Halbleiter, Dioden und LEDs

Einsteiger

Ein Kupferdraht leitet Ladung leicht, weil einige seiner Elektronen zu keinem bestimmten Atom gehören: Er ist ein Leiter. In Glas bleibt jedes Elektron bei seinem Atom: ein Isolator. Silizium, das Material der Computerchips, liegt dazwischen: ein Halbleiter.

Schritt 1. In reinem Silizium ist fast jedes Elektron in einer Bindung zwischen benachbarten Atomen gehalten. Ein wenig Wärme oder Licht lockert ein paar davon, und jedes hinterlässt eine Lücke, die Loch heißt. Springt ein Nachbar in die Lücke, wandert das Loch in die andere Richtung, sodass es sich wie eine positive Ladung bewegt.

Schritt 2. Ingenieure mischen eine Prise eines anderen Elements bei; das nennt man Dotierung. Eine Sorte Fremdatome bringt überzählige Elektronen (n-Typ, n für negativ); eine andere Sorte hinterlässt Löcher (p-Typ, p für positiv).

Schritt 3. Legt man beide Sorten nebeneinander, erhält man einen p-n-Übergang. In der Animation sind die blauen Punkte links überzählige Elektronen und die Ringe rechts Löcher. Eine dünne leere Schicht dazwischen wirkt wie eine Wand. Bei kleiner Spannung kann nichts hindurch; bei etwa 2 Volt strömen beide Ladungsarten zur Mitte.

Schritt 4. Ein Elektron, das in ein Loch fällt, verliert Energie, und diese Energie verlässt die Stelle als winziger Lichtblitz, genau wie ein Atom ein Photon aussendet, wenn eines seiner Elektronen auf ein tieferes Niveau fällt. Das ist eine Leuchtdiode (LED). Die Größe des Sprungs und damit die Farbe legt das Material fest.

Probier es aus: Schließ die Batterie falsch herum an. Leuchtet die LED? Nein: Die Wand wird dicker, und es fließt fast kein Strom. Ein Übergang ist ein Einwegventil für Strom, eine sogenannte Diode. Fällt stattdessen Licht darauf, treibt er einen Strom an: eine Solarzelle.

Mittelstufe

Bänder, Lücken und Löcher

Ein Elektron, das an ein einzelnes Atom gebunden ist, kann nur bestimmte Energien haben. In einem Kristall spaltet sich jedes atomare Niveau zu einem Band eng beieinanderliegender Niveaus auf. Die Bindungselektronen füllen das Valenzband; darüber liegt das Leitungsband, in dem sich Elektronen frei bewegen, und dazwischen die Bandlücke $E_g$, also Energien, die kein Elektron in einem perfekten Kristall haben kann.

Ein volles Band trägt keinen Strom, da jedes Elektron, das sich in die eine Richtung bewegt, durch eines ausgeglichen wird, das sich in die andere bewegt. Ein Metall leitet, weil sein höchstes besetztes Band nur teilweise gefüllt ist. Ein Isolator hat ein volles Valenzband und eine breite Lücke, 5,5 eV bei Diamant; ein Halbleiter hat eine schmale: 1,12 eV bei Silizium, 1,42 eV bei Galliumarsenid (GaAs), 1,9 eV bei der roten LED der Animation.

Bei Raumtemperatur hebt die thermische Energie $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{eV}$ nur etwa $10^{10}$ Elektronen pro Kubikzentimeter über die Lücke von Silizium, bei $5\times 10^{22}$ Atomen. Jedes hinterlässt eine leere Stelle in einer Bindung, ein Loch; ein benachbartes Elektron rutscht hinein, und das Loch wandert in die Gegenrichtung, wie eine positive Ladung $+e$. Die Zahl der Paare verdoppelt sich etwa alle 10 K, daher leitet ein reiner Halbleiter bei Wärme im Gegensatz zu einem Metall besser.

Dotierung: n-Typ und p-Typ

Dotierung steuert die Ladungsträger. Phosphor hat fünf äußere Elektronen, eines mehr, als die vier Bindungen von Silizium brauchen; das überzählige, nur mit 0,045 eV gebunden, wird durch die Wärmebewegung sofort frei. Phosphor ist ein Donator und erzeugt n-Typ-Silizium mit Elektronen als Mehrheitsladungsträgern. Bor hat drei Elektronen, nimmt einem Nachbarn in einer Bindung ein Elektron weg und hinterlässt ein Loch: p-Typ-Silizium.

Ein Phosphoratom auf fünf Millionen Siliziumatome ergibt $10^{16}$ freie Elektronen pro Kubikzentimeter, eine Million Mal mehr als der reine Wert. Die Löcher werden seltener, weil so viele Elektronen sie füllen, und das Produkt der beiden Dichten bleibt fest:
$np=n_i^2,n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$
Dabei ist $n_i\approx 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ die Dichte in reinem Silizium, sodass die Löcher auf $p=10^{20}/10^{16}=10^4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ sinken: Sie sind die Minderheitsladungsträger.

Der p-n-Übergang und sein Bänderdiagramm

Verbindet man n-Typ- und p-Typ-Gebiete in einem Kristall, diffundieren Elektronen von der n-Seite in die p-Seite und Löcher in die Gegenrichtung. Dort rekombinieren sie, und nahe der Grenze bleiben nur feste Ionen zurück: positive Donatoren auf der n-Seite, negative Akzeptoren auf der p-Seite. Diese Verarmungszone, einen Bruchteil eines Mikrometers dick, hat keine freien Ladungsträger. Das Feld ihrer Ionen treibt die Ladungsträger zurück, bis die Diffusion bei einer Diffusionsspannung $V_{\mathrm{bi}}$ endet: etwa 0,7 V bei Silizium, 1,8 V bei der LED der Animation.

Das Bänderdiagramm der Animation zeigt dies als Stufe, wobei die Energie der Elektronen nach oben zunimmt: Die obere Linie ist die Kante des Leitungsbands, die untere die Kante des Valenzbands, 1,9 eV auseinander (goldener Pfeil). Beide Kanten liegen auf der p-Seite höher. Ein Elektron (blauer Punkt) von der n-Seite muss die Stufe erklimmen, während ein Loch (Ring), das wie eine Blase aufsteigt, sie hinabsinken müsste. Ohne Spannung ist die Stufe 1,8 eV hoch, und kaum etwas überquert sie.

