Цепи постоянного тока и закон Ома

Начальный

Электрическая цепь — это замкнутый контур, по которому может двигаться заряд: батарея, провода и прибор, использующий энергию, например лампочка. Разомкните контур в любом месте, скажем выключателем, и ток прекратится сразу везде.

Шаг 1: батарея. Химические реакции внутри неё поддерживают один полюс положительным, а другой отрицательным. Батарея не создаёт заряд — провода и так полны им, — она гонит этот заряд по контуру. Её напряжение показывает, сколько энергии каждый кулон переносит от одного полюса к другому: батарея на 9 В даёт каждому кулону 9 джоулей.

Шаг 2: сопротивление. Лампочка или резистор затрудняют прохождение заряда, как сужение в водопроводной трубе. Чем сильнее толчок, тем больше ток; чем больше сопротивление, тем ток меньше. Коротко: сила тока = напряжение ÷ сопротивление (закон Ома). В анимации фиолетовый движок добавляет сопротивление: оранжевые точки замедляются по всему контуру, а не только в резисторе, и лампа тускнеет.

Шаг 3: один путь (последовательно). Когда элементы стоят один за другим, через каждый течёт один и тот же ток, их сопротивления складываются, и напряжение батареи делится между ними. Если в последовательной гирлянде перегорит одна лампочка, контур разомкнётся и погаснут все.

Шаг 4: несколько путей (параллельно). Когда у каждого элемента своя ветвь, подключённая к батарее, каждый получает полное напряжение и работает сам по себе. Так устроена проводка в доме: выключив лампу, вы не остановите холодильник.

Обратите внимание: точки движутся везде с одинаковой скоростью — заряд не расходуется. Лампочка забирает у зарядов энергию, а не сами заряды.

Проверьте себя: батарея на 6 В создаёт ток через резистор 3 Ом. Какова сила тока? (Ответ: 2 А.)

Средний

Ток, напряжение и сопротивление

Электрическая цепь — это замкнутый путь из проводников, в которых уже есть подвижные заряды (свободные электроны в металле); батарея не поставляет их, а поддерживает их движение. Сила тока $I$ — это заряд, проходящий через сечение за секунду, $I=Q/t$; её измеряют в амперах: $1\mathrm{А}=1\mathrm{Кл}/\mathrm{с}$. Условно принято, что ток направлен так, как двигались бы положительные заряды: от положительного полюса по цепи к отрицательному, как движутся точки в анимации; электроны в металле дрейфуют в обратную сторону, и это тот же самый ток.

Напряжение $U$ между двумя точками — это энергия, которую каждый кулон получает или теряет на пути между ними ($1\mathrm{В}=1\mathrm{Дж}/\mathrm{Кл}$): разность электрических потенциалов $\phi$, подобная разности высот. Энергия на кулон, которую сообщает заряду батарея, — это её электродвижущая сила (ЭДС) $\epsilon$; батарея из анимации на 12 В сообщает каждому кулону 12 Дж. Сопротивление $R$ в омах ($1\mathrm{Ом}=1\mathrm{В}/\mathrm{А}$) — это напряжение, которое нужно на каждый ампер тока. Чтобы их измерить, амперметр включают последовательно, а вольтметр — параллельно.

Закон Ома

Для металла при постоянной температуре сила тока пропорциональна напряжению. Закон Ома записывает это так:
$U=IR$
где $R$ постоянно: удвойте напряжение — и ток удвоится. График зависимости $U$ от $I$ — прямая, проходящая через начало координат, с наклоном $R$, а такие элементы называют омическими. Лампа накаливания к ним не относится, потому что при нагреве её сопротивление возрастает примерно в десять раз; не омичен и диод, который проводит ток только в одну сторону.

Сопротивление однородного провода растёт с его длиной $L$ и убывает с площадью поперечного сечения $S$:
$R=\frac{\rho L}{S}$
где удельное сопротивление $\rho$ зависит от материала. Для меди $\rho =1,7\times 10^{-8}\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$, поэтому у метра провода сечением 1 мм² сопротивление всего 0,017 Ом: рядом с лампой в 10 Ом соединительные провода обычно можно считать не имеющими сопротивления.

