Movimento harmônico simples

Iniciante

Uma criança num balanço, um peso oscilando numa mola, uma corda de violão puxada e solta: cada um vai e volta em torno de uma posição de repouso.

Passo 1. Puxe e solte. Afaste o objeto da posição de repouso e algo o puxa de volta: a mola, ou a gravidade no caso do balanço. Ele passa do meio, para e volta. Quando a força de retorno cresce na mesma proporção que a distância (o dobro de afastamento, o dobro de força), o movimento se chama movimento harmônico simples.

Passo 2. Rápido no meio, parado nas pontas. O objeto é mais rápido ao passar pelo centro e para por um instante em cada extremo antes de voltar. Sua energia não para de mudar de forma: toda em movimento no meio, toda armazenada nas pontas (na mola esticada, ou como altura no balanço).

Passo 3. Período e frequência. O tempo de um vaivém completo é o período. O pêndulo de um relógio de pêndulo tem período de cerca de 2 segundos. A frequência é o número de oscilações por segundo, então frequência = 1 ÷ período: aqui, meia oscilação por segundo.

Passo 4. O que define o ritmo? Uma massa maior numa mola oscila mais devagar; uma mola mais rígida a torna mais rápida. No pêndulo só importa o comprimento (e a gravidade): um pêndulo mais longo balança mais devagar, e quatro vezes o comprimento dá o dobro do período. O peso do corpo do pêndulo não faz diferença.

Confira você mesmo: você solta um pêndulo de um pouco mais longe, mas a oscilação continua pequena. O período muda? (Não: ele tem mais distância a percorrer, mas se move mais depressa.)

Na animação, uma mola e um pêndulo mantêm exatamente o mesmo ritmo. Observe a seta azul da velocidade: ela é a mais longa quando o objeto passa pelo centro (“mais rápido”), e encolhe até zero em cada extremo (“volta”).

Intermediário

O que oscila, e como medimos

Todo oscilador tem uma posição de equilíbrio, onde poderia ficar em repouso sem força resultante: a linha tracejada para o bloco na animação, a vertical para o pêndulo. O deslocamento $x$ é medido a partir dali, com sinal: $x=+10\mathrm{cm}$ de um lado, $x=-10\mathrm{cm}$ do outro. Seu maior valor é a amplitude $A$. Nos pontos de retorno, $x=\pm A$; o corpo para por um instante e volta.

Um ciclo completo, ida, travessia e volta, leva o período $T$, em segundos. A frequência $f=1/T$ conta os ciclos por segundo, em hertz (Hz). As equações usam a frequência angular $\omega =2\pi f=2\pi /T$, em radianos por segundo, que conta um ciclo como uma volta de $2\pi$ radianos.

Uma força restauradora dá um cosseno

Puxe um bloco preso a uma mola para o lado, e a mola o puxa de volta com uma força proporcional ao deslocamento:
$F=-kx$
A constante elástica $k$, em newtons por metro, mede a rigidez; o sinal de menos indica que a força aponta de volta para a posição de equilíbrio. A segunda lei de Newton dá $a=-(k/m)x$, uma aceleração proporcional ao deslocamento e de sentido oposto a ele. Esse é o movimento harmônico simples, e sua posição segue um cosseno:
$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$

A constante de fase $\phi$ indica em que ponto do ciclo o relógio foi iniciado; uma liberação do repouso em $x=+A$, como na animação, tem $\phi =0$. Um movimento cossenoidal tem aceleração $-{\omega }^{2}x$, então ele só combina com a mola se ${\omega }^2=k/m$. Somente a mola e a massa definem o ritmo:

• $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
• $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
• $f=\frac{1}{T}$

A amplitude não aparece em lugar nenhum. Dobre-a, e em cada etapa da trajetória o bloco estará duas vezes mais afastado, sentirá o dobro da força e se moverá duas vezes mais rápido: o dobro do caminho na velocidade dobrada leva o mesmo tempo. Isso é isocronismo, que tornou possíveis os relógios de pêndulo. A amplitude define, sim, a velocidade máxima, $v_{\max }=A\omega$ no centro, e a maior aceleração, $a_{\max }={\omega }^{2}A$ nos pontos de retorno.

