Полупроводники, диоды и светодиоды

Начальный

Медный провод легко проводит заряд, потому что часть его электронов не принадлежит какому-то одному атому: медь — проводник. В стекле каждый электрон остаётся при своём атоме, поэтому стекло — диэлектрик. Кремний, из которого делают микросхемы, находится посередине: это полупроводник.

Шаг 1. В чистом кремнии почти каждый электрон удерживается в связи между соседними атомами. Немного тепла или света освобождает несколько электронов, и каждый оставляет после себя пустое место — дырку. Когда соседний электрон перескакивает в дырку, она сдвигается в обратную сторону, поэтому дырка движется по кристаллу как положительный заряд.

Шаг 2. Инженеры добавляют щепотку другого элемента — это называется легированием. Одни примеси приносят лишние электроны (n-тип, от negative — «отрицательный»), другие оставляют дырки (p-тип, от positive — «положительный»).

Шаг 3. Соедините два типа — получится p–n-переход. В анимации синие точки слева — лишние электроны, а кольца справа — дырки. Между ними тонкий пустой слой, который работает как стенка. Пока напряжение мало, через неё ничего не проходит; примерно при 2 вольтах заряды обоих знаков устремляются к середине.

Шаг 4. Электрон, упавший в дырку, теряет энергию, и она уходит крошечной вспышкой света — так же, как атом испускает фотон, когда его электрон переходит на более низкий уровень. Это светоизлучающий диод, или светодиод. Высота «падения», а значит и цвет, зависит от материала.

Проверьте себя: подключите батарейку наоборот. Загорится ли светодиод? Нет: стенка становится толще, и ток почти не идёт. Переход — это клапан, пропускающий ток только в одну сторону, то есть диод. А если осветить переход, он сам даст ток: это солнечный элемент.

Средний

Зоны, запрещённая зона и дырки

Электрон, связанный с одним атомом, может иметь лишь определённые энергии. В кристалле каждый атомный уровень расширяется в зону из множества тесно расположенных уровней. Электроны связей заполняют валентную зону; выше лежит зона проводимости, где электроны движутся свободно, а между ними — запрещённая зона шириной $E_g$: энергии, которых не может иметь ни один электрон в идеальном кристалле.

Полностью заполненная зона тока не создаёт: на каждый электрон, движущийся в одну сторону, находится другой, движущийся в противоположную. Металл проводит ток, потому что его верхняя занятая зона заполнена лишь частично. У диэлектрика валентная зона заполнена целиком, а запрещённая зона широка — 5,5 эВ у алмаза; у полупроводника она узкая: 1,12 эВ у кремния, 1,42 эВ у арсенида галлия (GaAs), 1,9 эВ у красного светодиода из анимации.

При комнатной температуре тепловая энергия $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{эВ}$ перебрасывает через запрещённую зону кремния лишь около $10^{10}$ электронов на кубический сантиметр — из $5\times 10^{22}$ атомов в этом объёме. Каждый такой электрон оставляет в связи пустое место — дырку; в неё перескакивает соседний электрон, и дырка смещается в обратную сторону, как положительный заряд $+e$. Число пар удваивается примерно при каждом нагреве на 10 К, поэтому чистый полупроводник при нагревании проводит ток лучше, в отличие от металла.

Легирование: n-тип и p-тип

Носителями управляет легирование. У фосфора пять внешних электронов — на один больше, чем нужно для четырёх связей кремния; лишний электрон удерживается с энергией связи всего 0,045 эВ, и тепловое движение сразу освобождает его. Фосфор — донор: он создаёт кремний n-типа, где электроны — основные носители. У бора электронов три: он забирает электрон из соседней связи и оставляет дырку — получается кремний p-типа.

Один атом фосфора на пять миллионов атомов кремния даёт $10^{16}$ свободных электронов в кубическом сантиметре — в миллион раз больше, чем в чистом кристалле. Дырок становится меньше, потому что множество электронов их заполняет, а произведение двух концентраций остаётся неизменным:
$np=n_i^2,n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$
Здесь $n_i\approx 10^{10}\mathrm{с}{\mathrm{м}}^{-3}$ — концентрация в чистом кремнии, поэтому число дырок падает до $p=10^{20}/10^{16}=10^4\mathrm{с}{\mathrm{м}}^{-3}$: они — неосновные носители.

p–n-переход и его зонная диаграмма

Соедините области n-типа и p-типа в одном кристалле. Электроны диффундируют в p-область, а дырки — в n-область, и там рекомбинируют, так что вблизи границы остаются только неподвижные ионы: положительные доноры со стороны n и отрицательные акцепторы со стороны p. В этом обеднённом слое толщиной в доли микрометра нет свободных носителей, а поле его ионов отбрасывает носители назад, пока диффузия не прекратится при контактной разности потенциалов $V_{\mathrm{bi}}$: около 0,7 В у кремния и 1,8 В у светодиода из анимации.

Зонная диаграмма в анимации изображает это в виде ступеньки; энергия электрона отложена вверх: верхняя линия — край зоны проводимости, нижняя — край валентной зоны, расстояние между ними 1,9 эВ (золотая стрелка). Оба края со стороны p лежат выше, поэтому электрону (синяя точка) из n-области приходится взбираться на ступеньку, а дырке (кольцо), которая всплывает, как пузырёк, пришлось бы опускаться по ней вниз. Без приложенного напряжения высота ступеньки 1,8 эВ, и через неё почти ничто не проходит.

