Oscillations harmoniques

Débutant

Un enfant sur une balançoire, une masse qui rebondit au bout d'un ressort, une corde de guitare pincée : chacun va et vient autour d'une position de repos. Avançons pas à pas.

Étape 1. Écarter et lâcher. Éloignez l'objet de sa position de repos : quelque chose le ramène, le ressort, ou la pesanteur pour une balançoire. Il revient vite, dépasse le milieu, ralentit, s'arrête et repart. Quand la force de rappel grandit au même rythme que l'écart (deux fois plus loin, deux fois plus de force), le mouvement est dit harmonique.

Étape 2. Rapide au milieu, arrêté aux extrémités. L'objet va le plus vite en passant au centre et s'arrête un instant à chaque extrémité avant de faire demi-tour. Son énergie change sans cesse de forme : tout en énergie de mouvement au milieu, tout en énergie stockée (dans le ressort étiré, ou en hauteur pour une balançoire) aux extrémités.

Étape 3. Période et fréquence. La durée d'un aller-retour complet est la période. Le balancier d'une horloge comtoise a une période d'environ 2 secondes. La fréquence est le nombre d'oscillations par seconde, donc fréquence = 1 ÷ période : ici, une demi-oscillation par seconde.

Étape 4. Qu'est-ce qui fixe le rythme ? Une masse plus lourde au bout d'un ressort oscille plus lentement ; un ressort plus raide la fait aller plus vite. Pour un pendule, seule la longueur compte (avec la pesanteur) : un pendule plus long bat plus lentement, et une longueur quadruplée double la période. La masse du pendule n'y change rien.

Testez-vous : vous lâchez un pendule d'un peu plus loin, mais l'oscillation reste petite. Sa période change-t-elle ? (Non : il a plus de chemin à faire, mais il va plus vite.)

Dans l'animation, un ressort et un pendule gardent exactement le même rythme. Regardez la flèche bleue de vitesse : la plus longue quand l'objet passe au centre (« le plus vite »), elle se réduit à rien à chaque extrémité (« demi-tour »).

Intermédiaire

Ce qui oscille, et comment on le mesure

Tout oscillateur possède une position d'équilibre, où il pourrait rester au repos sans force résultante : la ligne en pointillés pour le bloc de l'animation, la verticale pour le pendule. L'élongation $x$ se mesure à partir de là, avec un signe : $x=+10\mathrm{cm}$ d'un côté, $x=-10\mathrm{cm}$ de l'autre. Sa valeur maximale est l'amplitude $A$. Aux points de rebroussement, $x=\pm A$, le corps s'arrête un instant, puis revient.

Un cycle complet, d'une extrémité à l'autre et retour, dure une période $T$, en secondes. La fréquence $f=1/T$ compte les cycles par seconde, en hertz (Hz). Les équations utilisent la pulsation $\omega =2\pi f=2\pi /T$, en radians par seconde, qui compte un cycle comme un tour de $2\pi$ radians.

Une force de rappel donne un cosinus

Écartez de sa position d'équilibre un bloc fixé à un ressort : le ressort le rappelle avec une force proportionnelle à l'élongation :
$F=-kx$
La raideur $k$ du ressort, en newtons par mètre, mesure sa dureté ; le signe moins dit que la force est dirigée vers l'équilibre. La deuxième loi de Newton donne $a=-(k/m)x$, une accélération proportionnelle à l'élongation et de sens opposé. C'est le mouvement harmonique, et sa position suit un cosinus :
$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$

La phase à l'origine $\phi$ dit où en était le cycle quand on a déclenché le chronomètre ; un lâcher sans vitesse en $x=+A$, comme dans l'animation, correspond à $\phi =0$. Un mouvement en cosinus a pour accélération $-{\omega }^{2}x$ : il convient donc au ressort seulement si ${\omega }^2=k/m$. Le ressort et la masse suffisent à fixer le rythme :

• $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
• $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
• $f=\frac{1}{T}$

L'amplitude n'apparaît nulle part ici. Doublez-la : à chaque étape du trajet, le bloc est deux fois plus loin, subit une force deux fois plus grande et va deux fois plus vite ; un chemin double parcouru à vitesse double prend le même temps. C'est l'isochronisme, qui a rendu possibles les horloges à pendule. L'amplitude fixe en revanche la vitesse maximale, $v_{\max }=A\omega$ au centre, et la plus grande accélération, $a_{\max }={\omega }^{2}A$ aux points de rebroussement.

