Movimiento armónico simple

Principiante

Un niño en un columpio, una pesa que rebota colgada de un muelle, una cuerda de guitarra pulsada: todos van y vienen alrededor de una posición de reposo. Vamos paso a paso.

Paso 1. Separar y soltar. Aparta el objeto de su posición de reposo y algo lo devuelve: el muelle o, en un columpio, la gravedad. Vuelve deprisa, se pasa del centro, frena, se detiene y regresa. Cuando la fuerza que lo devuelve crece al mismo ritmo que la separación (el doble de lejos, el doble de fuerza), el movimiento se llama armónico simple.

Paso 2. Rápido en el centro, quieto en los extremos. El objeto va más rápido al pasar por el centro y se detiene un instante en cada extremo antes de dar la vuelta. Su energía cambia de forma sin parar: toda es energía de movimiento en el centro y toda está almacenada (en el muelle estirado o, en el columpio, como altura) en los extremos.

Paso 3. Periodo y frecuencia. El tiempo de una ida y vuelta completa es el periodo. El péndulo de un reloj de pie tiene un periodo de unos 2 segundos. La frecuencia es el número de oscilaciones por segundo, así que frecuencia = 1 ÷ periodo: aquí, media oscilación por segundo.

Paso 4. ¿Qué fija el ritmo? Una masa más pesada en un muelle oscila más despacio; un muelle más rígido la hace ir más rápido. En un péndulo solo cuenta la longitud (y la gravedad): un péndulo más largo oscila más despacio, y con el cuádruple de longitud el periodo se duplica. La masa del péndulo no influye.

Compruébalo: sueltas un péndulo desde un poco más lejos, pero la oscilación sigue siendo pequeña. ¿Cambia su periodo? (No: tiene más camino que recorrer, pero va más rápido.)

En la animación, un muelle y un péndulo mantienen exactamente el mismo ritmo. Fíjate en la flecha azul de la velocidad: es más larga cuando el objeto pasa por el centro («más rápido») y se reduce a nada en cada extremo («da la vuelta»).

Intermedio

Qué oscila y cómo lo medimos

Todo oscilador tiene una posición de equilibrio, donde podría quedarse en reposo sin fuerza neta sobre él: la línea discontinua para el bloque de la animación, la vertical para el péndulo. El desplazamiento $x$ se mide desde ahí, con signo: $x=+10\mathrm{cm}$ a un lado y $x=-10\mathrm{cm}$ al otro. Su valor máximo es la amplitud $A$. En los puntos de retorno, $x=\pm A$, el cuerpo se detiene un instante y vuelve.

Un ciclo completo (ir hasta un extremo, cruzar hasta el otro y volver) dura el periodo $T$, en segundos. La frecuencia $f=1/T$ cuenta los ciclos por segundo, en hercios (Hz). Las ecuaciones usan la frecuencia angular $\omega =2\pi f=2\pi /T$, en radianes por segundo, que cuenta un ciclo como una vuelta de $2\pi$ radianes.

Una fuerza recuperadora da un coseno

Aparta de su posición de equilibrio un bloque unido a un muelle, y el muelle tira de él hacia atrás con una fuerza proporcional al desplazamiento:
$F=-kx$
La constante elástica $k$, en newtons por metro, mide la rigidez; el signo menos indica que la fuerza apunta de vuelta hacia el equilibrio. La segunda ley de Newton da $a=-(k/m)x$, una aceleración proporcional al desplazamiento y de sentido contrario. Este es el movimiento armónico simple, y su posición sigue un coseno:
$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$

La fase inicial $\phi$ indica en qué punto del ciclo se puso en marcha el reloj; si se suelta desde el reposo en $x=+A$, como en la animación, resulta $\phi =0$. Un movimiento cosenoidal tiene aceleración $-{\omega }^{2}x$, así que solo encaja con el muelle si ${\omega }^2=k/m$. El muelle y la masa, por sí solos, fijan el ritmo:

• $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
• $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
• $f=\frac{1}{T}$

La amplitud no aparece por ningún lado. Duplícala y, en cada etapa del recorrido, el bloque está el doble de lejos, siente el doble de fuerza y se mueve al doble de velocidad: el doble de camino a doble velocidad lleva el mismo tiempo. Esto es el isocronismo, que hizo posibles los relojes de péndulo. La amplitud sí fija la velocidad máxima, $v_{\max }=A\omega$ en el centro, y la mayor aceleración, $a_{\max }={\omega }^{2}A$ en los puntos de retorno.

