Затухание и резонанс

Начальный

У всего, что может качаться или подпрыгивать, есть собственная частота — свой ритм: сколько раз в секунду тело движется туда и обратно, если его предоставить самому себе. Короткий маятник качается быстрее длинного, а лёгкий груз на жёсткой пружине колеблется быстрее тяжёлого груза на мягкой.

Шаг 1: затухание. Раскачайте качели и отойдите: каждый размах чуть меньше предыдущего. Сопротивление воздуха и трение забирают немного энергии при каждом качании и превращают её в тепло, причём тормозят тем сильнее, чем быстрее движется тело. Такое постепенное угасание называют затуханием.

Шаг 2: насколько сильное затухание? В анимации три одинаковых груза висят на одинаковых пружинах; их оттягивают вниз и отпускают одновременно. Левый движется в воздухе (слабое затухание) и много раз подпрыгивает, каждый раз всё меньше. Правый находится в густом сиропе (сильное затухание): он ни разу не проскакивает положение равновесия, но ползёт к нему очень медленно. Средний, в более жидкой среде, затухает ровно настолько, чтобы не колебаться. Это критическое затухание, и надпись «в покое» у него появляется первой. Автомобильные амортизаторы и дверные доводчики настраивают примерно на него.

Шаг 3: резонанс. Небольшие толчки в такт собственному ритму каждый раз добавляют энергию в нужный момент, и размах растёт. Справа верхний конец пружины слегка трясут в ритме самого груза, и вскоре груз качается гораздо сильнее, чем трясётся опора. Остановить этот рост может только затухание.

Проверьте себя: стиральная машина часто сильно трясётся несколько секунд, пока барабан разгоняется, а на полных оборотах успокаивается. Почему?
Ответ: при разгоне частота вращения барабана проходит через собственную частоту машины, и на мгновение её раскачивают в такт — это резонанс.

Средний

Две силы: пружина и демпфер

На груз, который оттянули на пружине и отпустили, действуют две силы: возвращающая сила упругости $-kx$, направленная к положению равновесия, и сила сопротивления, направленная против движения, — например, сопротивление жидкости или масла в амортизаторе. При медленном движении в жидкости сила сопротивления почти пропорциональна скорости, поэтому результирующая сила равна
$F=-kx-bv$

Коэффициент сопротивления $b$ измеряется в килограммах в секунду (кг/с, это то же самое, что Н·с/м). Свои наибольшие значения две силы принимают в разные моменты: сила упругости — в точках поворота, где груз на мгновение останавливается, а сила сопротивления — когда груз движется быстрее всего; при слабом затухании это происходит вблизи положения равновесия.

В анимации золотистые стрелки показывают силу $-bv$; они разворачиваются каждый раз, когда груз поворачивает назад. Правый груз, находящийся в густом сиропе с $b=30\mathrm{кг}/\mathrm{с}$, имеет самую длинную стрелку, хотя движется медленнее всех: при наибольшей скорости, 0,077 м/с, сила сопротивления $30\cdot 0,077\approx 2,3\mathrm{Н}$ в точности уравновешивает силу упругости пружины.

Слабое затухание: экспоненциальный спад

При слабом затухании груз почти сохраняет свой собственный ритм, но каждое качание меньше предыдущего в одно и то же число раз: сила сопротивления, растущая со скоростью, забирает в каждом колебании одну и ту же долю оставшейся энергии. Это экспоненциальный спад, $A=A_0{e}^{-\beta t}$, где
$\beta =\frac{b}{2m},{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
Коэффициент затухания $\beta$ измеряется в с⁻¹: за время $1/\beta$ амплитуда уменьшается в $e$ раз, то есть до 37 %, а вдвое она уменьшается за $\ln 2/\beta$. Здесь ${\omega }_0$ — собственная циклическая частота. Полное движение — это косинус внутри сужающейся огибающей:
$x=A_0{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi ),{\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$

Демпфер немного удерживает груз, поэтому циклическая частота затухающих колебаний ${\omega }_d$ чуть меньше ${\omega }_0$. Насколько слабо затухание, показывает добротность:
$Q=\frac{{\omega }_0}{2\beta }=\frac{m{\omega }_0}{b}$
За каждое колебание амплитуда умножается примерно на $e^{-\pi /Q}$, поэтому после $Q$ колебаний остаётся лишь $e^{-\pi }$, около 4 %. Камертон, добротность которого исчисляется тысячами, звучит несколько секунд после единственного удара.

Слабое, критическое и сильное затухание

С ростом $b$ спад ускоряется, пока при критическом значении груз не перестанет проскакивать положение равновесия:
$b_{\mathrm{кр}}=2\sqrt{km}=2m{\omega }_0$
При этом $\beta ={\omega }_0$, а ${\omega }_d$ обращается в нуль. Сравнение $b$ с $b_{\mathrm{кр}}$ даёт три вида движения:

• $b<b_{\mathrm{кр}}$, слабое затухание: груз снова и снова проскакивает положение равновесия, а размахи затухают по экспоненте.
• $b=b_{\mathrm{кр}}$, критическое затухание: самое быстрое возвращение к равновесию без единого перехода через него.
• $b>b_{\mathrm{кр}}$, сильное затухание: перехода через равновесие тоже нет, но демпфер так сильно тормозит груз, что тот медленно ползёт назад.