Le pendule : la pesanteur joue le rôle du ressort

Un pendule simple est une petite masse au bout d'un fil léger de longueur $L$. Sa force de rappel est la composante du poids le long de l'arc, $mg\sin \theta$, où $\theta$ est l'angle avec la verticale. Pour de petits angles, $\sin \theta \approx \theta$ (en radians) et la longueur d'arc vaut $s=L\theta$ ; la force est donc $-(mg/L)s$ : celle d'un ressort de raideur $k=mg/L$. Dans la formule du ressort, la masse se simplifie :
$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

Une masse plus lourde est tirée plus fort, exactement en proportion de son inertie plus grande ; seules comptent donc $L$ et $g$ : une longueur quadruplée double la période, et sur la Lune, où $g$ est environ six fois plus faible, la période est $\sqrt{6}\approx 2,45$ fois plus longue. Aux 15° de l'animation, la vraie période n'est plus longue que de 0,4 %.

Un ressort suspendu verticalement garde la période du ressort horizontal : la pesanteur ne fait qu'abaisser l'équilibre de l'allongement statique $d=mg/k$. Comme $m/k=d/g$, la période vaut aussi $2\pi \sqrt{d/g}$ : une masse suspendue rebondit comme un pendule dont la longueur serait l'allongement statique du ressort.

Lire les flèches, et où se trouve l'énergie

La vue intermédiaire ajoute trois flèches. La flèche verte $x$ va de la ligne centrale en pointillés jusqu'au bloc. La flèche rouge $F$ pointe toujours dans le sens opposé : elle est la plus longue aux points de rebroussement et absente au centre. La flèche bleue $v$ est décalée d'un quart de cycle : nulle aux points de rebroussement, la plus longue au centre, et elle change de sens deux fois par cycle.

L'énergie explique ce schéma. À un point de rebroussement, elle est tout entière emmagasinée dans le ressort, $\frac{1}{2}k{A}^2$ ; au centre, elle est tout entière cinétique. Entre les deux, la répartition change, mais pas la somme :
$\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$
En posant $x=0$, on obtient la vitesse maximale, $v_{\max }=A\sqrt{k/m}=A\omega$.

Comme l'énergie emmagasinée croît comme $x^2$, la répartition est inégale : à mi-chemin, en $x=A/2$, le ressort ne contient qu'un quart de l'énergie, et le bloc a encore $\sqrt{3}/2$, soit environ 87 %, de sa vitesse maximale. Depuis un point de rebroussement, il lui faut un sixième de période pour parcourir la première moitié du chemin vers le centre, et un douzième pour la seconde.

Exemple résolu : les oscillateurs de l'animation

Le bloc a pour masse $m=1\mathrm{kg}$, le ressort a pour raideur $k=10N/m$, et le bloc est lâché sans vitesse en $A=10\mathrm{cm}$. Alors
$\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{10}\approx 3,16rad/s$
$T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{s},f=1/T\approx 0,50\mathrm{Hz}$
$v_{\max }=A\omega =0,10\cdot 3,16\approx 0,32m/s,F_{\max }=kA=10\cdot 0,10=1,0\mathrm{N}$

Ce sont les extrêmes des valeurs affichées : $x$ oscille entre $+10$ et $-10\mathrm{cm}$, $v$ entre $+0,32$ et $-0,32m/s$, et $F$ entre $-1,00$ et $+1,00\mathrm{N}$, avec $F=-1,00\mathrm{N}$ exactement quand $x$ indique $+10\mathrm{cm}$. La plus grande accélération vaut $1,0\mathrm{N}/1\mathrm{kg}=1,0m/{\mathrm{s}}^2$, et l'énergie vaut $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,05\mathrm{J}$, autant que $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,316^2$ au centre.

Le pendule voisin a pour longueur $L=g/{\omega }^2=9,81/10\approx 0,98\mathrm{m}$ ; $2\pi \sqrt{L/g}$ vaut alors les mêmes 1,99 s, et les deux restent en phase. Cette longueur n'a rien d'un hasard : $g/{\omega }^2=mg/k$ est aussi l'allongement statique que prendrait ce ressort sous le poids du bloc de 1 kg suspendu à son extrémité. Lâchée à 15° (0,262 rad), la masse du pendule parcourt $L{\theta }_0\approx 0,26\mathrm{m}$ le long de son arc de chaque côté et passe en bas à environ $\omega L{\theta }_0\approx 0,81m/s$.

Exemple résolu : une voiture sur ses ressorts

La caisse d'une voiture de 1200 kg s'enfonce de 1,0 cm sur ses ressorts quand un passager de 80 kg y monte. À quel rythme la voiture chargée rebondit-elle après une bosse ?

Traitons les quatre ressorts comme un seul. Le poids du passager, $80\cdot 9,81=784,8\mathrm{N}$, le comprime de 0,010 m, d'où $k=784,8/0,010=78480N/m$. Avec 1280 kg à bord :
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{1280}{78480}}\approx 0,80\mathrm{s}$
c'est-à-dire environ 1,25 rebond par seconde.

La règle de l'allongement statique le confirme : les 1280 kg comprimeraient les ressorts de $d=mg/k=0,16\mathrm{m}$, et $2\pi \sqrt{0,16/9,81}\approx 0,80\mathrm{s}$ de nouveau. Les suspensions sont en général réglées entre 1 et 1,5 Hz, une plage que les passagers jugent confortable ; les amortisseurs empêchent alors le rebond de se prolonger après chaque bosse.