Смещение, ток и свет

Прямое смещение (p-область подключена к «+») действует против контактной разности потенциалов: ступенька уменьшается, обеднённый слой сужается, и ток растёт экспоненциально. Обратное смещение поднимает ступеньку, и просачивается лишь крошечный ток насыщения $I_s$. Переход — это диод, клапан для тока, пропускающий его в одну сторону. Основную работу выполняют четыре формулы:

• $hf\approx E_g$
• $\lambda =\frac{hc}{E_g}\approx \frac{1240\mathrm{эВ}\cdot \mathrm{нм}}{E_g}$
• $I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$
• $R=\frac{V_s-V_F}{I}$

Электрон проводимости, упавший в дырку, теряет около $E_g$ энергии и испускает один фотон; поскольку $hc\approx 1240\mathrm{эВ}\cdot \mathrm{нм}$, при делении на ширину запрещённой зоны в электронвольтах получается длина волны в нанометрах. В уравнении диода тепловое напряжение $V_T=k_{B}T/e$ равно 25,9 мВ при 300 К, а коэффициент идеальности $\eta$ лежит между 1 и 2: каждые дополнительные $2,3\eta V_T$ (60 мВ при $\eta =1$, 120 мВ при $\eta =2$) увеличивают ток в десять раз.

Пример: светодиод из анимации

У кристалла в анимации $E_g=1,9\mathrm{эВ}$. Каждый фотон уносит примерно такую энергию, $1,9\cdot 1,602\times 10^{-19}=3,04\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$, а его длина волны равна
$\lambda \approx \frac{1240\mathrm{эВ}\cdot \mathrm{нм}}{1,9\mathrm{эВ}}\approx 653\mathrm{нм}$
и анимация округляет её до 650 нм: это красный свет.

По мере роста напряжения источника $V$ числовой индикатор $I$ остаётся меньше половины миллиампера вплоть до примерно 1,5 В — пока, как сказано в подписи, барьер ещё высок; при 1,56 В ток превышает 1 мА, а при 2,0 В достигает 20 мА. Полвольта увеличивают ток более чем в пятьдесят раз. Тем временем ступенька на зонной диаграмме уменьшается с 1,8 эВ до примерно 0,1 эВ (остальные 0,3 В приходятся на сопротивление кристалла), обеднённый слой сужается до четверти исходной ширины, а стрелки $e^{-}$ и $h^{+}$ показывают носители, которые текут к переходу с обеих сторон.

Каждый электрон, пересекающий переход, даёт не более одного фотона, поэтому ток считает фотоны: при 20 мА $I/e=0,020/(1,602\times 10^{-19})\approx 1,25\times 10^{17}$ в секунду, и они уносят самое большее $1,25\times 10^{17}\cdot 3,04\times 10^{-19}\approx 0,038\mathrm{Вт}$ света при электрической мощности $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{Вт}$. Всё, что не вышло наружу светом, нагревает кристалл.

Пример: резистор для синего светодиода

У синего светодиода запрещённая зона шире, $E_g\approx 2,7\mathrm{эВ}$ ($\lambda \approx 460\mathrm{нм}$), поэтому для тока 20 мА ему нужно около 3,0 В, а не 2 В. У вас есть источник USB на 5,0 В. Последовательный резистор пропускает тот же ток и берёт на себя остаток напряжения:
$R=\frac{V_s-V_F}{I}=\frac{5,0-3,0}{0,020}=100\mathrm{Ом}$
На нём выделяется $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{Вт}$, а на светодиоде — $3,0\cdot 0,020=0,060\mathrm{Вт}$.

Без резистора ток задавала бы собственная характеристика светодиода, слишком крутая: в анимации полвольта меняют ток в пятьдесят раз, так что 5 В на голом светодиоде его уничтожили бы. С резистором светодиод, у которого прямое напряжение 3,1 В вместо 3,0 В, всё равно получает $1,9/100=0,019\mathrm{А}$: ток определяет резистор, а не светодиод.

Частые ошибки

• Кремний n-типа не заряжен отрицательно: каждый атом фосфора входит в кристалл нейтральным, а когда его пятый электрон уходит, на месте остаётся неподвижный положительный ион.
• Более яркий светодиод не светит более синим светом. Ток задаёт число фотонов в секунду — около $1,25\times 10^{17}$ при 20 мА, а ширина запрещённой зоны — энергию каждого из них.
• У диода нет постоянного сопротивления: у светодиода из анимации $V/I=1,5/0,00037\approx 4\mathrm{кОм}$ при 1,5 В, но $2,0/0,020=100\mathrm{Ом}$ при 2,0 В.
• Обратное смещение запирает диод не при любом напряжении: за пределом пробоя обратный ток резко возрастает, а в справочных данных светодиодов допускается лишь около 5 В в обратном направлении.

Где это встречается

Светодиодные лампы, экраны и светофоры светятся именно так, как описано в этом уроке. Солнечный элемент — тот же переход, выполняющий обратную работу: свет рождает электронно-дырочные пары, а поле обеднённого слоя разводит их в стороны, создавая ток; так же устроены матрицы камер и приёмники волоконно-оптической связи. Транзисторы, построенные из переходов или из канала, управляемого полем, переключают и усиливают сигналы в каждой микросхеме. Про фотоны читайте в уроках «Фотоэффект» и «Модели атома: атом Бора», про электрические цепи — в уроке «Цепи постоянного тока и закон Ома».

