अप्रगामी तरंगें

गिटार की तार केवल कुछ खास स्वर ही क्यों निकालती है: दोनों स्थिर सिरों के बीच फँसी तरंगों को पूरी संख्या में अर्ध-तरंगदैर्घ्य में बैठना पड़ता है, $L = nλ /2$ , इसलिए केवल आवृत्तियाँ $f_{n} = n v / (2 L)$ ही बचती हैं।

दोनों सिरों पर बँधी तीन तारें अपने पहले तीन संनादियों में कंपन करती हैं, जिनमें स्थिर निस्पंद और झूलते प्रस्पंद होते हैं।

इस विषय से पहले: तरंगों की मूल बातें

शुरुआती

मुख्य विचार

जब सिरों से लौटती तरंगें बाहर जाती तरंगों से मिलती हैं, तब अप्रगामी तरंग बनती है।
निस्पंद वे बिंदु हैं जो कभी नहीं हिलते; उनके बीच में स्थित प्रस्पंद सबसे ज़्यादा झूलते हैं।
दोनों स्थिर सिरों के बीच केवल पूरी संख्या में लूप बैठते हैं; एक लूप वाली मूल आवृत्ति सबसे नीचा स्वर देती है।
अधिक लूप का अर्थ है तेज़ कंपन और ऊँचा स्वर: दो लूप एक लूप से दोगुनी तेज़ी से कंपन करते हैं।
छोटी, कसी हुई या पतली तार ऊँचा स्वर देती है।

दो दोस्त एक लंबी रस्सी को घुमाते हैं, तो वह एक बड़े लूप की तरह झूलती है: बीच का भाग सबसे ऊँचा उठता है, जबकि सिरे उनके हाथों में ही रहते हैं। एक सिरे को और तेज़ हिलाएँ, तो रस्सी दो लूप में बदल सकती है, जिसके बीच में एक स्थिर बिंदु होता है। इनमें से कोई भी आकार रस्सी के साथ नहीं चलता: यही अप्रगामी तरंग है।

यह कहाँ से आती है? तरंगें तार के साथ चलती हैं, स्थिर सिरों से टकराकर लौटती हैं। बाहर जाती और लौटती तरंगें एक-दूसरे पर चढ़ती हैं और मिलकर एक ऐसा पैटर्न बनाती हैं जो अपनी जगह पर टिका रहता है। एनिमेशन की बीच वाली तार पर बिंदुकित तरंगें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, और ठोस तार उनके योग का परिणाम है।

कुछ बिंदु कभी नहीं हिलते। ये निस्पंद हैं, जो सुनहरे बिंदुओं से दिखाए गए हैं; स्थिर सिरे भी निस्पंद हैं। दो निस्पंदों के ठीक बीच में तार सबसे ज़्यादा झूलती है: यह प्रस्पंद है।

चूँकि दोनों सिरे स्थिर रहने चाहिए, इसलिए केवल पूरी संख्या में लूप बैठ सकते हैं: एक, दो, तीन और इसी तरह। एक लूप वाला पैटर्न मूल आवृत्ति है और सबसे नीचा स्वर देता है। दो लूप एक से दोगुनी तेज़ी से और तीन लूप तीन गुना तेज़ी से कंपन करते हैं, और इन्हें ऊँचे स्वर या संनादी (हार्मोनिक) कहते हैं। असली तार एक साथ कई ऐसे पैटर्न में कंपन करती है, और इसी मिश्रण के कारण गिटार और वायलिन एक ही स्वर बजाने पर भी अलग सुनाई देते हैं।

तार को फ़्रेट पर दबाने से कंपन करने वाला भाग छोटा हो जाता है, इसलिए हर लूप छोटा होता है और स्वर ऊँचा हो जाता है। तार को कसने या पतली तार लेने से भी स्वर ऊँचा होता है। बाँसुरी और ऑर्गन पाइप भी नली के अंदर अप्रगामी ध्वनि-तरंगों से यही करते हैं: पाइप जितना लंबा, स्वर उतना नीचा।

खुद जाँचें: एक तार तीन लूप में कंपन करती है। दोनों सिरों सहित उसमें कितने निस्पंद हैं? (चार।)

मध्यम

मुख्य विचार

दोनों सिरों पर बँधी तार में पूरी संख्या में अर्ध-तरंगदैर्घ्य बैठते हैं: $L = nλ /2$ , इसलिए $λ_{n} = 2 L / n$ ।
अनुमत आवृत्तियाँ $f_{n} = n v / (2 L) = n f_{1}$ हैं; सबसे नीची मूल आवृत्ति $f_{1} = v / (2 L)$ है।
तार पर तरंग की चाल $v = F / μ$ है, इसलिए तनाव चार गुना करने पर सभी आवृत्तियाँ दोगुनी हो जाती हैं।
पड़ोसी निस्पंदों के बीच $λ /2$ की दूरी है, और हर प्रस्पंद निकटतम निस्पंद से $λ /4$ दूर है।
एक सिरे पर बंद पाइप में केवल विषम संनादी होते हैं: $f_{n} = n v / (4 L)$ , $n = 1, 3, 5, \dots$

दो चलती तरंगें मिलकर अप्रगामी तरंग बनाती हैं

दोनों सिरों पर बँधी तार पर तरंगें सिरों से टकराकर एक-दूसरे को पार करती हैं। जब समान आयाम $A$ , तरंगदैर्घ्य $λ$ और आवृत्ति $f$ वाली दो तरंगें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनका योग नहीं चलता: वह एक अप्रगामी तरंग है। एनिमेशन की बीच वाली तार पर बिंदुकित वक्र दो तरंगें हैं और ठोस तार उनका योग है।

जहाँ दोनों तरंगें हमेशा विपरीत विस्थापन के साथ पहुँचती हैं, वहाँ वे एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं: ये निस्पंद हैं, जो सुनहरे बिंदुओं से दिखाए गए हैं, और कभी नहीं हिलते। दो निस्पंदों के ठीक बीच में तरंगें हमेशा एक-सी होती हैं, और तार $2 A$ आयाम से झूलती है: ये प्रस्पंद हैं। बाकी हर बिंदु समान आवृत्ति पर कंपन करता है, पर छोटे आयाम पर, और पड़ोसी लूप विपरीत दिशाओं में चलते हैं।

“तरंगों की मूल बातें” के $λ$ , हर्ट्ज़ में $f$ और तरंग की चाल $v = f λ$ के अलावा, तार की लंबाई $L$ दोनों बंधनों के बीच मापी जाती है, तनाव $F$ न्यूटन में होता है, और रैखिक घनत्व $μ$ तार के प्रति मीटर का द्रव्यमान है, kg/m में। संनादी संख्या $n$ लूपों की गिनती करती है।

दोनों सिरों के बीच अर्ध-तरंगदैर्घ्य बैठाना

पड़ोसी निस्पंद आधे तरंगदैर्घ्य की दूरी पर होते हैं, और हर प्रस्पंद निकटतम निस्पंद से एक चौथाई तरंगदैर्घ्य पर होता है। बँधा हुआ सिरा नहीं हिल सकता, इसलिए वह निस्पंद होना चाहिए, और तार में पूर्ण संख्या $n$ के लूप होते हैं, जिनमें से हर एक $λ /2$ लंबा है:
$L = \frac{nλ}{2}$
इसलिए वह केवल ये तरंगदैर्घ्य अनुमत करती है
$λ_{n} = \frac{2 L}{n}$
जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ सबसे लंबा तरंगदैर्घ्य तार की लंबाई का दोगुना है।

जो तरंग नहीं बैठती, वह हर चक्कर के बाद उस तरंग से बेमेल होकर लौटती है जो अभी पहुँच रही है, और उसके परावर्तन काफ़ी हद तक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। केवल बैठने वाले तरंगदैर्घ्य ही स्वयं को प्रबल करते हैं, इसलिए हर सीमित तरंग की प्राकृतिक आवृत्तियों का एक निश्चित समुच्चय होता है।

संनादी श्रेणी और तरंग की चाल

एक ही तार की सभी तरंगें एक ही चाल $v$ से चलती हैं, इसलिए हर अनुमत तरंगदैर्घ्य की अपनी आवृत्ति होती है, $f_{n} = v / λ_{n}$ :
$f_{n} = \frac{n v}{2 L} = n f_{1}$
सबसे नीची, $f_{1} = v / (2 L)$ , मूल आवृत्ति है; बाकी, $2 f_{1}$ , $3 f_{1}$ आदि, इसके संनादी हैं, जो $f_{1}$ के बराबर अंतर पर होते हैं। दूसरा संनादी मूल स्वर से एक सप्तक ऊपर बजता है।

तरंग की चाल तनाव और रैखिक घनत्व पर निर्भर करती है:
$v = \frac{F}{μ}$
कसी तनी हुई तार का विस्थापित भाग ज़ोर से वापस खींचा जाता है, इसलिए तरंगें तेज़ चलती हैं; भारी तार में अधिक जड़त्व होता है, इसलिए तरंगें धीमी चलती हैं।