Erreurs fréquentes

• Là où le bloc s'arrête, la force n'est pas nulle : à un point de rebroussement, la force et l'accélération sont maximales, 1,0 N et 1,0 m/s² pour le bloc de l'animation, et elles s'annulent au centre.
• Une oscillation plus ample n'a pas une période plus longue : doubler l'amplitude de l'animation, à 20 cm, laisse la période à 1,99 s, tandis que la vitesse maximale double et passe à 0,63 m/s.
• N'oubliez pas le $2\pi$ et ne confondez pas hertz et radians par seconde : pour 0,2 kg au bout d'un ressort de 80 N/m, $\sqrt{m/k}=0,05\mathrm{s}$, mais $T\approx 0,31\mathrm{s}$, $f\approx 3,2\mathrm{Hz}$ et $\omega =20rad/s$.
• La période d'un pendule ne dépend ni de la masse ni, pour de petites oscillations, de l'amplitude ; lâché de 60°, il met cependant environ 7 % de plus que ne l'indique la formule.
• Mesurez $x$ à partir de la position d'équilibre, et non de l'extrémité du ressort au repos ; pour un ressort suspendu, cette position est plus basse de $mg/k$, et la pesanteur n'intervient alors plus.

Où on le rencontre

Les horloges à pendule reposent sur l'isochronisme : un pendule battant la seconde, à raison de 1 s par battement et de 2 s par cycle, mesure $g/{\pi }^2\approx 0,994\mathrm{m}$, presque autant que le pendule de l'animation. Une montre à quartz compte les 32 768 vibrations par seconde d'un minuscule diapason de quartz ; les suspensions de voiture, les tours qui se balancent et les atomes d'un solide oscillent de façon presque harmonique. Amortissement et résonance ajoute les frottements et les poussées périodiques, et Notions de base sur les ondes montre comment des oscillateurs couplés transportent une onde.

Avancé

Une équation derrière de nombreux oscillateurs

Cette leçon porte sur une seule équation et sur la raison pour laquelle on la rencontre partout en physique. Commençons par le cas le plus simple : un bloc de masse $m$ posé sur un sol sans frottement et fixé à un ressort de raideur $k$. Notons $x$ l'élongation du bloc, c'est-à-dire son écart à la position où le ressort est au repos, et $\ddot{x}$ son accélération, la dérivée seconde de $x$ par rapport au temps.

Le ressort exerce la force de rappel $-kx$ (loi de Hooke) : elle est toujours dirigée vers le centre et proportionnelle à l'élongation. La deuxième loi de Newton s'écrit alors $m\ddot{x}=-kx$. En divisant par $m$ et en donnant un nom au rapport $k/m$, on obtient
$\ddot{x}=-{\omega }^{2}x,{\omega }^2=\frac{k}{m}$
Autrement dit, l'accélération est l'élongation changée de signe et multipliée par ${\omega }^2$. La constante $\omega$ a la dimension de l'inverse d'un temps ; elle se révélera être la pulsation du mouvement, en radians par seconde.

Ce qui vaut à cette équation une leçon entière, ce n'est pas le ressort, mais sa forme. Elle est linéaire : $x$ et ses dérivées n'y apparaissent qu'à la puissance un, jamais élevées au carré ni multipliées entre elles. Elle est du second ordre : la dérivée la plus haute est la dérivée seconde. Et ses coefficients sont constants. Tout système dont l'équation a cette forme se meut de la même façon, quelle que soit sa nature : la charge d'un condensateur qui se décharge à travers une bobine, le cristal de quartz d'une montre, la vibration d'étirement d'une molécule, un navire qui roule sur une eau calme ou les atomes d'un cristal que traverse le son. La section suivante montre pourquoi tant de systèmes y aboutissent.

Pourquoi les petites oscillations sont harmoniques

Les forces de rappel réelles sont rarement exactement proportionnelles à l'élongation. Cette section montre pourquoi cela ne compte pas pour les petites oscillations : près de tout équilibre stable, toute loi de force régulière ressemble à la loi de Hooke, et le système obéit donc à l'équation ci-dessus. C'est le sens de « harmonique » ici : un mouvement régi par $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$.

Légende

$x$	Position du système le long de sa ligne de mouvement.	$\mathrm{m}$
$U$	Énergie potentielle du système.	$\mathrm{J}$
$x_0$	Position de l'équilibre stable, là où $U$ est minimale.	$\mathrm{m}$
$U(x_0)$	Valeur de $U$ au minimum.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Hauteur de la parabole en pointillés au-dessus de $U(x_0)$ : l'approximation harmonique de $U$, avec $k=U^{\prime \prime }(x_0)$.	$\mathrm{J}$

La figure 1 esquisse l'énergie potentielle $U$ d'un système en fonction de sa position $x$. Le fond du puits, en $x_0$, est un équilibre stable : écartez le système d'un côté ou de l'autre, $U$ augmente, et la force, toujours dirigée vers le bas de cette courbe, le ramène. Regardez d'abord le point où la courbe pleine $U$ et la parabole en pointillés se touchent. Tout près de lui, on les distingue à peine. Plus loin, elles se séparent : à gauche, la courbe réelle monte plus raide que la parabole ; à droite, elle s'aplatit au-dessous d'elle.