Соединения резисторов и мощность

Элементы, соединённые последовательно, лежат один за другим на единственном пути, поэтому через них течёт один и тот же ток, а их напряжения складываются: $I{R}_1+I{R}_2=I(R_1+R_2)$. Элементы, соединённые параллельно, подключены к одним и тем же двум точкам, поэтому напряжение на них одинаково, а токи складываются. Каждая ветвь — ещё один путь для тока, так что проводимости $G=1/R$, которые измеряют в сименсах (См), складываются, и группа проводит ток лучше любой отдельной ветви:

• $R_{\mathrm{посл}}=R_1+R_2$
• $\frac{1}{R_{\mathrm{пар}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Для двух параллельных резисторов отсюда получается $R_1{R}_2/(R_1+R_2)$, что меньше меньшего из них. Большую цепь упрощают шаг за шагом, заменяя каждую последовательную цепочку или параллельную группу эквивалентным сопротивлением. Наконец, каждый кулон, проходя разность потенциалов $U$, отдаёт $U$ джоулей, а за секунду проходит $I$ кулонов, поэтому мощность в ваттах равна
$P=UI=I^{2}R=\frac{U^2}{R}$
При последовательном соединении, где ток $I$ общий, больше мощности получает большее сопротивление; при параллельном, где общее напряжение $U$, — меньшее.

Пример: цепь из анимации

Батарея имеет $\epsilon =12\mathrm{В}$, лампа — $R_{\mathrm{Л}}=10\mathrm{Ом}$ (считаем её омической); фиолетовый движок каждые 8 с переводит реостат от 5 Ом до 20 Ом и обратно. В начале, при $R=5\mathrm{Ом}$,
$I=\frac{\epsilon }{R+R_{\mathrm{Л}}}=\frac{12}{5+10}=0,80\mathrm{А}$
$U_R=0,80\cdot 5=4,0\mathrm{В},U_{\mathrm{Л}}=0,80\cdot 10=8,0\mathrm{В}$

Это показания индикаторов $I$, $U_R$ и $U_{\mathrm{Л}}$, а падения напряжения в сумме дают 12 В. Лампа преобразует $P_{\mathrm{Л}}=8,0\cdot 0,80=6,4\mathrm{Вт}$, реостат — 3,2 Вт, вместе это те $\epsilon I=9,6\mathrm{Вт}$, которые отдаёт батарея. В середине цикла, при $R=20\mathrm{Ом}$, ток равен $12/30=0,40\mathrm{А}$, $U_R=8,0\mathrm{В}$ и $U_{\mathrm{Л}}=4,0\mathrm{В}$. Доли поменялись местами: при последовательном соединении каждый элемент получает долю напряжения, пропорциональную его сопротивлению. Мощность лампы падает вчетверо, до 1,6 Вт, и её свечение ослабевает.

Две красные стрелки $I$ — на верхнем проводе перед лампой и на нижнем после неё — всегда одинаковой длины: лампа забирает у зарядов энергию, а не сами заряды. Точки замедляются сразу по всему контуру, а не только в реостате.

Пример: фары на автомобильном аккумуляторе

Две фары автомобиля, у каждой в нагретом состоянии 2,4 Ом, подключены параллельно к аккумулятору на 12 В. Какой ток течёт и что изменится, если включить ещё и обогрев заднего стекла на 1,2 Ом?

На каждой фаре полные 12 В, поэтому она потребляет $12/2,4=5,0\mathrm{А}$ и преобразует $12\cdot 5,0=60\mathrm{Вт}$; вместе они потребляют 10 А, как один резистор в 1,2 Ом. Обогрев добавляет третью ветвь с током $12/1,2=10\mathrm{А}$, и теперь аккумулятор отдаёт 20 А; действительно,
$\frac{1}{R_{\mathrm{пар}}}=\frac{1}{2,4}+\frac{1}{2,4}+\frac{1}{1,2}=\frac{1}{0,60\mathrm{Ом}}$
даёт $12/0,60=20\mathrm{А}$.

В идеале фары не замечают обогрева. На деле они слегка тускнеют: небольшое внутреннее сопротивление аккумулятора $r$, около 0,02 Ом, при 20 А отнимает $20\cdot 0,02=0,4\mathrm{В}$, а когда стартер берёт около 150 А, — порядка 3 В, поэтому при прокручивании двигателя фары тускнеют.

Потенциал при обходе контура

Примем потенциал отрицательного полюса за нуль и пойдём по току: в батарее потенциал скачком растёт на 12 В, вдоль проводов почти не меняется, в реостате падает на $U_R$, в лампе — на $U_{\mathrm{Л}}$, и мы снова приходим к нулю. Подъём и два спада компенсируют друг друга, поэтому $U_R+U_{\mathrm{Л}}=\epsilon$ — правило последовательного соединения, которое видно в анимации.

Два правила распространяют это на любую цепь. Заряд в узле не накапливается, поэтому, считая втекающие токи положительными, а вытекающие — отрицательными,
$\sum I=0\text{в узле}$
А при обходе любого замкнутого контура пройденные ЭДС равны падениям напряжения на резисторах, и каждое слагаемое берётся со знаком, который зависит от направления обхода:
$\sum \epsilon =\sum IR\text{по контуру}$

Это правила Кирхгофа, выражающие сохранение заряда и энергии. Для контура из анимации второе правило в начале даёт $12=5I+10I$, то есть снова 0,80 А.

