Harmonische Schwingung

Einsteiger

Ein Kind auf der Schaukel, ein Gewicht an einer Feder, eine angezupfte Gitarrensaite: Jedes bewegt sich hin und her um eine Ruhelage.

Schritt 1. Ziehen und loslassen. Bring den Körper aus seiner Ruhelage, und etwas zieht ihn zurück: die Feder oder bei der Schaukel die Schwerkraft. Er schießt über die Mitte hinaus, hält an und kehrt zurück. Wächst die rücktreibende Kraft im selben Maß wie der Abstand (doppelt so weit, doppelte Kraft), nennt man die Bewegung harmonische Schwingung.

Schritt 2. In der Mitte schnell, an den Enden still. Der Körper ist am schnellsten, wenn er die Mitte passiert, und hält an jedem Ende kurz an, bevor er umkehrt. Seine Energie wechselt ständig die Form: in der Mitte nur Bewegungsenergie, an den Enden nur gespeicherte Energie (in der gedehnten Feder oder als Höhe bei der Schaukel).

Schritt 3. Periode und Frequenz. Die Zeit für eine volle Hin- und Herbewegung ist die Periode. Das Pendel einer Standuhr hat eine Periode von etwa 2 Sekunden. Die Frequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, also Frequenz = 1 ÷ Periode: hier eine halbe Schwingung pro Sekunde.

Schritt 4. Was bestimmt den Rhythmus? Eine schwerere Masse an einer Feder schwingt langsamer; eine steifere Feder macht sie schneller. Beim Pendel zählt nur die Länge (und die Schwerkraft): Ein längeres Pendel tickt langsamer, und die vierfache Länge ergibt die doppelte Periode. Die Masse des Pendelkörpers spielt keine Rolle.

Prüfe dich selbst: Du lässt ein Pendel etwas weiter draußen los, der Ausschlag bleibt aber klein. Ändert sich seine Periode? (Nein: Es hat einen weiteren Weg, bewegt sich dafür aber schneller.)

In der Animation halten eine Feder und ein Pendel genau denselben Rhythmus. Beobachte den blauen Geschwindigkeitspfeil: am längsten, wenn der Körper die Mitte passiert („am schnellsten“), und auf null schrumpfend an jedem Ende („kehrt um“).

Mittelstufe

Was schwingt, und wie wir es messen

Jeder Schwinger hat eine Gleichgewichtslage, in der er ohne Nettokraft ruhen könnte: die gestrichelte Linie beim Block in der Animation, die senkrechte Linie beim Pendel. Die Auslenkung $x$ wird von dort aus mit Vorzeichen gemessen: $x=+10\mathrm{cm}$ auf der einen Seite, $x=-10\mathrm{cm}$ auf der anderen. Ihr größter Betrag ist die Amplitude $A$. An den Umkehrpunkten gilt $x=\pm A$; der Körper hält dort kurz an und kehrt um.

Ein voller Zyklus, hinaus, hinüber und zurück, dauert die Periode $T$ in Sekunden. Die Frequenz $f=1/T$ zählt Zyklen pro Sekunde in Hertz (Hz). Die Gleichungen verwenden die Kreisfrequenz $\omega =2\pi f=2\pi /T$ in Radiant pro Sekunde; dabei zählt ein Zyklus als eine Umdrehung von $2\pi$ Radiant.

Eine rücktreibende Kraft ergibt einen Kosinus

Ziehst du einen Block an einer Feder zur Seite, zieht die Feder ihn mit einer Kraft zurück, die proportional zur Auslenkung ist:
$F=-kx$
Die Federkonstante $k$, in Newton pro Meter, misst die Steifigkeit; das Minuszeichen zeigt, dass die Kraft zurück zur Gleichgewichtslage zeigt. Newtons zweites Gesetz liefert $a=-(k/m)x$, eine Beschleunigung, die proportional zur Auslenkung und ihr entgegengerichtet ist. Das ist harmonische Schwingung, und ihre Position folgt einem Kosinus:
$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$

Die Phasenkonstante $\phi$ gibt an, wo im Zyklus die Uhr gestartet wurde; ein Loslassen aus der Ruhe bei $x=+A$, wie in der Animation, hat $\phi =0$. Eine Kosinusbewegung hat die Beschleunigung $-{\omega }^{2}x$, passt also nur dann zur Feder, wenn ${\omega }^2=k/m$ gilt. Allein Feder und Masse bestimmen den Rhythmus:

• $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
• $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
• $f=\frac{1}{T}$

Die Amplitude taucht hier nirgends auf. Verdoppelt man sie, ist der Block auf jeder Stufe der Bahn doppelt so weit draußen, spürt die doppelte Kraft und bewegt sich doppelt so schnell: doppelter Weg bei doppelter Geschwindigkeit braucht dieselbe Zeit. Das ist die Isochronie, die Pendeluhren erst möglich machte. Die Amplitude bestimmt sehr wohl die Höchstgeschwindigkeit, $v_{\max }=A\omega$ in der Mitte, und die größte Beschleunigung, $a_{\max }={\omega }^{2}A$ an den Umkehrpunkten.

