos juntos construyen el pico agudo de una pulsación real.

La ortogonalidad también reparte la energía. La energía total de la cuerda es la suma de las energías de los modos, sin términos cruzados entre modos:
$E_n=\frac{1}{4}\mu L{\omega }_n^2{b}_n^2$
Es la energía cinética del modo $n$ en el instante en que pasa por la posición recta: $\frac{1}{2}\mu {\omega }_n^2{b}_n^2{\sin }^2(n\pi x/L)$ por metro, y el promedio de ${\sin }^2$ a lo largo de la cuerda es un medio. En este sentido, cualquier sistema vibrante lineal, desde un puente hasta una molécula, es un conjunto de osciladores independientes, uno por modo.

Dónde reside la energía

Una onda estacionaria no transporta energía a lo largo de la cuerda y, sin embargo, la energía no deja de moverse dentro de ella. La figura 3 muestra dónde se almacena.

Leyenda

$n$	Número de modo. La cuerda está en su segundo modo, $n=2$, dibujada en sus dos formas extremas.
$\lambda /2$	Distancia entre nodos vecinos (puntos dorados): media longitud de onda.	$\mathrm{m}$
$x$	Posición a lo largo de la cuerda.	$\mathrm{m}$
$u_K$	Energía cinética por metro: el mayor valor que alcanza en cada punto durante un ciclo.	$J/m$
$u_E$	Energía elástica (de estiramiento) por metro: el mayor valor que alcanza en cada punto durante un ciclo.	$J/m$

La figura 3 muestra la cuerda $n=2$ en sus dos formas extremas, con sus nodos como puntos dorados, separados $\lambda /2$. Debajo, dos curvas muestran cómo se reparte la energía por metro a lo largo de $x$. Cada curva es el mayor valor que alcanza esa energía en cada punto durante un ciclo; los dos máximos se alcanzan en instantes distintos.

La energía cinética por metro es $u_K=\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. Con $\partial y/\partial t=-2A\omega \sin kx\sin \omega t$, varía como ${\sin }^{2}kx{\sin }^2\omega t$. Su mayor valor, la curva morada continua, es máximo en los vientres, donde la cuerda se mueve más deprisa, y nulo en los nodos, que nunca se mueven. Se alcanza en los instantes en que la cuerda pasa por la posición recta.

La energía elástica por metro, almacenada al estirarse la cuerda, es $u_E=\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$. Con $\partial y/\partial x=2Ak\cos kx\cos \omega t$, varía como ${\cos }^{2}kx{\cos }^2\omega t$. Su mayor valor, la curva verde discontinua, es máximo en los nodos, donde la cuerda está más inclinada, y se alcanza en los instantes de máximo desplazamiento. Las dos curvas llegan a la misma altura, $2\mu A^2{\omega }^2$, porque $F{k}^2=\mu {\omega }^2$ (de $v^2=F/\mu$ y $\omega =vk$). Así que en cada ciclo la energía pasa de elástica cerca de los nodos a cinética cerca de los vientres, y vuelve.

¿Por qué nada de ella viaja a lo largo de la cuerda? Cada componente viajera transporta una potencia media $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$, pero en una onda estacionaria las dos la llevan en sentidos opuestos, así que el flujo neto es cero. Instante a instante, la potencia que atraviesa un punto es la fuerza lateral que ejerce la cuerda de la izquierda, $-F\partial y/\partial x$, multiplicada por la velocidad de ese punto, $\partial y/\partial t$:
$P=-F\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}=Fk\omega A^2\sin 2kx\sin 2\omega t$
El factor $\sin 2kx$ es nulo en todos los nodos y en todos los vientres, en cualquier instante. La energía nunca cruza esos puntos: oscila de un lado a otro dentro de cada cuarto de longitud de onda, con el doble de la frecuencia del movimiento. En la gráfica de la animación, el vientre pasa por cero con su máxima rapidez, $2A\omega$; en ese instante toda la energía de su región es cinética.

Excita la cuerda a una de sus $f_n$ y la energía aportada en cada ciclo se irá acumulando, así que la amplitud crece hasta que las pérdidas compensan la excitación. Esto es la resonancia, y la altura de su pico la fija el factor de calidad $Q$ visto en Amortiguamiento y resonancia.

