Интерференция и суперпозиция волн

Начальный

Встречаясь, две волны не отскакивают друг от друга, как мячи. Они просто складываются: в каждой точке высота равна той, что дала бы первая волна, плюс той, что дала бы вторая. Потом каждая идёт своей дорогой неизменной — так два разговора пересекают комнату, не мешая друг другу. Такое сложение называют суперпозицией.

В анимации на одной струне показаны две волны (пунктиром) и их сумма (сплошной линией). На верхней струне волны идут в ногу: гребень встречает гребень, впадина — впадину, и струна раскачивается вдвое выше. Это усиление, или конструктивная интерференция.

На нижней струне одна волна сдвинута на половину длины волны, и каждый гребень встречает впадину. Одна волна толкает вверх ровно настолько, насколько другая тянет вниз, и струна почти не движется — это гашение, деструктивная интерференция. На этом основаны наушники с шумоподавлением: они подают в ухо перевёрнутую копию шума.

Куда девается энергия в тихой точке? Она не исчезает. Если два динамика играют одну и ту же ровную ноту, то, проходя по комнате, вы найдёте тихие места рядом с громкими: энергия лишь перераспределяется. Полная тишина бывает редко, потому что звук отражается ещё и от стен.

Когда две ноты почти, но не совсем одинаковы, волны медленно то сходятся в такт, то расходятся, и звук то нарастает, то стихает: уа-уа-уа. Это биения, и в секунду их столько, какова разность двух частот. Гитарист настраивает две струны, вращая колок, пока биения не замедлятся и не исчезнут.

Проверьте себя: вместе звучат камертоны на 440 Гц и 443 Гц. Сколько биений в секунду вы слышите? (Три.)

Средний

Волны складываются в каждой точке

Там, где две волны проходят через одно и то же место, каждая точка среды смещается на сумму смещений, которые вызвала бы в ней каждая волна по отдельности:
$y=y_1+y_2$

Это принцип суперпозиции. Смещения имеют знаки, поэтому гребень в 1 см, встретившийся с впадиной в 1 см, даёт нуль. Принцип выполняется в линейной среде, то есть в такой, где возвращающая сила пропорциональна смещению: это струны, воздух и вода при малых амплитудах, а также свет в вакууме.

Каждая волна идёт дальше так, будто другой нет: два импульса, бегущие навстречу друг другу по верёвке, складываются, пока перекрываются, а затем расходятся неизменными. Обратите внимание, что именно складывается: смещения, а не интенсивности.

Разность фаз и разность хода

Усиливают ли две волны одной частоты друг друга или гасят, зависит от разности фаз $\phi$ — от того, насколько одна волна опережает другую в своём цикле ($2\pi$ — целый цикл). Для источников, колеблющихся в одной фазе, она определяется разностью хода $\Delta =r_2-r_1$ — тем добавочным расстоянием, которое одна волна проходит до точки; каждая длина волны добавочного пути означает задержку на один цикл:
$\phi =\frac{2\pi \Delta }{\lambda }$

Поэтому $\Delta =0,\lambda ,2\lambda ,\dots$ приводит волны в фазу, а $\Delta =\lambda /2,3\lambda /2,\dots$ совмещает гребень со впадиной. Важна только величина $\Delta$ в длинах волн: 3,2 длины волны равносильны 0,2 длины волны.

Устойчивая картина требует когерентных источников, у которых разность фаз остаётся постоянной, например двух динамиков, питаемых одним сигналом. Если частоты немного различаются, разность фаз дрейфует, и громкость нарастает и стихает столько раз в секунду, на сколько герц различаются частоты:
$f_{\mathrm{биен}}=|f_1-f_2|$
Две струны на 196 Гц и 198 Гц дают два биения в секунду; в экспертном слое анимации биения видны на третьей струне.

Условия громкого и тихого звука

Для источников в одной фазе и волн с амплитудами $A_1$ и $A_2$ в данной точке два крайних случая таковы:

• $\Delta =m\lambda \to A=A_1+A_2\text{(максимум)}$
• $\Delta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \to A=|A_1-A_2|\text{(минимум)}$

Здесь $m=0,1,2,\dots$, а $A$ — амплитуда суммарного колебания. Полная тишина возможна только при равных амплитудах.

Для двух волн одинаковой амплитуды $a$ при любой промежуточной разности хода получаем
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
Эта амплитуда плавно убывает от $2a$ при $\Delta =0$ до нуля при $\Delta =\lambda /2$.

Мы слышим и видим интенсивность $I$ — мощность, проходящую через каждый квадратный метр; она растёт как квадрат амплитуды. Поэтому два одинаковых источника, каждый из которых по отдельности даёт $I_0$, создают
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
В максимумах получается $4I_0$, в минимумах — нуль, а среднее значение равно $2I_0$, как и без интерференции: энергия переносится из тихих мест в громкие, а не уничтожается.

Пример: струны из анимации

Каждая пунктирная волна имеет амплитуду $a=1\mathrm{см}$, длину волны $\lambda =10\mathrm{см}$ (линейка над верхней струной) и частоту 0,5 Гц, поэтому каждая точка повторяет своё движение через 2 с, а волны движутся со скоростью $v=f\lambda =5\mathrm{см}/\mathrm{с}$.