Das Pendel: Die Schwerkraft spielt die Feder

Ein einfaches Pendel ist ein kleiner Körper an einem leichten Faden der Länge $L$. Seine rücktreibende Kraft ist der Teil der Schwerkraft entlang des Bogens, $mg\sin \theta$, wobei $\theta$ der Winkel zur Senkrechten ist. Für kleine Winkel gilt $\sin \theta \approx \theta$ (im Bogenmaß), und die Bogenlänge ist $s=L\theta$; die Kraft ist also $-(mg/L)s$: eine Feder mit $k=mg/L$. In der Federformel kürzt sich die Masse heraus:
$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

Ein schwererer Körper wird im exakt gleichen Verhältnis zu seiner größeren Trägheit stärker gezogen, sodass nur $L$ und $g$ zählen: die vierfache Länge ergibt die doppelte Periode, und auf dem Mond, wo $g$ etwa sechsmal kleiner ist, ist die Periode $\sqrt{6}\approx 2,45$-mal länger. Bei den 15° der Animation ist die wahre Periode nur 0,4 % länger.

Eine senkrecht aufgehängte Feder behält die Periode einer waagerechten: Die Schwerkraft senkt nur die Gleichgewichtslage um die statische Dehnung $d=mg/k$. Da $m/k=d/g$ gilt, ist die Periode auch $2\pi \sqrt{d/g}$: Ein hängender Körper wippt wie ein Pendel mit der Länge der statischen Dehnung.

Die Pfeile lesen und wo die Energie steckt

Die Ansicht „Mittelstufe“ fügt drei Pfeile hinzu. Der grüne $x$-Pfeil reicht von der gestrichelten Mittellinie zum Block. Der rote $F$-Pfeil zeigt immer in die Gegenrichtung, am längsten an den Umkehrpunkten und in der Mitte null. Der blaue $v$-Pfeil ist um einen Viertelzyklus phasenverschoben: null an den Umkehrpunkten, am längsten in der Mitte, er kehrt zweimal pro Zyklus seine Richtung um.

Die Energie erklärt das Muster. An einem Umkehrpunkt steckt sie ganz in der Feder, $\frac{1}{2}k{A}^2$; in der Mitte ist sie ganz kinetisch. Dazwischen ändern sich die Anteile, ihre Summe aber nicht:
$\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$
Setzt man $x=0$, folgt die Höchstgeschwindigkeit $v_{\max }=A\sqrt{k/m}=A\omega$.

Da die gespeicherte Energie mit $x^2$ wächst, sind die Anteile ungleich verteilt: Auf halber Strecke, bei $x=A/2$, hält die Feder nur ein Viertel der Energie, und der Block hat immer noch $\sqrt{3}/2$, etwa 87 %, seiner Höchstgeschwindigkeit. Vom Umkehrpunkt aus braucht er ein Sechstel einer Periode für die erste Hälfte des Weges zur Mitte und ein Zwölftel für die zweite.

Beispiel: die Schwinger der Animation

Der Block hat $m=1\mathrm{kg}$, die Feder $k=10N/m$, und der Block wird aus der Ruhe bei $A=10\mathrm{cm}$ losgelassen. Dann gilt
$\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{10}\approx 3,16rad/s$
$T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{s},f=1/T\approx 0,50\mathrm{Hz}$
$v_{\max }=A\omega =0,10\cdot 3,16\approx 0,32m/s,F_{\max }=kA=10\cdot 0,10=1,0\mathrm{N}$

Das sind die Extremwerte der Anzeigen: $x$ schwingt zwischen $+10$ und $-10\mathrm{cm}$, $v$ zwischen $+0,32$ und $-0,32m/s$, und $F$ zwischen $-1,00$ und $+1,00\mathrm{N}$, wobei $F=-1,00\mathrm{N}$ genau dann gilt, wenn $x$ $+10\mathrm{cm}$ anzeigt. Die größte Beschleunigung ist $1,0\mathrm{N}/1\mathrm{kg}=1,0m/{\mathrm{s}}^2$, und die Energie ist $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,05\mathrm{J}$, dieselbe wie $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,316^2$ in der Mitte.

Das Pendel daneben hat $L=g/{\omega }^2=9,81/10\approx 0,98\mathrm{m}$, sodass $2\pi \sqrt{L/g}$ dieselben 1,99 s ergibt und beide im Takt bleiben. Die Länge ist kein Zufall: $g/{\omega }^2=mg/k$ ist auch die statische Dehnung, die diese Feder durch den hängenden 1-kg-Block bekäme. Aus 15° (0,262 rad) losgelassen, schwingt der Körper $L{\theta }_0\approx 0,26\mathrm{m}$ entlang seines Bogens zu jeder Seite und passiert den tiefsten Punkt mit etwa $\omega L{\theta }_0\approx 0,81m/s$.

Beispiel: ein Auto auf seinen Federn

Ein Wagenkasten von 1200 kg sinkt um 1,0 cm auf seinen Federn, wenn ein Passagier von 80 kg einsteigt. Mit welchem Rhythmus wippt das beladene Auto nach einem Stoß?

Wir behandeln die vier Federn als eine. Die Gewichtskraft des Passagiers, $80\cdot 9,81=784,8\mathrm{N}$, staucht sie um 0,010 m, also $k=784,8/0,010=78480N/m$. Mit 1280 kg an Bord gilt:
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{1280}{78480}}\approx 0,80\mathrm{s}$
es sind also etwa 1,25 Schwingungen pro Sekunde.

Die Regel der statischen Dehnung bestätigt das: Die volle Masse von 1280 kg staucht die Federn um $d=mg/k=0,16\mathrm{m}$, und $2\pi \sqrt{0,16/9,81}\approx 0,80\mathrm{s}$ ergibt wieder dasselbe. Fahrwerke sind typischerweise auf 1 bis 1,5 Hz abgestimmt, was Passagiere als angenehm empfinden; Stoßdämpfer sorgen dann dafür, dass das Wippen nach jeder Bodenwelle nicht weitergeht.