O pêndulo: a gravidade faz o papel da mola

Um pêndulo simples é um corpo pequeno preso a um fio leve de comprimento $L$. Sua força restauradora é a parte da gravidade ao longo do arco, $mg\sin \theta$, onde $\theta$ é o ângulo com a vertical. Para ângulos pequenos, $\sin \theta \approx \theta$ (em radianos) e o comprimento do arco é $s=L\theta$, então a força é $-(mg/L)s$: uma mola com $k=mg/L$. Na fórmula da mola, a massa se cancela:
$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

Um corpo mais pesado é puxado com mais força, na mesma proporção de sua maior inércia, então só importam $L$ e $g$: quatro vezes o comprimento dá o dobro do período, e na Lua, onde $g$ é cerca de seis vezes menor, o período fica $\sqrt{6}\approx 2,45$ vezes maior. Com os 15° da animação, o período verdadeiro é apenas 0,4% maior.

Uma mola pendurada na vertical mantém o período de uma mola horizontal: a gravidade apenas desloca a posição de equilíbrio pelo alongamento estático $d=mg/k$. Como $m/k=d/g$, o período também é $2\pi \sqrt{d/g}$: uma massa pendurada balança como um pêndulo de comprimento igual ao alongamento estático da mola.

Lendo as setas, e onde está a energia

A visão intermediária acrescenta três setas. A seta verde $x$ vai da linha central tracejada até o bloco. A seta vermelha $F$ sempre aponta no sentido oposto, mais longa nos pontos de retorno e ausente no centro. A seta azul $v$ está um quarto de ciclo fora de fase: zero nos pontos de retorno, mais longa no centro, invertendo-se duas vezes por ciclo.

A energia explica o padrão. Num ponto de retorno, toda ela está armazenada na mola, $\frac{1}{2}k{A}^2$; no centro, toda é cinética. No meio do caminho, as parcelas mudam, mas a soma não:
$\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$
Fazendo $x=0$, obtém-se a velocidade máxima, $v_{\max }=A\sqrt{k/m}=A\omega$.

Como a energia armazenada cresce com $x^2$, as parcelas são desiguais: na metade do caminho, em $x=A/2$, a mola guarda apenas um quarto da energia, e o bloco ainda tem $\sqrt{3}/2$, cerca de 87%, de sua velocidade máxima. Desde um ponto de retorno, ele leva um sexto do período para percorrer a primeira metade do caminho até o centro, e um doze avos para a segunda.

Exemplo resolvido: os osciladores da animação

O bloco tem $m=1\mathrm{kg}$, a mola tem $k=10N/m$, e o bloco é liberado do repouso em $A=10\mathrm{cm}$. Então
$\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{10}\approx 3,16rad/s$
$T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{s},f=1/T\approx 0,50\mathrm{Hz}$
$v_{\max }=A\omega =0,10\cdot 3,16\approx 0,32m/s,F_{\max }=kA=10\cdot 0,10=1,0\mathrm{N}$

Esses são os extremos dos valores exibidos: $x$ oscila entre $+10$ e $-10\mathrm{cm}$, $v$ entre $+0,32$ e $-0,32m/s$, e $F$ entre $-1,00$ e $+1,00\mathrm{N}$, com $F=-1,00\mathrm{N}$ exatamente quando $x$ marca $+10\mathrm{cm}$. A maior aceleração é $1,0\mathrm{N}/1\mathrm{kg}=1,0m/{\mathrm{s}}^2$, e a energia é $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,05\mathrm{J}$, a mesma que $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,316^2$ no centro.

O pêndulo ao lado tem $L=g/{\omega }^2=9,81/10\approx 0,98\mathrm{m}$, então $2\pi \sqrt{L/g}$ dá os mesmos 1,99 s e os dois ficam em sincronia. O comprimento não é coincidência: $g/{\omega }^2=mg/k$ é também o alongamento estático que essa mola sofreria com o bloco de 1 kg pendurado nela. Solto de 15° (0.262 rad), o corpo oscila $L{\theta }_0\approx 0,26\mathrm{m}$ ao longo do arco para cada lado e passa pelo ponto mais baixo com cerca de $\omega L{\theta }_0\approx 0,81m/s$.

Exemplo resolvido: um carro sobre suas molas

A carroceria de 1200 kg de um carro afunda 1,0 cm nas molas quando um passageiro de 80 kg entra. Com que ritmo o carro carregado balança depois de um solavanco?

Trate as quatro molas como uma só. O peso do passageiro, $80\cdot 9,81=784,8\mathrm{N}$, comprime-a em 0.010 m, então $k=784,8/0,010=78480N/m$. Com 1280 kg a bordo:
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{1280}{78480}}\approx 0,80\mathrm{s}$
ou seja, cerca de 1,25 balanços por segundo.

A regra do alongamento estático confere: os 1280 kg completos comprimem as molas em $d=mg/k=0,16\mathrm{m}$, e $2\pi \sqrt{0,16/9,81}\approx 0,80\mathrm{s}$ de novo. As suspensões costumam ser ajustadas para 1 a 1,5 Hz, faixa que os passageiros acham confortável; os amortecedores então impedem que o balanço continue depois de cada solavanco.

