Semiconductores, diodos y LED

Principiante

Un cable de cobre deja pasar la carga con facilidad porque algunos de sus electrones no pertenecen a ningún átomo concreto: es un conductor. En el vidrio cada electrón se queda con su átomo, así que el vidrio es un aislante. El silicio, el material de los chips, está a medio camino: es un semiconductor.

Paso 1. En el silicio puro casi todos los electrones están sujetos en enlaces entre átomos vecinos. Un poco de calor o de luz libera algunos, y cada uno deja atrás un hueco. Cuando un electrón vecino salta al hueco, el hueco se desplaza en sentido contrario, así que se mueve como una carga positiva.

Paso 2. Los ingenieros añaden una pizca de otro elemento: es el dopaje. Unas impurezas aportan electrones de sobra (tipo n, de negativo); otras dejan huecos (tipo p, de positivo).

Paso 3. Junta los dos tipos y tendrás una unión p-n. En la animación, los puntos azules de la izquierda son electrones de sobra y los anillos de la derecha son huecos. Entre ellos hay una fina capa vacía que actúa como un muro. Mientras el voltaje es bajo, nada lo cruza; hacia los 2 voltios, las dos clases de carga corren hacia el centro.

Paso 4. Un electrón que cae en un hueco pierde energía, y esa energía sale como un diminuto destello de luz, igual que un átomo emite un fotón cuando uno de sus electrones baja a un nivel inferior. Eso es un diodo emisor de luz (LED). El tamaño de la caída, y por tanto el color, depende del material.

Ponte a prueba: conecta la pila al revés. ¿Se enciende el LED? No: el muro se ensancha y casi no pasa corriente. Una unión es una válvula de un solo sentido para la corriente: un diodo. Si en cambio la iluminas, impulsa una corriente: una célula solar.

Intermedio

Bandas, banda prohibida y huecos

Un electrón ligado a un solo átomo solo puede tener ciertas energías. En un cristal, cada nivel atómico se ensancha hasta formar una banda de niveles muy próximos entre sí. Los electrones de enlace llenan la banda de valencia; por encima está la banda de conducción, donde los electrones se mueven libremente, y entre ambas la banda prohibida $E_g$, formada por energías que ningún electrón de un cristal perfecto puede tener.

Una banda llena no transporta corriente, porque a cada electrón que se mueve en un sentido le corresponde otro que se mueve en el contrario. Un metal conduce porque su banda ocupada más alta está llena solo en parte. Un aislante tiene la banda de valencia llena y una banda prohibida ancha, de 5,5 eV en el diamante; un semiconductor la tiene estrecha: 1,12 eV en el silicio, 1,42 eV en el arseniuro de galio (GaAs) y 1,9 eV en el LED rojo de la animación.

A temperatura ambiente, la energía térmica $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{eV}$ solo consigue elevar a través de la banda prohibida del silicio unos $10^{10}$ electrones por centímetro cúbico, frente a $5\times 10^{22}$ átomos. Cada uno deja un sitio vacío en un enlace, un hueco; un electrón vecino se desliza hasta él y el hueco se desplaza en sentido contrario, como una carga positiva $+e$. El número de pares se duplica aproximadamente cada 10 K, así que un semiconductor puro conduce mejor cuando se calienta, al contrario que un metal.

Dopaje: tipo n y tipo p

El dopaje permite controlar los portadores. El fósforo tiene cinco electrones externos, uno más de los que necesitan los cuatro enlaces del silicio; el sobrante, retenido con una energía de solo 0,045 eV, queda libre enseguida por la agitación térmica. El fósforo es un donador y da silicio de tipo n, con los electrones como portadores mayoritarios. El boro, que tiene tres, toma un electrón de un enlace vecino y deja un hueco: silicio de tipo p.

Un átomo de fósforo por cada cinco millones de átomos de silicio da $10^{16}$ electrones libres por centímetro cúbico, un millón de veces el valor del silicio puro. Los huecos se vuelven más escasos, porque tantos electrones los ocupan, y el producto de las dos densidades permanece fijo:
$np=n_i^2,n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$
Aquí $n_i\approx 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ es la densidad del silicio puro, de modo que los huecos bajan a $p=10^{20}/10^{16}=10^4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$: son los portadores minoritarios.

La unión p-n y su diagrama de bandas

Junta una región de tipo n y otra de tipo p en un mismo cristal. Los electrones se difunden hacia el lado p y los huecos hacia el lado n, donde se recombinan y dejan cerca de la frontera solo iones fijos: donadores positivos en el lado n y aceptores negativos en el lado p. Esta zona de agotamiento, de una fracción de micrómetro de grosor, no tiene portadores libres, y el campo de sus iones hace retroceder a los portadores hasta que la difusión se detiene a una tensión interna $V_{\mathrm{bi}}$ (potencial de contacto): unos 0,7 V en el silicio y 1,8 V en el LED de la animación.

El diagrama de bandas de la animación dibuja esto como un escalón, con la energía de los electrones hacia arriba: la línea superior es el borde de la banda de conducción y la inferior el de la banda de valencia, separados 1,9 eV (flecha dorada). Los dos bordes están más altos en el lado p, de modo que un electrón (punto azul) del lado n tiene que subir el escalón, mientras que un hueco (anillo), que flota hacia arriba como una burbuja, tendría que hundirse por él. Sin polarizar, el escalón mide 1,8 eV de alto y casi nada lo cruza.