Si la parabole convient, c'est grâce au développement de Taylor de $U$ autour de $x_0$. Son premier terme est la constante $U(x_0)$. Son terme linéaire, $U^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, est nul, car la pente de la courbe s'annule en un minimum. Le premier terme qui varie avec $x$ est donc le terme quadratique :
$U(x)\approx U(x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$
C'est la parabole en pointillés, avec $k=U^{\prime \prime }(x_0)$ ; l'étiquette $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ de la figure 1 indique de combien elle s'élève au-dessus de $U(x_0)$. La force est l'opposée de la pente de $U$ ; près du minimum, elle vaut donc $-dU/dx=-U^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0)$ : c'est la loi de Hooke, où l'équilibre $x_0$ tient la place du ressort au repos. En un minimum, $U^{\prime \prime }(x_0)>0$ : $k$ est donc positif et la force ramène bien le système.

Le pendule montre la recette à l'œuvre. Une masse $m$ au bout d'un fil de longueur $L$, écartée d'un angle $\theta$, s'élève de $L(1-\cos \theta )$ ; son énergie potentielle vaut donc $mgL(1-\cos \theta )$, où $g$ est l'accélération de la pesanteur. Pour de petits angles, $\cos \theta \approx 1-\frac{1}{2}{\theta }^2$, donc $U\approx \frac{1}{2}mgL{\theta }^2$ : une parabole en $\theta$, avec la raideur angulaire $mgL$ à la place de $k$. Ce qui s'oppose à la rotation est le moment d'inertie $m{L}^2$, à la place de $m$, d'où ${\omega }^2=mgL/(m{L}^2)=g/L$. La conclusion est générale : les petites oscillations autour de tout minimum où $U^{\prime \prime }(x_0)>0$ sont harmoniques, et seule leur fréquence dépend du système.

La solution générale et ses deux constantes

Résolvons maintenant l'équation. Le but est une formule pour $x(t)$ qui couvre tous les départs possibles, et un compte clair de ce que le départ peut changer.

Quelles fonctions redonnent elles-mêmes, multipliées par une constante négative, quand on les dérive deux fois ? Le cosinus et le sinus : $d^2(\cos \omega t)/d{t}^2=-{\omega }^2\cos \omega t$, et de même pour $\sin \omega t$. Comme l'équation est linéaire, une somme de solutions, chacune multipliée par une constante quelconque, est encore une solution. Une équation du second ordre laisse exactement deux constantes libres : l'une pour la position de départ, l'autre pour la vitesse de départ. Notons $x_0$ et $v_0$ la position et la vitesse à $t=0$ (désormais, $x_0$ désigne une position initiale, et l'équilibre est en $x=0$). Alors
$x(t)=x_0\cos \omega t+\frac{v_0}{\omega }\sin \omega t=A\cos (\omega t+\phi )$
La première forme se vérifie facilement : en $t=0$, elle donne $x_0$, et sa dérivée y donne $v_0$. La seconde réunit les deux termes en un seul cosinus, d'amplitude $A$, la plus grande élongation, et de phase à l'origine $\phi$, qui indique à quel moment du cycle on a déclenché le chronomètre. En développant $A\cos (\omega t+\phi )=A\cos \phi \cos \omega t-A\sin \phi \sin \omega t$ et en identifiant les termes, on obtient $A\cos \phi =x_0$ et $-A\sin \phi =v_0/\omega$, donc
$A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega {)}^2},\tan \phi =-v_0/(\omega x_0)$
Le partage des rôles est net : l'équation fixe $\omega$ ; le départ fixe $A$ et $\phi$.

Le bloc de l'animation rend cela concret. Il a $m=1\mathrm{kg}$ et $k=10N/m$, donc $\omega =\sqrt{10}\approx 3,16rad/s$ et la période vaut $T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{s}$. Il est lâché sans vitesse en $x_0=A=0,10\mathrm{m}$ ; ainsi $v_0=0$, $\phi =0$ et $x=A\cos \omega t$. Une première dérivation donne la vitesse, $v=-A\omega \sin \omega t$, qui s'écrit aussi $A\omega \cos (\omega t+\pi /2)$ : la courbe de la vitesse est celle de l'élongation décalée d'un quart de période vers les instants antérieurs, si bien que la vitesse est en avance d'un quart de période sur l'élongation. Une seconde dérivation donne l'accélération $a=-{\omega }^{2}x$, décalée d'une demi-période par rapport à l'élongation, en opposition de phase : maximale là où $x$ est maximal, mais de sens contraire.