Häufige Fehler

• Wo der Block anhält, ist die Kraft nicht null: An einem Umkehrpunkt sind Kraft und Beschleunigung am größten, 1,0 N und 1,0 m/s² beim Block der Animation, und in der Mitte verschwinden sie.
• Ein größerer Ausschlag dauert nicht länger: Verdoppelt man die Amplitude der Animation auf 20 cm, bleibt die Periode bei 1,99 s, während sich die Höchstgeschwindigkeit auf 0,63 m/s verdoppelt.
• Die $2\pi$ gehört dazu, und Hertz darf nicht mit Radiant pro Sekunde verwechselt werden: Für 0,2 kg an einer Feder mit 80 N/m ist $\sqrt{m/k}=0,05\mathrm{s}$, aber $T\approx 0,31\mathrm{s}$, $f\approx 3,2\mathrm{Hz}$ und $\omega =20rad/s$.
• Die Periode eines Pendels hängt weder von der Masse des Körpers ab noch bei kleinen Ausschlägen von der Amplitude; aus 60° losgelassen braucht es aber etwa 7 % länger, als die Formel angibt.
• Miss $x$ von der Gleichgewichtslage aus, nicht vom Ende der entspannten Feder; bei einer hängenden Feder liegt diese Lage $mg/k$ tiefer, und dann fällt die Schwerkraft heraus.

Wo dir das begegnet

Pendeluhren beruhen auf der Isochronie: Ein Sekundenpendel, 1 s pro Schwingung und 2 s pro Zyklus, ist $g/{\pi }^2\approx 0,994\mathrm{m}$ lang, fast das Pendel der Animation. Eine Quarzuhr zählt die 32 768 Schwingungen pro Sekunde einer winzigen Quarzstimmgabel; Autofederungen, schwankende Türme und die Atome eines Festkörpers schwingen beinahe harmonisch. Dämpfung und Resonanz fügt Reibung und periodische Antriebe hinzu, und Grundlagen der Wellen zeigt, wie gekoppelte Schwinger eine Welle tragen.

Fortgeschritten

Eine Gleichung hinter vielen Schwingern

Diese Lektion handelt von einer einzigen Gleichung und dem Grund, warum sie überall in der Physik auftaucht. Beginne mit dem einfachsten Fall: einem Block der Masse $m$ auf einem reibungsfreien Boden, befestigt an einer Feder der Steifigkeit $k$. Sei $x$ die Auslenkung des Blocks von dem Punkt, an dem die Feder entspannt ist, und schreibe $\ddot{x}$ für seine Beschleunigung, die zweite Ableitung von $x$ nach der Zeit.

Die Feder zieht mit der Kraft $-kx$ zurück (hookesches Gesetz): Sie zeigt stets zum Zentrum und wächst proportional zur Auslenkung. Newtons zweites Gesetz lautet dann $m\ddot{x}=-kx$. Division durch $m$ und Benennung des Verhältnisses $k/m$ ergibt
$\ddot{x}=-{\omega }^{2}x,{\omega }^2=\frac{k}{m}$
Mit Worten: Die Beschleunigung ist die Auslenkung mit umgekehrtem Vorzeichen, skaliert mit ${\omega }^2$. Die Konstante $\omega$ hat die Einheit einer inversen Zeit; sie wird sich als Kreisfrequenz der Bewegung herausstellen, in Radiant pro Sekunde.

Was dieser Gleichung eine ganze Lektion verschafft, ist nicht die Feder, sondern ihre Form. Sie ist linear: $x$ und seine Ableitungen kommen nur in der ersten Potenz vor, nie quadriert oder miteinander multipliziert. Sie ist von zweiter Ordnung: Die höchste Ableitung ist die zweite. Und ihre Koeffizienten sind konstant. Jedes System, dessen Gleichung diese Form hat, bewegt sich auf dieselbe Weise, egal woraus es besteht: die Ladung eines Kondensators, die sich über eine Spule entlädt, der Quarzkristall einer Uhr, die Streckschwingung eines Moleküls, ein Schiff, das im ruhigen Wasser rollt, und die Atome eines Kristalls, durch den Schall läuft. Der nächste Abschnitt zeigt, warum so viele Systeme darauf hinauslaufen.

Warum kleine Schwingungen harmonisch sind

Reale rücktreibende Kräfte sind selten exakt proportional zur Auslenkung. Dieser Abschnitt zeigt, warum das für kleine Schwingungen keine Rolle spielt: In der Nähe jedes stabilen Gleichgewichts sieht jedes glatte Kraftgesetz wie das hookesche Gesetz aus, sodass das System der Gleichung oben gehorcht. Genau das bedeutet „harmonisch“ hier: eine Bewegung, die durch $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ bestimmt ist.