На верхней струне золотая волна B точно ложится на синюю волну A, поэтому $\Delta =0$, и амплитуды складываются:
$A=A_1+A_2=1+1=2\mathrm{см}$
Показание в точке P колеблется между $-2,0$ и $+2,0\mathrm{см}$, а красная сумма вдвое выше любой пунктирной волны, и её интенсивность в $2^2=4$ раза больше, чем у одной волны.

На второй струне волна B сдвинута на половину длины волны, $\Delta =\lambda /2=5\mathrm{см}$, поэтому каждый гребень A встречает впадину B:
$A=|A_1-A_2|=|1-1|=0$
Красная сумма лежит ровной линией, а показание остаётся равным 0,0 см.

В промежутке между этими случаями сдвиг на четверть длины волны, 2,5 см, дал бы $A=2\cos (\pi /4)\approx 1,41\mathrm{см}$ и ровно $2I_0$; сдвиг на $\lambda /3$ даёт $A=2\cos (\pi /3)=1\mathrm{см}$ — не больше, чем у одной волны.

Пример: два динамика

Два небольших динамика, работающих в одной фазе, питаются одним и тем же сигналом частотой 686 Гц. При скорости звука 343 м/с длина волны равна $\lambda =v/f=343/686=0,50\mathrm{м}$. Вы стоите в 3,00 м от одного динамика и в 3,75 м от другого, поэтому
$\Delta =3,75-3,00=0,75\mathrm{м}=1,5\lambda$
Это $(m+\frac{1}{2})\lambda$ при $m=1$: вы находитесь в тихом месте.

Насколько тихо? Амплитуда небольшого источника убывает как $1/r$, поэтому амплитуда дальнего динамика составляет $3,00/3,75=0,80$ от амплитуды ближнего. Остаётся $1-0,80=0,20$: это $0,20^2=0,04$ интенсивности одного ближнего динамика, тогда как в соседнем громком месте получается $1,80^2=3,24$: в 81 раз больше, примерно на 19 дБ.

Тихое место зависит и от ноты: 0,75 м — нечётное число полуволн на частотах 229, 686 и 1143 Гц, и эти ноты там тихие, а на частотах 457 и 915 Гц это целое число длин волн, и они там громкие. Поэтому музыка не пропадает целиком ни в одной точке.

Как складывать волны на глаз

Чтобы набросать суперпозицию, сложите высоты двух волн с учётом знака в нескольких точках и соедините полученные значения: там, где одна волна равна нулю, сумма совпадает с другой, а там, где две волны равны по величине и противоположны по знаку, она обращается в нуль. В анимации пунктирные синяя и золотая кривые — это волны, сплошная красная — их сумма, а пунктирная линия через точку P отмечает, где показания измеряют $y$.

Две волны одной частоты, бегущие в одну сторону, складываются в волну той же частоты и с той же скоростью: красные гребни на верхней струне идут наравне с пунктирными со скоростью 5 см/с. Ровную вторую струну, на которой не осталось ни волны, ни энергии, лучше понимать как то, что приходит в одну точку двумя путями; когда источники раздельны, гашение в одном месте всегда сопровождается усилением в другом.

Частые ошибки

• Нельзя складывать интенсивности вместо амплитуд: две одинаковые волны в фазе дают интенсивность в $2^2=4$ раза больше, чем одна, а не в 2 раза; вдвое больше, чем от одного источника, получается лишь в среднем по картине.
• Деструктивная интерференция не уничтожает энергию: 0,04 в тихом месте соседствует с 3,24 в громких, а их среднее, 1,64, в точности равно $1+0,80^2$ — сумме отдельных интенсивностей двух динамиков.
• Противофаза не всегда означает тишину: для неё нужны равные амплитуды, а волны в 4 см и 1 см всё равно оставляют 3 см.
• Решает не само расстояние, а только разность хода: 3,00 м и 3,75 м или 10,00 м и 10,75 м — в обоих случаях на частоте 686 Гц получаются тихие места.
• Не любые два источника дают картину: у двух ламп или двух скрипачей, играющих одну ноту, фазы блуждают, поэтому остаётся только суммарная интенсивность $2I_0$.

Где это встречается

Наушники с шумоподавлением воспроизводят перевёрнутую копию приходящего шума и лучше всего справляются с ровным низким гулом, например в салоне самолёта. Мыльные пузыри обязаны своими цветами свету, отражённому двумя поверхностями тонкой плёнки, а просветляющее покрытие объектива фотоаппарата имеет толщину около 100 нм, чтобы два отражения зелёного света гасили друг друга.

Wi-Fi на частоте 2,4 ГГц (длина волны 12,5 см) приходит к ноутбуку несколькими путями, поэтому сдвиг ноутбука на несколько сантиметров может превратить слабое место в сильное, а детекторы гравитационных волн с помощью интерференции чувствуют изменения длины, гораздо меньшие размера протона. В уроке «Стоячие волны» складываются волны, бегущие в противоположных направлениях, а в уроке «Дифракция и опыт Юнга» эти условия применяются к свету.