La linéarité démontre aussi en une ligne l'isochronisme, c'est-à-dire le fait que la période ne dépend pas de l'amplitude. Si $x(t)$ est une solution, $\lambda x(t)$ en est une aussi pour toute constante $\lambda$, car multiplier les deux membres de $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ par $\lambda$ ne change rien. La copie étirée s'écarte $\lambda$ fois plus loin avec exactement le même rythme : une grande oscillation et une petite durent le même temps.

Un nombre complexe permet de porter les deux constantes de façon compacte. On écrit $x$ comme la partie réelle de $C{e}^{i\omega t}$, avec l'amplitude complexe $C=A{e}^{i\phi }$ ; la partie réelle de $A{e}^{i(\omega t+\phi )}$ est bien $A\cos (\omega t+\phi )$. L'avantage est que chaque dérivation par rapport au temps multiplie simplement $e^{i\omega t}$ par $i\omega$. L'équation devient $(i\omega {)}^{2}C=-{\omega }^{2}C$, vraie pour tout $C$ : l'équation différentielle s'est changée en algèbre. Ce raccourci rend maniables les oscillateurs amortis et forcés.

Le cercle de référence

Le mouvement harmonique a un jumeau géométrique : le mouvement uniforme sur un cercle. Ce jumeau explique pourquoi la phase est un angle et pourquoi $\omega$ se mesure en radians par seconde, et il donne la vitesse et l'accélération sans aucun calcul de dérivée.

Légende

$A$	Rayon du cercle : l'amplitude du mouvement de l'ombre.	$\mathrm{m}$
$\omega t+\phi$	Phase : l'angle dont le rayon a tourné depuis le sens positif de l'axe des $x$.	$\mathrm{rad}$
$x$	Position de l'ombre, mesurée depuis le centre (négative ici).	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Vitesse du point : tangente au cercle, de valeur $\omega A$.	$m/s$
$\vec{a}$	Accélération du point : dirigée vers le centre, de valeur ${\omega }^{2}A$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$v$	Vitesse de l'ombre : la composante horizontale de $\vec{v}$.	$m/s$
$a$	Accélération de l'ombre : la composante horizontale de $\vec{a}$, égale à $-{\omega }^{2}x$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

La figure 2 représente le cercle de référence. Un point parcourt un cercle de rayon $A$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, à la vitesse angulaire constante $\omega$. Au bout d'un temps $t$, son rayon a tourné de l'angle $\omega t+\phi$, compté à partir du sens positif de l'axe des $x$ ; sur la figure, c'est un peu plus d'un quart de tour, et le point est en haut à gauche. Abaissez la ligne en pointillés du point, verticalement, jusqu'au diamètre horizontal. Son pied, l'ombre du point (le petit cercle vide), est à $x=A\cos (\omega t+\phi )$ du centre : exactement la position du bloc.

Passons à la vitesse. La vitesse $\vec{v}$ du point est tangente au cercle et a pour valeur $\omega A$, car le point parcourt un arc de longueur $A$ pour chaque radian dont il tourne. L'ombre ne se déplace que le long du diamètre ; sa vitesse $v$ est donc la composante horizontale de $\vec{v}$ : $v=-\omega A\sin (\omega t+\phi )$. Sur la figure, $\vec{v}$ pointe vers le bas et la gauche, donc $v$ pointe vers la gauche.

Puis l'accélération. Le point tourne à vitesse de valeur constante sur un cercle ; son accélération $\vec{a}$ est donc centripète : dirigée vers le centre, de valeur ${\omega }^{2}A$. Sa composante horizontale est l'accélération de l'ombre :
$a=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$
Sur la figure, $x$ est négatif, donc $a$ pointe vers la droite, vers le centre, alors que l'ombre se déplace encore vers la gauche : elle ralentit à l'approche de son point de rebroussement en $-A$.

L'ombre obéit donc à l'équation de cette leçon et se déplace exactement comme le bloc. Le mouvement harmonique est un mouvement circulaire uniforme vu par la tranche. C'est pourquoi la phase $\omega t+\phi$ est un angle et pourquoi $\omega$, la vitesse angulaire du point, se mesure en radians par seconde. C'est aussi l'image qui se cache derrière le nombre complexe de la section précédente : $C{e}^{i\omega t}$ est le point tournant dessiné dans le plan complexe, et $x$ est son ombre sur l'axe réel.

L'ellipse de phase

Le cercle de référence suit le mouvement dans l'espace. Une seconde image suit l'état de l'oscillateur : sa position et sa vitesse ensemble, qui suffisent à prédire toute la suite du mouvement. Dans cette image, la conservation de l'énergie devient une forme.

