Stehende Wellen

Einsteiger

Zwei Freunde, die ein langes Springseil schwingen lassen, bringen es als eine große Schleife in Bewegung: Die Mitte fliegt am höchsten, während die Enden in ihren Händen bleiben. Bewegt man ein Ende schneller, kann sich das Seil in zwei Schleifen mit einem ruhenden Punkt in der Mitte einpendeln. Keine dieser Formen wandert am Seil entlang: Das ist eine stehende Welle.

Woher kommt sie? Wellen laufen über die Saite, prallen an den festen Enden ab und kommen zurück. Die hinlaufende und die zurückkehrende Welle überlagern sich und bilden zusammen ein Muster, das an seinem Ort bleibt. Bei der mittleren Saite der Animation laufen die gestrichelten Wellen in entgegengesetzte Richtungen, und die durchgezogene Saite ist ihre Summe.

Manche Punkte bewegen sich überhaupt nie. Das sind die Knoten, markiert durch goldene Punkte; auch die festen Enden sind Knoten. Genau in der Mitte zwischen zwei Knoten schwingt die Saite am stärksten: Das ist ein Bauch.

Weil beide Enden stillstehen müssen, passt nur eine ganze Zahl von Schleifen hinein: eine, zwei, drei und so weiter. Das Muster mit einer Schleife ist die Grundschwingung und ergibt den tiefsten Ton. Zwei Schleifen schwingen doppelt so schnell wie eine, drei Schleifen dreimal so schnell; so entstehen höhere Töne, die Harmonische heißen. Eine echte Saite schwingt gleichzeitig in mehreren dieser Muster, und genau diese Mischung ist der Grund, warum eine Gitarre und eine Geige, die denselben Ton spielen, trotzdem unterschiedlich klingen.

Drückt man eine Saite gegen einen Bund, verkürzt sich der schwingende Teil; jede Schleife wird kürzer und der Ton höher. Eine Saite straffer zu spannen oder eine dünnere zu nehmen, erhöht den Ton ebenfalls. Flöten und Orgelpfeifen machen dasselbe mit stehenden Schallwellen in einem Rohr: längere Rohre, tiefere Töne.

Prüf dich selbst: Eine Saite schwingt in drei Schleifen. Wie viele Knoten hat sie, wenn man beide Enden mitzählt? (Vier.)

Mittelstufe

Zwei laufende Wellen ergeben eine stehende Welle

Wellen auf einer an beiden Enden eingespannten Saite werden an den Enden reflektiert und laufen durcheinander hindurch. Wenn zwei Wellen mit gleicher Amplitude $A$, Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $f$ in entgegengesetzte Richtungen laufen, wandert ihre Summe überhaupt nicht: Sie ist eine stehende Welle. Bei der mittleren Saite der Animation sind die gestrichelten Kurven die beiden Wellen, und die durchgezogene Saite ist ihre Summe.

Dort, wo die beiden Wellen immer gegenphasig ankommen, heben sie sich auf: Diese Knoten, markiert durch goldene Punkte, bewegen sich nie. Genau in der Mitte zwischen zwei Knoten stimmen die Wellen immer überein, und die Saite schwingt mit der Amplitude $2A$: Das sind die Bäuche. Jeder andere Punkt schwingt mit derselben Frequenz, aber kleinerer Amplitude, und benachbarte Schleifen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen.

Außer $\lambda$, $f$ in Hertz und der Wellengeschwindigkeit $v=f\lambda$ aus „Grundlagen der Wellen“ hat eine Saite ihre Länge $L$ zwischen den Klemmen, ihre Spannung $F$ in Newton und ihre Massenbelegung $\mu$, die Masse eines Meters Saite in kg/m. Die Harmonischenzahl $n$ zählt die Schleifen.

Halbe Wellenlängen zwischen den Enden einpassen

Benachbarte Knoten liegen eine halbe Wellenlänge auseinander, und jeder Bauch liegt eine Viertelwellenlänge vom nächsten Knoten entfernt. Ein eingespanntes Ende kann sich nicht bewegen, muss also ein Knoten sein, und die Saite fasst eine ganze Zahl $n$ von Schleifen, jede $\lambda /2$ lang:
$L=\frac{n\lambda }{2}$
Deshalb sind nur diese Wellenlängen erlaubt:
${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$
mit $n=1,2,3,\dots$ Die längste ist doppelt so lang wie die Saite.

Eine Welle, die nicht passt, kehrt bei jedem Hin- und Rücklauf außer Tritt mit der noch ankommenden Welle zurück, und ihre Reflexionen heben sich weitgehend auf. Nur die passenden Wellenlängen verstärken sich selbst, daher besitzt jede eingeschlossene Welle eine feste Reihe natürlicher Frequenzen.

Die harmonische Reihe und die Wellengeschwindigkeit

Alle Wellen auf einer Saite laufen mit derselben Geschwindigkeit $v$, daher hat jede erlaubte Wellenlänge ihre eigene Frequenz, $f_n=v/{\lambda }_n$:
$f_n=\frac{nv}{2L}=n{f}_1$
Die tiefste, $f_1=v/(2L)$, ist die Grundschwingung; die anderen, $2f_1$, $3f_1$ und so weiter, sind ihre Harmonischen, im Abstand von $f_1$ gleichmäßig verteilt. Die zweite Harmonische klingt eine Oktave über der Grundschwingung.