Продвинутый

Зоны из перескоков между атомами

Всё, что делает полупроводник, вытекает из одного факта: его электроны не привязаны к отдельным атомам. Чтобы увидеть, как из этого получаются зоны разрешённых энергий, разделённые запрещённой зоной, проследите за одним электроном в самом простом кристалле — прямой цепочке одинаковых атомов.

Обозначения

$a$	Расстояние между атомами цепочки.	$\mathrm{м}$
$A$	Энергия перескока: связь между двумя соседними атомами.	$\mathrm{Дж}$
$E$	Энергия одного волнового состояния цепочки.	$\mathrm{Дж}$
$k$	Волновое число этого состояния: его амплитуда на атоме в точке $x_n$ пропорциональна $e^{ik{x}_n}$.	${\mathrm{м}}^{-1}$
$E_0$	Энергетический уровень изолированного атома; зона расположена симметрично вокруг него.	$\mathrm{Дж}$
$4A$	Ширина зоны: от $E_0-2A$ при $k=0$ до $E_0+2A$ на краю.	$\mathrm{Дж}$
$\pi /a$	Край нужного диапазона $k$: значение $k$ за ним даёт на атомах те же амплитуды, что и значение внутри диапазона.	${\mathrm{м}}^{-1}$
$m^{\ast }$	Эффективная масса у дна зоны, определяемая кривизной зелёной параболы там; у вершины кривизна обратная, что даёт $-m^{\ast }$.	$\mathrm{кг}$

В верхней части рисунка 1 показана цепочка. Атомы расположены на расстоянии $a$ друг от друга, поэтому атом с номером $n$ находится в точке $x_n=na$. Сам по себе каждый атом удерживал бы электрон на уровне энергии $E_0$. Но атомы близки, и электрон может также перескочить к любому из соседей; это показывает изогнутая двойная стрелка, а энергия перескока $A$ измеряет, насколько сильно связаны два соседних атома.

Поскольку электрон всегда может уйти к соседу, состояние, в котором он сидит на одном атоме, не может иметь определённой энергии. Состояние с определённой энергией должно давать электрону амплитуду $C_n$ на каждом атоме. Уравнение Шрёдингера говорит: энергия, умноженная на амплитуду на атоме $n$, равна $E_0$, умноженной на эту амплитуду, минус $A$, умноженная на амплитуды на двух соседях,

$E{C}_n=E_0{C}_n-A(C_{n+1}+C_{n-1})$

У каждого атома одинаковое окружение, поэтому попробуйте волну $C_n=e^{ik{x}_n}$ с волновым числом $k$. Тогда у двух соседей амплитуды равны $e^{ik{x}_n}{e}^{ika}$ и $e^{ik{x}_n}{e}^{-ika}$. Общий множитель $e^{ik{x}_n}$ сокращается в обеих частях, а так как $e^{ika}+e^{-ika}=2\cos ka$, остаётся

$E=E_0-2A\cos ka$

Это кривая в нижней части рисунка 1: энергия $E$ каждой волны в зависимости от её волнового числа $k$. Нужны только значения $k$ от $-\pi /a$ до $\pi /a$. Если прибавить к $k$ величину $2\pi /a$, амплитуда на атоме $n$ умножится на $e^{i2\pi n}=1$, то есть получится та же самая волна. При $k=0$ амплитуда на всех атомах одинакова, а энергия наименьшая, $E_0-2A$: это дно зоны. При $k=\pm \pi /a$ знак амплитуды меняется от атома к атому, а энергия наибольшая, $E_0+2A$. Единственный атомный уровень $E_0$, штриховая линия посередине, превратился в зону шириной $4A$ — это скобка справа.

Каждый атомный уровень таким образом расширяется в свою зону, а между двумя зонами лежат энергии, которых не может иметь ни одна волна в цепочке: запрещённая зона. В полупроводнике при абсолютном нуле электроны заполняют ровно одну зону, валентную, а следующую, зону проводимости, оставляют пустой. Расстояние от вершины валентной зоны до дна зоны проводимости — это ширина запрещённой зоны $E_g$, в кремнии 1,12 эВ.

Вблизи дна зоны важны только малые $k$, и там $\cos ka\approx 1-\frac{1}{2}(ka{)}^2$. Подставив это в выражение для зоны, получаем

$E\approx E_0-2A+A{a}^2{k}^2$

С точностью до постоянной это имеет вид кинетической энергии свободной частицы, ${\hslash }^2{k}^2/2m$, где $\hslash$ — приведённая постоянная Планка. Значит, электрон вблизи дна зоны движется по кристаллу как свободная частица, но с эффективной массой

$m^{\ast }=\frac{{\hslash }^2}{2A{a}^2}$

Чем сильнее перескоки, тем легче электрон. Связь 1 эВ между атомами на расстоянии 0,3 нм даёт $m^{\ast }\approx 0,42m_e$, где $m_e$ — масса свободного электрона; измеренные значения лежат от $0,07m_e$ (электроны в GaAs) до примерно $m_e$. На рисунке 1 зелёная парабола внизу, подписанная $m^{\ast }$, — это и есть такое приближение. Она хорошо прилегает к зоне вблизи $k=0$ и расходится с ней дальше, где косинус уплощается.