El péndulo: la gravedad hace de muelle

Un péndulo simple es una pequeña masa, la lenteja, colgada de un hilo ligero de longitud $L$. Su fuerza recuperadora es la parte de la gravedad a lo largo del arco, $mg\sin \theta$, donde $\theta$ es el ángulo respecto de la vertical. Para ángulos pequeños, $\sin \theta \approx \theta$ (en radianes) y la longitud del arco es $s=L\theta$, así que la fuerza es $-(mg/L)s$: un muelle con $k=mg/L$. En la fórmula del muelle la masa se cancela:
$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

La gravedad tira con más fuerza de una lenteja más pesada, justo en proporción a su mayor inercia, así que solo importan $L$ y $g$: con cuatro veces la longitud, el periodo se duplica, y en la Luna, donde $g$ es unas seis veces menor, el periodo es $\sqrt{6}\approx 2,45$ veces más largo. A los 15° de la animación, el periodo real es solo un 0,4 % mayor.

Un muelle colgado en vertical conserva el periodo de uno horizontal: la gravedad solo baja el equilibrio en el alargamiento estático $d=mg/k$. Como $m/k=d/g$, el periodo es también $2\pi \sqrt{d/g}$: una masa colgada rebota como un péndulo tan largo como el alargamiento estático del muelle.

Cómo leer las flechas y dónde está la energía

La vista intermedia añade tres flechas. La flecha verde de $x$ va desde la línea central discontinua hasta el bloque. La flecha roja de $F$ apunta siempre en sentido contrario, es más larga en los puntos de retorno y desaparece en el centro. La flecha azul de $v$ va desfasada un cuarto de ciclo: es nula en los puntos de retorno, la más larga en el centro, y se invierte dos veces por ciclo.

La energía explica el patrón. En un punto de retorno toda está almacenada en el muelle, $\frac{1}{2}k{A}^2$; en el centro toda es cinética. Entre medias, las partes cambian, pero su suma no:
$\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$
Con $x=0$ se obtiene la velocidad máxima, $v_{\max }=A\sqrt{k/m}=A\omega$.

Como la energía almacenada crece con $x^2$, el reparto es desigual: a medio camino, en $x=A/2$, el muelle guarda solo un cuarto de la energía, y el bloque aún lleva $\sqrt{3}/2$, cerca del 87 %, de su velocidad máxima. Desde un punto de retorno tarda una sexta parte del periodo en cubrir la primera mitad del camino hacia el centro, y una doceava parte en la segunda.

Ejemplo resuelto: los osciladores de la animación

El bloque tiene $m=1\mathrm{kg}$, el muelle tiene $k=10N/m$ y el bloque se suelta desde el reposo en $A=10\mathrm{cm}$. Entonces
$\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{10}\approx 3,16rad/s$
$T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{s},f=1/T\approx 0,50\mathrm{Hz}$
$v_{\max }=A\omega =0,10\cdot 3,16\approx 0,32m/s,F_{\max }=kA=10\cdot 0,10=1,0\mathrm{N}$

Son los extremos de las lecturas: $x$ oscila entre $+10$ y $-10\mathrm{cm}$, $v$ entre $+0,32$ y $-0,32m/s$, y $F$ entre $-1,00$ y $+1,00\mathrm{N}$, con $F=-1,00\mathrm{N}$ justo cuando $x$ marca $+10\mathrm{cm}$. La mayor aceleración es $1,0\mathrm{N}/1\mathrm{kg}=1,0m/{\mathrm{s}}^2$, y la energía es $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,05\mathrm{J}$, igual que $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,316^2$ en el centro.

El péndulo que lo acompaña tiene $L=g/{\omega }^2=9,81/10\approx 0,98\mathrm{m}$, así que $2\pi \sqrt{L/g}$ da los mismos 1,99 s y los dos siguen sincronizados. La longitud no es casual: $g/{\omega }^2=mg/k$ es también el alargamiento estático que este muelle tendría con el bloque de 1 kg colgado de él. Soltada a 15° (0,262 rad), la lenteja recorre $L{\theta }_0\approx 0,26\mathrm{m}$ sobre su arco a uno y otro lado y pasa por el punto más bajo a unos $\omega L{\theta }_0\approx 0,81m/s$.

Ejemplo resuelto: un coche sobre sus muelles

La carrocería de un coche, de 1200 kg, se hunde 1,0 cm sobre sus muelles cuando sube un pasajero de 80 kg. ¿A qué ritmo rebota el coche cargado después de un bache?

Trata los cuatro muelles como uno solo. El peso del pasajero, $80\cdot 9,81=784,8\mathrm{N}$, lo comprime 0,010 m, así que $k=784,8/0,010=78480N/m$. Con 1280 kg a bordo:
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{1280}{78480}}\approx 0,80\mathrm{s}$
es decir, unos 1,25 rebotes por segundo.

La regla del alargamiento estático lo comprueba: los 1280 kg completos comprimen los muelles $d=mg/k=0,16\mathrm{m}$, y $2\pi \sqrt{0,16/9,81}\approx 0,80\mathrm{s}$ otra vez. Las suspensiones suelen ajustarse a una frecuencia de entre 1 y 1,5 Hz, que a los pasajeros les resulta cómoda; los amortiguadores impiden entonces que el rebote se prolongue después de cada bache.