Spannung, Strom und Licht

Durchlassspannung (p-Seite an +) wirkt gegen die Diffusionsspannung: Die Stufe schrumpft, die Verarmungszone wird schmaler, und der Strom wächst exponentiell. Sperrspannung hebt die Stufe an, und nur ein winziger Sättigungsstrom $I_s$ sickert durch. Der Übergang ist eine Diode, ein Einwegventil. Vier Formeln leisten fast die ganze Arbeit:

• $hf\approx E_g$
• $\lambda =\frac{hc}{E_g}\approx \frac{1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}}{E_g}$
• $I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$
• $R=\frac{V_s-V_F}{I}$

Ein Leitungselektron, das in ein Loch fällt, sinkt um etwa $E_g$ ab und sendet ein Photon aus. Da $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$ ist, ergibt die Division durch die Lücke in Elektronenvolt die Wellenlänge in Nanometern. In der Diodengleichung beträgt die Temperaturspannung $V_T=k_{B}T/e$ bei 300 K 25,9 mV. Der Idealitätsfaktor $\eta$ liegt zwischen 1 und 2: Jeder zusätzliche Abschnitt von $2,3\eta V_T$ (60 mV für $\eta =1$, 120 mV für $\eta =2$) multipliziert den Strom mit zehn.

Beispiel: die LED der Animation

Der Chip der Animation hat $E_g=1,9\mathrm{eV}$. Jedes Photon trägt etwa diese Energie, $1,9\cdot 1,602\times 10^{-19}=3,04\times 10^{-19}\mathrm{J}$, und seine Wellenlänge ist
$\lambda \approx \frac{1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}}{1,9\mathrm{eV}}\approx 653\mathrm{nm}$
was die Animation auf 650 nm rundet: rotes Licht.

Wenn die Versorgungsspannung $V$ steigt, bleibt der Strom $I$ bis etwa 1,5 V unter einem halben Milliampere, während die Bildunterschrift sagt, dass die Barriere noch hoch ist. Bei etwa 1,56 V überschreitet er 1 mA und erreicht bei 2,0 V 20 mA. Ein halbes Volt multipliziert den Strom mehr als fünfzigfach. Inzwischen schrumpft die Bandstufe von 1,8 eV auf etwa 0,1 eV (die restlichen 0,3 V nimmt der Widerstand des Chips), die Verarmungszone schrumpft auf ein Viertel ihrer Breite, und die Pfeile $e^{-}$ und $h^{+}$ zeigen Ladungsträger, die von beiden Seiten zuströmen.

Jedes durchquerende Elektron ergibt höchstens ein Photon, daher zählt der Strom die Photonen: Bei 20 mA sind es $I/e=0,020/(1,602\times 10^{-19})\approx 1,25\times 10^{17}$ pro Sekunde. Sie tragen höchstens $1,25\times 10^{17}\cdot 3,04\times 10^{-19}\approx 0,038\mathrm{W}$ Licht, bei $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{W}$ elektrischer Leistung. Was nicht als Licht entweicht, erwärmt den Chip.

Beispiel: ein Vorwiderstand für eine blaue LED

Eine blaue LED hat eine breitere Lücke, $E_g\approx 2,7\mathrm{eV}$ ($\lambda \approx 460\mathrm{nm}$), sodass sie etwa 3,0 V statt 2 V braucht, um 20 mA zu führen. Du hast eine USB-Versorgung mit 5,0 V. Ein Vorwiderstand führt denselben Strom und nimmt die restliche Spannung auf:
$R=\frac{V_s-V_F}{I}=\frac{5,0-3,0}{0,020}=100\Omega$
Er verbraucht $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{W}$, und die LED $3,0\cdot 0,020=0,060\mathrm{W}$.

Ohne ihn würde die viel zu steile Kennlinie der LED selbst den Strom festlegen: In der Animation ändert ein halbes Volt den Strom fünfzigfach, also würden 5 V an einer nackten LED sie zerstören. Mit dem Widerstand bekommt eine LED mit 3,1 V statt 3,0 V Durchlassspannung trotzdem $1,9/100=0,019\mathrm{A}$: Der Widerstand, nicht die LED, legt den Strom fest.

Häufige Fehler

• n-Typ-Silizium ist nicht negativ geladen: Jedes Phosphoratom kommt neutral in den Kristall, und wenn sein fünftes Elektron wegwandert, bleibt ein festes positives Ion zurück.
• Eine hellere LED sendet kein blaueres Licht aus. Der Strom bestimmt die Zahl der Photonen pro Sekunde, etwa $1,25\times 10^{17}$ bei 20 mA; die Lücke bestimmt die Energie jedes einzelnen.
• Eine Diode hat keinen festen Widerstand: Die LED der Animation hat $V/I=1,5/0,00037\approx 4\mathrm{k\Omega }$ bei 1,5 V, aber $2,0/0,020=100\Omega$ bei 2,0 V.
• Sperrspannung sperrt nicht bei jeder Spannung: Jenseits des Durchbruchs schießt der Sperrstrom hoch, und Datenblätter erlauben für LEDs in Sperrrichtung nur etwa 5 V.

Wo man es antrifft

LED-Lampen, Bildschirme und Ampeln nutzen das Licht dieser Lektion. Eine Solarzelle ist derselbe Übergang mit umgekehrter Aufgabe: Licht erzeugt Elektron-Loch-Paare, und das Feld der Verarmungszone treibt sie als Strom auseinander, wie in Kamerasensoren und Empfängern für Glasfaserkabel. Transistoren, aus Übergängen oder einem feldgesteuerten Kanal gebaut, schalten und verstärken die Signale in jedem Chip. Vergleiche „Der photoelektrische Effekt“ und „Atommodelle: das bohrsche Atom“ für die Photonenseite sowie „Gleichstromkreise und ohmsches Gesetz“ für die Schaltungsseite.