Legende

$x$	Position des Systems entlang seiner Bewegungslinie.	$\mathrm{m}$
$U$	Potenzielle Energie des Systems.	$\mathrm{J}$
$x_0$	Position des stabilen Gleichgewichts, an der $U$ am tiefsten ist.	$\mathrm{m}$
$U(x_0)$	Wert von $U$ im Minimum.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Höhe der gestrichelten Parabel über $U(x_0)$: die harmonische Näherung von $U$, mit $k=U^{\prime \prime }(x_0)$.	$\mathrm{J}$

Abbildung 1 skizziert die potenzielle Energie $U$ eines Systems über seiner Position $x$. Der Grund der Mulde bei $x_0$ ist ein stabiles Gleichgewicht: Bewegt man das System in eine der beiden Richtungen, steigt $U$, sodass die Kraft, die auf dieser Kurve immer bergab zeigt, es zurückdrückt. Schau zuerst auf den Punkt, an dem sich die durchgezogene Kurve $U$ und die gestrichelte Parabel berühren. In seiner Nähe sind beide kaum zu unterscheiden. Weiter draußen trennen sie sich: links steigt die echte Kurve steiler als die Parabel, rechts flacht sie unterhalb davon ab.

Die Parabel passt wegen der Taylorentwicklung von $U$ um $x_0$. Ihr erster Term ist die Konstante $U(x_0)$. Der lineare Term $U^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ verschwindet, weil die Steigung der Kurve in einem Minimum null ist. Der erste Term, der sich mit $x$ ändert, ist also der quadratische:
$U(x)\approx U(x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$
Das ist die gestrichelte Parabel mit $k=U^{\prime \prime }(x_0)$; die Beschriftung $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ in Abbildung 1 gibt an, wie weit sie über $U(x_0)$ liegt. Die Kraft ist minus die Steigung von $U$, also in der Nähe des Minimums $-dU/dx=-U^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0)$: das hookesche Gesetz, mit dem Gleichgewicht $x_0$ an Stelle der entspannten Feder. In einem Minimum gilt $U^{\prime \prime }(x_0)>0$, also ist $k$ positiv und die Kraft zieht tatsächlich zurück.

Das Pendel zeigt das Rezept in Aktion. Ein Körper der Masse $m$ an einem Faden der Länge $L$, um den Winkel $\theta$ ausgelenkt, hebt sich um $L(1-\cos \theta )$, also ist seine potenzielle Energie $mgL(1-\cos \theta )$, wobei $g$ die Fallbeschleunigung ist. Für kleine Winkel gilt $\cos \theta \approx 1-\frac{1}{2}{\theta }^2$, also $U\approx \frac{1}{2}mgL{\theta }^2$: eine Parabel in $\theta$, mit der Winkelsteifigkeit $mgL$ an Stelle von $k$. Dem Drehen widersteht das Trägheitsmoment $m{L}^2$ an Stelle von $m$, also ${\omega }^2=mgL/(m{L}^2)=g/L$. Die Schlussfolgerung ist allgemein: Kleine Schwingungen um jedes Minimum mit $U^{\prime \prime }(x_0)>0$ sind harmonisch, und nur ihre Frequenz hängt vom System ab.

Die allgemeine Lösung und ihre zwei Konstanten

Jetzt lösen wir die Gleichung. Ziel ist eine Formel für $x(t)$, die jeden möglichen Start abdeckt, und eine klare Zählung dessen, was der Start ändern kann.

Welche Funktionen kehren bei zweimaligem Ableiten bis auf einen negativen Faktor zu sich selbst zurück? Kosinus und Sinus: $d^2(\cos \omega t)/d{t}^2=-{\omega }^2\cos \omega t$, und dasselbe gilt für $\sin \omega t$. Da die Gleichung linear ist, ist eine Summe von Lösungen, jede mit beliebiger Konstante multipliziert, wieder eine Lösung. Eine Gleichung zweiter Ordnung lässt genau zwei Konstanten frei: eine für die Startposition und eine für die Startgeschwindigkeit. Schreibe $x_0$ und $v_0$ für Position und Geschwindigkeit bei $t=0$ (ab hier ist $x_0$ eine Startposition, und die Gleichgewichtslage liegt bei $x=0$). Dann gilt
$x(t)=x_0\cos \omega t+\frac{v_0}{\omega }\sin \omega t=A\cos (\omega t+\phi )$
Die erste Form ist leicht zu prüfen: Bei $t=0$ ergibt sie $x_0$, und ihre Ableitung dort ergibt $v_0$. Die zweite Form fasst beide Terme zu einem Kosinus zusammen mit der Amplitude $A$, der größten Auslenkung, und der Phasenkonstante $\phi$, die angibt, wo im Zyklus die Uhr gestartet wurde. Ausmultiplizieren von $A\cos (\omega t+\phi )=A\cos \phi \cos \omega t-A\sin \phi \sin \omega t$ und Vergleich der Terme ergibt $A\cos \phi =x_0$ und $-A\sin \phi =v_0/\omega$, also
$A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega {)}^2},\tan \phi =-v_0/(\omega x_0)$
Die Aufgabenteilung ist sauber: Die Gleichung legt $\omega$ fest; der Start legt $A$ und $\phi$ fest.

Der Block der Animation macht das konkret. Er hat $m=1\mathrm{kg}$ und $k=10N/m$, also $\omega =\sqrt{10}\approx 3,16rad/s$ und die Periode $T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{s}$. Er wird aus der Ruhe bei $x_0=A=0,10\mathrm{m}$ losgelassen, also $v_0=0$, $\phi =0$ und $x=A\cos \omega t$. Einmal differenziert ergibt die Geschwindigkeit $v=-A\omega \sin \omega t$, was dasselbe ist wie $A\omega \cos (\omega t+\pi /2)$: Die Geschwindigkeit ist die Auslenkungskurve um eine Viertelperiode vorverschoben, sie eilt der Auslenkung um eine Viertelperiode voraus. Zweimal differenziert ergibt die Beschleunigung $a=-{\omega }^{2}x$, eine halbe Periode von der Auslenkung entfernt, gegenphasig: am größten, wo $x$ am größten ist, aber in die andere Richtung zeigend.