Errores frecuentes

• Donde el bloque se detiene, la fuerza no es cero: en un punto de retorno la fuerza y la aceleración son máximas, 1,0 N y 1,0 m/s² para el bloque de la animación, y en el centro se anulan.
• Una oscilación más amplia no tarda más en completar un ciclo: duplicar la amplitud de la animación hasta 20 cm deja el periodo en 1,99 s, mientras que la velocidad máxima se duplica hasta 0,63 m/s.
• Conserva el $2\pi$ y no mezcles hercios con radianes por segundo: para 0,2 kg en un muelle de 80 N/m, $\sqrt{m/k}=0,05\mathrm{s}$, pero $T\approx 0,31\mathrm{s}$, $f\approx 3,2\mathrm{Hz}$ y $\omega =20rad/s$.
• El periodo de un péndulo no depende de la masa de la lenteja ni, para oscilaciones pequeñas, de la amplitud; soltado desde 60°, sin embargo, tarda cerca de un 7 % más de lo que dice la fórmula.
• Mide $x$ desde la posición de equilibrio, no desde el extremo del muelle sin estirar; en un muelle colgado esa posición está $mg/k$ más abajo, y así la gravedad desaparece de la ecuación del movimiento.

Dónde aparece

Los relojes de péndulo se basan en el isocronismo: un péndulo de segundos, con 1 s por oscilación y 2 s por ciclo, mide $g/{\pi }^2\approx 0,994\mathrm{m}$, casi lo mismo que el péndulo de la animación. Un reloj de cuarzo cuenta las 32 768 vibraciones por segundo de un diminuto diapasón de cuarzo; las suspensiones de los coches, las torres que se balancean y los átomos de un sólido oscilan de un modo casi armónico simple. Amortiguamiento y resonancia añade rozamiento y empujes periódicos, y Fundamentos de las ondas muestra cómo los osciladores acoplados transportan una onda.

Avanzado

Una ecuación detrás de muchos osciladores

Esta lección trata de una sola ecuación y de por qué aparece por toda la física. Empieza por el caso más sencillo: un bloque de masa $m$ sobre un suelo sin rozamiento, sujeto a un muelle de constante elástica $k$. Llama $x$ al desplazamiento del bloque desde el punto en que el muelle está relajado, y escribe $\ddot{x}$ para su aceleración, la derivada segunda de $x$ respecto al tiempo.

El muelle tira hacia atrás con la fuerza $-kx$ (ley de Hooke): siempre apunta hacia el centro y crece en proporción al desplazamiento. La segunda ley de Newton dice entonces $m\ddot{x}=-kx$. Al dividir entre $m$ y dar nombre al cociente $k/m$, se obtiene
$\ddot{x}=-{\omega }^{2}x,{\omega }^2=\frac{k}{m}$
Dicho con palabras: la aceleración es el desplazamiento invertido y multiplicado por ${\omega }^2$. La constante $\omega$ tiene unidades de inverso de un tiempo; resultará ser la frecuencia angular del movimiento, en radianes por segundo.

Lo que hace que esta ecuación merezca una lección entera no es el muelle, sino su forma. Es lineal: $x$ y sus derivadas aparecen solo a la primera potencia, nunca al cuadrado ni multiplicadas entre sí. Es de segundo orden: la derivada más alta es la segunda. Y sus coeficientes son constantes. Cualquier sistema cuya ecuación tenga esta forma se mueve igual, esté hecho de lo que esté hecho: la carga de un condensador que se descarga a través de una bobina, el cristal de cuarzo de un reloj, la vibración de estiramiento de una molécula, un barco que se balancea en aguas tranquilas y los átomos de un cristal por el que pasa el sonido. La sección siguiente muestra por qué tantos sistemas acaban en ella.

Por qué las oscilaciones pequeñas son armónicas

Las fuerzas recuperadoras reales rara vez son exactamente proporcionales al desplazamiento. Esta sección muestra por qué eso no importa para las oscilaciones pequeñas: cerca de cualquier equilibrio estable, toda ley de fuerza suave se parece a la ley de Hooke, así que el sistema obedece la ecuación anterior. Eso es lo que significa aquí «armónico»: un movimiento regido por $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$.

