सरल आवर्त गति

स्प्रिंग और लोलक: विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल $F = - k x$ एक स्थिर दोलन $x = A cos (ω t + φ)$ देता है, जिसका आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता।

समान आवर्तकाल वाले स्प्रिंग-द्रव्यमान और लोलक एक ताल में दोलन करते हैं। वेग-तीर केंद्र से गुजरते समय सबसे लंबा होता है और हर चरम बिंदु पर शून्य हो जाता है।

इस विषय से पहले: कार्य, ऊर्जा और शक्ति

शुरुआती

मुख्य विचार

किसी वस्तु को उसकी स्थिर जगह से खींचो, तो प्रत्यानयन धक्का या खिंचाव उसे वापस ले जाता है, जिससे वह आगे-पीछे चलती है।
बीच से गुजरते समय वह सबसे तेज़ होती है, और हर सिरे पर एक क्षण रुककर लौट आती है।
आवर्तकाल एक पूरे आगे-पीछे का समय है; आवृत्ति प्रति सेकंड झूलों की संख्या है।
भारी द्रव्यमान या नरम स्प्रिंग धीमे झूलते हैं; लोलक के लिए केवल लंबाई मायने रखती है: लंबा मतलब धीमा।
जब तक लोलक के झूले छोटे हैं, उसे और दूर खींचने से आवर्तकाल नहीं बदलता।

बच्चा झूले पर, स्प्रिंग से लटकता भार, छेड़ा गया गिटार का तार: हर एक अपनी स्थिर स्थिति के चारों ओर आगे-पीछे झूलता है।

चरण 1. खींचो और छोड़ो। वस्तु को उसकी स्थिर जगह से दूर ले जाओ, तो कोई बल उसे वापस खींचता है: स्प्रिंग, या झूले के लिए गुरुत्व। वह बीच से आगे निकलती है, रुकती है और लौटती है। जब वापस खींचने का बल दूरी के अनुपात में बढ़ता है (दोगुनी दूरी, दोगुना बल), तो इस गति को सरल आवर्त गति कहते हैं।

चरण 2. बीच में तेज़, सिरों पर रुकी हुई। वस्तु बीच से गुजरते समय सबसे तेज़ होती है और हर सिरे पर एक क्षण रुककर लौटती है। उसकी ऊर्जा लगातार रूप बदलती है: बीच में पूरी गति-ऊर्जा, और सिरों पर पूरी संचित ऊर्जा (खिंचे स्प्रिंग में, या झूले में ऊँचाई के रूप में)।

चरण 3. आवर्तकाल और आवृत्ति। एक पूरे आगे-पीछे का समय आवर्तकाल है। ग्रैंडफ़ादर क्लॉक (पुरानी खड़ी घड़ी) के लोलक का आवर्तकाल लगभग 2 सेकंड होता है। आवृत्ति प्रति सेकंड झूलों की संख्या है, इसलिए आवृत्ति = 1 ÷ आवर्तकाल: यहाँ प्रति सेकंड आधा झूला।

चरण 4. लय कौन तय करता है? स्प्रिंग पर भारी द्रव्यमान धीमा झूलता है; कड़ा स्प्रिंग उसे तेज़ कर देता है। लोलक के लिए केवल लंबाई (और गुरुत्व) मायने रखते हैं: लंबा लोलक धीमी टिक-टिक करता है, और लंबाई चार गुना हो तो आवर्तकाल दोगुना हो जाता है। लोलक के गोलक का वज़न कोई फ़र्क नहीं डालता।

खुद जाँचो: तुम लोलक को थोड़ा और दूर से छोड़ते हो, पर झूला अब भी छोटा है। क्या उसका आवर्तकाल बदलता है? (नहीं: उसे अधिक दूरी तय करनी है, पर वह तेज़ चलता है।)

एनिमेशन में स्प्रिंग और लोलक बिल्कुल एक ही ताल रखते हैं। नीले चाल-तीर को देखो: वस्तु जब केंद्र से गुजरती है (“सबसे तेज़”) तो सबसे लंबा होता है, और हर सिरे पर (“लौटती है”) शून्य तक सिकुड़ जाता है।

मध्यम

मुख्य विचार

SHM के लिए रैखिक प्रत्यानयन बल $F = - k x$ चाहिए; तब $x (t) = A cos (ω t + φ)$ , जहाँ $ω = k / m$ ।
स्प्रिंग के लिए $T = 2 π m / k$ और छोटे-कोण वाले लोलक के लिए $T = 2 π L / g$ ; $f = 1/ T$ ।
$T$ आयाम पर निर्भर नहीं करता: बड़े झूले का अर्थ है बड़ा बल और तेज़ चाल।
बल और त्वरण चरम बिंदुओं पर सबसे बड़े होते हैं, जहाँ $v = 0$ , और केंद्र पर शून्य, जहाँ $v$ सबसे बड़ा होता है।
ऊर्जा $\frac{1}{2} k A^{2}$ सिरों पर पूरी स्थितिज और केंद्र पर पूरी गतिज है, जहाँ $v_{m a x} = A ω$ ।

क्या दोलन करता है, और हम उसे कैसे मापते हैं

हर दोलक की एक साम्य स्थिति होती है, जहाँ वह बिना किसी परिणामी बल के स्थिर रह सकता है: एनिमेशन में ब्लॉक के लिए बिंदुकित रेखा, और लोलक के लिए ऊर्ध्वाधर रेखा। विस्थापन $x$ वहीं से चिह्न सहित मापा जाता है: एक ओर $x = + 10 cm$ , दूसरी ओर $x = - 10 cm$ । इसका अधिकतम मान आयाम $A$ है। चरम बिंदुओं पर $x = \pm A$ होता है, पिंड एक क्षण रुकता है और लौट आता है।

एक पूरा चक्र, बाहर, पार और वापस, जितने समय में होता है वह आवर्तकाल $T$ है, सेकंड में। आवृत्ति $f = 1/ T$ प्रति सेकंड चक्र गिनती है, जिसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है। समीकरणों में कोणीय आवृत्ति $ω = 2 π f = 2 π / T$ प्रयुक्त होती है, जो रेडियन प्रति सेकंड में है, और जिसमें एक चक्र को $2 π$ रेडियन के एक पूरे चक्कर के रूप में गिना जाता है।

प्रत्यानयन बल से कोज्या मिलती है

स्प्रिंग पर लगे ब्लॉक को एक ओर खींचो, तो स्प्रिंग उसे विस्थापन के समानुपाती बल से वापस खींचता है:
$F = - k x$
स्प्रिंग नियतांक $k$ , जो न्यूटन प्रति मीटर में है, कठोरता को मापता है; ऋण चिह्न बताता है कि बल साम्य स्थिति की ओर लगता है। न्यूटन के द्वितीय नियम से $a = - (k / m) x$ मिलता है, यानी त्वरण विस्थापन के समानुपाती और उसके विपरीत है। यही सरल आवर्त गति है, और इसकी स्थिति एक कोज्या के रूप में चलती है:
$x (t) = A cos (ω t + φ)$

कला-नियतांक $φ$ बताता है कि घड़ी चालू होने के समय चक्र में कहाँ थी; एनिमेशन में $x = + A$ से विराम से छोड़ने पर $φ = 0$ है। कोज्या गति का त्वरण $- ω^{2} x$ होता है, इसलिए स्प्रिंग पर यह तभी लागू होती है जब $ω^{2} = k / m$ । लय केवल स्प्रिंग और द्रव्यमान तय करते हैं:

$ω = \frac{k}{m}$
$T = 2 π \frac{m}{k}$
$f = \frac{1}{T}$

यहाँ आयाम कहीं नहीं आता। इसे दोगुना करो, तो यात्रा के हर चरण पर ब्लॉक दोगुनी दूरी पर होता है, दोगुना बल महसूस करता है और दोगुनी चाल से चलता है: दोगुना मार्ग दोगुनी चाल से तय होता है, इसलिए समय वही रहता है। इसे समदोलिता कहते हैं, और इसी के कारण लोलक-घड़ियाँ संभव हुईं। आयाम उच्चतम चाल तय करता है, केंद्र पर $v_{m a x} = A ω$ , और अधिकतम त्वरण चरम बिंदुओं पर $a_{m a x} = ω^{2} A$ ।

लोलक: गुरुत्व स्प्रिंग की भूमिका निभाता है

सरल लोलक एक हल्की डोरी, जिसकी लंबाई $L$ है, से लटका एक छोटा गोलक है। इसका प्रत्यानयन बल गुरुत्व का वह घटक है जो चाप के अनुदिश होता है, यानी $m g sin θ$ , जहाँ $θ$ ऊर्ध्वाधर से कोण है। छोटे कोणों के लिए $sin θ \approx θ$ (रेडियन में) और चाप की लंबाई $s = L θ$ होती है, इसलिए बल $- (m g / L) s$ है: यह $k = m g / L$ वाले स्प्रिंग जैसा है। स्प्रिंग के सूत्र में द्रव्यमान कट जाता है:
$T = 2 π \frac{L}{g}$