Die Wellengeschwindigkeit hängt von der Spannung und der Massenbelegung ab:
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$
Eine straffe Saite zieht ein ausgelenktes Stück kräftig zurück, daher laufen Wellen schnell; eine schwere Saite hat mehr Trägheit, daher laufen sie langsam.

Es gibt also drei Möglichkeiten, die Tonhöhe zu erhöhen: den schwingenden Teil verkürzen (ein Bund), die Saite straffer spannen (der Wirbel) oder eine leichtere nehmen. Die Frequenz ist umgekehrt proportional zu $L$, wächst aber nur mit $\sqrt{F}$: Halbieren der Länge verdoppelt sie, während dasselbe allein mit der Spannung die vierfache Kraft erfordert.

Rechenbeispiel: die Gitarrensaite der Animation

Die Saiten der Animation sind 0,65 m lang, wie bei einer klassischen Gitarre, und ihre Wellen laufen mit 143 m/s. Bei der Grundschwingung fasst die Saite eine halbe Wellenlänge:
${\lambda }_1=2L=2\cdot 0,65=1,30\mathrm{m}$
$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{143}{1,30}=110\mathrm{Hz}$
Dann ist $f_2=220\mathrm{Hz}$ und $f_3=330\mathrm{Hz}$, die lila Beschriftungen neben den Saiten; 110 Hz ist das A der fünften Saite einer Gitarre. Eine echte Periode von $1/110\mathrm{s}\approx 9,1\mathrm{ms}$ ist viel zu kurz, um sie zu beobachten, daher dehnt die Animation sie auf 2 s, also 220-mal langsamer.

Bei der dritten Saite gilt ${\lambda }_3=2L/3\approx 0,433\mathrm{m}$, also liegen die Knoten ${\lambda }_3/2\approx 0,217\mathrm{m}$ auseinander, und jeder Bauch liegt ${\lambda }_3/4\approx 0,108\mathrm{m}$ von seinen Nachbarn entfernt: der Abstand der Buchstaben N A N A N A N unter der Saite, vier Knoten, wenn man beide Enden mitzählt, und drei Bäuche.

Um die Grundschwingung bei gleicher Länge um eine Oktave auf 220 Hz zu heben, muss $v$ auf 286 m/s verdoppelt werden; da $v$ mit $\sqrt{F}$ wächst, muss die Spannung mit vier multipliziert werden, nicht mit zwei.

Rechenbeispiel: Stimmen einer Geigensaite

Die A-Saite einer Geige schwingt über 0,325 m und hat eine Massenbelegung von 0,60 g/m, das heißt $6,0\times 10^{-4}kg/m$. Welche Spannung stimmt sie auf 440 Hz? Zuerst die Wellengeschwindigkeit bestimmen:
$v=2L{f}_1=2\cdot 0,325\cdot 440=286m/s$
$F=\mu v^2=6,0\times 10^{-4}\cdot 286^2\approx 49\mathrm{N}$
Das entspricht etwa dem Gewicht eines 5-kg-Körpers; würde man $\mu$ in g/m lassen, ergäbe sich eine tausendmal zu große Spannung.

Wenn die Saite nachlässt und 436 Hz erklingt, muss die Spannung um den Faktor $(440/436{)}^2\approx 1,018$ wachsen, also weniger als 2 % oder etwa 0,9 N, weil $f_1$ proportional zu $\sqrt{F}$ ist. Um das H bei 494 Hz zu spielen, verkürzt man die Saite stattdessen, auf $L^{\prime }=v/(2f)=286/988\approx 0,289\mathrm{m}$: Der Finger wandert etwa 3,5 cm vom Sattel weg.

Muster lesen: Schleifen, Phasen und Rohre

Um ein Bild einer stehenden Welle zu lesen, zählt man die Schleifen: Es gibt $n$ davon, jede $\lambda /2$ lang, und $n+1$ Knoten einschließlich der Enden. Punkte innerhalb einer Schleife bewegen sich im Takt; benachbarte Schleifen sind um einen halben Zyklus versetzt. Zweimal pro Zyklus geht die ganze Saite durch ihre gerade Lage und bewegt sich dort am schnellsten, und in den Umkehrpunkten hält sie einen Augenblick an.

In einem Rohr bewegt sich die Luft entlang des Rohrs hin und her. Ein geschlossenes Ende hält sie an und ist ein Auslenkungsknoten; ein offenes Ende liegt nahe an einem Auslenkungsbauch. Offen an beiden Enden hat ein Rohr dieselbe Reihe wie eine Saite, $f_n=nv/(2L)$. Einseitig geschlossen fasst es eine ungerade Zahl von Viertelwellenlängen, also $f_n=nv/(4L)$ mit nur ungeradem $n$. Bei Schall mit 343 m/s klingt ein 0,65 m langes Rohr, einseitig geschlossen, mit 132, 396 und 660 Hz und, offen an beiden Enden, mit 264, 528 und 792 Hz.