Leyenda

$x$	Posición del sistema a lo largo de su línea de movimiento.	$\mathrm{m}$
$U$	Energía potencial del sistema.	$\mathrm{J}$
$x_0$	Posición del equilibrio estable, donde $U$ es mínima.	$\mathrm{m}$
$U(x_0)$	Valor de $U$ en el mínimo.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Altura de la parábola discontinua por encima de $U(x_0)$: la aproximación armónica de $U$, con $k=U^{\prime \prime }(x_0)$.	$\mathrm{J}$

La figura 1 esboza la energía potencial $U$ de un sistema frente a su posición $x$. El fondo del pozo, en $x_0$, es un equilibrio estable: si desplazas el sistema hacia cualquier lado, $U$ sube, y la fuerza, que siempre apunta cuesta abajo en esta curva, lo devuelve. Fíjate primero en el punto donde se tocan la curva continua $U$ y la parábola discontinua. Cerca de él, apenas se distinguen. Más lejos se separan: a la izquierda, la curva real sube más empinada que la parábola, y a la derecha se aplana por debajo de ella.

La parábola encaja gracias al desarrollo de Taylor de $U$ en torno a $x_0$. Su primer término es la constante $U(x_0)$. Su término lineal, $U^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, se anula, porque la pendiente de la curva es cero en un mínimo. Así que el primer término que cambia con $x$ es el cuadrático:
$U(x)\approx U(x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$
Esta es la parábola discontinua, con $k=U^{\prime \prime }(x_0)$; la etiqueta $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ de la figura 1 indica cuánto se eleva por encima de $U(x_0)$. La fuerza es la pendiente de $U$ cambiada de signo, así que cerca del mínimo vale $-dU/dx=-U^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0)$: la ley de Hooke, con el equilibrio $x_0$ en lugar del muelle relajado. En un mínimo, $U^{\prime \prime }(x_0)>0$, de modo que $k$ es positiva y la fuerza de verdad tira hacia atrás.

El péndulo muestra la receta en acción. Una lenteja de masa $m$ colgada de un hilo de longitud $L$ y apartada un ángulo $\theta$ sube $L(1-\cos \theta )$, así que su energía potencial es $mgL(1-\cos \theta )$, donde $g$ es la aceleración de la gravedad. Para ángulos pequeños, $\cos \theta \approx 1-\frac{1}{2}{\theta }^2$, así que $U\approx \frac{1}{2}mgL{\theta }^2$: una parábola en $\theta$, con la rigidez angular $mgL$ en lugar de $k$. Lo que se opone al giro es el momento de inercia $m{L}^2$, en lugar de $m$, de modo que ${\omega }^2=mgL/(m{L}^2)=g/L$. La conclusión es general: las oscilaciones pequeñas en torno a cualquier mínimo con $U^{\prime \prime }(x_0)>0$ son armónicas, y solo su frecuencia depende del sistema.

La solución general y sus dos constantes

Ahora resuelve la ecuación. El objetivo es una fórmula para $x(t)$ que cubra cualquier arranque posible, y una cuenta clara de lo que el arranque puede cambiar.

¿Qué funciones vuelven a ser ellas mismas, multiplicadas por una constante negativa, al derivarlas dos veces? El coseno y el seno: $d^2(\cos \omega t)/d{t}^2=-{\omega }^2\cos \omega t$, y lo mismo vale para $\sin \omega t$. Como la ecuación es lineal, una suma de soluciones, cada una multiplicada por cualquier constante, es de nuevo una solución. Una ecuación de segundo orden deja libres exactamente dos constantes: una para la posición inicial y otra para la velocidad inicial. Llama $x_0$ y $v_0$ a la posición y la velocidad en $t=0$ (a partir de aquí, $x_0$ es una posición inicial, y el equilibrio está en $x=0$). Entonces
$x(t)=x_0\cos \omega t+\frac{v_0}{\omega }\sin \omega t=A\cos (\omega t+\phi )$
La primera forma es fácil de comprobar: en $t=0$ da $x_0$, y su derivada en ese instante da $v_0$. La segunda reúne los dos términos en un solo coseno con la amplitud $A$, el mayor desplazamiento, y la fase inicial $\phi$, que dice en qué punto del ciclo se puso en marcha el cronómetro. Al desarrollar $A\cos (\omega t+\phi )=A\cos \phi \cos \omega t-A\sin \phi \sin \omega t$ e igualar términos, se obtiene $A\cos \phi =x_0$ y $-A\sin \phi =v_0/\omega$, así que
$A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega {)}^2},\tan \phi =-v_0/(\omega x_0)$
El reparto de tareas es limpio: la ecuación fija $\omega$; el arranque fija $A$ y $\phi$.

El bloque de la animación lo hace concreto. Tiene $m=1\mathrm{kg}$ y $k=10N/m$, así que $\omega =\sqrt{10}\approx 3,16rad/s$ y el periodo es $T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{s}$. Se suelta desde el reposo en $x_0=A=0,10\mathrm{m}$, de modo que $v_0=0$, $\phi =0$ y $x=A\cos \omega t$. Al derivar una vez se obtiene la velocidad, $v=-A\omega \sin \omega t$, que es lo mismo que $A\omega \cos (\omega t+\pi /2)$: la curva de la velocidad es la del desplazamiento desplazada un cuarto de periodo hacia atrás en el tiempo, así que la velocidad adelanta al desplazamiento un cuarto de periodo. Al derivar otra vez se obtiene la aceleración $a=-{\omega }^{2}x$, a medio periodo del desplazamiento, en oposición de fase: máxima donde $x$ es máximo, pero apuntando hacia el otro lado.