भारी गोलक पर गुरुत्व का खिंचाव उसके बढ़े हुए जड़त्व के ठीक अनुपात में अधिक होता है, इसलिए केवल $L$ और $g$ मायने रखते हैं: लंबाई चार गुना हो तो आवर्तकाल दोगुना होता है, और चंद्रमा पर, जहाँ $g$ लगभग छह गुना कम है, इसका आवर्तकाल $6 \approx 2.45$ गुना लंबा होता है। एनिमेशन के 15° पर वास्तविक आवर्तकाल केवल 0.4% लंबा है।

ऊर्ध्वाधर लटका स्प्रिंग क्षैतिज स्प्रिंग वाला ही आवर्तकाल रखता है: गुरुत्व केवल साम्य स्थिति को स्थैतिक खिंचाव $d = m g / k$ जितना नीचे कर देता है। चूँकि $m / k = d / g$ , आवर्तकाल $2 π d / g$ भी है: लटका हुआ द्रव्यमान उसी तरह उछलता है जैसे स्थैतिक खिंचाव के बराबर लंबाई का लोलक।

तीरों को पढ़ना, और ऊर्जा कहाँ है

मध्यम दृश्य में तीन तीर जुड़ते हैं। हरा $x$ तीर बिंदुकित केंद्र-रेखा से ब्लॉक तक जाता है। लाल $F$ तीर हमेशा विपरीत दिशा में होता है, चरम बिंदुओं पर सबसे लंबा और केंद्र पर अनुपस्थित। नीला $v$ तीर चक्र के एक चौथाई भाग की कला-भिन्नता पर है: चरम बिंदुओं पर शून्य, केंद्र पर सबसे लंबा, और हर चक्र में दो बार दिशा बदलता है।

ऊर्जा इस पैटर्न को समझाती है। चरम बिंदु पर पूरी ऊर्जा स्प्रिंग में संचित होती है, $\frac{1}{2} k A^{2}$ ; केंद्र पर पूरी गतिज होती है। बीच में हिस्से बदलते हैं, पर उनका योग नहीं बदलता:
$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$
$x = 0$ रखने पर उच्चतम चाल $v_{m a x} = A k / m = A ω$ मिलती है।

संचित ऊर्जा $x^{2}$ के अनुसार बढ़ती है, इसलिए हिस्से असमान हैं: $x = A /2$ पर, आधी दूरी पर, स्प्रिंग में केवल एक चौथाई ऊर्जा होती है, और ब्लॉक की चाल अब भी अपनी उच्चतम चाल का $3 /2$ , यानी लगभग 87% है। चरम बिंदु से आधे रास्ते तक आवर्तकाल का छठा भाग लगता है, और शेष आधे में बारहवाँ भाग।

हल किया गया उदाहरण: एनिमेशन के दोलक

ब्लॉक का $m = 1 kg$ है, स्प्रिंग का $k = 10 N/m$ है, और ब्लॉक $A = 10 cm$ पर विराम से छोड़ा गया है। तब
$ω = k / m = 10 \approx 3.16 rad/s$
$T = 2 π / ω \approx 1.99 s, f = 1/ T \approx 0.50 Hz$
$v_{m a x} = A ω = 0.10 \cdot 3.16 \approx 0.32 m/s, F_{m a x} = k A = 10 \cdot 0.10 = 1.0 N$

ये रीडिंग की चरम सीमाएँ हैं: $x$ , $+ 10$ और $- 10 cm$ के बीच घूमता है, $v$ , $+ 0.32$ और $- 0.32 m/s$ के बीच, और $F$ , $- 1.00$ और $+ 1.00 N$ के बीच; और $F = - 1.00 N$ ठीक तब होता है जब $x$ की रीडिंग $+ 10 cm$ हो। अधिकतम त्वरण $1.0 N /1 kg = 1.0 m/ s^{2}$ है, और ऊर्जा $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.1 0^{2} = 0.05 J$ है, जो केंद्र पर $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0.31 6^{2}$ के बराबर है।

बगल का लोलक $L = g / ω^{2} = 9.81/10 \approx 0.98 m$ का है, इसलिए $2 π L / g$ वही 1.99 s है और दोनों एक ताल में रहते हैं। यह लंबाई संयोग नहीं है: $g / ω^{2} = m g / k$ वही स्थैतिक खिंचाव है जो इस स्प्रिंग को 1 kg के ब्लॉक के लटकने से मिलेगा। 15° (0.262 रेडियन) से छोड़ने पर गोलक चाप के अनुदिश दोनों ओर लगभग $L θ_{0} \approx 0.26 m$ झूलता है और तल से लगभग $ω L θ_{0} \approx 0.81 m/s$ की चाल से गुजरता है।

हल किया गया उदाहरण: स्प्रिंगों पर कार

एक 1200 kg की कार की बॉडी, जब 80 kg का यात्री बैठता है, तो उसके स्प्रिंग 1.0 cm धँस जाते हैं। झटके के बाद भरी हुई कार किस लय में उछलती है?

चारों स्प्रिंगों को एक मानो। यात्री का भार, $80 \cdot 9.81 = 784.8 N$ , उसे 0.010 m दबाता है, इसलिए $k = 784.8/0.010 = 78480 N/m$ । कार में 1280 kg होने पर:
$T = 2 π \frac{m}{k} = 2 π \frac{1280}{78 480} \approx 0.80 s$
अर्थात लगभग प्रति सेकंड 1.25 उछाल।

स्थैतिक-खिंचाव का नियम इसकी जाँच करता है: पूरे 1280 kg से स्प्रिंग $d = m g / k = 0.16 m$ दबते हैं, और फिर वही $2 π 0.16/9.81 \approx 0.80 s$ आता है। सस्पेंशन आमतौर पर 1 से 1.5 Hz पर सेट होते हैं, जो यात्रियों को आरामदायक लगते हैं; शॉक एब्ज़ॉर्बर फिर हर झटके के बाद उछाल को आगे बढ़ने से रोकते हैं।

आम गलतियाँ

जहाँ ब्लॉक रुकता है, वहाँ बल शून्य नहीं होता: चरम बिंदु पर बल और त्वरण सबसे बड़े होते हैं, एनिमेशन के ब्लॉक के लिए 1.0 N और 1.0 m/s², और केंद्र पर ये शून्य हो जाते हैं।
बड़ा झूला अधिक समय नहीं लेता: एनिमेशन का आयाम 20 cm करने पर आवर्तकाल 1.99 s ही रहता है, जबकि उच्चतम चाल दोगुनी होकर 0.63 m/s हो जाती है।
$2 π$ मत छोड़ो, और हर्ट्ज़ को रेडियन प्रति सेकंड के साथ मत मिलाओ: 80 N/m के स्प्रिंग पर 0.2 kg के लिए $m / k = 0.05 s$ है, पर $T \approx 0.31 s$ , $f \approx 3.2 Hz$ और $ω = 20 rad/s$ है।
लोलक का आवर्तकाल न गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर है, न छोटे झूलों के लिए आयाम पर; फिर भी 60° से छोड़ने पर वह सूत्र से लगभग 7% अधिक लेता है।
$x$ को साम्य स्थिति से मापो, न कि बिना खिंचे स्प्रिंग के सिरे से; लटके स्प्रिंग के लिए वह स्थिति $m g / k$ नीचे होती है, और तब गुरुत्व समीकरण से बाहर हो जाता है।

यह कहाँ मिलता है

लोलक-घड़ियाँ समदोलिता पर निर्भर हैं: एक सेकंड-लोलक, जो हर झूले में 1 s और हर चक्र में 2 s लेता है, की लंबाई $g / π^{2} \approx 0.994 m$ होती है, जो लगभग एनिमेशन वाला लोलक है। क्वार्ट्ज़ घड़ी एक छोटे क्वार्ट्ज़ ट्यूनिंग फ़ोर्क के प्रति सेकंड 32 768 कंपन गिनती है; कार के सस्पेंशन, डगमगाते टावर और ठोस के परमाणु लगभग सरल आवर्त रूप में दोलन करते हैं। अवमंदन और अनुनाद में घर्षण और आवर्ती धक्के जुड़ते हैं, और तरंगों की मूल बातें दिखाती हैं कि युग्मित दोलक कैसे तरंग ले जाते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

$\overset{x}{¨} = - ω^{2} x$ : त्वरण हमेशा विस्थापन का दर्पण-प्रतिबिंब होता है; $U$ के किसी भी न्यूनतम के पास $k = U^{''} (x_{0})$ ।
SHM किनारे की ओर से देखी गई एकसमान वृत्तीय गति है: $x = A cos ω t$ कोणीय चाल $ω$ से वृत्त पर घूमते बिंदु की छाया है।
कला-चित्र: $x^{2} / A^{2} + v^{2} / (A ω)^{2} = 1$ , एक दीर्घवृत्त जो हर आवर्तकाल में एक बार बनता है, आयाम चाहे जो हो।
लोलक का समीकरण $\ddot{θ} = - (g / L) sin θ$ केवल छोटे $θ$ के लिए SHM है; 60° पर $T$ लगभग 7 % लंबा होता है।
अवमंदन $- b \overset{x}{˙}$ आयाम घटाता है; $ω_{0}$ के पास प्रणोदन से अनुनाद होता है, जो कम अवमंदन पर अधिक तीखा होता है।