Häufige Fehler

• Eine stehende Welle ist nicht eingefroren: Jeder Punkt außer den Knoten schwingt weiter, alle mit einer Frequenz, bei der untersten Saite der Animation 330 Hz.
• Die Wellenlänge ist nicht die Länge der Saite: Bei der Grundschwingung fasst die Saite eine halbe Wellenlänge, also hat die 0,65 m lange Saite ${\lambda }_1=1,30\mathrm{m}$.
• Knoten liegen eine halbe Wellenlänge auseinander, nicht eine ganze: Bei $\lambda =0,8\mathrm{m}$ sind sie 0,4 m voneinander entfernt, und ein Knoten liegt 0,2 m vom nächsten Bauch.
• Verdoppelt man die Spannung, verdoppelt sich die Tonhöhe nicht: Da $f$ mit $\sqrt{F}$ wächst, würde die 110-Hz-Saite nur auf etwa 156 Hz steigen.
• Harmonische sind keine lauteren Kopien eines Tons, sondern verschiedene Frequenzen, hier 110, 220 und 330 Hz; die Mischung, die ein Zupfen anregt, verleiht jedem Instrument seine Klangfarbe.

Wo man es antrifft

Jedes Saiteninstrument ist eine Menge stehender Wellen: Bünde ändern $L$, Wirbel ändern $F$, und die Basssaiten sind mit Draht umwickelt, um Masse hinzuzufügen. Berührt man eine Saite in ihrer Mitte leicht, erzwingt man dort einen Knoten; die Grundschwingung und die ungeraden Harmonischen, die in der Mitte Bewegung brauchen, verschwinden, und der Ton springt um eine Oktave. In Flöten, Klarinetten und Orgelpfeifen stehen stehende Schallwellen. In einem Mikrowellenherd liegen die heißen Stellen etwa 6 cm auseinander, also eine halbe Wellenlänge.

Ein System bei einer Eigenfrequenz anzuregen baut eine große Bewegung auf, die Resonanz, wie sie in „Dämpfung und Resonanz“ behandelt wird. Stehende Wellen sind ein Sonderfall von „Interferenz und Superposition“; Rohre nutzen die Schallgeschwindigkeit aus „Schall und Doppler-Effekt“, und das Einpassen ganzer Wellenlängen um eine Bahn taucht bei den Elektronen wieder auf, in „Atommodelle: das bohrsche Atom“.

Fortgeschritten

Zwei laufende Wellen auf einer Saite

Diese Lektion erklärt, warum eine beidseitig eingespannte Saite nur bei bestimmten Frequenzen schwingt. Der Ausgangspunkt ist die einfachste Frage: Wie bewegt sich eine einzelne Welle entlang einer gespannten Saite?

Sei $y(x,t)$ die seitliche Auslenkung des Saitenpunkts an der Stelle $x$ zur Zeit $t$. Bei kleinen Steigungen gehorcht eine Saite mit Spannung $F$ und Masse pro Meter $\mu$ der Wellengleichung
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$
wobei $v^2=F/\mu$ und $v$ die Wellengeschwindigkeit ist. Ihre allgemeine Lösung ist jede Form, die nach rechts läuft, plus jede Form, die nach links läuft:
$y(x,t)=u(x-vt)+q(x+vt)$
Der Wert von $u$ bleibt gleich, wo immer $x-vt$ gleich bleibt; die Form $u$ gleitet also mit der Geschwindigkeit $v$ zu größeren $x$, ohne sich zu verändern; $q$ gleitet in die andere Richtung. Ein Ende der Saite verbindet diese beiden Wellen, und daraus entstehen stehende Wellen.

Reflexion am eingespannten Ende

Was passiert, wenn ein Puls einen Punkt erreicht, der sich nicht bewegen kann? Die Antwort, ein auf dem Kopf stehendes Echo, ist die erste Hälfte jeder stehenden Welle.

Legende

$q(x+vt)$	Der ankommende Puls, der auf die Wand zuläuft. Wo er hinter der Wand, abseits der Saite, liegt, ist er gestrichelt.	$\mathrm{m}$
$q(vt-x)$	Sein Zwilling $-q(vt-x)$: der an der Wand gespiegelte und auf den Kopf gestellte Puls. Er läuft von der Wand weg und ist gestrichelt, solange er dahinter liegt.	$\mathrm{m}$
$v$	Geschwindigkeit des Pulses und seines Zwillings.	$m/s$
$x$	Ort entlang der Saite, gemessen von der Wand.	$\mathrm{m}$
$t_1$	Ein Zeitpunkt, bevor der Puls die Wand erreicht (oberes Bild).	$\mathrm{s}$
$t_2$	Ein späterer Zeitpunkt, nachdem Puls und Zwilling aneinander vorbeigelaufen sind (unteres Bild).	$\mathrm{s}$

Abbildung 1 spannt die Saite bei $x=0$ ein; die echte Saite ist der Teil rechts der Wand, $x>0$. Ein Puls $q(x+vt)$ kommt von rechts und läuft nach links. Die Einspannung bedeutet $y(0,t)=0$ zu jedem Zeitpunkt. Setzt man $x=0$ in die allgemeine Lösung ein, erhält man $u(-vt)+q(vt)=0$ für jedes $t$. Mit $s=-vt$ folgt $u(s)=-q(-s)$ für jedes $s$: Die zurückkehrende Welle ist vollständig durch die ankommende festgelegt, und
$y(x,t)=q(x+vt)-q(vt-x)$