Erros comuns

• Onde o bloco para, a força não é zero: num ponto de retorno, a força e a aceleração são máximas, 1,0 N e 1,0 m/s² para o bloco da animação, e no centro se anulam.
• Uma oscilação maior não demora mais: dobrar a amplitude da animação para 20 cm deixa o período em 1,99 s, enquanto a velocidade máxima dobra para 0,63 m/s.
• Mantenha o $2\pi$ e não misture hertz com radianos por segundo: para 0,2 kg numa mola de 80 N/m, $\sqrt{m/k}=0,05\mathrm{s}$, mas $T\approx 0,31\mathrm{s}$, $f\approx 3,2\mathrm{Hz}$ e $\omega =20rad/s$.
• O período de um pêndulo não depende da massa do corpo nem, para oscilações pequenas, da amplitude; solto de 60°, porém, ele leva cerca de 7% mais tempo do que a fórmula indica.
• Meça $x$ a partir da posição de equilíbrio, não a partir da extremidade da mola relaxada; numa mola pendurada essa posição fica $mg/k$ abaixo, e então a gravidade desaparece da conta.

Onde você encontra isso

Os relógios de pêndulo dependem do isocronismo: um pêndulo de segundos, 1 s por oscilação e 2 s por ciclo, tem $g/{\pi }^2\approx 0,994\mathrm{m}$ de comprimento, quase o pêndulo da animação. Um relógio de quartzo conta as 32 768 vibrações por segundo de um minúsculo diapasão de cristal; suspensões de carros, torres que balançam e os átomos de um sólido oscilam de forma quase harmônica simples. Amortecimento e ressonância acrescentam atrito e empurrões periódicos, e Fundamentos das ondas mostra como osciladores acoplados transportam uma onda.

Avançado

Uma equação por trás de muitos osciladores

Esta lição trata de uma única equação e da razão de ela aparecer em toda a física. Comece pelo caso mais simples: um bloco de massa $m$ sobre um piso sem atrito, preso a uma mola de rigidez $k$. Seja $x$ o deslocamento do bloco a partir do ponto em que a mola está relaxada, e escreva $\ddot{x}$ para a sua aceleração, a derivada segunda de $x$ em relação ao tempo.

A mola puxa de volta com a força $-kx$ (lei de Hooke): ela sempre aponta para o centro e cresce em proporção ao deslocamento. A segunda lei de Newton então fica $m\ddot{x}=-kx$. Dividindo por $m$ e nomeando a razão $k/m$, temos
$\ddot{x}=-{\omega }^{2}x,{\omega }^2=\frac{k}{m}$
Em palavras: a aceleração é o deslocamento invertido e multiplicado por ${\omega }^2$. A constante $\omega$ tem a unidade de um inverso de tempo; ela se revelará a frequência angular do movimento, em radianos por segundo.

O que dá a esta equação uma lição inteira não é a mola, e sim a forma dela. Ela é linear: $x$ e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência, nunca ao quadrado ou multiplicados entre si. É de segunda ordem: a derivada mais alta é a segunda. E seus coeficientes são constantes. Qualquer sistema cuja equação tenha essa forma se move do mesmo modo, qualquer que seja o material: a carga de um capacitor se descarregando por uma bobina, o cristal de quartzo de um relógio, a vibração de estiramento de uma molécula, um navio rolando em águas calmas e os átomos de um cristal pelo qual passa o som. A próxima seção mostra por que tantos sistemas acabam nessa forma.

Por que pequenas oscilações são harmônicas

Forças restauradoras reais raramente são exatamente proporcionais ao deslocamento. Esta seção mostra por que isso não importa para pequenas oscilações: perto de qualquer equilíbrio estável, toda lei de força suave se parece com a lei de Hooke, de modo que o sistema obedece à equação acima. É isso que “harmônico” significa aqui: um movimento governado por $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$.

Legenda

$x$	Posição do sistema ao longo de sua linha de movimento.	$\mathrm{m}$
$U$	Energia potencial do sistema.	$\mathrm{J}$
$x_0$	Posição do equilíbrio estável, onde $U$ é mínimo.	$\mathrm{m}$
$U(x_0)$	Valor de $U$ no mínimo.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Altura da parábola tracejada acima de $U(x_0)$: a aproximação harmônica de $U$, com $k=U^{\prime \prime }(x_0)$.	$\mathrm{J}$

A Figura 1 esboça a energia potencial $U$ de algum sistema em função de sua posição $x$. O fundo do poço, em $x_0$, é um equilíbrio estável: afaste o sistema para qualquer lado e $U$ sobe, de modo que a força, que sempre aponta para baixo nessa curva, o empurra de volta. Olhe primeiro para o ponto onde a curva contínua $U$ e a parábola tracejada se tocam. Perto dele, as duas são difíceis de distinguir. Mais longe, elas se separam: à esquerda a curva real sobe mais íngreme que a parábola, e à direita ela se achata abaixo dela.