Más allá de la cuerda ideal

La regla de que deben caber números enteros de ondas se extiende a otros extremos, a cuerdas más rígidas y a superficies, con cambios que se pueden oír.

Una cuerda sujeta en $x=0$ pero libre en $x=L$ necesita pendiente nula en el extremo libre, $\cos kL=0$, así que $kL=(m-\frac{1}{2})\pi$ con $m\ge 1$ entero. Cabe un número impar de cuartos de longitud de onda, y $f=(2m-1)v/(4L)$: solo los múltiplos impares de la frecuencia más baja, $v/(4L)$. Es el tubo cerrado por un extremo. Su extremo cerrado es un nodo de desplazamiento, como el extremo fijo, y su extremo abierto es un nodo de presión, como el extremo libre. El aire justo fuera de un extremo abierto también participa, y añade a la longitud efectiva unas 0,6 veces el radio del tubo.

Una cuerda real también se resiste a doblarse. Esta fuerza recuperadora adicional crece con la curvatura más deprisa que la debida a la tensión, de modo que las ondas cortas corren más rápido y los sobretonos quedan altos:
$f_n\approx n{f}_1\sqrt{1+B{n}^2}$
donde la constante de rigidez $B$ crece con la cuarta potencia del diámetro del hilo. Para una cuerda de piano cercana al do central, $B$ es del orden de $4\times 10^{-4}$, así que para el décimo modo $\sqrt{1+0,04}\approx 1,02$: queda un 2 % por encima de diez veces la fundamental, y los afinadores estiran un poco las octavas para ajustarse a ello.

En dos dimensiones, las ondas deben caber en ambas direcciones a la vez. Una membrana rectangular de lados $L_x$ y $L_y$ tiene los modos $f_{mn}=(v/2)\sqrt{(m/L_x{)}^2+(n/L_y{)}^2}$. El parche de un tambor circular tiene modos a unas 1,59, 2,14 y 2,30 veces su frecuencia más baja, no a múltiplos enteros, y por eso el tono de un tambor es menos definido que el de una cuerda.

Problema resuelto: pulsar la cuerda de la animación

Este problema junta todas las piezas: los coeficientes de Fourier de una pulsación real, los armónicos que deja fuera y la parte de la energía que recibe cada armónico.

Leyenda

$y_0$	Forma de la cuerda en el momento de soltarla: un triángulo.	$\mathrm{m}$
$H$	Cuánto se aparta la cuerda en el punto de pulsación.	$\mathrm{m}$
$d$	Distancia del extremo izquierdo al punto de pulsación.	$\mathrm{m}$
$L$	Longitud de la cuerda.	$\mathrm{m}$
$n$	Número de modo: el modo $n$ tiene $n$ husos. Se muestran $\sin (n\pi x/L)$ para $n=1$ y $n=5$.

La figura 4 dibuja la cuerda en el momento de soltarla. Es la cuerda de la animación, $L=0,65\mathrm{m}$ y $v=143m/s$, apartada $H=3\mathrm{mm}$ en un punto a $d=0,13\mathrm{m}$ del extremo izquierdo, un quinto de su longitud, y soltada desde el reposo. La altura $H$ está dibujada mucho mayor de lo que es. ¿Qué armónicos suenan y cómo se reparte la energía entre ellos?

La forma inicial $y_0(x)$ es el triángulo azul: dos tramos rectos que suben desde las sujeciones hasta la altura $H$ en $x=d$. Al llevarla a la fórmula de $b_n$ e integrar cada tramo recto se obtiene
$b_n=\frac{2H{L}^2}{{\pi }^2{n}^{2}d(L-d)}\sin \frac{n\pi d}{L}=\frac{25H}{2{\pi }^2{n}^2}\sin \frac{n\pi }{5}$
donde la segunda forma usa $d=L/5$, de modo que $d(L-d)=4L^2/25$. Esto da $b_1\approx 2,23\mathrm{mm}$, $b_2\approx 0,90\mathrm{mm}$ y $b_3\approx 0,40\mathrm{mm}$, a 110, 220 y 330 Hz.