У вершины зоны косинус изгибается в другую сторону. Вторая зелёная парабола, подписанная $-m^{\ast }$, подходит к зоне там: электрон вблизи вершины имеет отрицательную эффективную массу, поэтому сила ускоряет его назад. Теперь возьмите зону, которая полностью заполнена, кроме одного электрона, недостающего вблизи её вершины. Полная зона не несёт тока, потому что каждому электрону, движущемуся в одну сторону, соответствует электрон, движущийся в другую. Поэтому зона с недостающим электроном ведёт себя как этот электрон, у которого изменены и заряд, и масса: заряд $+e$ вместо $-e$, масса $+m^{\ast }$ вместо $-m^{\ast }$. Этот недостающий электрон и есть дырка. Это настоящая квазичастица, то есть возбуждение кристалла, ведущее себя как частица: напряжение Холла в материале p-типа имеет знак, ожидаемый для положительных носителей. Если поднять электрон от вершины валентной зоны ко дну зоны проводимости, получится один свободный электрон и одна дырка, поэтому $E_g$ — наименьшая энергия, создающая электронно-дырочную пару.

Подсчёт носителей: закон действующих масс

В чистом полупроводнике при комнатной температуре мало свободных носителей, и все они рождены тепловыми колебаниями. Введение примесей — легирование — меняет их число на много порядков. Одно простое правило связывает концентрации электронов и дырок во всех случаях, и остальная часть урока опирается на него.

Обозначим через $n$ число электронов проводимости в единице объёма, а через $p$ — число дырок. Пары рождаются, когда тепловое колебание перебрасывает электрон через запрещённую зону. Это стоит энергии $E_g$, поэтому скорость рождения пропорциональна множителю Больцмана $e^{-E_g/k_{B}T}$, где $k_B$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура; при 300 К $k_{B}T=0,0259\mathrm{эВ}$. Пары исчезают, когда электрон встречает дырку и падает в неё; это называется рекомбинацией. Скорость встреч пропорциональна $np$, так как при удвоении любой из концентраций число встреч удваивается. В равновесии рождение и рекомбинация уравновешены, поэтому произведение $np$ зависит только от ширины запрещённой зоны и температуры:

$np=n_i^2$

Здесь $n_i$, собственная концентрация, — значение и $n$, и $p$ в чистом кристалле, где за каждым электроном в зоне проводимости осталась дырка. Так как $n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, её квадратный корень равен

$n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$

где опущен более медленно меняющийся множитель $T^{3/2}$. Легирование это рассуждение не меняет. Донорный атом, например фосфор в кремнии, отдаёт электрон зоне проводимости; акцептор, например бор, забирает электрон из валентной зоны и оставляет дырку. Ни тот, ни другой не влияет ни на скорость рождения пар через запрещённую зону, ни на вероятность того, что данный электрон встретит данную дырку, поэтому $np=n_i^2$ по-прежнему выполняется.

Для кремния при 300 К $n_i\approx 10^{10}\mathrm{с}{\mathrm{м}}^{-3}$. Добавьте доноры с концентрацией $N_D=10^{16}\mathrm{с}{\mathrm{м}}^{-3}$, в миллион раз больше $n_i$. Почти каждый донор отдаёт электрон, так что $n\approx N_D$, и закон действующих масс фиксирует концентрацию дырок: $p=n_i^2/N_D=10^4\mathrm{с}{\mathrm{м}}^{-3}$. Легирование повышает одну концентрацию и понижает другую: в этом кремнии n-типа электроны — основные носители, а дырки — неосновные.

Из-за экспоненты $n_i$ очень чувствительна. Нагрев кремния с 300 К до 310 К удваивает её. Более широкая запрещённая зона уменьшает её гораздо сильнее: для запрещённой зоны 1,9 эВ у светодиода из анимации показатель экспоненты растёт на $(1,9-1,12)/(2\cdot 0,0259)\approx 15$, поэтому $n_i$ умножается на $e^{-15}\approx 3\times 10^{-7}$ и становится равной нескольким тысячам носителей в кубическом сантиметре.

p–n-переход: контактная разность и обеднённый слой

p–n-переход — это кристалл, легированный с одной стороны примесью n-типа, а с другой — p-типа. Диоды, светодиоды, солнечные элементы и транзисторы строятся из таких переходов. Когда две стороны соприкасаются, электроны диффундируют из n-области в p-область, где их мало, а дырки диффундируют в обратную сторону. Каждый носитель, который пересёк границу и рекомбинировал, оставляет после себя неподвижный ион, чей заряд больше не скомпенсирован: положительный донор в n-области, отрицательный акцептор в p-области. Заряд этих ионов создаёт поле, отталкивающее носители обратно, и диффузия прекращается, когда поле её уравновешивает. Полоса вокруг перехода, потерявшая свободные носители, — это обеднённый слой.