A parábola se ajusta por causa da expansão de Taylor de $U$ em torno de $x_0$. Seu primeiro termo é a constante $U(x_0)$. O termo linear, $U^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, se anula, porque a inclinação da curva é zero em um mínimo. Então o primeiro termo que muda com $x$ é o quadrático:
$U(x)\approx U(x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$
Essa é a parábola tracejada, com $k=U^{\prime \prime }(x_0)$; o rótulo $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ na Figura 1 mostra quanto ela sobe acima de $U(x_0)$. A força é menos a inclinação de $U$, então perto do mínimo ela é $-dU/dx=-U^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0)$: a lei de Hooke, com o equilíbrio $x_0$ no lugar da mola relaxada. Em um mínimo $U^{\prime \prime }(x_0)>0$, portanto $k$ é positivo e a força realmente puxa de volta.

O pêndulo mostra a receita em ação. Um corpo de massa $m$ num fio de comprimento $L$, afastado pelo ângulo $\theta$, sobe $L(1-\cos \theta )$, então sua energia potencial é $mgL(1-\cos \theta )$, onde $g$ é a aceleração da gravidade. Para ângulos pequenos, $\cos \theta \approx 1-\frac{1}{2}{\theta }^2$, logo $U\approx \frac{1}{2}mgL{\theta }^2$: uma parábola em $\theta$, com a rigidez angular $mgL$ no lugar de $k$. O que resiste ao giro é o momento de inércia $m{L}^2$, no lugar de $m$, então ${\omega }^2=mgL/(m{L}^2)=g/L$. A conclusão é geral: pequenas oscilações em torno de qualquer mínimo com $U^{\prime \prime }(x_0)>0$ são harmônicas, e só a frequência depende do sistema.

A solução geral e suas duas constantes

Agora resolvemos a equação. O objetivo é uma fórmula para $x(t)$ que cubra todo início possível, e uma contagem clara do que o início pode mudar.

Quais funções voltam a ser elas mesmas, multiplicadas por uma constante negativa, quando derivadas duas vezes? O cosseno e o seno: $d^2(\cos \omega t)/d{t}^2=-{\omega }^2\cos \omega t$, e o mesmo vale para $\sin \omega t$. Como a equação é linear, uma soma de soluções, cada uma multiplicada por uma constante qualquer, é novamente uma solução. Uma equação de segunda ordem deixa livres exatamente duas constantes: uma para a posição inicial e outra para a velocidade inicial. Escreva $x_0$ e $v_0$ para a posição e a velocidade em $t=0$ (daqui em diante, $x_0$ é uma posição inicial, e o equilíbrio está em $x=0$). Então
$x(t)=x_0\cos \omega t+\frac{v_0}{\omega }\sin \omega t=A\cos (\omega t+\phi )$
A primeira forma é fácil de conferir: em $t=0$ ela dá $x_0$, e sua derivada ali dá $v_0$. A segunda forma junta os dois termos num único cosseno, com a amplitude $A$, o maior deslocamento, e a constante de fase $\phi$, que indica em que ponto do ciclo o relógio foi iniciado. Expandindo $A\cos (\omega t+\phi )=A\cos \phi \cos \omega t-A\sin \phi \sin \omega t$ e igualando os termos, obtemos $A\cos \phi =x_0$ e $-A\sin \phi =v_0/\omega$, logo
$A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega {)}^2},\tan \phi =-v_0/(\omega x_0)$
A divisão de tarefas é clara: a equação fixa $\omega$; o início fixa $A$ e $\phi$.

O bloco da animação torna isso concreto. Ele tem $m=1\mathrm{kg}$ e $k=10N/m$, então $\omega =\sqrt{10}\approx 3,16rad/s$ e o período é $T=2\pi /\omega \approx 1,99\mathrm{s}$. Ele é liberado do repouso em $x_0=A=0,10\mathrm{m}$, então $v_0=0$, $\phi =0$ e $x=A\cos \omega t$. Derivando uma vez obtemos a velocidade, $v=-A\omega \sin \omega t$, que é o mesmo que $A\omega \cos (\omega t+\pi /2)$: a velocidade é a curva do deslocamento adiantada em um quarto de período, ou seja, ela está um quarto de período à frente do deslocamento. Derivando de novo obtemos a aceleração $a=-{\omega }^{2}x$, meio período defasada do deslocamento, em oposição de fase: máxima onde $x$ é máximo, mas apontando para o lado oposto.