Polarización, corriente y luz

La polarización directa (lado p al +) actúa contra la tensión interna: el escalón disminuye, la zona de agotamiento se estrecha y la corriente crece exponencialmente. La polarización inversa eleva el escalón, y solo se filtra una minúscula corriente de saturación $I_s$. La unión es un diodo, una válvula de un solo sentido. Cuatro fórmulas hacen casi todo el trabajo:

• $hf\approx E_g$
• $\lambda =\frac{hc}{E_g}\approx \frac{1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}}{E_g}$
• $I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$
• $R=\frac{V_s-V_F}{I}$

Un electrón de conducción que cae en un hueco desciende unos $E_g$ y emite un fotón; como $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, al dividir entre la banda prohibida en electronvoltios se obtiene la longitud de onda en nanómetros. En la ecuación del diodo, la tensión térmica $V_T=k_{B}T/e$ vale 25,9 mV a 300 K, y el factor de idealidad $\eta$ está entre 1 y 2: cada $2,3\eta V_T$ adicional (60 mV para $\eta =1$ y 120 mV para $\eta =2$) multiplica la corriente por diez.

Ejemplo resuelto: el LED de la animación

El chip de la animación tiene $E_g=1,9\mathrm{eV}$. Cada fotón lleva aproximadamente esa energía, $1,9\cdot 1,602\times 10^{-19}=3,04\times 10^{-19}\mathrm{J}$, y su longitud de onda es
$\lambda \approx \frac{1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}}{1,9\mathrm{eV}}\approx 653\mathrm{nm}$
que la animación redondea a 650 nm: luz roja.

A medida que sube la tensión de la fuente $V$, la lectura de $I$ se mantiene por debajo de medio miliamperio hasta unos 1,5 V, mientras la leyenda dice que la barrera sigue siendo alta; supera 1 mA hacia 1,56 V y llega a 20 mA a 2,0 V. Medio voltio multiplica la corriente por más de cincuenta. Mientras tanto, el escalón de bandas se reduce de 1,8 eV a unos 0,1 eV (la resistencia del chip se lleva los otros 0,3 V), la zona de agotamiento se estrecha hasta la cuarta parte de su anchura, y las flechas $e^{-}$ y $h^{+}$ muestran los portadores que afluyen desde ambos lados.

Cada electrón que cruza da como mucho un fotón, de modo que la corriente cuenta los fotones: con 20 mA, $I/e=0,020/(1,602\times 10^{-19})\approx 1,25\times 10^{17}$ por segundo, que transportan como máximo $1,25\times 10^{17}\cdot 3,04\times 10^{-19}\approx 0,038\mathrm{W}$ de luz a partir de $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{W}$ de potencia eléctrica. Lo que no sale como luz calienta el chip.

Ejemplo resuelto: una resistencia para un LED azul

Un LED azul tiene una banda prohibida más ancha, $E_g\approx 2,7\mathrm{eV}$ ($\lambda \approx 460\mathrm{nm}$), así que necesita unos 3,0 V en lugar de 2 V para conducir 20 mA. Dispones de una fuente USB de 5,0 V. Una resistencia en serie lleva la misma corriente y se queda con el resto de la tensión:
$R=\frac{V_s-V_F}{I}=\frac{5,0-3,0}{0,020}=100\Omega$
Disipa $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{W}$, y el LED, $3,0\cdot 0,020=0,060\mathrm{W}$.

Sin ella, la curva propia del LED, demasiado empinada, fijaría la corriente: en la animación medio voltio cambia la corriente más de cincuenta veces, así que 5 V aplicados a un LED sin protección lo destruirían. Con la resistencia, un LED cuya tensión directa sea de 3,1 V en lugar de 3,0 V sigue recibiendo $1,9/100=0,019\mathrm{A}$: es la resistencia, y no el LED, la que fija la corriente.

Errores frecuentes

• El silicio de tipo n no tiene carga negativa: cada átomo de fósforo entra neutro, y cuando su quinto electrón se aleja, queda atrás un ion positivo fijo.
• Un LED más brillante no da una luz más azul. La corriente fija el número de fotones por segundo, unos $1,25\times 10^{17}$ con 20 mA; la banda prohibida fija la energía de cada uno.
• Un diodo no tiene una resistencia fija: el LED de la animación tiene $V/I=1,5/0,00037\approx 4\mathrm{k\Omega }$ a 1,5 V, pero $2,0/0,020=100\Omega$ a 2,0 V.
• La polarización inversa no bloquea a cualquier tensión: pasado el punto de ruptura, la corriente inversa se dispara, y las hojas de características de los LED solo admiten unos 5 V en inversa.

Dónde aparece

Las lámparas LED, las pantallas y los semáforos usan la luz de esta lección. Una célula solar es la misma unión haciendo el trabajo contrario: la luz crea pares electrón-hueco y el campo de la zona de agotamiento los separa y los convierte en corriente, como en los sensores de las cámaras y en los receptores de fibra óptica. Los transistores, construidos con uniones o con un canal controlado por un campo, conmutan y amplifican las señales de todos los chips. Para el lado del fotón, compara Efecto fotoeléctrico y Modelos atómicos: el átomo de Bohr; para el del circuito, Circuitos de corriente continua y ley de Ohm.