Auch die Linearität beweist die Isochronie, also dass die Periode nicht von der Amplitude abhängt, in einer Zeile. Ist $x(t)$ eine Lösung, so ist auch $\lambda x(t)$ für jede Konstante $\lambda$ eine, denn Multiplikation beider Seiten von $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ mit $\lambda$ ändert nichts. Die gestreckte Kopie schwingt $\lambda$-mal so weit mit genau demselben Zeitverlauf; eine große und eine kleine Schwingung brauchen also dieselbe Zeit.

Eine kompakte Art, beide Konstanten zu tragen, ist eine komplexe Zahl. Schreibe $x$ als Realteil von $C{e}^{i\omega t}$ mit der komplexen Amplitude $C=A{e}^{i\phi }$; der Realteil von $A{e}^{i(\omega t+\phi )}$ ist tatsächlich $A\cos (\omega t+\phi )$. Der Gewinn: Jede Zeitableitung von $e^{i\omega t}$ multipliziert es einfach mit $i\omega$. Die Gleichung wird zu $(i\omega {)}^{2}C=-{\omega }^{2}C$, was für jedes $C$ gilt: Die Differentialgleichung ist zur Algebra geworden. Dieser Kunstgriff macht gedämpfte und angetriebene Schwinger handhabbar.

Der Referenzkreis

Die harmonische Schwingung hat einen geometrischen Zwilling: die gleichförmige Bewegung auf einem Kreis. Der Zwilling erklärt, warum die Phase ein Winkel ist und warum $\omega$ in Radiant pro Sekunde gemessen wird, und er liefert Geschwindigkeit und Beschleunigung ganz ohne Analysis.

Legende

$A$	Radius des Kreises: die Amplitude der Schattenbewegung.	$\mathrm{m}$
$\omega t+\phi$	Phase: der Winkel, den der Radius gegenüber der positiven $x$-Richtung überstrichen hat.	$\mathrm{rad}$
$x$	Position des Schattens, vom Mittelpunkt aus gemessen (hier negativ).	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit des Punktes: tangential zum Kreis, mit Betrag $\omega A$.	$m/s$
$\vec{a}$	Beschleunigung des Punktes: zum Mittelpunkt, mit Betrag ${\omega }^{2}A$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$v$	Geschwindigkeit des Schattens: der horizontale Anteil von $\vec{v}$.	$m/s$
$a$	Beschleunigung des Schattens: der horizontale Anteil von $\vec{a}$, gleich $-{\omega }^{2}x$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

Abbildung 2 zeigt den Referenzkreis. Ein Punkt läuft mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gegen den Uhrzeigersinn auf einem Kreis mit Radius $A$. Nach der Zeit $t$ hat sein Radius den Winkel $\omega t+\phi$ gegenüber der positiven $x$-Richtung überstrichen; in der Abbildung ist das etwas mehr als eine Viertelumdrehung, der Punkt liegt also oben links. Fälle die gestrichelte Linie vom Punkt senkrecht nach unten auf den horizontalen Durchmesser. Ihr Fußpunkt, der Schatten des Punktes (der offene Kreis), liegt bei $x=A\cos (\omega t+\phi )$ vom Mittelpunkt aus: genau die Position des Blocks.

Nun die Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit $\vec{v}$ des Punktes ist tangential zum Kreis und hat den Betrag $\omega A$, weil der Punkt für jedes Radiant einen Bogen der Länge $A$ zurücklegt. Der Schatten bewegt sich nur entlang des Durchmessers, seine Geschwindigkeit $v$ ist also der horizontale Anteil von $\vec{v}$: $v=-\omega A\sin (\omega t+\phi )$. In der Abbildung zeigt $\vec{v}$ nach unten und links, also zeigt $v$ nach links.

Dann die Beschleunigung. Der Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis, seine Beschleunigung $\vec{a}$ ist daher zentripetal: Sie zeigt zum Mittelpunkt und hat den Betrag ${\omega }^{2}A$. Ihr horizontaler Anteil ist die Beschleunigung des Schattens:
$a=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$
In der Abbildung ist $x$ negativ, also zeigt $a$ nach rechts, zum Mittelpunkt, während der Schatten sich noch nach links bewegt: Er wird langsamer, während er seinem Umkehrpunkt bei $-A$ nahekommt.

Der Schatten gehorcht also der Gleichung dieser Lektion und bewegt sich genau wie der Block. Harmonische Schwingung ist gleichförmige Kreisbewegung von der Seite gesehen. Deshalb ist die Phase $\omega t+\phi$ ein Winkel, und $\omega$, die Winkelgeschwindigkeit des Punktes, wird in Radiant pro Sekunde gemessen. Es ist auch das Bild hinter der komplexen Zahl des letzten Abschnitts: $C{e}^{i\omega t}$ ist der umlaufende Punkt in der komplexen Ebene, und $x$ ist sein Schatten auf der reellen Achse.

Die Phasenellipse

Der Referenzkreis verfolgt die Bewegung im Raum. Ein zweites Bild verfolgt den Zustand des Schwingers: Position und Geschwindigkeit zusammen, was genügt, um den Rest der Bewegung vorherzusagen. In diesem Bild wird die Energieerhaltung zu einer Form.