इसलिए स्वर ऊँचा करने के तीन तरीके हैं: कंपन करने वाला भाग छोटा करें (फ़्रेट), तार कसें (खूँटी) या हल्की तार लें। आवृत्ति $L$ के व्युत्क्रमानुपाती है, पर केवल $F$ के अनुपात में बढ़ती है: लंबाई आधी करने पर आवृत्ति दोगुनी होती है, जबकि केवल तनाव से यही करने के लिए चार गुना बल चाहिए।

उदाहरण: एनिमेशन की गिटार तार

एनिमेशन की तारें 0.65 m लंबी हैं, जैसे शास्त्रीय गिटार की, और उनमें तरंगें 143 m/s पर चलती हैं। मूल आवृत्ति में तार में आधा तरंगदैर्घ्य बैठता है:
$λ_{1} = 2 L = 2 \cdot 0.65 = 1.30 m$
$f_{1} = \frac{v}{λ _{1}} = \frac{143}{1.30} = 110 Hz$
फिर $f_{2} = 220 Hz$ और $f_{3} = 330 Hz$ , जो तारों के बगल में बैंगनी लेबल हैं; 110 Hz गिटार की पाँचवीं तार का A स्वर है। वास्तविक आवर्तकाल $1/110 s \approx 9.1 ms$ देखने के लिए बहुत छोटा है, इसलिए एनिमेशन उसे 2 s तक खींचता है, यानी 220 गुना धीमा।

तीसरी तार पर $λ_{3} = 2 L /3 \approx 0.433 m$ , इसलिए निस्पंद $λ_{3} /2 \approx 0.217 m$ की दूरी पर हैं और हर प्रस्पंद अपने पड़ोसियों से $λ_{3} /4 \approx 0.108 m$ दूर है: तार के नीचे लिखे अक्षर N A N A N A N का यही अंतर है, दोनों सिरों सहित चार निस्पंद और तीन प्रस्पंद।

उसी लंबाई पर मूल आवृत्ति को एक सप्तक ऊपर, 220 Hz तक ले जाने के लिए $v$ को दोगुना होकर 286 m/s होना होगा; चूँकि $v$ , $F$ के अनुपात में बढ़ता है, तनाव को दोगुना नहीं बल्कि चार गुना करना होगा।

उदाहरण: वायलिन की तार सुर में लाना

वायलिन की A तार 0.325 m पर कंपन करती है और उसका रैखिक घनत्व 0.60 g/m है, यानी $6.0 \times 1 0^{- 4} kg/m$ । उसे 440 Hz पर सुर में लाने के लिए कितना तनाव चाहिए? पहले तरंग की चाल निकालें:
$v = 2 L f_{1} = 2 \cdot 0.325 \cdot 440 = 286 m/s$
$F = μ v^{2} = 6.0 \times 1 0^{- 4} \cdot 28 6^{2} \approx 49 N$
यह लगभग 5 kg के द्रव्यमान के भार जितना है; यदि $μ$ को g/m में ही रहने दें, तो तनाव लगभग एक हज़ार गुना अधिक आएगा।

यदि तार ढीली होकर 436 Hz बजे, तो तनाव $(440/436)^{2} \approx 1.018$ गुना बढ़ाना होगा, यानी 2% से कम, लगभग 0.9 N, क्योंकि $f_{1}$ , $F$ के अनुपात में है। 494 Hz का B स्वर बजाने के लिए वायलिनवादक इसके बजाय तार छोटी करता है, $L^{'} = v / (2 f) = 286/988 \approx 0.289 m$ : उँगली ऊपरी नट से लगभग 3.5 cm नीचे जाती है।

पैटर्न पढ़ना: लूप, कला और पाइप

अप्रगामी तरंग का चित्र पढ़ने के लिए लूप गिनें: उनकी संख्या $n$ है, हर एक $λ /2$ लंबा, और सिरों सहित $n + 1$ निस्पंद होते हैं। एक लूप के भीतर के बिंदु एक साथ चलते हैं; पड़ोसी लूप आधे चक्र की कला-दूरी पर होते हैं। हर चक्र में पूरी तार दो बार अपनी सीधी स्थिति से गुज़रती है, तब उसकी गति सबसे तेज़ होती है, और चरम पर वह क्षण भर के लिए रुकती है।

पाइप में हवा पाइप की लंबाई के अनुदिश आगे-पीछे चलती है। बंद सिरा हवा को रोकता है और विस्थापन निस्पंद होता है; खुला सिरा लगभग विस्थापन प्रस्पंद होता है। दोनों सिरों पर खुले पाइप में वही श्रेणी होती है जो तार की है, $f_{n} = n v / (2 L)$ । एक सिरे पर बंद पाइप में चौथाई तरंगदैर्घ्य विषम संख्या में बैठते हैं, इसलिए $f_{n} = n v / (4 L)$ , केवल विषम $n$ के लिए। ध्वनि की चाल 343 m/s लेने पर, 0.65 m का पाइप एक सिरे पर बंद होने पर 132, 396 और 660 Hz बजाता है, और दोनों सिरों पर खुला होने पर 264, 528 और 792 Hz।

सामान्य गलतियाँ

अप्रगामी तरंग जमी हुई नहीं होती: निस्पंदों को छोड़कर हर बिंदु कंपन करता रहता है, सभी एक ही आवृत्ति पर, एनिमेशन की सबसे नीची तार पर 330 Hz।
तरंगदैर्घ्य तार की लंबाई के बराबर नहीं होता: मूल आवृत्ति में तार में आधा तरंगदैर्घ्य बैठता है, इसलिए 0.65 m की तार के लिए $λ_{1} = 1.30 m$ ।
निस्पंद पूरे नहीं, आधे तरंगदैर्घ्य की दूरी पर होते हैं: $λ = 0.8 m$ हो तो वे 0.4 m दूर होंगे, और एक निस्पंद निकटतम प्रस्पंद से 0.2 m पर होगा।
तनाव दोगुना करने से स्वर दोगुना नहीं होता: चूँकि $f$ , $F$ के अनुपात में है, 110 Hz की तार केवल लगभग 156 Hz तक ही ऊपर जाएगी।
संनादी एक ही स्वर की अधिक ज़ोर वाली प्रतियाँ नहीं हैं, बल्कि अलग आवृत्तियाँ हैं, यहाँ 110, 220 और 330 Hz; तार छेड़ने पर बनने वाला मिश्रण हर वाद्य को उसकी विशिष्ट स्वर-गुणता (timbre) देता है।

यह कहाँ दिखता है

हर तार वाला वाद्य अप्रगामी तरंगों का समूह है: फ़्रेट $L$ बदलते हैं, खूँटियाँ $F$ बदलती हैं, और बास तारों पर द्रव्यमान बढ़ाने के लिए तार लपेटा जाता है। जो वायलिनवादक तार के मध्य को हल्के से छूता है, वहाँ जबरन निस्पंद बना देता है: मूल आवृत्ति और विषम संनादी, जिन्हें केंद्र पर गति चाहिए, लुप्त हो जाते हैं, और स्वर एक सप्तक ऊपर कूद जाता है। बाँसुरी, क्लैरिनेट और ऑर्गन पाइप अप्रगामी ध्वनि-तरंगें रखते हैं। माइक्रोवेव ओवन में गर्म बिंदु आधे तरंगदैर्घ्य, लगभग 6 cm, की दूरी पर होते हैं।

किसी तंत्र को उसकी प्राकृतिक आवृत्ति पर चलाने से बड़ी गति जमा होती है, जो 'अवमंदन और अनुनाद' का अनुनाद है। अप्रगामी तरंगें 'व्यतिकरण और अध्यारोपण' की एक विशेष स्थिति हैं, पाइप 'ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव' की ध्वनि-चाल का उपयोग करते हैं, और कक्षा के चारों ओर पूरे तरंगदैर्घ्य बैठाने का विचार 'परमाणु मॉडल: बोर परमाणु' में इलेक्ट्रॉनों के लिए लौट आता है।

उन्नत

मुख्य विचार

$A sin (k x - ω t) + A sin (k x + ω t) = 2 A sin k x cos ω t$ : एक स्थिर आकार गुणा एक साझा दोलन।
बँधा हुआ सिरा स्पंद को उल्टा लौटाता है, मानो दीवार के पीछे कोई उलटा जुड़वाँ स्पंद हो; दोनों सिरे केवल $k_{n} = nπ / L$ की अनुमति देते हैं।
कोई भी गति विधाओं का अध्यारोपण है, $\sum b_{n} sin (nπ x / L) cos (ω_{n} t + φ_{n})$ ; तार के मध्य में खींचने पर सम विधाएँ नहीं बनतीं।
अप्रगामी तरंग कोई शुद्ध ऊर्जा नहीं ले जाती: ऊर्जा गतिज (प्रस्पंद) और प्रत्यास्थ (निस्पंद) ऊर्जा के बीच आती-जाती रहती है; $f_{n}$ पर चलाने से अनुनाद होता है।
सीमित तरंगों में हर जगह असतत विधाएँ होती हैं; क्वांटम यांत्रिकी में आवृत्ति ऊर्जा बन जाती है, जिससे ऊर्जा-स्तर मिलते हैं।

तार पर दो चलती तरंगें

यह पाठ समझाता है कि दोनों सिरों पर बँधी तार केवल कुछ खास आवृत्तियों पर ही क्यों कंपन करती है। शुरुआत सबसे सरल प्रश्न से होती है: एक अकेली तरंग तनी हुई तार पर कैसे चलती है?