एक समीकरण, कई दोलकों के पीछे

यह पाठ एक ही समीकरण और भौतिकी में उसके हर जगह दिखने के कारण के बारे में है। सबसे सरल स्थिति से शुरू करें: घर्षण-रहित फर्श पर रखा द्रव्यमान $m$ का एक ब्लॉक, जो कठोरता $k$ वाले स्प्रिंग से जुड़ा है। मान लें $x$ ब्लॉक का उस बिंदु से विस्थापन है जहाँ स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई में है, और $\overset{x}{¨}$ उसका त्वरण है, यानी समय के सापेक्ष $x$ का द्वितीय अवकलज।

स्प्रिंग बल $- k x$ से वापस खींचता है (हुक का नियम): यह हमेशा केंद्र की ओर होता है और विस्थापन के अनुपात में बढ़ता है। तब न्यूटन के द्वितीय नियम से $m \overset{x}{¨} = - k x$ मिलता है। $m$ से भाग देकर और अनुपात $k / m$ को नाम देकर मिलता है
$\overset{x}{¨} = - ω^{2} x, ω^{2} = \frac{k}{m}$
शब्दों में: त्वरण विस्थापन का उलटा है, जिसे $ω^{2}$ से गुणा किया गया है। स्थिरांक $ω$ का मात्रक समय का व्युत्क्रम है; आगे पता चलेगा कि यह गति की कोणीय आवृत्ति है, रेडियन प्रति सेकंड में।

इस समीकरण को पूरा एक पाठ मिलने का कारण स्प्रिंग नहीं, बल्कि इसका रूप है। यह रैखिक है: $x$ और उसके अवकलज केवल पहली घात में आते हैं, कभी वर्ग या गुणनफल के रूप में नहीं। यह द्वितीय कोटि का है: सबसे ऊँचा अवकलज द्वितीय है। और इसके गुणांक स्थिर हैं। कोई भी तंत्र जिसके समीकरण का यही रूप है, वह एक ही तरह चलता है, चाहे वह किसी भी चीज़ से बना हो: कुंडली के माध्यम से विसर्जित होता संधारित्र का आवेश, घड़ी का क्वार्ट्ज़ क्रिस्टल, अणु का खिंचाव-कंपन, शांत पानी में डगमगाता जहाज़, और उस क्रिस्टल के परमाणु जिनसे होकर ध्वनि गुजरती है। अगला भाग दिखाता है कि इतने सारे तंत्र इस समीकरण तक क्यों पहुँचते हैं।

छोटे दोलन संनादी क्यों होते हैं

वास्तविक प्रत्यानयन बल शायद ही कभी विस्थापन के ठीक-ठीक समानुपाती होते हैं। यह भाग दिखाता है कि छोटे दोलनों के लिए यह क्यों मायने नहीं रखता: किसी भी स्थायी साम्य के पास हर चिकना बल-नियम हुक के नियम जैसा दिखता है, इसलिए तंत्र ऊपर के समीकरण का पालन करता है। यहाँ "संनादी" का यही अर्थ है: $\overset{x}{¨} = - ω^{2} x$ द्वारा शासित गति।

चित्र 1 किसी तंत्र की स्थितिज ऊर्जा $U$ का उसकी स्थिति $x$ के सापेक्ष रेखाचित्र दिखाता है। $x_{0}$ पर गर्त का तल एक स्थायी साम्य है: तंत्र को किसी भी दिशा में हटाएँ तो $U$ ऊपर उठता है, इसलिए बल, जो इस वक्र पर हमेशा ढलान की ओर होता है, उसे वापस धकेलता है। पहले बिंदु को देखें, जहाँ ठोस वक्र $U$ और बिंदुकित परवलय एक-दूसरे को छूते हैं। उसके पास दोनों में अंतर बताना कठिन है। दूर जाने पर वे अलग होने लगते हैं: बाईं ओर वास्तविक वक्र परवलय से अधिक तीव्रता से चढ़ता है, और दाईं ओर वह परवलय से नीचे चपटा हो जाता है।

परवलय का फिट बैठना $x_{0}$ के आसपास $U$ के टेलर प्रसार से आता है। इसका पहला पद स्थिरांक $U (x_{0})$ है। इसका रैखिक पद $U^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ शून्य हो जाता है, क्योंकि न्यूनतम पर वक्र की ढलान शून्य होती है। इसलिए $x$ के साथ बदलने वाला पहला पद द्विघात है:
$U (x) \approx U (x_{0}) + \frac{1}{2} U^{''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}$
यही बिंदुकित परवलय है, जिसमें $k = U^{''} (x_{0})$ ; चित्र 1 में चिह्नित $\frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2}$ वह ऊँचाई है जितनी यह $U (x_{0})$ से ऊपर उठता है। बल $U$ की ढलान का ऋण है, इसलिए न्यूनतम के पास यह $- d U / d x = - U^{''} (x_{0}) (x - x_{0})$ है: हुक का नियम, जिसमें साम्य $x_{0}$ बिना खिंचे स्प्रिंग की जगह लेता है। न्यूनतम पर $U^{''} (x_{0}) > 0$ होता है, इसलिए $k$ धनात्मक है और बल सचमुच वापस खींचता है।

लोलक इस विधि को काम करते हुए दिखाता है। द्रव्यमान $m$ का गोलक, जो लंबाई $L$ की डोरी से लटका है और कोण $θ$ से हटाया गया है, $L (1 - cos θ)$ ऊपर उठता है, इसलिए उसकी स्थितिज ऊर्जा $m gL (1 - cos θ)$ है, जहाँ $g$ मुक्त-पतन का त्वरण है। छोटे कोणों के लिए $cos θ \approx 1 - \frac{1}{2} θ^{2}$ , इसलिए $U \approx \frac{1}{2} m gL θ^{2}$ : $θ$ में एक परवलय, जिसमें $k$ की जगह कोणीय कठोरता $m gL$ है। मुड़ने का विरोध जड़त्व-आघूर्ण $m L^{2}$ करता है, जो $m$ की जगह आता है, इसलिए $ω^{2} = m gL / (m L^{2}) = g / L$ । निष्कर्ष सामान्य है: $U^{''} (x_{0}) > 0$ वाले किसी भी न्यूनतम के चारों ओर छोटे दोलन संनादी होते हैं, और केवल उनकी आवृत्ति तंत्र पर निर्भर करती है।

सामान्य हल और उसके दो स्थिरांक

अब समीकरण हल करें। लक्ष्य $x (t)$ का एक सूत्र है जो हर संभव आरंभ को समेटे, और यह स्पष्ट गिनती कि आरंभ क्या बदल सकता है।

कौन-से फलन दो बार अवकलन करने पर एक ऋणात्मक स्थिरांक से गुणा होकर स्वयं लौट आते हैं? कोज्या और ज्या: $d^{2} (cos ω t) / d t^{2} = - ω^{2} cos ω t$ , और यही $sin ω t$ के लिए भी है। चूँकि समीकरण रैखिक है, हलों का योग, जिनमें से हर एक किसी भी स्थिरांक से गुणा हुआ हो, फिर हल होता है। द्वितीय कोटि के समीकरण में ठीक दो स्थिरांक मुक्त रहते हैं: एक आरंभिक स्थिति के लिए और एक आरंभिक वेग के लिए। $t = 0$ पर स्थिति और वेग को $x_{0}$ और $v_{0}$ लिखें (आगे से $x_{0}$ एक आरंभिक स्थिति है, और साम्य $x = 0$ पर है)। तब
$x (t) = x_{0} cos ω t + \frac{v _{0}}{ω} sin ω t = A cos (ω t + φ)$
पहला रूप जाँचना आसान है: $t = 0$ पर यह $x_{0}$ देता है, और वहाँ इसका अवकलज $v_{0}$ देता है। दूसरा रूप दोनों पदों को एक कोज्या में मिला देता है, जिसका आयाम $A$ (अधिकतम विस्थापन) है और कला-नियतांक $φ$ है, जो बताता है कि घड़ी चालू होने के समय चक्र में कहाँ थी। $A cos (ω t + φ) = A cos φ cos ω t - A sin φ sin ω t$ का विस्तार करके और पदों का मिलान करने पर $A cos φ = x_{0}$ और $- A sin φ = v_{0} / ω$ मिलते हैं, इसलिए
$A = x_{0}^{2} + (v_{0} / ω)^{2}, tan φ = - v_{0} / (ω x_{0})$
काम का बँटवारा साफ़ है: समीकरण $ω$ तय करता है; आरंभ $A$ और $φ$ तय करता है।