Частые ошибки

• Лампа не «расходует» ток: 0,80 А входит и 0,80 А выходит. Она расходует энергию — 8 Дж с каждого кулона.
• Батарея поддерживает почти постоянное напряжение, а не постоянный ток: те же 12 В дают 0,80 А через 15 Ом, но 0,40 А через 30 Ом.
• Резистор, добавленный параллельно, уменьшает общее сопротивление и увеличивает ток батареи: две лампы по 10 Ом, включённые параллельно, дают 5 Ом, а не 20 Ом.
• Электроны не мчатся по цепи: при токе 0,80 А в медном проводе сечением 1 мм² они дрейфуют со скоростью около 0,06 мм/с — почти пять часов на метр. Лампа загорается сразу, потому что толчок доходит до всех электронов за наносекунды.
• Короткое замыкание — это огромный ток, а не отсутствие тока: на выводах автомобильного аккумулятора с внутренним сопротивлением 0,02 Ом получается $12/0,02=600\mathrm{А}$, чего достаточно, чтобы расплавить тонкий провод.

Где это встречается

Фонарик — это элемент питания, выключатель и лампа, соединённые последовательно; в доме приборы подключены параллельно, чтобы каждый получал полное напряжение сети и включался независимо от других. Регуляторы громкости и датчики уровня топлива — это реостаты или делители напряжения, а тензодатчики и терморезисторы — резисторы, у которых $R$ меняется от силы или температуры. На этих же правилах основана зарядка $RC$-цепи в уроке «Конденсаторы», а возвращаются они в уроках «Электрическая мощность и энергия в быту» (киловатт-часы и предохранители) и «Магнитное поле магнитов и токов».

Продвинутый

От полей к сосредоточенным элементам

Теория цепей — это сознательное упрощение, и полезно точно знать, что она отбрасывает. В работающей цепи полно электрических и магнитных полей, а описываем мы её горсткой чисел. Здесь объясняется, как делается такое сокращение и когда оно допустимо.

Пример на протяжении всего урока — цепь из анимации: батарея на 12 В, реостат (резистор, сопротивление которого можно менять) и лампа, соединённые в один контур. Сопротивление реостата $R$ каждые 8 секунд меняется от 5 Ом до 20 Ом, а лампу считаем резистором с постоянным сопротивлением $R_B=10\mathrm{Ом}$.

Каждый элемент — будь то источник, резистор или лампа — рассматривается как ящик с двумя выводами, $a$ и $b$. Что происходит внутри, не учитывается; важны лишь ток $I$ через элемент и напряжение между его выводами,
$U_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
где $\phi$ — электрический потенциал, а $\vec{E}$ — электрическое поле. Чтобы это было одним числом, интеграл не должен зависеть от пути из $a$ в $b$. Так и есть, пока поле вне элемента электростатическое: его интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, поэтому два пути с общими концами дают одинаковый результат. Все подробности внутри — картина поля в резисторе или химия гальванического элемента — сводятся к одному числу на элемент: сопротивлению $R$ или ЭДС $\epsilon$.

Два условия делают такое описание точным. Первое: через пространство между элементами не должен проходить меняющийся магнитный поток; иначе по закону Фарадея появляется ЭДС индукции, и $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}$ там уже не равен нулю. Второе: заряд нигде не должен накапливаться, чтобы ток, входящий в элемент, равнялся току, выходящему из него. Цепь постоянного тока удовлетворяет обоим условиям, как только заканчивается краткий переходный процесс при включении.

Остаётся вопрос: откуда поле «знает», что надо повторять каждый изгиб провода? Его создают заряды на поверхностях проводов и элементов; через несколько наносекунд после замыкания ключа они перераспределяются так, что поле внутри каждого провода оказывается направленным вдоль него. В меди нужное поле крошечное. Возьмём наибольший ток в анимации, 0,80 А, в проводе сечением 1 мм². Плотность тока — ток на единицу площади — равна $j=0,80/10^{-6}=8\times 10^5\mathrm{А}/{\mathrm{м}}^2$. Удельное сопротивление меди $\rho$ — поле, нужное на единицу плотности тока, — равно $1,7\times 10^{-8}\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$, поэтому
$E=\rho j=1,7\times 10^{-8}\cdot 8\times 10^5\approx 0,014\mathrm{В}/\mathrm{м}$
На каждый метр провода уходит лишь около 0,014 В, так что почти все 12 В падают на реостате и лампе.

Правила Кирхгофа из законов сохранения

Два правила решают любую цепь постоянного тока, и каждое — закон сохранения в другой форме: правило узлов выражает сохранение заряда, правило контуров — сохранение энергии. Если понять, откуда они берутся, станет видно и то, когда они перестанут работать.