Продвинутый

Почему волны просто складываются

Всё в этом уроке опирается на один факт: там, где две волны перекрываются, их смещения складываются. В этом разделе показано, почему так происходит, а следующие разделы выводят из этого следствия.

Суперпозиция — не дополнительный закон природы. Это свойство уравнения, которому подчиняется волна. Возьмём натянутую струну и обозначим через $y(x,t)$ малое поперечное смещение в момент $t$ участка струны с координатой $x$. Второй закон Ньютона, применённый к каждому короткому участку, при малых смещениях даёт волновое уравнение, в котором $v$ — скорость волн на струне:
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Это уравнение линейно: каждое слагаемое содержит $y$ один раз и только в первой степени, без $y^2$ и без произведений $y$ на его собственные производные. Пусть $y_1$ и $y_2$ — решения, и попробуем $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$ при любых постоянных $c_1$ и $c_2$. Производная суммы равна сумме производных, а постоянные выносятся за знак производной, поэтому каждая часть уравнения распадается на слагаемое с $y_1$ и слагаемое с $y_2$. Каждое слагаемое уравновешивается само по себе, так что комбинация тоже является решением. Это и есть принцип суперпозиции: две волны проходят одна сквозь другую, и в каждой точке смещение равно просто $y_1+y_2$.

Общее решение волнового уравнения, $y=F(x-vt)+G(x+vt)$, показывает это в действии: $F$ — импульс любой формы, бегущий вправо, $G$ — бегущий влево, и два импульса пересекаются, сохраняя форму. Малые изменения давления в воздухе, свет в вакууме, уравнения поля которого в точности линейны, и волновая функция квантовой механики подчиняются линейным уравнениям такого рода, поэтому всё сказанное ниже относится и к ним.

Сложение двух колебаний с помощью фазоров

В одной точке каждая волна заставляет среду колебаться. Чтобы найти общее движение, нужно сложить два колебания одной частоты, но с разными амплитудами и фазами. Складывать косинусы напрямую неудобно; если изобразить каждое колебание вращающейся стрелкой, сумма превращается в простую геометрию.

Обозначения

$A_1$	Амплитуда первого колебания: длина синей стрелки.	$\mathrm{м}$
$A_2$	Амплитуда второго колебания: длина золотистой стрелки.	$\mathrm{м}$
$A$	Амплитуда суммы: красная стрелка, замыкающая треугольник.	$\mathrm{м}$
$\omega t+{\phi }_1$	Фаза первого колебания: угол синей стрелки с осью, растущий со скоростью $\omega$.	$\mathrm{рад}$
$\phi$	Разность фаз ${\phi }_1-{\phi }_2$: угол между двумя стрелками, неизменный, пока обе вращаются.	$\mathrm{рад}$
$y_1$	Смещение, создаваемое первым колебанием: проекция синей стрелки на ось.	$\mathrm{м}$
$y_2$	Смещение, создаваемое вторым колебанием: проекция золотистой стрелки на ось.	$\mathrm{м}$
$y$	Смещение суммы, $y_1+y_2$: проекция красной стрелки.	$\mathrm{м}$

Два колебания — $y_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$ и $y_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$ — имеют одну и ту же циклическую частоту $\omega$. На рисунке 1 каждое из них изображено стрелкой, которую называют фазором. Длина стрелки — амплитуда: $A_1$ у синей стрелки, $A_2$ у золотистой. Её угол с горизонтальной осью — фаза: $\omega t+{\phi }_1$ у синей стрелки (он отмечен у её начала) и $\omega t+{\phi }_2$ у золотистой. Само колебание — проекция стрелки на ось, её тень: стрелка длиной $A_1$ под углом $\omega t+{\phi }_1$ имеет проекцию $A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$, а это в точности $y_1$. С течением времени стрелка поворачивается против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$, а её тень движется взад и вперёд.

Теперь обратите внимание на три вещи. Во-первых, золотистая стрелка начинается в конце синей — стрелки приставлены одна к другой, — а красная стрелка $A$ идёт от начала синей стрелки к концу золотистой: $A$ — векторная сумма двух стрелок. Во-вторых, обе стрелки вращаются с одной и той же скоростью $\omega$, поэтому угол между ними, $\phi ={\phi }_1-{\phi }_2$, отмеченный между золотистой стрелкой и штриховым продолжением синей, не меняется никогда. Закрашенный треугольник поэтому сохраняет форму и поворачивается как единое целое, а значит, $A$ тоже вращается с угловой скоростью $\omega$. В-третьих, вдоль оси тени $y_1$ и $y_2$ идут одна за другой и вместе занимают отрезок $y$ — тень $A$, потому что проекция суммы векторов равна сумме проекций. Итак, $y=y_1+y_2$ — тоже колебание с циклической частотой $\omega$, а его амплитуда — длина $A$.