Avanzado

Bandas a partir de saltos entre átomos

Todo lo que hace un semiconductor procede de un solo hecho: sus electrones no están atados a átomos individuales. Para ver cómo eso produce bandas de energías permitidas separadas por una banda prohibida, sigue a un electrón en el cristal más sencillo que existe, una cadena recta de átomos idénticos.

Leyenda

$a$	Separación de los átomos de la cadena.	$\mathrm{m}$
$A$	Energía de salto: el acoplamiento entre dos átomos vecinos.	$\mathrm{J}$
$E$	Energía de un estado ondulatorio de la cadena.	$\mathrm{J}$
$k$	Número de onda de ese estado: su amplitud en el átomo situado en $x_n$ es proporcional a $e^{ik{x}_n}$.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$E_0$	Nivel de energía de un átomo aislado; la banda está centrada en él.	$\mathrm{J}$
$4A$	Anchura de la banda, desde $E_0-2A$ en $k=0$ hasta $E_0+2A$ en el borde.	$\mathrm{J}$
$\pi /a$	Borde del intervalo de $k$ necesario: un $k$ más allá pone en los átomos las mismas amplitudes que uno de dentro.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$m^{\ast }$	Masa efectiva en el fondo de la banda, fijada por la curvatura de la parábola verde ahí; en el techo la curvatura es la contraria, lo que da $-m^{\ast }$.	$\mathrm{kg}$

La parte superior de la figura 1 muestra la cadena. Los átomos están separados una distancia $a$, de modo que el átomo número $n$ está en $x_n=na$. Por sí solo, cada átomo mantendría al electrón con la energía $E_0$. Como los átomos están cerca, el electrón también puede saltar a cualquiera de sus vecinos; la doble flecha curva lo señala, y la energía de salto $A$ mide lo fuertemente acoplados que están dos átomos vecinos.

Como el electrón siempre puede escaparse a un vecino, un estado en el que el electrón estuviera sobre un solo átomo no puede mantener una energía fija. Un estado de energía definida debe dar al electrón una amplitud $C_n$ en cada átomo. Su ecuación de Schrödinger dice: la energía por la amplitud en el átomo $n$ es igual a $E_0$ por esa amplitud, menos $A$ por las amplitudes en los dos vecinos,

$E{C}_n=E_0{C}_n-A(C_{n+1}+C_{n-1})$

Todos los átomos tienen el mismo entorno, así que prueba con una onda, $C_n=e^{ik{x}_n}$, de número de onda $k$. Los dos vecinos llevan entonces $e^{ik{x}_n}{e}^{ika}$ y $e^{ik{x}_n}{e}^{-ika}$. El factor común $e^{ik{x}_n}$ se cancela en ambos miembros, y como $e^{ika}+e^{-ika}=2\cos ka$, queda

$E=E_0-2A\cos ka$

Esta es la curva de la parte inferior de la figura 1: la energía $E$ de cada onda frente a su número de onda $k$. Solo hacen falta los $k$ entre $-\pi /a$ y $\pi /a$. Sumar $2\pi /a$ a $k$ multiplica la amplitud en el átomo $n$ por $e^{i2\pi n}=1$, así que devuelve la misma onda. En $k=0$ todos los átomos tienen la misma amplitud y la energía es la más baja, $E_0-2A$: el fondo de la banda. En $k=\pm \pi /a$ el signo de la amplitud se invierte de un átomo al siguiente y la energía es la más alta, $E_0+2A$. El único nivel atómico $E_0$, la línea discontinua a media altura, se ha extendido en una banda de anchura $4A$, la llave de la derecha.

Cada nivel atómico se ensancha así en su propia banda, y entre dos bandas quedan energías que ninguna onda de la cadena puede tener: una banda prohibida. En un semiconductor en el cero absoluto, los electrones llenan exactamente una banda, la banda de valencia, y dejan vacía la siguiente, la banda de conducción. La distancia desde el techo de la banda de valencia hasta el fondo de la banda de conducción es la anchura de la banda prohibida $E_g$, de 1,12 eV en el silicio.

Cerca del fondo de una banda solo importan los $k$ pequeños, y ahí $\cos ka\approx 1-\frac{1}{2}(ka{)}^2$. Al sustituirlo en la banda se obtiene

$E\approx E_0-2A+A{a}^2{k}^2$

Salvo la constante, esto tiene la forma de la energía cinética de una partícula libre, ${\hslash }^2{k}^2/2m$, donde $\hslash$ es la constante de Planck reducida. Así que un electrón cerca del fondo de la banda se mueve por el cristal como una partícula libre, pero con una masa efectiva

$m^{\ast }=\frac{{\hslash }^2}{2A{a}^2}$

Cuanto más fuerte es el salto, más ligero es el electrón. Un acoplamiento de 1 eV entre átomos separados 0,3 nm da $m^{\ast }\approx 0,42m_e$, donde $m_e$ es la masa de un electrón libre; los valores medidos van desde $0,07m_e$ (electrones en el GaAs) hasta aproximadamente $m_e$. En la figura 1, la parábola verde de abajo, rotulada $m^{\ast }$, es esta aproximación. Se pega a la banda cerca de $k=0$ y se separa de ella más lejos, donde el coseno se aplana.