Пусть $\vec{j}$ — плотность тока: вектор, направленный вдоль течения, модуль которого равен току на единицу площади, в А/м². Ток, выходящий из замкнутой поверхности, равен $\oint \vec{j}\cdot d\vec{A}$, где $d\vec{A}$ — малый участок поверхности, направленный наружу. Заряд не создаётся и не исчезает, поэтому этот выходящий ток равен скорости убывания заряда внутри. В стационарном режиме заряд внутри не меняется, так что
$\oint \vec{j}\cdot d\vec{A}=0$
Теперь проведём поверхность вплотную вокруг узла. Её пересекают только провода, и каждый вносит свой ток; получается правило узлов, $\sum I=0$, где вытекающие токи считаются положительными, а втекающие — отрицательными.

Для правила контуров нужен ещё один ингредиент. Одно лишь электростатическое поле не может поддерживать циркуляцию зарядов, потому что его интеграл по замкнутому контуру равен нулю: на одном участке контура оно совершает над зарядами столько же отрицательной работы, сколько положительной — на другом. Внутри элемента действует вторая, неэлектростатическая сила. Назовём $\vec{f}$ её значение на единицу заряда; она химического происхождения и гонит заряд от отрицательного полюса к положительному, против электростатического поля. Её интеграл по элементу — это ЭДС,
$\epsilon ={\int }_{-}^{+}\vec{f}\cdot d\vec{l}$
то есть работа, которую она совершает над каждым прошедшим кулоном. В идеальном элементе без внутреннего сопротивления $\vec{f}$ и электростатическое поле внутри уравновешивают друг друга, поэтому ЭДС равна напряжению между полюсами.

Вне источников действует только электростатическое поле, и $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ означает, что в каждой точке потенциал имеет одно значение: начните где угодно, обойдите контур — и вы вернётесь к тому же потенциалу. Значит, подъёмы потенциала на источниках должны равняться падениям на всём остальном. Это и есть правило контуров — баланс энергии на каждый кулон, обошедший контур.

Резистору нужен собственный закон, и он берётся из материала. Локально $\vec{j}=\sigma \vec{E}$, где $\sigma$ — удельная проводимость, а $\rho =1/\sigma$ — удельное сопротивление. В однородном проводе длиной $L$ и сечением $A$ (в «Главных формулах» — $S$) поле однородно, поэтому напряжение равно $U=EL$, а ток $I=jA=\sigma EA$. Исключив $E$, получаем закон Ома, $U=IR$, где $R=\rho L/A$.

Теперь применим правила к контуру из анимации. Ветвей в нём нет, поэтому везде течёт один и тот же ток $I$. При обходе батарея повышает потенциал на $\epsilon$, а реостат и лампа понижают его на $IR$ и $I{R}_B$:
$\epsilon -IR-I{R}_B=0\Rightarrow I=\frac{\epsilon }{R+R_B}$
При $\epsilon =12\mathrm{В}$ и $R_B=10\mathrm{Ом}$ ток меняется от 0,80 А при $R=5\mathrm{Ом}$ до 0,40 А при $R=20\mathrm{Ом}$.

Привычные правила соединения резисторов следуют отсюда сразу. У элементов, включённых последовательно, общий ток, поэтому их напряжения складываются, а вместе с ними и сопротивления. У элементов, включённых параллельно, общее напряжение, поэтому их токи складываются, а вместе с ними — величины, обратные сопротивлениям.

Для большой цепи правила всегда дают достаточно уравнений. Пусть цепь связна и имеет $n$ узлов и $b$ ветвей, где ветвь — участок цепи между двумя узлами со своим током; тогда неизвестных токов $b$. Правило узлов даёт $n-1$ независимых уравнений (последнее — сумма остальных, так как ток каждой ветви вытекает из одного узла и втекает в другой), а правило контуров — по одному уравнению для каждого из $b-n+1$ независимых контуров: всего ровно $b$ уравнений.

Решение контура на вольт-амперном графике

График позволяет решить контур без алгебры и продолжает работать, когда элемент не подчиняется закону Ома. Идея в том, чтобы нарисовать на одних осях, что допускает лампа и что допускает остальная часть цепи.