मान लें $y (x, t)$ समय $t$ पर स्थिति $x$ पर स्थित तार के बिंदु का पार्श्व विस्थापन है। छोटी ढलानों के लिए, तनाव $F$ और प्रति मीटर द्रव्यमान $μ$ वाली तार तरंग समीकरण का पालन करती है
$\frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = v^{2} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}}$
जहाँ $v^{2} = F / μ$ है और $v$ तरंग की चाल है। इसका सामान्य हल दाईं ओर चलने वाले किसी भी आकार और बाईं ओर चलने वाले किसी भी आकार का योग है:
$y (x, t) = u (x - v t) + q (x + v t)$
जहाँ कहीं $x - v t$ स्थिर रहता है, वहाँ $u$ का मान भी स्थिर रहता है; इसलिए आकार $u$ बिना बदले चाल $v$ से बड़े $x$ की ओर खिसकता है, और $q$ उल्टी दिशा में खिसकता है। तार का एक सिरा इन दोनों तरंगों को आपस में जोड़ता है, और अप्रगामी तरंगें वहीं से बनती हैं।

बँधे हुए सिरे पर परावर्तन

जब कोई स्पंद ऐसे बिंदु तक पहुँचता है जो नहीं हिल सकता, तब क्या होता है? उत्तर है उल्टी प्रतिध्वनि, और यही हर अप्रगामी तरंग का पहला आधा भाग है।

चित्र 1 में तार $x = 0$ पर बँधी है; असली तार दीवार के दाईं ओर का भाग है, यानी $x > 0$ । स्पंद $q (x + v t)$ दाईं ओर से आता है और बाईं ओर चलता है। बंधन का अर्थ है कि हर क्षण $y (0, t) = 0$ है। सामान्य हल में $x = 0$ रखने पर हर $t$ के लिए $u (- v t) + q (v t) = 0$ मिलता है। $s = - v t$ लिखें, तो हर $s$ के लिए $u (s) = - q (- s)$ आता है: लौटती तरंग पूरी तरह आती हुई तरंग से तय होती है, और
$y (x, t) = q (x + v t) - q (v t - x)$

दूसरे पद को एक चित्र की तरह पढ़ें। $q (x + v t)$ में $x$ की जगह $- x$ रखने पर $q (v t - x)$ मिलता है, यानी बंधन में दर्पण की तरह प्रतिबिंबित आता हुआ स्पंद; ऋण चिह्न उसे उल्टा कर देता है। चित्र 1 के ऊपरी भाग में क्षण $t_{1}$ पर दोनों आकृतियों को देखें। बैंगनी स्पंद $q (x + v t)$ असली तार पर है और बाईं ओर चलता है। उसका सुनहरा, बिंदुकित जुड़वाँ $- q (v t - x)$ दीवार के पीछे दर्पण की स्थिति में नीचे लटकता है और दाईं ओर चलता है। दोनों चाल $v$ से चलते हैं, इसलिए वे एक ही क्षण दीवार तक पहुँचते हैं, और $x = 0$ पर हर क्षण एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: बंधन कभी नहीं हिलता।

नीचे के भाग में, बाद के क्षण $t_{2}$ पर, दोनों एक-दूसरे के आर-पार निकल चुके हैं। ठोस सुनहरा जुड़वाँ अब असली तार पर अकेला आकार है, उल्टा और दीवार से दूर जाता हुआ, जबकि बैंगनी मूल स्पंद बिंदुकित रूप में दीवार के पीछे आगे बढ़ता रहता है, जहाँ कोई तार नहीं है। परिणाम: बँधे सिरे पर स्पंद उल्टा होकर लौटता है, उसका आकार और चाल दोनों अपरिवर्तित रहते हैं।

मुक्त सिरा, जैसे चिकनी छड़ पर फिसलता छल्ला, अलग व्यवहार करता है। छल्ला हिल सकता है, पर छड़ से उस पर पार्श्व बल नहीं लगता, इसलिए तार को छड़ से समकोण पर मिलना होगा: $x = 0$ पर $\partial y / \partial x = 0$ । वही चरण फिर $u (s) = + q (- s)$ देते हैं, और स्पंद सीधा होकर लौटता है।

दो चलती तरंगों से अप्रगामी तरंग तक

अब एकल स्पंद की जगह ज्या-तरंग भेजें। आती हुई तरंग और उसका परावर्तन पूरी तार पर एक-दूसरे पर चढ़ते हैं, और उनका योग एक अप्रगामी तरंग है।

आती हुई तरंग $A sin (k x + ω t)$ लें, जिसका आयाम $A$ है, तरंगदैर्घ्य $λ$ के लिए तरंग-संख्या $k = 2 π / λ$ है, और कोणीय आवृत्ति $ω = v k$ है; यह $q (x + v t)$ रूप की तरंग है। इसका उल्टा दर्पण-प्रतिबिंब $- q (v t - x)$ है, जो $- A sin (ω t - k x) = A sin (k x - ω t)$ के बराबर है। $sin a + sin b = 2 sin \frac{1}{2} (a + b) cos \frac{1}{2} (a - b)$ से दोनों को जोड़ने पर मिलता है
$y (x, t) = 2 A sin (k x) cos (ω t)$

अब स्थान और समय अलग हो गए हैं: एक स्थिर आकार $sin k x$ , जिसे हर बिंदु के लिए साझा एक दोलन $cos ω t$ से गुणा किया गया है। $x$ पर स्थित बिंदु आयाम $2 A ∣ sin k x ∣$ से ज्यावक्रीय ढंग से ऊपर-नीचे चलता है। जहाँ $sin k x = 0$ है, यानी जहाँ $k x = mπ$ (पूर्ण संख्या $m$ के लिए), वहाँ तार कभी नहीं हिलती: ये बिंदु निस्पंद हैं, और $k = 2 π / λ$ होने से ये $λ /2$ की दूरी पर हैं। निस्पंदों के ठीक बीच, जहाँ $∣ sin k x ∣ = 1$ है, प्रस्पंद होते हैं, जो पूर्ण आयाम $2 A$ से झूलते हैं।

चूँकि $sin k x$ हर निस्पंद पर अपना चिह्न बदलता है, पड़ोसी लूप हमेशा रेखा के विपरीत पक्षों पर होते हैं: वे विपरीत कला में झूलते हैं। ऐसी गति, जिसमें हर बिंदु एक ही आवृत्ति पर एक स्थिर आकार के साथ दोलन करता है, प्रसामान्य विधा (normal mode) कहलाती है।

एनिमेशन इसे तार की दूसरी विधा, $n = 2$ , पर दिखाता है। बिंदुकित सुनहरी तरंग $A sin (k x - ω t)$ दाईं ओर चलती है, बिंदुकित बैंगनी बाईं ओर, और ठोस तार उनका योग है। ग्राफ़ $x = L /4$ पर लाल प्रस्पंद का अनुसरण करता है, जहाँ $sin k x = 1$ है: उसकी गति शुद्ध कोसाइन $2 A cos ω t$ है, जो बिंदुकित $+ 2 A$ रेखा से शुरू होती है।

दोनों सिरे बँधे हुए: केवल कुछ तरंग-संख्याएँ

दूसरा बंधन संभव तरंगों के एक सतत समुच्चय को स्वरों के समुच्चय में बदल देता है। तार को उसका स्वर इसी चरण से मिलता है।

उपरोक्त अप्रगामी तरंग का $x = 0$ पर पहले से एक निस्पंद है। $x = L$ पर दूसरा बंधन भी हर समय $y (L, t) = 0$ माँगता है, इसलिए $sin k L = 0$ होना चाहिए, और $k L$ , $π$ का पूर्ण गुणज होना चाहिए:
$k_{n} = \frac{nπ}{L}$
जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ लूपों की गिनती है। शब्दों में, दोनों बंधनों के बीच अर्ध-तरंगदैर्घ्य की पूर्ण संख्या बैठनी चाहिए, $L = n λ_{n} /2$ । तार की हर तरंग के लिए $ω = v k$ होने से अनुमत कोणीय आवृत्तियाँ $ω_{n} = nπ v / L$ हैं, और आवृत्तियाँ हैं
$f_{n} = \frac{n v}{2 L}$
ये सबसे निचली आवृत्ति, यानी मूल आवृत्ति $f_{1} = v / (2 L)$ के पूर्ण गुणज हैं: यही संनादी श्रेणी (harmonic series) है।