Слишком сильное затухание замедляет движение по той же причине, по какой ложка медленно движется в мёде: сила сопротивления быстро становится равной силе упругости, и это ограничивает скорость значением примерно $kx/b$. Утройте $b$ — и груз поползёт назад втрое медленнее.

Пример: три груза из анимации

У всех трёх грузов $m=1\mathrm{кг}$ и $k=25\mathrm{Н}/\mathrm{м}$, и каждый оттягивают вниз на 10 см и отпускают из состояния покоя:
${\omega }_0=\sqrt{25/1}=5\mathrm{рад}/\mathrm{с},b_{\mathrm{кр}}=2\sqrt{25\cdot 1}=10\mathrm{кг}/\mathrm{с}$
поэтому $f_0\approx 0,80\mathrm{Гц}$, одно колебание за 1,26 с. У среднего груза затухание ровно критическое; у правого $b$ втрое больше $b_{\mathrm{кр}}$, у левого — в десять раз меньше. Для левого груза
$\beta =\frac{1}{2\cdot 1}=0,5{\mathrm{с}}^{-1},Q=\frac{5}{2\cdot 0,5}=5$

Через 3 с амплитуда левого груза равна $10\mathrm{см}\cdot e^{-0,5\cdot 3}\approx 2,2\mathrm{см}$ — это значение синего показания $A$ в тот момент, когда показание $t$, которое отсчитывается от момента отпускания, равно 3 с. Амплитуда уменьшается вдвое каждые $\ln 2/0,5\approx 1,4\mathrm{с}$, за каждое колебание умножается на $e^{-\pi /5}\approx 0,53$, а после 5 колебаний, примерно через 6,3 с, остаётся только 4 %. Каждый груз остаётся в пределах 4 мм от пунктирной линии равновесия примерно после 1,0 с (критическое затухание), 3,8 с (сильное) и 6,4 с (слабое).

Резонанс: толчки в такт движению

Теперь будем раскачивать осциллятор периодической силой $F_0\cos \omega t$. После начального переходного процесса он колеблется в установившемся режиме с частотой вынуждающей силы, и амплитуда колебаний равна
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
Далеко от ${\omega }_0$ отклик мал; вблизи неё амплитуда круто растёт — это и есть резонанс. При ${\omega }_0$ действие пружины и инерция груза взаимно компенсируются, и вынуждающей силе остаётся лишь преодолевать сопротивление:
$A({\omega }_0)=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{Q{F}_0}{k}$
Постоянная сила растянула бы пружину на $F_0/k$; приложенная в такт, она смещает груз в $Q$ раз дальше. При резонансе груз отстаёт от толчка на четверть периода, поэтому быстрее всего он движется тогда, когда толчок сильнее всего, и каждый толчок совершает положительную работу.

Справа в анимации верхний конец точно такой же пружины со слабым затуханием трясут с амплитудой $Y=2\mathrm{см}$ ровно на частоте $f_0=0,80\mathrm{Гц}$. Смещение верхнего конца пружины на $y$ меняет её силу на $ky$, поэтому тряска действует как сила $F_0=kY=25\cdot 0,02=0,5\mathrm{Н}$, и
$A=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{0,5}{1\cdot 5}=0,10\mathrm{м}$
что равно $QY=10\mathrm{см}$. Показание $A$ раскачиваемого груза медленно растёт до этого значения, примерно как $QY(1-e^{-\beta t})$: около 6 см после 2 с тряски, 9 см после 4,6 с и 9,9 см в конце цикла анимации.

Пример: автомобиль с изношенным амортизатором

На пружину подвески с $k=40000\mathrm{Н}/\mathrm{м}$ приходится около 400 кг массы кузова на одно колесо:
${\omega }_0=\sqrt{40000/400}=10\mathrm{рад}/\mathrm{с},b_{\mathrm{кр}}=2\sqrt{40000\cdot 400}=8000\mathrm{кг}/\mathrm{с}$
поэтому кузов подпрыгивает с частотой около 1,6 Гц. Исправный амортизатор, настроенный немного ниже $b_{\mathrm{кр}}$, позволяет кузову после неровности один раз проскочить положение равновесия. Изношенный амортизатор с $b=800\mathrm{кг}/\mathrm{с}$ даёт $\beta =800/(2\cdot 400)=1,0{\mathrm{с}}^{-1}$ и $Q=10/(2\cdot 1,0)=5$, как у левого груза в анимации. Колебание кузова с амплитудой 4 см уменьшается вдвое каждые 0,7 с и через 2 с, то есть спустя три подскока, всё ещё не затухает до конца: $4\cdot e^{-2}\approx 0,5\mathrm{см}$.

Раскачивать автомобиль может и дорога. Неровности дороги, расположенные через $d=10\mathrm{м}$ друг от друга, встряхивают колесо $v/d$ раз в секунду, что совпадает с собственной частотой 1,59 Гц при $v\approx 16\mathrm{м}/\mathrm{с}$, то есть примерно 57 км/ч. На такой скорости размах колебаний изношенного автомобиля примерно в $Q=5$ раз больше высоты неровностей, и кажется, что машина плывёт.