En el techo de la banda el coseno se curva al revés. La segunda parábola verde, rotulada $-m^{\ast }$, se ajusta a la banda ahí: un electrón cerca del techo tiene masa efectiva negativa, de modo que una fuerza lo acelera hacia atrás. Toma ahora una banda llena salvo por un electrón que falta cerca de su techo. Una banda llena no transporta corriente, porque cada electrón que se mueve en un sentido tiene su pareja que se mueve en el contrario. La banda con ese electrón ausente se comporta, por tanto, como ese electrón con su carga y su masa invertidas: carga $+e$ en lugar de $-e$, masa $+m^{\ast }$ en lugar de $-m^{\ast }$. Ese electrón ausente es un hueco. Es una auténtica cuasipartícula, una excitación del cristal que se comporta como una partícula: la tensión de Hall del material de tipo p tiene el signo esperado para portadores positivos. Llevar un electrón desde el techo de la banda de valencia hasta el fondo de la banda de conducción crea un electrón libre y un hueco, de modo que $E_g$ es la energía mínima que crea un par electrón-hueco.

Contar portadores: la ley de acción de masas

Un semiconductor puro a temperatura ambiente tiene pocos portadores libres, todos creados por las vibraciones térmicas. Añadir impurezas, lo que se llama dopaje, cambia su número en muchos órdenes de magnitud. Una regla sencilla enlaza las densidades de electrones y de huecos en todos los casos, y el resto de la lección se apoya en ella.

Llama $n$ al número de electrones de conducción por unidad de volumen y $p$ al número de huecos. Los pares se crean cuando una vibración térmica eleva un electrón a través de la banda prohibida. Eso cuesta la energía $E_g$, así que el ritmo de creación es proporcional al factor de Boltzmann $e^{-E_g/k_{B}T}$, con $k_B$ la constante de Boltzmann y $T$ la temperatura absoluta; a 300 K, $k_{B}T=0,0259\mathrm{eV}$. Los pares desaparecen cuando un electrón se encuentra con un hueco y cae en él, lo que se llama recombinación. El ritmo de los encuentros es proporcional a $np$, ya que duplicar cualquiera de las dos densidades duplica el número de encuentros. En equilibrio, la creación y la recombinación se compensan, de modo que el producto $np$ depende solo de la banda prohibida y de la temperatura:

$np=n_i^2$

Aquí $n_i$, la densidad intrínseca, es el valor de $n$ y de $p$ en un cristal puro, donde cada electrón de la banda de conducción ha dejado un hueco tras de sí. Como $n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, su raíz cuadrada es

$n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$

donde queda fuera un factor $T^{3/2}$ de variación más lenta. El dopaje no cambia este argumento. Un átomo donador, como el fósforo en el silicio, cede un electrón a la banda de conducción; un aceptor, como el boro, toma uno de la banda de valencia y deja un hueco. Ninguno de los dos altera el ritmo al que se crean pares a través de la banda prohibida, ni la probabilidad de que un electrón dado se encuentre con un hueco dado, así que $np=n_i^2$ sigue cumpliéndose.

Para el silicio a 300 K, $n_i\approx 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. Añade donadores con una densidad $N_D=10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$, un millón de veces $n_i$. Casi todos los donadores ceden su electrón, de modo que $n\approx N_D$, y la ley de acción de masas fija los huecos en $p=n_i^2/N_D=10^4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. El dopaje sube una densidad y baja la otra: en este silicio de tipo n los electrones son los portadores mayoritarios y los huecos los minoritarios.

El exponente hace que $n_i$ sea muy sensible. Calentar el silicio de 300 K a 310 K la duplica. Una banda prohibida más ancha la hace mucho menor: para la banda prohibida de 1,9 eV del LED de la animación, el exponente crece en $(1,9-1,12)/(2\cdot 0,0259)\approx 15$, de modo que $n_i$ se multiplica por $e^{-15}\approx 3\times 10^{-7}$ y queda en unos pocos miles de portadores por centímetro cúbico.

La unión p-n: tensión interna y zona de agotamiento

Una unión p-n es un cristal dopado de tipo n por un lado y de tipo p por el otro. Los diodos, los LED, las células solares y los transistores se construyen todos con uniones así. Cuando los dos lados se juntan, los electrones se difunden del lado n al lado p, donde son escasos, y los huecos se difunden en sentido contrario. Cada portador que cruza y se recombina deja atrás un ion fijo cuya carga ya no está compensada: un donador positivo en el lado n, un aceptor negativo en el lado p. La carga de estos iones crea un campo que empuja a los portadores de vuelta, y la difusión se detiene cuando el campo la equilibra. La franja alrededor de la unión que ha perdido sus portadores libres es la zona de agotamiento.

Leyenda

$x$	Posición a través de la unión, del lado n al lado p.	$\mathrm{m}$
$W$	Anchura de la zona de agotamiento.	$\mathrm{m}$
$\rho$	Densidad de carga de los iones fijos: donadores positivos en la mitad n de la zona, aceptores negativos en la mitad p.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$e{N}_D$	Densidad de carga de los donadores ionizados: $e$ por su densidad numérica $N_D$.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$e{N}_A$	Valor de la densidad de carga de los aceptores ionizados: $e$ por su densidad numérica $N_A$, igual aquí a $e{N}_D$.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$E$	Campo eléctrico, dirigido del lado n al lado p.	$V/m$
$E_{\max }$	Valor máximo del campo, en la unión.	$V/m$
$V$	Potencial eléctrico a lo largo de la unión.	$\mathrm{V}$
$V_{bi}$	Tensión interna: la caída de $V$ a través de la zona, igual al área sombreada bajo $E$.	$\mathrm{V}$
$n$	La región de tipo n: electrones libres, con iones donadores positivos.
$p$	La región de tipo p: huecos, con iones aceptores negativos.