Légende

$x$	Position, sur l'axe horizontal.	$\mathrm{m}$
$v$	Vitesse, sur l'axe vertical.	$m/s$
$A$	Amplitude, le plus grand $x$ : le demi-axe selon $x$.	$\mathrm{m}$
$\omega A$	Plus grande vitesse : le demi-axe selon $v$.	$m/s$
$E$	Énergie totale $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, la même tout le long de l'ellipse.	$\mathrm{J}$

La figure 3 porte la vitesse $v$ en ordonnée et la position $x$ en abscisse. Chaque instant du mouvement est un point $(x,v)$ ; au fil du temps, ce point se déplace et trace une courbe fermée, le portrait de phase. Comme $x=A\cos \omega t$ et $v=-\omega A\sin \omega t$, cette courbe est une ellipse. La conservation de l'énergie en donne directement l'équation : $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=E$, et en divisant les deux membres par $E=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$, on obtient
$\frac{x^2}{A^2}+\frac{v^2}{(A\omega {)}^2}=1$

Les demi-axes valent $A$ selon $x$ et $\omega A$ selon $v$. Le premier est la plus grande élongation, où toute l'énergie est dans le ressort ; le second est la plus grande vitesse, où toute l'énergie est dans le bloc. Pour le bloc de l'animation, ils valent 0,10 m et 0,32 m/s. Tous les points de l'ellipse ont la même énergie $E$, et c'est pourquoi la figure étiquette la courbe elle-même $E$ ; une énergie plus grande donnerait une ellipse plus grande, de même forme.

Suivons maintenant le mouvement. Le point part de l'extrémité droite de l'ellipse, $(A,0)$, et la parcourt dans le sens des aiguilles d'une montre, un tour par période. Ce sens est imposé : dans la moitié supérieure, $v>0$, donc $x$ augmente et le point va vers la droite ; dans la moitié inférieure, $v<0$, et il va vers la gauche. Le point plein de la figure 3 est un instant, en bas à droite : le bloc est encore du côté positif, mais il revient déjà. Les lignes en pointillés lisent son $x$ et son $v$ sur les axes. Portez $v/\omega$ en ordonnée au lieu de $v$, et les deux demi-axes deviennent $A$ : l'ellipse redevient le cercle de référence.

La vue experte de l'animation montre cette ellipse à côté du graphe de $x(t)$, un cosinus entre $\pm 10\mathrm{cm}$. La pente de ce graphe est $v$, et sa courbure suit $a=-{\omega }^{2}x$ : la courbe tourne donc toujours sa concavité vers l'axe des temps, le plus fortement aux sommets et aux creux, où $|x|$ est maximal, et pas du tout là où elle coupe zéro.

Deux faits plus profonds découlent de l'ellipse. D'abord, sur un cycle, ${\sin }^2$ et ${\cos }^2$ ont tous deux pour moyenne $\frac{1}{2}$ : les énergies cinétique et potentielle moyennes sont donc égales, chacune valant $E/2$. Pour le bloc, $E=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,050\mathrm{J}$, si bien que chacune vaut en moyenne $0,025\mathrm{J}$.

Ensuite, tracez l'ellipse avec la quantité de mouvement $p=mv$ en ordonnée au lieu de $v$. Ses demi-axes sont alors $A$ et $mA\omega$, et son aire vaut $\pi A\cdot mA\omega =2\pi E/\omega$, environ $0,099\mathrm{J}\mathrm{s}$ ici. Cette aire est un invariant adiabatique, une grandeur qui reste fixe quand on modifie lentement le système : quand $k$ ou $L$ varie lentement par rapport à la période, l'aire, et donc $E/\omega$, reste constante. Raccourcissez progressivement le fil d'un pendule, et son énergie augmente en proportion de sa fréquence. Dans l'ancienne théorie des quanta, on égalait cette aire à un nombre entier de constantes de Planck $h$ ; la théorie complète donne les niveaux d'énergie $E=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$, avec $\hslash =h/2\pi$ et $n$ un entier à partir de 0.

Au-delà de l'oscillateur idéal

Les oscillateurs réels ne sont idéaux qu'approximativement. Le pendule en est l'exemple le plus clair, car on peut écrire son équation exacte et la comparer à l'équation harmonique.

Légende

$L$	Longueur du fil, du point d'attache à la masse.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Angle entre le fil et la verticale.	$\mathrm{rad}$
$s$	Longueur du trajet du point le plus bas à la masse : $s=L\theta$.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Poids de la masse, vertical vers le bas.	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	Composante du poids le long de la trajectoire, vers le point le plus bas : la force de rappel.	$\mathrm{N}$
$mg\cos \theta$	Composante du poids le long du fil, à l'opposé du point d'attache ; elle ne peut pas changer la valeur de la vitesse.	$\mathrm{N}$

La figure 4 montre le pendule au cours d'une oscillation. La masse pend au bout d'un fil de longueur $L$ et a été écartée de la verticale d'un angle $\theta$ ; elle se trouve donc à la distance $s=L\theta$, mesurée le long de l'arc, du point le plus bas. Son poids $m\vec{g}$, vertical vers le bas, se décompose en deux composantes perpendiculaires. La composante $mg\cos \theta$ est dirigée le long du fil, à l'opposé du point d'attache. Elle n'a aucune composante le long de la trajectoire ; elle ne peut donc ni accélérer ni ralentir la masse, et la tension du fil agit sur la même droite. La composante $mg\sin \theta$ est dirigée le long de la trajectoire, vers le point le plus bas. Elle seule ramène la masse.