Den zweiten Term kann man sich als Bild vorstellen. Ersetzt man in $q(x+vt)$ das $x$ durch $-x$, erhält man $q(vt-x)$, den ankommenden Puls, an der Einspannung gespiegelt; das Minuszeichen stellt ihn auf den Kopf. Im oberen Bild von Abbildung 1 zum Zeitpunkt $t_1$ betrachte man die beiden Formen. Der violette Puls $q(x+vt)$ liegt auf der echten Saite und läuft nach links. Sein goldener, gestrichelter Zwilling $-q(vt-x)$ hängt nach unten an der gespiegelten Stelle hinter der Wand und läuft nach rechts. Beide bewegen sich mit der Geschwindigkeit $v$, erreichen also gleichzeitig die Wand, und bei $x=0$ heben sie sich zu jedem Zeitpunkt auf: Die Einspannung bewegt sich nie.

Im unteren Bild, zum späteren Zeitpunkt $t_2$, sind die beiden durcheinander hindurchgegangen. Der durchgezogene goldene Zwilling ist nun die einzige Form auf der echten Saite, umgekehrt und von der Wand weglaufend, während das violette Original gestrichelt hinter der Wand weiterläuft, wo keine Saite ist. Das Ergebnis: Am eingespannten Ende kehrt ein Puls umgekehrt zurück, mit unveränderter Form und Geschwindigkeit.

Ein freies Ende, etwa ein Ring, der auf einer glatten Stange gleitet, verhält sich anders. Der Ring kann sich bewegen, spürt aber keine seitliche Kraft von der Stange, daher muss die Saite die Stange rechtwinklig treffen: $\partial y/\partial x=0$ bei $x=0$. Dieselben Schritte ergeben dann $u(s)=+q(-s)$, und der Puls kehrt aufrecht zurück.

Von zwei laufenden Wellen zur stehenden Welle

Nun schicken wir statt eines einzelnen Pulses eine Sinuswelle hinein. Die ankommende Welle und ihre Reflexion überlagern sich über die gesamte Saite, und ihre Summe ist eine stehende Welle.

Betrachte die ankommende Welle $A\sin (kx+\omega t)$ mit Amplitude $A$, Wellenzahl $k=2\pi /\lambda$ für die Wellenlänge $\lambda$ und Kreisfrequenz $\omega =vk$; sie hat die Form $q(x+vt)$. Ihr umgekehrtes Spiegelbild $-q(vt-x)$ ist $-A\sin (\omega t-kx)=A\sin (kx-\omega t)$. Addiert man beide mit $\sin a+\sin b=2\sin \frac{1}{2}(a+b)\cos \frac{1}{2}(a-b)$, erhält man
$y(x,t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$

Raum und Zeit sind getrennt: eine feste Form $\sin kx$, multipliziert mit einer Schwingung $\cos \omega t$, die allen Punkten gemeinsam ist. Der Punkt bei $x$ bewegt sich sinusförmig auf und ab mit der Amplitude $2A|\sin kx|$. Dort, wo $\sin kx=0$ ist, also wo $kx=m\pi$ mit ganzem $m$, bewegt sich die Saite nie: Diese Punkte sind die Knoten, und sie liegen $\lambda /2$ auseinander, weil $k=2\pi /\lambda$ ist. Genau in der Mitte zwischen den Knoten, wo $|\sin kx|=1$ ist, liegen die Bäuche, die mit der vollen Amplitude $2A$ schwingen.

Da $\sin kx$ an jedem Knoten das Vorzeichen wechselt, liegen benachbarte Schleifen immer auf entgegengesetzten Seiten der Ruhelinie: Sie schwingen gegenphasig. Eine Bewegung, bei der jeder Punkt mit einer gemeinsamen Frequenz und einer festen Form schwingt, heißt Eigenschwingung.

Die Animation zeigt das an einer Saite in ihrer zweiten Eigenschwingung, $n=2$. Die gestrichelte goldene Welle $A\sin (kx-\omega t)$ läuft nach rechts, die gestrichelte violette nach links, und die durchgezogene Saite ist ihre Summe. Das Diagramm verfolgt den roten Bauch bei $x=L/4$, wo $\sin kx=1$ ist: Seine Bewegung ist ein reiner Kosinus, $2A\cos \omega t$, der auf der gestrichelten $+2A$-Linie beginnt.

Zwei eingespannte Enden: nur bestimmte Wellenzahlen

Eine zweite Einspannung verwandelt eine kontinuierliche Menge möglicher Wellen in eine Menge von Tönen. Dieser Schritt gibt einer Saite ihre Tonhöhe.

Die stehende Welle oben hat bereits einen Knoten bei $x=0$. Eine zweite Einspannung bei $x=L$ verlangt ebenfalls $y(L,t)=0$ zu allen Zeiten, also $\sin kL=0$, und $kL$ muss ein ganzes Vielfaches von $\pi$ sein:
$k_n=\frac{n\pi }{L}$
mit $n=1,2,3,\dots$ als Zahl der Schleifen. Mit anderen Worten: Zwischen den Einspannungen muss eine ganze Zahl halber Wellenlängen passen, $L=n{\lambda }_n/2$. Da $\omega =vk$ für jede Welle auf der Saite gilt, sind die erlaubten Kreisfrequenzen ${\omega }_n=n\pi v/L$, und die Frequenzen lauten
$f_n=\frac{nv}{2L}$
Sie sind ganzzahlige Vielfache der tiefsten, der Grundfrequenz $f_1=v/(2L)$: Das ist die harmonische Reihe.