Обозначения

$I$	Ток через лампу, одинаковый во всём контуре.	$\mathrm{А}$
$V_B$	Напряжение на лампе.	$\mathrm{В}$
$\epsilon$	ЭДС батареи: точка, где все нагрузочные прямые пересекают ось напряжения.	$\mathrm{В}$
$R_B$	Сопротивление лампы: наклон её прямой.	$\mathrm{Ом}$
$R_1$	Реостат в нижней части диапазона: пологая нагрузочная прямая с наклоном $-R_1$, доходящая до оси тока в точке $\epsilon /R_1$.	$\mathrm{Ом}$
$R_2$	Реостат в верхней части диапазона: более крутая нагрузочная прямая с наклоном $-R_2$.	$\mathrm{Ом}$

На рисунке 1 по горизонтальной оси отложен ток $I$, по вертикальной — напряжение на лампе $V_B$. Собственный закон лампы, $V_B=R_{B}I$, — это прямая через начало координат, подписанная $R_B$; её наклон равен $R_B=10\mathrm{Ом}$. Каждое возможное состояние лампы лежит на этой прямой. (В экспертной панели анимации та же прямая нарисована штрихами, и по ней между точками (0,40 А; 4,0 В) и (0,80 А; 8,0 В) скользит точка.)

Остальная часть цепи, батарея и реостат вместе, предъявляет второе требование. С точки зрения лампы батарея даёт $\epsilon$, реостат забирает $IR$, и остаток оказывается на лампе:
$V_B=\epsilon -RI$
Это нагрузочная прямая. Она начинается на оси напряжения в точке, подписанной $\epsilon$, при 12 В: без тока на реостате нет падения напряжения, и вся ЭДС досталась бы лампе. Затем прямая идёт вниз с наклоном $-R$ и пересекает ось тока в точке $\epsilon /R$ — это ток, который дала бы батарея, если бы лампу заменили проводом.

Лампа должна подчиняться своей прямой, а цепь — нагрузочной, поэтому реальное состояние цепи, её рабочая точка, находится в пересечении двух прямых. Приравняв их, $R_{B}I=\epsilon -RI$, мы получаем в точности правило контуров: рисунок и алгебра решают одно и то же уравнение.

Теперь проследим за реостатом. На рисунке нагрузочная прямая проведена для двух концов его диапазона, $R_1=5\mathrm{Ом}$ и $R_2=20\mathrm{Ом}$, а заштрихованный веер между ними содержит все промежуточные положения. Когда $R$ растёт от $R_1$ до $R_2$, нагрузочная прямая поворачивается вокруг своего неподвижного конца в $\epsilon$ и опускается: от пологой прямой $R_1$, которая дошла бы до оси тока на 2,4 А, к крутой прямой $R_2$, которая останавливается на 0,60 А. Её пересечение с прямой лампы скользит вниз от точки 1, (0,80 А; 8,0 В), к точке 2, (0,40 А; 4,0 В).

Сила метода проявляется на неомических элементах. Кривая настоящей нити накала по мере нагрева загибается вверх, а у диода она имеет резкий излом; ни у того, ни у другого нет единого сопротивления, поэтому формула для $I$ уже не годится. Пересечение с нагрузочной прямой по-прежнему даёт ответ, найденный графически или численно.

Мощность лампы за один цикл

Яркость лампы определяется её мощностью, и график этой мощности в анимации содержит сюрприз. При $I=\epsilon /(R+R_B)$ лампа получает
$P_B=I^2{R}_B=\frac{{\epsilon }^2{R}_B}{(R+R_B{)}^2}$
от 6,4 Вт при $R=5\mathrm{Ом}$ до 1,6 Вт при $R=20\mathrm{Ом}$.

Сопротивление реостата меняется по косинусу, $R=12,5-7,5\cos (2\pi t/T)$ в омах, с периодом $T=8\mathrm{с}$, но мощность его не повторяет. Поскольку $P_B$ обратно пропорциональна квадрату $R+R_B$, она быстро спадает с максимума и подолгу держится около минимума. При $t=2\mathrm{с}$ реостат ровно посередине, 12,5 Ом, но $P_B=12^2\cdot 10/22,5^2\approx 2,8\mathrm{Вт}$, а не 4,0 Вт — середина между крайними значениями, — и около двух третей каждого цикла мощность остаётся ниже 4 Вт. Площадь под кривой, около 27 Дж за цикл в 8 с, — это энергия, которую лампа превращает в тепло и свет.

Цепи и теорема Тевенена

Большую цепь невозможно было бы анализировать, если бы каждое изменение заставляло начинать всё сначала. Выручает линейность: она позволяет заменить всю цепь двумя числами.

Для омических элементов каждое уравнение Кирхгофа линейно относительно токов и ЭДС. Отсюда два следствия. Первое — суперпозиция: токи, создаваемые несколькими источниками, действующими вместе, равны суммам токов, которые создавал бы каждый источник в отдельности. Второе — теорема Тевенена: любая цепь из источников и резисторов, если смотреть на неё с двух выводов, ведёт себя в точности как одна ЭДС ${\epsilon }_{\mathrm{экв}}$, включённая последовательно с одним сопротивлением $R_{\mathrm{экв}}$. Причина в том, что по линейности напряжение на выводах — линейная функция потребляемого тока, $U={\epsilon }_{\mathrm{экв}}-R_{\mathrm{экв}}I$, а для прямой достаточно отрезка на оси и наклона.