Legende

$x$	Position, auf der horizontalen Achse.	$\mathrm{m}$
$v$	Geschwindigkeit, auf der vertikalen Achse.	$m/s$
$A$	Amplitude, das größte $x$: die Halbachse entlang $x$.	$\mathrm{m}$
$\omega A$	Größte Geschwindigkeit: die Halbachse entlang $v$.	$m/s$
$E$	Gesamtenergie $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, längs der ganzen Ellipse gleich.	$\mathrm{J}$

Abbildung 3 trägt die Geschwindigkeit $v$ senkrecht gegen die Position $x$ waagerecht auf. Jeder Augenblick der Bewegung ist ein Punkt $(x,v)$; mit der Zeit bewegt sich der Punkt und zeichnet eine geschlossene Kurve, das Phasenporträt. Da $x=A\cos \omega t$ und $v=-\omega A\sin \omega t$ gilt, ist die Kurve eine Ellipse. Die Energieerhaltung gibt ihre Gleichung direkt: $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=E$. Division beider Seiten durch $E=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$ ergibt
$\frac{x^2}{A^2}+\frac{v^2}{(A\omega {)}^2}=1$

Die Halbachsen sind $A$ entlang $x$ und $\omega A$ entlang $v$. Die erste ist die größte Auslenkung, wo die ganze Energie in der Feder steckt; die zweite ist die größte Geschwindigkeit, wo die ganze Energie im Block steckt. Für den Block der Animation betragen sie 0,10 m und 0,32 m/s. Jeder Punkt der Ellipse hat dieselbe Energie $E$, weshalb die Abbildung die Kurve selbst mit $E$ beschriftet; eine größere Energie ergäbe eine größere Ellipse derselben Form.

Nun verfolge die Bewegung. Der Punkt startet am rechten Ende der Ellipse, $(A,0)$, und läuft im Uhrzeigersinn, eine Runde pro Periode. Die Richtung ist zwingend: In der oberen Hälfte ist $v>0$, also wächst $x$, und der Punkt bewegt sich nach rechts; in der unteren Hälfte ist $v<0$, also bewegt er sich nach links. Der Punkt in Abbildung 3 ist ein Augenblick, unten rechts: Der Block liegt noch auf der positiven Seite, bewegt sich aber schon zurück. Die gestrichelten Linien lesen $x$ und $v$ an den Achsen ab. Trägt man $v/\omega$ statt $v$ nach oben auf, werden beide Halbachsen $A$: Die Ellipse wird wieder zum Referenzkreis.

Die Ansicht „Fortgeschritten“ der Animation zeigt diese Ellipse neben dem Graphen von $x(t)$, einer Kosinuskurve zwischen $\pm 10\mathrm{cm}$. Die Steigung dieses Graphen ist $v$, und seine Krümmung folgt aus $a=-{\omega }^{2}x$, sodass sich die Kurve stets zur Zeitachse hin biegt: am stärksten an den Hoch- und Tiefpunkten, wo $|x|$ am größten ist, und gar nicht dort, wo sie die Nulllinie kreuzt.

Zwei tiefere Fakten folgen aus der Ellipse. Erstens mitteln sich über einen Zyklus ${\sin }^2$ und ${\cos }^2$ beide zu $\frac{1}{2}$, also sind die mittlere kinetische und die mittlere potenzielle Energie gleich, jeweils $E/2$. Für den Block ist $E=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,050\mathrm{J}$, also mittelt sich jede auf $0,025\mathrm{J}$.

Zweitens zeichne die Ellipse mit dem Impuls $p=mv$ nach oben statt $v$. Ihre Halbachsen sind dann $A$ und $mA\omega$, und ihre Fläche ist $\pi A\cdot mA\omega =2\pi E/\omega$, hier etwa $0,099\mathrm{J}\mathrm{s}$. Diese Fläche ist eine adiabatische Invariante, eine Größe, die konstant bleibt, wenn das System langsam verändert wird: Ändert sich $k$ oder $L$ langsam im Vergleich zur Periode, bleibt die Fläche und damit $E/\omega$ konstant. Verkürzt man den Faden eines Pendels allmählich, steigt seine Energie proportional zu seiner Frequenz. In der frühen Quantentheorie wurde diese Fläche gleich einer ganzen Zahl von Planck-Konstanten $h$ gesetzt; die volle Theorie liefert die Energieniveaus $E=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$, mit $\hslash =h/2\pi$ und $n$ einer ganzen Zahl ab 0.

Über den idealen Schwinger hinaus

Reale Schwinger sind nur näherungsweise ideal. Das Pendel ist der deutlichste Fall, weil sich seine exakte Gleichung aufschreiben und mit der harmonischen vergleichen lässt.

