Semi-conducteurs, diodes et LED

Débutant

Un fil de cuivre laisse passer la charge facilement, car certains de ses électrons n'appartiennent à aucun atome en particulier : c'est un conducteur. Dans le verre, chaque électron reste attaché à son atome : c'est un isolant. Le silicium, matériau des puces électroniques, se situe entre les deux : c'est un semi-conducteur.

Étape 1. Dans le silicium pur, presque chaque électron est retenu dans une liaison entre atomes voisins. Un peu de chaleur ou de lumière en libère quelques-uns, et chacun laisse derrière lui une place vide, appelée trou. Quand un électron voisin saute dans ce trou, le trou se déplace en sens inverse, comme une charge positive.

Étape 2. Les ingénieurs ajoutent une pincée d'un autre élément : c'est le dopage. Certaines impuretés apportent des électrons en trop (type n, comme négatif) ; d'autres laissent des trous (type p, comme positif).

Étape 3. Placez les deux types côte à côte : vous obtenez une jonction p-n. Dans l'animation, les points bleus à gauche sont les électrons en trop et les anneaux à droite sont les trous. Une fine couche vide les sépare et agit comme un mur. Tant que la tension est faible, rien ne passe ; vers 2 volts, les deux sortes de charges affluent vers le milieu.

Étape 4. Un électron qui tombe dans un trou perd de l'énergie, et cette énergie s'échappe sous forme d'un minuscule éclair de lumière, comme un atome émet un photon quand l'un de ses électrons descend à un niveau plus bas. C'est une diode électroluminescente (LED). La hauteur de la chute, donc la couleur, dépend du matériau.

Testez-vous : branchez la pile à l'envers. La LED s'allume-t-elle ? Non : le mur s'épaissit et presque aucun courant ne passe. Une jonction est un clapet anti-retour pour le courant : une diode. Éclairez-la au contraire, et elle fournit un courant : une cellule solaire.

Intermédiaire

Bandes, gap et trous

Un électron lié à un seul atome ne peut avoir que certaines énergies. Dans un cristal, chaque niveau atomique s'élargit en une bande de niveaux très rapprochés. Les électrons de liaison remplissent la bande de valence ; au-dessus se trouve la bande de conduction, où les électrons se déplacent librement, et entre les deux la bande interdite $E_g$, c'est-à-dire les énergies qu'aucun électron d'un cristal parfait ne peut avoir.

Une bande pleine ne transporte aucun courant, car chaque électron qui va dans un sens est compensé par un autre qui va dans le sens opposé. Un métal conduit parce que sa dernière bande occupée n'est remplie qu'en partie. Un isolant a une bande de valence pleine et une large bande interdite, 5,5 eV dans le diamant ; un semi-conducteur en a une étroite : 1,12 eV dans le silicium, 1,42 eV dans l'arséniure de gallium (GaAs), 1,9 eV dans la LED rouge de l'animation.

À température ambiante, l'énergie thermique $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{eV}$ ne fait franchir la bande interdite du silicium qu'à environ $10^{10}$ électrons par centimètre cube, parmi $5\times 10^{22}$ atomes. Chacun laisse une place vide dans une liaison, un trou ; un électron voisin y glisse et le trou se déplace en sens inverse, comme une charge positive $+e$. Le nombre de paires double environ tous les 10 K : un semi-conducteur pur conduit donc mieux quand il est chaud, contrairement à un métal.

Dopage : type n et type p

Le dopage permet de commander les porteurs. Le phosphore a cinq électrons externes, un de plus que les quatre liaisons du silicium n'en demandent ; l'électron en trop, retenu par seulement 0,045 eV, est libéré aussitôt par l'agitation thermique. Le phosphore est un donneur : il produit du silicium de type n, dont les électrons sont les porteurs majoritaires. Le bore, avec trois électrons, en prend un à une liaison voisine et laisse un trou : c'est le silicium de type p.

Un atome de phosphore pour cinq millions d'atomes de silicium donne $10^{16}$ électrons libres par centimètre cube, un million de fois la valeur du cristal pur. Les trous deviennent plus rares, car tant d'électrons les comblent, et le produit des deux densités reste fixe :
$np=n_i^2,n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$
Ici $n_i\approx 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ est la densité du silicium pur, si bien que les trous tombent à $p=10^{20}/10^{16}=10^4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ : ce sont les porteurs minoritaires.

La jonction p-n et son diagramme de bandes

Accolez une région de type n et une région de type p dans un même cristal. Les électrons diffusent vers le côté p et les trous vers le côté n, où ils se recombinent, ne laissant près de la frontière que des ions fixes : des donneurs positifs côté n, des accepteurs négatifs côté p. Cette zone de déplétion, épaisse d'une fraction de micromètre, n'a plus de porteurs libres, et le champ de ses ions repousse les porteurs jusqu'à ce que la diffusion s'arrête à une tension de diffusion $V_{\mathrm{bi}}$ : environ 0,7 V dans le silicium, 1,8 V dans la LED de l'animation.

Le diagramme de bandes de l'animation dessine ceci comme une marche, l'énergie des électrons étant portée vers le haut : la ligne supérieure est le bord de la bande de conduction, la ligne inférieure celui de la bande de valence, distants de 1,9 eV (flèche dorée). Les deux bords sont plus hauts du côté p : un électron (point bleu) venu du côté n doit donc gravir la marche, tandis qu'un trou (anneau), qui remonte comme une bulle, devrait la descendre. Sans tension, la marche mesure 1,8 eV de haut et presque rien ne la franchit.