La figura 2 sigue la unión a lo largo de la posición $x$, del lado n a la izquierda al lado p a la derecha, en tres gráficas que comparten el mismo $x$. La zona de agotamiento, de anchura $W$, queda entre las líneas discontinuas.

La gráfica superior es la densidad de carga $\rho$: dos bloques. La mitad n de la zona contiene los iones donadores, de densidad de carga $e{N}_D$, donde $N_D$ es el número de donadores por unidad de volumen. La mitad p contiene los iones aceptores, de densidad de carga $-e{N}_A$. Aquí el dopaje es el mismo a ambos lados, $N_A=N_D$, como en el ejemplo del silicio más abajo, así que las dos mitades son iguales, cada una de anchura $W/2$. Fuera de la zona los portadores libres compensan los iones y $\rho =0$.

La gráfica central es el campo $E$. La ley de Gauss en una dimensión, $dE/dx=\rho /\epsilon$, con $\epsilon$ la permitividad del cristal, dice que la pendiente del campo es la densidad de carga dividida por $\epsilon$. Una $\rho$ constante da, por tanto, una recta. $E$ vale cero fuera de la zona, crece de forma uniforme a lo largo de la mitad positiva, alcanza su máximo $E_{\max }$ en la unión y vuelve a cero a lo largo de la mitad negativa. El resultado es un triángulo, y el campo apunta de n a p en toda la zona, como debe para devolver los electrones al lado n y los huecos al lado p.

La gráfica inferior es el potencial $V$. El potencial es menos la integral del campo, $dV/dx=-E$, así que $V$ es constante donde $E=0$ y cae a través de la zona en el área bajo el triángulo del campo, $\frac{1}{2}{E}_{\max }W$. Esa área está sombreada en la gráfica central, y la caída que produce está señalada con una llave a la derecha de la gráfica inferior: es la tensión interna $V_{\mathrm{bi}}$.

El tamaño de $V_{\mathrm{bi}}$ se deduce del equilibrio. Para llegar al lado p, un electrón del lado n debe remontar un escalón de energía potencial $e{V}_{\mathrm{bi}}$. En equilibrio los electrones obedecen el factor de Boltzmann a través de ese escalón, de modo que su densidad en el lado p es igual a su densidad en el lado n multiplicada por $e^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$. En el lado n la densidad es $N_D$; en el lado p, por la ley de acción de masas, es $n_i^2/N_A$. Al plantear $n_i^2/N_A=N_D{e}^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$ y tomar logaritmos,

$V_{\mathrm{bi}}=\frac{k_{B}T}{e}\ln \left(\frac{N_A{N}_D}{n_i^2}\right)$

Para el silicio con $N_A=N_D=10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ y $k_{B}T/e=0,02585\mathrm{V}$, resulta $0,02585\cdot \ln (10^{12})\approx 0,71\mathrm{V}$. Como $n_i^2$ lleva el factor $e^{-E_g/k_{B}T}$, $e{V}_{\mathrm{bi}}$ es igual a $E_g$ menos un término que solo disminuye lentamente al aumentar el dopaje, de modo que el escalón se acerca a $E_g/e$ pero no puede superarlo mucho. El LED muy dopado de la animación se acerca, con $V_{\mathrm{bi}}=1,8\mathrm{V}$ frente a $E_g/e=1,9\mathrm{V}$.

La anchura de la zona se deduce de las mismas tres gráficas. Con un dopaje igual $N$ a ambos lados, cada mitad tiene anchura $W/2$. A lo largo de esa distancia el campo crece con pendiente $eN/\epsilon$, así que su máximo es $E_{\max }=eN(W/2)/\epsilon$. La tensión a través de la zona es el área del triángulo:

$\frac{1}{2}{E}_{\max }W=\frac{eN{W}^2}{4\epsilon }$

Con polarización nula, esta tensión es $V_{\mathrm{bi}}$. Una polarización directa $V$, que hace el lado p más positivo, se opone al campo interno y deja $V_{\mathrm{bi}}-V$ a través de la zona; una polarización inversa es una $V$ negativa. La tensión a través de la zona es proporcional a $W^2$, así que

$W\propto \sqrt{V_{\mathrm{bi}}-V}$

Para la unión de silicio anterior, con $\epsilon \approx 1,0\times 10^{-10}F/m$, la zona tiene una anchura $W\approx 0,43\mu \mathrm{m}$ con polarización nula, y el campo máximo $E_{\max }$ ronda los $3\times 10^{6}V/m$. Una polarización inversa de 5 V la ensancha hasta $1,2\mu \mathrm{m}$. En la animación, la polarización directa baja la barrera de 1,8 eV a 0,1 eV, de modo que la zona se reduce a $\sqrt{0,1/1,8}\approx 0,24$ de su anchura.