Legende

$L$	Länge des Fadens, vom Aufhängepunkt bis zum Körper.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Winkel zwischen Faden und Senkrechter.	$\mathrm{rad}$
$s$	Länge der Bahn vom tiefsten Punkt bis zum Körper: $s=L\theta$.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Gewichtskraft des Körpers, senkrecht nach unten.	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	Anteil der Gewichtskraft entlang der Bahn, zum tiefsten Punkt: die rücktreibende Kraft.	$\mathrm{N}$
$mg\cos \theta$	Anteil der Gewichtskraft längs des Fadens, vom Aufhängepunkt weg; er kann die Geschwindigkeit nicht ändern.	$\mathrm{N}$

Abbildung 4 zeigt das Pendel mitten in der Schwingung. Der Körper hängt an einem Faden der Länge $L$ und ist um den Winkel $\theta$ von der Senkrechten ausgelenkt, liegt also um die Bogenlänge $s=L\theta$ entlang des Bogens vom tiefsten Punkt entfernt. Seine Gewichtskraft $m\vec{g}$, senkrecht nach unten, zerfällt in zwei zueinander senkrechte Anteile. Der Anteil $mg\cos \theta$ zeigt längs des Fadens, vom Aufhängepunkt weg. Er hat keine Komponente entlang der Bahn, kann also den Körper weder beschleunigen noch bremsen; die Fadenspannung wirkt längs derselben Linie. Der Anteil $mg\sin \theta$ zeigt entlang der Bahn zum tiefsten Punkt. Nur dieser Anteil stellt zurück.

Die exakte Gleichung ergibt sich aus der Drehung um den Aufhängepunkt. Die rücktreibende Kraft $mg\sin \theta$ greift am Hebelarm $L$ an, ihr Drehmoment ist also $-mgL\sin \theta$. Das Trägheitsmoment des Körpers um den Aufhängepunkt ist $m{L}^2$, und Drehmoment ist Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung. Division durch $m{L}^2$ ergibt:
$\ddot{\theta }=-\frac{g}{L}\sin \theta$
Für kleine Winkel gilt $\sin \theta \approx \theta$ (im Bogenmaß), und die rücktreibende Kraft $mg\sin \theta$ ist nahe bei $mg\theta =(mg/L)s$. Das ist wieder das hookesche Gesetz, für die Auslenkung $s$ entlang des Bogens, mit $k=mg/L$ und ${\omega }^2=k/m=g/L$, wie aus der Energie im zweiten Abschnitt gefunden.

Das Pendel ist nur näherungsweise harmonisch. Da $\sin \theta <\theta$ für jeden positiven Winkel gilt, bleibt das wahre rücktreibende Drehmoment hinter dem linearen zurück: Der Körper wird schwächer zurückgezogen, als das harmonische Gesetz vorhersagt, und braucht länger zurück. Die Periode wächst daher mit der Amplitude ${\theta }_0$, etwa wie $2\pi \sqrt{L/g}(1+{\theta }_0^2/16)$ für mäßige Ausschläge. Der Überschuss über $2\pi \sqrt{L/g}$ beträgt 0,19 % bei 10°, 0,43 % bei den 15° der Animation, 7,3 % bei 60° und 18 % bei 90°, und er wächst ohne Grenze, wenn der Startwinkel sich der kopfüber stehenden Lage bei 180° nähert. (Die letzten beiden Werte stammen aus der exakten Periode; die Kurzformel liegt bereits darunter.) Deshalb halten Uhrmacher den Ausschlag klein. Christiaan Huygens veröffentlichte 1673 eine exakte Lösung: Ein Körper, der auf einer Zykloide statt auf einem Kreisbogen geführt wird, hat eine Periode, die gar nicht von der Amplitude abhängt.

Andere Abweichungen vom Ideal sind ebenso konkret. Die eigene Masse $m_s$ einer Feder bewegt sich mit: Ihre Windungen nahe am Block bewegen sich fast so schnell wie der Block, die nahe am festen Ende kaum; insgesamt addieren sie etwa $m_s/3$ zur schwingenden Masse. Ein starrer Körper, der um einen Drehpunkt im Abstand $d$ von seinem Schwerpunkt schwingt, ist ein physikalisches Pendel mit $T=2\pi \sqrt{I/(mgd)}$, wobei $I$ sein Trägheitsmoment um den Drehpunkt ist; für einen punktförmigen Körper gilt $I=m{L}^2$ und $d=L$, und die Formel liefert $2\pi \sqrt{L/g}$. Eine Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit, $-b\dot{x}$ mit $\dot{x}$ der Geschwindigkeit und $b$ einer Konstante, lässt die Amplitude als $e^{-bt/(2m)}$ abklingen. Und periodisches Anstoßen mit einer Frequenz nahe $\omega$ baut eine große Schwingungsantwort auf, die Resonanz, die umso schärfer ist, je schwächer die Dämpfung.

Aufgabe: Knetmasse landet auf dem Block

Diese Aufgabe prüft die oben gefundene Aufgabenteilung: Die Gleichung legt $\omega$ fest, und der Zustand am Anfang legt die Amplitude fest. Ein plötzliches Ereignis ändert sowohl die Masse als auch den Startzustand, und das Ergebnis hängt davon ab, wann es passiert.

Als der Block der Animation ($m=1\mathrm{kg}$, $k=10N/m$, $A=0,10\mathrm{m}$) mit seiner Höchstgeschwindigkeit $A\omega \approx 0,32m/s$ durch die Mitte geht, fällt ein 1 kg schwerer Klumpen Knetmasse von knapp oberhalb darauf und bleibt kleben. Wie lauten die neue Periode und Amplitude? Und was ändert sich, wenn der Klumpen an einem Umkehrpunkt landet?

Zuerst der Stoß. Boden und Schwerkraft wirken senkrecht; während des kurzen Aufpralls wirkt also keine horizontale Kraft, und der horizontale Impuls bleibt erhalten. Die Knetmasse bringt keinen mit, also $1\cdot 0,316=2v^{\prime }$, was $v^{\prime }=0,158m/s$ ergibt. Der Aufprall ist so kurz, dass der Block sich nicht bewegt hat: Er ist noch bei $x_0=0$.