Polarisation, courant et lumière

La polarisation directe (côté p relié au +) s'oppose à la tension de diffusion : la marche diminue, la zone de déplétion s'amincit et le courant croît exponentiellement. La polarisation inverse élève la marche, et seul un minuscule courant de saturation $I_s$ passe encore. La jonction est une diode, un clapet anti-retour. Quatre formules font l'essentiel du travail :

• $hf\approx E_g$
• $\lambda =\frac{hc}{E_g}\approx \frac{1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}}{E_g}$
• $I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$
• $R=\frac{V_s-V_F}{I}$

Un électron de conduction qui tombe dans un trou perd environ $E_g$ et émet un photon ; comme $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, diviser par la bande interdite en électronvolts donne la longueur d'onde en nanomètres. Dans l'équation de la diode, la tension thermique $V_T=k_{B}T/e$ vaut 25,9 mV à 300 K, et le facteur d'idéalité $\eta$ est compris entre 1 et 2 : chaque hausse supplémentaire de $2,3\eta V_T$ (60 mV pour $\eta =1$, 120 mV pour $\eta =2$) multiplie le courant par dix.

Exemple résolu : la LED de l'animation

La puce de l'animation a $E_g=1,9\mathrm{eV}$. Chaque photon emporte environ cette énergie, $1,9\cdot 1,602\times 10^{-19}=3,04\times 10^{-19}\mathrm{J}$, et sa longueur d'onde vaut
$\lambda \approx \frac{1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}}{1,9\mathrm{eV}}\approx 653\mathrm{nm}$
que l'animation arrondit à 650 nm : de la lumière rouge.

Quand la tension d'alimentation $V$ augmente, l'affichage de $I$ reste sous un demi-milliampère jusque vers 1,5 V, tandis que la légende indique que la barrière est encore haute ; il dépasse 1 mA vers 1,56 V et atteint 20 mA à 2,0 V. Un demi-volt multiplie le courant par plus de cinquante. Pendant ce temps, la marche des bandes passe de 1,8 eV à environ 0,1 eV (la résistance de la puce prend les 0,3 V restants), la zone de déplétion s'amincit jusqu'au quart de sa largeur, et les flèches $e^{-}$ et $h^{+}$ montrent des porteurs qui affluent des deux côtés.

Chaque électron qui traverse donne au plus un photon : le courant compte donc les photons. À 20 mA, $I/e=0,020/(1,602\times 10^{-19})\approx 1,25\times 10^{17}$ par seconde, soit au plus $1,25\times 10^{17}\cdot 3,04\times 10^{-19}\approx 0,038\mathrm{W}$ de lumière pour $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{W}$ de puissance électrique. Tout ce qui ne sort pas sous forme de lumière échauffe la puce.

Exemple résolu : une résistance pour une LED bleue

Une LED bleue a une bande interdite plus large, $E_g\approx 2,7\mathrm{eV}$ ($\lambda \approx 460\mathrm{nm}$) ; il lui faut donc environ 3,0 V, et non 2 V, pour porter 20 mA. Vous disposez d'une alimentation USB de 5,0 V. Une résistance en série est traversée par le même courant et prend le reste de la tension :
$R=\frac{V_s-V_F}{I}=\frac{5,0-3,0}{0,020}=100\Omega$
Elle dissipe $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{W}$, et la LED $3,0\cdot 0,020=0,060\mathrm{W}$.

Sans elle, la courbe propre de la LED, bien trop raide, fixerait le courant : dans l'animation, un demi-volt change le courant d'un facteur cinquante, et 5 V aux bornes d'une LED nue la détruiraient. Avec la résistance, une LED dont la tension directe vaut 3,1 V au lieu de 3,0 V reçoit encore $1,9/100=0,019\mathrm{A}$ : c'est la résistance, et non la LED, qui fixe le courant.

Erreurs fréquentes

• Le silicium de type n n'est pas chargé négativement : chaque atome de phosphore entre neutre dans le cristal, et quand son cinquième électron s'en va, un ion positif fixe reste en place.
• Une LED plus lumineuse ne donne pas une lumière plus bleue. Le courant fixe le nombre de photons par seconde, environ $1,25\times 10^{17}$ à 20 mA ; la bande interdite fixe l'énergie de chacun.
• Une diode n'a pas de résistance fixe : la LED de l'animation a $V/I=1,5/0,00037\approx 4\mathrm{k\Omega }$ à 1,5 V, mais $2,0/0,020=100\Omega$ à 2,0 V.
• La polarisation inverse ne bloque pas à toutes les tensions : au-delà du claquage, le courant inverse explose, et les fiches techniques des LED n'admettent qu'environ 5 V en inverse.

Où on le rencontre

Les lampes à LED, les écrans et les feux de signalisation utilisent la lumière dont parle cette leçon. Une cellule solaire est la même jonction qui fait le travail inverse : la lumière crée des paires électron-trou, et le champ de la zone de déplétion les sépare en un courant, comme dans les capteurs d'appareil photo et les récepteurs de fibre optique. Les transistors, faits de jonctions ou d'un canal commandé par un champ, commutent et amplifient les signaux de chaque puce. Reportez-vous à Effet photoélectrique et à Modèles atomiques : l'atome de Bohr pour le côté photon, et à Circuits en courant continu et loi d'Ohm pour le côté circuit.