Una unión con tensión interna parece una pila, y sin embargo un hilo que une sus dos extremos no transporta corriente. El hilo crea dos contactos nuevos, metal-n y metal-p, cada uno con su propio escalón de potencial, y a una sola temperatura los escalones a lo largo del circuito suman cero. Si no fuera así, el circuito convertiría indefinidamente en trabajo el calor de un entorno a una sola temperatura, cosa que prohíbe la segunda ley de la termodinámica. Como un trinquete en un gas a una sola temperatura, una unión no puede rectificar su propio ruido térmico. Calienta un contacto y el equilibrio se rompe: es el efecto termoeléctrico que se aprovecha en un termopar.

Rectificación: dos flujos desequilibrados

Un diodo deja pasar la corriente con facilidad en un sentido y apenas en el otro. Para ver por qué, sigue a los huecos que cruzan la unión en cada sentido; los electrones se comportan igual y contribuyen a la misma corriente.

Leyenda

$U$	Energía potencial de un hueco en cada posición a través de la unión.	$\mathrm{J}$
$n$	El lado n, donde los huecos son escasos (portadores minoritarios).
$p$	El lado p, donde los huecos abundan (portadores mayoritarios).
$V$	Polarización directa: la tensión aplicada, positiva en el lado p.	$\mathrm{V}$
$e{V}_{bi}$	Altura del escalón para los huecos con polarización nula: $e$ por la tensión interna.	$\mathrm{J}$
$eV$	Cuánto eleva la polarización directa el nivel del lado p.	$\mathrm{J}$
$e(V_{bi}-V)$	Altura del escalón con polarización directa.	$\mathrm{J}$
$I_s$	Corriente de saturación: el flujo de huecos minoritarios que bajan por el escalón; con polarización nula, el flujo ascendente es igual a él.	$\mathrm{A}$
$I_s{e}^{eV/k_{B}T}$	El flujo ascendente con polarización directa: $e^{eV/k_{B}T}$ veces mayor que $I_s$.	$\mathrm{A}$

La figura 3 dibuja la energía potencial $U$ de un hueco en cada punto de la unión, con el lado n a la izquierda y el lado p a la derecha; los anillos son huecos. El campo de la zona de agotamiento empuja a los huecos hacia el lado p, así que un hueco tiene más energía potencial en el lado n: $e{V}_{\mathrm{bi}}$ más alta cuando no se aplica tensión (panel superior). Un hueco que va de p a n debe remontar este escalón; uno que va de n a p se desliza cuesta abajo.

Dos flujos de huecos cruzan, pues, la unión. El primero sube. Los huecos abundan en el lado p, donde son mayoritarios, pero solo los pocos con energía térmica por encima del escalón lo superan. El segundo baja. Los huecos son escasos en el lado n, donde son minoritarios y de origen térmico, pero todos los que se aventuran en la zona son arrastrados escalón abajo por su campo. Este flujo cuesta abajo depende solo de cuántos huecos minoritarios llegan a la zona, no de la altura del escalón; es la corriente de saturación $I_s$. Con $V=0$ no hay corriente neta, así que el flujo ascendente debe ser igual a él, y el panel superior muestra una flecha rotulada $I_s$ en cada sentido.

En el panel inferior, una polarización directa $V$ eleva el lado p en $eV$; la línea discontinua debajo marca su nivel anterior. El escalón baja a $e(V_{\mathrm{bi}}-V)$, y la zona se estrecha en consecuencia. El número de huecos con energía suficiente para subir crece según el factor de Boltzmann $e^{eV/k_{B}T}$, de modo que el flujo ascendente pasa a ser $I_s{e}^{eV/k_{B}T}$, mientras que el flujo descendente sigue siendo $I_s$. La figura dibuja el flujo mayor con tres flechas en lugar de una; el factor real es muchísimo mayor, unos $6\times 10^{11}$ a 0,7 V en el silicio, y por eso la figura no está a escala.

En símbolos, el flujo ascendente es proporcional a $p_p{e}^{-e(V_{\mathrm{bi}}-V)/k_{B}T}$, donde $p_p$ es la densidad de huecos en el lado p. Una polarización directa lo multiplica por $e^{eV/k_{B}T}$, mientras que el flujo descendente conserva su valor $I_s$. La corriente neta de huecos es la diferencia, $I_s{e}^{eV/k_{B}T}-I_s$. Los electrones dan dos flujos de la misma forma, de modo que la corriente total obedece la ecuación del diodo de William Shockley:

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$

Aquí el factor de idealidad es $\eta =1$, para este modelo en el que los portadores se difunden a través de la zona y se recombinan más allá de ella. Una polarización inversa, $V<0$, sube en cambio el escalón: la exponencial se apaga e $I\to -I_s$, solo el pequeño flujo descendente. Eso es la rectificación. Una polarización directa de unas décimas de voltio multiplica la corriente muchas veces, mientras que una polarización inversa de cualquier valor, hasta la ruptura, deja pasar solo $I_s$.

Cuando la mayoría de los portadores se recombinan dentro de la zona de agotamiento, la corriente crece más despacio. Dentro de la zona $np=n_i^2{e}^{eV/k_{B}T}$, y la recombinación es más rápida donde las dos densidades son iguales, ambas de unos $n_i{e}^{eV/2k_{B}T}$. La corriente crece entonces solo como $e^{eV/2k_{B}T}$, lo que significa $\eta \approx 2$, el valor usado en la animación. Para el LED de la animación, $I_s$ es de unos $10^{-16}\mathrm{A}$.