एनिमेशन की तार के लिए $L = 0.65 m$ और $v = 143 m/s$ है, इसलिए $f_{1} = 143/ (2 \cdot 0.65) = 110 Hz$ , $k_{1} = π /0.65 \approx 4.83 rad/m$ और $ω_{1} = 2 π \cdot 110 \approx 691 rad/s$ । केवल एक बंधन वाली तार हर $k$ स्वीकार करती है: यह दूसरी सीमा ही है जो स्पेक्ट्रम को विविक्त बनाती है।

आने-जाने का चक्कर और संनादी श्रेणी

वही आवृत्तियाँ बिना किसी ज्या-फलन के भी मिलती हैं, बस एक स्पंद का दोनों बंधनों के बीच उछलना देखकर। यह दृष्टिकोण दिखाता है कि संनादी ठीक-ठीक पूर्ण गुणज क्यों होते हैं।

चित्र 2 एक दिक्-काल आरेख है: स्थिति $x$ आड़ी दिशा में है, समय $t$ ऊपर की ओर है, और दो मोटी ऊर्ध्वाधर रेखाएँ $x = 0$ और $x = L$ पर स्थित बंधन हैं, जो अपनी जगह से नहीं हिलते। स्थिर चाल से चलने वाला स्पंद एक तिरछी सीधी रेखा है, और हर उछाल एक कोना है। नीचे से नीली रेखा का अनुसरण करें। स्पंद $t = 0$ पर $x_{0}$ से चाल $v$ से दाईं ओर चलता है; चिह्न $+$ बताता है कि वह सीधा है। $x = L$ पर वह परावर्तित होकर उल्टा हो जाता है ( $-$ ), पूरी तार पर बाईं ओर जाता है, फिर $x = 0$ पर परावर्तित होकर फिर सीधा हो जाता है ( $+$ )। दो परावर्तन दो उलटाव हैं, इसलिए वह शीर्ष बिंदु पर $x_{0}$ तक सीधा और दाईं ओर चलता हुआ पहुँचता है, ठीक वैसे ही जैसे शुरुआत में था।

पथ की लंबाई इस पर निर्भर नहीं करती कि स्पंद कहाँ से शुरू हुआ: $(L - x_{0}) + L + x_{0} = 2 L$ । इसलिए एक चक्कर में लगने वाला समय है
$T_{1} = \frac{2 L}{v} = \frac{1.30}{143} \approx 9.09 ms$
जो 110 Hz के लिए ठीक $1/ f_{1}$ है। किसी भी आकार का विक्षोभ ऐसे हिस्सों से बना होता है जिनमें से हर एक यही चक्कर लगाता है, इसलिए $T_{1}$ के बाद पूरी तार अपनी प्रारंभिक अवस्था में लौट आती है और गति आवर्तकाल $T_{1}$ के साथ दोहराई जाती है। आवर्तकाल $T_{1}$ वाली गति में केवल वही आवृत्तियाँ हो सकती हैं जो $T_{1}$ में पूर्ण संख्या में चक्र समा सकें: यानी $1/ T_{1} = 110 Hz$ के गुणज। संनादी श्रेणी आने-जाने के समय को ही स्पेक्ट्रम के रूप में लिखना है।

कोई भी गति विधाओं का योग है

वास्तविक तार कभी भी एक शुद्ध विधा में नहीं छेड़ी जाती। यह भाग दिखाता है कि हर गति फिर भी विधाओं का मिश्रण है, और यह मिश्रण कैसे ज्ञात करें।

तरंग समीकरण रैखिक है: यदि दो गतियाँ हल हैं, तो उनका योग भी हल है। हर विधा एक हल है, और सभी विधाएँ मिलकर तार की किसी भी गति को बनाने के लिए पर्याप्त हैं:
$y (x, t) = \sum_{n} b_{n} sin \frac{nπ x}{L} cos (ω_{n} t + φ_{n})$
विधा $n$ अपने आयाम $b_{n}$ और कला $φ_{n}$ के साथ आती है। दोनों तार के प्रारंभिक आकार और प्रारंभिक वेग से तय होते हैं, और इन्हें ज्ञात करने को फ़ूरियर विश्लेषण कहते हैं।

इन्हें ज्ञात करने का औज़ार लांबिकता (orthogonality) है: दो अलग-अलग विधाओं के आकारों को गुणा करके तार पर समाकलित करें, तो परिणाम शून्य होता है। आकार $y_{0} (x)$ के साथ स्थिर अवस्था से छोड़ी गई तार के लिए हर कला $φ_{n}$ शून्य है, क्योंकि हर विधा को स्थिर अवस्था से शुरू होना होगा। $y_{0} (x)$ को विधा $n$ के आकार से गुणा करके 0 से $L$ तक समाकलित करें। लांबिकता विधा $n$ के अपने पद के अलावा हर पद हटा देती है, और यह $b_{n}$ गुणा $\int_{0}^{L} sin^{2} (nπ x / L) d x = L /2$ देता है। अतः
$b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} y_{0} (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$

सममिति एक स्थिति का निर्णय बिना किसी समाकलन के कर देती है। तार के मध्य पर खींचने से $x = L /2$ के सापेक्ष सममित आकार बनता है, जबकि सभी सम विधाएँ उस बिंदु के सापेक्ष प्रतिसममित हैं: एक आधा ऊपर जाता है और दूसरा नीचे। सममित आकार और प्रतिसममित आकार का गुणनफल शून्य समाकलित होता है, इसलिए सम गुणांक लुप्त हो जाते हैं, और मध्य से खींची गई तार केवल विषम संनादी बजाती है। उल्टी दिशा में, कुछ ही विधाएँ समृद्ध गतियाँ बना देती हैं: केवल पहली दो विधाएँ, जो एक-चौथाई चक्र बेमेल हैं, जुड़कर एक उभार बनाती हैं जो सिरों के बीच आगे-पीछे चलता है, और बहुत सारी विधाएँ मिलकर असली तार छेड़ने का तीखा कोना बनाती हैं।

लांबिकता ऊर्जा को भी बाँटती है। तार की कुल ऊर्जा विधाओं की ऊर्जाओं का योग है, विधाओं के बीच कोई क्रॉस-पद नहीं:
$E_{n} = \frac{1}{4} μL ω_{n}^{2} b_{n}^{2}$
यह विधा $n$ की गतिज ऊर्जा है, जब वह सीधी स्थिति से गुज़रती है: प्रति मीटर $\frac{1}{2} μ ω_{n}^{2} b_{n}^{2} sin^{2} (nπ x / L)$ , और तार के साथ $sin^{2}$ का औसत आधा है। इस अर्थ में, कोई भी रैखिक कंपनशील तंत्र, पुल से लेकर अणु तक, स्वतंत्र दोलकों का समूह है, हर विधा के लिए एक।

ऊर्जा कहाँ रहती है

अप्रगामी तरंग तार के साथ कोई ऊर्जा नहीं ले जाती, फिर भी ऊर्जा उसके भीतर लगातार चलती रहती है। चित्र 3 दिखाता है कि वह कहाँ संचित होती है।

चित्र 3 $n = 2$ की तार को उसके दोनों चरम आकारों में दिखाता है, जिसके निस्पंद सुनहरे बिंदु हैं, जो $λ /2$ की दूरी पर हैं। उसके नीचे दो वक्र दिखाते हैं कि प्रति मीटर ऊर्जा $x$ के साथ कैसे फैली है। हर वक्र एक चक्र के दौरान प्रत्येक बिंदु पर ऊर्जा का अधिकतम मान है; दोनों अधिकतम मान अलग-अलग क्षणों पर आते हैं।

प्रति मीटर गतिज ऊर्जा $u_{K} = \frac{1}{2} μ (\partial y / \partial t)^{2}$ है। $\partial y / \partial t = - 2 A ω sin k x sin ω t$ होने से यह $sin^{2} k x sin^{2} ω t$ के अनुसार बदलती है। इसका अधिकतम मान, ठोस बैंगनी वक्र, प्रस्पंदों पर चरम पर होता है, जहाँ तार सबसे तेज़ चलती है, और निस्पंदों पर शून्य हो जाता है, जो कभी नहीं हिलते। यह उन क्षणों पर पहुँचता है जब तार सीधी स्थिति से गुज़रती है।

तार को खींचकर संचित प्रति मीटर प्रत्यास्थ ऊर्जा $u_{E} = \frac{1}{2} F (\partial y / \partial x)^{2}$ है। $\partial y / \partial x = 2 A k cos k x cos ω t$ होने से यह $cos^{2} k x cos^{2} ω t$ के अनुसार बदलती है। इसका अधिकतम मान, बिंदुकित हरा वक्र, निस्पंदों पर चरम पर होता है, जहाँ तार सबसे अधिक झुकी होती है, और अधिकतम विस्थापन के क्षणों पर पहुँचता है। दोनों वक्र एक ही ऊँचाई $2 μ A^{2} ω^{2}$ पर पहुँचते हैं, क्योंकि $F k^{2} = μ ω^{2}$ है ( $v^{2} = F / μ$ और $ω = v k$ से)। इसलिए हर चक्र में ऊर्जा निस्पंदों के पास की प्रत्यास्थ ऊर्जा और प्रस्पंदों के पास की गतिज ऊर्जा के बीच आगे-पीछे होती रहती है।