Оба числа легко найти. ЭДС ${\epsilon }_{\mathrm{экв}}$ — это напряжение на разомкнутых выводах, когда ток не потребляется. Сопротивление $R_{\mathrm{экв}}$ — это сопротивление между выводами, когда каждая идеальная ЭДС заменена проводом.

Максимальная мощность источника

Какая нагрузка берёт от данного источника наибольшую мощность? Ответ, называемый согласованием, важен везде — от радиоприёмников до самой анимации. Простейший реальный источник — батарея: идеальная ЭДС $\epsilon$, включённая последовательно с внутренним сопротивлением $r$, то есть уже в форме Тевенена. При токе $I$ напряжение на её выводах проседает до $\epsilon -Ir$. Через нагрузку $R$ течёт ток $I=\epsilon /(R+r)$, и она получает
$P=I^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(R+r{)}^2}$

Обозначения

$R$	Сопротивление нагрузки.	$\mathrm{Ом}$
$P$	Мощность, которую нагрузка берёт от источника.	$\mathrm{Вт}$
$r$	Внутреннее сопротивление источника; максимум лежит при $R=r$.	$\mathrm{Ом}$
$P_{\max }$	Наибольшая мощность, которую источник может отдать нагрузке, ${\epsilon }^2/(4r)$.	$\mathrm{Вт}$
$R_1$	Нагрузка меньше $r$.	$\mathrm{Ом}$
$R_2$	Нагрузка больше $r$, с $R_1{R}_2=r^2$; она потребляет ту же мощность, что и $R_1$.	$\mathrm{Ом}$

На рисунке 2 построена эта мощность $P$ в зависимости от нагрузки $R$. Сначала посмотрим на два конца. При $R=0$ нагрузка — короткое замыкание: ток наибольший, $\epsilon /r$, но напряжения на нагрузке нет, так что она ничего не получает. При $R\to \infty$ напряжение на нагрузке приближается к $\epsilon$, но ток затухает, и мощность снова падает до нуля. Между ними кривая круто поднимается до единственного максимума $P_{\max }$, а затем медленно спадает.

Чтобы найти максимум, продифференцируем по правилу частного:
$\frac{dP}{dR}=\frac{{\epsilon }^2(r-R)}{(R+r{)}^3}$
Производная положительна при $R<r$, равна нулю при $R=r$ и отрицательна при $R>r$, поэтому максимум лежит в точке $R=r$, отмеченной на оси рисунка 2. Там $I=\epsilon /(2r)$ и
$P_{\max }=\frac{{\epsilon }^2}{4r}$
а столько же, $I^{2}r$, теряется внутри источника: в лучшем случае до нагрузки доходит половина энергии. Согласование подходит для слабых сигналов, например от антенны к приёмнику, где важна каждая крупица мощности. Энергосистемы поступают наоборот и держат $R$ намного больше $r$, потому что КПД — доля отданной мощности, доходящая до нагрузки, — равен $R/(R+r)$, то есть при согласовании составляет лишь половину.

У кривой есть и менее очевидное свойство: одинаковые мощности встречаются парами. Разделим числитель и знаменатель $P$ на $R$:
$P=\frac{{\epsilon }^2}{R+2r+r^2/R}$
Замена $R$ на $r^2/R$ просто меняет местами первое и последнее слагаемые знаменателя, и $P$ не меняется. Поэтому две нагрузки с $R_1{R}_2=r^2$ потребляют одинаковую мощность. На рисунке 2 это две точки на штриховой линии уровня: $R_1$ ниже $r$ и $R_2$ выше него во столько же раз, $r/R_1=R_2/r$.

Эта симметрия скрыта в анимации. Посмотрим на цепь с двух выводов реостата. По Тевенену, батарея и лампа, соединённые последовательно, — это источник 12 В с внутренним сопротивлением $R_{\mathrm{экв}}=R_B=10\mathrm{Ом}$, так что реостат — нагрузка $R$ из рисунка 2 при $r=10\mathrm{Ом}$. Его мощность $I^{2}R$ достигает максимума $12^2/(4\cdot 10)=3,6\mathrm{Вт}$, когда движок проходит 10 Ом, а на обоих концах диапазона, при 5 Ом и 20 Ом, равна 3,2 Вт, потому что $5\cdot 20=10^2$. Так что пока мощность лампы меняется вчетверо, мощность реостата остаётся между 3,2 и 3,6 Вт.

Задача: две лампы на одном реостате

Применим эти инструменты к вопросу с неожиданным ответом. Две одинаковые лампы делят один реостат и одну батарею: как их соединить, параллельно или последовательно, чтобы они горели ярче всего?