Fortgeschritten

Bänder aus Sprüngen zwischen Atomen

Alles, was ein Halbleiter tut, folgt aus einer Tatsache: Seine Elektronen sind nicht an einzelne Atome gebunden. Um zu sehen, wie daraus Bänder erlaubter Energien entstehen, die durch eine Lücke getrennt sind, verfolgen wir ein Elektron im einfachsten Kristall überhaupt, einer geraden Kette identischer Atome.

Legende

$a$	Abstand der Atome in der Kette.	$\mathrm{m}$
$A$	Sprungenergie: die Kopplung zwischen zwei benachbarten Atomen.	$\mathrm{J}$
$E$	Energie eines Wellenzustands der Kette.	$\mathrm{J}$
$k$	Wellenzahl dieses Zustands: Seine Amplitude am Atom bei $x_n$ ist proportional zu $e^{ik{x}_n}$.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$E_0$	Energieniveau eines isolierten Atoms; das Band ist darauf zentriert.	$\mathrm{J}$
$4A$	Breite des Bandes, von $E_0-2A$ bei $k=0$ bis $E_0+2A$ am Rand.	$\mathrm{J}$
$\pi /a$	Rand des benötigten $k$-Bereichs: Ein $k$ jenseits davon legt dieselben Amplituden auf die Atome wie eines innerhalb.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$m^{\ast }$	Effektive Masse am Boden des Bandes, bestimmt durch die Krümmung der grünen Parabel dort; an der Oberkante ist die Krümmung umgekehrt, was $-m^{\ast }$ ergibt.	$\mathrm{kg}$

Oben in Abbildung 1 sieht man die Kette. Die Atome liegen im Abstand $a$ voneinander, sodass Atom Nummer $n$ bei $x_n=na$ sitzt. Für sich genommen würde jedes Atom das Elektron auf der Energie $E_0$ halten. Weil die Atome nah beieinander liegen, kann das Elektron auch zu einem der beiden Nachbarn springen; der gebogene Doppelpfeil markiert dies, und die Sprungenergie $A$ misst, wie stark zwei benachbarte Atome gekoppelt sind.

Da das Elektron immer zu einem Nachbarn entweichen kann, kann ein Zustand, in dem das Elektron auf einem Atom sitzt, keine feste Energie haben. Ein Zustand bestimmter Energie muss dem Elektron auf jedem Atom eine Amplitude $C_n$ geben. Seine Schrödinger-Gleichung besagt: Die Energie mal der Amplitude auf Atom $n$ ist gleich $E_0$ mal dieser Amplitude, minus $A$ mal den Amplituden auf den beiden Nachbarn,

$E{C}_n=E_0{C}_n-A(C_{n+1}+C_{n-1})$

Jedes Atom hat dieselbe Umgebung, also probieren wir eine Welle, $C_n=e^{ik{x}_n}$, mit der Wellenzahl $k$. Die beiden Nachbarn tragen dann $e^{ik{x}_n}{e}^{ika}$ und $e^{ik{x}_n}{e}^{-ika}$. Der gemeinsame Faktor $e^{ik{x}_n}$ kürzt sich auf beiden Seiten, und da $e^{ika}+e^{-ika}=2\cos ka$ gilt, bleibt

$E=E_0-2A\cos ka$

Das ist die Kurve im unteren Teil von Abbildung 1: die Energie $E$ jeder Welle gegen ihre Wellenzahl $k$. Man braucht nur $k$ von $-\pi /a$ bis $\pi /a$. Addiert man $2\pi /a$ zu $k$, wird die Amplitude auf Atom $n$ mit $e^{i2\pi n}=1$ multipliziert, man erhält also dieselbe Welle zurück. Bei $k=0$ haben alle Atome dieselbe Amplitude, und die Energie ist am niedrigsten, $E_0-2A$: der Boden des Bandes. Bei $k=\pm \pi /a$ wechselt das Vorzeichen der Amplitude von einem Atom zum nächsten, und die Energie ist am höchsten, $E_0+2A$. Das einzelne atomare Niveau $E_0$, die gestrichelte Linie auf halber Höhe, hat sich zu einem Band der Breite $4A$ ausgebreitet, der Klammer rechts.

Jedes atomare Niveau breitet sich auf diese Weise zu einem eigenen Band aus, und zwischen zwei Bändern liegen Energien, die keine Welle in der Kette haben kann: eine Bandlücke. In einem Halbleiter am absoluten Nullpunkt füllen die Elektronen genau ein Band, das Valenzband, und lassen das nächste, das Leitungsband, leer. Der Abstand von der Oberkante des Valenzbands bis zur Unterkante des Leitungsbands ist die Lücke $E_g$, bei Silizium 1,12 eV.

Nahe dem Boden eines Bandes zählen nur kleine $k$, und dort gilt $\cos ka\approx 1-\frac{1}{2}(ka{)}^2$. Eingesetzt in das Band ergibt sich

$E\approx E_0-2A+A{a}^2{k}^2$

Abgesehen von der Konstanten hat dies die Form der kinetischen Energie eines freien Teilchens, ${\hslash }^2{k}^2/2m$, wobei $\hslash$ die reduzierte Planck-Konstante ist. Ein Elektron nahe dem Boden des Bandes bewegt sich also wie ein freies Teilchen durch den Kristall, aber mit der effektiven Masse

$m^{\ast }=\frac{{\hslash }^2}{2A{a}^2}$

Je stärker der Sprung, desto leichter das Elektron. Eine Kopplung von 1 eV zwischen Atomen im Abstand von 0,3 nm ergibt $m^{\ast }\approx 0,42m_e$, wobei $m_e$ die Masse eines freien Elektrons ist; gemessene Werte reichen von $0,07m_e$ (Elektronen in GaAs) bis etwa $m_e$. In Abbildung 1 ist die grüne Parabel unten, mit $m^{\ast }$ beschriftet, diese Näherung. Sie schmiegt sich nahe $k=0$ an das Band an und weicht weiter außen ab, wo der Kosinus flacher wird.