इसमें से कुछ भी तार के साथ क्यों नहीं चलता? हर चलने वाला घटक एक औसत शक्ति $\frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2} v$ ले जाता है, पर अप्रगामी तरंग में दोनों उसे विपरीत दिशाओं में ले जाते हैं, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। हर क्षण किसी बिंदु से गुज़रती शक्ति, बाईं ओर की तार द्वारा लगाया गया पार्श्व बल $- F \partial y / \partial x$ गुणा उस बिंदु का वेग $\partial y / \partial t$ है:
$P = - F \frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial t} = F kω A^{2} sin 2 k x sin 2 ω t$
गुणक $sin 2 k x$ हर समय हर निस्पंद और हर प्रस्पंद पर शून्य है। ऊर्जा उन बिंदुओं को कभी पार नहीं करती: वह हर चौथाई तरंगदैर्घ्य के भीतर आगे-पीछे झूलती है, गति की दोगुनी आवृत्ति पर। एनिमेशन के ग्राफ़ पर प्रस्पंद अपनी अधिकतम चाल $2 A ω$ पर शून्य से गुज़रता है; उस क्षण उस क्षेत्र की पूरी ऊर्जा गतिज होती है।

तार को उसकी किसी एक $f_{n}$ पर चलाएँ, तो हर चक्र में दी गई ऊर्जा जुड़ती जाती है, इसलिए आयाम तब तक बढ़ता है जब तक हानियाँ दी जा रही ऊर्जा के बराबर न हो जाएँ। यही अनुनाद है, और उसके शिखर की ऊँचाई 'अवमंदन और अनुनाद' में मिलने वाले गुणता-गुणांक $Q$ से तय होती है।

आदर्श तार से परे

पूर्ण संख्या में तरंगों के बैठने का नियम अन्य सिरों, अधिक कठोर तारों और सतहों पर भी लागू होता है, जिनमें ऐसे बदलाव होते हैं जो आप सुन सकते हैं।

$x = 0$ पर बँधी और $x = L$ पर मुक्त तार को मुक्त सिरे पर शून्य ढलान चाहिए, $cos k L = 0$ , इसलिए $k L = (m - \frac{1}{2}) π$ , जहाँ $m \geq 1$ पूर्ण संख्या है। विषम संख्या में चौथाई तरंगदैर्घ्य बैठते हैं, और $f = (2 m - 1) v / (4 L)$ : केवल न्यूनतम आवृत्ति $v / (4 L)$ के विषम गुणज। यह एक सिरे पर बंद पाइप है। इसका बंद सिरा बंधन की तरह विस्थापन निस्पंद है, और खुला सिरा मुक्त सिरे की तरह दाब निस्पंद है। खुले सिरे के ठीक बाहर की हवा भी भाग लेती है, और प्रभावी लंबाई में पाइप की त्रिज्या का लगभग 0.6 गुना जोड़ती है।

वास्तविक तार मुड़ने का भी विरोध करती है। यह अतिरिक्त प्रत्यानयन बल वक्रता के साथ तनाव से तेज़ बढ़ता है, इसलिए छोटी तरंगें तेज़ चलती हैं और अधिस्वरक चढ़ जाते हैं:
$f_{n} \approx n f_{1} 1 + B n^{2}$
जहाँ दृढ़ता स्थिरांक $B$ तार के व्यास की चौथी घात के साथ बढ़ता है। मध्य C के पास पियानो की तार के लिए $B$ लगभग $4 \times 1 0^{- 4}$ की कोटि का है, इसलिए दसवीं विधा के लिए $1 + 0.04 \approx 1.02$ : यह मूल आवृत्ति के दस गुने से लगभग 2% ऊपर है, और ट्यूनर सप्तक को थोड़ा खींचकर उसके अनुरूप कर देते हैं।

दो आयामों में तरंगों को दोनों दिशाओं में एक साथ बैठना होता है। भुजाओं $L_{x}$ और $L_{y}$ वाली आयताकार झिल्ली की विधाएँ $f_{mn} = (v /2) (m / L_{x})^{2} + (n / L_{y})^{2}$ हैं। गोल ढोल की सतह की विधाएँ उसकी न्यूनतम आवृत्ति के लगभग 1.59, 2.14 और 2.30 गुना पर आती हैं, पूर्ण गुणज पर नहीं, और इसी कारण ढोल का स्वर तार जितना निश्चित नहीं होता।

हल किया गया प्रश्न: एनिमेशन की तार को छेड़ना

यह प्रश्न सब टुकड़े जोड़ता है: वास्तविक छेड़ने के फ़ूरियर गुणांक, वे संनादी जो वह छोड़ देता है, और हर संनादी को मिलने वाला ऊर्जा का हिस्सा।

चित्र 4 छोड़े जाने के क्षण पर तार को दिखाता है। यह एनिमेशन की तार है, $L = 0.65 m$ और $v = 143 m/s$ , जिसे बाएँ सिरे से $d = 0.13 m$ पर, यानी उसकी लंबाई के पाँचवें भाग पर, $H = 3 mm$ खींचकर स्थिर अवस्था से छोड़ा गया है। ऊँचाई $H$ असल से कहीं बड़ी दिखाई गई है। कौन-से संनादी बजेंगे, और उनमें ऊर्जा कैसे बँटेगी?

प्रारंभिक आकार $y_{0} (x)$ नीला त्रिभुज है: दोनों बंधनों से $x = d$ पर ऊँचाई $H$ तक दो सीधी रेखाएँ। इसे $b_{n}$ के सूत्र में रखकर हर सीधे भाग का समाकलन करने पर मिलता है
$b_{n} = \frac{2 H L ^{2}}{π ^{2} n ^{2} d ( L - d )} sin \frac{nπ d}{L} = \frac{25 H}{2 π ^{2} n ^{2}} sin \frac{nπ}{5}$
जहाँ दूसरा रूप $d = L /5$ का उपयोग करता है, इसलिए $d (L - d) = 4 L^{2} /25$ । इससे $b_{1} \approx 2.23 mm$ , $b_{2} \approx 0.90 mm$ और $b_{3} \approx 0.40 mm$ मिलते हैं, जो क्रमशः 110, 220 और 330 Hz पर हैं।

नीचे के दो चित्र दिखाते हैं कि कुछ संनादी क्यों गायब हैं। खींचने के बिंदु $x = d$ से होकर जाने वाली बिंदुकित ऊर्ध्वाधर रेखा को देखें। विधा 1 का आकार $sin (π x / L)$ वहाँ शून्य से काफ़ी ऊपर है, इसलिए $d$ पर खींचने से विधा 1 प्रबलता से पोषित होती है। विधा 5 का आकार $sin (5 π x / L)$ ठीक वहीं शून्य को पार करता है, क्योंकि $d = L /5$ है। खींचने का बिंदु विधा 5 का निस्पंद है, यानी वह स्थान जहाँ वह विधा कभी नहीं हिलती, इसलिए वहाँ लगाया गया कोई भी खिंचाव उसे शुरू नहीं कर सकता। यही बात उन सभी विधाओं पर लागू होती है जिनका $d$ पर निस्पंद है: $n = 5, 10, \dots$ के लिए $sin (nπ /5) = 0$ , इसलिए 550 Hz और 1100 Hz नहीं होंगे।

ऊर्जा के लिए, $E_{n} \propto ω_{n}^{2} b_{n}^{2}$ है, जहाँ $ω_{n} \propto n$ और $b_{n} \propto sin (nπ d / L) / n^{2}$ , इसलिए $E_{n} \propto sin^{2} (nπ d / L) / n^{2}$ । हर पद को सभी विधाओं के योग से भाग देने पर मूल आवृत्ति को 44% ऊर्जा मिलती है, दूसरे संनादी को 29% और तीसरे को 13%। यदि इसी तार को बीच में खींचा जाए, तो मूल आवृत्ति को 81%, तीसरे संनादी को 9% और सम संनादियों को कुछ नहीं मिलेगा। सिरे के पास खींचने से ऊपरी संनादी पोषित होते हैं, इसीलिए गिटार का स्वर पुल के पास चमकीला और पतला लगता है, और साउंडहोल के ऊपर गोल व भरा-पूरा।

वैधता की सीमाएँ

आदर्श तार एक मॉडल है। यह जानना कि वह कहाँ सही नहीं रहता, बताता है कि ऊपर के परिणामों पर कब भरोसा किया जा सकता है।

मॉडल छोटी ढलानें मानता है, ताकि तार मुश्किल से खिंचे और उसका तनाव $F$ के बराबर रहे। यहाँ सबसे तीखी ढलान $H / d = 3/130 \approx 0.023$ है, जो इस सीमा के भीतर ही है। ज़ोर से छेड़ने पर तार सचमुच खिंच जाती है, इसलिए स्वर शुरू में थोड़ा ऊँचा होता है और क्षीण होते समय स्थिर हो जाता है।