एनिमेशन का ब्लॉक इसे ठोस बनाता है। इसका $m = 1 kg$ और $k = 10 N/m$ है, इसलिए $ω = 10 \approx 3.16 rad/s$ और आवर्तकाल $T = 2 π / ω \approx 1.99 s$ । इसे विराम से $x_{0} = A = 0.10 m$ पर छोड़ा गया है, इसलिए $v_{0} = 0$ , $φ = 0$ और $x = A cos ω t$ । एक बार अवकलन करने से वेग मिलता है, $v = - A ω sin ω t$ , जो $A ω cos (ω t + π /2)$ के बराबर है: वेग वक्र विस्थापन वक्र का वह रूप है जो एक चौथाई आवर्तकाल पहले खिसका दिया गया हो, इसलिए वेग विस्थापन से एक चौथाई आवर्तकाल आगे चलता है। दोबारा अवकलन करने से त्वरण $a = - ω^{2} x$ मिलता है, जो विस्थापन से आधा आवर्तकाल दूर है, प्रतिकला में: जहाँ $x$ सबसे बड़ा है वहाँ सबसे बड़ा, पर विपरीत दिशा में।

रैखिकता एक पंक्ति में समदोलिता भी सिद्ध करती है, यानी इस तथ्य को कि आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता। यदि $x (t)$ एक हल है, तो किसी भी स्थिरांक $λ$ के लिए $λ x (t)$ भी हल है, क्योंकि $\overset{x}{¨} = - ω^{2} x$ के दोनों पक्षों को $λ$ से गुणा करने से कुछ नहीं बदलता। फैलाई गई प्रति $λ$ गुना दूर तक झूलती है, पर समय बिल्कुल वही रहता है, इसलिए बड़ा और छोटा झूला एक ही समय लेते हैं।

दोनों स्थिरांकों को संक्षेप में ले जाने का एक तरीका सम्मिश्र संख्या है। $x$ को $C e^{iω t}$ का वास्तविक भाग लिखें, जहाँ सम्मिश्र आयाम $C = A e^{i φ}$ है; $A e^{i (ω t + φ)}$ का वास्तविक भाग सचमुच $A cos (ω t + φ)$ है। लाभ यह है कि $e^{iω t}$ का हर समय-अवकलज उसे बस $iω$ से गुणा करता है। समीकरण बन जाता है $(iω)^{2} C = - ω^{2} C$ , जो हर $C$ के लिए सही है: अवकल समीकरण बीजगणित में बदल गया है। यही शॉर्टकट अवमंदित और प्रणोदित दोलकों को सँभालने योग्य बनाता है।

संदर्भ वृत्त

सरल आवर्त गति का एक ज्यामितीय जुड़वाँ है: वृत्त के चारों ओर एकसमान गति। यह जुड़वाँ बताता है कि कला एक कोण क्यों है और $ω$ रेडियन प्रति सेकंड में क्यों मापा जाता है, और बिना कलन के वेग और त्वरण देता है।

चित्र 2 संदर्भ वृत्त बनाता है। एक बिंदु त्रिज्या $A$ के वृत्त पर, वामावर्त, स्थिर कोणीय चाल $ω$ से चलता है। समय $t$ के बाद उसकी त्रिज्या धनात्मक $x$ दिशा से $ω t + φ$ कोण घूम चुकी होती है; चित्र में यह एक चौथाई चक्कर से थोड़ा अधिक है, इसलिए बिंदु ऊपर-बाईं ओर है। बिंदु से सीधे क्षैतिज व्यास पर बिंदुकित रेखा नीचे उतारें। उसका पाद, यानी बिंदु की छाया (खुला वृत्त), केंद्र से $x = A cos (ω t + φ)$ पर है: ठीक ब्लॉक की स्थिति।

अब वेग। बिंदु का वेग $v$ वृत्त की स्पर्श रेखा पर है और उसका परिमाण $ω A$ है, क्योंकि बिंदु हर रेडियन घूमने पर लंबाई $A$ का चाप तय करता है। छाया केवल व्यास के अनुदिश चलती है, इसलिए उसका वेग $v$ , $v$ का क्षैतिज भाग है: $v = - ω A sin (ω t + φ)$ । चित्र में $v$ नीचे-बाईं ओर इंगित करता है, इसलिए $v$ बाईं ओर है।

फिर त्वरण। बिंदु वृत्त पर स्थिर चाल से चलता है, इसलिए उसका त्वरण $a$ अभिकेंद्री है: वह केंद्र की ओर इंगित करता है और उसका परिमाण $ω^{2} A$ है। उसका क्षैतिज भाग छाया का त्वरण है:
$a = - ω^{2} A cos (ω t + φ) = - ω^{2} x$
चित्र में $x$ ऋणात्मक है, इसलिए $a$ दाईं ओर, यानी केंद्र की ओर, इंगित करता है, जबकि छाया अब भी बाईं ओर चल रही है: यह अपने चरम बिंदु $- A$ के पास पहुँचते हुए धीमी हो रही है।

अतः छाया इस पाठ का समीकरण मानती है और ब्लॉक की तरह ठीक उसी प्रकार चलती है। सरल आवर्त गति किनारे से देखी गई एकसमान वृत्तीय गति है। इसीलिए कला $ω t + φ$ एक कोण है, और $ω$ , यानी बिंदु की कोणीय चाल, रेडियन प्रति सेकंड में मापी जाती है। यह पिछले भाग की सम्मिश्र संख्या के पीछे की तस्वीर भी है: $C e^{iω t}$ सम्मिश्र तल में खींचा गया घूमता बिंदु है, और $x$ वास्तविक अक्ष पर उसकी छाया है।

कला-दीर्घवृत्त

संदर्भ वृत्त स्थान में गति का अनुसरण करता है। एक दूसरा चित्र दोलक की अवस्था का अनुसरण करता है: उसकी स्थिति और वेग एक साथ, जो गति के शेष भाग की भविष्यवाणी के लिए पर्याप्त हैं। इस चित्र में ऊर्जा संरक्षण एक आकार बन जाता है।

चित्र 3 में वेग $v$ को ऊपर और स्थिति $x$ को बगल में रखकर रेखांकित किया गया है। गति का हर क्षण एक बिंदु $(x, v)$ है; समय बीतने के साथ बिंदु चलता है और एक बंद वक्र बनाता है, जिसे कला-चित्र कहते हैं। चूँकि $x = A cos ω t$ और $v = - ω A sin ω t$ , यह वक्र एक दीर्घवृत्त है। ऊर्जा संरक्षण सीधे इसका समीकरण देता है: $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = E$ , और दोनों पक्षों को $E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$ से भाग देने पर
$\frac{x ^{2}}{A ^{2}} + \frac{v ^{2}}{( A ω ) ^{2}} = 1$

अर्ध-अक्ष $x$ के अनुदिश $A$ और $v$ के अनुदिश $ω A$ हैं। पहला अधिकतम विस्थापन है, जहाँ सारी ऊर्जा स्प्रिंग में है; दूसरा उच्चतम चाल है, जहाँ सारी ऊर्जा ब्लॉक में है। एनिमेशन के ब्लॉक के लिए ये 0.10 m और 0.32 m/s हैं। दीर्घवृत्त के हर बिंदु की ऊर्जा समान $E$ है, इसीलिए चित्र वक्र को स्वयं $E$ कहता है; अधिक ऊर्जा उसी आकार का बड़ा दीर्घवृत्त देगी।

अब गति का अनुसरण करें। बिंदु दीर्घवृत्त के दाएँ सिरे, $(A, 0)$ , से शुरू होता है और दक्षिणावर्त चलता है, हर आवर्तकाल में एक चक्कर। दिशा तय है: ऊपरी आधे भाग में $v > 0$ है, इसलिए $x$ बढ़ता है और बिंदु दाईं ओर जाता है; निचले आधे भाग में $v < 0$ है, इसलिए वह बाईं ओर जाता है। चित्र 3 का बिंदु एक क्षण है, नीचे दाईं ओर: ब्लॉक अब भी धनात्मक ओर है पर लौटना शुरू कर चुका है। बिंदुकित रेखाएँ अक्षों से उसके $x$ और $v$ पढ़ती हैं। यदि $v$ की जगह $v / ω$ को ऊपर रखें, तो दोनों अर्ध-अक्ष $A$ हो जाते हैं: दीर्घवृत्त फिर संदर्भ वृत्त बन जाता है।

एनिमेशन का विशेषज्ञ स्तर इस दीर्घवृत्त को $x (t)$ के ग्राफ़ के साथ दिखाता है, जो $\pm 10 cm$ के बीच एक कोज्या है। उस ग्राफ़ की ढलान $v$ है, और उसकी वक्रता $a = - ω^{2} x$ का पालन करती है, इसलिए वक्र हमेशा समय-अक्ष की ओर मुड़ता है: शिखरों और गर्तों पर सबसे तीखा, जहाँ $∣ x ∣$ सबसे बड़ा है, और शून्य को काटने के बिंदु पर बिल्कुल नहीं।