An der Oberkante des Bandes krümmt sich der Kosinus in die andere Richtung. Die zweite grüne Parabel, mit $-m^{\ast }$ beschriftet, passt dort zum Band: Ein Elektron nahe der Oberkante hat eine negative effektive Masse, sodass eine Kraft es rückwärts beschleunigt. Nun nehmen wir ein Band, das bis auf ein fehlendes Elektron nahe seiner Oberkante voll ist. Ein volles Band trägt keinen Strom, weil jedes Elektron, das sich in eine Richtung bewegt, durch eines ausgeglichen wird, das sich in die andere bewegt. Das Band mit der Fehlstelle verhält sich daher wie das fehlende Elektron mit umgekehrter Ladung und umgekehrter Masse: Ladung $+e$ statt $-e$, Masse $+m^{\ast }$ statt $-m^{\ast }$. Dieses fehlende Elektron ist ein Loch. Es ist ein echtes Quasiteilchen, eine teilchenartige Anregung des Kristalls: Die Hall-Spannung von Material vom p-Typ hat das Vorzeichen, das man für positive Ladungsträger erwartet. Hebt man ein Elektron von der Oberkante des Valenzbands zur Unterkante des Leitungsbands, entstehen ein freies Elektron und ein Loch; $E_g$ ist also die kleinste Energie, die ein Elektron-Loch-Paar erzeugt.

Ladungsträger zählen: das Massenwirkungsgesetz

Ein reiner Halbleiter bei Raumtemperatur hat nur wenige freie Ladungsträger, alle durch thermische Schwingungen erzeugt. Das gezielte Einbringen von Fremdatomen, die Dotierung, verändert ihre Anzahl um viele Größenordnungen. Eine einfache Regel verknüpft die Dichten von Elektronen und Löchern in jedem Fall, und der Rest der Lektion stützt sich darauf.

Schreibe $n$ für die Zahl der Leitungselektronen pro Volumeneinheit und $p$ für die Zahl der Löcher. Paare entstehen, wenn eine thermische Schwingung ein Elektron über die Lücke hebt. Das kostet die Energie $E_g$, daher ist die Erzeugungsrate proportional zum Boltzmann-Faktor $e^{-E_g/k_{B}T}$, wobei $k_B$ die Boltzmann-Konstante und $T$ die absolute Temperatur ist; bei 300 K gilt $k_{B}T=0,0259\mathrm{eV}$. Paare verschwinden, wenn ein Elektron auf ein Loch trifft und hineinfällt; das heißt Rekombination. Die Rate der Begegnungen ist proportional zu $np$, denn wenn sich eine der beiden Dichten verdoppelt, verdoppelt sich die Zahl der Begegnungen. Im Gleichgewicht halten sich Erzeugung und Rekombination die Waage, sodass das Produkt $np$ nur von der Lücke und der Temperatur abhängt:

$np=n_i^2$

Dabei ist $n_i$, die Eigenleitungsdichte, der Wert sowohl von $n$ als auch von $p$ in einem reinen Kristall, in dem jedes Elektron im Leitungsband ein Loch zurückgelassen hat. Da $n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$ gilt, ist ihre Quadratwurzel

$n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$

wobei ein langsamer wachsender Faktor $T^{3/2}$ weggelassen ist. Die Dotierung ändert an diesem Argument nichts. Ein Donatoratom, etwa Phosphor in Silizium, gibt ein Elektron an das Leitungsband ab; ein Akzeptor, etwa Bor, nimmt eines aus dem Valenzband und hinterlässt ein Loch. Keiner von beiden ändert, wie schnell Paare über die Lücke entstehen, noch die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Elektron auf ein bestimmtes Loch trifft, sodass $np=n_i^2$ weiterhin gilt.

Für Silizium bei 300 K gilt $n_i\approx 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. Man füge Donatoren mit der Dichte $N_D=10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ hinzu, eine Million Mal $n_i$. Fast jeder Donator gibt sein Elektron ab, also gilt $n\approx N_D$, und das Massenwirkungsgesetz legt die Löcher auf $p=n_i^2/N_D=10^4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ fest. Dotierung erhöht die eine Dichte und senkt die andere: In diesem n-Typ-Silizium sind die Elektronen die Mehrheits- und die Löcher die Minderheitsladungsträger.

Der Exponent macht $n_i$ sehr empfindlich. Erwärmt man Silizium von 300 K auf 310 K, verdoppelt sie sich. Eine breitere Lücke macht sie weit kleiner: Für die 1,9-eV-Lücke der LED der Animation wächst der Exponent um $(1,9-1,12)/(2\cdot 0,0259)\approx 15$, sodass $n_i$ mit etwa $e^{-15}\approx 3\times 10^{-7}$ multipliziert wird, auf wenige tausend Ladungsträger pro Kubikzentimeter.

Der p-n-Übergang: Diffusionsspannung und Verarmungszone

Ein p-n-Übergang ist ein Kristall, der auf einer Seite n-leitend und auf der anderen p-leitend dotiert ist. Dioden, LEDs, Solarzellen und Transistoren sind alle aus solchen Übergängen aufgebaut. Wenn sich die beiden Seiten berühren, diffundieren Elektronen von der n-Seite in die p-Seite, wo sie selten sind, und Löcher in die Gegenrichtung. Jeder Ladungsträger, der hinüberwechselt und rekombiniert, lässt ein festes Ion zurück, dessen Ladung nicht mehr ausgeglichen wird: ein positiver Donator auf der n-Seite, ein negativer Akzeptor auf der p-Seite. Die Ladung dieser Ionen erzeugt ein Feld, das die Ladungsträger zurückdrängt, und die Diffusion endet, wenn das Feld sie ausgleicht. Der Streifen um den Übergang, der seine freien Ladungsträger verloren hat, ist die Verarmungszone.

Legende

$x$	Ort quer zum Übergang, von der n-Seite zur p-Seite.	$\mathrm{m}$
$W$	Breite der Verarmungszone.	$\mathrm{m}$
$\rho$	Ladungsdichte der festen Ionen: positive Donatoren in der n-Hälfte der Zone, negative Akzeptoren in der p-Hälfte.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$e{N}_D$	Ladungsdichte der ionisierten Donatoren: $e$ mal ihre Teilchendichte $N_D$.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$e{N}_A$	Betrag der Ladungsdichte der ionisierten Akzeptoren: $e$ mal ihre Teilchendichte $N_A$, hier gleich $e{N}_D$.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$E$	Elektrisches Feld, von der n-Seite zur p-Seite zeigend.	$V/m$
$E_{\max }$	Maximum des Feldes am Übergang.	$V/m$
$V$	Elektrisches Potenzial entlang des Übergangs.	$\mathrm{V}$
$V_{bi}$	Diffusionsspannung: der Abfall von $V$ über der Schicht, gleich der schraffierten Fläche unter $E$.	$\mathrm{V}$
$n$	Das n-Gebiet: freie Elektronen, mit positiven Donatorionen.
$p$	Das p-Gebiet: Löcher, mit negativen Akzeptorionen.