सिरे भी पूरी तरह कठोर नहीं हैं, और उन्हें होना भी नहीं चाहिए: अकेली तार हवा को बहुत कम धकेलती है, और वाद्य इसलिए बजता है कि पुल हिलता है और कंपन को शरीर तक पहुँचाता है। यह रिसाव, साथ में वायु-अवरोध और आंतरिक घर्षण, विधाओं का अवमंदन करता है, और ऊँची विधाओं का सबसे तेज़ी से। यदि मूल आवृत्ति का आयाम $τ \approx 3 s$ में e गुना घटे, तो उसका गुणता-गुणांक $Q = π f_{1} τ = π \cdot 110 \cdot 3 \approx 1000$ है।

तार लगभग 0.3 nm दूर के परमाणुओं से बनी है, इसलिए सतत तरंग समीकरण केवल उन तरंगदैर्घ्यों के लिए मान्य है जो उस अंतराल से कहीं बड़े हैं। $N$ परमाणुओं की शृंखला की ठीक $N$ विधाएँ होती हैं, और सबसे छोटा तरंगदैर्घ्य दो परमाणु-अंतरालों के बराबर होता है। क्रिस्टल में इन विधाओं की आवृत्तियाँ लगभग $1 0^{13} Hz$ तक पहुँचती हैं, और उनके क्वांटा, जिन्हें फ़ोनॉन कहते हैं, ध्वनि और ऊष्मा का संचार करते हैं।

यह कहाँ ले जाता है

केवल वही तरंगें बच सकती हैं जो बैठ जाती हैं, यह विचार तारों से कहीं आगे तक पहुँचता है।

दो दर्पणों के बीच का प्रकाश अप्रगामी तरंगें बनाता है, जिनकी आवृत्तियों का अंतर $c / (2 L)$ है, जहाँ $c$ प्रकाश की चाल है: 30 cm लंबी लेज़र गुहा के लिए लगभग 500 MHz (विद्युत चुंबकीय तरंगें देखें)। सामान्य रूप से तरंगों का योग अगले पाठ, 'व्यतिकरण और अध्यारोपण', की ओर ले जाता है।

सबसे गहरी प्रतिध्वनि क्वांटम यांत्रिकी में है, जहाँ इलेक्ट्रॉन एक तरंग है और उसकी आवृत्ति ऊर्जा है, $E = h f$ , जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है। लंबाई $L$ के बक्से में बँधे इलेक्ट्रॉन को भी पूर्ण संख्या में अर्ध-तरंगदैर्घ्य बैठने होंगे, $λ_{n} = 2 L / n$ । उसका संवेग $p = h / λ$ है और ऊर्जा $p^{2} / (2 m_{e})$ है, जहाँ $m_{e}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है, इसलिए
$E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m _{e} L ^{2}}$
जो 1 nm के बक्से में $n = 1$ के लिए लगभग 0.38 eV है। स्तर $n$ के साथ नहीं, $n^{2}$ के साथ बढ़ते हैं, क्योंकि पदार्थ-तरंगों के लिए आवृत्ति $k^{2}$ के अनुपात में है, जबकि तार पर वह $k$ के अनुपात में है। कक्षा के चारों ओर पूर्ण तरंगदैर्घ्य बैठाना 'परमाणु मॉडल: बोर परमाणु' के पीछे का विचार है; बक्से का सही हल 'श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन' में होता है, और 'तरंग-कण द्वैतता' बताता है कि इलेक्ट्रॉन आखिर तरंगें क्यों हैं।

मुख्य सूत्र

पूर्ण संख्या में अर्ध-तरंगदैर्घ्य

L = \frac{nλ}{2}

अप्रगामी तरंग का हर लूप आधा तरंगदैर्घ्य लंबा होता है, एक निस्पंद से अगले निस्पंद तक, और बँधे सिरे पर निस्पंद होना ही चाहिए। इसलिए दोनों सिरों पर बँधी तार में केवल पूर्ण संख्या में लूप बैठ सकते हैं, और यही संभावित तरंगदैर्घ्य तय करता है। चित्र में लूप गिन लें, तो $n$ मिल जाएगा।

चिह्न
$L$	दोनों स्थिर सिरों के बीच तार की लंबाई	$m$
$n$	संनादी संख्या: लूपों की संख्या
$λ$	अप्रगामी तरंग का तरंगदैर्घ्य	$m$

कब लागू होता है: दोनों सिरों पर बँधी तार, या दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए। एक सिरे पर बंद पाइप में इसके बजाय विषम संख्या में चौथाई तरंगदैर्घ्य बैठते हैं, $L = nλ /4$ जहाँ $n$ विषम है।

उदाहरण: 1.0 m की तार जो $λ = 0.5 m$ पर कंपन करती है, उसमें $n = 2 L / λ = 4$ लूप बैठते हैं।

स्थिर तार पर अनुमत तरंगदैर्घ्य

λ_{n} = \frac{2 L}{n}

बैठने की शर्त को $λ$ के लिए हल करने पर वे सभी तरंगदैर्घ्य मिलते हैं जो दोनों सिरों पर बँधी तार धारण कर सकती है: सबसे लंबा तार की लंबाई का दोगुना है, और बाकी उसके आधे, एक-तिहाई, एक-चौथाई आदि हैं। यह उस पैटर्न को बनाने वाली दो चलती तरंगों का तरंगदैर्घ्य है, जो एक लूप की लंबाई का दोगुना है।

चिह्न
$λ_{n}$	विधा $n$ का तरंगदैर्घ्य	$m$
$L$	तार की लंबाई	$m$
$n$	संनादी संख्या

कब लागू होता है: दोनों सिरे बँधे हों (या दोनों मुक्त हों) तब। यह तार पर का तरंगदैर्घ्य है: हवा में भेजी गई ध्वनि की आवृत्ति वही रहती है, पर तरंगदैर्घ्य अलग होता है, क्योंकि ध्वनि की चाल अलग है।

उदाहरण: एनिमेशन की 0.65 m तार: $λ_{1} = 1.30 m$ , $λ_{2} = 0.65 m$ और $λ_{3} \approx 0.433 m$ ।

तार की संनादी श्रेणी

f_{n} = \frac{n v}{2 L} = n f_{1}

एक ही तार की सभी विधाओं की तरंग-चाल समान है, इसलिए $f = v / λ$ अनुमत तरंगदैर्घ्यों को अनुमत आवृत्तियों में बदल देता है। ये संनादी श्रेणी बनाती हैं: मूल आवृत्ति $f_{1} = v / (2 L)$ के ठीक-ठीक गुणज, जो $f_{1}$ के बराबर अंतर पर हैं। समय $2 L / v$ दूर के सिरे तक जाकर वापस आने का चक्कर है, इसीलिए यह मूल आवृत्ति का आवर्तकाल है।

चिह्न
$f_{n}$	विधा $n$ की आवृत्ति	$Hz$
$n$	संनादी संख्या
$v$	तार पर तरंग की चाल	$m/s$
$L$	तार की लंबाई	$m$
$f_{1}$	मूल आवृत्ति, $n = 1$	$Hz$

कब लागू होता है: आदर्श, लचीली तार के लिए जिसके सिरे कठोर हों और जिसकी तरंग-चाल आवृत्ति पर निर्भर न हो। पियानो के तार जैसी कठोर तारों में अधिस्वरक $n f_{1}$ से थोड़े ऊपर होते हैं।

उदाहरण: $L = 0.65 m$ और $v = 143 m/s$ : $f_{1} = 143/1.30 = 110 Hz$ , फिर 220 और 330 Hz।

तार पर तरंग की चाल

v = \frac{F}{μ}

तनाव विस्थापित तार के भाग को वापस रेखा की ओर खींचता है, और प्रति मीटर उसका जड़त्व इसका विरोध करता है; इन दोनों का अनुपात तय करता है कि कोई विक्षोभ कितनी तेज़ी से फैलता है। यह न्यूटन के दूसरे नियम को तार के एक छोटे भाग पर लगाने से मिलता है। कसी हुई तार तेज़ तरंगें ले जाती है, भारी तार धीमी।

चिह्न
$v$	तरंग की चाल	$m/s$
$F$	तार में तनाव	$N$
$μ$	रैखिक घनत्व: तार के प्रति मीटर द्रव्यमान	$kg/m$

कब लागू होता है: पूर्णतः लचीली तार और छोटी ढलानों के लिए, ताकि तनाव हर जगह एक-सा रहे। मोड़ने की दृढ़ता छोटी तरंगों को थोड़ा तेज़ चलाती है।

उदाहरण: वायलिन की A तार, $F = 49 N$ और $μ = 6.0 \times 1 0^{- 4} kg/m$ : $v = 49/ (6.0 \times 1 0^{- 4}) \approx 286 m/s$ ।

आकार और दोलन के गुणनफल के रूप में अप्रगामी तरंग

y (x, t) = 2 A sin (k x) cos (ω t)