La banda prohibida, más que ninguna otra cosa, fija la tensión a la que un diodo empieza a conducir. Para la difusión $I_s\propto n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, y para la recombinación $I_s\propto n_i\propto e^{-E_g/2k_{B}T}$. En ambos casos, una vez que la corriente está muy por encima de $I_s$,

$I\approx C{e}^{-(E_g-eV)/\eta k_{B}T}$

con un prefactor $C$ que cambia solo lentamente con el dopaje y la temperatura. La corriente depende de cuánto queda $eV$ por debajo de $E_g$, así que la banda prohibida, mucho más que el dopaje, decide dónde empieza a conducir un diodo.

Lectura de la curva corriente–tensión en directo

La vista experta de la animación representa la corriente $I$ del LED frente a la tensión de alimentación $V$ a medida que esta sube. Los resultados anteriores explican la forma de esa curva, y sus números son una buena comprobación de ellos.

Escribe $V_T=k_{B}T/e=25,85\mathrm{mV}$ a 300 K. Con $\eta =2$, $\eta V_T=2\cdot 25,85=51,7\mathrm{mV}$. La corriente se multiplica por diez cada vez que el exponente crece en $\ln 10\approx 2,3$, es decir, cada $2,3\cdot 51,7\approx 119\mathrm{mV}$. Así, la curva va pegada al eje hasta unos 1,5 V (0,37 mA), se dobla bruscamente entre 1,6 y 1,8 V y llega a 20 mA a 2,0 V. La línea dorada discontinua marca $E_g/e=1,9\mathrm{V}$.

¿Por qué funciona la unión unos 0,2 V por debajo de $E_g/e$? Para este LED, $C\approx 0,96\mathrm{A}$. Una corriente de 20 mA queda ${\log }_{10}(0,96/0,020)\approx 1,7$ décadas por debajo de $C$, de modo que, según la fórmula anterior, la tensión de la unión $V_j$ se sitúa $1,7\cdot 119\approx 200\mathrm{mV}$ por debajo de $E_g/e$, en 1,70 V. Un diodo de silicio, con $\eta \approx 1$, tiene $C$ unas ocho décadas por encima de su corriente de trabajo, así que su codo cae hacia 0,6–0,7 V, medio voltio por debajo de su banda prohibida de 1,12 V.

La fuente debe empujar además la corriente a través de la resistencia en serie del chip, de 15 Ω. A 20 mA eso requiere $0,020\cdot 15=0,30\mathrm{V}$, el resto de los 2,0 V. Esta resistencia da forma a la parte alta de la curva. La resistencia dinámica propia de la unión, $d{V}_j/dI=\eta V_T/I$, es de solo unos $2,6\Omega$ a 20 mA, mucho menor que 15 Ω, de modo que la curva se endereza en una recta de pendiente aproximada $1/(17,6\Omega )$. En el diagrama de bandas, el rótulo de la barrera sigue a $e(V_{\mathrm{bi}}-V_j)$, que baja de 1,8 eV a 0,10 eV al subir la tensión.

Problema resuelto: el LED como célula solar

Haz funcionar la unión al revés: en lugar de meter una corriente para sacar luz, haz llegar luz y saca potencia. Las mismas ecuaciones describen entonces una célula solar, y el LED de la animación muestra cuánta potencia puede entregar una unión y por qué su tensión se queda por debajo de $E_g/e$.

Leyenda

$V$	Tensión entre los extremos de la unión, positiva en el sentido directo.	$\mathrm{V}$
$I$	Corriente a través de la unión iluminada, $I=I_d-I_L$.	$\mathrm{A}$
$I_d$	Corriente de la unión a oscuras: la ecuación del diodo.	$\mathrm{A}$
$I_L$	Fotocorriente: la corriente que la luz impulsa hacia atrás a través de la unión, lo que desplaza la curva hacia abajo.	$\mathrm{A}$
$V_{oc}$	Tensión en circuito abierto: donde la curva con luz corta $I=0$.	$\mathrm{V}$
$V_{mp}$	Tensión en el punto de máxima potencia, la esquina del mayor rectángulo.	$\mathrm{V}$
$I_{mp}$	Corriente entregada en el punto de máxima potencia; la curva con luz está ahí en $-I_{\mathrm{mp}}$.	$\mathrm{A}$
$P_{\max }$	Mayor potencia que entrega la célula: el área del rectángulo sombreado.	$\mathrm{W}$
$E_g/e$	La banda prohibida dividida por $e$: la tensión a la que $V_{\mathrm{oc}}$ se acerca sin llegar.	$\mathrm{V}$

La figura 4 representa la corriente $I$ a través de la unión frente a la tensión $V$ entre sus extremos, ambas positivas en el sentido directo. La curva discontinua $I_d$ es la unión a oscuras, dada por la ecuación del diodo, con su codo justo por debajo de $E_g/e$, la vertical discontinua.