Обозначения

$\epsilon$	ЭДС батареи.	$\mathrm{В}$
$R$	Сопротивление реостата.	$\mathrm{Ом}$
$R_B$	Сопротивление одной лампы; у обеих оно одинаково.	$\mathrm{Ом}$
$\phi$	Потенциал провода над лампами, отсчитанный от отрицательного полюса батареи.	$\mathrm{В}$
$I$	Ток от батареи через реостат.	$\mathrm{А}$
$I_B$	Ток в одной лампе: половина $I$, так как лампы одинаковы.	$\mathrm{А}$

На рисунке 3 показан параллельный вариант: батарея $\epsilon$ на 12 В, реостат $R$ в верхнем проводе, выставленный на 5 Ом, и две одинаковые лампы по 10 Ом, $R_B$, рядом друг с другом между верхним и нижним проводами. Примем отрицательный полюс батареи, отмеченный знаком заземления, за нуль потенциала, а через $\phi$ обозначим потенциал провода, соединяющего реостат с лампами, — узла, подписанного $\phi$. Соединительный провод сопротивления не имеет, поэтому весь этот провод находится при потенциале $\phi$, а весь нижний — при 0. Значит, на каждой лампе напряжение $\phi$, и ток в ней $I_B=\phi /R_B$.

Ток $I$ от батареи проходит через реостат, на котором напряжение $\epsilon -\phi$, поэтому $I=(\epsilon -\phi )/R$. В узле $I$ делится на два тока ламп, так что по правилу узлов $I=2I_B$. Подставив числа, получаем
$\frac{12-\phi }{5}=\frac{\phi }{10}+\frac{\phi }{10}\Rightarrow \phi =6,0\mathrm{В}$
поскольку правая часть равна $\phi /5$, откуда $12-\phi =\phi$.

Итак, батарея даёт ток $I=6,0/5=1,2\mathrm{А}$, и каждая лампа берёт 0,60 А при 6,0 В, то есть 3,6 Вт, против 6,4 Вт у одной лампы при том же положении реостата. Батарея отдаёт $12\cdot 1,2=14,4\mathrm{Вт}$, из них реостат забирает $1,2^2\cdot 5=7,2\mathrm{Вт}$, ровно половину. Эту половину объясняет теорема Тевенена: со стороны ламп источник — это 12 В за 5 Ом, а параллельная пара, тоже 5 Ом, — согласованная нагрузка, потребляющая максимум, $12^2/(4\cdot 5)=7,2\mathrm{Вт}$. При последовательном соединении лампы вместе дают 20 Ом, пропускают $12/25=0,48\mathrm{А}$ и получают лишь по $0,48^2\cdot 10\approx 2,3\mathrm{Вт}$. Параллельное соединение выигрывает.

При реостате на 20 Ом роли меняются. При параллельном соединении $I=12/25=0,48\mathrm{А}$, в каждой лампе течёт 0,24 А, и она получает $0,24^2\cdot 10\approx 0,58\mathrm{Вт}$. При последовательном, теперь согласованном с источником, $I=12/40=0,30\mathrm{А}$, и каждая лампа получает $0,30^2\cdot 10=0,90\mathrm{Вт}$. Выигрывает последовательное. Поскольку одинаковые лампы всегда делят мощность поровну, ярче то соединение, которое в сумме потребляет больше, то есть то, сопротивление которого ближе, по отношению, к сопротивлению источника. Какое соединение ярче, зависит от сопротивления источника, а не только от самих ламп.

Как на самом деле течёт энергия

До сих пор энергия была лишь бухгалтерией: $P=UI$ говорит, сколько получает каждый элемент, но не то, как энергия туда попадает. Ответ неожиданный. В начале цикла батарея отдаёт $12\cdot 0,80=9,6\mathrm{Вт}$, а лампа получает 6,4 Вт, хотя электроны дрейфуют со скоростью долей миллиметра в секунду: электрону, вышедшему из батареи, понадобились бы часы, чтобы добраться до лампы. Энергия не едет вместе с электронами, а распространяется в полях. Поверхностные заряды создают электрическое поле в пространстве вокруг цепи, ток создаёт магнитное поле, охватывающее провода, и вместе они переносят поток энергии (вектор Умова — Пойнтинга) в ваттах на квадратный метр,
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$
где ${\mu }_0$ — магнитная постоянная. Этот поток идёт от батареи через пространство между проводами к реостату и лампе.

Обозначения

$L$	Длина резистора.	$\mathrm{м}$
$a$	Радиус резистора.	$\mathrm{м}$
$I$	Ток через резистор.	$\mathrm{А}$
$\vec{E}$	Электрическое поле сразу снаружи боковой поверхности: вдоль стержня, по направлению тока.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\vec{B}$	Магнитное поле тока: оно охватывает стержень, выходя из плоскости рисунка над ним и входя в неё под ним.	$\mathrm{Тл}$
$\vec{S}$	Поток энергии $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: он направлен внутрь стержня, вниз сверху и вверх снизу.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

На рисунке 4 это проверено на одном резисторе контура: цилиндре длиной $L$ и радиусом $a$, по которому течёт ток $I$ вправо. Посмотрим на два поля сразу снаружи его боковой поверхности, а затем на их векторное произведение.