La linealidad también demuestra en una línea el isocronismo, el hecho de que el periodo no depende de la amplitud. Si $x(t)$ es una solución, también lo es $\lambda x(t)$ para cualquier constante $\lambda$, porque multiplicar los dos miembros de $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ por $\lambda$ no cambia nada. La copia estirada se aleja $\lambda$ veces más con exactamente el mismo ritmo, así que una oscilación grande y una pequeña duran lo mismo.

Una manera compacta de llevar las dos constantes es un número complejo. Escribe $x$ como la parte real de $C{e}^{i\omega t}$, con la amplitud compleja $C=A{e}^{i\phi }$; la parte real de $A{e}^{i(\omega t+\phi )}$ es, en efecto, $A\cos (\omega t+\phi )$. La ventaja es que cada derivada respecto al tiempo simplemente multiplica $e^{i\omega t}$ por $i\omega$. La ecuación se convierte en $(i\omega {)}^{2}C=-{\omega }^{2}C$, que se cumple para todo $C$: la ecuación diferencial se ha vuelto álgebra. Este atajo es lo que hace manejables los osciladores amortiguados y forzados.

La circunferencia de referencia

El movimiento armónico simple tiene un gemelo geométrico: el movimiento uniforme en una circunferencia. Ese gemelo explica por qué la fase es un ángulo y por qué $\omega$ se mide en radianes por segundo, y da la velocidad y la aceleración sin necesidad de derivar.

Leyenda

$A$	Radio de la circunferencia: la amplitud del movimiento de la sombra.	$\mathrm{m}$
$\omega t+\phi$	Fase: el ángulo que ha girado el radio desde el sentido positivo del eje $x$.	$\mathrm{rad}$
$x$	Posición de la sombra, medida desde el centro (negativa aquí).	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidad del punto: tangente a la circunferencia, de módulo $\omega A$.	$m/s$
$\vec{a}$	Aceleración del punto: hacia el centro, de módulo ${\omega }^{2}A$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$v$	Velocidad de la sombra: la componente horizontal de $\vec{v}$.	$m/s$
$a$	Aceleración de la sombra: la componente horizontal de $\vec{a}$, igual a $-{\omega }^{2}x$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

La figura 2 dibuja la circunferencia de referencia. Un punto recorre una circunferencia de radio $A$ en sentido antihorario, con velocidad angular constante $\omega$. Al cabo de un tiempo $t$, su radio ha girado el ángulo $\omega t+\phi$, medido desde el sentido positivo del eje $x$; en la figura es algo más de un cuarto de vuelta, así que el punto está arriba a la izquierda. Baja la línea discontinua desde el punto, en vertical, hasta el diámetro horizontal. Su pie, la sombra del punto (el círculo hueco), está a $x=A\cos (\omega t+\phi )$ del centro: exactamente la posición del bloque.

Ahora la velocidad. La velocidad $\vec{v}$ del punto es tangente a la circunferencia y tiene módulo $\omega A$, porque el punto recorre un arco de longitud $A$ por cada radián que gira. La sombra solo se mueve a lo largo del diámetro, así que su velocidad $v$ es la componente horizontal de $\vec{v}$: $v=-\omega A\sin (\omega t+\phi )$. En la figura, $\vec{v}$ apunta hacia abajo y a la izquierda, así que $v$ apunta a la izquierda.

Luego la aceleración. El punto se mueve con rapidez constante en una circunferencia, así que su aceleración $\vec{a}$ es centrípeta: apunta al centro y tiene módulo ${\omega }^{2}A$. Su componente horizontal es la aceleración de la sombra:
$a=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$
En la figura, $x$ es negativo, así que $a$ apunta a la derecha, hacia el centro, mientras la sombra todavía se mueve a la izquierda: va frenando al acercarse a su punto de retorno en $-A$.

Por tanto, la sombra obedece la ecuación de esta lección y se mueve exactamente como el bloque. El movimiento armónico simple es un movimiento circular uniforme visto de canto. Por eso la fase $\omega t+\phi$ es un ángulo y $\omega$, la velocidad angular del punto, se mide en radianes por segundo. Es también la imagen que hay detrás del número complejo de la sección anterior: $C{e}^{i\omega t}$ es el punto giratorio dibujado en el plano complejo, y $x$ es su sombra sobre el eje real.