Für die Saite der Animation gilt $L=0,65\mathrm{m}$ und $v=143m/s$, also $f_1=143/(2\cdot 0,65)=110\mathrm{Hz}$, mit $k_1=\pi /0,65\approx 4,83rad/m$ und ${\omega }_1=2\pi \cdot 110\approx 691rad/s$. Eine Saite mit nur einer Einspannung akzeptiert jedes $k$: Erst die zweite Randbedingung macht das Spektrum diskret.

Der Rundlauf und die harmonische Reihe

Dieselben Frequenzen ergeben sich ohne eine einzige Sinusfunktion, indem man einen Puls verfolgt, der zwischen den Einspannungen hin- und herprallt. Diese Betrachtung zeigt, warum die Harmonischen genau ganzzahlige Vielfache sind.

Legende

$x$	Ort entlang der Saite.	$\mathrm{m}$
$t$	Zeit, nach oben zunehmend.	$\mathrm{s}$
$L$	Abstand zwischen den beiden Einspannungen.	$\mathrm{m}$
$x_0$	Wo der Puls startet und wo er nach einem Rundlauf wieder ist.	$\mathrm{m}$
$v$	Geschwindigkeit des Pulses; die Steigung jedes Abschnitts.	$m/s$
$T_1$	Zeit für einen Rundlauf, $2L/v$.	$\mathrm{s}$

Abbildung 2 ist ein Raum-Zeit-Diagramm: Der Ort $x$ verläuft waagerecht, die Zeit $t$ senkrecht nach oben, und die beiden dicken senkrechten Linien sind die Einspannungen bei $x=0$ und $x=L$, die unverrückt bleiben. Ein Puls mit konstanter Geschwindigkeit ist eine geneigte gerade Linie, und jede Reflexion ist eine Ecke. Man verfolge den blauen Weg von unten. Der Puls verlässt $x_0$ bei $t=0$ und läuft mit der Geschwindigkeit $v$ nach rechts; das Zeichen $+$ bedeutet, dass er aufrecht ist. Bei $x=L$ wird er reflektiert und ist umgekehrt ($-$), läuft nach links über die ganze Saite, wird dann bei $x=0$ reflektiert und ist wieder aufrecht ($+$). Zwei Reflexionen bedeuten zwei Umkehrungen, also erreicht er den Punkt $x_0$ oben aufrecht und nach rechts laufend, genau wie am Anfang.

Die Länge des Weges hängt nicht davon ab, wo der Puls gestartet ist: $(L-x_0)+L+x_0=2L$. Der Rundlauf dauert also
$T_1=\frac{2L}{v}=\frac{1,30}{143}\approx 9,09\mathrm{ms}$
was genau $1/f_1$ für 110 Hz ist. Eine Störung beliebiger Form besteht aus Anteilen, die alle denselben Rundlauf machen; nach $T_1$ ist also die ganze Saite wieder im Ausgangszustand, und die Bewegung wiederholt sich mit der Periode $T_1$. Eine Bewegung mit der Periode $T_1$ kann nur Frequenzen enthalten, die in $T_1$ eine ganze Zahl von Schwingungen unterbringen: die Vielfachen von $1/T_1=110\mathrm{Hz}$. Die harmonische Reihe ist die Rundlaufzeit, als Spektrum geschrieben.

Jede Bewegung ist eine Summe von Eigenschwingungen

Eine echte Saite wird nie in einer reinen Eigenschwingung angestoßen. Dieser Abschnitt zeigt, dass jede Bewegung dennoch eine Mischung aus Eigenschwingungen ist, und wie man diese Mischung findet.

Die Wellengleichung ist linear: Sind zwei Bewegungen Lösungen, so ist auch ihre Summe eine. Jede Eigenschwingung ist eine Lösung, und zusammen reichen sie aus, um jede Bewegung der Saite aufzubauen:
$y(x,t)={\sum }_n{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\cos ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$
Die Eigenschwingung $n$ tritt mit ihrer eigenen Amplitude $b_n$ und Phase ${\phi }_n$ auf. Beide werden durch die Anfangsform und die Anfangsgeschwindigkeit der Saite festgelegt; das Bestimmen dieser Größen heißt Fourier-Analyse.