विपरीत दिशाओं में चलने वाली दो समान ज्या-तरंगें $A sin (k x - ω t)$ और $A sin (k x + ω t)$ जुड़कर एक स्थिर आकार $sin k x$ बनाती हैं, जिसे एक साझा दोलन $cos ω t$ से गुणा किया गया है। हर बिंदु आयाम $2 A ∣ sin k x ∣$ से ज्यावक्रीय गति करता है, और जहाँ $sin k x = 0$ है वे निस्पंद $λ /2$ की दूरी पर हैं। निस्पंद के दो ओर के बिंदु विपरीत दिशाओं में चलते हैं।

चिह्न
$y$	स्थिर रेखा से तार का विस्थापन	$m$
$x$	तार के अनुदिश स्थिति, एक स्थिर सिरे से मापी गई	$m$
$t$	समय	$s$
$A$	हर चलने वाली तरंग का आयाम	$m$
$k$	तरंग-संख्या, $2 π / λ$	$rad/m$
$ω$	कोणीय आवृत्ति, $2 π f$	$rad/s$

कब लागू होता है: समान आयाम और आवृत्ति वाले दो घटकों के लिए, जब मूल बिंदु निस्पंद पर हो। यदि आयाम अलग हों, तो तरंग का कुछ भाग चलता रहता है और निस्पंद पूरी तरह स्थिर नहीं रहते।

उदाहरण: एनिमेशन की तार की विधा $n = 2$ : $k = 2 π /0.65 \approx 9.67 rad/m$ , इसलिए निस्पंद $π / k = 0.325 m$ की दूरी पर हैं और लाल प्रस्पंद $x = L /4 \approx 0.16 m$ पर है।

दो स्थिर सिरों के बीच अनुमत तरंग-संख्याएँ

k_{n} = \frac{nπ}{L}

गुणनफल वाला रूप किसी भी $k$ के लिए $x = 0$ पर शून्य हो जाता है; $x = L$ पर दूसरा बंधन भी $sin k L = 0$ माँगता है, इसलिए $k L$ को $π$ का पूर्ण गुणज होना चाहिए। तरंग-चाल से गुणा करने पर प्राकृतिक कोणीय आवृत्तियाँ $ω_{n} = v k_{n} = nπ v / L$ मिलती हैं। यह $k = 2 π / λ$ लिखकर लिखी गई शर्त $L = nλ /2$ है।

चिह्न
$k_{n}$	विधा $n$ की तरंग-संख्या	$rad/m$
$n$	संनादी संख्या
$L$	दोनों स्थिर सिरों के बीच की दूरी	$m$

कब लागू होता है: दोनों सिरे बँधे होने पर। यदि एक सिरा बँधा और दूसरा मुक्त हो, तो इसके बजाय $cos k L = 0$ होता है, जिससे पूर्ण संख्या $m$ के लिए $k = (m - \frac{1}{2}) π / L$ मिलता है: विषम चौथाई-तरंग विधाएँ। बक्से में बंद इलेक्ट्रॉन के लिए वही नियम अनुमत संवेग तय करता है।

उदाहरण: एनिमेशन की तार: $k_{1} = π /0.65 \approx 4.83 rad/m$ , इसलिए $ω_{1} = v k_{1} \approx 691 rad/s$ , जो $f_{1} = 110 Hz$ के लिए $2 π f_{1}$ है।

शब्दावली

अप्रगामी तरंग: ऐसा तरंग-पैटर्न जो अपनी जगह पर टिका रहता है: इसके बिंदु दोलन करते हैं, पर इसकी चोटियाँ नहीं चलतीं। यह दो समान तरंगों का योग है जो विपरीत दिशाओं में चलती हैं, $y = 2 A sin (k x) cos (ω t)$ , और औसतन माध्यम के साथ कोई ऊर्जा नहीं ले जाती।
निस्पंद: अप्रगामी तरंग का वह बिंदु जो कभी नहीं हिलता, क्योंकि वहाँ दोनों घटक तरंगें सदा एक-दूसरे को निरस्त करती हैं। पड़ोसी निस्पंद $λ /2$ की दूरी पर होते हैं, और बँधा सिरा सदा निस्पंद होता है।
प्रस्पंद: दो निस्पंदों के ठीक बीच का बिंदु, जहाँ दोलन सबसे बड़ा होता है: दो घटकों के लिए, जिनका आयाम $A$ है, यह $2 A$ है। यह निकटतम निस्पंद से $λ /4$ दूर होता है; यह एक स्थान है, चोटी नहीं, और इसका विस्थापन प्रति चक्र दो बार शून्य से गुज़रता है।
स्थिर सिरे पर परावर्तन: बँधे सिरे तक पहुँचा स्पंद उल्टा होकर लौटता है, मानो दूसरी ओर से दीवार के आर-पार कोई उलटा दर्पण-प्रतिबिंब आ गया हो। मुक्त सिरे पर वह सीधा होकर लौटता है।
अध्यारोपण सिद्धांत: रैखिक माध्यम में एक-दूसरे पर चढ़ती तरंगें अपने विस्थापन सीधे जोड़ देती हैं, और हर तरंग ऐसे आगे बढ़ती है मानो दूसरी वहाँ हो ही नहीं। इसी से दो चलती तरंगें अप्रगामी तरंग बनाती हैं और कोई भी गति विधाओं में बाँटी जा सकती है।
प्रसामान्य विधा: गति का ऐसा पैटर्न जिसमें हर बिंदु एक ही साझी आवृत्ति पर, स्थिर आकार के साथ ज्यावक्रीय दोलन करता है। दोनों सिरों पर बँधी तार की विधाएँ $sin (nπ x / L)$ हैं, हर पूर्ण संख्या $n$ के लिए एक।
मूल आवृत्ति: सीमित तरंग की सबसे निचली विधा, $n = 1$ : एक लूप, $λ_{1} = 2 L$ और $f_{1} = v / (2 L)$ । आमतौर पर यही वह स्वर तय करती है जो हम सुनते हैं; एनिमेशन की तार के लिए यह 110 Hz है।
संनादी (हार्मोनिक): वह विधा जिसकी आवृत्ति मूल आवृत्ति का पूर्ण गुणज हो, $f_{n} = n f_{1}$ । अधिस्वरकों की गिनती एक से भिन्न होती है: दूसरा संनादी पहला अधिस्वरक है, तीसरा संनादी दूसरा अधिस्वरक है।
स्वर-गुणता (timbre): वह गुण जो दो वाद्यों के एक ही स्वर बजाने पर उन्हें अलग पहचानने देता है। यह संनादी आयामों के मिश्रण से आता है, जो वाद्य पर और इस पर निर्भर करता है कि तार कहाँ और कैसे छेड़ी, गज से बजाई या मारी गई।
फ़ूरियर विश्लेषण: किसी आकार या संकेत को उचित आयामों और कलाओं वाली ज्याओं के योग के रूप में लिखना। तार के लिए यह प्रारंभिक आकार को उसकी विधाओं के गुणांक $b_{n}$ में बदल देता है।
अनुनाद: किसी तंत्र की वह बड़ी प्रतिक्रिया जब उसे उसकी किसी प्राकृतिक आवृत्ति पर चलाया जाता है और हर चक्र में दी गई ऊर्जा लगातार जुड़ती जाती है। अवमंदन यह सीमित करता है कि वह कितना ऊँचा बढ़ सकता है।
एक सिरे पर बंद पाइप: वायु-स्तंभ, जिसके बंद सिरे पर विस्थापन निस्पंद और खुले सिरे पर विस्थापन प्रस्पंद होता है। यह विषम संख्या में चौथाई-तरंगदैर्घ्य धारण करता है, इसलिए केवल विषम संनादी होते हैं, $f_{n} = n v / (4 L)$ जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$