La elipse de fase

La circunferencia de referencia sigue el movimiento en el espacio. Una segunda imagen sigue el estado del oscilador: su posición y su velocidad juntas, que bastan para predecir todo el resto del movimiento. En esta imagen, la conservación de la energía se convierte en una forma.

Leyenda

$x$	Posición, en el eje horizontal.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidad, en el eje vertical.	$m/s$
$A$	Amplitud, el mayor $x$: el semieje a lo largo de $x$.	$\mathrm{m}$
$\omega A$	Mayor rapidez: el semieje a lo largo de $v$.	$m/s$
$E$	Energía total $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, la misma a lo largo de toda la elipse.	$\mathrm{J}$

La figura 3 representa la velocidad $v$ en vertical frente a la posición $x$ en horizontal. Cada instante del movimiento es un punto $(x,v)$; con el paso del tiempo el punto se mueve y traza una curva cerrada, el retrato de fase. Como $x=A\cos \omega t$ y $v=-\omega A\sin \omega t$, esa curva es una elipse. La conservación de la energía da directamente su ecuación: $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=E$, y al dividir los dos miembros entre $E=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$ se obtiene
$\frac{x^2}{A^2}+\frac{v^2}{(A\omega {)}^2}=1$

Los semiejes son $A$ a lo largo de $x$ y $\omega A$ a lo largo de $v$. El primero es el mayor desplazamiento, donde toda la energía está en el muelle; el segundo es la mayor rapidez, donde toda está en el bloque. Para el bloque de la animación valen 0,10 m y 0,32 m/s. Todos los puntos de la elipse tienen la misma energía $E$, y por eso la figura etiqueta con $E$ la propia curva; una energía mayor daría una elipse mayor de la misma forma.

Ahora sigue el movimiento. El punto parte del extremo derecho de la elipse, $(A,0)$, y la recorre en sentido horario, una vuelta por periodo. El sentido es obligado: en la mitad superior $v>0$, así que $x$ crece y el punto se mueve a la derecha; en la mitad inferior $v<0$, así que se mueve a la izquierda. El punto marcado en la figura 3 es un instante, abajo a la derecha: el bloque sigue en el lado positivo, pero ya vuelve. Las líneas discontinuas leen su $x$ y su $v$ en los ejes. Si dibujas $v/\omega$ hacia arriba en lugar de $v$, los dos semiejes pasan a ser $A$: la elipse vuelve a ser la circunferencia de referencia.

La vista experta de la animación muestra esta elipse junto a la gráfica de $x(t)$, un coseno entre $\pm 10\mathrm{cm}$. La pendiente de esa gráfica es $v$, y su curvatura sigue a $a=-{\omega }^{2}x$, así que la curva siempre se dobla hacia el eje del tiempo: al máximo en los picos y los valles, donde $|x|$ es mayor, y nada donde cruza el cero.

De la elipse salen dos hechos más profundos. Primero, a lo largo de un ciclo, ${\sin }^2$ y ${\cos }^2$ valen en promedio $\frac{1}{2}$, así que las energías cinética y potencial medias son iguales, $E/2$ cada una. Para el bloque, $E=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,050\mathrm{J}$, así que cada una vale en promedio $0,025\mathrm{J}$.

Segundo, dibuja la elipse con la cantidad de movimiento $p=mv$ hacia arriba en lugar de $v$. Sus semiejes son entonces $A$ y $mA\omega$, y su área es $\pi A\cdot mA\omega =2\pi E/\omega$, unos $0,099\mathrm{J}\mathrm{s}$ aquí. Esta área es un invariante adiabático, una magnitud que se mantiene fija cuando el sistema se cambia despacio: cuando $k$ o $L$ cambian despacio en comparación con el periodo, el área, y con ella $E/\omega$, se mantiene constante. Si acortas poco a poco el hilo de un péndulo, su energía aumenta en proporción a su frecuencia. En la antigua teoría cuántica se igualaba esta área a un número entero de constantes de Planck $h$; la teoría completa da los niveles de energía $E=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$, con $\hslash =h/2\pi$ y $n$ un número entero a partir de 0.

Más allá del oscilador ideal

Los osciladores reales solo son ideales de forma aproximada. El péndulo es el caso más claro, porque se puede escribir su ecuación exacta y compararla con la armónica.