Abbildung 2 verfolgt den Übergang entlang der Position $x$, von der n-Seite links zur p-Seite rechts, in drei Diagrammen mit derselben $x$-Achse. Die Verarmungszone der Breite $W$ liegt zwischen den gestrichelten Linien.

Das obere Diagramm zeigt die Ladungsdichte $\rho$: zwei Blöcke. Die n-Hälfte der Zone enthält die Donatorionen mit der Ladungsdichte $e{N}_D$, wobei $N_D$ die Zahl der Donatoren pro Volumeneinheit ist. Die p-Hälfte enthält die Akzeptorionen mit der Ladungsdichte $-e{N}_A$. Hier ist die Dotierung auf beiden Seiten gleich, $N_A=N_D$, wie im Siliziumbeispiel weiter unten, sodass die beiden Hälften gleich sind, je $W/2$ breit. Außerhalb der Zone heben die freien Ladungsträger die Ionen auf, und $\rho =0$.

Das mittlere Diagramm zeigt das Feld $E$. Das gaußsche Gesetz in einer Dimension, $dE/dx=\rho /\epsilon$ mit $\epsilon$ der Permittivität des Kristalls, besagt, dass die Steigung des Feldes die Ladungsdichte geteilt durch $\epsilon$ ist. Eine konstante $\rho$ ergibt also eine Gerade. $E$ ist außerhalb der Zone null, steigt gleichmäßig über die positive Hälfte, erreicht sein Maximum $E_{\max }$ am Übergang und fällt über die negative Hälfte wieder auf null. Das Ergebnis ist ein Dreieck, und das Feld zeigt durchgehend von n nach p, wie es sein muss, um Elektronen zurück zur n-Seite und Löcher zurück zur p-Seite zu drängen.

Das untere Diagramm zeigt das Potenzial $V$. Das Potenzial ist das negative Integral des Feldes, $dV/dx=-E$, also ist $V$ dort flach, wo $E=0$ ist, und fällt über die Zone um die Fläche unter dem Feld-Dreieck, $\frac{1}{2}{E}_{\max }W$. Diese Fläche ist im mittleren Diagramm schraffiert, und der Abfall, den sie erzeugt, ist rechts im unteren Diagramm eingeklammert: Es ist die Diffusionsspannung $V_{\mathrm{bi}}$.

Die Größe von $V_{\mathrm{bi}}$ folgt aus dem Gleichgewicht. Um die p-Seite zu erreichen, muss ein Elektron auf der n-Seite eine Stufe potenzieller Energie $e{V}_{\mathrm{bi}}$ erklimmen. Im Gleichgewicht gehorchen die Elektronen über diese Stufe dem Boltzmann-Faktor, ihre Dichte auf der p-Seite ist also ihre Dichte auf der n-Seite mal $e^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$. Auf der n-Seite beträgt die Dichte $N_D$; auf der p-Seite ist sie nach dem Massenwirkungsgesetz $n_i^2/N_A$. Setzt man $n_i^2/N_A=N_D{e}^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$ und bildet den Logarithmus,

$V_{\mathrm{bi}}=\frac{k_{B}T}{e}\ln \left(\frac{N_A{N}_D}{n_i^2}\right)$

Für Silizium mit $N_A=N_D=10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ und $k_{B}T/e=0,02585\mathrm{V}$ ergibt sich $0,02585\cdot \ln (10^{12})\approx 0,71\mathrm{V}$. Da $n_i^2$ den Faktor $e^{-E_g/k_{B}T}$ trägt, ist $e{V}_{\mathrm{bi}}$ gleich $E_g$ minus einem Term, der mit steigender Dotierung nur langsam schrumpft. Die Stufe nähert sich also $E_g/e$, kann es aber kaum deutlich übersteigen. Die stark dotierte LED der Animation kommt nahe heran, mit $V_{\mathrm{bi}}=1,8\mathrm{V}$ gegenüber $E_g/e=1,9\mathrm{V}$.

Die Breite der Schicht folgt aus denselben drei Diagrammen. Bei gleicher Dotierung $N$ auf beiden Seiten hat jede Hälfte die Breite $W/2$. Über diese Strecke steigt das Feld mit der Steigung $eN/\epsilon$, sein Maximum ist also $E_{\max }=eN(W/2)/\epsilon$. Die Spannung über der Schicht ist die Fläche des Dreiecks:

$\frac{1}{2}{E}_{\max }W=\frac{eN{W}^2}{4\epsilon }$

Bei null Vorspannung ist diese Spannung $V_{\mathrm{bi}}$. Eine Durchlassspannung $V$, die die p-Seite positiver macht, wirkt dem eingebauten Feld entgegen und lässt $V_{\mathrm{bi}}-V$ über der Schicht; eine Sperrspannung ist ein negatives $V$. Die Spannung über der Schicht ist proportional zu $W^2$, also

$W\propto \sqrt{V_{\mathrm{bi}}-V}$

Für den oben genannten Siliziumübergang mit $\epsilon \approx 1,0\times 10^{-10}F/m$ ist die Schicht bei null Vorspannung $W\approx 0,43\mu \mathrm{m}$ breit, und das maximale Feld $E_{\max }$ liegt bei etwa $3\times 10^{6}V/m$. Eine Sperrspannung von 5 V weitet sie auf $1,2\mu \mathrm{m}$. In der Animation senkt die Durchlassspannung die Barriere von 1,8 eV auf 0,1 eV, sodass die Schicht auf $\sqrt{0,1/1,8}\approx 0,24$ ihrer Breite schrumpft.