A linearidade também prova o isocronismo, o fato de o período não depender da amplitude, em uma linha. Se $x(t)$ é solução, então $\lambda x(t)$ também é, para qualquer constante $\lambda$, pois multiplicar ambos os lados de $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ por $\lambda$ não muda nada. A cópia esticada oscila $\lambda$ vezes mais longe com exatamente o mesmo tempo, então uma oscilação grande e uma pequena levam o mesmo tempo.

Uma forma compacta de carregar as duas constantes é um número complexo. Escreva $x$ como a parte real de $C{e}^{i\omega t}$, com a amplitude complexa $C=A{e}^{i\phi }$; a parte real de $A{e}^{i(\omega t+\phi )}$ é de fato $A\cos (\omega t+\phi )$. A vantagem é que cada derivada no tempo de $e^{i\omega t}$ simplesmente o multiplica por $i\omega$. A equação vira $(i\omega {)}^{2}C=-{\omega }^{2}C$, que vale para todo $C$: a equação diferencial se tornou álgebra. Esse atalho é o que torna os osciladores amortecidos e forçados tratáveis.

O círculo de referência

O movimento harmônico simples tem um gêmeo geométrico: o movimento uniforme num círculo. O gêmeo explica por que a fase é um ângulo e por que $\omega$ é medida em radianos por segundo, e dá a velocidade e a aceleração sem nenhum cálculo.

Legenda

$A$	Raio do círculo: a amplitude do movimento da sombra.	$\mathrm{m}$
$\omega t+\phi$	Fase: o ângulo que o raio girou a partir da direção positiva de $x$.	$\mathrm{rad}$
$x$	Posição da sombra, medida a partir do centro (negativa aqui).	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidade do ponto: tangente ao círculo, com módulo $\omega A$.	$m/s$
$\vec{a}$	Aceleração do ponto: em direção ao centro, com módulo ${\omega }^{2}A$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$v$	Velocidade da sombra: a parte horizontal de $\vec{v}$.	$m/s$
$a$	Aceleração da sombra: a parte horizontal de $\vec{a}$, igual a $-{\omega }^{2}x$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

A Figura 2 desenha o círculo de referência. Um ponto percorre um círculo de raio $A$, no sentido anti-horário, com velocidade angular constante $\omega$. Depois de um tempo $t$, seu raio girou o ângulo $\omega t+\phi$, medido a partir da direção positiva de $x$; na figura, isso é um pouco mais de um quarto de volta, então o ponto está no alto à esquerda. Trace a linha tracejada do ponto reto para baixo até o diâmetro horizontal. Seu pé, a sombra do ponto (o círculo aberto), está em $x=A\cos (\omega t+\phi )$ a partir do centro: exatamente a posição do bloco.

Agora a velocidade. A velocidade $\vec{v}$ do ponto é tangente ao círculo e tem módulo $\omega A$, porque o ponto percorre um arco de comprimento $A$ para cada radiano que gira. A sombra se move apenas ao longo do diâmetro, então sua velocidade $v$ é a parte horizontal de $\vec{v}$: $v=-\omega A\sin (\omega t+\phi )$. Na figura, $\vec{v}$ aponta para baixo e para a esquerda, então $v$ aponta para a esquerda.

Depois, a aceleração. O ponto se move com velocidade constante num círculo, então sua aceleração $\vec{a}$ é centrípeta: aponta para o centro e tem módulo ${\omega }^{2}A$. Sua parte horizontal é a aceleração da sombra:
$a=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$
Na figura $x$ é negativo, então $a$ aponta para a direita, em direção ao centro, enquanto a sombra ainda se move para a esquerda: ela está desacelerando à medida que se aproxima de seu ponto de retorno em $-A$.

A sombra, portanto, obedece à equação desta lição e se move exatamente como o bloco. O movimento harmônico simples é o movimento circular uniforme visto de lado. Por isso a fase $\omega t+\phi$ é um ângulo, e $\omega$, a velocidade angular do ponto, é medida em radianos por segundo. É também a imagem por trás do número complexo da seção anterior: $C{e}^{i\omega t}$ é o ponto girante desenhado no plano complexo, e $x$ é a sua sombra no eixo real.

A elipse de fase

O círculo de referência acompanha o movimento no espaço. Uma segunda figura acompanha o estado do oscilador: sua posição e velocidade juntas, que são tudo o que é preciso para prever o resto do movimento. Nessa figura, a conservação da energia se torna uma forma.