दीर्घवृत्त से दो गहरे तथ्य निकलते हैं। पहला, एक चक्र में $sin^{2}$ और $cos^{2}$ दोनों का औसत $\frac{1}{2}$ होता है, इसलिए औसत गतिज और औसत स्थितिज ऊर्जा बराबर हैं, हर एक $E /2$ । ब्लॉक के लिए $E = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.1 0^{2} = 0.050 J$ है, इसलिए हर एक का औसत $0.025 J$ है।

दूसरा, दीर्घवृत्त को $v$ की जगह संवेग $p = m v$ ऊपर रखकर बनाएँ। तब इसके अर्ध-अक्ष $A$ और $m A ω$ हैं, और इसका क्षेत्रफल $π A \cdot m A ω = 2 π E / ω$ है, यहाँ लगभग $0.099 J s$ । यह क्षेत्रफल एक रुद्धोष्म अपरिवर्ती राशि है, यानी ऐसी राशि जो तंत्र के धीरे-धीरे बदलने पर स्थिर रहती है: जब $k$ या $L$ आवर्तकाल की तुलना में धीरे बदलते हैं, तो क्षेत्रफल, और इसलिए $E / ω$ , स्थिर रहता है। लोलक की डोरी को धीरे-धीरे छोटा करें, तो उसकी ऊर्जा उसकी आवृत्ति के अनुपात में बढ़ती है। प्रारंभिक क्वांटम सिद्धांत में इस क्षेत्रफल को प्लांक नियतांक $h$ के पूर्णांक गुणज के बराबर रखा गया था; पूर्ण सिद्धांत ऊर्जा स्तर $E = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ देता है, जहाँ $ℏ = h /2 π$ और $n$ 0 से शुरू होने वाला पूर्णांक है।

आदर्श दोलक से आगे

वास्तविक दोलक केवल लगभग आदर्श होते हैं। लोलक सबसे स्पष्ट उदाहरण है, क्योंकि उसका सटीक समीकरण लिखा जा सकता है और संनादी समीकरण से तुलना की जा सकती है।

चित्र 4 लोलक को उसके झूले के बीच में दिखाता है। गोलक लंबाई $L$ की डोरी से लटका है और ऊर्ध्वाधर से कोण $θ$ तक हटाया गया है, इसलिए निम्नतम बिंदु से चाप के अनुदिश उसकी पथ-लंबाई $s = L θ$ है। उसका भार $m g$ , सीधा नीचे की ओर, दो परस्पर लंबवत भागों में बँटता है। भाग $m g cos θ$ डोरी के अनुदिश, धुरी से दूर इंगित करता है। पथ के अनुदिश इसका कोई घटक नहीं है, इसलिए यह गोलक को तेज़ या धीमा नहीं कर सकता; डोरी का तनाव भी उसी रेखा के अनुदिश होता है। भाग $m g sin θ$ पथ के अनुदिश निम्नतम बिंदु की ओर इंगित करता है। केवल यही प्रत्यानयन करता है।

सटीक समीकरण धुरी के सापेक्ष घूर्णन से आता है। प्रत्यानयन बल $m g sin θ$ भुजा $L$ पर लगता है, इसलिए उसका बल-आघूर्ण $- m gL sin θ$ है। गोलक का धुरी के सापेक्ष जड़त्व-आघूर्ण $m L^{2}$ है, और बल-आघूर्ण जड़त्व-आघूर्ण गुणा कोणीय त्वरण के बराबर है। $m L^{2}$ से भाग देने पर:
$\ddot{θ} = - \frac{g}{L} sin θ$
छोटे कोणों के लिए $sin θ \approx θ$ (रेडियन में), और प्रत्यानयन बल $m g sin θ$ लगभग $m g θ = (m g / L) s$ के समान है। यह एक बार फिर हुक का नियम है, चाप के अनुदिश विस्थापन $s$ के लिए, जिसमें $k = m g / L$ और $ω^{2} = k / m = g / L$ है, जैसा दूसरे भाग में ऊर्जा से मिला था।

लोलक केवल लगभग संनादी है। हर धनात्मक कोण के लिए $sin θ < θ$ होता है, इसलिए वास्तविक प्रत्यानयन बल-आघूर्ण रैखिक से कम है: गोलक संनादी नियम की तुलना में कमज़ोर बल से वापस खींचा जाता है और वह लौटने में अधिक समय लेता है। अतः आवर्तकाल आयाम $θ_{0}$ के साथ बढ़ता है, मध्यम झूलों के लिए लगभग $2 π L / g (1 + θ_{0}^{2} /16)$ के रूप में। $2 π L / g$ से अधिकता 10° पर 0.19%, एनिमेशन के 15° पर 0.43%, 60° पर 7.3% और 90° पर 18% है, और जैसे-जैसे छोड़ने का बिंदु 180° के उल्टे स्थान के करीब पहुँचता है, यह बिना सीमा के बढ़ती है। (आखिरी दो मान सटीक आवर्तकाल से हैं; छोटा सूत्र पहले ही उनसे नीचे आ जाता है।) इसीलिए घड़ीसाज़ झूले को छोटा रखते हैं। क्रिस्टियान ह्यगेंस ने 1673 में इसका एक सटीक उपाय प्रकाशित किया: यदि गोलक वृत्तीय चाप के बजाय चक्रज (cycloid) पर चलाया जाए, तो उसका आवर्तकाल आयाम पर बिल्कुल निर्भर नहीं करता।

वैसे ही अन्य विचलन भी ठोस हैं। स्प्रिंग का अपना द्रव्यमान $m_{s}$ भी गति करता है: ब्लॉक के पास की कुंडलियाँ लगभग ब्लॉक जितनी तेज़ चलती हैं, स्थिर सिरे के पास की लगभग नहीं चलतीं, और कुल मिलाकर वे दोलायमान द्रव्यमान में लगभग $m_{s} /3$ जोड़ती हैं। द्रव्यमान-केंद्र से दूरी $d$ पर स्थित धुरी के सापेक्ष झूलता कठोर पिंड भौतिक लोलक है, जिसका $T = 2 π I / (m g d)$ है, जहाँ $I$ धुरी के सापेक्ष उसका जड़त्व-आघूर्ण है; बिंदु-गोलक के लिए $I = m L^{2}$ और $d = L$ है, और सूत्र $2 π L / g$ लौटा देता है। वेग के समानुपाती घर्षण बल $- b \overset{x}{˙}$ (जहाँ $\overset{x}{˙}$ वेग है और $b$ एक स्थिरांक) आयाम को $e^{- b t / (2 m)}$ के अनुसार घटाता है। और $ω$ के निकट आवृत्ति पर आवर्ती धक्का एक बड़ी प्रतिक्रिया बनाता है, जिसे अनुनाद कहते हैं, और अवमंदन जितना कम हो, यह उतना तीखा होता है।

हल किया गया प्रश्न: पुट्टी ब्लॉक पर गिरती है

यह प्रश्न ऊपर मिले काम के बँटवारे की जाँच करता है: समीकरण $ω$ तय करता है, और आरंभिक अवस्था आयाम तय करती है। एक अचानक घटना द्रव्यमान और आरंभिक अवस्था दोनों बदल देती है, और परिणाम इस पर निर्भर करता है कि घटना कब होती है।

एनिमेशन का ब्लॉक ( $m = 1 kg$ , $k = 10 N/m$ , $A = 0.10 m$ ) जब अपनी उच्चतम चाल $A ω \approx 0.32 m/s$ से केंद्र पार करता है, तब 1 kg पुट्टी का एक टुकड़ा उसके ठीक ऊपर से गिराया जाता है और चिपक जाता है। नया आवर्तकाल और आयाम क्या होंगे? और यदि टुकड़ा चरम बिंदु पर गिरे तो क्या बदलेगा?