Частые ошибки

• Большее затухание — не всегда быстрее: правому грузу, у которого $b$ втрое больше $b_{\mathrm{кр}}$, нужно около 3,8 с, чтобы успокоиться, а критическому — всего 1,0 с.
• Слабое затухание меняет амплитуду, но не ритм: при $Q=5$ период увеличивается всего с 1,257 с до 1,263 с.
• Время $1/\beta$ — это не время, за которое амплитуда убывает вдвое: при $\beta =0,5{\mathrm{с}}^{-1}$ амплитуда падает до 37 % за 2 с, а вдвое уменьшается за 1,4 с; энергия, пропорциональная $A^2$, уменьшается вдвое за 0,7 с.
• Резонанс не бесконечен: затухание ограничивает амплитуду значением $Q{F}_0/k$ — для раскачиваемой пружины это 10 см; при таком размахе 0,125 Вт, подводимые вынуждающей силой, равны потерям в демпфере.
• Критическое значение равно $2\sqrt{km}$, а не $\sqrt{km}$: если забыть двойку, для наших грузов получится 5 кг/с вместо 10 кг/с.

Где это встречается

Затухание, близкое к критическому, встроено в дверные доводчики, стрелки приборов и подвески автомобилей; вблизи вершины башни Тайбэй 101 стальной маятник массой около 660 т качается навстречу колебаниям здания, гася их. Резонанс используют в кварцевых часах, где кристалл колеблется с частотой 32 768 Гц, в музыкальных инструментах и при настройке радиоприёмников. В сооружениях же его нужно избегать: лондонский мост Миллениум в первые дни после открытия в 2000 году раскачивался из стороны в сторону, потому что пешеходы невольно шли в такт его колебаниям. То же уравнение описывает цепи из деталей, о которых рассказано в уроках «Конденсаторы» и «Электромагнитная индукция», и каждую моду из урока «Стоячие волны».

Продвинутый

Уравнение свободного движения

Затухание — это любая сила, которая отнимает энергию у колебаний: воздух, масло, магнит, тормозящий металлическую пластину. В этом разделе мы найдём все возможные свободные движения груза на пружине с затуханием. Они важны вдвойне: так успокаивается выведенная из равновесия система, и они же составляют переходный процесс, от которого любой вынужденный осциллятор должен избавиться, прежде чем выйти на установившийся режим.

Возьмём груз массой $m$ на пружине жёсткостью $k$ с демпфером, который противодействует скорости силой $-b\dot{x}$. Здесь $x$ — смещение от положения равновесия, а $b$ — коэффициент сопротивления. Второй закон Ньютона даёт $m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}$. Разделим на $m$ и введём два отношения: коэффициент затухания $\beta =b/(2m)$ и собственную циклическую частоту ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$. Уравнение принимает стандартный вид
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$
Множитель 2 — соглашение, которое избавляет корни, найденные ниже, от половинок.

Уравнение линейно, и его коэффициенты не меняются со временем. Экспонента — единственная функция, производная которой кратна ей самой, поэтому попробуем $x=e^{st}$ с постоянной $s$, возможно комплексной. Тогда каждая производная по времени просто умножает на $s$. Все слагаемые содержат один и тот же множитель $e^{st}$; сократив его, получаем характеристическое уравнение $s^2+2\beta s+{\omega }_0^2=0$. Формула корней квадратного уравнения даёт два корня:
$s_1=-\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2},s_2=-\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$
Поскольку уравнение линейно, любая сумма $c_1{e}^{s_{1}t}+c_2{e}^{s_{2}t}$ тоже является решением, а две постоянные находят из начальных координаты и скорости. Значит, всё в свободном движении определяется тем, где лежат два корня.

В анимации $m=1\mathrm{кг}$ и $k=25\mathrm{Н}/\mathrm{м}$, так что ${\omega }_0=5\mathrm{рад}/\mathrm{с}$ (0,80 Гц), а демпферов три: $b=1$, 10 и $30\mathrm{кг}/\mathrm{с}$, то есть $\beta =0,5$, 5 и $15{\mathrm{с}}^{-1}$.

Три вида свободного движения

Будет ли отпущенный груз качаться туда и обратно или просто медленно вернётся, зависит только от знака ${\beta }^2-{\omega }_0^2$ под корнем. Карта корней показывает сразу все три случая, а заодно и то, при каком затухании груз возвращается быстрее всего.

Обозначения

$s_1$	Корень со знаком плюс: верхняя синяя точка, а затем на вещественной оси тот корень, что движется обратно к 0.	${\mathrm{с}}^{-1}$
$s_2$	Корень со знаком минус: нижняя синяя точка, а затем на вещественной оси тот корень, что удаляется от 0.	${\mathrm{с}}^{-1}$
$\beta$	Коэффициент затухания $b/(2m)$: вещественная часть пары с обратным знаком, её расстояние слева от вертикальной оси.	${\mathrm{с}}^{-1}$
${\omega }_d$	Циклическая частота затухающих колебаний $\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$: мнимая часть $s_1$, высота верхней точки.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
${\omega }_0$	Собственная циклическая частота $\sqrt{k/m}$: радиус дуги; в точке $-{\omega }_0$ сходятся два корня.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$

На рисунке 1 изображена комплексная плоскость $s$: вещественная часть — по горизонтальной оси, мнимая — по вертикальной. Случаи различает одно число — относительный коэффициент затухания $\zeta =\beta /{\omega }_0$. Он равен $b/b_{\mathrm{кр}}$, где $b_{\mathrm{кр}}=2\sqrt{km}$ — критический коэффициент сопротивления, то значение $b$, при котором $\beta ={\omega }_0$. В анимации $b_{\mathrm{кр}}=10\mathrm{кг}/\mathrm{с}$, поэтому у трёх грузов $\zeta =0,1$; 1 и 3.