Avancé

Des bandes issues des sauts entre atomes

Tout ce que fait un semi-conducteur découle d'un seul fait : ses électrons ne sont pas liés à des atomes isolés. Pour voir comment cela produit des bandes d'énergies permises séparées par une bande interdite, suivez un électron dans le cristal le plus simple qui soit, une chaîne rectiligne d'atomes identiques.

Légende

$a$	Espacement des atomes de la chaîne.	$\mathrm{m}$
$A$	Énergie de saut : couplage entre deux atomes voisins.	$\mathrm{J}$
$E$	Énergie d'un état ondulatoire de la chaîne.	$\mathrm{J}$
$k$	Nombre d'onde de cet état : son amplitude sur l'atome situé en $x_n$ est proportionnelle à $e^{ik{x}_n}$.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$E_0$	Niveau d'énergie d'un atome isolé ; la bande est centrée sur lui.	$\mathrm{J}$
$4A$	Largeur de la bande, de $E_0-2A$ en $k=0$ à $E_0+2A$ au bord.	$\mathrm{J}$
$\pi /a$	Bord du domaine de $k$ nécessaire : un $k$ au-delà donne aux atomes les mêmes amplitudes qu'une valeur à l'intérieur.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$m^{\ast }$	Masse effective au bas de la bande, fixée par la courbure de la parabole verte à cet endroit ; en haut la courbure est inversée, ce qui donne $-m^{\ast }$.	$\mathrm{kg}$

Le haut de la figure 1 montre la chaîne. Les atomes sont espacés de $a$, de sorte que l'atome numéro $n$ se trouve en $x_n=na$. Seul, chaque atome retiendrait l'électron à l'énergie $E_0$. Comme les atomes sont proches, l'électron peut aussi sauter vers l'un ou l'autre de ses voisins ; la double flèche courbe l'indique, et l'énergie de saut $A$ mesure la force du couplage entre deux atomes voisins.

Puisque l'électron peut toujours fuir vers un voisin, un état où il resterait sur un seul atome ne peut pas garder une énergie fixe. Un état d'énergie bien définie doit donner à l'électron une amplitude $C_n$ sur chaque atome. Son équation de Schrödinger dit : l'énergie multipliée par l'amplitude sur l'atome $n$ est égale à $E_0$ multiplié par cette amplitude, moins $A$ multiplié par les amplitudes sur les deux voisins,

$E{C}_n=E_0{C}_n-A(C_{n+1}+C_{n-1})$

Chaque atome a le même environnement ; essayez donc une onde, $C_n=e^{ik{x}_n}$, de nombre d'onde $k$. Les deux voisins portent alors $e^{ik{x}_n}{e}^{ika}$ et $e^{ik{x}_n}{e}^{-ika}$. Le facteur commun $e^{ik{x}_n}$ se simplifie des deux côtés, et comme $e^{ika}+e^{-ika}=2\cos ka$, il reste

$E=E_0-2A\cos ka$

C'est la courbe de la partie basse de la figure 1 : l'énergie $E$ de chaque onde en fonction de son nombre d'onde $k$. Seuls les $k$ compris entre $-\pi /a$ et $\pi /a$ sont nécessaires. Ajouter $2\pi /a$ à $k$ multiplie l'amplitude sur l'atome $n$ par $e^{i2\pi n}=1$ : on retrouve la même onde. En $k=0$, tous les atomes ont la même amplitude et l'énergie est la plus basse, $E_0-2A$ : c'est le bas de la bande. En $k=\pm \pi /a$, le signe de l'amplitude s'inverse d'un atome au suivant et l'énergie est la plus haute, $E_0+2A$. Le niveau atomique unique $E_0$, la ligne pointillée à mi-hauteur, s'est étalé en une bande de largeur $4A$, l'accolade à droite.

Chaque niveau atomique s'étale ainsi en sa propre bande, et entre deux bandes se trouvent des énergies qu'aucune onde de la chaîne ne peut avoir : une bande interdite. Dans un semi-conducteur au zéro absolu, les électrons remplissent exactement une bande, la bande de valence, et laissent la suivante, la bande de conduction, vide. La distance entre le haut de la bande de valence et le bas de la bande de conduction est la largeur de la bande interdite $E_g$, de 1,12 eV dans le silicium.

Près du bas d'une bande, seuls les petits $k$ comptent, et là $\cos ka\approx 1-\frac{1}{2}(ka{)}^2$. En reportant dans l'expression de la bande, on obtient

$E\approx E_0-2A+A{a}^2{k}^2$

À une constante près, cela a la forme de l'énergie cinétique d'une particule libre, ${\hslash }^2{k}^2/2m$, où $\hslash$ est la constante de Planck réduite. Un électron proche du bas de la bande se déplace donc dans le cristal comme une particule libre, mais avec une masse effective

$m^{\ast }=\frac{{\hslash }^2}{2A{a}^2}$

Plus le saut est fort, plus l'électron est léger. Un couplage de 1 eV entre des atomes distants de 0,3 nm donne $m^{\ast }\approx 0,42m_e$, où $m_e$ est la masse d'un électron libre ; les valeurs mesurées vont de $0,07m_e$ (électrons dans GaAs) à environ $m_e$. Sur la figure 1, la parabole verte du bas, notée $m^{\ast }$, est cette approximation. Elle épouse la bande près de $k=0$ et s'en écarte plus loin, là où le cosinus s'aplatit.