Zweitens die neue Frequenz. Die Feder bleibt gleich, die Masse hat sich aber verdoppelt, also ${\omega }^{\prime }=\sqrt{10/2}\approx 2,24rad/s$ und $T^{\prime }=2\pi /{\omega }^{\prime }\approx 2,81\mathrm{s}$, um den Faktor $\sqrt{2}$ länger.

Drittens die neue Amplitude. Die Bewegung beginnt bei $x_0=0$ mit der Geschwindigkeit $v^{\prime }$, also liefert die Amplitudenformel
$A^{\prime }=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}\right)}^2}=\frac{0,158}{2,24}\approx 0,071\mathrm{m}$
Der Block schwingt jetzt nur noch 7,1 cm weit aus, $A/\sqrt{2}$, und die Energie ist von 0,050 J auf $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,071^2=0,025\mathrm{J}$ gesunken. Die Hälfte ging beim Stoß verloren, wie immer, wenn ein bewegter Körper an einem gleich schweren ruhenden kleben bleibt: Das Paar bewegt sich mit halber Geschwindigkeit bei doppelter Masse, hat also halbe kinetische Energie.

Landet der Klumpen an einem Umkehrpunkt, ist der Block für einen Augenblick in Ruhe, es gibt also keine Geschwindigkeit zu teilen und keine Energie geht verloren. Der Block startet aus der Ruhe bei $x_0=0,10\mathrm{m}$: Die Amplitude bleibt 10 cm und die Energie 0,05 J. Die Periode beträgt wieder 2,81 s, denn sie hängt nur von $k$ und der neuen Masse ab, aber die Höchstgeschwindigkeit sinkt auf $A{\omega }^{\prime }\approx 0,22m/s$. Derselbe Stoß verkleinert also die Amplitude oder lässt sie unverändert, je nach Phase, in der er geschieht, während die Periode nur auf die Masse reagiert.

Grenzen der Gültigkeit

Jedes Modell hat einen Bereich, in dem es funktioniert. Der harmonische Schwinger hat zwei Grenzen: eine bei großen Auslenkungen, wo das hookesche Gesetz versagt, und eine bei sehr kleinen Energieschritten, wo die Quantenmechanik übernimmt.

Das hookesche Gesetz ist nur das erste Glied der Taylorentwicklung von $U$, gilt also nur für kleine Auslenkungen. Stahldraht bleibt nur bis zu einer Dehnung, dem relativen Längenzuwachs, von einem Bruchteil eines Prozents linear. Eine Schraubenfeder aus diesem Draht kann sich viel weiter dehnen, weil ihr Draht sich vor allem verdreht statt zu dehnen und jedes kurze Stück sich nur wenig verdreht. Jenseits des linearen Bereichs kommen die höheren Glieder von $U$ hinzu. Sie lassen die Periode von der Amplitude abhängen, wie beim Pendel, und sie fügen Oberschwingungen hinzu: Anteile der Bewegung bei ganzzahligen Vielfachen von $\omega$. Beim Pendel ist das Maß für „klein“ der Winkel: Damit die Periode innerhalb von 1 % von $2\pi \sqrt{L/g}$ bleibt, muss ${\theta }_0$ unter etwa 23° liegen.

Die Quantenmechanik setzt die andere Grenze: Die Energie eines Schwingers kann sich nur in Schritten von $\hslash \omega$ ändern, wobei $\hslash \approx 1,05\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$ die reduzierte Planck-Konstante ist. Für den Block der Animation ist $\hslash \omega \approx 3,3\times 10^{-34}\mathrm{J}$ gegenüber einer Energie von 0,05 J, also eine Quantenzahl von etwa $1,5\times 10^{32}$, sodass die Schritte völlig unsichtbar sind. Bei einem Molekül sieht das ganz anders aus. Chlorwasserstoff schwingt mit $\omega \approx 5,4\times 10^{14}rad/s$, also ist $\hslash \omega \approx 0,36\mathrm{eV}$, etwa vierzehnmal die typische thermische Energie $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{eV}$ bei Raumtemperatur (dabei ist $k_B$ die Boltzmann-Konstante und $T$ die absolute Temperatur). Stöße im Gas übertragen nur selten genug Energie, um das Molekül auf sein nächstes Niveau zu heben; es bleibt im Grundzustand mit der Nullpunktsenergie $\frac{1}{2}\hslash \omega$, und seine Schwingung trägt kaum etwas zur Wärmekapazität des Gases bei.

Wohin das führt

Die Gleichung dieser Lektion ist der Ausgangspunkt für einen großen Teil des restlichen Kurses. Füge Reibung und einen periodischen Antrieb hinzu, und sie wird zu der, die in „Dämpfung und Resonanz“ untersucht wird, wo der Gütefaktor bestimmt, wie lange ein Schwinger nachklingt und wie scharf seine Resonanz ist. Koppelt man viele Schwinger hintereinander, wandert ihre Bewegung als Welle, das Thema von „Grundlagen der Wellen“; in „Stehende Wellen“ ist jede Eigenschwingung einer Saite eine harmonische Schwingung mit eigenem $\omega$. Die Steifigkeit $k$ kommt aus „Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung“, der Referenzkreis aus „Kreisbewegung“, und dieselbe Mathematik kehrt in „Elektromagnetische Wellen“ und in den gequantelten Schwingern von „Schwarzkörperstrahlung und das Quant“ zurück.