Los dos dibujos inferiores muestran por qué faltan algunos armónicos. Mira a lo largo de la línea vertical discontinua que pasa por el punto de pulsación $x=d$. La forma del modo 1, $\sin (\pi x/L)$, está ahí claramente por encima de cero, así que tirar en $d$ alimenta con fuerza el modo 1. La forma del modo 5, $\sin (5\pi x/L)$, pasa exactamente por cero ahí, porque $d=L/5$. El punto de pulsación es un nodo del modo 5, un lugar donde ese modo nunca se mueve, así que ningún tirón aplicado ahí puede ponerlo en marcha. Lo mismo vale para todo modo con un nodo en $d$: $\sin (n\pi /5)=0$ para $n=5,10,\dots$, de modo que 550 Hz y 1100 Hz están ausentes.

Para la energía, $E_n\propto {\omega }_n^2{b}_n^2$, con ${\omega }_n\propto n$ y $b_n\propto \sin (n\pi d/L)/n^2$, así que $E_n\propto {\sin }^2(n\pi d/L)/n^2$. Dividiendo cada término por la suma sobre todos los modos, la fundamental recibe el 44 % de la energía, el segundo armónico el 29 % y el tercero el 13 %. Pulsada en el centro, la misma cuerda pondría el 81 % en la fundamental, el 9 % en el tercer armónico y nada en los pares. Pulsar más cerca del extremo alimenta los armónicos altos, y por eso una guitarra suena brillante y delgada cerca del puente y redonda sobre la boca.

Límites de validez

La cuerda ideal es un modelo. Saber dónde deja de ser correcto te dice cuándo puedes fiarte de los resultados anteriores.

El modelo supone pendientes pequeñas, de modo que la cuerda apenas se estira y su tensión se mantiene igual a $F$. Aquí la pendiente máxima es $H/d=3/130\approx 0,023$, muy dentro de ese margen. Una pulsación fuerte sí estira la cuerda, así que la nota empieza algo más aguda y se asienta al irse apagando.

Tampoco los extremos son perfectamente rígidos, y no deben serlo: una cuerda sola mueve muy poco aire, y un instrumento suena porque el puente se mueve y transmite la vibración a la caja. Esa fuga, junto con la resistencia del aire y el rozamiento interno, amortigua los modos, los agudos más deprisa. Si la amplitud de la fundamental disminuye en un factor e en $\tau \approx 3\mathrm{s}$, su factor de calidad es $Q=\pi f_1\tau =\pi \cdot 110\cdot 3\approx 1000$.

Una cuerda está hecha de átomos separados unos 0,3 nm, así que la ecuación de ondas continua solo vale para longitudes de onda mucho mayores que esa separación. Una cadena de $N$ átomos tiene exactamente $N$ modos, y la longitud de onda más corta mide dos separaciones. En un cristal, estos modos llegan hasta unos $10^{13}\mathrm{Hz}$, y sus cuantos, llamados fonones, transportan el sonido y el calor.

Lo que viene después

La idea de que solo sobreviven las ondas que caben llega mucho más allá de las cuerdas.

La luz entre dos espejos forma ondas estacionarias separadas en frecuencia por $c/(2L)$, donde $c$ es la velocidad de la luz: unos 500 MHz en una cavidad láser de 30 cm (Ondas electromagnéticas). La suma de ondas en general lleva a la lección siguiente, Interferencia y superposición.

El eco más profundo está en la mecánica cuántica, donde un electrón es una onda y su frecuencia es una energía, $E=hf$, con $h$ la constante de Planck. Un electrón confinado en una caja de longitud $L$ también debe encajar medias longitudes de onda enteras, ${\lambda }_n=2L/n$. Su cantidad de movimiento es $p=h/\lambda$ y su energía, $p^2/(2m_e)$, con $m_e$ la masa del electrón, así que
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m_e{L}^2}$
que es unos 0,38 eV para $n=1$ en una caja de 1 nm. Los niveles crecen como $n^2$, no como $n$, porque en las ondas de materia la frecuencia varía como $k^2$, mientras que en una cuerda varía como $k$. Encajar longitudes de onda enteras a lo largo de una órbita es la idea de Modelos atómicos: el átomo de Bohr; la caja se resuelve como es debido en Ecuación de Schrödinger y efecto túnel, y Dualidad onda-corpúsculo explica por qué los electrones son ondas.