Электрическое поле. Потенциал равномерно падает на $U$ по длине $L$. Составляющая поля вдоль поверхности одинакова сразу внутри и сразу снаружи неё, поэтому снаружи боковой поверхности $\vec{E}$ тоже направлен вдоль стержня, по току, и равен по модулю $U/L$. На рисунке это пара стрелок, подписанных $\vec{E}$ и направленных вправо над стержнем и под ним.

Магнитное поле. Поле тока охватывает стержень по правилу правой руки (большой палец по $I$, согнутые пальцы показывают направление $\vec{B}$), как показывает кольцо вокруг стержня. На поверхности его модуль равен ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$. Над стержнем $\vec{B}$ выходит из плоскости рисунка, под ним — входит в неё.

Поток энергии. Вектор $\vec{S}$ перпендикулярен обоим полям. Над стержнем $\vec{E}$ направлен вправо, а $\vec{B}$ — из плоскости рисунка, поэтому $\vec{S}$ направлен вниз, внутрь стержня. Под стержнем $\vec{B}$ меняет направление, так что $\vec{S}$ направлен вверх, опять внутрь стержня. То же самое со всех сторон: $\vec{S}$ направлен прямо внутрь отовсюду. Поскольку $\vec{E}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны, его модуль равен
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{U}{L}\cdot \frac{I}{2\pi a}=\frac{UI}{2\pi aL}$
Умноженный на площадь боковой поверхности $2\pi aL$, приток энергии равен ровно $UI$ — мощности, которая выделяется в резисторе. Каждый резистор принимает свою мощность через поверхность, из окружающего пространства.

Внутри батареи картина обращается. Там $\vec{E}$ направлен против тока, от + к −, а химическая сила гонит заряд в другую сторону, поэтому $\vec{S}$ направлен наружу, и батарея посылает энергию в окружающее пространство. Провода направляют энергию вдоль цепи, но не несут её внутри меди.

Границы применимости

У каждой модели есть область, где она работает, и стоит знать, где она кончается.

Модель сосредоточенных элементов предполагает, что изменение в одной точке цепи ощущается сразу везде. Это верно, когда цепь много меньше длины волны $\lambda =c/f$ её сигналов, где $c$ — скорость света, а $f$ — частота. Для сети 50 Гц длина волны $\lambda$ равна 6000 км, так что подходит любая бытовая цепь; при 1 ГГц она всего 30 см, и печатная плата излучает и требует описания линиями передачи. Даже на постоянном токе модель не учитывает переходный процесс после замыкания ключа, но при индуктивности лабораторного контура около микрогенри ток в анимации установился бы за несколько десятых долей микросекунды.

Закон Ома — свойство материалов, а не закон природы, хотя для металлов при постоянной температуре он выполняется превосходно. Сопротивление нити накала растёт примерно в десять раз от холодного состояния до белого каления, поэтому при включении лампа потребляет бросок тока; диоды и газовые разряды совсем неомичны, а у сверхпроводника ниже критической температуры в точности $R=0$. Не идеальна и батарея: её внутреннее сопротивление $r$ растёт, когда она стареет или остывает.

В самых малых масштабах формула $R=\rho L/A$ перестаёт работать совсем. Провод шириной всего в несколько атомов проводит ток ступенями, кратными кванту проводимости, $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{См}$, где проводимость — величина, обратная сопротивлению, измеряемая в сименсах; это примерно 12,9 кОм на канал проводимости, и задаёт его квантовая механика, а не материал или длина.

Что дальше

Конденсатор в контуре добавляет изменяющийся заряд, $I=dQ/dt$, и правило контуров превращается в дифференциальное уравнение: это экспоненциальная зарядка из урока «Конденсаторы», с постоянной времени $RC$. Катушка индуктивности добавляет ЭДС индукции — тему урока «Электромагнитная индукция», где $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-d\Phi /dt$; резистор, катушка и конденсатор вместе подчиняются уравнению затухающего осциллятора из урока «Затухание и резонанс». Урок «Электрическая мощность и энергия в быту» превращает $P=UI$ в киловатт-часы и предохранители, «Электрический ток и сопротивление», предыдущий урок, объясняет, откуда берётся $\rho$, «Полупроводники, диоды и светодиоды» рассматривает самые полезные неомические элементы, а урок «Электромагнитные волны» показывает, как $\vec{S}$ переносит энергию через пустое пространство.