Au sommet de la bande, le cosinus se courbe dans l'autre sens. La seconde parabole verte, notée $-m^{\ast }$, ajuste la bande à cet endroit : un électron proche du sommet a une masse effective négative, de sorte qu'une force l'accélère vers l'arrière. Prenez maintenant une bande pleine, sauf un électron manquant près de son sommet. Une bande pleine ne porte aucun courant, car chaque électron qui va dans un sens est compensé par un autre qui va dans le sens contraire. La bande présentant ce manque se comporte donc comme l'électron manquant, dont la charge et la masse sont toutes deux inversées : charge $+e$ au lieu de $-e$, masse $+m^{\ast }$ au lieu de $-m^{\ast }$. Cet électron manquant est un trou. C'est une véritable quasi-particule, une excitation du cristal qui se comporte comme une particule : la tension de Hall d'un matériau de type p a le signe attendu pour des porteurs positifs. Faire passer un électron du haut de la bande de valence au bas de la bande de conduction crée un électron libre et un trou, donc $E_g$ est l'énergie minimale qui crée une paire électron-trou.

Compter les porteurs : la loi d'action de masse

Un semi-conducteur pur à température ambiante a peu de porteurs libres, tous créés par les vibrations thermiques. L'ajout d'impuretés, le dopage, modifie leurs nombres de plusieurs ordres de grandeur. Une règle simple relie les densités d'électrons et de trous dans tous les cas, et le reste de la leçon s'appuie sur elle.

Notons $n$ le nombre d'électrons de conduction par unité de volume et $p$ le nombre de trous. Des paires sont créées quand une vibration thermique fait franchir la bande interdite à un électron. Cela coûte l'énergie $E_g$, donc le rythme de création est proportionnel au facteur de Boltzmann $e^{-E_g/k_{B}T}$, avec $k_B$ la constante de Boltzmann et $T$ la température absolue ; à 300 K, $k_{B}T=0,0259\mathrm{eV}$. Les paires disparaissent quand un électron rencontre un trou et tombe dedans, ce qu'on appelle la recombinaison. Le rythme des rencontres est proportionnel à $np$, puisque doubler l'une ou l'autre des densités double le nombre de rencontres. À l'équilibre, la création et la recombinaison se compensent, donc le produit $np$ ne dépend que de la bande interdite et de la température :

$np=n_i^2$

Ici $n_i$, la densité intrinsèque, est la valeur commune de $n$ et de $p$ dans un cristal pur, où chaque électron de la bande de conduction a laissé un trou derrière lui. Comme $n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, sa racine carrée est

$n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$

où l'on a omis un facteur $T^{3/2}$, de variation plus lente. Le dopage ne change pas cet argument. Un atome donneur, comme le phosphore dans le silicium, cède un électron à la bande de conduction ; un accepteur, comme le bore, en prend un à la bande de valence et laisse un trou. Ni l'un ni l'autre ne modifie le rythme de création des paires à travers la bande interdite, ni la probabilité qu'un électron donné rencontre un trou donné, donc $np=n_i^2$ reste valable.

Pour le silicium à 300 K, $n_i\approx 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. Ajoutez des donneurs à la densité $N_D=10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$, un million de fois $n_i$. Presque chaque donneur cède son électron, donc $n\approx N_D$, et la loi d'action de masse fixe les trous à $p=n_i^2/N_D=10^4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. Le dopage élève une densité et abaisse l'autre : dans ce silicium de type n, les électrons sont les porteurs majoritaires et les trous les porteurs minoritaires.

L'exposant rend $n_i$ très sensible. Chauffer le silicium de 300 K à 310 K la double. Une bande interdite plus large la réduit bien davantage : pour la bande interdite de 1,9 eV de la LED de l'animation, l'exposant augmente de $(1,9-1,12)/(2\cdot 0,0259)\approx 15$, donc $n_i$ est multipliée par $e^{-15}\approx 3\times 10^{-7}$, ce qui laisse quelques milliers de porteurs par centimètre cube.

La jonction p-n : tension de diffusion et zone de déplétion

Une jonction p-n est un cristal dopé de type n d'un côté et de type p de l'autre. Les diodes, les LED, les cellules solaires et les transistors sont tous construits à partir de telles jonctions. Quand les deux côtés se rejoignent, les électrons diffusent du côté n vers le côté p, où ils sont rares, et les trous diffusent en sens inverse. Chaque porteur qui traverse et se recombine laisse derrière lui un ion fixe dont la charge n'est plus compensée : un donneur positif du côté n, un accepteur négatif du côté p. La charge de ces ions crée un champ qui repousse les porteurs, et la diffusion s'arrête quand le champ l'équilibre. La bande autour de la jonction, qui a perdu ses porteurs libres, est la zone de déplétion.

Légende

$x$	Position à travers la jonction, du côté n au côté p.	$\mathrm{m}$
$W$	Largeur de la zone de déplétion.	$\mathrm{m}$
$\rho$	Densité de charge des ions fixes : donneurs positifs dans la moitié n de la zone, accepteurs négatifs dans la moitié p.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$e{N}_D$	Densité de charge des donneurs ionisés : $e$ fois leur densité volumique $N_D$.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$e{N}_A$	Valeur de la densité de charge des accepteurs ionisés : $e$ fois leur densité volumique $N_A$, égale ici à $e{N}_D$.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$E$	Champ électrique, dirigé du côté n vers le côté p.	$V/m$
$E_{\max }$	Maximum du champ, à la jonction.	$V/m$
$V$	Potentiel électrique le long de la jonction.	$\mathrm{V}$
$V_{bi}$	Tension de diffusion : chute de $V$ à travers la zone, égale à l'aire teintée sous $E$.	$\mathrm{V}$
$n$	La région de type n : électrons libres, avec des ions donneurs positifs.
$p$	La région de type p : trous, avec des ions accepteurs négatifs.