L'équation exacte s'obtient en étudiant la rotation autour du point d'attache. La force de rappel $mg\sin \theta$ agit avec le bras de levier $L$ ; son moment vaut donc $-mgL\sin \theta$. Le moment d'inertie de la masse par rapport au point d'attache est $m{L}^2$, et le moment des forces est égal au moment d'inertie multiplié par l'accélération angulaire. En divisant par $m{L}^2$ :
$\ddot{\theta }=-\frac{g}{L}\sin \theta$
Pour de petits angles, $\sin \theta \approx \theta$ (en radians), et la force de rappel $mg\sin \theta$ est proche de $mg\theta =(mg/L)s$. C'est encore la loi de Hooke, pour le déplacement $s$ le long de l'arc, avec $k=mg/L$ et ${\omega }^2=k/m=g/L$, comme on l'a trouvé par l'énergie dans la deuxième section.

Le pendule n'est donc harmonique qu'approximativement. Comme $\sin \theta <\theta$ pour tout angle positif, le vrai moment de rappel reste inférieur au moment linéaire : la masse est ramenée moins fort que ne le dit la loi harmonique et met plus de temps à revenir. La période croît donc avec l'amplitude ${\theta }_0$, à peu près comme $2\pi \sqrt{L/g}(1+{\theta }_0^2/16)$ pour des oscillations modérées. L'excès par rapport à $2\pi \sqrt{L/g}$ est de 0,19 % à 10°, de 0,43 % aux 15° de l'animation, de 7,3 % à 60° et de 18 % à 90°, et il croît sans limite quand le point de départ approche de la position renversée, à 180°. (Les deux dernières valeurs viennent de la période exacte ; la formule courte reste déjà en dessous.) C'est pourquoi les horlogers gardent l'oscillation petite. Christiaan Huygens a publié en 1673 un remède exact : une masse guidée le long d'une cycloïde plutôt que d'un arc de cercle a une période qui ne dépend plus du tout de l'amplitude.

D'autres écarts à l'idéal sont tout aussi concrets. La masse propre du ressort, $m_s$, se déplace elle aussi : ses spires proches du bloc vont presque aussi vite que lui, celles proches de l'extrémité fixe bougent à peine, et au total elles ajoutent environ $m_s/3$ à la masse qui oscille. Un solide qui oscille autour d'un axe situé à une distance $d$ de son centre de masse est un pendule pesant, de période $T=2\pi \sqrt{I/(mgd)}$, où $I$ est son moment d'inertie par rapport à l'axe ; pour une masse ponctuelle, $I=m{L}^2$ et $d=L$, et la formule redonne $2\pi \sqrt{L/g}$. Une force de frottement proportionnelle à la vitesse, $-b\dot{x}$, où $\dot{x}$ est la vitesse et $b$ une constante, fait décroître l'amplitude comme $e^{-bt/(2m)}$. Enfin, une poussée périodique de pulsation voisine de $\omega$ provoque une forte réponse, la résonance, d'autant plus aiguë que l'amortissement est faible.

Problème résolu : un morceau de pâte tombe sur le bloc

Ce problème met à l'épreuve le partage des rôles trouvé plus haut : l'équation fixe $\omega$, et l'état de départ fixe l'amplitude. Un événement soudain change à la fois la masse et l'état de départ, et le résultat dépend du moment où il se produit.

Quand le bloc de l'animation ($m=1\mathrm{kg}$, $k=10N/m$, $A=0,10\mathrm{m}$) passe au centre à sa vitesse maximale, $A\omega \approx 0,32m/s$, un morceau de pâte à modeler de 1 kg, lâché juste au-dessus de lui, tombe dessus et y reste collé. Quelles sont la nouvelle période et la nouvelle amplitude ? Et qu'est-ce qui change si le morceau tombe à un point de rebroussement ?

D'abord, le choc. Le sol et la pesanteur agissent verticalement : pendant le bref impact, aucune force horizontale n'agit, et la quantité de mouvement horizontale se conserve. La pâte n'en apporte aucune, donc $1\cdot 0,316=2v^{\prime }$, d'où $v^{\prime }=0,158m/s$. Le choc est si bref que le bloc n'a pas bougé : il est toujours en $x_0=0$.