Слабое затухание, $\zeta <1$. Число под корнем отрицательно, поэтому корни образуют комплексно сопряжённую пару $-\beta \pm i{\omega }_d$ — две синие точки — с циклической частотой затухающих колебаний ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$. Так как $e^{(-\beta \pm i{\omega }_d)t}=e^{-\beta t}{e}^{\pm i{\omega }_{d}t}$, вещественная часть $-\beta$ задаёт затухание, а мнимая часть $\pm {\omega }_d$ — колебания. Объединив две экспоненты так, чтобы $x$ было вещественным, получаем
$x=C{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi )$
— колебания внутри огибающей, которая сжимается как $e^{-\beta t}$; постоянные $C$ и $\phi$ находят из начальных координаты и скорости. Теперь посмотрите на прямоугольный треугольник, построенный для $\zeta =0,6$. Его горизонтальный катет равен $\beta$, вертикальный — ${\omega }_d$, а гипотенуза — $\sqrt{{\beta }^2+{\omega }_d^2}={\omega }_0$. Значит, комплексный корень всегда находится на расстоянии ${\omega }_0$ от начала координат. С ростом $b$ пара движется по синей дуге радиуса ${\omega }_0$ — верхний корень вниз, нижний вверх — к вещественной оси.

Критическое затухание, $\zeta =1$. Два корня сходятся в точке $-{\omega }_0$. Двукратный корень даёт лишь одну экспоненту, $e^{-{\omega }_{0}t}$; второе независимое решение — $t{e}^{-{\omega }_{0}t}$, в чём легко убедиться подстановкой в уравнение.

Сильное затухание, $\zeta >1$. Корень теперь вещественный и меньше $\beta$, поэтому оба корня вещественны и отрицательны. С ростом $b$ корень $s_1$ поворачивает обратно к 0, а $s_2$ уходит влево. Ничто не колеблется: груз медленно ползёт назад.

Экспертный график $x(t)$ в анимации использует синий, зелёный и фиолетовый цвета рисунка 1; на нём три груза отпущены без начальной скорости из точки $-10\mathrm{см}$. Обозначим это начальное отклонение $A_0=10\mathrm{см}$. Синий ($\zeta =0,1$, $s=-0,5\pm 4,97i{\mathrm{с}}^{-1}$) проскакивает до $+7,3\mathrm{см}$ через половину периода после отпускания, в момент 0,63 с. Зелёный ($\zeta =1$) движется по закону $x=-A_0(1+{\omega }_{0}t)e^{-{\omega }_{0}t}$ и примерно через 1,0 с оказывается в пределах 4 мм от нуля. У фиолетового ($\zeta =3$) корни $-0,86$ и $-29,1{\mathrm{с}}^{-1}$. Его быстрое слагаемое, $e^{-29,1t}$, исчезает меньше чем за десятую долю секунды. Медленный корень, при сильном затухании близкий к $-{\omega }_0^2/(2\beta )$, оставляет ползучее возвращение с постоянной времени 1,2 с.

При каком затухании груз возвращается быстрее всего? Сумма экспонент затухает не быстрее своего самого медленного слагаемого — того, чей корень лежит ближе всех к вертикальной оси на рисунке 1. Ниже критического затухания это расстояние равно $\beta$ и растёт с $b$, пока пара смещается влево по дуге. Выше критического оно равно $|s_1|$ и с ростом $b$ уменьшается, потому что $s_1$ отходит обратно к 0. Две тенденции встречаются при $\zeta =1$: здесь ближайший корень отодвинут влево настолько, насколько возможно, и скорость затухания достигает наибольшего значения, ${\omega }_0$. Если небольшой переход через равновесие допустим, чуть меньшее затухание успокаивает груз ещё быстрее. При $\zeta =0,75$ груз остаётся в пределах 4 мм от нуля уже через 0,64 с, поэтому стрелки приборов часто настраивают немного ниже критического затухания.

Энергия и смысл добротности Q

Корни говорят, как быстро затухает движение; энергия объясняет почему. Она же даёт число, которое инженеры называют для любого осциллятора, — добротность $Q$.

Обозначения

$x$	Смещение груза от положения равновесия.	$\mathrm{м}$
$t$	Время, прошедшее после отпускания.	$\mathrm{с}$
$E$	Запасённая энергия, кинетическая плюс энергия пружины: $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$.	$\mathrm{Дж}$
$E_0$	Энергия в момент отпускания, вся в пружине: $\frac{1}{2}k{A}_0^2$.	$\mathrm{Дж}$
$e^{-2\beta t}$	Множитель затухания штриховой кривой $E_0{e}^{-2\beta t}$, которой энергия касается в каждой точке поворота.
$dE/dt$	Скорость изменения энергии, $-b{\dot{x}}^2$: наибольшая по модулю там, где груз движется быстрее всего, и нулевая в точке поворота.	$\mathrm{Вт}$
$T_d$	Период затухающих колебаний $2\pi /{\omega }_d$: одно полное колебание, зелёный отрезок.	$\mathrm{с}$

Рисунок 2 прослеживает слабо затухающий груз из анимации ($\zeta =0,1$), отпущенный без начальной скорости в точке $x=-A_0$: вверху его координата $x(t)$, внизу запасённая энергия $E$, на общей оси времени. Чтобы читать нижнюю панель, сначала найдём, как быстро меняется $E$. Умножим уравнение движения, $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$, на $\dot{x}$. Произведение $m\ddot{x}\dot{x}$ — производная по времени от $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$, а $kx\dot{x}$ — от $\frac{1}{2}k{x}^2$. Значит, слагаемые инерции и пружины вместе дают производную от $E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, и остаётся
$\frac{dE}{dt}=-b{\dot{x}}^2$
Демпфер отнимает энергию со скоростью $b{\dot{x}}^2$. Эта величина никогда не бывает отрицательной и обращается в нуль всякий раз, когда груз на мгновение останавливается.