Das Werkzeug dafür ist die Orthogonalität: Multipliziert man die Formen zweier verschiedener Eigenschwingungen und integriert über die Saite, ergibt sich null. Für eine aus der Ruhe mit der Form $y_0(x)$ losgelassene Saite sind alle Phasen ${\phi }_n$ null, denn jede Eigenschwingung muss aus der Ruhe starten. Man multipliziere $y_0(x)$ mit der Form der Eigenschwingung $n$ und integriere von 0 bis $L$. Die Orthogonalität entfernt alle Terme außer dem eigenen der Eigenschwingung $n$, was $b_n$ mal ${\int }_0^L{\sin }^2(n\pi x/L)dx=L/2$ ergibt. Daher gilt
$b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L{y}_0(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

Symmetrie entscheidet einen Fall ohne jedes Integral. Ein Zupfen in der Mitte ergibt eine Form, die symmetrisch um $x=L/2$ ist, während jede gerade Eigenschwingung um diesen Punkt antisymmetrisch ist: Eine Hälfte geht nach oben, während die andere nach unten geht. Eine symmetrische Form mal einer antisymmetrischen hat das Integral null, also verschwinden die geraden Koeffizienten, und eine in der Mitte gezupfte Saite klingt nur mit ungeraden Harmonischen. Umgekehrt erzeugen wenige Eigenschwingungen schon reiche Bewegungen: Die ersten beiden allein, um ein Viertel Zyklus phasenverschoben, ergeben eine Beule, die zwischen den Enden hin- und herläuft, und viele zusammen bilden die scharfe Ecke eines echten Zupfens.

Die Orthogonalität teilt auch die Energie auf. Die Gesamtenergie der Saite ist die Summe der Energien der Eigenschwingungen, ohne Kreuzterme zwischen ihnen:
$E_n=\frac{1}{4}\mu L{\omega }_n^2{b}_n^2$
Dies ist die kinetische Energie der Eigenschwingung $n$ in dem Moment, in dem sie die Ruhelage durchläuft: $\frac{1}{2}\mu {\omega }_n^2{b}_n^2{\sin }^2(n\pi x/L)$ pro Meter, und das ${\sin }^2$ mittelt sich entlang der Saite zu einer Hälfte. In diesem Sinn ist jedes lineare schwingende System, von einer Brücke bis zu einem Molekül, eine Sammlung unabhängiger Oszillatoren, einer pro Eigenschwingung.

Wo die Energie steckt

Eine stehende Welle transportiert keine Energie entlang der Saite, dennoch wandert Energie in ihrem Inneren hin und her. Abbildung 3 zeigt, wo sie gespeichert ist.

Legende

$n$	Nummer der Mode. Die Saite ist in ihrer zweiten Mode, $n=2$, in ihren beiden Extremformen gezeichnet.
$\lambda /2$	Abstand benachbarter Knoten (goldene Punkte): eine halbe Wellenlänge.	$\mathrm{m}$
$x$	Ort entlang der Saite.	$\mathrm{m}$
$u_K$	Kinetische Energie pro Meter: der größte Wert, den sie an jedem Punkt während eines Zyklus erreicht.	$J/m$
$u_E$	Elastische (Dehn-)Energie pro Meter: der größte Wert, den sie an jedem Punkt während eines Zyklus erreicht.	$J/m$

Abbildung 3 zeigt die Saite mit $n=2$ in ihren beiden Extremformen, die Knoten als goldene Punkte, $\lambda /2$ auseinander. Darunter zeigen zwei Kurven, wie die Energie pro Meter entlang $x$ verteilt ist. Jede Kurve ist der größte Wert, den diese Energie an jedem Punkt während eines Zyklus erreicht; die beiden größten Werte treten zu verschiedenen Zeitpunkten auf.

Die kinetische Energie pro Meter ist $u_K=\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. Mit $\partial y/\partial t=-2A\omega \sin kx\sin \omega t$ variiert sie wie ${\sin }^{2}kx{\sin }^2\omega t$. Ihr größter Wert, die durchgezogene violette Kurve, hat seine Spitzen an den Bäuchen, wo sich die Saite am schnellsten bewegt, und verschwindet an den Knoten, die sich nie bewegen. Er wird zu den Zeitpunkten erreicht, in denen die Saite die Ruhelage durchläuft.

Die elastische Energie pro Meter, die durch das Dehnen der Saite gespeichert wird, ist $u_E=\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$. Mit $\partial y/\partial x=2Ak\cos kx\cos \omega t$ variiert sie wie ${\cos }^{2}kx{\cos }^2\omega t$. Ihr größter Wert, die gestrichelte grüne Kurve, hat seine Spitzen an den Knoten, wo die Saite am stärksten geneigt ist, und wird zu den Zeitpunkten maximaler Auslenkung erreicht. Beide Kurven erreichen dieselbe Höhe, $2\mu A^2{\omega }^2$, denn $F{k}^2=\mu {\omega }^2$ (aus $v^2=F/\mu$ und $\omega =vk$). Während jedes Zyklus schwappt die Energie also von elastischer Energie nahe den Knoten zu kinetischer Energie nahe den Bäuchen und zurück.

Warum wandert davon nichts entlang der Saite? Jede laufende Komponente trägt eine mittlere Leistung $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$, aber bei der stehenden Welle transportieren die beiden sie in entgegengesetzte Richtungen, sodass der Nettofluss null ist. Augenblick für Augenblick ist die Leistung, die einen Punkt passiert, die seitliche Kraft der Saite links vom Punkt, $-F\partial y/\partial x$, multipliziert mit der Geschwindigkeit dieses Punktes, $\partial y/\partial t$:
$P=-F\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}=Fk\omega A^2\sin 2kx\sin 2\omega t$
Der Faktor $\sin 2kx$ ist an jedem Knoten und jedem Bauch zu jeder Zeit null. Energie überquert diese Punkte nie: Sie pendelt innerhalb jeder Viertelwellenlänge hin und her, mit der doppelten Frequenz der Bewegung. Im Diagramm der Animation geht der Bauch bei seiner Höchstgeschwindigkeit $2A\omega$ durch seine Ruhelage; in diesem Augenblick ist die gesamte Energie seines Bereichs kinetisch.