Ein Übergang mit eingebauter Spannung sieht aus wie eine Batterie, doch ein Draht, der seine beiden Enden verbindet, führt keinen Strom. Der Draht bildet zwei neue Kontakte, Metall zu n und Metall zu p, jeder mit seiner eigenen Potenzialstufe, und bei einheitlicher Temperatur addieren sich die Stufen rund um die Schleife zu null. Wäre das nicht so, würde die Schleife Wärme aus einer Umgebung gleichmäßiger Temperatur ewig in Arbeit verwandeln, was der zweite Hauptsatz der Thermodynamik verbietet. Wie eine Ratsche mit Sperrklinke in einem Gas gleicher Temperatur kann ein Übergang sein eigenes thermisches Rauschen nicht gleichrichten. Erwärmt man einen Kontakt, bricht das Gleichgewicht: Das ist der thermoelektrische Effekt, der im Thermoelement genutzt wird.

Gleichrichtung: zwei Ströme aus dem Gleichgewicht

Eine Diode lässt Strom in einer Richtung leicht durch und in der anderen kaum. Um zu verstehen, warum, verfolgen wir die Löcher, die den Übergang in jede Richtung überqueren; die Elektronen verhalten sich genauso und tragen zum selben Strom bei.

Legende

$U$	Potenzielle Energie eines Lochs an jeder Stelle quer zum Übergang.	$\mathrm{J}$
$n$	Die n-Seite, wo Löcher selten sind (Minderheitsladungsträger).
$p$	Die p-Seite, wo Löcher reichlich vorhanden sind (Mehrheitsladungsträger).
$V$	Durchlassspannung: die angelegte Spannung, positiv auf der p-Seite.	$\mathrm{V}$
$e{V}_{bi}$	Höhe der Stufe für Löcher bei null Vorspannung: $e$ mal die Diffusionsspannung.	$\mathrm{J}$
$eV$	Wie weit die Durchlassspannung das Niveau der p-Seite anhebt.	$\mathrm{J}$
$e(V_{bi}-V)$	Höhe der Stufe unter Durchlassspannung.	$\mathrm{J}$
$I_s$	Sättigungsstrom: der Strom der Minderheitslöcher, die die Stufe hinabgleiten; bei null Vorspannung ist der kletternde Strom gleich ihm.	$\mathrm{A}$
$I_s{e}^{eV/k_{B}T}$	Der kletternde Strom unter Durchlassspannung: $e^{eV/k_{B}T}$ mal größer als $I_s$.	$\mathrm{A}$

Abbildung 3 zeigt die potenzielle Energie $U$ eines Lochs an jeder Stelle quer zum Übergang, n-Seite links und p-Seite rechts; die Ringe sind Löcher. Das Feld der Verarmungszone schiebt Löcher zur p-Seite, sodass ein Loch auf der n-Seite mehr potenzielle Energie hat: um $e{V}_{\mathrm{bi}}$ höher, wenn keine Spannung anliegt (oberes Feld). Ein Loch, das von p nach n geht, muss diese Stufe erklimmen; eines, das von n nach p geht, gleitet sie hinab.

Zwei Lochströme überqueren daher den Übergang. Der erste klettert. Löcher sind auf der p-Seite reichlich vorhanden, wo sie die Mehrheitsladungsträger sind, aber nur die wenigen mit thermischer Energie oberhalb der Stufe kommen darüber. Der zweite gleitet hinab. Löcher sind auf der n-Seite selten, wo sie Minderheitsladungsträger sind, die thermisch erzeugt werden; doch jedes, das in die Schicht gerät, wird vom Feld die Stufe hinabgetrieben. Dieser abwärts gerichtete Strom hängt nur davon ab, wie viele Minderheitslöcher die Schicht erreichen, nicht davon, wie hoch die Stufe ist; er ist der Sättigungsstrom $I_s$. Bei $V=0$ fließt kein Nettostrom, also muss der kletternde Strom gleich ihm sein; das obere Feld zeigt je einen Pfeil mit der Bezeichnung $I_s$ in jede Richtung.

Im unteren Feld hebt eine Durchlassspannung $V$ die p-Seite um $eV$; die gestrichelte Linie darunter markiert ihr altes Niveau. Die Stufe sinkt auf $e(V_{\mathrm{bi}}-V)$, und die Schicht verengt sich entsprechend. Die Zahl der Löcher mit genügend Energie zum Klettern wächst um den Boltzmann-Faktor $e^{eV/k_{B}T}$, sodass der kletternde Strom zu $I_s{e}^{eV/k_{B}T}$ wird, während der abwärts gerichtete Strom bei $I_s$ bleibt. Die Abbildung zeigt den größeren Strom als drei Pfeile statt einem; der wahre Faktor ist weit größer, etwa $6\times 10^{11}$ bei 0,7 V in Silizium, weshalb die Abbildung nicht maßstabsgetreu ist.

Symbolisch ist der kletternde Strom proportional zu $p_p{e}^{-e(V_{\mathrm{bi}}-V)/k_{B}T}$, wobei $p_p$ die Lochdichte auf der p-Seite ist. Eine Durchlassspannung multipliziert ihn mit $e^{eV/k_{B}T}$, während der abwärts gerichtete Strom seinen Wert $I_s$ behält. Der Nettolochstrom ist die Differenz, $I_s{e}^{eV/k_{B}T}-I_s$. Die Elektronen liefern zwei Ströme derselben Form, sodass der Gesamtstrom der Diodengleichung von William Shockley gehorcht:

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$

Dabei ist der Idealitätsfaktor $\eta =1$, für dieses Bild, in dem die Ladungsträger durch die Schicht diffundieren und jenseits von ihr rekombinieren. Eine Sperrspannung, $V<0$, hebt dagegen die Stufe an: Die Exponentialfunktion verschwindet, und $I\to -I_s$, nur der kleine abwärts gerichtete Strom bleibt. Das ist die Gleichrichtung. Eine Durchlassspannung von einigen Zehntel Volt multipliziert den Strom um ein Vielfaches, während eine Sperrspannung beliebiger Größe, bis zum Durchbruch, nur $I_s$ durchlässt.