La figure 2 suit la jonction le long de la position $x$, du côté n à gauche au côté p à droite, en trois graphiques qui partagent le même $x$. La zone de déplétion, de largeur $W$, se trouve entre les lignes pointillées.

Le graphique du haut est la densité de charge $\rho$ : deux blocs. La moitié n de la zone contient les ions donneurs, de densité de charge $e{N}_D$, où $N_D$ est le nombre de donneurs par unité de volume. La moitié p contient les ions accepteurs, de densité de charge $-e{N}_A$. Ici le dopage est le même des deux côtés, $N_A=N_D$, comme dans l'exemple du silicium plus bas, donc les deux moitiés sont égales, chacune de largeur $W/2$. Hors de la zone, les porteurs libres compensent les ions et $\rho =0$.

Le graphique du milieu est le champ $E$. Le théorème de Gauss à une dimension, $dE/dx=\rho /\epsilon$ avec $\epsilon$ la permittivité du cristal, dit que la pente du champ est la densité de charge divisée par $\epsilon$. Une densité $\rho$ constante donne donc une droite. $E$ est nul hors de la zone, croît régulièrement à travers la moitié positive, atteint son maximum $E_{\max }$ à la jonction et retombe à zéro à travers la moitié négative. Le résultat est un triangle, et le champ est dirigé de n vers p sur toute la traversée, comme il le doit pour repousser les électrons vers le côté n et les trous vers le côté p.

Le graphique du bas est le potentiel $V$. Le potentiel est l'opposé de l'intégrale du champ, $dV/dx=-E$, donc $V$ est constant partout où $E=0$ et chute à travers la zone de l'aire sous le triangle du champ, $\frac{1}{2}{E}_{\max }W$. Cette aire est teintée sur le graphique du milieu, et la chute qu'elle produit est repérée par l'accolade à droite du graphique du bas : c'est la tension de diffusion $V_{\mathrm{bi}}$.

La valeur de $V_{\mathrm{bi}}$ découle de l'équilibre. Pour atteindre le côté p, un électron du côté n doit gravir une marche d'énergie potentielle $e{V}_{\mathrm{bi}}$. À l'équilibre, les électrons obéissent au facteur de Boltzmann à travers cette marche, donc leur densité du côté p est égale à leur densité du côté n multipliée par $e^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$. Du côté n, la densité est $N_D$ ; du côté p, d'après la loi d'action de masse, elle est $n_i^2/N_A$. En écrivant $n_i^2/N_A=N_D{e}^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$ et en prenant les logarithmes,

$V_{\mathrm{bi}}=\frac{k_{B}T}{e}\ln \left(\frac{N_A{N}_D}{n_i^2}\right)$

Pour le silicium avec $N_A=N_D=10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ et $k_{B}T/e=0,02585\mathrm{V}$, cela donne $0,02585\cdot \ln (10^{12})\approx 0,71\mathrm{V}$. Comme $n_i^2$ contient le facteur $e^{-E_g/k_{B}T}$, $e{V}_{\mathrm{bi}}$ est égal à $E_g$ moins un terme qui ne diminue que lentement quand le dopage augmente ; la marche s'approche donc de $E_g/e$ sans pouvoir beaucoup la dépasser. La LED très dopée de l'animation s'en approche, avec $V_{\mathrm{bi}}=1,8\mathrm{V}$ pour $E_g/e=1,9\mathrm{V}$.

La largeur de la zone découle des mêmes trois graphiques. Avec un dopage égal $N$ des deux côtés, chaque moitié a pour largeur $W/2$. Sur cette distance, le champ croît avec la pente $eN/\epsilon$, donc son maximum est $E_{\max }=eN(W/2)/\epsilon$. La tension aux bornes de la zone est l'aire du triangle :

$\frac{1}{2}{E}_{\max }W=\frac{eN{W}^2}{4\epsilon }$

À polarisation nulle, cette tension vaut $V_{\mathrm{bi}}$. Une polarisation directe $V$, qui rend le côté p plus positif, s'oppose au champ interne et laisse $V_{\mathrm{bi}}-V$ aux bornes de la zone ; une polarisation inverse correspond à un $V$ négatif. La tension aux bornes de la zone est proportionnelle à $W^2$, donc

$W\propto \sqrt{V_{\mathrm{bi}}-V}$

Pour la jonction au silicium ci-dessus, avec $\epsilon \approx 1,0\times 10^{-10}F/m$, la zone mesure $W\approx 0,43\mu \mathrm{m}$ de large à polarisation nulle, et le champ maximal $E_{\max }$ est voisin de $3\times 10^{6}V/m$. Une polarisation inverse de 5 V l'élargit à $1,2\mu \mathrm{m}$. Dans l'animation, la polarisation directe abaisse la barrière de 1,8 eV à 0,1 eV, si bien que la zone se réduit à $\sqrt{0,1/1,8}\approx 0,24$ de sa largeur.