Теперь посмотрите на нижнюю панель. Энергия уходит, только пока груз движется, поэтому $E$ убывает ступенями. Каждая точка отмечает точку поворота, где $\dot{x}=0$ и вся энергия запасена в пружине; там наклон $E$ равен нулю и кривая горизонтальна. Касательная с меткой $dE/dt$ касается самого крутого участка первого спада, где груз движется быстрее всего, — непосредственно перед прохождением положения равновесия. В точке поворота $|x|=A_0{e}^{-\beta t}$, поэтому энергия там равна $\frac{1}{2}k{A}_0^2{e}^{-2\beta t}$. Значит, горизонтальные участки лежат точно на штриховой кривой $E_0{e}^{-2\beta t}$, где $E_0=\frac{1}{2}k{A}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,10^2=0,125\mathrm{Дж}$. Между точками поворота $E$ отклоняется примерно на 10 % выше и ниже этой кривой. От одной точки поворота до следующей, то есть за половину периода затухающих колебаний $T_d/2$, энергия умножается на $e^{-\beta T_d}\approx 0,53$.

Если сгладить ступени, получится простой закон. За один период слабо затухающих колебаний движение почти совпадает с $A\cos {\omega }_{0}t$ при медленно уменьшающейся амплитуде $A$. Среднее значение ${\dot{x}}^2$ за период тогда равно $\frac{1}{2}{\omega }_0^2{A}^2$, а $E=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}^2$. Поэтому среднее значение $b{\dot{x}}^2$ равно $(b/m)E=2\beta E$, и
$\frac{dE}{dt}=-2\beta E$
Энергия убывает как $e^{-2\beta t}$. Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому амплитуда убывает вдвое медленнее, как $e^{-\beta t}$, — в точности как показали корни.

Добротность определяется как $Q={\omega }_0/(2\beta )$. Через неё закон записывается как $dE/dt=-{\omega }_{0}E/Q$. Груз проходит один радиан фазы за время $1/{\omega }_0$, значит, за это время он теряет долю $1/Q$ своей энергии: $Q$ — это запасённая энергия, делённая на энергию, теряемую за радиан. Осциллятор с высокой добротностью «звенит» много периодов; у слабо затухающего груза всего $Q=5$. Привычное правило гласит, что за период теряется доля $2\pi /Q$. Здесь это дало бы 126 %, что невозможно: правило — лишь первый член точного выражения $1-e^{-2\pi /Q}$ и годится только при большой добротности. Сам экспоненциальный закон точен от одного периода к следующему. За один период затухающих колебаний $T_d=2\pi /{\omega }_d=1,263\mathrm{с}$ — зелёный отрезок на рисунке 2 — энергия сохраняет долю $e^{-2\beta T_d}\approx 0,28$, так что за первый период уходит 72 %.

Вынужденный осциллятор

Теперь будем толкать груз периодической силой $F_0\cos \omega t$. Так обстоит дело с диффузором громкоговорителя, мостом под порывистым ветром или электроном в световой волне, и вопросы здесь такие: насколько велик отклик и насколько он отстаёт. В уравнении движения появляется правая часть:
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=(F_0/m)\cos \omega t$
Поскольку уравнение линейно, его общее решение — любое одно частное решение плюс найденное выше свободное движение. Свободная часть затухает, при слабом затухании — как $e^{-\beta t}$; её называют переходным процессом. Остаётся установившийся режим, в котором колебания происходят с частотой вынуждающей силы $\omega$, а не с ${\omega }_0$.

Комплексные числа быстро находят установившийся режим. Запишем силу как вещественную часть $F_0{e}^{i\omega t}$ и будем искать $x$ как вещественную часть $\hat{x}{e}^{i\omega t}$, где комплексная амплитуда $\hat{x}$ — постоянная, которую ещё предстоит найти. Взятие вещественной части перестановочно со сложением, дифференцированием и умножением на вещественные числа, поэтому можно решить комплексное уравнение и взять вещественную часть в самом конце. Каждое $d/dt$, действуя на $e^{i\omega t}$, превращается в множитель $i\omega$. Умножение на $i$ — поворот на четверть оборота в комплексной плоскости, поэтому скорость опережает смещение на 90°. Дифференциальное уравнение становится алгебраическим:
$({\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega )\hat{x}=F_0/m$
Приём требует линейности: член с $x^2$ перемешал бы вещественную и мнимую части, и вещественная часть комплексного ответа уже не была бы решением вещественного уравнения. Линейность даёт и суперпозицию: сила, составленная из многих частот, вызывает сумму отдельных откликов.