पहले टक्कर। फ़र्श और गुरुत्व के बल ऊर्ध्वाधर दिशा में लगते हैं, इसलिए संक्षिप्त आघात के दौरान कोई क्षैतिज बल नहीं लगता और क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है। पुट्टी का कोई क्षैतिज संवेग नहीं है, इसलिए $1 \cdot 0.316 = 2 v^{'}$ , जिससे $v^{'} = 0.158 m/s$ मिलता है। टक्कर इतनी छोटी है कि ब्लॉक अभी तक नहीं हिला है: वह अब भी $x_{0} = 0$ पर है।

दूसरे, नई आवृत्ति। स्प्रिंग वही है पर द्रव्यमान दोगुना हो गया है, इसलिए $ω^{'} = 10/2 \approx 2.24 rad/s$ और $T^{'} = 2 π / ω^{'} \approx 2.81 s$ , जो $2$ गुना लंबा है।

तीसरे, नया आयाम। गति $x_{0} = 0$ से चाल $v^{'}$ के साथ फिर शुरू होती है, इसलिए आयाम का सूत्र देता है
$A^{'} = x_{0}^{2} + (\frac{v ^{'}}{ω ^{'}})^{2} = \frac{0.158}{2.24} \approx 0.071 m$
अब ब्लॉक केवल 7.1 cm बाहर झूलता है, यानी $A / 2$ , और ऊर्जा 0.050 J से गिरकर $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.07 1^{2} = 0.025 J$ हो गई है। आधी ऊर्जा टक्कर में खो गई, जैसा हमेशा होता है जब एक चलती वस्तु एक बराबर द्रव्यमान की स्थिर वस्तु से चिपक जाती है: जोड़ा आधी चाल से, दोगुने द्रव्यमान के साथ चलता है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा आधी होती है।

यदि टुकड़ा चरम बिंदु पर गिरे, तो ब्लॉक उस क्षण स्थिर होता है, इसलिए बाँटने के लिए कोई वेग नहीं होता और कोई ऊर्जा नहीं खोती। ब्लॉक $x_{0} = 0.10 m$ से विराम से फिर शुरू होता है: आयाम 10 cm ही रहता है और ऊर्जा 0.05 J। आवर्तकाल फिर 2.81 s होता है, क्योंकि वह केवल $k$ और नए द्रव्यमान पर निर्भर करता है, पर उच्चतम चाल घटकर $A ω^{'} \approx 0.22 m/s$ हो जाती है। वही टक्कर, आघात के समय की कला के अनुसार, आयाम घटा सकती है या उसे अपरिवर्तित छोड़ सकती है, जबकि आवर्तकाल केवल द्रव्यमान पर प्रतिक्रिया देता है।

वैधता की सीमाएँ

हर मॉडल की एक सीमा होती है जहाँ वह काम करता है। संनादी दोलक की दो सीमाएँ हैं: एक बड़े विस्थापनों पर, जहाँ हुक का नियम विफल होता है, और दूसरी बहुत छोटे ऊर्जा-चरणों पर, जहाँ क्वांटम यांत्रिकी आ जाती है।

हुक का नियम $U$ के टेलर प्रसार का केवल पहला पद है, इसलिए यह केवल छोटे विस्थापनों के लिए मान्य है। इस्पात का तार केवल एक प्रतिशत के अंश जितनी विकृति (आंशिक खिंचाव) तक रैखिक रहता है। उसी तार से बना कुंडलित स्प्रिंग फिर भी बहुत अधिक खिंच सकता है, क्योंकि उसका तार अधिकतर मुड़ता है, खिंचता नहीं, और हर छोटा टुकड़ा केवल थोड़ा मुड़ता है। रैखिक सीमा से आगे $U$ के उच्च पद आ जाते हैं। वे आवर्तकाल को आयाम पर निर्भर बना देते हैं, जैसे लोलक में, और संनादी (हार्मोनिक) जोड़ते हैं: गति के घटक जो $ω$ के पूर्ण गुणज हों। लोलक के लिए "छोटे" का माप कोण है: आवर्तकाल को $2 π L / g$ के 1% के भीतर रखने के लिए $θ_{0}$ लगभग 23° से कम होना चाहिए।

क्वांटम यांत्रिकी दूसरी सीमा तय करती है: दोलक की ऊर्जा केवल $ℏ ω$ के चरणों में बदल सकती है, जहाँ $ℏ \approx 1.05 \times 1 0^{- 34} J s$ घटा हुआ प्लांक नियतांक है। एनिमेशन के ब्लॉक के लिए $ℏ ω \approx 3.3 \times 1 0^{- 34} J$ है, जबकि ऊर्जा 0.05 J है, यानी क्वांटम संख्या लगभग $1.5 \times 1 0^{32}$ है, इसलिए ये चरण पूरी तरह अदृश्य हैं। एक अणु की कहानी अलग है। हाइड्रोजन क्लोराइड $ω \approx 5.4 \times 1 0^{14} rad/s$ पर कंपन करता है, इसलिए $ℏ ω \approx 0.36 eV$ है, जो कमरे के ताप पर विशिष्ट ऊष्मीय ऊर्जा $k_{B} T \approx 0.026 eV$ से लगभग चौदह गुना है (यहाँ $k_{B}$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम ताप)। गैस में टक्करें शायद ही कभी अणु को अगले स्तर तक उठाने जितनी ऊर्जा देती हैं, इसलिए वह मूल अवस्था में रहता है, शून्य-बिंदु ऊर्जा $\frac{1}{2} ℏ ω$ के साथ, और उसका कंपन गैस की ऊष्मा-धारिता में लगभग कुछ नहीं जोड़ता।

यह कहाँ ले जाता है

इस पाठ का समीकरण पाठ्यक्रम के अधिकांश आगे के भाग का आरंभ-बिंदु है। घर्षण और आवर्ती प्रणोदन जोड़ने पर यह वही बन जाता है जिसका अध्ययन अवमंदन और अनुनाद में होता है, जहाँ गुणता-गुणांक तय करता है कि दोलक कितनी देर तक गूँजता है और उसका अनुनाद कितना तीखा है। कई दोलकों को एक के बाद एक जोड़ने पर उनकी गति तरंग के रूप में यात्रा करती है, जो तरंगों की मूल बातें का विषय है; अप्रगामी तरंगों में डोरी की हर सामान्य विधा अपने $ω$ के साथ सरल आवर्त गति है। कठोरता $k$ प्रत्यास्थता से आती है: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति; संदर्भ वृत्त वृत्तीय गति से आता है; और वही गणित विद्युत चुंबकीय तरंगों में और कृष्णिका विकिरण और क्वांटम के क्वांटीकृत दोलकों में लौटता है।

मुख्य सूत्र

रैखिक प्रत्यानयन बल (हुक का नियम)

F = - k x

स्प्रिंग जो $x$ से खिंचता या दबता है, वह $x$ के समानुपाती बल से खींचता या धकेलता है; लटके स्प्रिंग के लिए, भार लगने के बाद की साम्य स्थिति से $x$ मापने पर परिणामी बल के लिए भी वही नियम मिलता है। ऋण चिह्न ही असली बात है: बल हमेशा साम्य की ओर होता है, इसलिए वह वस्तु को वापस लाता है और उसे पार करवाता है, और यही दोलन है। इस रूप का कोई भी बल, केवल स्प्रिंग का नहीं, सरल आवर्त गति उत्पन्न करता है।

चिह्न
$F$	दोलक पर प्रत्यानयन बल	$N$
$k$	स्प्रिंग नियतांक (कठोरता)	$N/m$
$x$	साम्य स्थिति से विस्थापन	$m$

कब लागू होता है: आदर्श स्प्रिंग के लिए उसकी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर, और किसी भी ऐसे तंत्र के लिए जो स्थायी साम्य से केवल थोड़ा विस्थापित हो। बड़े खिंचाव, या लोलक के बड़े कोण, अरैखिक पद जोड़ते हैं।

उदाहरण: एनिमेशन का स्प्रिंग, $k = 10 N/m$ , 10 cm खिंचा: $F = - 10 \cdot 0.10 = - 1.0 N$ , केंद्र की ओर।

सरल आवर्त गति में स्थिति

x (t) = A cos (ω t + φ)

कोज्या $a = - ω^{2} x$ को संतुष्ट करती है: दो बार अवकलन करने पर वह स्वयं को $- ω^{2}$ से गुणा होकर लौटती है। आयाम $A$ झूले का आकार तय करता है, $ω$ लय, और $φ$ चक्र में आरंभिक बिंदु; $A$ और $φ$ आरंभिक स्थिति और वेग से आते हैं। ज्यामितीय रूप से, $x (t)$ त्रिज्या $A$ के वृत्त पर कोणीय चाल $ω$ से चलते बिंदु की छाया है।

चिह्न
$x$	समय $t$ पर साम्य से विस्थापन	$m$
$A$	आयाम	$m$
$ω$	कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$t$	समय	$s$
$φ$	कला-नियतांक, $t = 0$ पर कला	$rad$

कब लागू होता है: रैखिक प्रत्यानयन बल वाले अनवमंदित दोलक के लिए। घर्षण के साथ आयाम घटता है; अरैखिक बल के साथ गति फिर भी दोहरा सकती है, पर वह शुद्ध कोज्या नहीं रहती।

उदाहरण: एनिमेशन का ब्लॉक: $x = 0.10 cos (3.16 t)$ मीटर में, इसलिए $t = T /6 \approx 0.33 s$ पर वह 5 cm पर है, यानी आधी दूरी पर।