Une jonction dotée d'une tension de diffusion ressemble à une pile, et pourtant un fil reliant ses deux extrémités ne transporte aucun courant. Le fil crée deux nouveaux contacts, métal-n et métal-p, chacun avec sa propre marche de potentiel, et à une température unique les marches le long de la boucle s'annulent. Sinon, la boucle transformerait indéfiniment en travail la chaleur d'un milieu à une seule température, ce que le second principe de la thermodynamique interdit. Comme une roue à rochet et cliquet dans un gaz à une seule température, une jonction ne peut pas redresser son propre bruit thermique. Chauffez un contact et l'équilibre se rompt : c'est l'effet thermoélectrique que met à profit un thermocouple.

Redressement : deux flux hors d'équilibre

Une diode laisse passer le courant facilement dans un sens et à peine dans l'autre. Pour comprendre pourquoi, suivez les trous qui traversent la jonction dans chaque sens ; les électrons se comportent de la même façon et s'ajoutent au même courant.

Légende

$U$	Énergie potentielle d'un trou en chaque point de la jonction.	$\mathrm{J}$
$n$	Le côté n, où les trous sont rares (porteurs minoritaires).
$p$	Le côté p, où les trous sont abondants (porteurs majoritaires).
$V$	Polarisation directe : la tension appliquée, positive du côté p.	$\mathrm{V}$
$e{V}_{bi}$	Hauteur de la marche pour les trous à polarisation nulle : $e$ fois la tension de diffusion.	$\mathrm{J}$
$eV$	De combien la polarisation directe relève le niveau du côté p.	$\mathrm{J}$
$e(V_{bi}-V)$	Hauteur de la marche en polarisation directe.	$\mathrm{J}$
$I_s$	Courant de saturation : flux de trous minoritaires qui descendent la marche ; à polarisation nulle, le flux montant lui est égal.	$\mathrm{A}$
$I_s{e}^{eV/k_{B}T}$	Le flux montant en polarisation directe : $e^{eV/k_{B}T}$ fois plus grand que $I_s$.	$\mathrm{A}$

La figure 3 représente l'énergie potentielle $U$ d'un trou en chaque point de la jonction, côté n à gauche et côté p à droite ; les anneaux sont des trous. Le champ de la zone de déplétion pousse les trous vers le côté p, donc un trou a plus d'énergie potentielle du côté n : plus haute de $e{V}_{\mathrm{bi}}$ quand aucune tension n'est appliquée (panneau du haut). Un trou qui va de p vers n doit gravir cette marche ; un trou qui va de n vers p la descend en glissant.

Deux flux de trous traversent donc la jonction. Le premier monte. Les trous sont abondants du côté p, où ils sont majoritaires, mais seuls les rares trous dont l'énergie thermique dépasse la marche la franchissent. Le second descend. Les trous sont rares du côté n, où ils sont minoritaires et créés thermiquement, mais tous ceux qui errent jusque dans la zone sont entraînés vers le bas de la marche par son champ. Ce flux descendant ne dépend que du nombre de trous minoritaires qui atteignent la zone, pas de la hauteur de la marche ; c'est le courant de saturation $I_s$. À $V=0$ il n'y a pas de courant net, donc le flux montant doit lui être égal, et le panneau du haut montre une flèche notée $I_s$ dans chaque sens.

Sur le panneau du bas, une polarisation directe $V$ relève le côté p de $eV$ ; la ligne pointillée en dessous marque son ancien niveau. La marche tombe à $e(V_{\mathrm{bi}}-V)$, et la zone se rétrécit en conséquence. Le nombre de trous assez énergiques pour monter est multiplié par le facteur de Boltzmann $e^{eV/k_{B}T}$, donc le flux montant devient $I_s{e}^{eV/k_{B}T}$, tandis que le flux descendant vaut toujours $I_s$. La figure dessine le plus grand flux avec trois flèches au lieu d'une ; le vrai facteur est bien plus grand, environ $6\times 10^{11}$ à 0,7 V dans le silicium, ce qui explique que la figure ne soit pas à l'échelle.

En symboles, le flux montant est proportionnel à $p_p{e}^{-e(V_{\mathrm{bi}}-V)/k_{B}T}$, où $p_p$ est la densité de trous du côté p. Une polarisation directe le multiplie par $e^{eV/k_{B}T}$, tandis que le flux descendant garde sa valeur $I_s$. Le courant net de trous est la différence, $I_s{e}^{eV/k_{B}T}-I_s$. Les électrons donnent deux flux de même forme, donc le courant total obéit à l'équation de la diode de William Shockley :

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$

Ici le facteur d'idéalité vaut $\eta =1$, pour cette image où les porteurs diffusent à travers la zone et se recombinent au-delà. Une polarisation inverse, $V<0$, relève au contraire la marche : l'exponentielle s'éteint et $I\to -I_s$, le seul petit flux descendant. C'est le redressement. Une polarisation directe de quelques dixièmes de volt multiplie le courant bien des fois, tandis qu'une polarisation inverse de n'importe quelle valeur, jusqu'au claquage, ne laisse passer que $I_s$.

Quand la plupart des porteurs se recombinent plutôt à l'intérieur de la zone de déplétion, le courant croît plus lentement. Dans la zone, $np=n_i^2{e}^{eV/k_{B}T}$, et la recombinaison est la plus rapide là où les deux densités sont égales, toutes deux d'environ $n_i{e}^{eV/2k_{B}T}$. Le courant ne croît alors que comme $e^{eV/2k_{B}T}$, ce qui signifie $\eta \approx 2$, la valeur utilisée dans l'animation. Pour la LED de l'animation, $I_s$ vaut environ $10^{-16}\mathrm{A}$.