Обозначения

$x$	Координата поперёк перехода, от n-стороны к p-стороне.	$\mathrm{м}$
$W$	Ширина обеднённого слоя.	$\mathrm{м}$
$\rho$	Плотность заряда неподвижных ионов: положительные доноры в n-половине слоя, отрицательные акцепторы в p-половине.	$\mathrm{Кл}/{\mathrm{м}}^3$
$e{N}_D$	Плотность заряда ионизованных доноров: $e$, умноженное на их концентрацию $N_D$.	$\mathrm{Кл}/{\mathrm{м}}^3$
$e{N}_A$	Модуль плотности заряда ионизованных акцепторов: $e$, умноженное на их концентрацию $N_A$; здесь равен $e{N}_D$.	$\mathrm{Кл}/{\mathrm{м}}^3$
$E$	Электрическое поле, направленное от n-стороны к p-стороне.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$E_{\max }$	Максимум поля на переходе.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$V$	Электрический потенциал вдоль перехода.	$\mathrm{В}$
$V_{bi}$	Контактная разность потенциалов: падение $V$ поперёк слоя, равное закрашенной площади под $E$.	$\mathrm{В}$
$n$	Область n-типа: свободные электроны и положительные ионы доноров.
$p$	Область p-типа: дырки и отрицательные ионы акцепторов.

Рисунок 2 прослеживает переход вдоль координаты $x$, от n-стороны слева к p-стороне справа, тремя графиками с общей осью $x$. Обеднённый слой шириной $W$ лежит между штриховыми линиями.

Верхний график — плотность заряда $\rho$: два блока. В n-половине слоя находятся ионы доноров с плотностью заряда $e{N}_D$, где $N_D$ — число доноров в единице объёма. В p-половине — ионы акцепторов с плотностью заряда $-e{N}_A$. Здесь легирование с обеих сторон одинаково, $N_A=N_D$, как в примере с кремнием ниже, поэтому обе половины равны, каждая шириной $W/2$. Вне слоя свободные носители компенсируют ионы, и $\rho =0$.

Средний график — поле $E$. Теорема Гаусса в одном измерении, $dE/dx=\rho /\epsilon$, где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость кристалла, говорит, что наклон поля равен плотности заряда, делённой на $\epsilon$. Постоянная $\rho$ поэтому даёт прямую линию. Вне слоя $E$ равно нулю, затем равномерно растёт на положительной половине, достигает максимума $E_{\max }$ на переходе и спадает до нуля на отрицательной половине. Получается треугольник, и поле направлено от n к p во всём слое, как и должно быть, чтобы возвращать электроны в n-сторону, а дырки в p-сторону.

Нижний график — потенциал $V$. Потенциал равен интегралу поля со знаком минус, $dV/dx=-E$, поэтому $V$ постоянен везде, где $E=0$, и падает поперёк слоя на площадь под треугольником поля, $\frac{1}{2}{E}_{\max }W$. Эта площадь закрашена на среднем графике, а соответствующее ей падение отмечено скобкой справа от нижнего графика: это контактная разность потенциалов $V_{\mathrm{bi}}$.

Величина $V_{\mathrm{bi}}$ следует из равновесия. Чтобы попасть в p-сторону, электрон из n-стороны должен подняться на ступеньку потенциальной энергии $e{V}_{\mathrm{bi}}$. В равновесии электроны подчиняются множителю Больцмана на этой ступеньке, поэтому их концентрация на p-стороне равна их концентрации на n-стороне, умноженной на $e^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$. На n-стороне концентрация равна $N_D$; на p-стороне по закону действующих масс она равна $n_i^2/N_A$. Записав $n_i^2/N_A=N_D{e}^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$ и прологарифмировав, получаем

$V_{\mathrm{bi}}=\frac{k_{B}T}{e}\ln \left(\frac{N_A{N}_D}{n_i^2}\right)$

Для кремния с $N_A=N_D=10^{16}\mathrm{с}{\mathrm{м}}^{-3}$ и $k_{B}T/e=0,02585\mathrm{В}$ это даёт $0,02585\cdot \ln (10^{12})\approx 0,71\mathrm{В}$. Так как $n_i^2$ содержит множитель $e^{-E_g/k_{B}T}$, величина $e{V}_{\mathrm{bi}}$ равна $E_g$ минус слагаемое, которое лишь медленно уменьшается с ростом легирования, поэтому ступенька приближается к $E_g/e$, но заметно превысить её не может. Сильно легированный светодиод из анимации подходит к этому пределу близко: $V_{\mathrm{bi}}=1,8\mathrm{В}$ при $E_g/e=1,9\mathrm{В}$.

Ширина слоя следует из тех же трёх графиков. При одинаковом легировании $N$ с обеих сторон каждая половина имеет ширину $W/2$. На этом расстоянии поле растёт с наклоном $eN/\epsilon$, поэтому его максимум равен $E_{\max }=eN(W/2)/\epsilon$. Напряжение на слое — это площадь треугольника:

$\frac{1}{2}{E}_{\max }W=\frac{eN{W}^2}{4\epsilon }$

При нулевом смещении это напряжение равно $V_{\mathrm{bi}}$. Прямое смещение $V$, делающее p-сторону более положительной, противодействует встроенному полю и оставляет на слое $V_{\mathrm{bi}}-V$; обратное смещение — это отрицательное $V$. Напряжение на слое пропорционально $W^2$, поэтому

$W\propto \sqrt{V_{\mathrm{bi}}-V}$

Для описанного выше кремниевого перехода при $\epsilon \approx 1,0\times 10^{-10}\mathrm{Ф}/\mathrm{м}$ ширина слоя при нулевом смещении $W\approx 0,43\mathrm{мкм}$, а максимальное поле $E_{\max }$ около $3\times 10^6\mathrm{В}/\mathrm{м}$. Обратное смещение 5 В расширяет слой до $1,2\mathrm{мкм}$. В анимации прямое смещение понижает барьер с 1,8 эВ до 0,1 эВ, и слой сжимается до $\sqrt{0,1/1,8}\approx 0,24$ своей ширины.