स्प्रिंग पर द्रव्यमान की कोणीय आवृत्ति

ω = \frac{k}{m}

कोज्या को न्यूटन के नियम $ma = - k x$ में रखने पर $m ω^{2} = k$ मिलता है। कठोर स्प्रिंग अधिक खींचता है, इसलिए द्रव्यमान तेज़ चलता है और पहले लौटता है; बड़ा द्रव्यमान अधिक जड़त्व रखता है और धीरे प्रतिक्रिया देता है। इसमें आयाम नहीं आता, इसीलिए बड़े और छोटे झूले एक ही लय रखते हैं।

चिह्न
$ω$	कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$k$	स्प्रिंग नियतांक	$N/m$
$m$	दोलायमान द्रव्यमान	$kg$

कब लागू होता है: आदर्श, हल्के स्प्रिंग पर द्रव्यमान के लिए; द्रव्यमान $m_{s}$ वाला स्प्रिंग लगभग $m$ में $m_{s} /3$ जोड़ने जैसा व्यवहार करता है। स्प्रिंग को ऊर्ध्वाधर लटकाने से $ω$ नहीं बदलता।

उदाहरण: $k = 10 N/m$ और $m = 1 kg$ : $ω = 10 \approx 3.16 rad/s$ ।

स्प्रिंग पर द्रव्यमान का आवर्तकाल

T = 2 π \frac{m}{k}

एक चक्र कला का एक पूरा चक्कर है, यानी $2 π$ रेडियन, इसलिए $T = 2 π / ω$ । द्रव्यमान चार गुना करने पर आवर्तकाल दोगुना होता है; कठोरता चार गुना करने पर आधा। चूँकि $m / k$ स्थैतिक खिंचाव $d$ को $g$ से भाग देने के बराबर है, लटका हुआ द्रव्यमान लंबाई $d$ वाले लोलक के आवर्तकाल से उछलता है।

चिह्न
$T$	पूरे एक चक्र का आवर्तकाल	$s$
$m$	दोलायमान द्रव्यमान	$kg$
$k$	स्प्रिंग नियतांक	$N/m$

कब लागू होता है: रैखिक स्प्रिंग और कमज़ोर अवमंदन के लिए। आवर्तकाल आयाम से स्वतंत्र तभी रहता है जब स्प्रिंग रैखिक रहे।

उदाहरण: एनिमेशन का ब्लॉक: $T = 2 π 1/10 \approx 1.99 s$ ; हल किए गए उदाहरण की लदी कार: $2 π 1280/78 480 \approx 0.80 s$ ।

सरल लोलक का आवर्तकाल (छोटे झूले)

T = 2 π \frac{L}{g}

छोटे कोणों के लिए चाप के अनुदिश गुरुत्व का भाग $k = m g / L$ वाले स्प्रिंग जैसा काम करता है, और $2 π m / k$ में द्रव्यमान कट जाता है। यह इसलिए कटता है क्योंकि गुरुत्व का खिंचाव और गोलक की जड़ता साथ-साथ बढ़ते हैं। लंबाई चार गुना करने पर आवर्तकाल दोगुना होता है।

चिह्न
$T$	पूरे एक चक्र का आवर्तकाल	$s$
$L$	धुरी से गोलक के केंद्र तक की लंबाई	$m$
$g$	मुक्त-पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: छोटे गोलक, हल्की डोरी और छोटे झूलों के लिए: 15° पर वास्तविक आवर्तकाल 0.4% लंबा है और 60° पर लगभग 7% लंबा। झूलते कठोर पिंड के लिए भौतिक लोलक का सूत्र $2 π I / (m g d)$ चाहिए।

उदाहरण: एनिमेशन का लोलक, $L = 0.981 m$ : $T = 2 π 0.981/9.81 = 2 π 0.1 \approx 1.99 s$ , ब्लॉक के साथ एक ताल में।

आवृत्ति और आवर्तकाल

f = \frac{1}{T}

यदि एक चक्र में $T$ सेकंड लगते हैं, तो हर सेकंड में $1/ T$ चक्र होते हैं। आवृत्ति हर्ट्ज़ में मापी जाती है, यानी प्रति सेकंड चक्र; कोणीय आवृत्ति इसके बजाय रेडियन गिनती है, $ω = 2 π f$ ।

चिह्न
$f$	आवृत्ति	$Hz$
$T$	आवर्तकाल	$s$

कब लागू होता है: किसी भी आवर्ती गति के लिए मान्य है, चाहे वह संनादी हो या नहीं।

उदाहरण: एनिमेशन का 1.99 s का आवर्तकाल $f \approx 0.50 Hz$ देता है, लगभग उतना ही जितना ग्रैंडफ़ादर क्लॉक के लोलक का 2 s का चक्र।

शब्दावली

सरल आवर्त गति: ऐसा दोलन जिसमें त्वरण साम्य स्थिति से विस्थापन के समानुपाती और उसके विपरीत होता है, $a = - ω^{2} x$ । तब स्थिति एक कोज्या का अनुसरण करती है, और इस प्रकार चलने वाले तंत्र को संनादी दोलक कहते हैं।
साम्य स्थिति: वह स्थिति जहाँ परिणामी बल शून्य होता है, इसलिए वस्तु विराम में रह सकती है। यदि साम्य स्थायी है, तो छोटा विस्थापन उसकी ओर लौटने वाला बल पैदा करता है, और यही दोलन को संभव बनाता है।
प्रत्यानयन बल: ऐसा बल जो हमेशा साम्य की ओर इंगित करता है। जब वह विस्थापन के समानुपाती हो, $F = - k x$ , जैसे आदर्श स्प्रिंग (हुक का नियम) में, तो दोलन सरल आवर्त गति वाला होता है।
चरम बिंदु: झूले का एक सिरा, $x = \pm A$ , जहाँ वस्तु एक क्षण रुककर उलट जाती है। वहाँ चाल शून्य होती है, पर बल और त्वरण अपने अधिकतम पर होते हैं।
आवृत्ति: प्रति सेकंड पूर्ण चक्रों की संख्या, $f = 1/ T$ , जिसे हर्ट्ज़ में मापा जाता है ( $1 Hz = 1 s^{- 1}$ )। इसे कोणीय आवृत्ति $ω = 2 π f$ से न मिलाएँ: एनिमेशन की 0.50 Hz, 3.16 rad/s है।
दोलन की कला: कोज्या के भीतर का कोण $ω t + φ$ , जो बताता है कि दोलक अपने चक्र में कहाँ है; यह हर आवर्तकाल में $2 π$ बढ़ता है। दो दोलक तब समकला में होते हैं जब वे एक साथ एक ही चरम बिंदु पर पहुँचते हैं, और प्रतिकला में जब वे एक साथ विपरीत चरम बिंदुओं पर पहुँचते हैं।
समदोलिता: आवर्तकाल का आयाम से स्वतंत्र होना। सरल आवर्त गति के लिए यह सटीक है, और लोलक के छोटे झूलों के लिए लगभग सही है; इसीलिए मुक्त लोलक का झूला धीरे-धीरे घटने पर भी लगभग वही लय रखता है।
सरल लोलक: गुरुत्व के अधीन, लंबाई $L$ की हल्की डोरी पर लटका एक छोटा गोलक। छोटे कोणों के लिए उसकी गति सरल आवर्त गति होती है, $T = 2 π L / g$ , गोलक का द्रव्यमान चाहे जो हो।
छोटे-कोण सन्निकटन: $sin θ$ को $θ$ से बदलना ( $θ$ रेडियन में), जिससे लोलक का समीकरण सरल आवर्त गति के समीकरण में बदल जाता है। यह दिया गया आवर्तकाल 15° पर 0.4% कम और 60° पर लगभग 7% कम होता है।
कला-चित्र: वेग बनाम स्थिति का ग्राफ़, जिसमें एक अनवमंदित दोलक का पूरा इतिहास एक बंद वक्र होता है; अवमंदन के साथ वह मूल बिंदु की ओर सर्पिल बनाता है। सरल आवर्त गति के लिए यह दीर्घवृत्त $x^{2} / A^{2} + v^{2} / (A ω)^{2} = 1$ है, जो हर आवर्तकाल में एक बार बनता है।
अवमंदन: घर्षण या वायु-प्रतिरोध से दोलक की ऊर्जा का नष्ट होना, जिससे आयाम घटता है। हल्का अवमंदन आवर्तकाल को शायद ही बदलता है; कार के शॉक एब्ज़ॉर्बर उसके उछाल को इतना अवमंदित करते हैं कि वह एक-दो चक्र में थम जाता है।
अनुनाद: अपनी आवृत्ति के निकट आवृत्ति वाले आवर्ती बल से धकेले गए दोलक की बड़ी प्रतिक्रिया। अवमंदन जितना कम, शिखर उतना ऊँचा और संकरा: झूले की लय से मेल खाते छोटे धक्के बड़ा झूला बना सकते हैं।