Ahora imagina que cae luz sobre la unión y crea pares electrón-hueco a un ritmo equivalente a $I_L=20\mathrm{mA}$, es decir, $I_L/e$ pares por segundo. El campo de la zona de agotamiento separa cada par: el electrón hacia el lado n y el hueco hacia el lado p. Eso es una corriente a través de la unión en sentido inverso, y su valor no depende de $V$. La curva con luz $I$ es, por tanto, la curva a oscuras desplazada hacia abajo en $I_L$, como muestra la flecha rotulada $I_L$.

La curva con luz corta el eje $I$ en $-I_L$ y el eje $V$ en la tensión en circuito abierto $V_{\mathrm{oc}}$. Entre estos dos puntos $V$ es positiva e $I$ negativa: la corriente sale por el terminal positivo, como de una pila, de modo que la unión entrega potencia. En cualquier punto de ese tramo la potencia es el área del rectángulo entre los ejes y el punto de la curva. El rectángulo sombreado, con su esquina en $V_{\mathrm{mp}}$ y $-I_{\mathrm{mp}}$, es el mayor, y su área es $P_{\max }$.

En ecuaciones, la corriente con luz es

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]-I_L$

Con los terminales en cortocircuito, $V=0$ e $I=-I_L=-20\mathrm{mA}$: toda la fotocorriente da la vuelta por el hilo, hacia atrás a través del diodo. Con los terminales abiertos, $I=0$, así que la corriente del diodo debe ser igual a $I_L$, lo que da

$V_{\mathrm{oc}}=\eta V_T\ln \left(1+\frac{I_L}{I_s}\right)=1,70\mathrm{V}$

Esta es exactamente la tensión de la unión con 20 mA en la animación, porque en ambos casos la corriente del diodo es de 20 mA.

La potencia entregada es $P=V(I_L-I_d)$, donde $I_d$ es la corriente a oscuras a la tensión $V$. Es nula en los dos extremos del tramo y máxima entre ellos, donde $dP/dV=0$: la esquina del mayor rectángulo de la figura 4. Resolviendo numéricamente se obtiene $V_{\mathrm{mp}}\approx 1,52\mathrm{V}$ e $I_{\mathrm{mp}}=I_L-I_d\approx 19,3\mathrm{mA}$, de modo que $P_{\max }\approx 29,5\mathrm{mW}$. El factor de llenado compara este rectángulo con la caja de área $V_{\mathrm{oc}}{I}_L$ que rodea la curva: $29,5/(1,70\cdot 20)\approx 0,87$.

Cada par absorbido recibe al menos 1,9 eV pero entrega solo 1,52 eV: la tensión queda por debajo de $E_g/e$ por el mismo logaritmo que dejó el codo por debajo de ese valor. Con la resistencia en serie de 15 Ω, la mejor potencia baja a unos 24 mW. Las células solares reales usan bandas prohibidas de entre 1,1 y 1,4 eV, un compromiso: una banda prohibida menor absorbe más luz solar, una mayor entrega más energía por electrón.

Límites de validez

La ecuación del diodo supone inyección baja: muchos menos portadores inyectados que mayoritarios. Por eso la tensión de la unión debe mantenerse muy por debajo de $V_{\mathrm{bi}}$; los 1,70 V de la animación frente a 1,8 V están en el límite, donde la resistencia en serie ya domina. Supone la estadística de Boltzmann, que falla por encima de unos $10^{19}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ de dopaje en el silicio. Trata las densidades como promedios continuos, y sin embargo una región de 10 nm de lado dopada a $10^{18}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ contiene en promedio un solo átomo de dopante. En inversa, $I=-I_s$ solo vale hasta la ruptura. En las uniones muy dopadas la barrera es tan delgada que los electrones la atraviesan por efecto túnel con unos pocos voltios (ruptura Zener); en las poco dopadas, los portadores acelerados por el campo arrancan pares nuevos en una avalancha a decenas o cientos de voltios.

La emisión de luz tiene su propio límite. En el silicio, el fondo de la banda de conducción y el techo de la banda de valencia están a momentos cristalinos $\hslash k$ distintos, que difieren en unos $1,0\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$: unas 1700 veces el momento de un fotón de 1,12 eV. El fotón no puede aportar la diferencia, así que cada recombinación debe además crear o absorber un fonón, un cuanto de vibración de la red. Eso tarda hasta milisegundos, ganan otros procesos y la energía acaba como calor. En los materiales de banda prohibida directa, como el GaAs, el AlGaInP para el rojo y el InGaN para el azul, los dos bordes de banda están en el mismo $k$, y electrones y huecos se recombinan emitiendo luz en nanosegundos.

Lo que viene después

Dos uniones espalda con espalda, n-p-n, forman un transistor bipolar: una pequeña corriente que entra en la delgada capa central controla otra mucho mayor que la atraviesa. En un transistor de efecto de campo, en cambio, una tensión de puerta abre o cierra un canal conductor. Con luz a la entrada y potencia a la salida, una unión es la célula solar del problema resuelto; con espejos e inyección intensa, la emisión estimulada la convierte en un láser. Los diodos Zener y túnel se basan en el efecto túnel a través de una zona de agotamiento delgada, tema de «Ecuación de Schrödinger y efecto túnel», y las bandas proceden de ondas de electrones que interfieren en una red cristalina, como en «Dualidad onda-corpúsculo». Los factores de Boltzmann son los de «Teoría cinética de los gases», y la unión que no impulsa ninguna corriente es «La segunda ley de la termodinámica y la entropía» en acción.