Переход с контактной разностью потенциалов похож на батарейку, и всё же провод, соединяющий его концы, тока не пропускает. Провод образует два новых контакта, металл–n и металл–p, у каждого своя ступенька потенциала, и при одной температуре ступеньки вдоль контура в сумме дают нуль. Иначе контур вечно превращал бы теплоту окружения с одной температурой в работу, что запрещено вторым началом термодинамики. Как храповик с собачкой в газе при одной температуре, переход не может выпрямлять собственный тепловой шум. Нагрейте один контакт — и равновесие нарушится: это термоэлектрический эффект, на котором работает термопара.

Выпрямление: два потока вне равновесия

Диод легко пропускает ток в одну сторону и почти не пропускает в другую. Чтобы понять почему, проследите за дырками, пересекающими переход в каждом направлении; электроны ведут себя так же и добавляются к тому же току.

Обозначения

$U$	Потенциальная энергия дырки в каждой точке поперёк перехода.	$\mathrm{Дж}$
$n$	n-сторона, где дырок мало (неосновные носители).
$p$	p-сторона, где дырок много (основные носители).
$V$	Прямое смещение: приложенное напряжение, положительное на p-стороне.	$\mathrm{В}$
$e{V}_{bi}$	Высота ступеньки для дырок при нулевом смещении: $e$, умноженное на контактную разность потенциалов.	$\mathrm{Дж}$
$eV$	На сколько прямое смещение поднимает уровень p-стороны.	$\mathrm{Дж}$
$e(V_{bi}-V)$	Высота ступеньки при прямом смещении.	$\mathrm{Дж}$
$I_s$	Ток насыщения: поток неосновных дырок, скатывающихся со ступеньки; при нулевом смещении поток вверх ему равен.	$\mathrm{А}$
$I_s{e}^{eV/k_{B}T}$	Поток вверх при прямом смещении: в $e^{eV/k_{B}T}$ раз больше $I_s$.	$\mathrm{А}$

На рисунке 3 показана потенциальная энергия $U$ дырки в каждой точке перехода, n-сторона слева, p-сторона справа; кольца — это дырки. Поле обеднённого слоя толкает дырки к p-стороне, поэтому на n-стороне у дырки потенциальная энергия больше: выше на $e{V}_{\mathrm{bi}}$, когда напряжение не приложено (верхняя панель). Дырка, идущая из p в n, должна взбираться на эту ступеньку; идущая из n в p скатывается с неё.

Поэтому через переход идут два потока дырок. Первый поднимается. Дырок много на p-стороне, где они основные носители, но через ступеньку перебираются лишь немногие из них, обладающие достаточной тепловой энергией. Второй скатывается. Дырок мало на n-стороне, где они неосновные носители, рождённые тепловым движением, но все, кто забредёт в слой, увлекаются вниз по ступеньке его полем. Этот поток вниз зависит только от того, сколько неосновных дырок доходит до слоя, а не от высоты ступеньки; это ток насыщения $I_s$. При $V=0$ суммарного тока нет, поэтому поток вверх должен быть равен ему, и на верхней панели показано по одной стрелке с подписью $I_s$ в каждую сторону.

На нижней панели прямое смещение $V$ поднимает p-сторону на $eV$; штриховая линия под ней отмечает прежний уровень. Ступенька уменьшается до $e(V_{\mathrm{bi}}-V)$, и слой сужается соответственно. Число дырок, энергии которых хватает для подъёма, растёт в $e^{eV/k_{B}T}$ раз — это множитель Больцмана, — поэтому поток вверх становится $I_s{e}^{eV/k_{B}T}$, а поток вниз по-прежнему равен $I_s$. На рисунке больший поток нарисован тремя стрелками вместо одной; настоящий множитель гораздо больше, около $6\times 10^{11}$ при 0,7 В в кремнии, поэтому рисунок выполнен не в масштабе.

В символах поток вверх пропорционален $p_p{e}^{-e(V_{\mathrm{bi}}-V)/k_{B}T}$, где $p_p$ — концентрация дырок на p-стороне. Прямое смещение умножает его на $e^{eV/k_{B}T}$, а поток вниз сохраняет значение $I_s$. Суммарный дырочный ток — их разность, $I_s{e}^{eV/k_{B}T}-I_s$. Электроны дают два потока той же формы, поэтому полный ток подчиняется уравнению диода Уильяма Шокли:

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$

Здесь коэффициент идеальности $\eta =1$ — для такой картины, где носители диффундируют через слой и рекомбинируют за его пределами. Обратное смещение, $V<0$, наоборот, поднимает ступеньку: экспонента затухает, и $I\to -I_s$, остаётся лишь малый поток вниз. Это и есть выпрямление. Прямое смещение в несколько десятых вольта увеличивает ток во много раз, а обратное смещение любой величины, вплоть до пробоя, пропускает только $I_s$.

Когда большинство носителей рекомбинирует внутри обеднённого слоя, ток растёт медленнее. Внутри слоя $np=n_i^2{e}^{eV/k_{B}T}$, и рекомбинация идёт быстрее всего там, где обе концентрации равны, обе около $n_i{e}^{eV/2k_{B}T}$. Тогда ток растёт лишь как $e^{eV/2k_{B}T}$, то есть $\eta \approx 2$ — это значение используется в анимации. Для светодиода из анимации $I_s$ около $10^{-16}\mathrm{А}$.