Legenda

$x$	Posição, no eixo horizontal.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidade, no eixo vertical.	$m/s$
$A$	Amplitude, o maior $x$: o semieixo ao longo de $x$.	$\mathrm{m}$
$\omega A$	Maior velocidade: o semieixo ao longo de $v$.	$m/s$
$E$	Energia total $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, a mesma ao longo de toda a elipse.	$\mathrm{J}$

A Figura 3 marca a velocidade $v$ para cima contra a posição $x$ na horizontal. Cada instante do movimento é um ponto $(x,v)$; à medida que o tempo passa, o ponto se move e traça uma curva fechada, o retrato de fase. Como $x=A\cos \omega t$ e $v=-\omega A\sin \omega t$, essa curva é uma elipse. A conservação da energia dá sua equação diretamente: $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=E$, e dividindo ambos os lados por $E=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$ obtemos
$\frac{x^2}{A^2}+\frac{v^2}{(A\omega {)}^2}=1$

Os semieixos são $A$ ao longo de $x$ e $\omega A$ ao longo de $v$. O primeiro é o maior deslocamento, onde toda a energia está na mola; o segundo é a maior velocidade, onde toda ela está no bloco. Para o bloco da animação, eles valem 0,10 m e 0,32 m/s. Cada ponto da elipse tem a mesma energia $E$, por isso a figura rotula a própria curva com $E$; uma energia maior daria uma elipse maior da mesma forma.

Agora acompanhe o movimento. O ponto começa na extremidade direita da elipse, $(A,0)$, e gira no sentido horário, uma volta por período. O sentido é imposto: na metade superior $v>0$, então $x$ cresce e o ponto se move para a direita; na metade inferior $v<0$, e ele se move para a esquerda. O ponto da Figura 3 é um instante, no canto inferior direito: o bloco ainda está do lado positivo, mas já voltando. As linhas tracejadas leem $x$ e $v$ nos eixos. Se marcarmos $v/\omega$ para cima em vez de $v$, os dois semieixos passam a valer $A$: a elipse volta a ser o círculo de referência.

A visão avançada da animação mostra essa elipse ao lado do gráfico de $x(t)$, um cosseno entre $\pm 10\mathrm{cm}$. A inclinação desse gráfico é $v$, e sua curvatura segue $a=-{\omega }^{2}x$, de modo que a curva sempre se curva na direção do eixo do tempo: mais acentuadamente nos picos e vales, onde $|x|$ é máximo, e de modo nenhum onde cruza o zero.

Dois fatos mais profundos decorrem da elipse. Primeiro, ao longo de um ciclo, ${\sin }^2$ e ${\cos }^2$ têm média $\frac{1}{2}$, então as energias cinética e potencial médias são iguais, cada uma $E/2$. Para o bloco, $E=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,10^2=0,050\mathrm{J}$, então cada uma tem média $0,025\mathrm{J}$.

Segundo, desenhe a elipse com a quantidade de movimento $p=mv$ para cima, em vez de $v$. Seus semieixos são então $A$ e $mA\omega$, e sua área é $\pi A\cdot mA\omega =2\pi E/\omega$, aqui cerca de $0,099\mathrm{J}\mathrm{s}$. Essa área é um invariante adiabático, uma quantidade que permanece fixa quando o sistema é alterado lentamente: quando $k$ ou $L$ mudam devagar em comparação com o período, a área, e portanto $E/\omega$, permanece constante. Encurte gradualmente o fio de um pêndulo e sua energia cresce na proporção de sua frequência. Na primeira teoria quântica, essa área era igualada a um número inteiro de constantes de Planck $h$; a teoria completa dá os níveis de energia $E=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$, com $\hslash =h/2\pi$ e $n$ um inteiro a partir de 0.

Além do oscilador ideal

Os osciladores reais são apenas aproximadamente ideais. O pêndulo é o caso mais claro, porque sua equação exata pode ser escrita e comparada com a harmônica.