Векторная диаграмма: амплитуда и отставание

Комплексное уравнение утверждает, что две стрелки в сумме дают третью. Если их нарисовать, амплитуда и отставание по фазе превращаются в простую геометрию.

Обозначения

$F_0/m$	Вынуждающая сила в расчёте на единицу массы, направленная вдоль вещественной оси.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\hat{x}$	Комплексная амплитуда смещения, повёрнутая на угол $-\delta$ относительно вынуждающей силы; нарисована в своём масштабе.	$\mathrm{м}$
$({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$	Слагаемые пружины и инерции вместе: вещественное кратное $\hat{x}$, поэтому направлено вдоль $\hat{x}$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$(2\beta \omega )i\hat{x}$	Слагаемое затухания: $\hat{x}$, повёрнутая множителем $i$ на четверть оборота вперёд и умноженная на $2\beta \omega$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\delta$	Отставание смещения от вынуждающей силы: угол между $\hat{x}$ и $F_0/m$.	$\mathrm{рад}$

Рисунок 3 изображает это уравнение на комплексной плоскости при $\omega =0,75{\omega }_0$ и $\beta =0,25{\omega }_0$. Вынуждающая сила $F_0/m$ направлена вдоль вещественной оси. Золотистая стрелка — это $\hat{x}$, нарисованная в своём масштабе. Слагаемое пружины ${\omega }_0^2\hat{x}$ и слагаемое инерции $-{\omega }^2\hat{x}$ — оба вещественные кратные $\hat{x}$, поэтому вместе они дают зелёную стрелку $({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$, направленную вдоль $\hat{x}$. Слагаемое затухания $2\beta \omega i\hat{x}$ содержит лишний множитель $i$, поэтому оранжевая стрелка перпендикулярна зелёной. Зелёная и оранжевая стрелки в сумме должны дать вынуждающую силу. Значит, вынуждающая сила — гипотенуза прямоугольного треугольника, а $\hat{x}$, лежащая вдоль зелёного катета, отстаёт от вынуждающей силы на угол $\delta$ между этим катетом и гипотенузой.

Решив уравнение относительно $\hat{x}$, получаем
$\hat{x}=\frac{F_0/m}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega }$
Модуль $\hat{x}$ — амплитуда $A$, а аргумент равен $-\delta$, где $\delta$ — отставание смещения от силы по фазе. Треугольник даёт и то и другое без дальнейших выкладок. Его катеты равны $({\omega }_0^2-{\omega }^2)A$ и $2\beta \omega A$, гипотенуза — $F_0/m$, поэтому теорема Пифагора даёт амплитуду, а отношение катетов — отставание:
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
$\mathrm{tg}\delta =\frac{2\beta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$
Когда $\omega$ возрастает, проходя через ${\omega }_0$, $\delta$ растёт от 0 до $180^{\circ }$. Рисунок 3 построен ниже резонанса, где зелёный катет положителен, а $\delta$ меньше $90^{\circ }$. Выше ${\omega }_0$ множитель ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ становится отрицательным, зелёная стрелка направлена против $\hat{x}$, и $\delta$ превышает $90^{\circ }$.

Как читать резонансную кривую

Две формулы выше содержат весь установившийся отклик. Их графики в зависимости от частоты вынуждающей силы показывают, где осциллятор откликается сильно, насколько острым получается этот отклик и что происходит с фазой при прохождении резонанса.

Обозначения

$A$	Установившаяся амплитуда смещения.	$\mathrm{м}$
$\delta$	Отставание смещения от вынуждающей силы.	$\mathrm{рад}$
$\omega$	Циклическая частота вынуждающей силы.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
${\omega }_0$	Собственная циклическая частота: чуть правее пика амплитуды, там, где $\delta =\pi /2$.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
${\omega }_1$	Нижняя частота половинной мощности, где $\delta =\pi /4$.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
${\omega }_2$	Верхняя частота половинной мощности, где $\delta =3\pi /4$.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$\Delta \omega$	Полная ширина на уровне половинной мощности: ${\omega }_2-{\omega }_1=2\beta ={\omega }_0/Q$.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$F_0/k$	Статическое растяжение: амплитуда при очень медленно меняющейся силе.	$\mathrm{м}$
$Q{F}_0/k$	Амплитуда при ${\omega }_0$: статическое растяжение, умноженное на $Q$.	$\mathrm{м}$
$\pi /2$	Четверть оборота: отставание при ${\omega }_0$.	$\mathrm{рад}$
$\pi$	Пол-оборота: отставание далеко выше ${\omega }_0$, где груз движется навстречу вынуждающей силе.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 4 схематически показан установившийся отклик груза с $Q=3$: вверху амплитуда $A(\omega )$, внизу отставание $\delta (\omega )$, на общей оси частот. Резонансная панель анимации строит $A(\omega )$ для раскачиваемой пружины при $Q=5$ и $Q=1$. Там верхний конец пружины смещается на $Y=2\mathrm{см}$, что действует на груз как сила с $F_0/m={\omega }_0^{2}Y$, так что $F_0/k=Y$.