Wenn stattdessen die meisten Ladungsträger innerhalb der Verarmungszone rekombinieren, wächst der Strom langsamer. Innerhalb der Schicht gilt $np=n_i^2{e}^{eV/k_{B}T}$, und die Rekombination ist dort am schnellsten, wo beide Dichten gleich sind, beide etwa $n_i{e}^{eV/2k_{B}T}$. Der Strom wächst dann nur noch wie $e^{eV/2k_{B}T}$, was $\eta \approx 2$ bedeutet, der Wert, der in der Animation verwendet wird. Für die LED der Animation beträgt $I_s$ etwa $10^{-16}\mathrm{A}$.

Die Lücke bestimmt mehr als alles andere die Spannung, bei der eine Diode einschaltet. Für die Diffusion gilt $I_s\propto n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, für die Rekombination $I_s\propto n_i\propto e^{-E_g/2k_{B}T}$. In beiden Fällen gilt, sobald der Strom weit über $I_s$ liegt,

$I\approx C{e}^{-(E_g-eV)/\eta k_{B}T}$

mit einem Vorfaktor $C$, der sich mit Dotierung und Temperatur nur langsam ändert. Der Strom wird davon bestimmt, wie weit $eV$ unter $E_g$ liegt; die Lücke, weit mehr als die Dotierung, entscheidet also, wo eine Diode einschaltet.

Die live gezeichnete Strom-Spannungs-Kennlinie lesen

Der Expertenteil der Animation zeichnet den Strom $I$ der LED gegen die Versorgungsspannung $V$, während die Spannung steigt. Die obigen Ergebnisse erklären die Form dieser Kurve, und ihre Zahlen sind eine gute Probe dafür.

Schreibe $V_T=k_{B}T/e=25,85\mathrm{mV}$ bei 300 K. Mit $\eta =2$ gilt $\eta V_T=2\cdot 25,85=51,7\mathrm{mV}$. Der Strom wächst um das Zehnfache, jedes Mal wenn der Exponent um $\ln 10\approx 2,3$ zunimmt, also alle $2,3\cdot 51,7\approx 119\mathrm{mV}$. Die Kurve schmiegt sich also bis etwa 1,5 V (0,37 mA) an die Achse, knickt zwischen 1,6 und 1,8 V scharf ab und erreicht bei 2,0 V 20 mA. Die gestrichelte goldene Linie markiert $E_g/e=1,9\mathrm{V}$.

Warum arbeitet der Übergang etwa 0,2 V unterhalb von $E_g/e$? Für diese LED gilt $C\approx 0,96\mathrm{A}$. Ein Strom von 20 mA liegt ${\log }_{10}(0,96/0,020)\approx 1,7$ Dekaden unterhalb von $C$, also liegt nach der obigen Formel die Übergangsspannung $V_j$ $1,7\cdot 119\approx 200\mathrm{mV}$ unter $E_g/e$, bei 1,70 V. Eine Siliziumdiode mit $\eta \approx 1$ hat $C$ etwa acht Dekaden über ihrem Arbeitsstrom, daher liegt ihr Knick bei etwa 0,6–0,7 V, rund ein halbes Volt unter ihrer Lücke von 1,12 V.

Die Versorgung muss den Strom außerdem durch den Serienwiderstand des Chips von 15 Ω treiben. Bei 20 mA sind das $0,020\cdot 15=0,30\mathrm{V}$, der Rest der 2,0 V. Dieser Widerstand formt die Oberseite der Kurve. Der eigene dynamische Widerstand des Übergangs, $d{V}_j/dI=\eta V_T/I$, beträgt bei 20 mA nur etwa $2,6\Omega$, weit weniger als 15 Ω, sodass die Kurve sich zu einer Geraden mit Steigung etwa $1/(17,6\Omega )$ begradigt. Im Bänderdiagramm folgt die Beschriftung der Barriere $e(V_{\mathrm{bi}}-V_j)$, die von 1,8 eV auf 0,10 eV fällt, wenn die Spannung steigt.

Durchgerechnetes Beispiel: die LED als Solarzelle

Betreibe den Übergang rückwärts: Statt einen Strom hineinzugeben, um Licht herauszuholen, lasse Licht hinein und entnimm Leistung. Dieselben Gleichungen beschreiben dann eine Solarzelle, und die LED der Animation zeigt, wie viel Leistung ein Übergang liefern kann und warum seine Spannung unter $E_g/e$ bleibt.

Legende

$V$	Spannung über dem Übergang, positiv in Durchlassrichtung.	$\mathrm{V}$
$I$	Strom durch den beleuchteten Übergang, $I=I_d-I_L$.	$\mathrm{A}$
$I_d$	Strom des Übergangs im Dunkeln: die Diodengleichung.	$\mathrm{A}$
$I_L$	Fotostrom: der Strom, den das Licht rückwärts durch den Übergang treibt und der die Kurve nach unten verschiebt.	$\mathrm{A}$
$V_{oc}$	Leerlaufspannung: wo die beleuchtete Kurve $I=0$ schneidet.	$\mathrm{V}$
$V_{mp}$	Spannung am Punkt maximaler Leistung, die Ecke des größten Rechtecks.	$\mathrm{V}$
$I_{mp}$	Am Punkt maximaler Leistung abgegebener Strom; die beleuchtete Kurve liegt dort bei $-I_{\mathrm{mp}}$.	$\mathrm{A}$
$P_{\max }$	Größte Leistung, die die Zelle abgibt: die Fläche des schraffierten Rechtecks.	$\mathrm{W}$
$E_g/e$	Die Bandlücke geteilt durch $e$: die Spannung, der sich $V_{\mathrm{oc}}$ nähert, ohne sie zu erreichen.	$\mathrm{V}$

Abbildung 4 zeigt den Strom $I$ durch den Übergang gegen die Spannung $V$ an ihm, beide positiv in Durchlassrichtung. Die gestrichelte Kurve $I_d$ ist der Übergang im Dunkeln, gegeben durch die Diodengleichung, mit ihrem Knick knapp unter $E_g/e$, der gestrichelten senkrechten Linie.