Legenda

$L$	Comprimento do fio, do ponto de suspensão ao corpo.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ângulo entre o fio e a vertical.	$\mathrm{rad}$
$s$	Comprimento da trajetória do ponto mais baixo até o corpo: $s=L\theta$.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Peso do corpo, puxando reto para baixo.	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	Parte do peso ao longo da trajetória, em direção ao ponto mais baixo: a força restauradora.	$\mathrm{N}$
$mg\cos \theta$	Parte do peso ao longo do fio, para longe do ponto de suspensão; ela não pode alterar a velocidade.	$\mathrm{N}$

A Figura 4 mostra o pêndulo no meio de uma oscilação. O corpo está preso a um fio de comprimento $L$ e foi afastado pelo ângulo $\theta$ da vertical, então percorre um comprimento de arco $s=L\theta$ a partir do ponto mais baixo. Seu peso $m\vec{g}$, reto para baixo, divide-se em duas componentes perpendiculares. A componente $mg\cos \theta$ aponta ao longo do fio, para longe do ponto de suspensão. Ela não tem componente ao longo da trajetória, então não pode acelerar nem frear o corpo; a tensão no fio atua na mesma linha. A componente $mg\sin \theta$ aponta ao longo da trajetória, em direção ao ponto mais baixo. Somente ela restaura.

A equação exata vem de girar em torno do ponto de suspensão. A força restauradora $mg\sin \theta$ atua com braço de alavanca $L$, então seu torque é $-mgL\sin \theta$. O momento de inércia do corpo em relação ao ponto de suspensão é $m{L}^2$, e torque é igual a momento de inércia vezes aceleração angular. Dividindo por $m{L}^2$:
$\ddot{\theta }=-\frac{g}{L}\sin \theta$
Para ângulos pequenos, $\sin \theta \approx \theta$ (em radianos), e a força restauradora $mg\sin \theta$ fica próxima de $mg\theta =(mg/L)s$. Isso é mais uma vez a lei de Hooke, para o deslocamento $s$ ao longo do arco, com $k=mg/L$ e ${\omega }^2=k/m=g/L$, como encontrado pela energia na segunda seção.

O pêndulo só é harmônico de forma aproximada. Como $\sin \theta <\theta$ para todo ângulo positivo, o torque restaurador verdadeiro fica aquém do linear: o corpo é puxado de volta mais fracamente do que a lei harmônica prevê e demora mais para voltar. O período, portanto, cresce com a amplitude ${\theta }_0$, aproximadamente como $2\pi \sqrt{L/g}(1+{\theta }_0^2/16)$ para oscilações moderadas. O excesso sobre $2\pi \sqrt{L/g}$ é de 0,19% a 10°, 0,43% nos 15° da animação, 7,3% a 60° e 18% a 90°, e cresce sem limite à medida que o ponto de soltura se aproxima da posição invertida, em 180°. (Os dois últimos valores vêm do período exato; a fórmula curta já fica abaixo deles.) Por isso os relojoeiros mantêm a oscilação pequena. Christiaan Huygens publicou uma solução exata em 1673: um corpo guiado sobre uma cicloide, em vez de um arco circular, tem um período que não depende da amplitude de modo nenhum.

Outros desvios do ideal são igualmente concretos. A massa própria $m_s$ de uma mola também se move: suas espiras perto do bloco se movem quase tão depressa quanto ele, as perto da extremidade fixa quase nada, e no conjunto elas somam cerca de $m_s/3$ à massa oscilante. Um corpo rígido que oscila em torno de um eixo a uma distância $d$ do seu centro de massa é um pêndulo físico, com $T=2\pi \sqrt{I/(mgd)}$, onde $I$ é seu momento de inércia em relação ao eixo; para um corpo pontual, $I=m{L}^2$ e $d=L$, e a fórmula devolve $2\pi \sqrt{L/g}$. Uma força de atrito proporcional à velocidade, $-b\dot{x}$ com $\dot{x}$ a velocidade e $b$ uma constante, faz a amplitude decair como $e^{-bt/(2m)}$. E um empurrão periódico com frequência próxima de $\omega$ gera uma resposta grande, a ressonância, que é tanto mais aguda quanto mais fraco for o amortecimento.

Problema resolvido: uma massinha cai sobre o bloco

Este problema testa a divisão de tarefas vista acima: a equação fixa $\omega$, e o estado no início fixa a amplitude. Um evento súbito muda tanto a massa quanto o estado inicial, e o resultado depende do momento em que acontece.

Quando o bloco da animação ($m=1\mathrm{kg}$, $k=10N/m$, $A=0,10\mathrm{m}$) passa pelo centro na sua velocidade máxima, $A\omega \approx 0,32m/s$, um pedaço de massinha de 1 kg cai sobre ele vindo de logo acima e gruda. Quais são o novo período e a nova amplitude? E o que muda se a massinha cair num ponto de retorno?

Primeiro, a colisão. O chão e a gravidade atuam na vertical; durante o impacto breve nenhuma força horizontal atua, e a quantidade de movimento horizontal se conserva. A massinha não traz nenhum, então $1\cdot 0,316=2v^{\prime }$, o que dá $v^{\prime }=0,158m/s$. O impacto é tão curto que o bloco ainda não se moveu: ele continua em $x_0=0$.