राशियाँ
$L$	तार की लंबाई	$m$	दो स्थिर सिरों के बीच कंपन करने वाली लंबाई; गिटार पर नट से पुल तक; एनिमेशन में 0.65 m।
$n$	संनादी संख्या		एक पूर्ण संख्या जो विधा को नाम देती है और उसके लूप गिनती है; पैटर्न में सिरों सहित $n + 1$ निस्पंद होते हैं।
$λ$	तरंगदैर्घ्य	$m$	किसी भी चलने वाले घटक के एक पूर्ण चक्र की लंबाई, जो एक लूप की लंबाई का दोगुना है। दोनों सिरों पर बँधी तार केवल $λ_{n} = 2 L / n$ अनुमत करती है।
$f_{n}$	संनादी n की आवृत्ति	$Hz$	विधा $n$ में हर बिंदु के प्रति सेकंड दोलनों की संख्या, $f_{n} = n v / (2 L)$ ; $n = 1$ मूल आवृत्ति $f_{1}$ देता है।
$v$	तरंग-चाल	$m/s$	हर चलने वाला घटक तार पर कितनी तेज़ चलता है। यह हर संनादी के लिए समान है: एनिमेशन में 143 m/s।
$F$	तनाव	$N$	वह बल जो तार को खींचता है। तनाव चार गुना करने पर तरंग-चाल और हर आवृत्ति दोगुनी हो जाती है।
$μ$	रैखिक द्रव्यमान घनत्व	$kg/m$	तार के एक मीटर का द्रव्यमान: 0.60 g/m यानी $6.0 \times 1 0^{- 4} kg/m$ । भारी तार धीमी तरंगें ले जाती है और नीचा स्वर बजाती है।
$A$	हर चलने वाली तरंग का आयाम	$m$	दो विपरीत दिशाओं में चलने वाले घटकों में से हर एक का आयाम; प्रस्पंद इसके दोगुने, $2 A$ , से झूलते हैं।
$y$	तार का विस्थापन	$m$	समय $t$ पर स्थिति $x$ पर तार का बिंदु अपनी स्थिर रेखा से कितनी दूर है; अप्रगामी तरंग में $y = 2 A sin (k x) cos (ω t)$ , जो निस्पंदों पर सदा शून्य रहता है।
$k$	तरंग-संख्या	$rad/m$	तरंग के अनुदिश प्रति मीटर कला-परिवर्तन, $k = 2 π / λ$ । दो स्थिर सिरे केवल $k_{n} = nπ / L$ अनुमत करते हैं।
$ω$	कोणीय आवृत्ति	$rad/s$	हर बिंदु के दोलन की कला जिस दर से आगे बढ़ती है, $ω = 2 π f$ ; हर विधा के लिए $ω = v k$ ।

क्विज़

शुरुआती अप्रगामी तरंग वाली कंपित तार पर कौन-से बिंदु कभी नहीं हिलते?
1. प्रस्पंद
2. सभी: अप्रगामी तरंग नहीं चलती
3. कोई नहीं: हर बिंदु चलता है
4. निस्पंद
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उत्तर: D. निस्पंद
निस्पंद वे स्थिर बिंदु हैं जहाँ दो अध्यारोपित तरंगें सदा एक-दूसरे को निरस्त करती हैं। बाकी हर बिंदु चलता है, और हर लूप के बीच में स्थित प्रस्पंद सबसे अधिक झूलते हैं: “अप्रगामी” का अर्थ है कि पैटर्न नहीं चलता, न कि तार जम गई है।
शुरुआती गिटारवादक तार को फ़्रेट पर दबाता है, जिससे कंपन करने वाला भाग छोटा हो जाता है। स्वर पर क्या असर होता है?
1. स्वर नीचा हो जाता है
2. स्वर ऊँचा हो जाता है
3. स्वर वही रहता है
4. तार का कंपन रुक जाता है
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उत्तर: B. स्वर ऊँचा हो जाता है
छोटी तार में छोटे लूप बैठते हैं, जो तेज़ कंपन करते हैं, इसलिए स्वर ऊँचा होता है।
शुरुआती एक तार एक लूप की जगह तीन लूप में कंपन करती है। एक लूप की तुलना में वह कितनी तेज़ी से कंपन करती है?
1. तीन गुना तेज़
2. तीन गुना धीमी
3. उतनी ही तेज़
4. नौ गुना तेज़
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उत्तर: A. तीन गुना तेज़
n लूप वाले संनादी की आवृत्ति मूल आवृत्ति की n गुना होती है, इसलिए तीन लूप तीन गुना तेज़ कंपन करते हैं और ऊँचा स्वर देते हैं।
मध्यम 0.8 m लंबी एक तार दोनों सिरों पर बँधी है, और उसमें तरंगें 240 m/s की चाल से चलती हैं। उसकी मूल आवृत्ति क्या है?
1. 300 Hz
2. 75 Hz
3. 150 Hz
4. 192 Hz
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उत्तर: C. 150 Hz
f₁ = v/(2L) = 240 ÷ 1.6 = 150 Hz। 2 को भूल जाने पर 300 Hz मिलता है, 4L लेने पर 75 Hz, और 192 तब आता है जब v को L से गुणा किया जाए।
मध्यम 0.6 m तरंगदैर्घ्य की अप्रगामी तरंग में दो पड़ोसी निस्पंद कितनी दूर हैं?
1. 0.6 m
2. 0.3 m
3. 0.15 m
4. 1.2 m
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उत्तर: B. 0.3 m
निस्पंद आधे तरंगदैर्घ्य की दूरी पर होते हैं: 0.6 ÷ 2 = 0.3 m। 0.15 m निस्पंद से प्रस्पंद की दूरी है, यानी λ/4।
मध्यम तार का तनाव चार गुना कर दिया जाए, बाकी सब वही रहे। उसकी मूल आवृत्ति का क्या होता है?
1. चार गुना हो जाती है
2. वही रहती है
3. आधी हो जाती है
4. दोगुनी हो जाती है
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उत्तर: D. दोगुनी हो जाती है
v = √(F/μ), इसलिए तनाव चार गुना होने पर v दोगुना होता है, और f₁ = v/(2L) भी दोगुना हो जाता है।
उन्नत एक अप्रगामी तरंग y = 2A·sin(kx)·cos(ωt) है, जहाँ k = 5π rad/m। पड़ोसी निस्पंद कितनी दूर हैं?
1. 0.2 m
2. 0.4 m
3. 0.1 m
4. 0.8 m
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उत्तर: A. 0.2 m
निस्पंद वहाँ हैं जहाँ sin(kx) = 0, यानी kx = mπ; इसलिए वे π/k = 1/5 = 0.2 m की दूरी पर हैं। 0.4 m तरंगदैर्घ्य 2π/k है।
उन्नत दोनों सिरों पर बँधी एक आदर्श तार को ठीक बीच में छेड़ा जाता है। उसकी ध्वनि में कौन-से संनादी नहीं होते?
1. सभी विषम संनादी (n = 1, 3, 5, …)
2. मूल आवृत्ति को छोड़कर सभी संनादी
3. सभी सम संनादी (n = 2, 4, 6, …)
4. कोई नहीं: सभी संनादी समान रूप से मौजूद हैं
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उत्तर: C. सभी सम संनादी (n = 2, 4, 6, …)
प्रारंभिक आकार x = L/2 के सापेक्ष सममित है, जबकि हर सम विधा sin(nπx/L) उस बिंदु के सापेक्ष प्रतिसममित है और वहाँ निस्पंद है। उनके फ़ूरियर गुणांक शून्य हो जाते हैं।

$n$	विधा संख्या। तार अपनी दूसरी विधा, $n = 2$ , में है, जो उसके दोनों चरम आकारों में दिखाई गई है।
$λ /2$	पड़ोसी निस्पंदों (सुनहरे बिंदु) के बीच की दूरी: आधा तरंगदैर्घ्य।	$m$
$x$	तार के अनुदिश स्थिति।	$m$
$u_{K}$	प्रति मीटर गतिज ऊर्जा: एक चक्र में हर बिंदु पर पहुँचा अधिकतम मान।	$J/m$
$u_{E}$	प्रति मीटर प्रत्यास्थ (खिंचाव की) ऊर्जा: एक चक्र में हर बिंदु पर पहुँचा अधिकतम मान।	$J/m$

$q (x + v t)$	दीवार की ओर आता हुआ आपतित स्पंद। जब यह तार से बाहर दीवार के पीछे होता है, तब बिंदुकित दिखता है।	$m$
$q (v t - x)$	इसका जुड़वाँ $- q (v t - x)$ : दीवार में दर्पण-प्रतिबिंबित और उल्टा हुआ स्पंद। यह दीवार से दूर चलता है और उसके पीछे रहते हुए बिंदुकित दिखता है।	$m$
$v$	स्पंद और उसके जुड़वाँ की चाल।	$m/s$
$x$	तार के अनुदिश स्थिति, दीवार से मापी गई।	$m$
$t_{1}$	स्पंद के दीवार तक पहुँचने से पहले का एक क्षण (ऊपरी चित्र)।	$s$
$t_{2}$	बाद का क्षण, जब स्पंद और उसका जुड़वाँ एक-दूसरे के आर-पार निकल चुके हैं (निचला चित्र)।	$s$

$x$	तार के अनुदिश स्थिति।	$m$
$t$	समय, ऊपर की ओर बढ़ता हुआ।	$s$
$L$	दोनों बंधनों के बीच की दूरी।	$m$
$x_{0}$	जहाँ से स्पंद शुरू होता है, और एक चक्कर के बाद जहाँ वह वापस आता है।	$m$
$v$	स्पंद की चाल; हर भाग की ढलान।	$m/s$
$T_{1}$	एक चक्कर का समय, $2 L / v$ ।	$s$

$y_{0}$	छोड़ने के क्षण पर तार का आकार: एक त्रिभुज।	$m$
$H$	खींचने के बिंदु पर तार को कितनी दूर खींचा गया है।	$m$
$d$	बाएँ सिरे से खींचने के बिंदु तक की दूरी।	$m$
$L$	तार की लंबाई।	$m$
$n$	विधा संख्या: विधा $n$ में $n$ लूप हैं। दिखाया गया: $n = 1$ और $n = 5$ के लिए $sin (nπ x / L)$ ।