Regt man die Saite bei einem ihrer $f_n$ an, addiert sich die in jedem Zyklus zugeführte Energie, sodass die Amplitude wächst, bis die Verluste die Anregung ausgleichen. Das ist Resonanz, und die Höhe ihres Maximums wird durch den Gütefaktor $Q$ bestimmt, den man in „Dämpfung und Resonanz“ kennenlernt.

Jenseits der idealen Saite

Die Regel, dass ganze Zahlen von Wellen passen müssen, gilt auch für andere Randbedingungen, steifere Saiten und Flächen, mit Unterschieden, die man hört.

Eine Saite, die bei $x=0$ eingespannt, bei $x=L$ aber frei ist, braucht am freien Ende die Steigung null, $\cos kL=0$, also $kL=(m-\frac{1}{2})\pi$ mit ganzem $m\ge 1$. Es passt eine ungerade Zahl von Viertelwellenlängen, und $f=(2m-1)v/(4L)$: nur ungerade Vielfache der tiefsten Frequenz $v/(4L)$. Das ist das einseitig geschlossene Rohr. Sein geschlossenes Ende ist ein Auslenkungsknoten, wie die Einspannung, und sein offenes Ende ist ein Druckknoten, wie das freie Ende. Die Luft direkt außerhalb eines offenen Endes beteiligt sich ebenfalls und verlängert die wirksame Länge um etwa 0,6 des Rohrradius.

Eine echte Saite wehrt sich auch gegen Biegung. Diese zusätzliche Rückstellkraft wächst mit der Krümmung schneller als die Spannung, sodass kurze Wellen schneller laufen und die Obertöne zu hoch liegen:
$f_n\approx n{f}_1\sqrt{1+B{n}^2}$
wobei die Steifigkeitskonstante $B$ mit der vierten Potenz des Drahtdurchmessers wächst. Für eine Klaviersaite nahe dem mittleren C liegt $B$ in der Größenordnung von $4\times 10^{-4}$, also für die zehnte Mode $\sqrt{1+0,04}\approx 1,02$: Sie liegt etwa 2 % über dem Zehnfachen der Grundfrequenz, und Stimmer dehnen die Oktaven etwas, um dazu zu passen.

In zwei Dimensionen müssen die Wellen gleichzeitig in beide Richtungen passen. Eine rechteckige Membran mit den Seiten $L_x$ und $L_y$ hat die Moden $f_{mn}=(v/2)\sqrt{(m/L_x{)}^2+(n/L_y{)}^2}$. Eine runde Trommelmembran hat Moden beim etwa 1,59-, 2,14- und 2,30-Fachen ihrer tiefsten Frequenz, nicht bei ganzen Vielfachen; deshalb ist die Tonhöhe einer Trommel weniger eindeutig als die einer Saite.

Aufgabe: das Zupfen der Saite der Animation

Diese Aufgabe fügt die Teile zusammen: die Fourier-Koeffizienten eines echten Zupfens, die Harmonischen, die es auslässt, und den Energieanteil jeder Harmonischen.

Legende

$y_0$	Form der Saite im Moment des Loslassens: ein Dreieck.	$\mathrm{m}$
$H$	Wie weit die Saite am Zupfpunkt seitlich ausgelenkt wird.	$\mathrm{m}$
$d$	Abstand vom linken Ende bis zum Zupfpunkt.	$\mathrm{m}$
$L$	Länge der Saite.	$\mathrm{m}$
$n$	Nummer der Eigenschwingung: Eigenschwingung $n$ hat $n$ Schleifen. Gezeigt: $\sin (n\pi x/L)$ für $n=1$ und $n=5$.

Abbildung 4 zeigt die Saite im Moment des Loslassens. Es ist die Saite der Animation, $L=0,65\mathrm{m}$ und $v=143m/s$, bei $d=0,13\mathrm{m}$ vom linken Ende, einem Fünftel ihrer Länge, um $H=3\mathrm{mm}$ seitlich ausgelenkt und aus der Ruhe losgelassen. Die Höhe $H$ ist weit größer gezeichnet, als sie ist. Welche Harmonischen klingen, und wie verteilt sich die Energie auf sie?

Die Anfangsform $y_0(x)$ ist das blaue Dreieck: zwei gerade Linien von den Einspannungen hoch zur Höhe $H$ bei $x=d$. Setzt man sie in die Formel für $b_n$ ein und integriert jedes gerade Stück, erhält man
$b_n=\frac{2H{L}^2}{{\pi }^2{n}^{2}d(L-d)}\sin \frac{n\pi d}{L}=\frac{25H}{2{\pi }^2{n}^2}\sin \frac{n\pi }{5}$
wobei die zweite Form $d=L/5$ verwendet, sodass $d(L-d)=4L^2/25$ ist. Das ergibt $b_1\approx 2,23\mathrm{mm}$, $b_2\approx 0,90\mathrm{mm}$ und $b_3\approx 0,40\mathrm{mm}$, bei 110, 220 und 330 Hz.