Длина $A$ следует из треугольника. Угол внутри треугольника, где сходятся две стрелки, равен $\pi -\phi$, потому что $\phi$ отсчитывается от продолжения синей стрелки. Теорема косинусов вместе с равенством $\cos (\pi -\phi )=-\cos \phi$ даёт
$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \phi$
Амплитуда наибольшая, $A_1+A_2$, при $\phi =0$, когда стрелки направлены в одну сторону, и наименьшая, $|A_1-A_2|$, при $\phi =\pi$, когда они направлены в противоположные стороны.

В комплексных числах та же сумма записывается так. Каждое колебание — вещественная часть $A_j{e}^{i(\omega t+{\phi }_j)}$, общий множитель $e^{i\omega t}$ выносится, и $A^2=|A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}{|}^2$; аргумент этой комплексной суммы — фаза результирующего колебания. Раскрыв квадрат модуля, снова получаем теорему косинусов.

Откуда берётся $\phi$? Возьмём два источника с одной циклической частотой $\omega$ и собственными фазами ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_2$ и точку на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от них. Волне, бегущей со скоростью $v$, нужно время $r_j/v$, чтобы дойти до точки, поэтому то, что приходит в точку в момент $t$, вышло из источника $j$ в момент $t-r_j/v$. Его фаза равна $\omega (t-r_j/v)+{\alpha }_j=\omega t+{\alpha }_j-k{r}_j$, где $k=\omega /v=2\pi /\lambda$ — волновое число, а $\lambda$ — длина волны. Значит, ${\phi }_j={\alpha }_j-k{r}_j$, и в разности общее слагаемое $\omega t$ сокращается:
$\phi ={\phi }_1-{\phi }_2=\frac{2\pi \Delta }{\lambda }+({\alpha }_1-{\alpha }_2),\Delta =r_2-r_1$
Здесь $\Delta$ — разность хода, то есть дополнительное расстояние, которое проходит волна от второго источника. Каждая длина волны дополнительного пути добавляет $2\pi$ к разности фаз.

Для двух равных амплитуд $a$ от источников, колеблющихся в одной фазе (${\alpha }_1={\alpha }_2$), теорема косинусов даёт $A^2=2a^2(1+\cos \phi )$. Тождество $1+\cos \phi =2{\cos }^2(\phi /2)$ превращает это в $A^2=4a^2{\cos }^2(\phi /2)$, а так как $\phi /2=\pi \Delta /\lambda$,
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
Частные случаи видны прямо из треугольника. При $\Delta =\lambda /3$ разность фаз равна $2\pi /3$, то есть 120°, и угол внутри треугольника равен 60°; две равные стороны при угле 60° образуют равносторонний треугольник, и $A=a$. При $\Delta =\lambda /4$ стрелки перпендикулярны, $A$ — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, и $A=\sqrt{2}a$.

Интенсивность и куда уходит энергия

Ухо или глаз регистрирует не амплитуду, а интенсивность $I$ — мощность, переносимую через каждый квадратный метр, — которая пропорциональна квадрату амплитуды. В этом разделе закон для амплитуд превращается в закон для интенсивностей и проверяется, что интерференция лишь перераспределяет энергию.

Умножим теорему косинусов на постоянную, превращающую $A^2$ в интенсивность. Слагаемые $A_1^2$ и $A_2^2$ становятся $I_1$ и $I_2$ — интенсивностями, которые каждый источник даёт в одиночку, — а $A_1{A}_2$ становится $\sqrt{I_1{I}_2}$:
$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$
Для двух одинаковых источников в одной фазе, каждый из которых в одиночку даёт $I_0$, $\phi =2\pi \Delta /\lambda$ и
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
Последнее слагаемое общего закона, $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$, называется перекрёстным членом, и в нём заключена вся интерференция: без него интенсивности просто складывались бы. По экрану или по комнате $\phi$ пробегает много целых циклов, а среднее значение $\cos \phi$ за целый цикл равно нулю. В среднем остаётся $I_1+I_2=2I_0$: светлые полосы, где интенсивность $4I_0$, получают ровно столько, сколько теряют тёмные.

Такой баланс предполагает, что источники удалены друг от друга на много длин волн. Вблизи они связаны: каждый источник давит на среду, которую волна другого тоже приводит в движение. Если эта волна приходит в такт с толчком, источник работает против более высокого давления (или поля) и излучает больше; если она приходит не в такт, он излучает меньше. Два небольших источника на расстоянии $d$, возбуждаемые с одинаковой амплитудой и с разностью фаз $\alpha$, излучают в сумме
$P=2P_0\left(1+\cos \alpha \frac{\sin kd}{kd}\right)$
где $P_0$ — мощность, которую один источник излучает в одиночку. Две проверки: при большом $kd$ величина $\sin kd/(kd)$ мала и $P\approx 2P_0$ — сумма отдельных мощностей; при $d\to 0$ множитель стремится к 1, поэтому два источника в одной фазе действуют как один источник удвоенной амплитуды, $P=4P_0$, а два источника в противофазе гасят друг друга.