राशियाँ
$x$	विस्थापन	$m$	साम्य स्थिति से चिह्न सहित मापी गई स्थिति; एनिमेशन के ब्लॉक के लिए यह +10 और −10 cm के बीच दोलता है।
$A$	आयाम	$m$	अधिकतम विस्थापन, जो सदैव धनात्मक है। यह स्प्रिंग से नहीं, बल्कि गति कैसे आरंभ हुई इससे तय होता है: एनिमेशन के ब्लॉक का $A = 10 cm$ है।
$F$	प्रत्यानयन बल	$N$	वह बल जो वस्तु को साम्य की ओर वापस खींचता है, $F = - k x$ ; एनिमेशन के ब्लॉक के लिए इसका परिमाण चरम बिंदुओं पर 1.0 N तक पहुँचता है।
$k$	स्प्रिंग नियतांक (कठोरता)	$N/m$	कठोरता: प्रति मीटर खिंचाव के लिए आवश्यक बल। कठोर स्प्रिंग, यानी बड़े $k$ के साथ, तेज़ दोलन देता है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	दोलायमान द्रव्यमान, जड़त्व का माप: बड़ा द्रव्यमान धीरे प्रतिक्रिया देता है, इसलिए आवर्तकाल $m$ के अनुसार बढ़ता है।
$ω$	कोणीय आवृत्ति	$rad/s$	वह दर जिससे कला $ω t + φ$ समय $t$ (सेकंड में) के साथ बढ़ती है: $ω = 2 π f = k / m$ ; एनिमेशन के ब्लॉक के लिए 3.16 rad/s।
$φ$	कला-नियतांक	$rad$	$t = 0$ पर कला, जो गति कहाँ और कैसे आरंभ होती है उससे तय होती है; $x = + A$ पर विराम से छोड़ने पर $φ = 0$ ।
$T$	आवर्तकाल	$s$	एक पूरे चक्र का समय, $T = 2 π / ω$ ; एनिमेशन में लगभग 1.99 s।
$L$	लोलक की लंबाई	$m$	धुरी से गोलक के केंद्र तक की दूरी; एनिमेशन के लोलक का $L \approx 0.98 m$ है।
$g$	मुक्त-पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$	मुक्त पतन का त्वरण, पृथ्वी की सतह पर लगभग 9.81 m/s²; लोलक के लिए $g / L$ वही भूमिका निभाता है जो $k / m$ निभाता है।

क्विज़

शुरुआती द्रव्यमान-स्प्रिंग तंत्र कहाँ सबसे तेज़ चलता है?
1. साम्य स्थिति पर
2. चरम बिंदुओं पर
3. केंद्र और चरम बिंदु के बीच में
4. हर जगह चाल एक समान है
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उत्तर: A. साम्य स्थिति पर
केंद्र पर पूरी ऊर्जा गतिज होती है, इसलिए चाल सबसे अधिक होती है। चरम बिंदुओं पर द्रव्यमान एक क्षण के लिए रुक जाता है।
शुरुआती एक लोलक को एक ओर से दूसरी ओर और वापस आने में 2 s लगते हैं। उसकी आवृत्ति क्या है?
1. 2 Hz
2. 1 Hz
3. 0.5 Hz
4. 4 Hz
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उत्तर: C. 0.5 Hz
एक पूरे चक्र में T = 2 s लगता है, इसलिए f = 1/T = 0.5 Hz।
शुरुआती k = 200 N/m वाले स्प्रिंग को 0.1 m खींचा गया है। प्रत्यानयन बल कितना प्रबल है?
1. 20 N
2. 2000 N
3. 10 N
4. 0.0005 N
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उत्तर: A. 20 N
हुक का नियम: |F| = kx = 200 × 0.1 = 20 N, जो साम्य की ओर खींचता है।
मध्यम स्प्रिंग पर दोलन करते द्रव्यमान का आयाम दोगुना कर दिया जाए। आवर्तकाल का क्या होगा?
1. दोगुना हो जाएगा
2. वही रहेगा
3. आधा हो जाएगा
4. √2 गुना बढ़ जाएगा
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उत्तर: B. वही रहेगा
T = 2π√(m/k) में आयाम नहीं आता। बड़ा आयाम अधिक बल और अधिक चाल देता है, जो लंबे पथ की भरपाई ठीक कर देते हैं।
मध्यम k = 50 N/m वाले स्प्रिंग पर 0.5 kg का द्रव्यमान लटका है। आवर्तकाल क्या है?
1. लगभग 0.63 s
2. लगभग 0.1 s
3. लगभग 62.8 s
4. लगभग 1.59 s
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उत्तर: A. लगभग 0.63 s
T = 2π√(m/k) = 2π√(0.5/50) = 2π × 0.1 ≈ 0.63 s। 0.1 s में 2π छूट गया; 1.59 हर्ट्ज़ में आवृत्ति है, आवर्तकाल नहीं।
मध्यम एक लोलक-घड़ी को चंद्रमा पर ले जाया जाता है, जहाँ g लगभग 6 गुना कम है। उसके आवर्तकाल का क्या होता है?
1. 6 गुना लंबा हो जाता है
2. वही रहता है
3. लगभग 2.45 गुना छोटा हो जाता है
4. लगभग 2.45 गुना लंबा हो जाता है
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उत्तर: D. लगभग 2.45 गुना लंबा हो जाता है
T = 2π√(L/g)। g को 6 से भाग देने पर T, √6 ≈ 2.45 गुना हो जाता है।
उन्नत कौन-सा अवकल समीकरण सरल आवर्त गति का वर्णन करता है?
1. ẍ = −ω²x
2. ẍ = ω²x
3. ẋ = −ωx
4. ẍ = −ω²
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उत्तर: A. ẍ = −ω²x
केवल ẍ = −ω²x के दोलनशील हल x = A·cos(ωt + φ) हैं। ẍ = ω²x चरघातांकी वृद्धि देता है, ẋ = −ωx चरघातांकी क्षय, और ẍ = −ω² स्थिर त्वरण।
उन्नत एक लोलक को 5° के बजाय 60° से छोड़ा जाता है। उसका आवर्तकाल 2π√(L/g) की तुलना में कैसा है?
1. बिल्कुल बराबर है
2. उल्लेखनीय रूप से छोटा है
3. उल्लेखनीय रूप से लंबा है
4. बारह गुना लंबा है, क्योंकि आयाम बारह गुना है
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उत्तर: C. उल्लेखनीय रूप से लंबा है
सूत्र में sinθ ≈ θ माना गया है। 60° पर sinθ स्पष्ट रूप से θ से छोटा है, इसलिए प्रत्यानयन बल-आघूर्ण रैखिक मॉडल के अनुमान से कमज़ोर है और आवर्तकाल लगभग 7% लंबा है।

$x$	तंत्र की उसकी गति-रेखा के अनुदिश स्थिति।	$m$
$U$	तंत्र की स्थितिज ऊर्जा।	$J$
$x_{0}$	स्थायी साम्य की स्थिति, जहाँ $U$ सबसे कम है।	$m$
$U (x_{0})$	न्यूनतम पर $U$ का मान।	$J$
$\frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2}$	$U (x_{0})$ से ऊपर बिंदुकित परवलय की ऊँचाई: $U$ का संनादी सन्निकटन, जिसमें $k = U^{''} (x_{0})$ ।	$J$

$x$	स्थिति, क्षैतिज अक्ष पर।	$m$
$v$	वेग, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर।	$m/s$
$A$	आयाम, यानी अधिकतम $x$ : $x$ के अनुदिश अर्ध-अक्ष।	$m$
$ω A$	उच्चतम चाल: $v$ के अनुदिश अर्ध-अक्ष।	$m/s$
$E$	कुल ऊर्जा $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ , दीर्घवृत्त के साथ हर जगह समान।	$J$

$A$	वृत्त की त्रिज्या: छाया की गति का आयाम।	$m$
$ω t + φ$	कला: वह कोण जो त्रिज्या धनात्मक $x$ दिशा से घूमी है।	$rad$
$x$	छाया की स्थिति, केंद्र से मापी गई (यहाँ ऋणात्मक)।	$m$
$v$	बिंदु का वेग: वृत्त पर स्पर्श रेखा के अनुदिश, परिमाण $ω A$ ।	$m/s$
$a$	बिंदु का त्वरण: केंद्र की ओर, परिमाण $ω^{2} A$ ।	$m/ s^{2}$
$v$	छाया का वेग: $v$ का क्षैतिज भाग।	$m/s$
$a$	छाया का त्वरण: $a$ का क्षैतिज भाग, जो $- ω^{2} x$ के बराबर है।	$m/ s^{2}$

$L$	डोरी की लंबाई, धुरी से गोलक तक।	$m$
$θ$	डोरी और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण।	$rad$
$s$	निम्नतम बिंदु से गोलक तक पथ की लंबाई: $s = L θ$ ।	$m$
$m g$	गोलक का भार, सीधा नीचे।	$N$
$m g sin θ$	पथ के अनुदिश भार का घटक, निम्नतम बिंदु की ओर: प्रत्यानयन बल।	$N$
$m g cos θ$	डोरी के अनुदिश भार का घटक, धुरी से दूर; यह चाल नहीं बदल सकता।	$N$