Читайте кривые слева направо. Далеко ниже ${\omega }_0$ преобладает пружина: $A\approx F_0/k$ — статическое растяжение (2 см в анимации), $\delta \approx 0$, и груз следует за движением верхнего конца. Далеко выше ${\omega }_0$ преобладает инерция: $A\approx F_0/(m{\omega }^2)$ опускается ниже штрихового уровня $F_0/k$, $\delta$ стремится к $\pi$, и груз движется навстречу вынуждающей силе. При ${\omega }_0$, чуть правее пика, действия пружины и инерции компенсируются, и вынуждающую силу уравновешивает одно лишь затухание: $A=Q{F}_0/k$ и $\delta =\pi /2$. Скорость тогда совпадает по фазе с силой, и вынуждающая сила совершает положительную работу в течение всего периода. В анимации высокая кривая $Q=5$ достигает 10 см, а низкая серая кривая $Q=1$ даёт при ${\omega }_0$ лишь 2 см.

Ширину пика измеряют с помощью мощности. В установившемся режиме средняя мощность, отбираемая у источника вынуждающей силы, равна средней мощности, рассеиваемой демпфером, $P=\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$; при резонансе для $Q=5$ она равна 0,125 Вт. Запись ${\omega }^2{A}^2=(F_0/m{)}^2/[({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2/{\omega }^2+4{\beta }^2]$ показывает, что $P$ максимальна ровно при ${\omega }_0$ и падает вдвое там, где $|{\omega }_0^2-{\omega }^2|=2\beta \omega$. Это частоты ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ на рисунке; при $Q=5$ они равны 4,52 и 5,52 рад/с (0,72 и 0,88 Гц). Здесь два катета треугольника на рисунке 3 равны, так что $\mathrm{tg}\delta =\pm 1$: кривая отставания проходит через $\pi /4$ при ${\omega }_1$ и через $3\pi /4$ при ${\omega }_2$. Полная ширина равна
$\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1=2\beta =\frac{{\omega }_0}{Q}$
так что $Q$ измеряет и остроту пика, ${\omega }_0/\Delta \omega$. Сам пик амплитуды расположен чуть ниже ${\omega }_0$, при $\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}\approx 4,95\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, где он достигает 10,05 см вместо 10 см.

Точка на кривой анимации показывает выход на режим. Верхний конец пружины начинает движение из среднего положения по закону $Y\sin {\omega }_{0}t$, а груз — из состояния покоя. Установившееся смещение отстаёт от движения верхнего конца на четверть оборота, то есть равно $-QY\cos {\omega }_{0}t$, а вначале переходный процесс его гасит, так что $x\approx -QY(1-e^{-\beta t})\cos {\omega }_{0}t$. Амплитуда нарастает за характерное время $1/\beta =2\mathrm{с}$ и достигает 90 % пика лишь через $\ln 10/\beta \approx 4,6\mathrm{с}$. Узкий пик и долгое затухание — один и тот же факт, увиденный дважды: ширина $2\beta$, умноженная на время затухания $1/\beta$, всегда равна 2, поэтому остро настроенный осциллятор медленно откликается.

Задача: раскачка не в такт

Будем трясти ту же пружину ($F_0/m=0,5\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, $\beta =0,5{\mathrm{с}}^{-1}$, ${\omega }_0^2=25{\mathrm{с}}^{-2}$, $b=1\mathrm{кг}/\mathrm{с}$) с частотой 0,50 Гц и 1,00 Гц, по обе стороны от её собственных 0,80 Гц. Найдите в каждом случае установившуюся амплитуду, отставание по фазе и среднюю мощность.

Ниже резонанса, при 0,50 Гц: $\omega =2\pi f=\pi \approx 3,14\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, поэтому ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-9,87=15,13{\mathrm{с}}^{-2}$ и $2\beta \omega =3,14{\mathrm{с}}^{-2}$. Тогда
$A=\frac{0,5}{\sqrt{15,13^2+3,14^2}}=0,032\mathrm{м},\mathrm{tg}\delta =\frac{3,14}{15,13},\delta \approx 12^{\circ }$
Выше резонанса, при 1,00 Гц: $\omega =2\pi \approx 6,28\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, поэтому ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-39,48=-14,48{\mathrm{с}}^{-2}$ и $2\beta \omega =6,28{\mathrm{с}}^{-2}$. Отрицательный знаменатель помещает $\delta$ между $90^{\circ }$ и $180^{\circ }$:
$A=\frac{0,5}{\sqrt{14,48^2+6,28^2}}=0,032\mathrm{м},\mathrm{tg}\delta =\frac{6,28}{-14,48},\delta \approx 157^{\circ }$

Обе амплитуды около 3,2 см — треть от резонансных 10 см. Разница — в фазе: при 0,50 Гц груз движется вместе с верхним концом пружины, а при 1,00 Гц — почти навстречу ему. Средняя мощность $\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$ тоже различается: около 5 мВт при 0,50 Гц и 20 мВт при 1,00 Гц против 125 мВт при резонансе. Амплитуды равны, но частота удвоилась, поэтому амплитуда скорости $\omega A$ при 1,00 Гц вдвое больше, а мощность — вчетверо.

Важен и запуск. Если начать из состояния покоя, свободные колебания с частотой ${\omega }_d=4,97\mathrm{рад}/\mathrm{с}$ добавляются к установившемуся движению и дают с ним биения с периодом $2\pi /|\omega -{\omega }_d|$, здесь 3,4 с и 4,8 с. Поэтому, если верхний конец начинает движение из среднего положения, как в анимации, первые размахи достигают 4,1 и 4,5 см — больше установившихся 3,2 см. Через $3/\beta =6\mathrm{с}$ переходный процесс падает до $e^{-3}$, примерно до 5 %.