Например, два динамика на расстоянии 1,5 м друг от друга, играющие ноту 50 Гц (длина волны в воздухе 6,86 м, так что $kd=1,37$), излучают $3,43P_0$ в фазе, но только $0,57P_0$, если один из них подключён наоборот, что меняет его фазу на противоположную. Это разница в 6 раз, почти 8 дБ потерянного баса. Энергия по-прежнему сохраняется: воздух нагружает каждый динамик по-разному, и усилитель просто отдаёт другую мощность.

Разность хода вдали и управление лучом

Антенны, динамики и щели обычно наблюдают издалека, на расстоянии, во много раз большем расстояния между ними. Тогда разность хода зависит только от направления, а интерференционная картина становится картиной направлений. Эту разность хода находит рисунок 2.

Обозначения

$S_1$	Первый источник.
$S_2$	Второй источник.
$d$	Расстояние между двумя источниками.	$\mathrm{м}$
$\theta$	Направление на далёкую точку, отсчитываемое от серединного перпендикуляра к $S_1{S}_2$.	$\mathrm{рад}$
$\Delta$	Разность хода: на сколько волна от $S_2$ проходит больше, чем волна от $S_1$.	$\mathrm{м}$

На рисунке 2 источники $S_1$ и $S_2$ находятся на расстоянии $d$ друг от друга, и мы смотрим на далёкую точку в направлении, составляющем угол $\theta$ с их серединным перпендикуляром — горизонтальной штриховой линией. Поскольку точка очень далека, два луча к ней — синий от $S_1$ и золотистый от $S_2$ — практически параллельны. Штриховая линия, проведённая из $S_1$ к золотистому лучу, встречает его под прямым углом. За этой линией оба пути одинаково длинны, поэтому единственное дополнительное расстояние на пути от $S_2$ — фиолетовый отрезок между $S_2$ и основанием штриховой линии. Этот отрезок и есть $\Delta$.

Фиолетовый отрезок — катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого $S_1{S}_2$ имеет длину $d$. Угол этого треугольника при $S_1$ равен $\theta$: прямая $S_1{S}_2$ перпендикулярна серединному перпендикуляру, штриховая линия перпендикулярна лучам, а поворот двух прямых на один и тот же прямой угол не меняет угла между ними. Фиолетовый катет лежит напротив этого угла, поэтому
$\Delta =d\sin \theta$
Значит, у источников в одной фазе волны приходят в одной фазе и образуют сильный луч во всех направлениях, где $d\sin \theta$ равно целому числу длин волн.

Фазы источников можно задавать и намеренно. Пусть $S_1$ отстаёт от $S_2$ по фазе на $\alpha$, так что ${\alpha }_1-{\alpha }_2=-\alpha$. Тогда $\phi =2\pi d\sin \theta /\lambda -\alpha$, и самое сильное направление, где $\phi =0$, смещается к
$\sin \theta =\frac{\alpha \lambda }{2\pi d}$
Луч поворачивается в сторону отстающего источника $S_1$: его более короткий путь как раз компенсирует позднее начало. Радар на 10 ГГц ($\lambda =3,0\mathrm{см}$) с элементами на расстоянии 1,5 см друг от друга, каждый из которых отстаёт от соседа на четверть периода (90°), направлен туда, где $\sin \theta =0,5$, то есть под углом 30°. Электронное изменение фаз управляет лучом без движущихся частей: так работают фазированные антенные решётки.

Биения: интерференция во времени

До сих пор у обеих волн была одна частота, поэтому разность фаз в точке оставалась постоянной. Если частоты немного различаются, разность фаз равномерно растёт со временем, и суммарная громкость в одном месте то нарастает, то спадает. Эти колебания громкости — биения, которыми музыканты пользуются при настройке инструментов.

Обозначения

$a$	Амплитуда каждого колебания: длина синей и длина золотистой стрелки.	$\mathrm{м}$
$A$	Амплитуда суммы: длина красной стрелки, изображённая красной кривой.	$\mathrm{м}$
$2a$	Наибольшее значение $A$, достигаемое, когда обе стрелки направлены в одну сторону.	$\mathrm{м}$
$\Delta \omega t$	Угол, на который золотистая стрелка отстала от синей; он растёт пропорционально времени $t$.	$\mathrm{рад}$
$\pi$	Пол-оборота: стрелки направлены в противоположные стороны, и $A=0$.	$\mathrm{рад}$
$2\pi$	Целый оборот: стрелки снова направлены в одну сторону, и одно биение завершено.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 3 биения показаны теми же стрелками. Оба колебания имеют амплитуду $a$, а их циклические частоты ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ различаются на малую величину $\Delta \omega ={\omega }_1-{\omega }_2$. Посмотрите на стрелки из системы, вращающейся вместе с синей стрелкой с угловой скоростью ${\omega }_1$, так что синяя стрелка неподвижна вдоль оси. Золотистая стрелка, вращающаяся медленнее, с угловой скоростью ${\omega }_2$, равномерно отстаёт: за время $t$ она отстаёт на угол $\Delta \omega t$. Её начало остаётся в конце синей стрелки, поэтому её собственный конец бежит по штриховой окружности радиуса $a$ с центром в этой точке. Красная сумма $A$ поэтому то растягивается, то сжимается: она равна $2a$, когда стрелки направлены в одну сторону, и $0$, когда они направлены в противоположные стороны, при $\Delta \omega t=\pi$.