La bande interdite, plus que tout autre facteur, fixe la tension à partir de laquelle une diode conduit. Pour la diffusion, $I_s\propto n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, et pour la recombinaison, $I_s\propto n_i\propto e^{-E_g/2k_{B}T}$. Dans les deux cas, dès que le courant dépasse largement $I_s$,

$I\approx C{e}^{-(E_g-eV)/\eta k_{B}T}$

avec un préfacteur $C$ qui ne varie que lentement avec le dopage et la température. Le courant est fixé par l'écart entre $eV$ et $E_g$, donc c'est la bande interdite, bien plus que le dopage, qui décide de la tension à partir de laquelle une diode conduit.

Lire la courbe courant–tension en direct

La vue experte de l'animation trace le courant $I$ de la LED en fonction de la tension d'alimentation $V$ pendant que la tension monte. Les résultats ci-dessus expliquent la forme de cette courbe, et ses valeurs en sont un bon test.

Posons $V_T=k_{B}T/e=25,85\mathrm{mV}$ à 300 K. Avec $\eta =2$, $\eta V_T=2\cdot 25,85=51,7\mathrm{mV}$. Le courant est multiplié par dix chaque fois que l'exposant augmente de $\ln 10\approx 2,3$, c'est-à-dire tous les $2,3\cdot 51,7\approx 119\mathrm{mV}$. La courbe colle donc à l'axe jusque vers 1,5 V (0,37 mA), se courbe brusquement entre 1,6 et 1,8 V et atteint 20 mA à 2,0 V. La ligne pointillée dorée marque $E_g/e=1,9\mathrm{V}$.

Pourquoi la jonction fonctionne-t-elle environ 0,2 V sous $E_g/e$ ? Pour cette LED, $C\approx 0,96\mathrm{A}$. Un courant de 20 mA se situe à ${\log }_{10}(0,96/0,020)\approx 1,7$ décade sous $C$, donc d'après la formule ci-dessus la tension de jonction $V_j$ se place $1,7\cdot 119\approx 200\mathrm{mV}$ sous $E_g/e$, à 1,70 V. Une diode au silicium, avec $\eta \approx 1$, a un $C$ situé environ huit décades au-dessus de son courant de fonctionnement, donc son coude tombe vers 0,6–0,7 V, environ un demi-volt sous sa bande interdite de 1,12 V.

L'alimentation doit aussi faire passer le courant dans la résistance série de la puce, 15 Ω. À 20 mA, cela demande $0,020\cdot 15=0,30\mathrm{V}$, le reste des 2,0 V. Cette résistance façonne le haut de la courbe. La résistance dynamique propre de la jonction, $d{V}_j/dI=\eta V_T/I$, n'est que d'environ $2,6\Omega$ à 20 mA, très inférieure à 15 Ω, si bien que la courbe se redresse en une droite de pente environ $1/(17,6\Omega )$. Sur le diagramme de bandes, l'étiquette de la barrière suit $e(V_{\mathrm{bi}}-V_j)$, qui passe de 1,8 eV à 0,10 eV quand la tension monte.

Problème résolu : la LED en cellule solaire

Faites fonctionner la jonction à l'envers : au lieu d'injecter un courant pour obtenir de la lumière, envoyez de la lumière pour obtenir de la puissance. Les mêmes équations décrivent alors une cellule solaire, et la LED de l'animation montre quelle puissance une jonction peut fournir et pourquoi sa tension reste sous $E_g/e$.

Légende

$V$	Tension aux bornes de la jonction, positive dans le sens direct.	$\mathrm{V}$
$I$	Courant dans la jonction éclairée, $I=I_d-I_L$.	$\mathrm{A}$
$I_d$	Courant de la jonction dans l'obscurité : l'équation de la diode.	$\mathrm{A}$
$I_L$	Photocourant : le courant que la lumière fait circuler à contresens dans la jonction, ce qui décale la courbe vers le bas.	$\mathrm{A}$
$V_{oc}$	Tension en circuit ouvert : là où la courbe éclairée coupe $I=0$.	$\mathrm{V}$
$V_{mp}$	Tension au point de puissance maximale, coin du plus grand rectangle.	$\mathrm{V}$
$I_{mp}$	Courant fourni au point de puissance maximale ; la courbe éclairée y est à $-I_{\mathrm{mp}}$.	$\mathrm{A}$
$P_{\max }$	Plus grande puissance que la cellule fournit : l'aire du rectangle teinté.	$\mathrm{W}$
$E_g/e$	La bande interdite divisée par $e$ : la tension dont $V_{\mathrm{oc}}$ s'approche sans la dépasser.	$\mathrm{V}$

La figure 4 trace le courant $I$ à travers la jonction en fonction de la tension $V$ à ses bornes, tous deux positifs dans le sens direct. La courbe pointillée $I_d$ est la jonction dans l'obscurité, donnée par l'équation de la diode, avec son coude juste sous $E_g/e$, la verticale pointillée.

Imaginez maintenant que la lumière tombe sur la jonction et crée des paires électron-trou à un rythme équivalent à $I_L=20\mathrm{mA}$, c'est-à-dire $I_L/e$ paires par seconde. Le champ de la zone de déplétion sépare chaque paire, l'électron vers le côté n et le trou vers le côté p. C'est un courant à travers la jonction dans le sens inverse, et son intensité ne dépend pas de $V$. La courbe éclairée $I$ est donc la courbe d'obscurité abaissée de $I_L$, comme le montre la flèche notée $I_L$.