Segundo, a nova frequência. A mola não muda, mas a massa dobrou, então ${\omega }^{\prime }=\sqrt{10/2}\approx 2,24rad/s$ e $T^{\prime }=2\pi /{\omega }^{\prime }\approx 2,81\mathrm{s}$, mais longo por um fator $\sqrt{2}$.

Terceiro, a nova amplitude. O movimento recomeça de $x_0=0$ com a velocidade $v^{\prime }$, então a fórmula da amplitude dá
$A^{\prime }=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}\right)}^2}=\frac{0,158}{2,24}\approx 0,071\mathrm{m}$
O bloco agora oscila apenas 7,1 cm para cada lado, $A/\sqrt{2}$, e a energia caiu de 0,050 J para $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,071^2=0,025\mathrm{J}$. Metade dela se perdeu na colisão, como sempre que um corpo em movimento gruda num corpo igual em repouso: o conjunto se move com metade da velocidade e o dobro da massa, então tem metade da energia cinética.

Se a massinha cair num ponto de retorno, o bloco está momentaneamente em repouso, então não há velocidade a repartir e nenhuma energia se perde. O bloco recomeça do repouso em $x_0=0,10\mathrm{m}$: a amplitude continua 10 cm e a energia 0,05 J. O período é de novo 2,81 s, pois depende apenas de $k$ e da nova massa, mas a velocidade máxima cai para $A{\omega }^{\prime }\approx 0,22m/s$. O mesmo impacto ou encurta a amplitude ou a deixa intacta, dependendo da fase em que acontece, enquanto o período responde apenas à massa.

Limites de validade

Cada modelo tem uma faixa em que funciona. O oscilador harmônico tem dois limites: um em grandes deslocamentos, onde a lei de Hooke falha, e outro em passos de energia muito pequenos, onde a mecânica quântica assume.

A lei de Hooke é apenas o primeiro termo da expansão de Taylor de $U$, então só vale para pequenos deslocamentos. Um fio de aço permanece linear apenas até uma deformação, o alongamento relativo, de uma fração de por cento. Uma mola helicoidal feita desse fio pode se esticar muito mais, porque seu fio sobretudo torce em vez de esticar, e cada pedaço curto torce só um pouco. Além da faixa linear, entram os termos superiores de $U$. Eles fazem o período depender da amplitude, como no pêndulo, e acrescentam harmônicos: componentes do movimento em múltiplos inteiros de $\omega$. Para o pêndulo, a medida de “pequeno” é o ângulo: manter o período dentro de 1% de $2\pi \sqrt{L/g}$ exige ${\theta }_0$ abaixo de cerca de 23°.

A mecânica quântica impõe o outro limite: a energia de um oscilador só pode mudar em degraus de $\hslash \omega$, onde $\hslash \approx 1,05\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$ é a constante de Planck reduzida. Para o bloco da animação, $\hslash \omega \approx 3,3\times 10^{-34}\mathrm{J}$ frente a uma energia de 0,05 J, um número quântico de cerca de $1,5\times 10^{32}$, então os degraus são totalmente invisíveis. Uma molécula é outra história. O cloreto de hidrogênio vibra com $\omega \approx 5,4\times 10^{14}rad/s$, então $\hslash \omega \approx 0,36\mathrm{eV}$, cerca de catorze vezes a energia térmica típica $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{eV}$ à temperatura ambiente (aqui $k_B$ é a constante de Boltzmann e $T$ a temperatura absoluta). As colisões no gás raramente trazem energia suficiente para levar a molécula ao próximo nível, então ela permanece no estado fundamental, com a energia de ponto zero $\frac{1}{2}\hslash \omega$, e sua vibração quase não acrescenta nada à capacidade térmica do gás.

Aonde isso leva

A equação desta lição é o ponto de partida de grande parte do resto do curso. Acrescente atrito e uma excitação periódica e ela se torna a estudada em Amortecimento e ressonância, onde o fator de qualidade determina por quanto tempo um oscilador soa e quão aguda é a sua ressonância. Acople muitos osciladores em fila e o movimento deles se propaga como onda, o assunto de Fundamentos das ondas; em Ondas estacionárias, cada modo normal de uma corda é um movimento harmônico simples com seu próprio $\omega$. A rigidez $k$ vem de Elasticidade: lei de Hooke, tensão e deformação, o círculo de referência de Movimento circular, e a mesma matemática reaparece em Ondas eletromagnéticas e nos osciladores quantizados de Radiação de corpo negro e o quantum.