Две равные стрелки и их сумма образуют равнобедренный треугольник, из которого получается длина суммы в любой момент: $A=2a|\cos (\Delta \omega t/2)|$. График справа показывает её как функцию $\Delta \omega t$, а точка на нём отмечает момент, нарисованный слева. Кривая повторяется через каждые $2\pi$ по $\Delta \omega t$, то есть через каждые $2\pi /\Delta \omega$ по времени. Это одно биение: время, за которое более быстрая стрелка набирает целый оборот относительно более медленной.

Алгебра даёт тот же результат. В фиксированной точке возьмём $y=a\sin {\omega }_{1}t+a\sin {\omega }_{2}t$. Тождество $\sin p+\sin q=2\cos \frac{p-q}{2}\sin \frac{p+q}{2}$ превращает это в
$y=2a\cos \left(\frac{\Delta \omega t}{2}\right)\sin (\bar{\omega }t)$
где $\bar{\omega }=({\omega }_1+{\omega }_2)/2$ — средняя циклическая частота. Второй множитель — быстрое колебание на средней частоте; первый — медленная огибающая, задающая его размах.

Третья струна анимации, показанная на этом уровне, складывает две волны с амплитудой $a=1\mathrm{см}$ и частотами $f_1=1,5\mathrm{Гц}$ и $f_2=1,25\mathrm{Гц}$ (в герцах, $f=\omega /(2\pi )$). Быстрое колебание идёт на их средней частоте, 1,375 Гц, а косинус огибающей — на половине их разности, 0,125 Гц: один период косинуса за 8 с цикла анимации. Громкость следует за величиной огибающей, а не за её знаком, и эта величина достигает максимума дважды за период косинуса: один раз, когда косинус равен $+1$, и один раз, когда он равен $-1$. Поэтому биения следуют с полной разностью частот,
$f_{\mathrm{биен}}=|f_1-f_2|$
то есть здесь 0,25 Гц, одно биение каждые 4 с. На графике $y(t)$ в точке P фиолетовая линия нарастает почти до 2 см около $t=0,4\mathrm{с}$ и $4,4\mathrm{с}$ и сжимается до нуля около 2,4 с и 6,4 с, всё время оставаясь внутри штриховой огибающей $\pm 2a$.

В каждом биении укладывается $1,375\cdot 4=5,5$ быстрого колебания, потому что за 4 с волна 1 совершает 6 циклов, а волна 2 — 5. Лишние пол-цикла означают, что быстрое движение после каждого сужения начинается заново, но в перевёрнутом виде, поэтому косинусу огибающей нужны два биения, чтобы повториться. На рисунке 3 это более быстрая стрелка, обгоняющая более медленную один раз за биение. При неравных амплитудах $A_1$ и $A_2$ теорема косинусов при $\phi =\Delta \omega t$ даёт интенсивность
$I\propto A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (\Delta \omega t)$
которая колеблется между $(A_1+A_2{)}^2$ и $(A_1-A_2{)}^2$. Биения остаются, но звук никогда не стихает полностью.

Модуляция: биения, прочитанные наоборот

Биения показывают, что две близкие частоты, сложенные вместе, выглядят как одна частота с медленно меняющейся амплитудой. Если прочитать это в обратную сторону, получается, что волна, амплитуду которой заставляют меняться, содержит дополнительные частоты. Так АМ-радио переносит звук.

Пусть у несущей с циклической частотой ${\omega }_c$ амплитуда следует за тоном с циклической частотой ${\omega }_m$ при глубине модуляции $b$: сигнал равен $(1+b\cos {\omega }_{m}t)\cos {\omega }_{c}t$. Формула произведения косинусов $\cos p\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$ разбивает его на саму несущую и две боковые полосы амплитуды $b/2$ на частотах ${\omega }_c+{\omega }_m$ и ${\omega }_c-{\omega }_m$. АМ-станция на 1,2 МГц, передающая звук до 4,5 кГц, занимает поэтому полосу от 1195,5 до 1204,5 кГц шириной 9 кГц, и именно поэтому каналы АМ в Европе разнесены на 9 кГц.

Много источников: многоугольник из стрелок

Дифракционные решётки и антенные решётки объединяют много источников, а не два. Фазорная картина работает при любом их числе: стрелки просто выкладываются одна за другой в более длинную цепочку.