Leyenda

$L$	Longitud del hilo, del pivote a la lenteja.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ángulo entre el hilo y la vertical.	$\mathrm{rad}$
$s$	Longitud del camino desde el punto más bajo hasta la lenteja: $s=L\theta$.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Peso de la lenteja, vertical hacia abajo.	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	Parte del peso a lo largo de la trayectoria, hacia el punto más bajo: la fuerza recuperadora.	$\mathrm{N}$
$mg\cos \theta$	Parte del peso a lo largo del hilo, alejándose del pivote; no puede cambiar la rapidez.	$\mathrm{N}$

La figura 4 muestra el péndulo en plena oscilación. La lenteja cuelga de un hilo de longitud $L$ y se ha apartado de la vertical un ángulo $\theta$, así que está a una distancia $s=L\theta$, medida a lo largo del arco, del punto más bajo. Su peso $m\vec{g}$, vertical hacia abajo, se descompone en dos componentes perpendiculares. La componente $mg\cos \theta$ apunta a lo largo del hilo, alejándose del pivote. No tiene componente a lo largo de la trayectoria, así que no puede acelerar ni frenar la lenteja; la tensión del hilo actúa sobre la misma recta. La componente $mg\sin \theta$ apunta a lo largo de la trayectoria, hacia el punto más bajo. Solo ella es recuperadora.

La ecuación exacta sale de estudiar el giro en torno al pivote. La fuerza recuperadora $mg\sin \theta$ actúa con el brazo de palanca $L$, así que su momento es $-mgL\sin \theta$. El momento de inercia de la lenteja respecto al pivote es $m{L}^2$, y el momento de las fuerzas es igual al momento de inercia por la aceleración angular. Al dividir entre $m{L}^2$:
$\ddot{\theta }=-\frac{g}{L}\sin \theta$
Para ángulos pequeños, $\sin \theta \approx \theta$ (en radianes), y la fuerza recuperadora $mg\sin \theta$ se acerca a $mg\theta =(mg/L)s$. Es de nuevo la ley de Hooke, para el desplazamiento $s$ a lo largo del arco, con $k=mg/L$ y ${\omega }^2=k/m=g/L$, como se obtuvo a partir de la energía en la segunda sección.

El péndulo es armónico solo de forma aproximada. Como $\sin \theta <\theta$ para todo ángulo positivo, el momento recuperador real se queda por debajo del lineal: la lenteja vuelve empujada con menos fuerza de lo que dice la ley armónica y tarda más en regresar. Por eso el periodo crece con la amplitud ${\theta }_0$, aproximadamente como $2\pi \sqrt{L/g}(1+{\theta }_0^2/16)$ para oscilaciones moderadas. El exceso sobre $2\pi \sqrt{L/g}$ es del 0,19 % a 10°, del 0,43 % a los 15° de la animación, del 7,3 % a 60° y del 18 % a 90°, y crece sin límite cuando el punto de suelta se acerca a la posición invertida, a 180°. (Los dos últimos valores salen del periodo exacto; la fórmula corta ya se queda por debajo de ellos.) Por eso los relojeros mantienen pequeña la oscilación. Christiaan Huygens publicó en 1673 un remedio exacto: una lenteja guiada a lo largo de una cicloide, en vez de un arco de circunferencia, tiene un periodo que no depende en absoluto de la amplitud.

Otras desviaciones del ideal son igual de concretas. La masa propia del muelle, $m_s$, también se mueve: sus espiras cercanas al bloque van casi tan rápido como él, las cercanas al extremo fijo apenas se mueven, y en conjunto suman cerca de $m_s/3$ a la masa que oscila. Un sólido rígido que oscila en torno a un pivote situado a una distancia $d$ de su centro de masas es un péndulo físico, con $T=2\pi \sqrt{I/(mgd)}$, donde $I$ es su momento de inercia respecto al pivote; para una lenteja puntual, $I=m{L}^2$ y $d=L$, y la fórmula devuelve $2\pi \sqrt{L/g}$. Una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, $-b\dot{x}$, donde $\dot{x}$ es la velocidad y $b$ una constante, hace que la amplitud decaiga como $e^{-bt/(2m)}$. Y un empuje periódico de frecuencia cercana a $\omega$ produce una respuesta grande, la resonancia, tanto más aguda cuanto más débil es el amortiguamiento.

Problema resuelto: la masilla cae sobre el bloque

Este problema pone a prueba el reparto de tareas visto antes: la ecuación fija $\omega$, y el estado inicial fija la amplitud. Un suceso repentino cambia a la vez la masa y el estado inicial, y el resultado depende de cuándo ocurre.

Cuando el bloque de la animación ($m=1\mathrm{kg}$, $k=10N/m$, $A=0,10\mathrm{m}$) pasa por el centro a su velocidad máxima, $A\omega \approx 0,32m/s$, se deja caer sobre él, desde justo encima, un trozo de masilla de 1 kg que se queda pegado. ¿Cuáles son el nuevo periodo y la nueva amplitud? ¿Y qué cambia si el trozo cae en un punto de retorno?

Primero, la colisión. El suelo y la gravedad actúan en vertical, así que durante el breve impacto no actúa ninguna fuerza horizontal y la cantidad de movimiento horizontal se conserva. La masilla no aporta ninguna, así que $1\cdot 0,316=2v^{\prime }$, de donde $v^{\prime }=0,158m/s$. El impacto es tan breve que el bloque no se ha movido: sigue en $x_0=0$.