За пределами линейного затухания

До сих пор предполагалось, что сила затухания пропорциональна скорости. Реальное трение часто не таково, и форма затухания подсказывает, какой закон действует.

Сухое трение — постоянная сила $\mu N$, направленная против движения; здесь $\mu$ — коэффициент трения, $N$ — сила нормальной реакции. Оно не меняет период $2\pi /{\omega }_0$, но уменьшает амплитуду на одну и ту же величину $2\mu N/k$ за каждое полуколебание. Причина такова: за полуколебание от $A_1$ до $A_2$ потеря энергии пружины, $\frac{1}{2}k(A_1^2-A_2^2)$, равна работе $\mu N(A_1+A_2)$ против трения. Огибающая получается прямой линией, и груз останавливается как вкопанный через конечное время, когда сила пружины уже не может преодолеть трение. При трении 0,1 Н груз из анимации терял бы по 8 мм за полуколебание и остановился бы после 12 из них, примерно через 7,5 с. Сопротивление, растущее как $v^2$, быстро гасит большие размахи и позволяет малым долго сохраняться, поэтому амплитуда убывает примерно как $1/(1+t/t_1)$, где время $t_1$ определяется начальной амплитудой. Практическая проверка: постройте график логарифма амплитуды от времени. Прямая получается только при линейном затухании.

Пружина тоже может быть нелинейной. Пружина, жёсткость которой растёт с растяжением, при больших размахах колеблется быстрее, поэтому её резонансная кривая наклоняется в сторону высоких частот, и при изменении частоты вынуждающей силы амплитуда может скачком переходить между двумя установившимися значениями. Энергия может поступать и без периодической силы. Раскачивая качели приседанием и вставанием дважды за период, человек меняет свойство самого осциллятора — его эффективную длину, — а не толкает его: это параметрический резонанс. Смычок на струне или спусковой механизм часов подводят энергию в такт самому движению. Это действует как отрицательное затухание, которое увеличивает размах, пока его не ограничит нелинейность. Такомский мост, разрушенный в 1940 году, погиб из-за таких самовозбуждающихся колебаний (флаттера) при постоянном ветре, а не из-за простого резонанса с периодической силой.

Границы применимости

Линейный демпфер точен для резистора, почти точен для вихретокового тормоза и хорош для медленного движения в вязкой жидкости (урок «Сопротивление среды и предельная скорость»). Реальная пружина линейна лишь при малых растяжениях (урок «Упругость: закон Гука, напряжение и деформация»). Кроме того, резонансной амплитуде нужно время, чтобы установиться: вынуждающая сила должна действовать во много раз дольше, чем $1/\beta =2Q/{\omega }_0$, а это 1,4 с для камертона с $Q\approx 2000$ на частоте 440 Гц.

Затухание никогда не приходит в одиночку. Молекулярные столкновения, отнимающие энергию, ещё и случайно подталкивают груз, поэтому осциллятор в равновесии при температуре $T$ сохраняет среднюю энергию $k_{B}T$, где $k_B$ — постоянная Больцмана. Половина её приходится на пружину, так что среднее значение $\frac{1}{2}k{x}^2$ равно $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, и груз дрожит со среднеквадратичным смещением $\sqrt{k_{B}T/k}$. Для пружины 25 Н/м при 300 К это $1,3\times 10^{-11}\mathrm{м}$ — намного меньше всего, что можно увидеть. Для консоли атомно-силового микроскопа с $k=0,1\mathrm{Н}/\mathrm{м}$ это 0,2 нм — нижний предел того, что прибор способен обнаружить. Эту связь диссипации со случайной силой выражает флуктуационно-диссипационная теорема. Квантовые эффекты проявляются ступенями $\hslash {\omega }_0\approx 5\times 10^{-34}\mathrm{Дж}$; по сравнению с 0,125 Дж груза они совершенно ничтожны и важны лишь для молекул, атомов и очень холодных микрорезонаторов.

Что дальше

Если вместо $x$ взять заряд $q$, то же уравнение описывает последовательный колебательный контур, $L\ddot{q}+R\dot{q}+q/C=V_0\cos \omega t$. Индуктивность $L$, сопротивление $R$ и $1/C$ играют роль $m$, $b$ и $k$, так что ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ и $Q={\omega }_{0}L/R$. Радиоприёмнику, разделяющему станции средневолнового диапазона с интервалом 10 кГц около 1 МГц, нужна ширина ${\omega }_0/Q$ не больше этого интервала, то есть добротность порядка 100; см. уроки «Конденсаторы», «Электромагнитная индукция» и «Электромагнитные волны».

Свет точно так же раскачивает электроны, связанные в атомах. Ниже их ультрафиолетовых резонансов отклик растёт с частотой, поэтому стекло преломляет фиолетовый свет сильнее красного (урок «Призмы, дисперсия и цвет»); на резонансе энергия поглощается, как ионами кристалла соли в инфракрасной области. Та же кривая, каждый раз со своими ${\omega }_0$ и $Q$, описывает атмосферные приливы, моды стоячих волн (урок «Стоячие волны») и ядра в магнитно-резонансном томографе. В квантовой физике произведение ширины на время затухания возвращается как связь между шириной спектральной линии и временем жизни состояния, которое её излучает.