La courbe éclairée coupe l'axe des $I$ en $-I_L$ et l'axe des $V$ à la tension en circuit ouvert $V_{\mathrm{oc}}$. Entre ces deux points, $V$ est positif et $I$ négatif : le courant sort par la borne positive, comme d'une pile, donc la jonction fournit de la puissance. En tout point de ce tronçon, la puissance est l'aire du rectangle compris entre les axes et le point de la courbe. Le rectangle teinté, dont le coin est en $V_{\mathrm{mp}}$ et $-I_{\mathrm{mp}}$, est le plus grand, et son aire est $P_{\max }$.

En équations, le courant éclairé est

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]-I_L$

Quand les bornes sont court-circuitées, $V=0$ et $I=-I_L=-20\mathrm{mA}$ : tout le photocourant fait le tour du fil, à contresens à travers la diode. Quand elles sont ouvertes, $I=0$, donc le courant de la diode doit être égal à $I_L$, ce qui donne

$V_{\mathrm{oc}}=\eta V_T\ln \left(1+\frac{I_L}{I_s}\right)=1,70\mathrm{V}$

C'est exactement la tension de jonction à 20 mA dans l'animation, car dans les deux cas le courant de la diode vaut 20 mA.

La puissance fournie est $P=V(I_L-I_d)$, où $I_d$ est le courant d'obscurité à la tension $V$. Elle est nulle aux deux extrémités du tronçon et maximale entre les deux, là où $dP/dV=0$ : le coin du plus grand rectangle de la figure 4. La résolution numérique donne $V_{\mathrm{mp}}\approx 1,52\mathrm{V}$ et $I_{\mathrm{mp}}=I_L-I_d\approx 19,3\mathrm{mA}$, donc $P_{\max }\approx 29,5\mathrm{mW}$. Le facteur de forme compare ce rectangle à la boîte d'aire $V_{\mathrm{oc}}{I}_L$ qui entoure la courbe : $29,5/(1,70\cdot 20)\approx 0,87$.

Chaque paire absorbée reçoit au moins 1,9 eV mais ne fournit que 1,52 eV : la tension reste sous $E_g/e$ à cause du même logarithme qui plaçait le coude sous cette valeur. Avec la résistance série de 15 Ω, la meilleure puissance tombe à environ 24 mW. Les cellules solaires réelles utilisent des bandes interdites proches de 1,1–1,4 eV, un compromis : une bande interdite plus étroite absorbe plus de lumière solaire, une plus large fournit plus d'énergie par électron.

Limites de validité

L'équation de la diode suppose une faible injection : beaucoup moins de porteurs injectés que de porteurs majoritaires. La tension de jonction doit donc rester nettement sous $V_{\mathrm{bi}}$ ; les 1,70 V de l'animation face à 1,8 V sont à la limite, là où la résistance série domine déjà. Elle suppose la statistique de Boltzmann, qui cesse de valoir au-delà d'environ $10^{19}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ de dopage dans le silicium. Elle traite les densités comme des moyennes lisses, alors qu'une région de 10 nm de côté dopée à $10^{18}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ ne contient en moyenne qu'un seul atome dopant. En inverse, $I=-I_s$ ne vaut que jusqu'au claquage. Dans les jonctions très dopées, la barrière est si mince que les électrons la traversent par effet tunnel à quelques volts (claquage Zener) ; dans les jonctions faiblement dopées, des porteurs accélérés par le champ arrachent de nouvelles paires en avalanche sous des dizaines ou des centaines de volts.

L'émission de lumière a sa propre limite. Dans le silicium, le bas de la bande de conduction et le haut de la bande de valence se trouvent à des quantités de mouvement cristallines $\hslash k$ différentes, qui diffèrent d'environ $1,0\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$ : quelque 1700 fois la quantité de mouvement d'un photon de 1,12 eV. Le photon ne peut pas emporter la différence, donc chaque recombinaison doit aussi créer ou absorber un phonon, un quantum de vibration du réseau. Cela prend jusqu'à des millisecondes, d'autres processus l'emportent et l'énergie finit en chaleur. Dans les matériaux à gap direct, comme GaAs, AlGaInP pour le rouge et InGaN pour le bleu, les deux bords de bande se trouvent au même $k$, et les électrons et les trous se recombinent en émettant de la lumière en quelques nanosecondes.

Ce qui vient ensuite

Deux jonctions dos à dos, n-p-n, forment un transistor bipolaire : un faible courant injecté dans la mince couche centrale en commande un bien plus grand qui la traverse. Dans un transistor à effet de champ, c'est au contraire une tension de grille qui ouvre ou ferme un canal conducteur. Avec de la lumière à l'entrée et de la puissance à la sortie, une jonction est la cellule solaire du problème résolu ; avec des miroirs et une forte injection, l'émission stimulée en fait un laser. Les diodes Zener et tunnel reposent sur l'effet tunnel à travers une mince zone de déplétion, sujet de la leçon « Équation de Schrödinger et effet tunnel », et les bandes viennent d'ondes d'électrons qui interfèrent sur un réseau, comme dans « Dualité onde-corpuscule ». Les facteurs de Boltzmann sont ceux de « Théorie cinétique des gaz », et la jonction qui ne débite aucun courant, c'est « Le second principe de la thermodynamique et l'entropie » à l'œuvre.