Обозначения

$N$	Число одинаковых источников, здесь 5.
$a$	Амплитуда одного источника: длина каждой синей стрелки.	$\mathrm{м}$
$A$	Амплитуда суммы: красная стрелка от начала цепочки до её конца.	$\mathrm{м}$
$\phi$	Сдвиг фазы между соседними источниками: угол, на который повёрнута каждая стрелка относительно предыдущей.	$\mathrm{рад}$
$N\phi$	Угол, под которым вся цепочка, от первой стрелки до последней, видна из центра штриховой окружности.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 4 взято $N$ одинаковых источников в ряд, каждый из которых опережает предыдущий по фазе на $\phi$; слева $N=5$. Все $N$ стрелок имеют одну длину $a$, и каждая повёрнута на один и тот же угол $\phi$ относительно предыдущей. Цепочка с равными сторонами и одинаковым поворотом в каждой вершине — часть правильного многоугольника, поэтому её вершины лежат на одной окружности, штриховой; пусть $R$ — её радиус. Из центра каждая сторона видна под углом $\phi$, а вся цепочка, от начала первой стрелки до конца последней, — под углом $N\phi$. Сумма $A$, красная стрелка, замыкает цепочку.

Хорда, стягивающая угол $\beta$ при центре окружности радиуса $R$, имеет длину $2R\sin (\beta /2)$: отрезок от центра до её середины делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных. Значит, одна сторона равна $a=2R\sin (\phi /2)$, а замыкающая хорда — $A=2R|\sin (N\phi /2)|$. Деление второго на первое исключает неизвестный радиус $R$:
$A=a\left|\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right|$
При $N=2$ тождество $\sin \phi =2\sin (\phi /2)\cos (\phi /2)$ возвращает $A=2a|\cos (\phi /2)|$.

Выделяются два случая. Когда $\phi$ кратно $2\pi$, все стрелки направлены в одну сторону, поэтому $A=Na$ и интенсивность равна $I=N^2{I}_0$, где $I_0$ — интенсивность одного источника в одиночку. По мере роста $\phi$ от нуля цепочка закручивается, и первый нуль наступает при $\phi =2\pi /N$: $N$ последовательных поворотов на $\phi$ тогда складываются в один полный оборот, и многоугольник замыкается, как справа на рисунке 4. При десяти источниках пики в 100 раз интенсивнее, чем у одного источника, а их первые нули лежат при $\phi =2\pi /10$ вместо $\pi$ для двух источников, так что пики в пять раз уже. Средняя интенсивность по-прежнему равна $10I_0$, потому что перекрёстные члены усредняются до нуля: энергия собирается в узкие яркие пики. На этом принципе основаны дифракционные решётки и антенные решётки радиотелескопов.

Стоячие волны и волновые пакеты

Суперпозиция объясняет и две картины, которые встретятся в следующих уроках: волны, стоящие на месте, и волны, ограниченные коротким пакетом.

Две одинаковые волны, бегущие в противоположных направлениях, складываются по тому же тождеству, что и для биений, в
$a\sin (kx-\omega t)+a\sin (kx+\omega t)=2a\sin kx\cos \omega t$
Все точки колеблются в такт друг с другом, а амплитуда $2a|\sin kx|$ каждой задана её положением. Там, где $\sin kx=0$, то есть через каждые $\lambda /2$, находятся узлы, которые никогда не движутся: это стоячая волна.

Сложение многих близких частот, распределённых по полосе шириной $\Delta f$, образует единый волновой пакет. Составляющие в один момент согласованы по фазе, а за время около $1/\Delta f$ расходятся; поэтому чем короче пакет, тем более широкая полоса ему нужна: примерно $\Delta f\Delta t\approx 1$. Огибающая пакета движется с групповой скоростью $d\omega /dk$; для двух волн это скорость $\Delta \omega /\Delta k$ картины биений. На струне из анимации все частоты распространяются с одной и той же скоростью 5 см/с, поэтому $\omega =vk$ и групповая скорость равна скорости волн: огибающая биений, повторяющаяся через $v/\Delta f=20\mathrm{см}$ вдоль струны, идёт наравне с волнами. В глубокой воде, где длинные волны бегут быстрее коротких, этого не было бы: там огибающая движется лишь с половинной скоростью гребней.

Задача: расстроенный динамик

В этой задаче сходятся закон для амплитуд, контраст картины и биения.

Возьмём два динамика из промежуточного уровня, играющие в фазе на частоте 686 Гц, так что $\lambda =0,50\mathrm{м}$ в воздухе при скорости звука 343 м/с. Слушатель находится в 3,00 м от одного динамика и в 3,75 м от другого. Амплитуда каждого динамика убывает как $1/r$, поэтому у слушателя дальний слабее в отношении $3,00/3,75=0,80$. Найдём контраст картины, а затем пусть частота дальнего динамика уйдёт до 686,25 Гц.

До ухода частоты разность хода равна $\Delta =0,75\mathrm{м}=1,5\lambda$, поэтому $\phi =2\pi \cdot 1,5=3\pi$ и $\cos \phi =-1$: слушатель находится в тихом месте. Измерим интенсивности в единицах ближнего динамика, звучащего в одиночку, так что $A_1=1$ и $A_2=0,8$. Наименьшее и наибольшее значения, которые может принимать картина, при $\cos \phi =-1$ и $\cos \phi =+1$, равны
$I_{\mathrm{мин}}=(1-0,8{)}^2=0,04,I_{\mathrm{макс}}=(1+0,8{)}^2=3,24$
Видность, или контраст, картины сравнивает их. Так как $I_{\mathrm{макс}}-I_{\mathrm{мин}}=4A_1{A}_2$ и $I_{\mathrm{макс}}+I_{\mathrm{мин}}=2(A_1^2+A_2^2)$,
$V=\frac{I_{\mathrm{макс}}-I_{\mathrm{мин}}}{I_{\mathrm{макс}}+I_{\mathrm{мин}}}=\frac{2A_1{A}_2}{A_1^2+A_2^2}=\frac{1,6}{1,64}=0,98$
Рассогласование амплитуд на 20 % всё равно оставляет провал $10{\log }_{10}(3,24/0,04)\approx 19\mathrm{дБ}$ ниже наибольшего значения: интерференция не требует идеальной точности.