Напряжение, при котором диод открывается, определяется прежде всего запрещённой зоной. При диффузии $I_s\propto n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, а при рекомбинации $I_s\propto n_i\propto e^{-E_g/2k_{B}T}$. В обоих случаях, когда ток заметно превышает $I_s$,

$I\approx C{e}^{-(E_g-eV)/\eta k_{B}T}$

с предэкспоненциальным множителем $C$, который лишь медленно меняется с легированием и температурой. Ток определяется тем, насколько $eV$ ниже $E_g$, поэтому именно запрещённая зона, гораздо сильнее, чем легирование, решает, где открывается диод.

Как читать вольт-амперную характеристику

На экспертном уровне анимации строится график тока $I$ светодиода в зависимости от напряжения питания $V$ по мере его роста. Полученные выше результаты объясняют форму этой кривой, а её числа хорошо их проверяют.

Запишем $V_T=k_{B}T/e=25,85\mathrm{мВ}$ при 300 К. При $\eta =2$ получаем $\eta V_T=2\cdot 25,85=51,7\mathrm{мВ}$. Ток вырастает в десять раз при каждом увеличении показателя экспоненты на $\ln 10\approx 2,3$, то есть через каждые $2,3\cdot 51,7\approx 119\mathrm{мВ}$. Поэтому кривая прижимается к оси вплоть до примерно 1,5 В (0,37 мА), резко изгибается между 1,6 и 1,8 В и достигает 20 мА при 2,0 В. Пунктирная золотая линия отмечает $E_g/e=1,9\mathrm{В}$.

Почему переход работает примерно на 0,2 В ниже $E_g/e$? Для этого светодиода $C\approx 0,96\mathrm{А}$. Ток 20 мА лежит на ${\log }_{10}(0,96/0,020)\approx 1,7$ декады ниже $C$, поэтому по приведённой формуле напряжение на переходе $V_j$ оказывается на $1,7\cdot 119\approx 200\mathrm{мВ}$ ниже $E_g/e$, то есть 1,70 В. У кремниевого диода с $\eta \approx 1$ величина $C$ примерно на восемь декад выше рабочего тока, поэтому его излом приходится на 0,6–0,7 В, примерно на полвольта ниже его запрещённой зоны 1,12 В.

Источник должен также протолкнуть ток через последовательное сопротивление кристалла, 15 Ом. При 20 мА на это требуется $0,020\cdot 15=0,30\mathrm{В}$ — остаток от 2,0 В. Это сопротивление формирует верхнюю часть кривой. Собственное дифференциальное сопротивление перехода, $d{V}_j/dI=\eta V_T/I$, при 20 мА всего около $2,6\mathrm{Ом}$, много меньше 15 Ом, поэтому кривая выпрямляется в линию с наклоном около $1/(17,6\mathrm{Ом})$. На зонной диаграмме подпись у барьера следует за $e(V_{\mathrm{bi}}-V_j)$, которая падает с 1,8 эВ до 0,10 эВ по мере роста напряжения.

Задача: светодиод как солнечный элемент

Запустите переход наоборот: вместо того чтобы подавать ток и получать свет, направьте свет и получите мощность. Те же уравнения тогда описывают солнечный элемент, а светодиод из анимации показывает, какую мощность может отдать один переход и почему его напряжение остаётся ниже $E_g/e$.

Обозначения

$V$	Напряжение на переходе, положительное в прямом направлении.	$\mathrm{В}$
$I$	Ток через освещённый переход, $I=I_d-I_L$.	$\mathrm{А}$
$I_d$	Ток перехода в темноте: уравнение диода.	$\mathrm{А}$
$I_L$	Фототок: ток, который свет гонит через переход в обратном направлении; он сдвигает кривую вниз.	$\mathrm{А}$
$V_{oc}$	Напряжение холостого хода: точка, где кривая при освещении пересекает $I=0$.	$\mathrm{В}$
$V_{mp}$	Напряжение в точке максимальной мощности, угол наибольшего прямоугольника.	$\mathrm{В}$
$I_{mp}$	Ток, отдаваемый в точке максимальной мощности; там кривая при освещении лежит на уровне $-I_{\mathrm{mp}}$.	$\mathrm{А}$
$P_{\max }$	Наибольшая мощность, которую отдаёт элемент: площадь закрашенного прямоугольника.	$\mathrm{Вт}$
$E_g/e$	Ширина запрещённой зоны, делённая на $e$: напряжение, к которому $V_{\mathrm{oc}}$ приближается, оставаясь ниже.	$\mathrm{В}$

На рисунке 4 построен ток $I$ через переход в зависимости от напряжения $V$ на нём, оба положительны в прямом направлении. Штриховая кривая $I_d$ — переход в темноте, она задаётся уравнением диода, её излом чуть ниже $E_g/e$, штриховой вертикали.

Теперь представьте, что на переход падает свет и рождает электронно-дырочные пары со скоростью, эквивалентной $I_L=20\mathrm{мА}$, то есть $I_L/e$ пар в секунду. Поле обеднённого слоя разводит каждую пару: электрон уходит в n-сторону, а дырка в p-сторону. Это ток через переход в обратном направлении, и его величина не зависит от $V$. Поэтому кривая при освещении $I$ — это тёмная кривая, сдвинутая вниз на $I_L$, как показывает стрелка с подписью $I_L$.