Ensuite, la nouvelle pulsation. Le ressort n'a pas changé mais la masse a doublé, donc ${\omega }^{\prime }=\sqrt{10/2}\approx 2,24rad/s$ et $T^{\prime }=2\pi /{\omega }^{\prime }\approx 2,81\mathrm{s}$, plus long d'un facteur $\sqrt{2}$.

Enfin, la nouvelle amplitude. Le mouvement repart de $x_0=0$ avec la vitesse $v^{\prime }$ ; la formule de l'amplitude donne donc
$A^{\prime }=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}\right)}^2}=\frac{0,158}{2,24}\approx 0,071\mathrm{m}$
Le bloc ne s'écarte plus que de 7,1 cm, soit $A/\sqrt{2}$, et l'énergie est tombée de 0,050 J à $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,071^2=0,025\mathrm{J}$. La moitié en a été perdue dans le choc, comme toujours quand un corps en mouvement se colle à un corps de même masse au repos : l'ensemble avance deux fois moins vite avec une masse double, et n'a donc que la moitié de l'énergie cinétique.

Si le morceau tombe à un point de rebroussement, le bloc est un instant au repos : il n'y a aucune vitesse à partager, et aucune énergie n'est perdue. Le bloc repart sans vitesse de $x_0=0,10\mathrm{m}$ : l'amplitude reste de 10 cm et l'énergie de 0,05 J. La période vaut de nouveau 2,81 s, car elle ne dépend que de $k$ et de la nouvelle masse, mais la vitesse maximale tombe à $A{\omega }^{\prime }\approx 0,22m/s$. Le même choc réduit donc l'amplitude ou la laisse intacte selon la phase à laquelle il se produit, tandis que la période ne réagit qu'à la masse.

Limites de validité

Tout modèle a un domaine où il fonctionne. L'oscillateur harmonique a deux limites : l'une aux grands déplacements, où la loi de Hooke cesse de valoir, l'autre aux tout petits échanges d'énergie, où la mécanique quantique prend le relais.

La loi de Hooke n'est que le premier terme du développement de Taylor de $U$ ; elle ne vaut donc que pour de petits déplacements. Un fil d'acier ne reste linéaire que jusqu'à une déformation, c'est-à-dire un allongement relatif, d'une fraction de pour cent. Un ressort hélicoïdal fait de ce fil peut pourtant s'étirer beaucoup plus, car son fil se tord bien plus qu'il ne s'allonge, et chaque petit tronçon ne se tord que légèrement. Au-delà du domaine linéaire, les termes d'ordre supérieur de $U$ interviennent. Ils font dépendre la période de l'amplitude, comme pour le pendule, et ajoutent des harmoniques : des composantes du mouvement à des multiples entiers de $\omega$. Pour le pendule, la mesure de « petit » est l'angle : garder la période à moins de 1 % de $2\pi \sqrt{L/g}$ exige ${\theta }_0$ inférieur à environ 23°.

La mécanique quantique pose l'autre limite : l'énergie d'un oscillateur ne peut varier que par pas de $\hslash \omega$, où $\hslash \approx 1,05\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$ est la constante de Planck réduite. Pour le bloc de l'animation, $\hslash \omega \approx 3,3\times 10^{-34}\mathrm{J}$ face à une énergie de 0,05 J, soit un nombre quantique d'environ $1,5\times 10^{32}$ : les pas sont absolument invisibles. Pour une molécule, c'est une autre histoire. Le chlorure d'hydrogène vibre à $\omega \approx 5,4\times 10^{14}rad/s$, donc $\hslash \omega \approx 0,36\mathrm{eV}$, environ quatorze fois l'énergie thermique typique $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{eV}$ à température ambiante (ici, $k_B$ est la constante de Boltzmann et $T$ la température absolue). Les chocs dans le gaz apportent rarement assez d'énergie pour faire monter la molécule au niveau suivant ; elle reste donc dans son état fondamental, d'énergie du point zéro $\frac{1}{2}\hslash \omega$, et sa vibration n'ajoute presque rien à la capacité thermique du gaz.

Ce qui vient ensuite

L'équation de cette leçon est le point de départ d'une grande partie du reste du cours. Ajoutez un frottement et une excitation périodique, et elle devient celle qu'étudie la leçon Amortissement et résonance, où le facteur de qualité fixe combien de temps un oscillateur continue de vibrer et à quel point sa résonance est aiguë. Couplez de nombreux oscillateurs en rangée, et leur mouvement se propage sous forme d'onde, sujet de Notions de base sur les ondes ; dans Ondes stationnaires, chaque mode propre d'une corde est un mouvement harmonique avec sa propre pulsation $\omega$. La raideur $k$ vient de la leçon Élasticité : loi de Hooke, contrainte et déformation, le cercle de référence de Mouvement circulaire, et les mêmes mathématiques reviennent dans Ondes électromagnétiques et dans les oscillateurs quantifiés de Rayonnement du corps noir et quanta.