Die beiden unteren Bilder zeigen, warum einige Harmonische fehlen. Man schaue entlang der gestrichelten senkrechten Linie durch den Zupfpunkt $x=d$. Die Form der Eigenschwingung 1, $\sin (\pi x/L)$, liegt dort deutlich über null, sodass ein Ziehen bei $d$ die Eigenschwingung 1 stark anregt. Die Form der Eigenschwingung 5, $\sin (5\pi x/L)$, schneidet genau dort die Null, weil $d=L/5$ ist. Der Zupfpunkt ist ein Knoten der Eigenschwingung 5, eine Stelle, an der sich diese nie bewegt, sodass dort kein Ziehen sie anstoßen kann. Dasselbe gilt für jede Eigenschwingung mit einem Knoten bei $d$: $\sin (n\pi /5)=0$ für $n=5,10,\dots$, sodass 550 Hz und 1100 Hz fehlen.

Für die Energie gilt $E_n\propto {\omega }_n^2{b}_n^2$, mit ${\omega }_n\propto n$ und $b_n\propto \sin (n\pi d/L)/n^2$, also $E_n\propto {\sin }^2(n\pi d/L)/n^2$. Teilt man jeden Term durch die Summe über alle Eigenschwingungen, erhält die Grundschwingung 44 % der Energie, die zweite Harmonische 29 % und die dritte 13 %. Würde dieselbe Saite in der Mitte gezupft, ginge 81 % in die Grundschwingung, 9 % in die dritte Harmonische und nichts in die geraden. Ein Zupfen näher am Ende regt die oberen Harmonischen an, weshalb eine Gitarre nahe am Steg hell und dünn und über dem Schallloch rund klingt.

Gültigkeitsgrenzen

Die ideale Saite ist ein Modell. Zu wissen, wo es nicht mehr stimmt, zeigt, wann man den obigen Ergebnissen trauen kann.

Das Modell setzt kleine Steigungen voraus, sodass sich die Saite kaum dehnt und ihre Spannung gleich $F$ bleibt. Hier beträgt die steilste Steigung $H/d=3/130\approx 0,023$, deutlich innerhalb dieser Grenze. Ein kräftiges Zupfen dehnt die Saite aber doch, daher beginnt der Ton leicht zu hoch und pendelt sich ein, während er verklingt.

Auch die Enden sind nicht perfekt starr, und das dürfen sie auch nicht sein: Eine Saite allein bewegt sehr wenig Luft, und ein Instrument klingt, weil der Steg sich bewegt und die Schwingung an den Korpus weitergibt. Diese Abgabe von Energie an die Umgebung dämpft zusammen mit dem Luftwiderstand und der inneren Reibung die Moden, die hohen am schnellsten. Fällt die Amplitude der Grundschwingung um den Faktor e in $\tau \approx 3\mathrm{s}$ ab, so ist ihr Gütefaktor $Q=\pi f_1\tau =\pi \cdot 110\cdot 3\approx 1000$.

Eine Saite besteht aus Atomen, die etwa 0,3 nm voneinander entfernt sind, daher gilt die kontinuierliche Wellengleichung nur für Wellenlängen, die viel länger sind als dieser Abstand. Eine Kette aus $N$ Atomen hat genau $N$ Moden, wobei die kürzeste Wellenlänge zwei Abstände beträgt. In einem Kristall reichen diese Moden bis etwa $10^{13}\mathrm{Hz}$, und ihre Quanten, Phononen genannt, tragen Schall und Wärme.

Wohin das führt

Die Idee, dass nur passende Wellen überleben können, reicht weit über Saiten hinaus.

Licht zwischen zwei Spiegeln bildet stehende Wellen, deren Frequenzen um $c/(2L)$ auseinanderliegen, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist: etwa 500 MHz für einen 30 cm langen Laserresonator („Elektromagnetische Wellen“). Das Überlagern von Wellen führt allgemein zur nächsten Lektion, „Interferenz und Superposition“.

Das tiefste Echo findet sich in der Quantenmechanik, wo ein Elektron eine Welle ist und seine Frequenz eine Energie, $E=hf$, mit $h$ dem Planck-Wirkungsquantum. Ein Elektron, das in einen Kasten der Länge $L$ eingesperrt ist, muss ebenfalls ganze halbe Wellenlängen einpassen, ${\lambda }_n=2L/n$. Sein Impuls ist $p=h/\lambda$ und seine Energie $p^2/(2m_e)$, mit $m_e$ der Elektronenmasse, also
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m_e{L}^2}$
was für $n=1$ in einem 1 nm breiten Kasten etwa 0,38 eV ergibt. Die Niveaus wachsen mit $n^2$, nicht mit $n$, weil bei Materiewellen die Frequenz mit $k^2$ wächst, auf einer Saite dagegen mit $k$. Das Einpassen ganzer Wellenlängen um eine Bahn ist die Idee hinter „Atommodelle: das bohrsche Atom“; der Kasten wird richtig in „Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt“ gelöst, und „Welle-Teilchen-Dualismus“ erklärt, warum Elektronen überhaupt Wellen sind.