Кривая при освещении пересекает ось $I$ в точке $-I_L$, а ось $V$ — при напряжении холостого хода $V_{\mathrm{oc}}$. Между этими двумя точками $V$ положительно, а $I$ отрицательно: ток выходит через положительную клемму, как из батарейки, то есть переход отдаёт мощность. В любой точке этого участка мощность равна площади прямоугольника между осями и точкой кривой. Закрашенный прямоугольник с углом в точке $V_{\mathrm{mp}}$, $-I_{\mathrm{mp}}$ — наибольший, и его площадь равна $P_{\max }$.

В уравнениях ток при освещении равен

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]-I_L$

Если выводы замкнуть накоротко, $V=0$ и $I=-I_L=-20\mathrm{мА}$: весь фототок идёт по проводу, а через диод — в обратную сторону. Если выводы разомкнуть, $I=0$, поэтому ток диода должен быть равен $I_L$, что даёт

$V_{\mathrm{oc}}=\eta V_T\ln \left(1+\frac{I_L}{I_s}\right)=1,70\mathrm{В}$

Это в точности напряжение на переходе при 20 мА в анимации, потому что в обоих случаях ток диода равен 20 мА.

Отдаваемая мощность равна $P=V(I_L-I_d)$, где $I_d$ — тёмный ток при напряжении $V$. Она равна нулю на обоих концах участка и наибольшая между ними, где $dP/dV=0$: это угол наибольшего прямоугольника на рисунке 4. Численное решение даёт $V_{\mathrm{mp}}\approx 1,52\mathrm{В}$ и $I_{\mathrm{mp}}=I_L-I_d\approx 19,3\mathrm{мА}$, так что $P_{\max }\approx 29,5\mathrm{мВт}$. Коэффициент заполнения сравнивает этот прямоугольник с описанным вокруг кривой прямоугольником площадью $V_{\mathrm{oc}}{I}_L$: $29,5/(1,70\cdot 20)\approx 0,87$.

Каждая поглощённая пара получает не менее 1,9 эВ, но отдаёт лишь 1,52 эВ: напряжение остаётся ниже $E_g/e$ на тот же логарифм, который опустил излом ниже этого значения. С учётом последовательного сопротивления 15 Ом наилучшая мощность падает примерно до 24 мВт. В реальных солнечных элементах ширина запрещённой зоны около 1,1–1,4 эВ — это компромисс: меньшая зона поглощает больше солнечного света, большая отдаёт больше энергии на один электрон.

Границы применимости

Уравнение диода предполагает низкий уровень инжекции: инжектированных носителей намного меньше, чем основных. Поэтому напряжение на переходе должно оставаться заметно ниже $V_{\mathrm{bi}}$; 1,70 В против 1,8 В в анимации — это уже край, где преобладает последовательное сопротивление. Уравнение предполагает также статистику Больцмана, которая в кремнии перестаёт работать при легировании выше примерно $10^{19}\mathrm{с}{\mathrm{м}}^{-3}$. Оно считает концентрации гладкими средними, хотя в области размером 10 нм при легировании $10^{18}\mathrm{с}{\mathrm{м}}^{-3}$ в среднем находится всего один атом примеси. При обратном смещении $I=-I_s$ справедливо лишь до пробоя. В сильно легированных переходах барьер так тонок, что электроны туннелируют сквозь него уже при нескольких вольтах (туннельный, или зенеровский, пробой); в слабо легированных носители, ускоренные полем, выбивают новые пары, и при десятках или сотнях вольт развивается лавинный пробой.

У излучения света есть собственное ограничение. В кремнии дно зоны проводимости и вершина валентной зоны лежат при разных квазиимпульсах $\hslash k$, разность которых около $1,0\times 10^{-24}\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$ — примерно в 1700 раз больше импульса фотона с энергией 1,12 эВ. Фотон не может унести эту разницу, поэтому при каждой рекомбинации должен ещё рождаться или поглощаться фонон — квант колебаний решётки. Это занимает до миллисекунд, другие процессы побеждают, и энергия в итоге уходит в тепло. У прямозонных материалов, таких как GaAs, AlGaInP для красного и InGaN для синего, оба края зон находятся при одном и том же $k$, и электроны с дырками рекомбинируют, излучая свет, за наносекунды.

Что дальше

Два перехода, включённые встречно, n–p–n, образуют биполярный транзистор: небольшой ток, поданный в тонкий средний слой, управляет гораздо большим током через него. В полевом транзисторе вместо этого напряжение на затворе открывает или закрывает проводящий канал. При освещении и отборе мощности переход становится солнечным элементом из разобранной задачи; при наличии зеркал и сильной инжекции вынужденное излучение превращает его в лазер. Диоды Зенера и туннельные диоды используют туннелирование сквозь тонкий обеднённый слой — предмет урока «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект», а сами зоны возникают из интерференции электронных волн на решётке, как в уроке «Корпускулярно-волновой дуализм». Множители Больцмана — те же, что в уроке «Молекулярно-кинетическая теория газов», а переход, не гонящий ток по замкнутому контуру, — это второе начало в действии, о котором рассказывает урок «Второе начало термодинамики и энтропия».