Nun fällt Licht auf den Übergang und erzeugt Elektron-Loch-Paare mit einer Rate, die $I_L=20\mathrm{mA}$ entspricht, das heißt $I_L/e$ Paare pro Sekunde. Das Feld der Verarmungszone trennt jedes Paar: das Elektron zur n-Seite, das Loch zur p-Seite. Das ist ein Strom durch den Übergang in Sperrrichtung, und seine Größe hängt nicht von $V$ ab. Die beleuchtete Kurve $I$ ist daher die Dunkelkurve um $I_L$ nach unten verschoben, wie der mit $I_L$ beschriftete Pfeil zeigt.

Die beleuchtete Kurve schneidet die $I$-Achse bei $-I_L$ und die $V$-Achse bei der Leerlaufspannung $V_{\mathrm{oc}}$. Zwischen diesen beiden Punkten ist $V$ positiv und $I$ negativ: Der Strom verlässt den Übergang über den Pluspol, wie aus einer Batterie, also gibt der Übergang Leistung ab. An jedem Punkt dieses Abschnitts ist die Leistung die Fläche des Rechtecks zwischen den Achsen und dem Punkt auf der Kurve. Das schraffierte Rechteck mit der Ecke bei $V_{\mathrm{mp}}$ und $-I_{\mathrm{mp}}$ ist das größte, und seine Fläche ist $P_{\max }$.

In Gleichungen lautet der beleuchtete Strom

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]-I_L$

Bei kurzgeschlossenen Anschlüssen gilt $V=0$ und $I=-I_L=-20\mathrm{mA}$: Der gesamte Fotostrom fließt um den Draht, rückwärts durch die Diode. Bei offenen Anschlüssen gilt $I=0$, also muss der Diodenstrom gleich $I_L$ sein, was

$V_{\mathrm{oc}}=\eta V_T\ln \left(1+\frac{I_L}{I_s}\right)=1,70\mathrm{V}$

ergibt. Das ist genau die Übergangsspannung bei 20 mA in der Animation, denn in beiden Fällen beträgt der Diodenstrom 20 mA.

Die abgegebene Leistung ist $P=V(I_L-I_d)$, wobei $I_d$ der Dunkelstrom bei der Spannung $V$ ist. Sie ist an beiden Enden des Abschnitts null und dazwischen am größten, wo $dP/dV=0$ gilt: die Ecke des größten Rechtecks in Abbildung 4. Numerisch gelöst ergibt sich $V_{\mathrm{mp}}\approx 1,52\mathrm{V}$ und $I_{\mathrm{mp}}=I_L-I_d\approx 19,3\mathrm{mA}$, also $P_{\max }\approx 29,5\mathrm{mW}$. Der Füllfaktor vergleicht dieses Rechteck mit dem Kasten der Fläche $V_{\mathrm{oc}}{I}_L$ um die Kurve: $29,5/(1,70\cdot 20)\approx 0,87$.

Jedes Paar absorbiert mindestens 1,9 eV, liefert aber nur 1,52 eV: Die Spannung bleibt unter $E_g/e$, um denselben Logarithmus, der den Knick darunter festlegte. Mit dem Serienwiderstand von 15 Ω sinkt die beste Leistung auf etwa 24 mW. Echte Solarzellen nutzen Lücken nahe 1,1–1,4 eV, ein Kompromiss: Eine kleinere Lücke absorbiert mehr Sonnenlicht, eine größere liefert mehr Energie pro Elektron.

Grenzen der Gültigkeit

Die Diodengleichung setzt niedrige Injektion voraus: viel weniger injizierte Ladungsträger als Mehrheitsladungsträger. Die Übergangsspannung muss deshalb deutlich unter $V_{\mathrm{bi}}$ bleiben; die 1,70 V der Animation gegenüber 1,8 V liegen am Rand, wo der Serienwiderstand schon dominiert. Sie setzt Boltzmann-Statistik voraus, die bei Silizium oberhalb von etwa $10^{19}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ Dotierung versagt. Sie behandelt die Dichten als glatte Mittelwerte, doch eine 10 nm breite Region mit $10^{18}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ Dotierung enthält im Mittel genau ein Dotieratom. In Sperrrichtung gilt $I=-I_s$ nur bis zum Durchbruch. Bei stark dotierten Übergängen ist die Barriere so dünn, dass Elektronen sie bei wenigen Volt durchtunneln (Zener-Durchbruch); bei schwach dotierten erzeugen die vom Feld beschleunigten Ladungsträger in einer Lawine bei einigen zehn bis hundert Volt neue Paare.

Auch die Lichtemission hat ihre eigene Grenze. In Silizium liegen der Boden des Leitungsbands und die Oberkante des Valenzbands bei unterschiedlichen Kristallimpulsen $\hslash k$, die sich um etwa $1,0\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$ unterscheiden: etwa 1700-mal der Impuls eines 1,12-eV-Photons. Das Photon kann die Differenz nicht tragen, daher muss jede Rekombination auch ein Phonon erzeugen oder absorbieren, ein Quant der Gitterschwingung. Das dauert bis zu Millisekunden, andere Prozesse gewinnen, und die Energie endet als Wärme. In Materialien mit direkter Lücke, etwa GaAs, AlGaInP für Rot und InGaN für Blau, liegen beide Bandkanten beim selben $k$, und Elektronen und Löcher rekombinieren unter Lichtaussendung innerhalb von Nanosekunden.

Wohin das führt

Zwei Übergänge Rücken an Rücken, n–p–n, ergeben einen Bipolartransistor: Ein kleiner Strom in die dünne Mittelschicht steuert einen viel größeren Strom durch sie hindurch. Bei einem Feldeffekttransistor öffnet oder schließt eine Gatespannung stattdessen einen leitenden Kanal. Mit Licht hinein und Leistung heraus ist ein Übergang die Solarzelle aus dem durchgerechneten Beispiel; mit Spiegeln und starker Injektion macht die stimulierte Emission daraus einen Laser. Zener- und Tunneldioden beruhen auf dem Tunneln durch eine dünne Verarmungszone, das Thema von „Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt“, und die Bänder entstehen aus Elektronenwellen, die auf einem Gitter interferieren, wie in „Welle-Teilchen-Dualismus“. Die Boltzmann-Faktoren sind die der „Kinetischen Gastheorie“, und der Übergang, der keinen Strom treibt, ist „Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie“ in Aktion.