Теперь расстроим дальний динамик на 0,25 Гц. Его фаза набирает целый цикл относительно другого каждые 4 с, поэтому $\phi$ пробегает все значения, и слушатель слышит биения с частотой 0,25 Гц — это ритм третьей струны анимации: 0,04 при $t=0$, 3,24 двумя секундами позже, снова 0,04 при 4 с.

Тот же уход частоты сдвигает картину в пространстве. На линии между динамиками шаг $\delta$ к одному из них укорачивает один путь на $\delta$ и удлиняет другой на $\delta$, поэтому $\Delta$ меняется на $2\delta$; тихие места, отстоящие на одну длину волны по $\Delta$, находятся поэтому на расстоянии $\lambda /2=0,25\mathrm{м}$ друг от друга. По мере дрейфа фазы вся картина сдвигается на один такой интервал за биение — 0,25 м за 4 с, или около 6 см/с, — в сторону динамика с меньшей частотой. Биения во времени и полосы в пространстве — одно и то же явление: картина, проносящаяся мимо неподвижного уха.

Усреднённый за биение перекрёстный член обращается в нуль и оставляет $1+0,8^2=1,64$ — сумму двух отдельных интенсивностей. Если бы расстройка хаотически блуждала в пределах нескольких герц, на каждом месте в среднем получалось бы именно 1,64: независимые источники складывают интенсивности, а не амплитуды.

Границы применимости

Суперпозиция точна, только пока среда отвечает линейно, то есть пока удвоение возмущения удваивает отклик. Сильные волны нарушают это правило, а вторую границу задаёт когерентность.

Звуковая волна не может иметь амплитуду давления больше атмосферного, потому что давление в разрежении не может упасть ниже нуля; для чистого тона этот предел составляет около 191 дБ. Задолго до него сжатия громкой волны бегут быстрее её разрежений, и волна, становясь всё круче, превращается в ударную. Слишком сильно раскачанная струна растягивается, поэтому её натяжение и высота тона растут, а волна на воде обрушивается, когда её высота достигает примерно седьмой части длины волны.

Свет в вакууме подчиняется линейным уравнениям: рассеяние света на свете, которое предсказывает квантовая теория, наблюдалось только в коллайдерах элементарных частиц. Зато в некоторых кристаллах интенсивный свет выводит электроны за пределы линейного отклика и создаёт новые частоты: зелёная лазерная указка превращает инфракрасный свет с длиной волны 1064 нм в зелёный свет с длиной волны 532 нм, то есть с вдвое большей частотой.

Устойчивые полосы требуют и когерентности: две волны должны сохранять постоянную разность фаз. Реальный цуг волн с разбросом частот $\Delta f$ сохраняет устойчивую фазу лишь на длине когерентности $L_{\mathrm{ког}}\approx c/\Delta f$, где $c$ — скорость света. Для солнечного света, занимающего всю видимую полосу, она составляет около 1 мкм — поэтому мыльные плёнки показывают цвета, только пока их толщина не больше примерно микрометра. Для лазера с $\Delta f\approx 1\mathrm{МГц}$ она равна примерно 300 м. Детекторы тоже усредняют: глаз и фотодиоды регистрируют только среднюю интенсивность, а ухо следит за биениями лишь примерно до 15 в секунду.

Что дальше

Две одинаковые волны, бегущие в противоположных направлениях, дают неподвижные узлы, которым посвящён урок «Стоячие волны». Много когерентных источников вдоль щели или решётки создают полосы, о которых говорит урок «Дифракция и опыт Юнга», где снова $\Delta =d\sin \theta$. Свет — это бегущая картина электрического и магнитного полей, как объясняет урок «Электромагнитные волны», а две одинаковые перпендикулярные компоненты, сдвинутые на четверть периода, дают круговые состояния, о которых рассказывает урок «Поляризация света».

Некогерентные источники складывают интенсивности — именно так объединяются децибелы в уроке «Громкость, интенсивность звука и децибелы»; два когерентных источника в одной фазе добавляют в яркой точке 6 дБ, а не 3 дБ, потому что интенсивность там вчетверо, а не вдвое больше, чем у одного источника. Электроны и одиночные фотоны выстраивают полосы точка за точкой: складываются амплитуды, а вероятности — их квадраты. Эта идея, лежащая в основе уроков «Корпускулярно-волновой дуализм» и «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект», и есть суперпозиция в самом глубоком смысле.