Segundo, la nueva frecuencia. El muelle no cambia, pero la masa se ha duplicado, así que ${\omega }^{\prime }=\sqrt{10/2}\approx 2,24rad/s$ y $T^{\prime }=2\pi /{\omega }^{\prime }\approx 2,81\mathrm{s}$, mayor en un factor $\sqrt{2}$.

Tercero, la nueva amplitud. El movimiento vuelve a empezar desde $x_0=0$ con la rapidez $v^{\prime }$, así que la fórmula de la amplitud da
$A^{\prime }=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}\right)}^2}=\frac{0,158}{2,24}\approx 0,071\mathrm{m}$
Ahora el bloque se aleja solo 7,1 cm, $A/\sqrt{2}$, y la energía ha bajado de 0,050 J a $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,071^2=0,025\mathrm{J}$. La mitad se perdió en la colisión, como siempre que un cuerpo en movimiento se pega a otro igual en reposo: el conjunto se mueve a la mitad de rapidez con el doble de masa, así que tiene la mitad de energía cinética.

Si el trozo cae en un punto de retorno, el bloque está un instante en reposo, así que no hay velocidad que repartir y no se pierde energía. El bloque vuelve a arrancar desde el reposo en $x_0=0,10\mathrm{m}$: la amplitud sigue siendo de 10 cm y la energía de 0,05 J. El periodo vuelve a ser de 2,81 s, porque solo depende de $k$ y de la nueva masa, pero la velocidad máxima baja a $A{\omega }^{\prime }\approx 0,22m/s$. El mismo impacto reduce la amplitud o la deja intacta según la fase en que ocurra, mientras que el periodo responde solo a la masa.

Límites de validez

Todo modelo tiene un rango en el que funciona. El oscilador armónico tiene dos límites: uno en los desplazamientos grandes, donde falla la ley de Hooke, y otro en los saltos de energía muy pequeños, donde toma el relevo la mecánica cuántica.

La ley de Hooke es solo el primer término del desarrollo de Taylor de $U$, y por eso solo vale para desplazamientos pequeños. Un alambre de acero se mantiene lineal solo hasta una deformación, es decir, un alargamiento relativo, de una fracción del uno por ciento. Aun así, un muelle helicoidal hecho con ese alambre puede estirarse mucho más, porque su alambre sobre todo se tuerce en vez de estirarse, y cada trozo corto se tuerce solo un poco. Más allá del rango lineal entran en juego los términos de orden superior de $U$. Hacen que el periodo dependa de la amplitud, como en el péndulo, y añaden armónicos: componentes del movimiento con frecuencias múltiplos enteros de $\omega$. Para el péndulo, la medida de lo «pequeño» es el ángulo: mantener el periodo a menos del 1 % de $2\pi \sqrt{L/g}$ exige que ${\theta }_0$ quede por debajo de unos 23°.

La mecánica cuántica pone el otro límite: la energía de un oscilador solo puede cambiar en saltos de $\hslash \omega$, donde $\hslash \approx 1,05\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$ es la constante de Planck reducida. Para el bloque de la animación, $\hslash \omega \approx 3,3\times 10^{-34}\mathrm{J}$ frente a una energía de 0,05 J, un número cuántico de unos $1,5\times 10^{32}$, así que los saltos son del todo invisibles. Una molécula es otra historia. El cloruro de hidrógeno vibra con $\omega \approx 5,4\times 10^{14}rad/s$, así que $\hslash \omega \approx 0,36\mathrm{eV}$, unas catorce veces la energía térmica típica $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{eV}$ a temperatura ambiente (aquí $k_B$ es la constante de Boltzmann y $T$ la temperatura absoluta). Los choques en el gas rara vez llevan energía suficiente para subir la molécula a su nivel siguiente, así que permanece en su estado fundamental, con la energía del punto cero $\frac{1}{2}\hslash \omega$, y su vibración casi no aporta nada a la capacidad calorífica del gas.

Lo que viene después

La ecuación de esta lección es el punto de partida de buena parte del resto del curso. Si se añaden rozamiento y un forzamiento periódico, pasa a ser la que se estudia en Amortiguamiento y resonancia, donde el factor de calidad fija cuánto tiempo sigue vibrando un oscilador y lo aguda que es su resonancia. Si se acoplan muchos osciladores en fila, su movimiento viaja como una onda, tema de Fundamentos de las ondas; en Ondas estacionarias, cada modo normal de una cuerda es un movimiento armónico simple con su propia $\omega$. La constante elástica $k$ procede de Elasticidad: ley de Hooke, esfuerzo y deformación; la circunferencia de referencia, de Movimiento circular; y las mismas matemáticas reaparecen en Ondas electromagnéticas y en los osciladores cuantizados de Radiación de cuerpo negro y cuantos.